：：：集合の本質とは何か：：：

異なる事物をひとまとめにする。
このことがなぜに論争を引き起こすんでしょか。
よくわかりません。

論争って？

自作自演，さようなら．

よく考えると集合というものは、その要素が確定してはじめて
定義できるものである。つまり要素a と要素b が
確定していてはじめて、集合{a、b}をつくることが
できるのである。ところが、まだできてもいない自分自身を
要素としてどうやって集合をつくることができるだろうか。

要素が無い集合（空集合）というのもあるでな。

１は「集合」を文字どおり「ものの集まり」だと思ってるのかな？
　集合という概念は、x に関する命題 Ｐ(x) が与えられたとき、
この命題をモノのように扱って、それ自体を変数で表わしたり
quantifierを付けたりできるようにした方便に過ぎないのだよ。
　だから「集合」という名前や「ものの集まり」という「定義」は
イメージを表わしているだけのことに過ぎない。
　だから集合の本質は、命題 Ｐ(x) から対象式 {x|Ｐ(x)} を作る
quantifierであって、

ｔ∈{x|Ｐ(x)} ⇔ Ｐ(ｔ)

という公理を持つ、ということ。ただし ｔ に「集合」自体を代入す
るような再帰的な代入を許そうとするときは用心しなければならない。
これを無条件で認めるとラッセルのパラドクスが生じる。

>>6
> だから集合の本質は、命題 Ｐ(x) から対象式 {x|Ｐ(x)} を作る
> quantifierであって、
> ｔ∈{x|Ｐ(x)} ⇔ Ｐ(ｔ)
> という公理を持つ、ということ。
> ただし ｔ に「集合」自体を代入するような
> 再帰的な代入を許そうとするときは
> 用心しなければならない。
> これを無条件で認めるとラッセルのパラドクスが生じる。

例えば
Ｐ（ｘ）＝¬（ｘ∈ｘ）
としよう。

ｔ∈｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝⇔¬（ｔ∈ｔ）

ここでｔに｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝自身を入れると

　｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝∈｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝
⇔¬（｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝∈｛ｘ｜¬（ｘ∈ｘ）｝）

となる。

今の集合論では｛ｘ|Ｐ（ｘ）｝なんて素朴なことはいわず、
｛ｘ∈ａ｜Ｐ（ｘ）｝ （ａは集合）の形を用いる。
この場合｛ｘ∈ａ｜¬（ｘ∈ｘ）｝はａに含まれない。
（なぜならａに含まれると矛盾するから）

>>7
＞今の集合論では｛ｘ|Ｐ（ｘ）｝なんて素朴なことはいわず、
＞｛ｘ∈ａ｜Ｐ（ｘ）｝ （ａは集合）の形を用いる。

実をいうとこの分出公理だけではＺＦより弱い。

>>7,>>8
　「今の集合論」というよりも「通常の数学で行っている議論を正当化
するための集合論」というべきですね。数学の議論は広いので、「集合」
のそのまた「集合」というものを考えたいので、めんどくさいから集合
の集合と言う概念が最初から扱えるように再帰的な代入を許したい。
ＺＦとかＢＧという公理体系は、そのような「再帰的な集合論」の一つ
の試案です。
　ところで実は、6で述べた「集合」の定義は、任意に与えられた「理
論」の「集合論化」ともいうべきテクニックです。たとえば与えられた
理論が自然数論の場合、自然数論の公理に

ｔ∈{x|Ｐ(x)} ⇔ Ｐ(ｔ)

を加え、ただし ｔ として許されるのは自然数を表わす項に限定するこ
とにすればラッセル型のパラドクスは生じません。なぜなら集合をあら
わす項は、集合をあらわす変数と {x|Ｐ(x)} だけであり、この「集合
論化」した理論で得られる定理が集合をあらわす項を含んでいなければ、
それは実は集合論化した理論でない、もとの自然数論でも証明できるか
らです。
　「集合論化」のメリットは、例えば自然数論の集合論化の場合で言え
ば、自然数に関する「任意の命題に対して」という表現が可能になるこ
とです。こんな表現は通常の１階述語論理では許されていません。許さ
れているのは２階の術語論理ですが、集合と言う概念は、２階の述語論
理というものを用いずに、１階の述語論理の範囲内で同じようなことが
できるようにするためのテクニックなのです。
　具体的に言うと、「自然数に関する命題」が、集合論化した理論では
「自然数からなる集合」というモノに翻訳されます。すると「自然数に
対する任意の性質に対して」という２階述語論理的な表現が「任意の自
然数からなる集合に対して」という１階の述語論理の表現で可能になる
わけです。

基礎論屋ってなんで簡潔に書けないの？

うーん、難しいです。

>>10
　6=9です。
　私は基礎論屋じゃありません。説明が下手なのは私が説明が下手
だからであり、基礎論屋さんの責任ではありません。
　要するに、「集合」っていうのは数学的議論を豊富にするための
「方便」あるいは「テクニック」であって、「ものの集まりのこと
を集合と言う」というよく見られる「定義」は、集合の本当の定義
じゃない、ってことを言いたかったわけです。

