★★★立体図形の問題。★★★

まず、１辺の長さが全て同じの立方体があります。
（いわゆる、サイコロの形ね）
それを、正面から丸く切り、真横から丸く切り、真上から丸く切る。
すると、どういった形になりますか？？

知人に聞いたところ、答えは球では？といわれましたが、果たしてそうなのでしょうか？？

どう考えても、頭がこんがらがってきて、わかりません。

ちまみに、まず真正面から丸く切ると、円柱になりますよね。

＞まず、１辺の長さが全て同じの立方体があります。

そりゃあ立方体なら1辺の長さは全て同じだろうな。

切り抜くのが立方体である理由がよくわからん。
正面というのがどの部分をさして正面なのかも不明。
丸く切り抜くがどういう操作かきちんと書かれていない。

何より、新スレを立てる問題には到底思えない。質問スレ
逝けや。ｳﾞｫｹ。

球ではないでしょ。
言い表しにくい変な形？

切り方によるか。（切る円の半径の大きさ）

その立方体を手にとって、見た面が正面になる。
立方体という条件をはずしたらどの方向から見た面を正面とするかの定義が必要になる。

好意的に解釈して
x^2+y^2≦1，y^2+z^2≦1，z^2+x^2≦1
をみたす領域の体積でしょ。
不等式3つじゃなくて2つのは頻出かな。

その体積むかし計算したことあります。
球よりちょっと大きいのはを確認した。
πがつかない。
ノートを探してみます。
（もう一度計算する気力はない）

球ではない

>>8
んでこれから球(とその内部)の方程式
x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1
は成り立たない、ってことか。
しかし直感的な説明は難しいな…。図でも書かないと無理か。

>>11 ん、方程式という表現は変かな。まあいいか。
>>9 体積きぼんぬ。

Tバックの食い込みが、8個見えます。

体積は次の式で計算できます。Try it for yourself.

16 ∬ [0≦θ≦π/4, 0≦r≦1] √(1-(r cosθ)^2 rdrdθ

>>8
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007310418.png
x^2+y^2≦1，y^2+z^2≦1の概形。

楕円の針金を2組用意して、短軸を重ね、長軸を直交させる。
水平方向に青線のような梁（ハリ）をかけていけばできあがり。
楕円の針金が交わる2点はとんがってない。

誰か本題のx^2+y^2≦1，y^2+z^2≦1，z^2+x^2≦1の概形を頼む。

画像うぷ板
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/upb.cgi

>>14
Ｖ＝16 ∬ [0≦θ≦π/4, 0≦r≦1] √(1-(r cosθ)^2 rdrdθ
　＝16/3∫ [0≦θ≦π/4] (sinθ＋1/(1+sinθ))dθ
までいった。あとは
∫ [0≦θ≦π/4]1/(1+sinθ)dθ
だけだ。さてどうしよう。

>>16
tan(x/2)=t
sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)

dx/(1+sinx)=2dt/(1+t)^2

答えでたよ。
Ｖ＝8(2-√2)≒4.68629
になった。
ちなみに球の体積は
4/3 π＝4.18879

∫1/(1+sinθ)dθ＝∫(1-sinθ)/cos^2θdθ
＝tanθ- 1/cosθ
でいけた

おつ

さー次は表面積だ。

球にならないことだけなら（１／√２，１／√２，１／√２）が
ｘ＾２＋ｙ＾２≦１，ｘ＾２＋ｚ＾２≦１，ｙ＾２＋ｚ＾２≦１を満たし
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≦１を満たさないことから分かる。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≦１のとき
ｘ＾２＋ｙ＾２≦ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≦１などとなるから
｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜｝⊂
｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ＾２＋ｙ＾２≦１，ｘ＾２＋ｚ＾２≦１，ｙ＾２＋ｚ＾２≦１｝

＞｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜｝⊂
｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≦１｝⊂

表面積は
12×4∫[0,π/4] sinθdθ＝24(2-√2)≒14.0589
ちなみに球の表面積は
4π≒12.5664

>>14の意味やっとわかったよ。
Ｖ＝8∬ [0≦y≦x, x^2+y^2≦1] 2√(1-x^2) dxdy
だな

表面積は体積を微分したらでるの？
V(a)=8(2-√2) a^3
V'(a)=24(2-√2) a^2

正直、良スレだな。

説明不足ですいません。
正確に書きます。
まずここに、半径２Ａの立方体があります。
まず真正面の面に、半径Ａの円を書きます（ぴったり収まる）
その円を同様に、真横と真上にも書きます。
そして、３方向から、切りとります。
で、残ったものの形を知りたいのです。
円でないことはわかりますが、何になるかが頭がこんがらがってわかりません。

