なぜ０！＝１なのですか？

どうして０！＝１なのですか？階乗の定義に照らしてみると納得がいきません。
教えて下さい。

もうやめよぅよ・・・

0!=0.9999999...

あぁ、嫌だ嫌だ、こういうスレばかりで嫌になる。
sageでやる分には構わんだろうから、勝手にやっててくれ。

Γ関数を勉強すれば分かるぞ。

★[新しく記事を投稿する場合]は、既に同じ内容の投稿がないかどうかを確認してから行なうようにしてください。
★具体的な計算問題の質問や、数学に直接関係のない話題は、新しいスレッドを立てるのはなるべく避け、以下のスレッ
ドに投稿するようにしてください。
　　　『わからない問題はここに書いてね』（さくらスレ）
　　　『くだらねぇ問題はここへ書け』（くだらんスレ）
　　　『雑談はここに書け！』（雑談スレ）
★特に計算問題について投稿する際には、問題のジャンル（解析、幾何、代数など）も付記すると、後々の利用者が検索し
やすくなります。
★[新しくスレッドを立てる場合]には、何について議論・質問したいのかが他の利用者にもわかるように、タイトルの付け方
に注意してください。

階乗の定義で０！＝１なんでしょ。

sageでやってくれよ頼むから、
こういうスレを消すのは無理だから、せめてもの頼みじゃないか。

＞６
なぜそういう定義になるんですか。
定義だ定義だで片付くんなら、今ごろ0/0=0って定義してらぁ

(-n)！ってどうなるか知ってる？

定義外です。

＞８
あほか。定義は定義だろ。
定義に理由なんてあるかよ。
サッカーが手を使えないのと一緒だ。
しかも定義で片付いても0/0=0なんかにならないし。

せめてsageでやれ

>>1
nCr＝n!/{(n-r)!r!}
だから、n＝rの場合、0!＝1で定義しないと都合が悪いんだよ！
nCn＝1が成立する為にはね！

＞0/0=0って定義してらぁ
じゃ、それで定義して色々と困ってください。

γ関数を思い出せ！！

0!=1!/1=1
で矛盾なく定義可能

>>1
集合Ａの部分集合族Ｓがあったとき
∩a
a∈Ｓ
が定義できますが、Ｓ＝空集合のときはＡになります。
これは理解できますか？

>>8
おう、オマエはそう定義すればいいじゃないか
それでなんか有意義な理論体系作れたらたいしたもんだ、がんばれよ。
（アオリじゃなくマジレスだぞ）

>>13
だからさ、n=rのとき困る、ってんなら話はそれで終りじゃないの？
0/0が定義できないのと一緒で、nCnは定義できない、ということになるのでは？

結局、話が続いちゃてるな。
困ったもんだ。

Γ関数を勉強しろよ。
俺に聞いても、俺は完全に理解してないから答えられんからな。

fac(x) = x * fac(x-1)
が x=1 でも成り立って方が、端っこが単純で何かと便利

>>19
３個の中から３個のものを選ぶ組み合わせは
どー考えても１通り

0!＝1なのは分かりましたが
0?　は一体いくつになるのですか？

>>23
カレントディレクトリにあるファイル名によります。

>>22
そう考えるからおかしいんだって。
３個の中から３個のものを選ぶ組み合わせは、定義できない。
あるもの全部を持ってくるときに、「選ぶ」とは言わないでしょ。

０！は定義できない、が正しいのだ。

>>25
君は円盤を二次元球体と呼ぶのに抵抗があるタイプの人ですか？

n!=n(n-1)(n-2)(n-3)･･･3・2・1
がファクトリアの定義だとすれば、
0!=0でしょ？

3!=3・2・1・(-1)・・・3・2・1

>>25
それは数学では言っていいのでは？
確かに日常会話では言わないけど。
そんなこといったら、ＡもＡの部分集合とか
言っちゃいけないような気もするし。

階乗の定義を考えれば確かに０！＝１っておかしいんだよなぁ
０！＝０ってなるような。せめてこれを否定できない？

>>31
「階乗の定義」とはいかに？
n!=n(n-1)(n-2)...1っていうのは「nが1以上の自然数のとき」という
条件付きだから，0に対しては意味がないよ。

