ピタゴラスの定理の証明

ピタゴラスの定理の証明を幾つか教えてください
個性的な証明方法とかあったらおしえてチョン

チョンの方ですか？

これよりうまい証明は無いでしょう。その意味で世界新ですねぇ。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/vector/pitago/no005.html

>>3
http://www.wcsnet.or.jp/~miyaguti/ntsanani.htm
が無駄に気に入った。

何でもありなら
(sin x )^2 + (cos x)^2 =1 が
ピタゴラスの定理とは関係なく証明されてるものとして
これを使う。

>>3
笑止。氏ね。

相似な三角形の原理を使えばそんなにむずくない。

ウンポチンチン

>>7
直角三角形の90度をなすところの頂点から垂線を引いて相似を使うって
やつのこと？
あれは簡明にみえるだけでいまいち。
極論すると>>5と大同小異（ｗ

ほかにないでっか？

「ピタゴラス」と表記してる時点でもうダメ。

>>9
　おれ、相似を使うの好きだけどなー。いろいろ利用価値あるし。

　一番一般的なのは、直角三角形の各辺を一辺とする正三角形を
３つ描いて、小さい正方形の面積＋中くらいの正方形の面積＝
大きい正方形の面積　を証明するのが多いかな？これは補助線を
いかに引くかが課題で、色々な証明方法があるんだけどね。

>>5
それを使ってどうやって証明するの。

ピュタゴラスって表記するとどうなの？
ピタゴラスではなにがだめなの？
何が違うの？

どうやっても何も
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1
自体ピタゴラスの定理だよ。
半径１の円周上の点と中心を頂点とする直角３角形を考えればわかる

５では　他の方法で
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1 が証明済みとすれば

斜辺 の長さ r
一方の辺 a r* cos(x)
もう一方の辺 b r* cos(x)
x は r と aの角度からでる。。

>15
ピタゴラスなしで
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1
はどう証明しようか

なんでもありなら　オイラーの公式を使って
exp(ix) * exp(-ix) = 1 であることから。。。

>>11
>>14に答えよ

cos x = Re(e^ix)
sin x = Im(e^ix)
をcos,sinの定義にすれば自明ですな。

>>15
なぜ（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））が
（０，０）中心半径１の円周上にあることが分かるのですか。
ｃｏｓ，ｓｉｎを（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））が
（０，０）中心半径１の円周上にあるように定義するのですか。

>>20
>>19の定義から導かれる。

>>21
複素数を指数部にもつ指数関数の定義はπなしで大丈夫か？

だいじょうび
なんでそんなこときにすんの？

大丈夫。バカ？

exp(z) = �煤@z^n / n!
が定義だとしておけば、
パイもパイレーツもオセロも気にしなくてよかろう。

>>25
うっわーほんまや…。うっわー

１やけど
あんたら難しすぎてわからん
ピタゴラス御大はどうやって証明したねん

http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html

>>28すごい

>>21
ｘ＋ｙｉの絶対値を√（ｘ＾２＋ｙ＾２）とするのは
三平方の定理があるからなんじゃないですか。
だから三平方の定理を使って三平方の定理を
証明しているだけなんじゃないですか。

>>30
定義だよ馬鹿

>>17,>>19,>>25に
exp(z+w) = exp(z)exp(w)
を認めれば完璧だな。

証明　∠Ａ＝９０度とすると、

|ＢＣ|^2
＝|ＢＡ＋ＡＣ|^2
＝|ＢＡ|＋２ＢＡ・ＡＣ＋|ＡＣ|^2
＝|ＢＡ|＋|ＡＣ|^2　　∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０
∴ |ＢＣ|^2＝|ＢＡ|^2＋|ＡＣ|^2

皆さん、この証明を正しいと思いますか？　これを正しいと頑張ることが出来るとしたら？　歴史上これ程明快な証明はないでしょう。

>>32
（ｃｏｓ（ｘ））＾２＋（ｓｉｎ（ｘ））＾２＝１は証明できても
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１が円を表すことが証明できてないので全然完璧じゃない。

>>33
>∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０
だめだこりゃ

>>34
子供は寝る時間だよ

>>36
なら早く寝なさい

>∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０

３３の「平行」は「直交」の間違いです。

>ｘ＾２＋ｙ＾２＝１が円を表すことが証明できてないので全然完璧じゃない

このスレの論点はピタゴラスの定理の証明であって
円の式がなぜ x^2+y^2=定数　か？
ではありません。


ピタゴラスと関係ないところで
(sin x) ^2 + (cos x) ^2＝１　　*1
が証明できてるならそれを使うの一つの解だという
ところから派生してたはず。

ピタゴラスが証明できたあとなら

”x^2+y^2 は　(x,y)の原点からの距離の2乗を表している”

ことから
”x^2+y^2 = 一定　を満たす (x,y) は原点から等距離”