まず、真正面から切った場合、円柱になることは解ります。
議に、真横から切った場合が・・・空想不可です

もういいよ。

画像うぷ板
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/upb.cgi

http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/000.jpg

既に画像作ってくれた人がいた。美すぃ。作者さんありがとう。
でもリンク貼ってくれなかったから>>27=1はわからず終いかな？

0≦x≦π/2，|y|≦Min(sin x,cos x)
の領域の形の紙を12枚作って
貼りあわせる。

>>31
支柱として円の針金を３組用意

工作教室ですか？
用紙を切り出した後にクセ付けするのは大変なので
丸めてクセがついたポスターかカレンダーを使う。

サインカーブの作図が・・・
print out ?

プラスチックのキット作って
売り出すといいね。

x^2+y^2≦1，y^2+z^2≦1，z^2+x^2≦1
の体積は 8(2-√2), 表面積は 24(2-√2)

y^2+z^2≦1，z^2+x^2≦1
の体積は 16/3, 表面積は 16

どちらもπがつかない。

円柱: x^2+y^2≦1, |z|≦1
球：x^2+y^2+z^2≦1
どちらの場合もπがつくのに・・・

なんとなく不思議な感じがする。

正直、良スレだな。

>>30
美しいね。
どうやって描いたんだろう？

＞３０　綺麗な対象図形だ。ちなみにこの問題むかし高校への数学で
取り上げてたよ。

これに名前つけよう。
さー皆さん考えて！

>>30
もうちょっと滑らかな円できってくれないかな？
（ぜいたく？？）

Shadeの練習兼ねてやってみたよー。
まず立方体
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466622.gif
左手前から右奥に1回目の切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466641.gif
右手前から左奥に2回目の切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466883.gif
最後に、上から下に向けて切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466895.gif

正直、良スレだな。

>>42
「パチパチパチ」（拍手）

3Dビューアなり使って自分で確認すれ。
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/lll.dxf.zip

正直、良スレだな。

某サイトで出題された問題です。
なんか問題文も今一よくわからないんですけど、
２時間ほど考えてたらわけわかんなくなっちゃいました。

縦、横、高さの各辺が同じ長さである立方体の木材と、
立派なノコギリがあります。
この立方体を27個の小さい立方体にきりたいのですが、
ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの立方体を同時に
平面沿いに2つ切ることができます。
さて、ノコギリで最低何回切ればできるでしょう？

＞ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの立方体を同時に
＞平面沿いに2つ切ることができます。

たぶんこうだろう
「ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの直方体を同時に
平面沿いに2つに切ることができます。」
「立派なノコギリ」というのも笑えるが・・・

答えは２×３＝６でいいのなら簡単だけど
ちがうやりかたあるの？

＞２７個の立方体に分割
２７個すべて同じサイズに分割する方法しか知らないが
（それ以外のサイズの組み合わせに分割できないかな？）
その場合は中央の立方体がすべて切断面なので５回ではできない、
という話はそこそこ有名。

…多分サイズが違う分割が見つかっても余計手間がかかるだけのような。

>48
なぜ ２Ｘ３ なんですか？　もう少し具体的に教えていただけませんか？

正直、良スレだな。

芸デ板の人達は、大根削って確認してるみたいだよ。
なんつーか・・・クリエイティブ・・？
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=art&key=1007305997

>>52　スゲェ・・・。

48>49>
すみません。２ｘ３、単純に考えたら当たり前ですね。
なんてお馬鹿なんでしょう、わたし。(^^;
真中の立方体の事も考え合わせれば同じサイズならおのずと答えは解りますね。
残るはサイズが違う場合だなぁ。でも最低回数では出来そうもないような気が...。