＃「1以上の自然数」については，時々自然数とは0以上と言う人が
＃いるのでハッキリ書いただけなので，揚げ足取りは勘弁。

このスレってDQNのフリをしないといけないんですか？

連続になるように定義すると、Γ関数しかないんじゃなかった？

>>34
gamma関数で一意に定まるの？

>>32
nが０のときと、１のときとで定義をわけるということは不連続関数ですか？

階乗の定義に、連続も不連続もない、
階乗の定義を拡張するときにΓ関数が出てきて
その時、連続になるようにしたってだけ、だったはずなんだけどな。

０！＝１だとしたら、
３個の中から０個選ぶ組み合わせも１通りということになりますね。
なぜ１通りなのですか？０個選ぶということは、∞通りあるのでは？
やっぱり０！＝１と定義するのはおかしい。

0個選ぶ選び方って一つしかないと思うが

０個選んだその１通りって？？
ないものを選ぶ選び方は∞通りじゃないの？

>>39
ハゲどう！

>>4０
空集合の選び方は一通りしかないのと同じ

>>40
師んで下さい

C言語では　0 != 1　は真です。言語仕様なので何故と言われても。。。

>>39
その３個の物を要素とする集合をAとして、そこから選ばれた要素をｓとする。
３個の中から０個選ぶということは、
{s|s∈A∩s∈φ}
={s|s∈A}+{s|s∈φ}
よって選び方は
３＋１＝４通り

てめぇら何言ってんだよ。こういうときはｚ案だろ？
０！＝ｚと定義するんだよ。
さぁ新しい発見を目指そうではないか！

数式を理解するのに「選ぶ」というあいまいな日本語に拘泥するのは
やめて下さい。お願いです。

では複素数の階乗はなぜ定義できないのですか？

有理数の階乗は
(n/m)!
=n!/m!

expの階乗はマクローリン展開で求められる

n=4、m=2だと成り立たないけど？
それでもいいの？

ﾀﾞﾒﾀﾞﾒ。
m>nの条件つき

>>51
それでも 0! = 0 になってしまうのでは？

if(0 != 1) printf("0!=1 が証明されました\n");

>>52
n! = n*(n-1)*...*3*2*1*0
とすべきという提案ですか？

n!m!=(nm)!
って満たされたっけ？

π! = π*(π-1)*(π-2)*...*3*2*1

>>53
if(1 != 1) printf("1!=1 が証明されました\n");
else printf("1!=1 でないことが証明されました\n");

3!=3*2*1=6
2!=2*1=2
1!=1=1
0!=0*1=0
-1!=-1*0*1=0
階乗は1を中心にして回るのじゃ！理論だゴラァ。
もんくあるか？
Γ関数なんかで無理やり当てはまるからなんて言ってんじゃねぇぞ？
もし0!=0とした場合、Γ関数のほうを別の定義にすればいいんだからな
そもそも1以上の階乗と0の階乗では、定義の根幹が違うんじゃねぇのか？
たまたま都合よく言ってるからあてはめただけで、
例えば実数で成り立つ式も、複素数じゃ成り立たないことがあったから、
別の学問が派生したわけで、本来0!は定義されてなかったと考えるのが
妥当ではないのか？つまり、1!までを教えるときと、0!や、Γ関数を教える時と
では、論理基盤に大きな隔たりがあることを、認識させる必要があると思うな。

連続微分可能なように拡張すればいいんだきっと。

あほらし

>>54
そうではなくて、>>49 と >>51 の条件だと >>52 になるということでは？

m>nに何を代入すれば、0!=0が導けるんだ？

>>62 (もちろん>>49を仮定しての話で)
nを固定して
0! = lim {m→∞} (n/m)! = n!/lim {m→∞} m!= 0 とか考えるのでは...

