数学的帰納法

なんかインチキ商法みたいだニャー

君にとっては無価値だろう。　ブタに真珠とでもいうべきか。

某数学関連書籍で
「ある部屋にＮ人いるが、その部屋に男女が一緒にいない」を、
数学的帰納法で証明してたな。

もちろん、いかさまだけど。

1がハゲであることの証明

1.髪の毛が０本の状態はハゲ
2.髪の毛がN本の状態をハゲと仮定する
　　　ここに髪の毛が１本ぐらいふえても、全体像に影響はなくハゲはハゲであろう
　　　つまり髪の毛が N+1　本の状態もハゲである。
３．　１，２より任意のN>=0について　髪の毛がN本状態はハゲである。

よって１は髪に毛は何本あるかしらんが、ハゲである。

などとやられると、インチキくさい。。

「すべての碁石は黒い」ってのもあったね。

>>4
おもろい

>>4
>ここに髪の毛が１本ぐらいふえても、全体像に影響はなくハゲはハゲであろう

いや、1本の違いは大きいよ。

>>7
確かに，波平の一本は存在感がある。

>>5
「すべての碁石は黒い」じゃなくて
「碁石の山は常に全部黒かまたは全部白である」
というやつだね。
これは，１から２に行けないというのが種明かし。

＞５の話はどうやるの？

>>9
わからん。わかりやすく説明してくれ。スマソ

1個の山は１色である。
n個の山は必ず１色であると仮定して
n+1個の山の場合を考える。
山から1個取り出した残りは
帰納法の仮定より１色である。
取り出した1個を山の1個と取り替えた山も1色である。
したがって元の山のn+1個は1色である。

>>12
なかなか笑えるネ

要するにドミノだな。
でも、有限の範囲でしか使えないことに注意が必要だ。

例えば、0.9 + 0.009 + 0.009 + ･･･　は項が有限個の範囲で１未満だが、
無限個になると･･･

＞14
え？、それ数学的帰納法で証明してみてよ

>>15
どれ？

＞ 0.9 + 0.009 + 0.009 + ･･･　は項が有限個の範囲で１未満

ってとこだよ
って、ダメじゃん！！

なんだ、ただの揚げ足取りか。

いや、
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（有限個）< 1
っていうのでもいいよ。
出来るの？

できるんじゃない？

>>19
できないの？

>>19
０．９＋１／１０＝１。

S_ｎ = 0.999999999 (9がN個)と表記する

1-S_n= 10^(-n)を示す

1) N=1 について成立OK
2) N=K で成立を仮定
1 - S_(k+1) = 1 - Sk - 9 * 10 ^ (-k-)
= 10 ^ (-k - 9 * 10^(-k-1)
= 10 ^ (-k1) ( 10-9)
= 10 ^(-(k+1))

3) 1,2 から　かってな　nについて
1 - S_n = 10＾(-n)　　＊


＊の右辺は正だから 1 - S_n > 0

あえて帰納法で示すならこうだろ。

０＜１

０．９＝０．９＋０／１０＜０．９＋１／１０＝１

０．９＋０．０９＝０．９＋０．９／１０＜０．９＋１／１０＝１

０．９＋０．０９＋０．００９＝０．９＋（０．９＋０．０９）／１０
＜０．９＋１／１０＝１

０．９＋０．０９＋０．００９＋０．０００９
＝０．９＋（０．９＋０．０９＋０．００９）／１０
＜０．９＋１／１０＝１

わざとややこしくしてみる。

命題を、
「{0.9 , 0.09, ・・・, 9/10^n}のうち、k個選んで、(1≦k≦n)
　{a1,a2,・・・ak}とおく。ただし、a1<a2<・・・<ak=9/10^mとする。(1≦m≦n)
　このとき、a1+a2+・・・+ak < 1/10^(m-1)が成り立つ」
と変える。k=nのときm=1だから、元の命題を含んでいる。
kについての数学的帰納法で解く。

k=1のとき
1/10^(m-1) - ak =1/10^(m-1) - 9/10^m
=1/10^m
<1/10^(m-1)

k<pのとき成り立つと仮定して、k=pのとき
a1 + a2 + ・・・ a(p-1) + ap
を評価する。

ここで、a(p-1) = 9/10^m' とおくと、a(p-1) < ap より、
9/10^m' < 9/10^m
故に　m'>m　（m'-1 ≧ m)
また、帰納法の仮定からa1 + a2 + ・・・ a(p-1) < 1/10^(m'-1)
よって、
a1 + a2 + ・・・ a(p-1) + ap < 1/10^(m'-1) + ap
= 1/10^(m'-1) + 9/10^m
= 1/10^(m'-1) + 9/10^m + 1/10^(m'-1) - 1/10^(m'-1)
≦ 1/10^(m'-1) + 9/10^m + 1/10^m - 1/10^(m'-1)
= 1/10^(m-1)

