テンソルについて教えて下さい。

不思議と数学板にも物理板にもスレがありませんでした。
ここをテンソル総合スレとしていただければ幸いです。
０階がスカラー。
１階がベクトル。
２階が正方行列。
そして２階は物理の慣性モーメントなどでよく使う。
私が知っているのはここまでです。

高階テンソルその他、テンソルの意味、意義について
教えて下さい。

方向を１つ持つ：ベクトル
方向を２つ持つ：正方行列
方向を３つ持つ：？

今井の数学を参照してください。

双線型写像

http://member.nifty.ne.jp/GYAKUSOU/sou3/sansaku/sansaku.html#テンソルとは

男の願望

天反る

ベクトル空間Vとその双対空間V’を用意します。
Vをｐ個、V’をｑ個持ってきてテンソル積を作ります。その元が（ｐ、ｑ）テンソルです。
ｐ階反変、ｑ階共変テンソルとも言います。
とくに重要なのが、Vが多様体の接ベクトル空間の場合です。

＞Vが多様体の接ベクトル空間の場合

これをテンソル場といいます。
外積は反対称ｑ階共変テンソルです。

>>1
>２階が正方行列

V(×)V^* と Hom(V,V) が同型だとゆう話ですか？

今井数学ではテンソルを扱っていません。

すいません。
できるだけ言葉だけでなんとか説明できないでしょうか？

佐竹の線形代数をこの前読んだ。
テンソル積はベクトル空間２つが与えられたとき、その基底同士の積を考える事が
テンソル積なんだなぁと思ったが、テンソルについては分からなかった。

名前(tensor<tension)から分かるように、元々は
物理学で導入された｢方向に関連付けられた方向量｣です。
連続体の応力は面方向ごとに力方向が違うため
その表現に3次元で3x3=9個の成分が必要でした。
今はより一般的に一つの量として定義されます。

なぜ、
＞０階がスカラー。
１階がベクトル。
２階が正方行列。
こうなるんでしょうか？
「階」の概念の意味がわかりません。
３階だと行列でなくて何になるんでしょうか？

流れから逝って立法行列だろう

p

テンソってんじゃねえぞｺﾞﾙｧ

２階が正方行列っていうことは行列の積に対応してる
２階テンソルの積があるんですか？

当然。群同型

>>20
和じゃなくて積のこと聞いてるんだけど

積も当然。群同型

和でも群同型、乗法群も群同型だっていってるんじゃねぇのか？

>>23
どうした？何がわからない？
言ってみてごらん。

環の同型だと言って欲しかったのかもね。

名スレの予感

内積、外積、内商、外商、一次変換はテンソルと言えるのでしょうか？

理不尽のスレでテンソルのこと話題になったけど
誰もまじめに答えなかった．今回も似てくるのでは．

あの…「誰も」の中に貴方は入ってないんですか？

だって
わたしは聞いた方なんだもん

そりゃあ確かに入ってないわな（ｗ

ぱんそりっててんそるのなかま？

>>29
8-14辺りはマジメに答えてると思うけど…いや、堅すぎたか？

しかも>>5見れば解説書いてあるし

　>>1 自分で本読んで勉強しろ。
　高階テンソルどうしの積は、一般に縮約というやつだ。

微分幾何か多様体でもやったら？

普通はベクトル解析の本に書いてある。
もっと詳しく知りたければテンソル解析の本読みな。
テンソルが何かなんて単品で知っててもあんま意味無いし、
どうせならその辺まで勉強すればしっかりした知識になるでしょ。

>>36
冗談だろ？

高階ってかいてるとつい「たかしな」ってよんでしまうぞ。

今年初age

ソルソルソルソルソルソルソルソルソルソル＝テンソル

座布団全部持ってけー。

テンセルについて教えてください

セルセルセルセルセルセルセルセルセルセル＝テンセル

↑↑↑
ﾔﾙﾄｵﾓﾀﾖ(w

テンセル＝ワシントンとは別人か？

ソル
http://isweb31.infoseek.co.jp/play/qtchicks/sol.gif

×10

テンソル

テンソル ＝ いくつかのベクトルに対して１つのベクトル(０次元も可)を対応させる.

もちろん「いくつかのベクトル」のうちのそれぞれについて線形なものにかぎる。



m x n 行列：１個の n次元ベクトルに対し、１個の m 次元ベクトルを対応させるテンソル。


内積：２個のベクトルに対し、１個の０次元ベクトル(スカラー)を対応させるテンソル。


いわゆる古典的なテンソル解析の本は、特別な人以外には不用。

>テンソル ＝ いくつかのベクトルに対して１つのベクトル(０次元も可)を対応させる.

肝心な主語にたいする述語が不完全

　

　

　　　　　　　　　　　

何か書けｺﾞﾙｧ

テンソルはマンソルの友達です。

ベクトル空間のテンソル積
（直積と混同してはならない）

これが解ればよろしい(・×・）ﾐｯﾌｨｰ

右ストレッチ

テンソルは動詞です。

金剛テンソル

動詞だってば

あと１枚来ればあがれる状態のことさ。

ロン！（謎）

>>68
それは「テンパル」じゃ！

>>70
亀レス

テンゾール

初めて書き込みいたします。
まだ、慣れていない初心者なので御手柔らかにお願い致します。

私がはじめてTensorなる言葉を知ったのは、古典的なリーマン幾何学を
独学で勉強したときでした。このときは、矢野健太郎先生の「リーマン
幾何学入門」(書名はうろ覚え)を理解しようと必死になっていました。
(私は工学部でしたが、周りではTensorを使って研究を進める人が多かったです)

Tensorの具体的なイメージはSchoutenの「Der Ricci Calculus」を読んで
何となく分かったような気になったことを懐かしく思い出しました。

とりとめもありませんが、以後、よろしくお願い致します。

>Schoutenの「Der Ricci Calculus」

和訳か英語版は出てますか？

テマドル

トンドル

（　 ´Д｀）

>>76さんへ
確か、英訳版が大昔(1920年ごろ？)に出ています。
多分、もう中々手に入らないのではないかと思います。
大きな図書館(国会図書館など)で丸々、コピーするしか
手に入れる方法はないのではないかと考えています。

テンソルに関する昔(?)の話題

(1)ネジ山の品質評価
　　ネジを作成することを考えます。このとき、ネジ山を曲面と考えます。
　　ネジ山が楕円形ならば、比較的簡単に計量テンソルを導くことができます。
　　計量テンソルが求まったので、クリストフェル記号、曲率テンソルを
　　求めます。ネジ山各点における曲率を計算で求め、実測値と比較して
　　ネジの品質評価に役立てます。
というような研究をしていた人がいました。
（２）統計への応用
　　指数分布族を考えます。(代表的なものが正規分布だったかな？)
　　平均、分散等からなる集合を考え、ここに計量を導入します。
　　計量はKullbackのダイバージェンスなどから導き出します。
　　この計量を使って、分布族の性質を調べます。
　　かなり、面白い結果が出ていると聞いたことがあります。

以上、昔話です。

>82　の(2)で書いてある計量とは計量テンソルg_[ij]を指しています。

1番目の成分、2番目の成分、、、、を見ていったものがヴェクトルで、
（11）番目の成分、（12）番目の成分、、、、を見ていったものがテンソルの簡単なもので、
（111）番目の成分、（112）番目の成分、、、、を見ていったものが次に簡単なテンソルとなります。

>>83さんのように考えて、
v_[i], i=1,...,nとしたものが共変Vectorで、
g_[ij], i,j=1,...,nとしたものが２階共変Tensorとなります。
３階の共変TensorはT_[ijk]　i,j,k=1,...,nのように書かれます。
このi,j,kをTensorの成分を表す指標といいます。
ですから、Tensorの階数とは指標の個数を指すものだといえます。

>>8さんが書いたように
Tensorには共変成分以外に、反変成分もあります。
共変成分を表す指標は下付きに、反変成分を表す指標は上付きの添え字(=指標)
を使います。