他にもあらゆる方向から切断するとすれば，
有限回の切断で球になりますか？

>>55
有限回じゃ無理っしょ

やっぱ無理？
６方向くらいで球にならない？

正直良スレだな。

あげ

何回切ったって有限回だと
ガウス曲率０の曲面の継ぎ合わせに変わりはない。

非常に細かい折れ面とかの場合
「平均的ガウス曲率」みたいなの
定義できるんじゃないかな。
それが漸近的に定数になっていく・・・とか

消しゴム１個無駄にてしまった。
５回以内で出来るのか？

>>47-48
のことね。

正直、良スレだな。

この粘着スレがかよっ！
いちいちageんなﾊｹﾞ！

＞６２
できねーつうの。
どうしてもやりたいなら、真ん中の小さい立方体の６面のうち、２面を同時に切る方法を考えな。

>>47
そのサイト教えて

おい。こっちはもうちょい進歩してるぞ。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/art/1007305997/l50

>>68
お絵書き＝進歩か？

進歩だよ
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007729692.jpg

Shadeってなに？ぐらふぃっくそふと？

>>71
いわゆる「3DCG」というやつを描くソフトです。
下が>>42を作ったときの画面。
http://sakots.pekori.jp/imgboard/imgs/img20011208125547.png
これをいろいろやってああなった。

正直、良スレだな。

あげ

うp

IDｶｺｲｲﾈ>>72

ID?

教えてください。

一辺６センチの正方形ABCDがあり、
ABの中点とADの中点をそれぞれp,qとする。
で、ABDを一点に集めるようにMN,MC,NCを折り目にして
立体を作る（三角錐ができますよね？）
そのときの体積の求め方を教えてください。

この解き方を教えてください。自分厨房なので
高校で習うような関数つかっての解説はなしでお願いします。
中学生範囲の解き方で教えてくれるとうれしいです。

>>78
△MNC以外の面を底面と見れば高さは自明

>>78
△ＡＭＮを底面と考えると分かりやすいと思います。
(勿論、△ＢＭＣや△ＤＮＣでもオッケーです。)
あとは、実際に正方形の折り紙などで作ってみると、"高さ"
に適した辺の長さが分かるので、△ＡＭＮの面積を底面積とし、
先ほどの"高さ"と一緒に○角錐の公式に当てはめれば解決です。

○角錐の公式：（底面積）×（高さ）÷３

なるほど、９０度になるんですね。
でも、どうして９０度になるとわかったんですか？

正直良スレだな。

正直、良スレだな。

彫刻スレ認定。

前から疑問なんですが

同じ大きさの正四面体を空間にびっちり積めこむのは不可能なんでしょうか？

あと、パチンコ球を平面にぎっちり積めておいてその上にまたパチンコ球を
おいて、それを何回か繰り返すと空間にパチンコ球がきっちり詰まってる状
態になるけど、仮にパチンコ球がゴム製で周りからこれをぎゅっと押さえつ
けたとしたら、球はどんな多面体に変形するのでしょうか？
高校化学の参考書の結晶のところ見ていて疑問に思いました。

>>85
正四面体を詰め込むことは可能。
・まず、正四面体二つを、一つの面でくっつける。そうすると平行六面体ができる。
・それを平面的に並べると、薄い板状のものができる。
・それを積めばいいだけ。

私の言ったことは嘘だあ。
平行六面体にはならんです。

>>87
がんばれ。
ひとつの正四面体の４面に別の正四面体をくっつける。
すると元の体積５倍の正四面体ができる。
フラクタル的にこれをでかくしていけば可。

>>88
うそはいけない。

うわ…俺のも間違い
１回でどうしようもない立体ができあがります

正四面体にはならないみたい…

>>85
正四面体と正八面体の二種使うなら可能。板状に敷き詰め可能だし。

先月号あたりの数学セミナーの、「エレガントな解答を求む」の解答に、
正四面体に関する問題の解答があった気がする。

>>85
各点の周りでの図形の含まれる割合を考えると
ａ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）とすると
正四面体の頂点では（３ａ−π）／４π，
辺ではａ／２π，面では１／２，内部では１なので
正四面体で埋め尽くせるならある正四面体の頂点の周りで考えると
（（３ａ−π）／４π）ｐ＋（ａ／２π）ｑ＋（１／２）ｒ＋ｓ＝１となる
１以上の整数ｐと０以上の整数ｑ，ｒ，ｓがならなくてはならないけど
ａ／πは無理数なのでこのようにはならないので
正四面体で埋め尽くすことはできない。

みなさん、どうもありがとうございました。
>>93
>ａ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）とすると
>正四面体の頂点では（３ａ−π）／４π