。。。
それだけの話

>>39
ｃｏｓなどを冪級数などで定義するなら
Ｃが直角の直角三角形ＡＢＣでｃｏｓ∠ＢＡＣとＡＣ／ＡＢが
一致することの証明が必要です。

ｃｏｓ∠ＢＡＣをＡＣ／ＡＢで定義するなら
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１の証明が
三平方の定理の証明でもあるので関係なく証明されてはいない。

（１）ｃｏｓ，ｓｉｎをどう定義するのか。
（２）ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１をどう証明するのか。
（３）ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を使って
　　　どう三平方の定理を証明するのか。

（Ａ）直角三角形を使ってｃｏｓ，ｓｉｎを定義するなら
　　　ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１の証明は
　　　そのまま三平方の定理の証明なので
　　　三平方の定理と関係なく証明できない。
（Ｂ）ｘ＾２＋ｙ＾２＝１上で（１，０）から（０，１）へ
　　　向かって測った長さがｘである点の座標を
　　　（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））とするなら
　　　最初から三平方の定理を使っている。
（Ｃ）冪級数などを使ってｃｏｓ，ｓｉｎを定義するなら
　　　ｃｏｓ，ｓｉｎは直角三角形と関係がないので
　　　Ｃが直角の直角三角形ＡＢＣでＡＢ＝１，ｘ＝ＢＡＣのとき
　　　ＡＣ＝ｃｏｓ（ｘ），ＢＣ＝ｓｉｎ（ｘ）であることを
　　　三平方の定理と無関係に証明する必要がある。
（Ｄ）その他の方法で定義するなら分かりません。

>>39
質問は >>5 で書いてあるのは
ｃｏｓ，ｓｉｎを三平方の定理と無関係にどのように定義して
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を三平方の定理と無関係にどう証明し
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を使って
どう三平方の定理を証明するのかということです。

>>42
まず「直角三角形」をちゃんと定義しろよ

>>43
定義したいなら自分でやって。

単位円周上の点の座標を 角度tの関数として (f(t),g(t))とする


円周の長さとの比較その他で
g(t)/t -> 1 (t->+0 )　や (1-f(t))/t -> 0 を　示しておく

図形を書いて
f(x+y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)
g(x+y) = f(x)g(y) + f(y)g(x)
を示す。

f,gの微分可能性をみとめちゃえば。
これらの関係から f(x) の導関数 -g(x)
g(x) の導関数 f(x)

で
f(x)の２階微分 -f(x)
g(x)の２階微分 g(x)

これを f(0)=1 g(0)=0 f(π/2)=0 g(π/2)=1 という境界条件を
使って求めるで
fとgがexp(it)で定義したcos,sin である

という筋でなんとかならんか？
と思ったがf,gが微分可能ということが簡単に明かではないな。。

幾何的三角関数が解析的三角関数にいっちすることをいえばいいんでしょ。
絵を書けば、幾何的三角関数の加法定理や、sin(x)/x→1、cos(x)/x→0がしめせるから、
幾何的三角関数は微分可能がわかって、微分係数は解析的三角関数にいっちする。

このスレのオーナーである１ですけども
これだけ有名な定理なわけですが自然現象（社会現象もふくむ）で
この定理の通りになっている現象を教えてください。
わけわからん数学の証明は私のような畑違いの者には難しかったよ…

ないの？
だれかおしえて

はぁ？オマエ馬鹿？

>スレのオーナー

スレにオーナーなど存在しない。まずそこから学習しろ。

３ｃｍと４ｃｍの辺の長さの長方形の対角線をはかってごらん
５ｃｍになってるよ。
ピタゴラスの定理通りだね。よかったね。

一応マジレス。これが一番簡単。
直角三角形の直角から斜辺に垂線を下ろすと相似な三角形が三個。
分割された二つの相似比をa:bとすると面積比は（a×a）:（b×b）
全体の面積は…
続きは自分で考えてみてね。

だからなに？
ばか？
なにが「よかったね。」なの？

おーいオーナーとかいってるやつ
俺の立てた質問コーナー荒らすなよ
みなさんまったりゆっくり逝きましょう。

厨房にもわかるピタゴラスの定理の証明をおしえてください

厨房やったらわかるやろ？

ピタゴラスの定理の証明は数多く知られているけど、アメリカ大統領が証明した
方法もあるよ。え〜と、誰だったかな。

>>14,　>>18
ピタゴラス(つづりはたぶん　ΠΥΤΑΓΟΡΑ��)
は古代ギリシャ人ですから、その当時のギリシャ語の発音とされている
「ピュタゴラス」というのが正しい呼び名である、とでも言いたいんでしょ。
現代ギリシャ語だったら「ピタゴラス」で正解なんですけど（笑)。
古代ギリシャ語であれば「ピュタゴラース」とのばすのがほんとはもっと正しい
(んじゃないかな)。「ゴ」をやや高めの音程で読んでね。
どっちにしろ「クーダラナイ」の一言です。