>1
もし数学科の人だったら、一大事ですね。
テンソル代数を身に付けてないと。

テンソルってあれだろ?
中国の風習で女の足を小さくするヤツ。

>>87
それは「てんそく」。

ハッカのこと？

テンソルって
行列の中の各要素がそれぞれ独自の行列を持ってるってイメージですか？
どうなんですか？
初心者にもわかるように教えてください。

テンソルとはあるベクトル空間とその双対空間に対する線形変換で、ス
カラー値をとるものです。

>>91
もっとわかりやすく教えてください

>>91
いるんだよな
初心者にわざと難しい言葉を使って説明して
優越感に浸りたがるやつって。

>>91
別にベクトル空間でなくて、N次元自由加群で良いのでわ？
そりに単なる線形変換でなくて、ちゃんとテンソル積、そしてその要
素、とか書かんと分らんと思ふ。
と思ったら、>>8も同じようなこと言ってら。まぁ、物理屋さんに取っ
てはそうなんだろうけどさぁ、、、

ひょっとしてテンソルはたんなる抽象概念でこの世の中には
実在しない物かもしれない。ベクトルは速度とか
力のように実存する物理量なんだが、テンソルは本をみても
検索してもどこも無味乾燥な定義ばっかりだもの。
相対性理論には出てくるけれどちんぷんかんぷん。

テンソルと言うと物理系だと行列から理解しようとし、
数学系だと双線形写像から理解しようとする。
どっちもどっちでお互いの理解が浅い（ｗ

傍観を好む者は都合の良い展開しか記憶に残らない。

これだけ錚々たる人材が集う数学板で
だれもわかりやすい説明をする人がいないということは
91と94の説明がすべてなのだよ。これでわからない人は
頭が悪いのだからベクトル止まりであきらめるがよい。

以下のＺ加群のテンソル積を求めよ（×はテンソル積としてください）
ただしｎ、ｍ≧1は整数

(1)Ｚ×Ｚ
(2)Ｚ×(Ｚ/ｎＺ)
(3)(Ｚ/ｎＺ)×(Ｚ/ｍＺ)
(4)Ｚ×Ｑ
(5)Ｑ×(Ｚ/ｎＺ)
(6)Ｑ×Ｑ
(7)(Ｑ/Ｚ)×(Ｚ/ｎＺ)
(8)(Ｑ/Ｚ)×(Ｑ/Ｚ)
(9)Ｑ×(Ｑ/Ｚ)

ほらね、すぐこれになってしまう。

そもそも、テンソルと単なる行列との違いさえわからないのですが…。

嗚呼わからない
テンソルわからない

>>95
フェライトの透磁率とかはテンソルだよ。

>>103
おお、ようやく具体的な事例を知っている人が
現れた。フェライトの透磁率がなんでテンソルなんでしょうか？
物理的意味は？

内積は対称テンソルだよ。でもこれは正値対称行列と同じことだから
分かってる範囲を越えないね。
でも次を考えてごらん。
行列式は交代テンソルだよ。

磁束密度Ｂを磁場Ｈ（Ｂ、Ｈは３次元ベクトル）で表せば
Ｂ＝μＨ　
になる。等方性媒質の場合μは対角行列。
でもプラズマやフェライトの場合はμが対角行列ではなく２階テンソルらしい。
具体的な値とかは知りません、、、
物理的な意味は電束密度Ｂのｘ成分が磁場Ｈのｙ、ｚ成分からも
影響を受けるということでしょうか。
つまりμがＨの関数になるイメージですね。

106は>>104です。
因みにフェライトは静磁場を印加させて用いるらしいです。
これによって２階のテンソルになるのかな？
曖昧でスマソ。

>>106
ありがとうございます。
μは９個の要素を持つ２階テンソルですね！

>>98
加群Ｍ、Ｎに対して、(m, n)を、(m+m', n) - (m, n) - (m', n)
などで割った剰余類。関係式はあと三つくらいあるけど適当にはしょって
書きますた。
こりをたとえば、加群Ｍ、Ｎを、ＲとＲ^2とかでやってみれば分ると思う
んだけど。分りやすい説明とかではなくて、ちゃんと手を動かせば済む。
大学入学までは、ガリガリやり過ぎ、入学後はやらなすぎ、そりだけの話
なんじゃないかなぁ。

>>数学ヲタ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　._,,,,,,｡,,、　　　　　　 广'x、　　 ,,､.＿　　　　｣'ﾞ''i､　　　　　　
　　　　　,,,,,_.,,,,、广ﾟ┐　　　　 .,,,ｖ―冖"~゛　　　ﾞ'i､　　　　　 .ﾄ　 ,|,_　 rｉゃ　.｝　　　.,i´　'冖i､　　　　
　　　　 .］　｀ ｆﾞ,l° ,i´　　　　 .ﾞl＿　.ｙ-┐ 'や'ﾞ"ﾞ’　　　 _,,,ｖr"　　 .ﾞト.ﾞ'x,,,,广 ｨ・'''ﾞ~　 .._,,ｖ･ﾟﾋ''''･x、　
　　　　　入､rУ　,iﾚ-ｖ,,,、　　　.,r°."'''lﾞ　 ,|√ﾞﾟ'i､　　 匸 ._　 .y・'ﾞﾟ,,,ｖ―-,　 .:ﾟｰａ　 .√ ._,rll＿　 :｝
　　.,r''y|゛ﾞﾞl..,i´　,i"ﾞl,　　.ﾞト　　,r°,,,　 ..,　 .＿,,ｖぐ　　　 .｀√ .,i´l广.＿,,,,,,,,i´　 ,,i´　,i´　,｢ .:|　.~''''″
　.r″ .|ﾞl、 “　.,i″.yi入-ｲ　 il∠i、.｀ .,ﾒ|　 |　　　｣'ト　　 .,,i´ .,i´ ,,￣　　　　　 .[　 .,i´.,,,,,,!　.]_　　　　
　.ﾞl＿,i´,ﾚ　　.'�_,,,,ﾚ ~''┐　　　.,r°.,i´.|　 .|　　 ,lﾞ :ﾞl、　,,i´　,i´ l゜.ﾟＬ＿＿　　 .:―ﾔﾟ″_　　 :~''=、　
　　　.,r″.,x=,,　　　　　 .,i´　 ,x'".,,x'″ .ﾞl、 ﾞ冖''″　.］　|　 .,i´　.ﾞl,　　　　.~1　　　.ﾟＬ 'ﾞ〃　,n,　.,,}　　
　　.,l彡'''″　 .ﾞ~"''''''''''"゜　 .テ''~゛　　　 .:ﾟ'―---―･° ―″　　 .~''¬―'″　　　 .:ﾟ=＿,r″ ￣　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

たとえば、次のようなものはどうでしょうか？（その１）

今、斜交軸を考えます。直交軸ではx-軸とy-軸のなす角は90度ですが、斜交軸
ではθとしておきます。x-軸上に点U、y-軸上に点Vをとって、UV間の長さを求
めてみます。この長さは、ベクトル(OU)、(OV)を考えれば、ベクトル((OU)-(OV))
の２乗の平方根を求めたものになるはずです。

>>111
ベクトルの２乗ってのはどうかと思う。

たとえば、次のようなものはどうでしょうか？（その２）

ベクトル((OU)-(OV)) の２乗を計算してみます。ここで、ベクトル(OU)を
u、ベクトル(OV)をvとしておくと、
(u-v)^2=u・u-2u・v+v・v
となります。ここで、・は内積。さらに、
(u-v)^2=u^2-2uv cosθ+v^2
となります。

http://tigers-fan.com/~pppnn

http://www.tigers-fan.com/~fkijjv

ヌキヌキ部屋に直行
　　コギャルとヌキヌキ
　　全国地域別出会い

たとえば、次のようなものはどうでしょうか？（その３）

式(u-v)^2をまとめると
= |u v| | 1 -cosθ| |u|
|-cosθ 1 | |v|
のようになります。この真中に現れた行列(のようなもの)が斜交軸における
計量テンソルとなります。ここで、(11)成分はx-軸方向の長さのようなものを
表し、(12)、(21)成分はx,y-軸の角、(22)成分はy-軸の長さのようなものを
表していると考えられます。