結局
x! = x * (x-1)!
1 = 1 * 0!
1=0!
に行きつくと思うんだが。

>>64
おもしろい。
家庭教師で使わせてもらうよ。

Γ(n)=(n-1)！,(nは正の整数）
より,Γ(0)=0!
一方で,Γ(0)=1は自明なので,0!=1
Γ関数の定義は自分で調べてくれ。

＞Γ(n)=(n-1)！,(nは正の整数）
＞より,Γ(0)=0!
何を代入したんだ？

>>67
ゴメソ
Γ(1)=0!
一方で,Γ(1)=1は自明なので,0!=1
の間違いね。

n=0かつ(n-1)=0
神の領域だ！

>>66
でもΓも階乗の一つの｢拡張｣だろう？

>>70
Γ関数の定義をきちんと知っていればそういう風には思わないはず。

f(x)=x*f(x-1)の解ってΓしか無いの？

つまりさ,n!がΓ関数を使ってかけることを利用して0!を定義
するわけよ。

もう少し仮定がいる。

Γはf(x+1)=x*f(x)だった。不連続ならいくらでもあるようだけど、
連続ならどう？

>>73
それはできるが、それってエレガント？

>>73
さすがにそれくらいは知ってるんじゃないか？
Γ関数がどれくらい自然な階乗の拡張なのか、
とかは知らなくても。

連続でもいくらでもある、点を適当に繋げばいいだけだから。

いやそんな事はないか。

仮定っていうのは
Γ(n)=(n-1)!がn=1で成立してるっていうことだろ。
確かにそこは仮定しないと駄目だな。
どっちにしても俺は,0!=1は定義ではなく公理のような
もんだと思ってるが。

>>77
本当だ。例えば0≦x≦1で連続(0,1は右と左だけ)に定義して
f(x)が連続ならば(x+1)*(x)も連続という事でいい？

じゃあ、f(x)が定義できる点で微分可能とするとどうなるの？

(x+1)*(x)は(x+1)*f(x)の間違い

階乗の定義をｎ！＝ｎ×（ｎ−１）×．．．×１とするから
「０！＝１はなぜ。」ということになるので階乗の定義を
０！＝１
ｎ！＝ｎ×（ｎ−１）！（ｎ∈Ｚ，０＜ｎ）
とすればいい。

ガンマ関数を使って０！を考えるのは何故ガンマ関数を使うのかが分からない。
ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ−１）を満たす関数を考えるくらいなら
０！＝１×０！＝１！＝１でいいし
任意のａに対して
ｆ（０）＝ａ
ｆ（ｘ）＝ｘ！（ｘ∈Ｚ，０＜ｘ）
を満たす関数は解析関数に限ってもいくらでもある。

ｆ(1)＝1,ｆ(x)＝ｘｆ(x-1) に加えて凸関数なら一意的だね。

>>1
そうしないと高校の教科書が困るだろ。

3!=3･2･1=6
2!=3!/3=2･1=2
1!=2!/2=1
0!=1!/1=1
(-1)!=0!/0=?
(n-1)!=n!/n

無理矢理でも、1.5!を考えたらどうなる？

Γ関数

ってなんて読むの？

ガンマ関数

>>83
本当？

>>86
1.5! = (√π)/2

0!=1!/1=1/1=1

>>90
x∈Rの時、一般的なx!を定義してください。

x=Γ(x+1)=lim[n→∞] n! n^x / (x+1)(x+2)・・・(x+n)

nCr
=(n!)/{n!(n-r)!}
r=nのとき、こう考える。
n個の中からn個を選ぶ組み合わせは『必ず1通り』
nCn
=(n!)/{n!(n-r)!}＝１
(n!)/{n!0!}=1になるように、
0!=1と定義したらしい。

みんななかなかよくべんきょうしているね
でもちしきにあいまいなところがあるようだから
もっとがんばるようにね
がんまかんすうについては
すうがくじてんでしらべるか
あるちんのほんなどでべんきょうしなさい
ふくそかんすうろんのほんにもかいてあるし
かいせきがいろんにもあるよ