>>11
　たとえば、「実数論」という理論があります。この理論の扱う対象は
実数なんですが、例えば次の命題を考えてみます：

　Ｐ(x,y) は実数 x,y に関する命題で、
(1) 0≦x≦1 である任意の x に対して Ｐ(x,y) を満たす y が存在
　　する。
(2) Ｐ(x,y) が成り立つなら、あるε＞０ が存在して x-ε＜z＜x+ε
　　なる限り Ｐ(z,y) が成り立つ。
の２条件が成り立つならば、有限個の y1,y2,…,yn が存在し、0≦x≦1
である任意の x に対して Ｐ(x,yi) を満たす i が存在する。

　すごくややこしい表現ですが、これは有名な命題を「集合」という概
念を使わないで表現したものです。集合と言う概念を使うと、次のよう
にあっさりと表現できます：

　閉区間 [0,1] の任意の開被覆 Ｏy(y∈I) は有限部分開被覆を持つ。

なんと、ハイネ・ボレルの性質でした。
　このわかりやすさの違いが「集合」という概念を考えることのご利
益です。

詳しく説明されても分からない（笑
P(x,y)というのがどういう命題なのかがよく分かりません。
コンパクトであるって事の証明とは関係ないんですよね、
あくまで主張だけだろうし。

>>14
　任意の命題です。どんな命題であっても成り立つ、ということです。
Ｏy＝{x|Ｐ(x,y)} と置けば、集合を使った表現に変換できます。こう
やって変換したものは、コンパクトである、ってことそのものです。

1はなんだか今井くさい。
風呂に入って歯を磨いて出直すように。

>>9

なんかうだうだいってるみたいだけど、
結局それって自然数の集合Ｎを元にして、
構成的につくられる集合を積み上げてる
だけだよね。

ゲーデルはＬという名の階層システムを考え、ラッセルの
タイプ理論がこれのω＋ωのレベルのものであることを
示した。Ｌのωレベルは、自然数論だから、これは自然数論
の有限階レベルの理論全体と同じである。

ゲーデルはさらに到達不可能な基数までこの階層を積み上げると
ＺＦＣのモデルになっていることを示した。

ここで到達不可能な基数とは、簡単に言えば
ｘ＝aleph＿ｘ
となっているようなもの。

>>17
　おやま、基礎論屋さんが入ってきちゃったよ。
　それは論理学を数学の中で研究する場合の話だね。
　私が書いてるのは数学を行う論理をどうするかという「数学理論の
外側」の話。そこには「基数」なんて概念はない。従ってωという概
念もない。なにせ数学よりも「手前」の話なんだから。あなたのよう
な議論は基礎論スレの方が合ってないかい？

>>18
　私も基礎論屋じゃありませんよ。
とはいえ、これは基礎論の話ですよ。
手前もクソもありません。

>>19
　ならばご勝手にどうぞ、というしかないです。
　私は相変わらず「有限の立場」の話に限定した書きこみをします。
　そっちの方が私の興味の対象ですから。

　18は数学を展開するための論理を議論してるところに数学の成果を
使うことを問題視していると思われ

>>21
有限の立場が最大の関心事なら、
ゲーデルのＬは面白い筈ですよ。

>>21

18は自分が考えてるより先の話をされてしまったので
フンガイしてるんでしょ（笑）

ンなこたぁない。
到達可能基数ってのは集合論内部の概念なので、そこまでいくととりあ
えずは興味の対象外、ということ。
　最初に言った集合論化ってのは確かにラッセルの階層論理の１段分の
ことに他ならないですよね。それをさらに集合論化すれば第２段の階層
になるし。ただ、それをω回くりかえしちゃうと、もう「集合論化」の
範疇に入らない。

どっちにしても分からない俺は、どうしたらいいですか？

>>4がいいこと言ってるよ。
たしかに、ハナっから矛盾する理論を持ち出したわけなんだね。
すでにその時。
ようするに、
12345!=762478617842637846281734780000000････の場合、
12345!*5=762478617842637846281734780000000････*5だよね、とか、
合ってもいない理論だとごまかされるけど、
1*1=2の場合、
1*1*2=2*2=4だよね、だと、おかしいって考えるように、
自分自身を要素とするって考えの時点で自滅が決定してるわけだ。
それいじょうは矛盾がはびこるわけだから、
論理とかいうよりも、実際役に立つかどうか以上のことはもはやナンセンスと
なるのでは？

例えば、体 K を含む代数的閉体が存在するっていうような
とき、すでに与えられたものより多きものをつくる原理がない
と動きがとれない。そのような状況を考えると >>4 の考え方
は閉鎖的すぎることにならないだろうか?