長かったけれども、以上です。どうでしょうか？私はこんな感じでテンソル
を捉えているのですが･･･。

八だよ、七だよ、六だよ、五
四だよ、三だよ、二だよ、一
《もっと引っぱる、》いわくテンソル
《もっと引っぱる、》いわくテンソル
緊張、懸念、不和が来た

>>112　ベクトルの２乗ってのはどうかと思う。
確かに、不正確で誤った表現です。
ここで言いたかったのは、斜交軸を考えれば計量テンソルなる共変２階のテンソル
が姿を現すのではないかということでした。
不正確な表現等、失礼致しました。

たとえば、次のようなものはどうでしょうか？（その４）

　斜交軸を考えた場合の計量テンソルを導きました（？）が、これでは
行列と何が違うのかはっきりいたしません。
　そこで、さらに座標の変換を考えます。テンソルなる量は座標の変換に
伴って、その成分の値が変化致します。この成分の変化は規則的に
起こります。これに対して、一見テンソルのように見えて、
規則的にその成分が変化しないものがあります。デイラックの「相対論」
では、これらを擬テンソルと呼んでおります。
　以上から、私は行列は擬テンソルの一種（？）であると考えております。

課題：テンソルとテンソル場の違いを述べよ。擬テンソルはテンソル、テンソル場とどう違うか述べよ。

相対論をかじったときに聞いたテンソルと、後で知ったテンソル積の定義と、そのギャップが
なかなか縮まらなかったものだが、しばらく考えて、結局、物理学者と幾何学者はテンソル積の
係数をテンソルと呼んでいるにすぎないことに気づいた。
私は線形代数の講義で「基底を使わずに表すのが最もよい」という思想をうえつけられたため、
(その価値を認識しながらも)幾何学のいうテンソルを一段低くみているが、そんなことは人には言えない。

>>121
>私は線形代数の講義で「基底を使わずに表すのが最もよい」という思想をうえつけられたため
どこの電波講義？（ｗ
カノニカルな話だけですむ場面は結構限られるのだが

>>116
これは、Ａ．べスター『分解された男』
ゼミの最中に披露しようなどと考えてはいけない。

皆さん物理屋と数学屋の定義の違いに苦しむわけですな。

数学屋さんは基底を明示するので見通しがいいけどめんどくさい
物理屋さんは係数だけかくので計算しやすいが本質を掴みにくい
ってことでしょうか

物理専攻の漏れは縮約が内部積をしているから次元が下がる
と理解したときは嬉しかったぞ

擬スカラー、疑テンソルに関しては微分形式使ったほうが
いいような気が。

お話させてくださいませ。　その１

>>120さんへ
先生！いま、一生懸命、無い頭で考えています。今しばらく、お待ちください。
(でも、解答したものがあっているとは限りませんが･･･)

>>124さんへ
>>擬スカラー、疑テンソルに関しては微分形式使ったほうが
>>いいような気が。
ここで言われていることは、次のように解釈したらよろしいのでしょうか？
　擬スカラー、擬テンソルはイメージがしにくいので、擬ベクトルなるものを考えます。
　通常、ベクトルは大きさと方向を持つ量として定義されております。擬ベクトルは
　さらに回転の向きを考慮に入れて定義される量として定義されるもの。

>>121
そうそうそ。分かってしまえばｱﾌｫみたいな話しだけど

お話させてくださいませ。　その２

>>125 >>124
　擬スカラー、擬テンソルはイメージがしにくいので、擬ベクトルなるものを考えます。
　･･･。

上記のことが非常に気になって調べております。
　座標系の変換で、反転(x^i=-y^i)を考えます。このときに、擬スカラー、擬ベクトルの具体的な例とは、
(1)擬スカラー：A×B・C　(×は外積、・は内積を表す、A,B,Cはベクトル)
(2)擬ベクトル：C=A×B　　(×は外積、A,B,Cはベクトル)
となるのですね。
　擬ベクトルの場合。上記から、成分で書けばC^1=A^2B^3-A^3B^2となります。
　座標を反転するとA^i→-A^i,B~j=-B^jとなります。ここで、C^1がどのようになるか
考えますと、C^1→C^1となりA^iやB^iとは明らかに異なった振る舞いをしています。
それゆえに、ベクトルを区別するために擬ベクトルと呼ぶのですね。

>>120さんへ

空間に１つの直交座標系Σ(O;i_1, i_2, i_3)を考えます。それに関する空間の
座標を(x^1, x^2, x^3)としておきます。

空間の各点にテンソルを対応させる関数Tはテンソル場と呼ばれ、その点Pにおける
値はT(P)あるいはT(x^1, x^2, x^3)=(T^[ijk...](x^1, x^2, x^3))のように
記します。擬テンソルおよび擬テンソル場も同様に考えられます。

具体的な例で、Maxwell方程式∇・E=-ρ／ε_0を考えます。ρは単位体積あたり
の電荷です。ところで、ベクトル３重積A×B・Cは擬スカラーですから、電荷は
擬スカラーとなります。

複素数はベクトルであった。これを理解できないものを蛆虫と見なします。複ベクトルで全て解決です。
天才ガウスも踏み込みが一歩足りなかった。

http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/english/kekan/no004.html

>>128 の具体的な例では、座標変換として反転を考えなければ成り立ちません
でした。これまでの書込みから、ちょっと唐突過ぎました。

失礼致しました。

　　　　　ま　　　た　　テ　ン　ソ　　ル　　　か

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二つのベクトル量があり、一方のベクトル成分の一次形式として他方のベクトルの成分が表される場合、その結びつきを総合的に示す量。固体内部の応力やひずみはテンソルとして一般的に表現される。

>>132
応力やひずみはテンソルではなく、テンソルにより変換されるベクトルではないでしょうか？
テンソルは材料固有の弾性係数などだったと記憶していますが。

>>133
これを呼んで下さい。
http://www.aitech.ac.jp/~narita/telastic7.pdf

ちなみに>>132は、広辞苑の参照です。ｽﾏｿ！

>>134
ｽﾐﾏｾﾝ!　前半は私の空想でした。。

ある日、コンビニで「超行列のできる店のラーメン」なるもの発見
えっ、テンソルができるの？

テンソルができるんじゃなくて
単にパリティがつくだけなんじゃないの。

Ｖ【×】Ｗ

K(X,Y)=R(X,Y,Y,X)/(|X|^2|Y|^2-<X,Y>^2)

テンソルの下の名前を知りたいのだが。

点素とは無関係である

複ベクトルがあるっていうことは、複テンソルもそのうち思いつくのでしょうか？＞今井のクソジジイ

いつの間にか1年経ってるのでage

大事なのはuniversalityだ

（＾＾）

universality

電磁波はベクトル波で重力波はテンソル波だと聞くが、数学的・理論的には
ともかく、そもそも重力波って実験的には計量（観測）に成功したの？

あーテンソルテンソル

テンソル波?
何それ？

http://www.agemasukudasai.com/bloom/

（＾＾）

>>152
偏波面を複数有する波動のことです

佐武一郎の「線型代数学」読んでたら何がわからないのかわからなくなってしまいました・・・
独学の限界を感じ始めた今日この頃・・・

モ(ﾟ∀ﾟ)━ウ( ﾟ∀)━( 　゜)━(　　)━(｀ 　)━ダ(Д｀ )━メ(´Д｀)━ポ(;´Д｀)━━━!!!