>>93は
x!=Γ(x+1)=lim[n→∞] n! n^x / (x+1)(x+2)・・・(x+n)
のマチガイね

>>90
これってどういう理由ですか？
教えてください。

Γ(1+1/2)＝(1/2)Γ(1/2)＝(√π)/2

このスレで伝説が作られようとしている・・・

　　　　　　　 ＿＿＿＿__
　　　　 ヾ／::::::::::::::::::::::::::ヾヽ
　　　　　ｉ:::::::::（（（（（（（（（⌒);)
　 　　 　|:::::::/ 　　　　　　　.iﾉ
　 　　 　|::::/　　　　ヘ　　/ |　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　,⊥|:|----（＝・)-(=・)　　　| おぉぉぉっと、糞スレが上がってきたぞ！
　　　　l 　!:;　 　　 ⌒´⊃｀ | 　 　 | 怒濤の糞スレageだッ！
　　　　ゝ_┃ 　　　　´__＿/　 　＜ さぁどこまでレスが伸ばせるか！？
　 　　 　 |┗━⊃<二二ｙ' 　 　 　| これからもこのスレから目がはなせないぞッ！
　　　　 　|　　 ＼＿二／　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　／ト、　　　／７:`ヽ､_
　　／::::::::|　~''x‐''''~~　/::::::::::::::`ー
／::::::::::::::::| ,,イ;;;;>､　/::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::|　/:::::|　/:::::::::::::::::::::::::::::::

>>97
ガンマ関数の定義（積分のやつ）に 2.5 を代入して解けば 1.5! になる。

「ガンマ関数」で検索すればわかるよ。
（高校程度の積分の知識が必要）

if(0!=1)
{
　printf("正しい");
}
else
{
　printf("誤り");
}
これを実行すれば、一目瞭然。

>>102
おもろい！！
そりゃ”誤り”だ！！

>>102
C言語知ったか厨

int fact(int n){int k=1;while(n--)k*=n;return k;}
とすると
fact(0)=1

int fact(int n){return 1;}
とすると
fact(0)=1

>>102
全角スペースが混じっているので、コンパイルエラー（ｗ

if (0!=1)
{
    printf("正しい");
}
else
{
    printf("誤り");
}

>>105
fact(1)=fact(2)=fact(3)=...

#include <stdio.h>
void main( void)
{
printf("０！＝１は");
if (0!=1)
{
printf("正しい(･∀･)ｲｲ!!\n");
}
else
{
printf("誤り(^_^;)\n");
}
}

このソースを、"なぜ０！＝１なのですか？.cpp"というファイルで保存して、
コンパイルして実行してみそ。

$ls
なぜ０！＝１なのですか？.cpp
$ g++ -Wall なぜ０！＝１なのですか？.cpp
\244\312\244\274\243\260\241\252\241\341\243\261\244\312\244\316\244\307\244\271
\244\253\241\251.cpp:3: warning: return type for `main' changed to `int'
$ ./a.out
０！＝１は正しい(・∀・)イイ!!
$

バッチリだ（ｗ

よーく考えてみると、０個のものを１列並べる方法は１通りです。
すなわち、０！＝１です。

０！＝１ は下記今井のＨＰを見て下さい。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/kaijou/no002.html

>>111
ﾏｼﾞﾜﾗﾀ!!

>>112
よーく考えると０個のものは存在しないのだから並べられません。
という事は、０！＝０だと思います。

誰か、「０通り」をきちんと定義してみそ。

>>115
並べられないのなら
> ０！＝０
ということすら言えないだろう。

>>116
問題は先ずそれからだ！

0通り：＝ある条件で並べる方法が無い

むしろ0!=1と定義することが数学的に自然であることから、
０個のものを並べる場合の数は０通りである、と考える方が
面白いと思うですが。

整数の階乗を何か？　これを見極めてからでないと０！は出ません。

間違えた。
０個のものを並べる場合の数は１通りである
ですね。

>>119
Pascalですか？

０！とは何ぞや？　この答えを出してからでないと駄目でしょう。

じゃあ、俺からも。
なんで（−１）×（−１）＝１なんだ？

−１と−１をかける時は、−と１をばらして計算するんだよ。
まず−と−をかけて、そして１と１をかけるんだ。
そしたら、マイナス２つなんだから、＝１になるだろ。
よく見ろ、１と等しいんだよ。な。
だから（−１）×（−１）＝１なんだ。わかったかい？

んじゃあさ、（−１）！とかないの？
Mathematicaでやったら∞だったYO!