１辺の長さが(a+b)の正方形を描きます。
各辺をa:bに内分する点を取り
それを結んで正方形の内部に正方形を描きます。
内部の正方形の１辺の長さをcとします。
面積について
(a+b)^2=(ab/2)*4+c^2
より
a^2+b^2=c^2
なんてどう？

完璧な証明がすでにあるのにこれ以上何を求めますか？？？
今井のベクトルを使用すればピタゴラスの定理が定理の名に値しないことがおわかり
頂けるでしょう。蛆虫にはわからんですか？？

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/vector/pitago/no005.html

ここでないと駄目

http://www.imai.gr.jp/japanese/vector/pitago/no005.html

up

57の自己レス
米２０代大統領・ガーフィールドの台形の面積を利用した
証明があるみたい。

数学者で政治家になった人は何人かいるね。
日本では菊池大麓（漢字あってるかな）は文部大臣までやった。
この人は都知事だった美濃部なんとかの祖父にあたる。

(証明)
∠BAC＝90°の直角三角形ABCがあり、頂点Aより辺BCに垂線を下し、
垂線の足をHとする。
∠AHB＝90°より
辺ABは三角形AHBの外接円、円AHBの直径となる。
また、BA⊥ACより
ACは三角形AHBの外接円、円AHBに接する
∴CA＾2＝CH×CB(∵方べきの定理)・・・�@
同様にして
BA＾2＝BH×BC(∵方べきの定理)・・・�A
�@�Aの左辺、右辺同士をそれぞれ足し合わせて
AC＾2＋AB＾2＝BC(BH＋CH)
AC＾2＋AB＾2＝BC＾2
(証明終)


当時は方べきの定理で三平方の定理が証明できるんだ！といって
喜び勇んだものだった．．．

ｹﾞﾗｹﾞ

あげるな、屑野郎。

42は納得したのかな？
単位円周上の点の座標で定義したcos sin
と
べきじょう　から定義した cos sin が一致することについて。。

俺は中1のころ与えられた線分を任意に等分できることを自分で証明できた

ああ、もちろん自慢です

証明というか示せたって言うかな？
とにかくできた

俺は中一のころ与えられた糖分を自力で摂取することができた。

>>73
藁

結局>>5の方法ではまだだれも証明できてないわけだｗ

ﾌﾞﾀｺﾞﾘﾗ

75は一体何が可笑しいのだろうか？まぁ人の笑いのツボってのは多種多様だから
意味の無い事で笑うのを責めるのはおかしいってもんか。

75 は　45や46をよんでないのかな？
それら不十分だと思うなら
45や46で示した筋道で何が足らんのかちゃんと指摘すべきだ。

ﾌﾟﾀｺﾞﾘﾗ

中学３年までに学んだものだけで証明。
題して、「>>4のホームページの人はなぜ数式化しなかったのか？」

斜辺以外の二辺の長さをｐ、ｑとする。（ｐ≧ｑ）
直角三角形４つをつかって斜辺を大正方形の一辺になるように組むと、
真ん中に一辺（ｐ−ｑ）の小正方形ができる。この小正方形の面積は(p-q)^2
となる。
また、直角三角形の面積は(1/2)*p*qとなり、ここで斜辺をmとすると、大正方形の
面積はm^2で表せるので、
m^2=(p-q)^2+4*(1/2)*p*q＝（大正方形の面積）となる。
よって、整理すると、m^2=p^2+q^2。

>>80が結論を出したので
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝終了＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

>>80
自明だから

>>59と原理的には同じだが､極めて個性的な証明方法｡

970年成立の源為憲著『口遊』に載っている、｢たゐにいてなつ/むわれをそきみ/
めすとあさりお/ひゆくやましろ/のうちゑへるこ/らもはほせよえ/ふねかけぬ」
という４７文字を７段７行に書いて、
「をほと(も)−のやかもち←大伴家持」の姓と名が区別できるように目印をつける。

証明が分らなければ､この板の「『口遊』の数学」を見てくれ｡

ピタゴラスってドキュンだったんでしょ
√2は無理数だって言った弟子を自分の哲学と違うから殺したんでしょ

訂正　m(__)m
正……をほと(も)の−やかもち
誤……をほと(も)−のやかもち

>>60読んでみましたが、わかりませんでした。
やっぱり蛆虫のはわからんです。

をほとものやかもちあげ

どうでもいいが　大伴は旧仮名遣いでも「おほとも」で
「をほとも」ではなかったが　どうなってんの？

ガラパゴスの定理

c倍拡大し半時計周りにαだけ回転させる変換をR(c,α)とする。
これは、１次変換で、t[1,0]がt[a,b]に写るとき、

R(c,α) * t[1,0] = t[a,b], R(c,α) * t[0,1] = t[-b,a].
よって、
R(c,α)=R(c,α) * E = [[a,-b],[b,a]]
（α:=-αのときはb:=-b）
c^2 * E = R(c,α) * R(c,-α) = (a^2 + b^2) * E

ゆえに、a^2 + b^2 = c^2.

というのはだめ？