あのね>>1さん、デルソルについて教えて下さい。
ほら、以前アステカの次機種として登場したあれですよ！

混ぜると油が固まるね。

（＾＾）

age

テンソルって要は、多重線形写像のことです。その本質は単純なものです。

昔、秋葉原駅構内の立ち食いそば屋では、
入り口で注文すると食券売りの姉ちゃんが
「かけう〜」「てんそ〜」とか大声出してたっけな。
（かけうどん、天ぷらそばの略）

テンソル空間と外積代数、横沼健雄、岩波講座基礎数学第９巻
がお勧め。
古い本なので書店で売ってはいないけど、
厚さ数ミリと薄いのに、テンソルの本質が驚くほどよく判るよ。
図書館か古本屋で探してみては

>>120
テンソル場とは、テンソル束の切断のことです。
なおテンソル束とは、ファイバー束のファイバー空間がテンソル空間になっているもののことです。
（もっと詳しく知りたいなら、微分幾何の本でも読んで下さい）
多様体（底空間）とテンソル空間（ファイバー空間）の直積が、テンソル束の最も判りやすいイメージでしょう。
テンソルとは、テンソル空間の元のことです。
擬テンソルとは、線形空間からテンソル空間への写像のうち、一定の要件を満たすもののことです。
擬テンソル束の切断を考えれば、擬テンソル場にも拡張できます。

オレ、デルソルなら知ってるけど。

空間Sとそれに伴う（線形）変換群Gが与えられたときに
k階の共変テンソルとは、ベクトルのk個の直積と同じ形の
変換性を持つもののことだ。ｍ階の反変テンソルとは計量双対空間
の対応物がｍ階の共変テンソルであるようなもののこと。

たとえば、定数は０階のテンソル。ベクトルは１階のテンソル、
ベクトル２個の直積は二階の共変テンソル、。。。となる。
もちろん二階の共変テンソルは変換性が同じだけで、他にもある。

混合テンソルとは、共変テンソルと反変テンソルの組み合わさった
ような変換性を持つテンソル。（詳細は略す）

ここで、変換群としては、ユークリッド空間内の回転群を考えると
古典力学の通常の幾何テンソルになる。ミンコフスキー空間での
回転群（ローレンツ群）を考えれば、相対論のテンソルになる。
他にも、高次元の直交群や古典的なリー群などを（線形表現により）
変換群として採用すれば、それらに付随したテンソルが得られる。

テンソルは動詞

>>167
おいおい、テンソルの定義に変換群はいらないぜ。
テンソルの本質は、多重線形性だ。

テンソルバンドルの構造群は意識しなくても（GL(n,R)でも）良いってことだね
リーマン計量が入っていれば、その計量に関する直交群に簡約出来ると

よく物理をやってて混乱している人がいるけど、
テンソルやテンソル空間は線形代数（もっと一般化すると加群）の概念、
テンソル場やテンソル束はファイバー束の概念だ。
構造群は、後者の議論で問題となる。
初学者は、先ず代数でテンソルを勉強してから、微分幾何でテンソル束を勉強すべき。

そもそもテンソルってどういう意味？どこの言葉？

テンソルは、応力を示すtensionから来ています。
応力テンソルとは、流体力学等で用いられる二階のテンソル場のことです。

>>173
ありがとう
物理由来の用語だったのか

テンショル？

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

テンソル積の定義 タイプ１
Given abelian groups A and B,the tensor
prodct A〇B is abelian group generated by all symbols of the form
a〇b,for each element a∈A and each b∈B,subject to the relations
a1〇(b1+b2)-a1〇b1-a1〇b2 and (a1+a2)〇b1-a1〇b1-a2〇b1,for each
a1,a2∈A and b1,b2∈B.
で この場合のおきまりの演習は Zp〇Zqは Zr (rはpとqの最大公約数)に
同型であることをしめせ。とか
Zp〇Q＝0を証明せよ。(Qは有理数の加群、pは正の整数)とか
任意の加群G に対してG〇Z はGに同型であることをしめせ。やってみよ。
タイプ1' 1の加群を可換環RのＲ-加群に置き換えたものこの時は関係に
r(a1〇a2)-(r*a1〇a2),r(a1〇a2)-(a1〇r*a2),for each r∈R
1と1'は本質的に違いはない。次に ＞162の言うような多重線形(双線型)を
基にした定義がある。

テンソル積の定義 タイプ2
ベクトル空間V(En)、その双対空間VV(En)とする。V(En)XVV(En)を定義域とす
るRへの双線型写像を(1、1)テンソルという。V(En)XV(En)からRへの双線型写
像を(0、2)テンソルという。
例えば基底を使えばタイプ1'の定義からタイプ２の定義がテンソル積である
ことは簡単にしめせる。タイプ2の定義から タイプ1'をいうのはちょっとムズ
なので逃げてる教科書がほとんど。なんらかの写像の不偏性をいわねばならず、
ここはプロ向けかもね。いわゆるuniversal factorization property,(u.f.p)
を使った証明が今は絶版?現代ベクトル解析(岩波)、Advanced Calculus (
Nickerson,Spencer and Steenrod)にある。

テンソル積の定義 タイプ3
これは前の2つとは毛並の違う定義で実際同値な定義とは言えないかもと
ぼくは思っていますが、、、、(W
Mathematicaの A System for doing Mathematics by computerには階数kのテ
ンソルとはk次元のテーブルのことで このテーブルの要素をk次の直方体の
列に整理できることが条件。(つまり欠けとかでっぱりのないこと)
そしてこれらを扱う関数で重要なものは2つ、テンソルを作るTable関数と
操作する Outer[f,t1,t2,..] とInner関数,Outerは面白いのでちょっとみてお
くと
fは 積の任意の演算子(関数)、t1,t2らは(mathematicaの)テンソル?で
t1がm1xm2...xmrで t2がn1xn2...nsなら結果はm1xm2xm3...xnsのテンソル?
になりその成分がf(t1の成分、t2の成分)で与えられる。fにList関数をとれば
テンソル積?ができる。fにただの積をとると普通の表現になる。

もともとは、オイラー、コーシーなどの剛体の力学（コマの回転など）、
流体力学や弾性体力学の研究から由来したものだろう。
空間の座標変換に関して、変換性が同じ形式に従うものにより分類して、
１階、２階、３階、４階あるいは共変、反変、混合型のテンソルとして
区別すると、本来座標軸の選択に寄らない現象を記述しているのであれば、
物理的な意味のある数式表現は、変換性の等しい量同士の関係式に分解される。
そういうところにルーツがある。
　数学のテンソル積（直積）は、後に集合論や抽象的な線型代数の発展により
（多分ワイルぐらいの時代？）に物理学や、微分幾何のテンソル解析
（絶対微分幾何）を押しのけて普及したものだろうと思うのだが、、、

なんだか最近の書きこみでで一番勉強になりました。ありがとうございますた。

テンソルっていう題名の学術雑誌があったと思うが、まだ続いているかな？

スカラー波って０階のテンソルですか？

If we regard a field K as 1-dimention linear space,
K is r-th tensor space.

テンソルに変なロマンもつなよな

テンソルは動詞なんだよ！！！

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

7

ｆ：Ｒ^ｎの開集合→Ｒ　がＣ∞だとする。
１階微分は　∇f=grad(f)で、ベクトル
ｍ階微分は、（∂^m）ｆ/∂ｘi1･････∂ｘimを成分に持つ対称テンソルになると思う。

テイラー展開を考えると、ｍ階微分はＲ^ｎから（ｍ−１）階テンソルの集合へ線型写像とみなしうる。

テルソンってなぁに？？
食べれるの？

http://www.telson.co.kr/
辛そうだね

あなたが探してる話題あれはこれでしょ♪
http://endou.kir.jp/betu/linkvp/linkvp.html

2

11

テンソルは,方向を２つ以上もった量を表せるものです.