＞ 自分自身を要素とするって考えの時点で自滅が決定してるわけだ。

　確かに、自滅という表現は適切かどうかわからないが、集合を「命
題をモノのように扱う方便」と考える場合、「自分が自分自身の要素
であるかないか」という命題を考えることには意味がないと言える。

体Kの拡大は、多項式環K{x}を定義方程式で割って実際に作ってるんだから
違う気がするな。

>>27
　同じようなことは、一様空間の完備化、テンソル積、多項式環など
のような「普遍性」による定義の場合に問題になることで、これは何
らかの存在を保証する公理が必要になる。
　任意の理論が既に何らかの「集合」という概念を持つ場合、その理
論の「集合論化」を考えると言うことは、もとの「集合」の冪集合と
いうものが作れるということと同じことだから、冪集合があると、こ
の種の構築はかなりしやすい。実際、完備化や代数閉包くらいなら、
このレベルで構築できるだろう。しかし、集合を順に拡大していって、
その可算列全体の合併集合みたいなものを考える必要がある場合は、
これだけでは不十分で、冪集合を再帰的に作ってその合併集合を考え
ることのできる強い推論体系が必要になるだろう。

>>29
多項式環はどうつくるのですか?ほかに双対空間とかいろいろありますが
ともかく新しい大きな集合をつくることができないと不自由だと思いますが。

失礼 >>30 に書いてあった。

>>29
　多項式環の定義それ自体に存在公理が必要にならない？これって、環
Ｒ と１点からなる集合 {p} が与えられたとき、環 Ｓ であって、Ｒ
から Ｓ への環準同型と {p} から Ｓ への写像の組を考えたとき、こ
のような組の中で最も普遍的な集合のことを Ｒ[x] と書く、っていう
のがＲ上の多項式環の定義だから、当然その存在には何らかの存在公理
が必要なはず。

多項式環もKの元と不定元xの有理演算で作ればいい、
でも不定元がそれだと困るな。

どっちにしろ、4の話とはなんか違う気がするだけ。

存在とかがよく分からないなぁ、勉強不足か。

ZFのFはフレンケルで置換公理を入れたひと。
これまで出てた代数の例は
べき集合公理と置換公理で
全部作れるよ。

置換公理は非可算順序数の定義に必要つまりボレル集合族を定義するのに
使われる。

>>37
　いわゆる「構成的に」作ろうとすればそうだろうが、通常はボレル
集合は「開集合を全て含む集合族の中でσ代数であるような最小の集
合族」として定義されるので、冪集合の公理と分出公理だけで十分。

代数的閉包の構成は置換公理が必要だろう。

「集合Ｍ」という語のもとに私たちはいかなるものであれ、
私たちの思惟または直観の対象であり、充分に確定され、
かつ互いに区別されるものｍの、全体への統合Ｍを理解する。
　　　　　　　　　　　　　　　　ーーーーＧ・カントール

>>24
＞最初に言った集合論化ってのは確かにラッセルの階層論理の１段分の
＞ことに他ならないですよね。それをさらに集合論化すれば第２段の階層
＞になるし。ただ、それをω回くりかえしちゃうと、もう「集合論化」の
＞範疇に入らない。

そこは、置換公理のような発想が必要だね。
分出公理だけでは、結局ラッセルのタイプ理論と
同等のところまでしかいかない。

どうも高階論理に対する変な期待をもってる人がいるのだけれど
高階論理をどのように解釈するか決めないと話しにならないんだ
よね。それで結局、>>41のように集合論となっちゃうんだけど、
2chでは説明しても中々収束しないんだな、ひとり言！

どうも超越的なものに対する妙な嫌悪をもってる人がいるね。
どう枠組を決めても、その全体は枠組から超越したものに
なっちゃうんだけどね。>>42は集合論嫌いみたいだけど、
本当に嫌悪しているのは集合論ではなくて、枠組に対する
超越の発想でしょう。例えば到達不可能な基数の存在も、
集合論からは証明できないわけで、その意味では集合論を
超越している。

本当に超越を排除するなら、自然数論だって駄目なんだけどね。
１＋１とか２×２とかいう計算自体は、理論以前の問題なんで
それを抽象化して理論を打ち立てるという発想自体が、すでに
超越なんだよね。ヴィトゲンシュタインはそれに気づいていた。

集合論がダメなら自然数論だってダメだし、
自然数論がＯＫなら、集合論だってＯＫだ。

「超越」てどちらも「走」がついてる。
「走」はやめて「歩」にしようというわけね。

>>44

　そういうものでもない。階層化というのは「任意の理論の階層化」な
んで、その「任意の理論」として「自然数論」とか「実数論」とかを取
ってくれば十分意味のある議論になる。ただ、数学を「無」から構成し
よう、なんて野望を持ってる人(笑)には44の意見は有効だけど。
　そもそもＢＧ集合論って、この「任意の理論」としてＺＦ集合論を持
ってきた場合の１階の階層化（集合論化）だよね。