すみません。これはどうやって求めるのでしょうか？
他の正多面体に付いても計算できるのでしょうか？

＞結局立方体以外で、一つの正多面体が空間を覆い尽くすのは無理なんですね。
＞炭素の結晶(ダイヤモンド）も格子だけみると出来そうに錯覚するけど。
＞あと、パチンコ球を平面にぎっちり積めておいてその上にまたパチンコ球を
＞おいて、それを何回か繰り返すと空間にパチンコ球がきっちり詰まってる状
＞態になるけど、仮にパチンコ球がゴム製で周りからこれをぎゅっと押さえつ
＞けたとしたら、球はどんな多面体に変形するのでしょうか？
＞高校化学の参考書の結晶のところ見ていて疑問に思いました。

これも正多面体にはならないのでしょうね。あとで自分で考えたら、３段目に球を乗せる場合
真上から見て、一段目の球と重なるように置く場合と、ずらしておく場合の２通りが可能なことが分かりました。
それで結晶構造に違いが出るようです。

>>94
正四面体の頂点中心半径ｒの球面で正四面体に含まれる部分は
球面三角形になっていて面積は（三つの角の和−π）ｒ＾２なので
（３ａ−π）ｒ＾２／４πｒ＾２＝（３ａ−π）／４π。

ｂ＝ａｒｃｃｏｓ（−１／√５）
ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／３）
とすると
正六面体の頂点では１／８，辺では１／４，
正八面体の頂点では（π−２ａ）／２π，辺では（π−ａ）／２π，
正十二面体の頂点では（３ｂ−π）／４π，辺ではｂ／２π，
正二十面体の頂点では（５ｃ−３π）／４π，辺ではｃ／２π。

ｂ／πもｃ／πも無理数なので一種類で
埋め尽くすことができるのは正六面体だけ。

>>95
>球面三角形になっていて面積は（三つの角の和−π）ｒ＾２なので

なんとかボンネとかの定理、とか言うのでしたっけ？
分野としては、２次元曲面の幾何あたりでしょうか？証明は難しいのでしょうか？

>>96
半径ｒの球Ｏの球面三角形ＡＢＣの角の大きさをａ，ｂ，ｃ
Ａ，Ｂ，ＣのＯに対する対称点をＰ，Ｑ，Ｒとすると

ＡＢＣ＋ＰＢＣ＝４πｒ＾２×ａ／２π＝２ａｒ＾２。
ＡＢＣ＋ＡＱＣ＝２ｂｒ＾２。
ＡＢＣ＋ＡＢＲ＝２ｃｒ＾２。
ＰＢＣ＝ＡＱＲ。
ＡＱＲ＋ＡＱＣ＋ＡＢＲ＋ＡＢＣ＝２πｒ＾２。

　２ａｒ＾２＋２ｂｒ＾２＋２ｃｒ＾２
＝（ＡＢＣ＋ＰＢＣ）＋（ＡＢＣ＋ＡＱＣ）＋（ＡＢＣ＋ＡＢＲ）
＝３ＡＢＣ＋ＰＢＣ＋ＡＱＣ＋ＡＢＲ
＝２ＡＢＣ＋ＰＢＣ＋ＡＱＣ＋ＡＢＲ＋ＡＢＣ
＝２ＡＢＣ＋ＡＱＲ＋ＡＱＣ＋ＡＢＲ＋ＡＢＣ
＝２ＡＢＣ＋２πｒ＾２

ＡＢＣ＝（ａ＋ｂ＋ｃ−π）ｒ＾２。

>>97

素晴らしい。感動しました。

今日ずっと考えて、微積分やら色々やろうとしたけど出来なかったのです。

無理に三次元の球を書いて理解するより、平面状に円を３つ、ベン図みたく重ねて書いたほうが理解しやすいですね。

４頂点を
(1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,-1)
ととって正４面体ができる。
こんなにうまくいくのは３次元だけかな？
なぜ？

正直、良スレだな。

正直、良スレだな。

正直、良スレだな。

正直、良スレだな。

正直、良スレだな。

正直、良スレだな。

今からこのスレを「正多面体を語るスレ」に変更いたします。

また7-4=3 ◆/S1KSYSI かよ

フラードームを作成するのに公式は必要ですか?

Buckminster?

Yes

　　

7-4=3 ◆/S1KSYSI

また7-4=3 ◆/S1KSYSI かよ

sage

正20面体萌え