Re:>196
それは、ベクトルの説明にもそのまま使えるが。

テンソルとは、座標変換Aを起こしたとき、
変換前のテンソルの成分をT_{i_1…i_n}^{j_1…j_m}とし、
変換後のテンソルの成分をT'_{I_1…I_n}^{J_1…J_m)とすると、
T'_{I_1…I_n}^{J_1…J_m}=A_{I_1}^{i_1}…A_{I_n}^{i_n}A_{j_1}^{J_1}…A_{j_m}^{J_m}T_{i_1…i_n}^{j_1…j_m}
という式が成り立つもののことをいう。(和の記号は省略して書いた。)

ﾊﾟｲﾊﾟｿ？

>>197
言い方が悪かったです。
例えば,ある２次元面に垂直に３次元ベクトルＶが通過するとします。
その事で,そのＶに対して垂直に,変化が起きる時にそのような量を
表したいとき,例えばＶがi方向に成分を持っているとき,j方向に
変化を起こす。色んなモデルにおける制限から対称にしたいとき,例えば
偏微分をｄとかくとして,
σ_{i,j}＝Ａ（dＶ_i/dx_j+dＶ_j/dx_i）+B(ｄV_l/dx_l)δ_{i,k}
なんて量になったりする。その意味で,方向を同時に２つ以上もった量
と比喩を言ったのです。

mathmaniaにご教示キボンヌ

Aに添字を付けたものの説明を忘れていた。
変換前の座標を(x_1,…,x_N)として、変換後の座標を(y_1,…,y_N)とすると、
y_I=A_{I}^{i}x_i (A_{I}^{i}はAのIi成分)で、
x_i=A_{i}^{I}y_I (A_{i}^{I}はAの逆行列のiI成分)となる。

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ageようよ、良スレなぬだきゃら！

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

あげぽ（＾＾）

私の持ってる本では、
ベクトル空間V(En)、W(En)、それぞれの双対空間をVV(En)、WW(En)とする。
v∈V,w∈W , φ∈VV　ψ∈WW
テンソル積の元 v×w
(v×w)(φ、ψ) := φ(v)ψ(w)
で、テンソルを定義してたんだけど、
>178の定義だと、右辺の条件はRであることのみっぽいんで、なんでだろなと思うのです。
双線形であるためには、φ(v)ψ(w)でなくてはならないってこと？

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

207にリアクション求む。
207の定義と、178の定義を関連付けてほしいのですよ。
なんか、178のほうが一般的な気がするんだけど、
そうでもないんだろうなぁ。

>>207
>双線形であるためには、φ(v)ψ(w)でなくてはならないってこと？
そのとおり。受験勉強じゃないのだから自分で考えよ。というべきなんだろうけど
スケッチくらいしてあげるよ。
まあEnは二次元とでもして、双線型写像をf(x,y)とする。
e1を固定するとf(e1,y)=h(y) はyについて線形、ポイントは
f(e2,y)がどう書けるか?ということで,h(y)が0で無いとき
f(e2,y)/h(y)を調べればよい。双線型写像だからyを固定したとき
f(x,y)=g(x)はxの線形写像だから
f(e2,y)/h(y)=g(e2)/g(e1),ここでh(y)/g(e1)=h1(y)とおけばh1(y)
も線形で f(e1,y)=g(e1)h1(y)、f(e2,y)=g(e2)h1(y)で終了

テンソルって多重線形写像のことだと思っていい。
難しいものじゃない。

>>210
>>211
リアクション、どうもです。
すっきりしますた。
いままで、テンソルはほとんど行列みたいな感じでつかってきたので
ちゃんとやるのは初めてなのです。
定義でははると、違う概念をさしてるんだろうかと不安になったりするもので。

18

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

ﾂﾝﾂﾙﾃﾝｿﾙ

ほしゅったらageろ！

嫌です。

佐武のテンソル代数わかんねぇーよあげぇぇーー！！！

Re:>219 テンソル代数の構成を一つ一つ見ていけば良く分かるが、
やはりテンソル代数をいきなり考えるのは難しいのだろうか？
とりあえず、基本となる体をkとして、k上の有限次元ベクトル空間をVとして、その双対空間をV*とするとき、
VとV*の幾つかのテンソル積の直和がテンソル代数の空間となり、そこに
同じ型のテンソルの和と、テンソル積を入れて、テンソル代数となる。
(TeXで書きたい。)

物理学的テンソルとそれに近い幾何学的テンソルがあり,
その座標成分を抽象化した(抽象)代数的テンソルがあって,
そのどれを話題にしているのかで混乱する.

>221
その切り分けさえできればテンソルなんて単純なものなんだけどねぇ。

表現論からテンソルを学んだ身からすると >>177 が一番自然な定義。
なんで V と V^* に限定して定義するのかわからん(いや本当は判ってるけどさ)。

Re:>222 It is easy to define tensor product for two vector spaces.
And don't confuse tensor product and tensor algebra.

テンソル積はHomの随伴関手である。
これが、テンソル積が重要な根本理由。
テンソル積の性質はHomの性質の双対を取ることにより自動的に
得られる。

俺はこのことを思いつくのにかなりの年数がかかった。
お前等は幸せだよ。何故なら、俺が今、大事なことを教えてあげたから。
いわば、コロンブスの卵だ。トリビアルと言って馬鹿にするのは、
大きな間違い。

悪かった。猫に小判だったな。

テンソルについて学び始めたいのだが
良い書籍ってあります？

テンソル解析 田代 嘉宏 (著) 裳華房
かな。

物理のテンソルの定義と数学のテンソルの定義って同値なの？
それとも包含関係にあるの？

テンソルは違う基底の空間を一つの空間に
まとめた空間ってことでしょうか。
テンソルの固有値というのはどういう意味を
なしているのでしょうか。

（・３・）工エェー

>>228
同値でも包含関係でもないＹｏ。
物理では、テンソル場のことをテンソルということが殆どだＹｏ。
同様に物理では、ベクトル、スカラーというと、ベクトル場、スカラー場のことだと思えばいいＹｏ。

>>229
>テンソルは違う基底の空間を一つの空間にまとめた空間ってことでしょうか。
二つ（または二つ以上）の空間の直積を自然に拡張したものと考えたらどうかな。

>テンソルの固有値というのはどういう意味をなしているのでしょうか。
たとえば二階テンソルの固有値は、その対応する行列の固有値と等しいＹｏ。

ありがとうございます。
では、固有値はどういうのに利用するのでしょうか。
たとえば、この固有値では物理学的にはどういう意味を
なすのでしょうか。

よかったらもうちょっと教えていただけるととてもうれしいです。

>>231
（・３・）工エェー

数学板というより物理板で聞いた方がいい気もするＹｏ。

たとえば量子力学では、観測可能な物理量Ｔは、ヒルベルト空間のエルミート変換として定義されるＹｏ。エルミート変換は、二階のテンソルの一種だＹｏ。Ｔを観測すると、エルミート変換Ｔの固有値が観測されるＹｏ。

>>232
その変換（作用素）をスペクトル分解して、どういう意味があるの？

25

>>233
変換が単純な成分に分解されるんだから、有益でしょ。

二年。

テンソルについて教えて下さい。

>>237
加群を勉強すれば、嫌でも学ぶことになるでしょう。

テンソルとテンソル場の違いを教えなさい

テンソルは４文字でテンソル場は５文字でつ

ベクトル空間のテンソル積の定義って、多様体論の教科書とかだと
V* (X) W* := {V X W → K（係数体）なる双線型写像全体} とする
ってなってることが多いけど、あれわかりにくくないか？
一般の加群のテンソル積の定義のほうがよっぽどわかりやすい気がするんだが。

解り易い必要が無い

>>241
うにばーさりてぃのほうですか?