>>46
＞そもそもＢＧ集合論って、この「任意の理論」として
＞ＺＦ集合論を持ってきた場合の１階の階層化（集合論化）だよね。

違うよ。
さては、ＢＧ集合論の公理系知らないな。
ちゃんとＢＧ集合論について調べてごらん。

超越的なものに対する嫌悪、っていうよりは、素朴集合論に
戻りたいように見えるけどね、オレには。
もちろんそのままでは、古典的矛盾例がワンサカとある（笑）。
で、strom氏の対処法はというと‥‥‥。

これが情けないんだ、まったく（失笑）。要は、
「ボクは矛盾を生じないものだけを考えたいんだ！！　そうするって
決めたんだ！！　それがボクの興味なんだ！！　都合の良い名前まで
用意されてるんだ！！（失笑）　文句がある奴は、他所のスレ行けよ！」
‥‥‥ってな感じ。しかも無矛盾であることの保証は、実はメタな系から
盗用して知らんぷり（笑）。いや、今井よりゃマシだとは思うけどね。

何つうか、子供みたいだよね。性格は良い人らしいんだけど‥‥‥。

>>43さんから集合論嫌いに思われてしまったのだけどそのように
読めるのかなぁ。こまるのは高階論理のことを振り回しながら、
そのモデルを考えない哲学系の人たちのことだったんです。
集合論好きですよ！

集合の要素は人間が作った記号の集まりです。

>>50
それ今井数学の集合の定義ですか？それなら、すごくわかる気がします。

>>47
　正確にいえばいろいろ文句もあると思うけど、要はZFでは集合の「集まり」を
自由に考えることができないけれど、ZFにおける、集合に関する任意の命題を Ｐ
とするとき、{x|Ｐ} というクラスを考えることができるのがBG集合論でしょ？
もちろん「厳密に言えば」、集合論化では∈をZF本来の∈と区別して別の記号を
用意しなければならないけど、そのことは承知で書いたの。


>>48
　何を文句言ってるのやら・・・・・。無矛盾性の証明だけど、もしまじめにやろ
うとするなら、ゲンツェンの基本定理や自然数論の無矛盾性の証明みたいにしてで
きるんだろうと思う。まあ、こういう文句言う人は「やってみてから言え」という
んだろうけど、イメージの段階で書いてるんで、それを気に入らんというなら仕方
ないね。要はこういう態度が「気にいらない」だけなんだろ？

>>52
「正確にいえば、、、」の話ですが、BGより強くして class quantifier
をゆるしたのに名前がついていたと思うのですけど、名前が思いだせませ
ん。ご存知なら教えてください。

>>52
>ZFにおける、集合に関する任意の命題を Ｐとするとき、
>{x|Ｐ} というクラスを考えることができるのがBG集合論でしょ？

だから、違うよ（笑）。
BG集合論を構築するのに、ZF集合論は使わない。
どこにもそんなことは書いてない。

ちゃんとBG集合論について書かれたものを調べてくれる？
勝手な推測で自分のBG集合論を作られても、
BernaysもGo"delも「そんなの、知らない」
って言うよ。

Goödel → Gödel
ttp://www.e-words.ne.jp/page.asp?p=r-htmlentity

ちょっとちがったNE

クラス関係を除けば、同値だったと思うがなぁ。

>>57

だから「BG集合論がZF集合論の１階の階層化」
だということにはならないでしょ。
とにかく、BG集合論について調べてください。
調べないで、勝手なことをいうのは止めてね。

>>48
「ボクは矛盾を生じないものだけを考えたいんだ！！
　そうするって決めたんだ！！
　それがボクの興味なんだ！！
　都合の良い名前まで用意されてるんだ！！（失笑）
　文句がある奴は、他所のスレ行けよ！」

最初の文章を除けば、まるきり今井と同じ（笑）

で、最初の文章は、このほうが適切
「ボクは有限なものだけを考えたいんだ！！」

しかし有用な無限は、盗用して知らんぷり（笑）。

困るのは、泥棒行為に関する無意識さね。

>>49
＞こまるのは高階論理のことを振り回しながら、
＞そのモデルを考えない哲学系の人たち

Stromdorfの口から
「モデルを考えない人は困る」
という言葉が出ようとは。

モデルを考えること自体が、彼の「有限だけを考えたい」という
思想を粉々に打ち砕く爆弾であることにはまったく無自覚のようだ。
ふぅ、これだから哲学を知らない夷狄蛮戎は困るね。