証明おしまい。

>>25
ｋ＝１のとき証明になってない。

＞= 1/10^(m'-1) + 9/10^m
＞= 1/10^(m'-1) + 9/10^m + 1/10^(m'-1) - 1/10^(m'-1)
＞≦ 1/10^(m'-1) + 9/10^m + 1/10^m - 1/10^(m'-1)

わざわざ足したり引いたりする必要はない。

＞ｋ＝１のとき証明になってない。

あ、ほんとだ。

訂正：
k=1のとき
ak = 9/10^m = 10/10^m - 1/10^m = 1/10^(m-1) - 1/10^m < 1/10^(m-1)

＞わざわざ足したり引いたりする必要はない。

あああ・・・そりゃそうだよねえ・・

訂正：
= 1/10^(m'-1) + 9/10^m
≦ 1/10^m + 9/10^m
= 1/10^(m-1)

さらに拡張してみる。

「{(t-1)/t , (t-1)/t^2, ・・・, (t-1)/t^n}のうち、k個選んで、(tは正の整数, 1≦k≦n)
　{a1,a2,・・・ak}とおく。ただし、a1<a2<・・・<ak=(t-1)/t^mとする。(1≦m≦n)
　このとき、a1+a2+・・・+ak < 1/t^(m-1)が成り立つ」

k=1のとき
ak = (t-1)/t^m = 1/t^(m-1) - 1/t^m < 1/t^(m-1)

k<pのとき成り立つと仮定して、k=pのとき
a1 + a2 + ・・・ a(p-1) + ap
を評価する。

ここで、a(p-1) = (t-1)/t^m' とおくと、a(p-1) < ap より、
(t-1)/t^m' < (t-1)/t^m
故に　m'>m　（m'-1 ≧ m)
また、帰納法の仮定からa1 + a2 + ・・・ a(p-1) < 1/t^(m'-1)
よって、
a1 + a2 + ・・・ a(p-1) + ap < 1/t^(m'-1) + ap
= 1/t^(m'-1) + (t-1)/t^m
≦ 1/t^m + (t-1)/t^m
= 1/t^(m-1)

だから例えば、
23/24 + 23/24^2 + 23/24^3 + ･･･ （有限個）＜　１
とか、
106/107 + 106/107^2 + 106/107^3 + ･･･ （有限個）＜　１
とかそういうのはみんな成り立つ。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（有限個）< 1
はそのうちの１つ。

＞２３，２９
まあ、 成り立つのはわかるけどさ。
数学的帰納法の仮定に、
S_n<1
と、nに依存しない定数をおいて出来るかなって思ったんです。

age

３と５って同じ事を言ってる

>0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（有限個）< 1
なんだけど
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（無限個）= 1
となるのは数学的にはわかるけど納得がいかん。

小学生？の時に習った循環小数を分数に直すやり方だと
１になるのだがその結果を小学生に納得させられんだろな

＞数学的にはわかるけど
うそつけ

ここでも 0.999999.... =1 がでるのか
どこにでも現れるゴキブリみたいなもんか

いや、自分ではわかるんだが
別スレあったんでそっちに逝ってきたんだが
小学生にはやっぱ難しそう

答えが見つかるまであっちのスレを見守っているよ

>>34-36
1-0.99999･･････ =0.00000･･････
と考えれば、納得する人もいるんじゃないかな。

>>34
「=」って記号を使うから、混乱が生じるんだろうね．
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（無限個）と 1 が等しいのではなく，
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・の足し算を限りなく続けていくと
どんどん1に近づくよって意味だと分かればいいんだろうけど．

>>39
そもそも0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（無限個）という
表記の意味がきっと２通りあるよね。

0.999999･･･
という意味なら＝１です。
なぜなら0.999999･･･＝１は表記上の定義だから。
どうしてそう定義するかというと、
もし0.999999･･･＜１と定義したら0.999999･･･と１の間に３つ目の実数が存在します。
その実数は１より小さいので、１−ε（ε＞０）としましょう。
すると0.999999･･･≦１−ε＜１ですね。
ということは0.999999･･･＋ε≦１です。
でもこれっておかしい。0.999999･･･にどんな小さな正の実数を足しても、
１を越えちゃいますよね。
だから、0.999999･･･＝１とする以外に逃げ道は無いし、
そうしたからと言って矛盾も出ないので定義不能でもないのです。
これが0.999999･･･＝１の真相です。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・の足し算を限りなく続けていく
という意味なら＜１で、限りなく１に近づきます。≠１です。
なぜなら・・・＋（有限個）のときに＜１だから。
つまり、限りなく続けるということはゴールに到達しないという意味を含むので、
ゴールすなわち＝１には決して届かないのですね。