多重線形代数の事だよ。

>>224

それいいね

例えば可換体論の超越拡大のとこで分離超越基の議論をする場合などでは
体を加群と見て加群のテンソル積で議論が進むでしょ（永田の可換体論参照）
あれってなんでかな？
テンソル積で考えると何か都合がいいんだろうなって感じするけどそれが何かわからない
拡大体の超越部分の構造を調べるために形式的にテンソル積を取ってる印象受けるんですよね

そもそもどうして加群のテンソル積が必要になったのかな？
Homの随伴っていうのはベクトル空間のテンソルを見るとよくわかるけど
加群のテンソル積の場合、加群としてのテンソル積にはどういういいところがあるの？

>>245のつづき

ベクトル空間を加群と見てベクトル空間ののテンソル積を取ると
テンソルはそのテンソル積の元になってる
でも一般の加群のテンソル積の場合テンソルって概念はないよね？
加群のテンソル積の元ってよくわかんないんです
確か表示の仕方も一意的ではなくなるよね？
これは加群のテンソル積で重要なのはその元じゃなくてその構造ってことじゃないかなぁ
構成法もとても意図的でしょ
普通の積（かけ算）が持つ性質を何とか加群の元に対して持たせようとしてるよね
だめだ　やっぱわからん

>>246
>加群のテンソル積の元ってよくわかんないんです
>確か表示の仕方も一意的ではなくなるよね？

よくわかんないんだったら、随伴関手云々とかいう話をする前に
具体例でテンソル積に慣れなきゃまずいよ。
Aをアーベル群としたとき、A (X) Z/nZ や A (×) Q がどういうもの
になるかすぐわかる？

も、もしかして、俺が以前に考えた「立体の行列」ってやつか！？





＜しかし実態はただの配列だった（鬱

>>247

すぐわからん！
考えてくる

>>247
具体的にはどんなものになるんですか？
定義そのまんまの説明だけは勘弁してね。

>>250
まず、A (x) Z/nZ は、A の中の 「他の元のn倍になっている元」をゼロに縮めた
もの、つまりA/nA。なぜなら、A (x) Z/nZ の中で na (x) 1 = a (x) n = 0 だから。

次に、A (x) Q (Qは有理数体) は、A の中の「ねじれている部分」
（∃m∈Z ma = 0 となるような a∈A）を消したもの（そして係数を Qに拡張したもの）。
なぜなら、a∈A をねじれ元とすると、A (x) Q の中で
a (x) m = ma (x) (1/m) = 0 だから。
一方、自由元は消えない。
A が有限生成のとき、A = 「自由部分(階数r)」(+)「ねじれ部分」 とすると
A (x) Q はQ 上 r 次元ベクトル空間になる。

どちらの場合も、こういう感覚的な説明だけじゃ不安だったら、
A × Z/nZ → A/nA、A × Q → Q^r という双線型写像を
具体的に構成してそれがテンソル積の普遍性を満たすことを示せばいい。

一般にM, N を R-moduleとするとき（簡単のためRは可換とする）、
M (x) N ってのは、{m (x) n | m ∈ M、n ∈ N} で生成されるR-moduleで
rm (x) n = m (x) rn、(m + m') (x) n = m (x) n + m' (x) n、m (x) (n + n') = m (x) n + m (x) n'
という性質を満たすものの中で、「一番大きい（縮んでない）」もの、もしくは
「一番手前にある（写像の前後関係で）」もの。
これを抽象的にきちんと言うと、「テンソル積の普遍性」になる。

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

5

Re:>230 テンソル積は、直積の拡張ではない。

578 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2004/01/04(日) 14:32
テンソル解析しかわかんないジジイが微分幾何の教授なんですけど
どうしたらいいでしょうか？
ハウスドルフ収束って知ってますか？　って教授に聞きたいでつ

微分幾何も幅広いからな

>>254
久し振りにみた。ますまにあ

（日）

Re:>255 テンソル解析をやるには、線型代数→テンソル代数→テンソル解析というステップと、
微積→テンソル解析というステップが必要。
この程度では、大学の初めの方ぐらいしかフォローできないが。

>>254
物理屋さんがよく量子力学で状態空間のテンソル積を直積と同じ
×で書いて、それ見た学生が直積と勘違いしてハマッテルよなー。

初学者だが、テンソル積って

「双線形性を持つように細工された直積」

ってな認識で良いの？

>>261
微妙な言い方だな。
分かってる人にはそれでもいいけど、初学者なら人による表現だな。

>>261　（・３・）工エェー

>>254は、その表現をお気に召さないみたいだが、それでいいと思うＹｏ。

>>262
>>263

ありがと。 精進します。

位相ベクトル空間のテンソル積の分かりやすい教科書はないのか？
Banach, Hilbert の場合でもいいが。

Re:>>261 その言い方では誤解が生じやすい。
テンソル積空間は、もとの空間の基底の直積を基底とする線型空間であるという認識が正しいだろう。
Re:>>265 個人的には、テンソル積空間に誘導される位相を知りたい。

⊗は
&8855;と書くと出る。
これが使えないなら(X)だろうか？
参考:
www.htmq.com/text/index.htm

&#8855;だった。
一部のブラウザではcircle timesは表示されない。

age

166

15

>>266
代数になるような直積が欲しかったの？

スピノールって何ですか?　本を読んでたら2次元複素ベクトル空間
の元って書いてあったんだけど(読み間違いかもしれませんが)、何
のことかよく分りません。

hosyu

加群のテンソルというのは、恥ずかしながら初耳です。自分は独学しているのですが、テンソル代数を学べる本を何か教えていただけないでしょうか？

>>275
ベクトル空間は体上の加群のことだから
一般の環上の加群のテンソル積をとるのは特に変わったことはないよ。

>>275
寧ろ普通テンソル積っつったら加群のテンソル積のことを云うと思うけどな。

>>276
>>277
そうなんすか？僕はテンソル積はベクトル解析の方面から知ったので、｢実物｣を物理で使うテンソルしか見たことがないのもあって、加群のテンソル積というのはとても目新しいです。
代数からのアプローチは、代数学の本なら載っているものでしょうか。

>>278
代数で云うテンソル積は代数関係の本なら載っているものは多いと思う。
索引で調べてみるのがよいかと。

ここのスレで本当にテンソルがわかってる奴いるんだろうか。
かなり疑問。なぜなら肝心な「あること」に気が付いていないから。
それがわかればテンソルなんて全然怖くない。
「あること」とはなんでしょう？

ないこと

>>128
の言っている擬スカラーってのは、３階の微分形式であって、スカラーってのは０回の微分形式であると、そういうことですか？
遅レスですがどなたかお願いします。

>>281 不正解

>>280
テンソルの変換性は多重線型性に基づいてるとかそういうの？
(少しヒント希望)

Re:>>284 ? 何か良く分からない云いかただなぁ。
まぁ、テンソルを多重線型写像によって表した場合は、テンソルの変換性は多重線型性から云えるが。

>それがわかればテンソルなんて全然怖くない。

肝心な「あること」が何なのかわからないが
それでもテンソルなんて全然怖くない。
ほぼ毎日使いまくってる。

使えることとわかることは別じゃない？

答えを先延ばしにする奴の「お前ら分かってない」ってのは
大抵トンデモorハッタリor既出なのが2ch、ってのなら分かってる。

>>282
３次元のベクトル解析ではそれでよいでしょう。
まあ ベクトル解析は いわゆるギブス流の解かりやすいがアホくさい
やり方が蔓延してしまった。数学屋にとってベクトル解析は、雑多な
汚れ仕事なので皆手を出したがらない。例えば 微分形式は代数がきれ
いだが計量が入ると、計算に苦戦することが多いだろう。Flandersの
Differential Forms with Applications to the Physical Sciences
(ISBN 0486661695)はこれを見越してHodge star operatorを使うように
なっているが次元があがるとこれも面倒なことが多い。ではどうするか
というとグラスマン代数からクリフォード代数に乗り換えて単位擬スカラーJ
を掛けると符号を除けばHodge演算子を作用させたのと同じになる。
次数付き加群としてグラスマン代数とクリフォード代数は同型だから
これらの計算に何の矛盾もない。内積の大きさを0に退化させれば
クリフォード代数は外積代数に退化するので、内積の大きさをプランク
定数とみなせばクリフォード代数の古典力学極限が外積代数、逆に言えば
外積代数の量子化がクリフォード代数といえる。ではなんでもクリフォード代数
でやればいいかというとそう単純でもない。トポロジカルな不変量を求めたい
時には苦戦することが多い。そこで不敗魔積分の登場となるのだが、。。。。

>>288　ではお答えしないことにします。
私が提示しようとした考え方はテンソルに限ったことでは
なく、数学全般につき、理解を深める考え方なのですが、
教えないことにします。この考え方だと、例えば
完備化についても良くわかるのですが。

>>290
やはりトンデモだったか

>>289
単位擬スカラーJをかけるのは添え字の上げ下げですね。ホッジ演算子は合理的ではありますが、物理的意味などがわかりにくいです。むしろそんなものないのかもしれませんが。
ベクトル解析はやっぱり汚れ仕事ですか・・・