>>54,>>58
　どうも私の言い方が「私が誤解している」と受け取られたらしい。
　ＢＧがＺＦをベースにしてないことも知っているし、貴方の言ってることも
わかってるんだが、どうも互いに「イメージ」の部分が違うと、私が不正確さ
を承知でイメージを述べていることが伝わらなかったようだ。
　では言い方を変えよう。
　ＺＦ集合論では ∈ という２項述語は用いるが、{x|Ｐ} という一種のquantifier
は基本記号ではない。単に ∃a∀x{x∈a⇔Ｐ(x)} が証明できるような命題 Ｐ(x) が
あった場合にこの(ただ一つ)存在する a を {x|Ｐ(x)} という記号で表わす、とい
う形で導入するだけだ。これは、(あくまでいわゆるι-quantifierを基本論理記号と
して導入した場合の話だが) ιa(∀x{x∈a⇔Ｐ(x)}) という論理式の省略記号として
副次的に導入されるのがＺＦの場合だ。
　これに対してＢＧ集合論では初めから ∈ という２項述語のほかに {x|Ｐ(x)} と
いうquantifierを基本論理記号として持っている。
　ところで任意に理論 Ｔ が与えられた場合、この理論に新たに {x|Ｐ(x)} という
quantifierを基本論理記号として追加し、「集合をあらわす変数」というものを導入
し、

ｔ∈{x|Ｐ(x)} ⇔ Ｐ(ｔ)

を公理図式に追加したものが、私の言う「集合論化」だ。要は {x|Ｐ(x)} という
quantifierを(一般に)基本論理記号として持たない理論と {x|Ｐ(x)} という
quantifierを持つ理論という対比がＺＦとＢＧの関係と似ている、ということ。
　私の比喩が不適切だった点は謝るが、ＺＦやＢＧの個々の公理を問題にしている
わけではない。だから公理も含めたＺＦを集合論化が公理も含めたＢＧだ、などと
主張しているわけではない。こんな主張はもちろん成り立たないし、そんなことは
百も承知だ。

>>59
　残念ながら49はStromdorfではないよ。本人が言うのだから間違いない。

>>53
Morse-Kelly 集合論あるいは２階 Morse-Kelly 集合論というようです。
>>60さんが説明されているのは BG 集合論.
>>47 >>58 でいってることはこの2つが違うということなのかなぁと推測
しますが、ちがいますか?

BGでの集合論的命題に対する一般存在定理を公理として採用しても，
BGと同等，でもこれだと有限公理化できないんだな．
だから，公理として採用しないのさ．
ところで{x|Ｐ(x)} を使うと弱くない？
classに対するこれは集合であるという述語Mのほうがよくない？

>>60
> ＺＦ集合論では ∈ という２項述語は用いるが、
> {x|Ｐ} という一種のquantifierは基本記号ではない。
> 単に ∃a∀x{x∈a⇔Ｐ(x)} が証明できるような
> 命題 Ｐ(x) があった場合にこの(ただ一つ)存在する a を
> {x|Ｐ(x)} という記号で表わす、という形で導入するだけだ。

もしかしてＺＦも知らないのか？

ＺＦでは{x|P(X)}という記法は用いない。
用いる場合は適当な集合aについて
{x∈a|P(x)}の形で用いる。
aが明らかな場合にのみ、”省略記法”として
{x|P(x)}が認められるだけである。

> これに対してＢＧ集合論では初めから ∈ という２項述語のほかに
> {x|Ｐ(x)} というquantifierを基本論理記号として持っている。

本当にＢＧを知ってるのか？

ＢＧで、P(x)の中の式の束縛変数が集合の範囲内に限定されている
場合には、{x|P(x)}はクラスとなる。集合ではない。
集合とする場合には、上記のクラスと適当な集合aとの共通部分を
とる必要がある。（注：ＢＧでは包含関係や、共通部分や和の演算
はクラスに対して定義される）結果的には、ＺＦと同じである。

>ところで任意に理論 Ｔ が与えられた場合、
>この理論に新たに {x|Ｐ(x)} というquantifierを
>基本論理記号として追加し、「集合をあらわす変数」
>というものを導入し、
>ｔ∈{x|Ｐ(x)} ⇔ Ｐ(ｔ)
>を公理図式に追加したものが、私の言う「集合論化」だ。
>要は {x|Ｐ(x)} というquantifierを
>(一般に)基本論理記号として持たない理論と
>{x|Ｐ(x)} というquantifierを持つ理論という対比が
>ＺＦとＢＧの関係と似ている、ということ。

それは名目上であって、実質的には何ら意味はない。

もし、ＢＧで集合ではない「固有のクラス」に対して、
積極的な解析を行っているなら、その比喩は実質的にも
意味をもつだろう。
この場合、集合に対して、クラスがいわば「集合の集合」
という形になる。

しかしながら、ＢＧでは実はクラスは積極的な意味を
もっていない。実際には、無限集合ωを元にする、
「集合論化」の累積をみな包含するような枠組みを
構築するために、{x|P(x)}という「操作」が利用されて
いるだけである。