Ｎ＿０＝｛ｉ｜ｉ∈Ｚ，０≦ｉ｝
Ｎ＿０−＞Ｎ＿０の全単射な写像のうち
ｉ∈Ｎ＿０，ｎ≦ｉ＝＞ｆ（ｉ）＝ｉ
を満たすものの個数がｎ！。

>>127
それはきっとΓ(0)と判断されたんだろう。

>>127さん。
>>96でx=-1としてごらん。

＞＞１２６
もうちょっと詳しいレス頼む！(マジレスポンス）

「−１」とは（１，２)，（２，３) のような後ろが１つ大きい整数です。

掛け算とは、つまり（ａ，ｂ)×(ｃ，ｄ）とは（ａ，ｂ)×ｃ＋(ａ，ｂ)×ｄ です。

これによると、

(−１)×(−１）
＝(１，２)×(２，３)
＝(１，２)×２−(１，２)×３
＝(２，４)−(３，６)
＝(２＋３，４＋３)−(３，６)
＝(５，７)−(３，６)
＝(５−３，７−６)
＝(２，１)
＝１

先ず０とは何か？　０とは（３，３）のような前と後ろが等しい整数です。

この数に対して階乗の定義は書きページにあります。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/kaijou/no002.html

>>132
そこまでやるんだったら、中途半端にせずに
集合を割るっていうのがどういう事か教えた方がいいような気もする。

ペアノの公理で自然数作って、
自然数のペアの集合作って、
後ろの方が１つ大きい物を-1とするとかさ。

間違えました。整数の掛け算の定義は下記です

（ａ，ｂ)×(ｃ，ｄ)＝(ａ，ｂ)×ｃ−(ａ，ｂ)×ｄ

>>133
ちょっと待て、それは今井のホームページではないか。
そんな所紹介するな。

今井先生が我が世の春を謳歌していますな。

＞そこまでやるんだったら、中途半端にせずに集合を割るっていうのがどういう事か教えた方がいいような気もする。

ここは階乗がテーマですから、この程度で宜しいでしょう。

皆さん、０！を考えるには、０とは何か？　整数の階乗の定義は何か？　これを踏まえた議論でなくてはなりません。さもないと蛆虫がウヨウヨしているに過ぎません。

また今井の馬鹿かよ…
２ｃｈには来ない来ないって言いながらいつまでうろうろする気だ。

０！の答えが出ましたねぇ。議論の余地がなくなったようです。これだから今井が嫌がられる。

つまり、２ちゃんは蛆虫でない駄目と言うことです。これ即ち「２ちゃんは蛆虫の集まり」と言うことです。

１×３！＝１×１×２×３＝６
１×２！＝１×１×２＝２
１×１！＝１×１＝１
１×０！＝１＝１
　↓
１×０！＝１
０！＝１÷１＝１

>>142
いいから来るな。

１２、６，２，１，１、この後どうなりますか？　それから１，１と重なるのが気になりますねぇ、ちょっと不自然でない？

>>145
たとえば数列an=4(n-1/2)^2は
・・・9,1,1となるから1,1が重なるのはよくある光景。

１×３！＝１×１×２×３＝６
１×２！＝１×１×２＝２
１×１！＝１×１＝１
１×０！＝１＝１
　↓
１×０！＝１
０！＝１÷１＝１

これは予想しているのであって。未だ数学とはいえません。もう一歩踏み込みが足りませんねぇ。

>>147
トンデモがえらそうなことを言わないようにね。

＞トンデモがえらそうなことを言わないようにね。

「トンデモ」と言われるならば、「蛆虫」とお返し致しましょう。さーて、どっちが正しいのでしょうか？　それは見る人にお任せするしかありませんねぇ。

>>149
あからさまに偽今井だな。

ともあれ久々の今井祭りﾜｼｮｰｲ

今夜が山だ。

>>115
よーく考えると０個のものは存在しないのだから並べられません。
という事は、０！＝０だと思います。
---------------------------------------------------------
どうも反論ありがとうございます。
でもこれをもっと深く考えるんですよ。
存在する、しないで２通り。
存在しないから１通りなんですよ。
僕はこれを自分なりに”表現による場合の数”と考えています。
すなわち、０！＝１である。