＞0.999999･･･
＞という意味なら

0.999999･･･の意味って何だよ？
＃0.333333･･･を３倍したものってか？

>>41は
長い文章が読めないか、
数式が読めないか、
どっちも読めない人です。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・（無限個）
の意味として、
Ａ：0.999999･･･という意味
Ｂ：0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・の足し算を限りなく続けていくという意味

と言った場合、Ａの意味とは何か？ってことだよ
その意味があるのなら、この問題ではわざわざ
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・
って書かなくてもいいだろ？

>>41
をさらし上げ（ｗ

>>41

>>34 をよく読め

あ、ここでは
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ・・・
から始まってるんだな。
勘違いしてたよ。
もっとさらして上げてくれ

>>38はいい着想だ。
新しい。

>>40　う〜ん。
　　　やっぱり「＝」に釈然としないものを感じる。
「0.999999･･･にどんな小さな正の実数を足しても、
　１を越えちゃいますよね。」と言ってるが、
その足す数も0.00000･･･1としていけば
0.999999･･･と１の隔たりの存在は明確のような気がする。
なんていうか、直線上の無限個の点の話みたいに。。。
１と0.999999･･･の間に点はないけど、確かに２つの（隣り合った）点である
んじゃないかなあ。。。

lim x　< 1
x → -0

>>49
当たり前だっツーの！
意味のねー式書くな！

>>48
＞「0.999999･･･にどんな小さな正の実数を足しても、
＞　１を越えちゃいますよね。」と言ってるが、
＞その足す数も0.00000･･･1としていけば
＞.999999･･･と１の隔たりの存在は明確のような気がする。

0.00000･･･1と書いた時点で有限小数になりませんか？
それとももし、lim(n→∞)1/10^n のことをイメージしているのなら、
それはやはり、限りなく近づくほうの意味になるので、確かに
＝１にはなりません。

lim(n→∞)1/10^n のゴールは０です。
つまり、0.00000･･･1を、「限りなく小さくしていく」という意味ではなく、
「明確に存在するある実数の表記」として定義するなら、
0.00000･･･1＝０なのです。

0.00000･･･1は正の実数として定義できません。
0.00000･･･1＞０とすると、0.00000･･･1より小さい正の実数が存在することになりますが、
そんな数はちょっと思い当たらないのですがどうでしょうか？

どんな小さな正の実数でもそれより更に小さい正の実数があるように、実数は定義されています。
言い換えると、実数は連続していて、数直線上に穴は無いということがまず最初にあるのです。
もし、0.999999･･･≠１だったら、この２つの実数の間に穴は無いという理由から
その間には無数の（１つじゃないですよ）実数が存在します。
0.999999･･･より大きくて１より小さい実数を「無数に」記述することが可能でしょうか？
これが「表記上の」理由です。
「0.999999･･･にどんな小さな正の実数を足しても、１を越えちゃいますよね。」
というのはそういう意味です。

みんな頭がいいんだワン

上ので、納得できなかったら、こんなのはどうでしょうか？

0.999999･･･と表記される実数を、
任意の自然数ｎに対して、
1 - 1/10^n
以上で１以下の実数として定義したい。（これはいいよね？１未満は１以下に含まれるし）

すなわち少なくとも、
1 - 1/10^n≦0.999999･･･≦1
を満たすように、定義したい。

今、
lim(n→∞)1.0 - 1/10^n　＝１

よって、はさみうちの定理より0.999999･･･＝１
と定義しないと矛盾が出る。


0.999999･･･＝１に釈然としないというのは、
９がいくら続いたって１に到達するわけないじゃないかということだと思いますが、
実際に0.999999･･･を定数として定義するとなると、現在の数学では＝１とするしかないのです。
なんか狐につままれた感じですが無限を扱うとそういうことがたまにあります。
0.3333･･･のどの３に３をかけても９にしかならないのに、
全体に３をかけると１になっちゃうんですよね。
「･･･」ってなんか怪しげです。

自然数と偶数の個数（濃度）は等しい（１対１対応がつく）というのも、
個人的に気持ち悪いんですが、でも無限ってそういうもんだと思って割り切ってます。

>数直線上に穴は無い
別に整数にだってそれ自体に『穴』は無いよ。
逆に実数だってその上位からみればスカスカ

>>54
＞別に整数にだってそれ自体に『穴』は無いよ。
＞逆に実数だってその上位からみればスカスカ

それはそうですが、だから何？

>>53
ああ、それそれ!!
「はさみうちの定理」で大納得!!
円周も内接する正ｎ角形と外接する正ｎ角形にはさむってことを
思い出しました。　はさむというか閉じ込めるというか。

n^(-1)が０に近づく証明は？

>>57
lim[n→∞]ｎ＝∞より明らか

以上の証明は証明にあらず。
　0.9999999･･･=1 ⇔　「以上の証明」　
つまり言葉を変えて表現しただけ。
0.999999･･･=1 の成立を疑うこと自体ナンセンス極まりない。
素人のたわ言に過ぎない。