>>64
60ではございませんが60の方が間違っていらっしゃるようには見え
ませんが。ゲーデルの薄い本（1940年頃）に書いてあるのですから
「知らないのか？」「知ってるのか？」とかいわれるのはどういう
意味だか私にはわかりかねます。
私の目には「｛ｘ｜P(x)}というquatifier、、、」という言葉づかい
はかなり数理論理学の素養のある方に見えます。つまり数理論理学の
形式だけでなく内容を理解されている方に見えます。
私は42と49を書いたものです。Stromdorffさんでもありません、ご本
人が既におっしゃっているようですが。

>>66
> ゲーデルの薄い本（1940年頃）に書いてあるのですから

いったい何が書いてあるというのかな？

>私の目には「｛ｘ｜P(x)}というquatifier、、、」という
>言葉づかいはかなり数理論理学の素養のある方に見えます。
>つまり数理論理学の形式だけでなく内容を理解されている方に
>見えます。

なぜ、文章を読まずに言葉づかいだけで、
内容を理解していると判断するのかな？

で、貴方は数理論理学をわかっているのかな？

64 から 60 への ZF に関する批判は的外れ．
それにしても，数理論理学に関するやりとりで挑発的な物言いが多いのはなぜだろう？

>>64
＞ 用いる場合は適当な集合aについて
＞ {x∈a|P(x)}の形で用いる。
＞ aが明らかな場合にのみ、”省略記法”として
＞ {x|P(x)}が認められるだけである。

　それはウソです（きっぱり）！
　貴方の読んだ本にどう書いてあるかしらんが、それは流儀の違いに
過ぎない。例えばブルバキなんかはＢＧでなくＺＦだけど私の書いた
とおりのになってるよ。

＞ ＢＧで、P(x)の中の式の束縛変数が集合の範囲内に限定されている
＞ 場合には、{x|P(x)}はクラスとなる。集合ではない。

　人の書いた文章の文脈が読めない人だね。私がそこで書いた「集合」
というのは貴方の言う「クラス」の意味に決まってるでしょ！

>>65
　単なる主観的な感想ですな。単なる価値観の相違でしょう。私の論点
における定義や推論の間違いとか計算ミスとかを指摘するような、実質
的な批判になってないので、コメントする価値を見出せませんね。

>>68

＞ それにしても，数理論理学に関するやりとりで挑発的な物言いが多いのはなぜだろう？

　それは数学と違って根底のところに「哲学」もっといえば「宗教」が絡んでくるからだろう。

>>69
＞それはウソです（きっぱり）！
＞貴方の読んだ本にどう書いてあるかしらんが、
＞それは流儀の違いに過ぎない。
＞例えばブルバキなんかはＢＧでなくＺＦだけど
＞私の書いたとおりのになってるよ。

ホントウだ。
もし、ブルバキにそう書いてあるなら、
それは間違いなく省略記法であって、
明らかにベースとなる集合ａがある。

もう一度読み直したまえ。

＞私がそこで書いた「集合」というのは
＞貴方の言う「クラス」の意味に決まってるでしょ！

まるで駄々っ子だな。私は読心術者ではない。

＞ 用いる場合は適当な集合aについて
＞ {x∈a|P(x)}の形で用いる。
＞ aが明らかな場合にのみ、”省略記法”として
＞ {x|P(x)}が認められるだけである。

　69です。上で「流儀の違い」なんて書いたけど、彼のこの主張は実は
「誤り」だね。例えば集合 a が与えられたとき、a の冪集合は {x|x⊂a}
で定義されるけど、これは {x∈b|x⊂a} と書くべき b など予め与えて
やることはできないよ。

>>72
＞ 明らかにベースとなる集合ａがある。

　それはあんたの思い込み。73にかいたとおり。それに、そんなベース
となる集合を書かなきゃ意味がないなんて「思い込み」は、まだ置換公
理が提案されなかった「分出公理」時代の名残じゃないかね？論理的に
は、そんな制限をしても意味ないし、それじゃ不自由であることは 73
に書いたとおりだ。

＞ まるで駄々っ子だな。私は読心術者ではない。

　それはこっちの言い分だ。私はそこで「集合論化」という概念を導入
しているのだから、その集合論化における対象を「集合」と呼ぶのは当
然だ。それをＢＧでは通常はクラスと読んでいるに過ぎない。そんなこ
とは私の文章を読めば誰でもわかるだろう。あんたのそういう屁理屈は、
私が誤解しているということを読者に印象付けようとしている苦しい悪
あがきにしか見えない。

>>67
文句があるなら数学会にでておいで。M_SHIRAISHIみたいに
Internet のなかだけじゃなくてさ!!!