>>290
教えてくれよ先生

Re:>>292
ベクトル解析では発散定理という重要な定理が出てくるのだが…。

>>293
発散定理は３次元の場合のストークスの定理でいい、ってことじゃないんですか？

Re:>>294 三次元のストークスの定理は法線方向に関する面積分と接線方向に関する線積分の関係だよ。

それは１次と２次の微分形式に関するストークスの定理では？
２次と３次の微分形式に関するストークスの定理は発散定理になると思うのですが。

Re:>>296 ストークスの定理には、微分形式の積分のものの他に、[>>295]で挙げたものもストークスの定理と呼ばれている。

"ストークスの定理"という呼び名が一見総合的に見える微分形式のストークス定理に統一されないのは何か理由があるんですか？

>>290が言いたいのは写像の普遍性質のことなんでないの？

>>299
なーんだ
そんなの誰でも知ってるし大事だってわかってるじゃーん
つまんね

座標変換（回転）に対する変換性として、以下の性質がある。

（１）スカラー
任意の回転に対してその成分が不変。（いわゆるスピン0）

（２）ベクトル
360°の回転に対してその成分が不変。（いわゆるスピン1）

（３）スピノル
720°の回転に対してその成分が不変。（いわゆるスピン1/2）

（４）テンソル（2階）
180°の回転に対してその成分が不変。（いわゆるスピン2）

>301
なぜ この4つしかないか?言わないと無意味なかきコダ。
そんなお勉強では、数学は無理。
40°の回転に対してその成分が不変。(いわゆるノータリンPU)
が存在しないのはなぜ。また逆に4つが存在することをしめせよ。

>>KingMathematician ◆5lHaaEvFNc

印刷室で2chするの止めてくれない？
かなり邪魔なんだけど。
これからは院生室でやってくれ。

Re:>>303 ん？とっくの昔にそれは止めたが。

Re:>>301 何というか…。吾の考えていることと若干違うような気がする。
ちなみに、テンソルの性質は、[>>198]で説明してある。

>>304
よく3階の印刷室で見かけるのだが。。
ところでN先生とのセミナーうまくいってる？

Re:>>306 うまく行ってるも何も、2ヶ月ほどセミナー休みなのだ。

>>306じゃないが横レス。

修論書けそうか？＞KingMathematician

修論…。
先ず、テーマを何にしようか？
そして日本語で書くか英語で書くか？
Re:>>308 来年度には書かなくてはいけないが、今のところ修論の具体的なイメージが出来上がっていない。

[>>301]の(4)は、どういうことなのか？180度回転とは、直交する2軸に関して反転させるということか？
それだと、考える空間の次元によっては、成分が変わりそうなのだが…。

>>310
お前歳いくつなの？

整数論にテンソル出てくる?

>>309
じゃあ、俺の修論を書いてくれ。非アルキメデス的局所体上定義された
簡約群の表現論関連ならなんでも構わんから。

＞非アルキメデス的局所体上定義された簡約群の表現論関連ならなんでも構わんから。
何回か見かけるけど、これは数学板のお約束なのでしょうかね。

Re:>>313 書くという作業だけでも丸一日かかるのだよ。
もし書いたのなら、手数料を100万円ほど頂くことにしよう。
Re:>>311 内輪ネタはもう終わりにしてくれ。

>>315
あんた何がやりたいの？
数理ではあんた有名だよ。

>>314
そういうことにしておいてくれると非常に助かる。

>>315
えーと、君が数学板を荒らした迷惑料と大体チャラか迷惑料が倍ほど多いぐらい
だからそれで相殺して交渉成立だな。じゃ、是非頼む。

ロマンシングソガ

きんぐまーちゃんは全然荒らしてなんかいないでしょ。

Re:>>316 数学の話題のネタを探しているのだよ。
Re:>>317 君は数学板の管理者か？
Re:>>318 ロマン■ングSaGaだろうが。
Re:>>319 その通りだ。荒らしは[>>317]に決定。

>>320
で、いつ書いてくれるの？＜p-進簡約代数群の表現論について

クリフォード代数って…やっててもなんか意味不明だ。何でこんなものが発明されたのですか？？

>>322
たとえばスピノルに用いられる。
とか言いつつ、私も今勉強中なのですが

なるほど。スピノールもわかんねーや。へへへ

応用地震学が専門です。一番お気に入りの教科書が面倒なことにダイアディックを多用しています。
どなたかダイアディックとテンソルの関係を教えてください。

ダイアディックは 初耳ですが、2つのベクトルから
定義される、バイベクトル(bivector)のことではないかと
思われます。テンソルですが グラスマン代数の外積で２次
の要素のことではないか? cliffordでもいえる。応用系では
２次不変式を 応用する分野がいろいろあるので 異なっている
名前がついているのではないかと想像する、名前の点では
数学は統一されているのでわかりやすいが。。。。。

Re:>>325 ダイアディクは幾つかのダイアッドの線型結合のことを云う。
ダイアッドは、基底ベクトルと双対基底の一つのテンソル積のスカラー倍である。
まぁとにかく、ダイアディクは(1,1)テンソルのことだ。

Re:>>325 すまなかった、よく考えないで[>>327]を書いた。
ちょっと手許に資料もないから確認できないのだが、
[>>326]の云うように、バイベクトルであることは確かだ。
(2,0)か(1,1)か(0,2)か、それが問題だ。

ダイアディクは、(2,0)テンソル。つまり、２階反変テンソル。べつに共変でもよい。なぜなら、ダイアディクを使うのは物理の初歩のレベルだと思われるから。
慣性モーメントテンソルのようなダイアディクなら、当然２階反変になる。まぁあまり変換性を云々することに意味はないと思われる。
ヒズミテンソルや応力テンソルを使うんだと思うが、変換性は適宜自分で考えてくれとしか言いようがない。
ダイアディクは、このような２階のテンソルに特殊な演算規則を加えたものを言う。すなわち、ベクトルとの内積とベクトルとの外積。
どちらの演算も、ダイアディクの近いほうとの内積、外積を行う。
ゆえに、ダイアディクとベクトルの内積はベクトルになり、外積はダイアディクになる。
こんなところでよろしいか？>>325

大勢の人に書き込んでいただいて感謝しています。正直よくわからないのですが、
もう少し勉強してみます。

調子に乗ってもう一つ質問しちゃいます。連続体（私の場合は地球とか地殻とか
ですが）の弾性的な性質を表示するスティフネステンソルは3×3×3×3の4階テンソル
ですが、対称性がいろいろ入ってその成分の数は最大21個です。だから私の分野では
よくこれを6×6の対称行列で表示します。で、というかひょっとするとこっちが
そもそもの理由かもしれませんが、固有値が6個なので物理的に本質的な成分も実は
6個で、あとは幾何学的な成分だと考えられます。ところが、6個もの成分を扱うことも
実は大変で、少なくとも地震屋はそれに慣れていません。そこで、（例えば岩盤中に
並行に亀裂が入っている場合のように）3個程度でやっつけたいということになります。
つまり空間（岩盤）を、少なくとも局所的には3個の成分で考えても良いもの（つまり
そのような都合のいい直角座標が存在する）と仮定して、各成分そのものと、対応する
（直角）座標のとり方ぐらいを観測データを扱う物差しとするのがやっとということです。
そして、そんなことをやった人はいません。
前置きが長くなりましたが、空間内で座標が変動する様子を記述する数学には
どんなものがあるか、また、それを知るにはどんな本を読めばいいかなどについて教えて
いただけるとありがたいです。

Re:>>331 テンソル解析。

>>332さん。有難うございました。もっと私が聞いたことがないような分野名が
出てくるのかと思っていたので意外です。例えば佐武先生の本なんかをちゃんと
理解すれば、微分幾何だのなんだのって話にまでならなくてもわかるって
いうことでしょうか？それともそういったことまで含んだ意味でのテンソル解析
でしょうか？ちょうど今、佐武先生の本を読んでいて、やっとジョルダンの
ところを過ぎたあたりなんですが、パラパラとテンソルの章をめくってみて、
とても私の問題の糸口がつかめそうもないのですが・・・