君には数学的センスを感じる。

>>152
ってことは、常に「存在しない」も数えるわけだから、たとえば、

3!=7

ということだね。これは不便だよ。どうやって整合性を取る？

無理に実生活の現象で説明しないで、形式的に定義したほうが良さそうだ。

０！＝１
（０，０，０，０，０，．．．）

１！＝１
（１，０，０，０，０，．．．）

２！＝２
（１，２，０，０，０，．．．）
（２，１，０，０，０，．．．）

３！＝６
（１，２，３，０，０，．．．）
（１，３，２，０，０，．．．）
（３，１，２，０，０，．．．）
（２，１，３，０，０，．．．）
（２，３，１，０，０，．．．）
（３，２，１，０，０，．．．）

なんとなくわかるような気がするけど説明不足のような。
恐らく数列に対応させた、ということなんだろうけど、意地悪く解釈すれば、
（０，１，０，０，０，．．．）とか（０，０，１，０，０，．．．）は、
考えちゃいけないの？

無理やり変なイメージを持たないほうがいいぞ。

fは非負実数から非負実数への写像だとして、
logfが凸関数で、
f(x+1)=xf(x)、f(2)=1が成り立てば、それはΓ関数になると本を見たら書いてあった。
Γ関数の値Γ(1)=1は0!の値と対応している。（Γ(n+1)=n!）

俺にはそれほど、自然とも思えないが、一応0!=1という事は分かった。

変なイメージって言うか、そう思わせるほうに責任があると思うよ。
いわゆる、厳密でないのが敗因。

責任なんて誰が取ってくれるんだよ。

私が責任とります

>>161
補償しろという意味での責任じゃないだろ。
レスする以上は必要最低限説明しなくちゃならんという責任のこと。
>>162の方がまだ潔くて好感が持てる。

>>163
どういう意味で言ってるのか分からんかった。
階乗なんて曖昧な物を作った、または使ってる人達に責任でも取れと言ってるのかと思った。

勿論、責任取ってしっかりと説明しろっていう意味だと思ったんだよ。

公式：ｎの円順列は（ｎー１）！である。
ｎが１のとき明らかに１通りであるが、公式を適用すると、
（１−１）！＝０！
である。
要するに０！が１だと便利だから１なのだ。
これはＣ（ｎ個からｒ個とる組み合わせ）の公式でも適用できる。

こいつあほですぜ

たしかに

私が腹を切ります

>>169
それより金くれ。

では、便利だから、と言う事で、このスレ

しゅーりょーーーーーー。

nを自然数とするときに、n^0 = 1 が理解できるなら、０！＝１もそれほど
難しくはないはずだらう。

ｎ!は1<=m<=nなる全ての整数mをかけ合わせた数、というのが定義。
n=0の時にはかけ合わせる数がない。こう言う場合は単位元をとれば
うまくいく。Σの場合を考えれば納得できると思うんだけどね。

>>172
根本的に違う塩山だろ。

>>172
だったら簡単に説明してみそ。

172じゃないが、
n^aはnをa回掛け合わせるという意味だった。
しかし、それではn^0が定義できない、
だから、あるルール（ここでは右肩の数字が１増えたら、nを掛ける）を満たすように
拡張する事によって定義する事にした。

同じように階乗でも、n!=n×(n-1)!というルールを満たすように定義を拡張した結果。
0!=1となる。

>>1
納得しただろ？！

０個の並べかた（）の１通り。
１個の並べかた（１）の１通り。
２個の並べかた（１２）（２１）の２通り。
３個の並べかた（１２３）（１３２）（２１３）（２３１）（３１２）（３２１）の６通り。

（）は３個並べていないので３！＝７にはならない。

printf("%d", !0);