72氏との論争について

ＺＦにおける {x|Ｐ} という記法に関する論争が続いているが、彼の
主張の背景は、おそらく「Ｐ がどんな命題でも {x|Ｐ} という記号は
“意味を持つ”、もっと正確に言うと、{x|Ｐ} という記号はいかなる
場合にも Ｐ を満たす x 全体の集合という意味を持っていなければな
らない」という不問律を持っているのだろうと思われる。実際、ブルバ
キの記法でいう coll(Ｐ) つなわち「Ｐ は x について集合を作りうる」
という命題が偽の場合、この記法は意味を持たなくなくなってしまう。
これに対し、{x∈a|Ｐ} という記号だったら、Ｐ がどんな命題であって
も「a の元でＰを満たすものの全体」という意味を持つことになるから、
彼の不問律にかなうわけである。
　しかし、数学記号がいつどんな場合でも“意味を持つ”、正確に言えば
“意図した意味を持つ”ようにすべきだ、などというのは机上の空論に過
ぎない。例えばＺＦでは「写像」は「集合」を使って定義されるが、ｆ(ｘ)
という記号列は「ｆ が写像である」という命題が成り立つ場合にしか意味
を持たない。通常の数学では「ある命題が成立している場合にのみ意味を
持つ記法」などいくらでもある。だから集合の記号についてだけ、こんな
ことにこだわってみてもまるで意味がない。

>>73
> 例えば集合 a が与えられたとき、
> a の冪集合は {x|x⊂a}で定義されるけど

それが誤り（笑）
何のためにZFでべき集合の公理が存在すると思ってるのかい？
BGでも上だけではベキ”クラス”を定義したことにしかならない。
別に、集合のベキ”クラス”は集合になる、という公理が必要。

>>74
> ベースとなる集合を書かなきゃ意味がないなんて「思い込み」は、
> まだ置換公理が提案されなかった「分出公理」時代の名残じゃ
> ないかね？

確かに置換公理は、分出公理よりも強力である。
しかし、それだからといって、{x|P(x)}なる表現を
集合として正当化できるわけではない。

>>75
>文句があるなら数学会にでておいで。
>M_SHIRAISHIみたいにInternet のなかだけじゃなくてさ!!!

そのセリフ、そっくりそのまま君に返そう。

>>77
＞ BGでも上だけではベキ”クラス”を定義したことにしかならない。
＞ 別に、集合のベキ”クラス”は集合になる、という公理が必要。

　そんなの当たり前じゃん。今さら何言ってるの？それとも私が「そう
じゃない」なんてどこかで主張したわけ？


>>78

75を書いた人だれ？もし78が75をStromだと思ってるんなら残念でした、
また違うよ。もしそう思ってたなら、あんたってよっぽど思い込みの激
しい人だね。

＞> 例えば集合 a が与えられたとき、
＞> a の冪集合は {x|x⊂a}で定義されるけど
＞
＞ それが誤り（笑）

　そうだね、ただし「あんたの流儀では」という形容詞が付くけどね。
でもブルバキの公理体系では coll_x(x⊂a) は真だから、冪集合の定
義は {x|x⊂a} で正しいのよん。ZFの冪集合の公理ってのは

∀a∃b∀x（x∈b⇔x⊂a）

でしょ？これってブルバキでいうなら coll_x(x⊂a) が真であること
を保証するためにあるのよん。{x|x⊂a} という記号を使っていいかど
うかとは全く別問題でしょ。しっかりしてよ、大丈夫？

>>77
　あそうかそうか、あんたが何を「それは誤り」って言ってるのかや
っとわかったよ。私が「何の公理も仮定せずに {x|x⊂a} と勝手に書
いて、ほら冪集合を作ったよ」って主張してるんだと思ったんだ。
　そんなこと主張するわけないだろ。当然80に書いたようなバックグ
ラウンドがあって書いてるのだ。そんなこと私の文章を見れば誤解する
わけないと思ったのにな・・・。それにしてもつくづく思い込みの激し
い人だ。

>>79
>>80
>>81

なに吠えてんだ？Stromdorf（笑）

重ねていうが、私は読心術者ではない。
君が頭の中で何をわかっていようと、それが
ここで明らかに表現されない限りは「知らない」
と判断するのは当然である。

>>78
乱暴な言葉を使うのは 私 42=47=66=75=81のときだけにしてください。
学会でこういうお話しをされればいかがですか?

>>82
　しかし結果的に君の投稿は無意味なわけだな。

>>84
＞ 君が頭の中で何をわかっていようと、それが
＞ ここで明らかに表現されない限りは「知らない」
＞ と判断するのは当然である。

　いいや。私は婉曲表現で貴方に応答したけど、はっきり言わせて貰え
ば、あんたが私の文章を(悪意に満ちて)誤読してるだけではないか。

>>84
　スマソ、85中の >>84 は >>82 の間違いだった。

訂正 ： 等式のうち 81 は誤り 42=47=66=75=83 です。81の方
失礼しました。

>>83さんへ
　すいません、単なる書き間違いだと思いますが、

＞ 乱暴な言葉を使うのは 私 42=47=66=75=81のときだけにしてください。

の最後の81は83の間違いですよね。79=80=81=85=86ですので・・・。

こちらこそダブってすいません！

>>85

笑止

　おやおや、82=90かな？さて、82の発言を蒸し返すけど、私の73での発言：

＞ 例えば集合 a が与えられたとき、
＞ a の冪集合は {x|x⊂a}で定義されるけど

のどこをどう読めば「何の公理も仮定せずに {x|x⊂a} と勝手に書いて、ほら冪集
合を作ったよ」という意味にとれるのかな？
　国語力の問題だな。貴方が誤読していることは明白だね。この一文から私が冪集合
の公理のことを「知らない」と判断した、などというのは貴方の「思い込み」（とい
うより「妄想」だね、こりゃ）以外の何ものでもないね。