あなたの求めているのに もっとも近い手法は、Cartanのmoving frame
(動標高)の手法ですが、331をみると大域で扱う必要があり、frame bundle
などのfiber bundleを身に着ける必要があります。まあ大域は応用分野では
計算機にやらせるのかもしれませんが。。。
このへんで有効かどうかは、The Geometry of PHYICS by THEODORE FRANKEL
(2版が最近でた)のAPPENDIX A を見てみたらどうか。
A.a The classical Cauchy Stress Tensor and Equations of Motion
A.b Stresses in Terms of Exterior Forms
A.c symmetry of Cauchy's Stress Tensor R^n
A.d The Piola-Kirchhoff Stress Tensors
A.e Stored Energy od Deformation
A.f Hamilton's Principle in Elasticity
A.g Some typical computations using Forms
ただしこの本で学習は勧められませんが、この本はロシアの研究者に
学生に出すテスト問題に良いよとすすめられたものです。はじめて学ぶなら
微分形式と接続 R.W.Rダーリング ISBN 4894712342 が自習書としては最適
です。日本で売り切れていたら洋書もあります。

>>334
＞331をみると大域で扱う必要があり、
そうは読めんが。地震なら局所的に扱えればいいだろう。

そもそも問題は６つの固有値から３つをとるってところだから
幾何以前じゃないか？まずそこをやってみれば、大したことない
話かもしれんぞ。

独立成分２１個の４階テンソルといえば、弾性コンプライアンスですか？
ダイアディクといい、なかなか古い本をお使いなのではないですか。
弾性コンプライアンスの周辺は、武藤という人の書いたテンソル解析入門(森北出版)で見たことがあります。
あなたの話からすると、この本は最適だと思いますが、これはいくぶん古い本なので図書館に行かなければないでしょう。
参考になれば幸いです。

>>335
いや 観測量との対応を見たいように書いてあるのでね。

>>338
いや、それは君の妄想だろう。

では どうやって 立てた理論なり、計算なりの妥当性を
判定するの?

>>340
なぜ理論や計算の妥当性の判定を行うのに
大域的でなければいけないと決め付けるんだい？

GO_MAXIMAは数学と自然科学の区別ができない
オ馬鹿サンと思われ。

なんか、どんどん教えていただけちゃって感激しております。
>>334さん、有難うございました。本気で勉強してみたいと思います。
>>336さん、私の質問がまずかったようです。まず私の最終ゴールは逆問題です。
地震波のデータから弾性定数の分布を求める問題なのですが、逆問題としての
適切性は無視すればいきなり21個のパラメタを求める表現はすでにわかっています。
331に書いたことは、仮に21個求まっても座標の取り方を含んでいるので意味は
ない、またたおえ6個を求めにいっても、結局それを物理的（あるいは工学的）に意味
のある使い方をすることができないから、あるてきとうな局所体積内で3個であらわせる
ことを仮定したい、というのがまず前半です。ところが当然のことながら、その適当な
局所直角座標は、空間位置がかわれば（3個というパラメタをあてはめる精度に依存した
速さで）回転するであろうから、その回転自体をも同時に解かなくてはならない。
となれば、まず、その回転を表わすパラメタを変数に含む形で観測波形を定式化して
やる必要がある。そのとき必要な数学的な道具は何でしょうというのが後半です。
>>335,>>337さんも有難うございました。

>>343
かん太君は線形代数の単位は落っことした？
ちゃんと取ったよね。だからいうんだけど３個選ぶなら
６個求めに行かないとダメだよ。でこれは座標の取り方
によらないことは、線形代数の単位を取ったならわかる
よね？
で、３個選べば固有ベクトルも分かるよね。ってことで
全部君が1年生のときに習った線形代数で解決できるよ。
わかったかい？

fiber bundle云々はともかく、[>>331]が問題にしているのは物性ではないかと思われる。

>>342 かん太氏は応用地震学が専門といっているだろ、
なら 自然科学の立場で 観測量との対応が一番大事。
と 煽りにマジレス、かっこわるいかな。

>>346
つか貴様のように数学だけで無矛盾性が示せると考えるのは
もっとも馬鹿げた妄想だっつーの。氏ねや

>>344さんへ。343の書き方もまずかったですね。私が書いているのは1個では表現できない
空間に、その局所的な体積ごとに無理やり1個のテンソルをあてはめ、かつそれが一般の21個の
成分を必要とする場合以上に対称性をもっていて、局所体積内の座標をうまくとることによって
独立成分が3個になるということを仮定して（この仮定ははずしても問題は同じだと思うのですが）、
その独立な3個と座標の取り方を最適化したいということです。
従ってたぶん座標を適切な速度で回転させてやる（つまり1個のテンソルをあてはめる局所
体積の大きさみたいなものも適切に決めてやる）ことが必要になると思うのですが。
またしても、うまく表現できていないかもしれませんが・・・

938

みなさん、こんにちは。

統計学専修しているものですが、空間データ、
つまり２次元、３次元の座標を持つデータ分析を
行っています。

例えば、空間上の標本データから、観測値が得られて
いない地点のデータを推定する（確率変数自体の
推定ですから、予測といいます）ことを行って
います。
確率補間とか、smoothingと言ったりしていますが、
まあ、同じようなものです。
で、先日友人から計量テンソルについて、すごく
簡単に説明してもらったのですが、友人も詳しくは
知らないみたいなんですが、そのような分析に
計量テンソルは使えるのでしょうか？

また、お勧めの本などありましたら、教えていただき
たいと思っていますが、私の線形代数の知識は、せいぜい
学部２年生の平均ぐらいだと思います。
どなたかご存知の方いらっしゃいましたら
よろしくお願いします。

>>350
学部二年程度の知識があるなら、
　野水克己、現代微分幾何入門、裳華房
等はどうだろう。最近復刊された本で、明快にRiemann幾何を説明している。

>>351
　ぐはあ、微分幾何ですか・・・。
　友人からは、おまえにはまだ微分幾何は無理だべ？
　って言われているのですが、今、検索したら大学の図書館には
　おいてありますので借りて見てみます。
　ありがとうございました。

>>333
佐武の線型代数はテンソルについては書いてあるけど、
テンソル解析は書いてないんじゃ。

>>350-352
古典的な微分幾何を知らずにいきなりあの本は読めんのじゃ？

>>353
　微分幾何のもうちっと易しい本ってご存じでしたら
　教えてください。
　よろしくお願いします。

>>352
抑も計量テンソルとは、擬Ｒｉｅｍａｎｎ多様体上に与えられる二階共変テンソル場のことだから、微分幾何をやらないとダメです。
「学部２年生の平均」というのは微妙な線だが、多様体の初歩が判っていれば、この本は読めます。

Ｒｉｅｍａｎｎ多様体上の計量テンソルを理解するだけで良い、というのであれば、多様体の本を読めば、それなりに書かれている。
これなら、微分幾何を習うより必要な基礎知識が少なくて済む。
例えば、
　　松島与三、多様体入門、裳華房
はどうか。古い本だが、計量テンソルやテンソル場についても十分に解説してある名著だ。

>>353
古典的な微分幾何とは何を指すか判らないが、あの本は、素人にはきついのは確かだ。
基礎知識として、ファイバー束とリー群をある程度知っていた方が読み易い。
でも、本当に学部二年程度の知識があるなら、読めないことはないと思うよ。

>>355
　ありがとうございます。
　検索したら、大学の図書館に６冊もあります。
　明日、見てみます。

学部２年生の平均で読めるか、じゃあ漏れは平均以下だな。
２年の頃、あんなん絶対読めんかったyo...＿|￣|○

>>357
人には得手不得手があるから、平均通りにはいきません。
微分幾何は苦手でも代数は得意とか。

因みに私は、数学は苦手だが工場勤務は得意です。

テン、テン、テンソル、テンソロリ、
テン、テン、テンソルの、足が逸れて♪

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