>>91

どこに「べき集合の公理を仮定した上で」と書いたのかな？
国語力は想像力ではない。知っていてもちゃんと表現するべき
ときに表現できない貴方の知性の欠陥は明らかだろう。

>>91
はっきりいって、些細なことを重大視し、
肝心なことを看過する欠陥は今回がはじめて
ではないよ。

いい加減数学でオナニーするのはやめたら如何？

>>93
　議論対象の価値を主観的に決めるのはやめてもらえないかな。
　貴方が82=90だとして、貴方にとって「些細」なことが私にとって
「重大」だったりするし、その逆もあるし、どっちが正当と言うこと
ではないだろ？こういう議論って「宗教論争」以外の何ものでもない
と思わないかい？はっきり逝って、82=90氏の批判は「くだらない」よ。

>>92

＞ どこに「べき集合の公理を仮定した上で」と書いたのかな？

　どこに「べき集合の公理を使わないで」って書いたかな？

>>94
＞議論対象の価値を主観的に決めるのはやめてもらえないかな。

なるほど、自分がやるのはいいが、他人がやるのは気に入らんというわけか？

＞貴方にとって「些細」なことが私にとって「重大」だったりするし、
＞その逆もあるし、どっちが正当と言うことではないだろ？

それなら君はなぜ語る？君の主張は素晴らしいのかい？

笑止！

>>95

その論法は通用しない。
君は根拠を書かなかった。さも｛ｘ｜ｘ⊂ａ｝で十分と
いいたげに得意満面の笑みを浮かべて書いたんだろう？

>>96
　それらのお言葉、そっくり貴方にお返しします。

>>97
　すごい穿った発言だね。それとすごい身勝手な想像。あきれるね。
ＺＦの話をしてるんだから、ＺＦの公理を前提にしているのは当たり
前だろう？
　このことは既に私と某氏との「ＺＦの集合論化がＢＧ」発言を巡っ
て私が某氏が私に指摘し、私が誤解を与えた点を謝った経緯を見れば、
それ以降「ＺＦの話をしているときはＺＦの公理を前提にして」読む
のは当たり前じゃないのか？

じゃ，まあ，そういうことで
今日のところはお開きに

>>99
＞ＺＦの話をしてるんだから、ＺＦの公理を
＞前提にしているのは当たり前だろう？

だったらなぜ{x|P(x)}に固執するのかな？

貴方が正当とする例は、みな自然な内包として
実現されるのではなくして、みなZFなりBGなり
の「公理」でわざわざ保証したものばかりである。

そして任意のP(x)について{x|P(x)}そのものは
一般に集合になるわけではなく、ただ集合との
共通部分を取ることで集合となるという事実は
動かしがたい。

すなわち貴方のいう「集合論化」は直接には意味がなく、
ただ、任意の集合において、その「集合論化」がまた
集合となることに、ZFやBGの本当の意味があるといって
いるのである。いわゆる反復的な集合観である。

この件については例えばGeorge Boolosの
"The Iterative Conception of Set"
などを読まれたい。

私は貴方との議論で、改めて集合論の意義について
理解することができた。このことにだけは感謝しよう。
貴方が、集合論の意義について、貴方なりの
新たな理解を得られることを望む。

揚げ

集合(set)

自然数の集合より濃度が小さい集合があるような公理系は無いのかな

そりゃあむりでしょ。任意の無限集合は
要素を一つづつ取り出せるという選択公理を用いてやれば、
その部分集合であって自然数と濃度の等しいものを含むから。

>>105
＞部分集合であって自然数と濃度の等しいものを含む

これを示すのに、選択公理はいらない。
むしろ、選択公理がないと、有限個でないのに、
自分自身と一対一対応する部分集合が存在しない
ものがあり得る。

＞ これを示すのに、選択公理はいらない。

いるよ

上の議論って、どう読んでも>>101が圧倒的に正しいよね。
別に、ちっとも難しい話じゃないし。
こんなことも理解できないってのは、基礎論以前の問題。
論理的思考能力に、致命的な欠陥があるとしか思えないよ。

ここまで頭悪いと、普通の数学やるときだって、差し障り
あるんじゃないの？？

いきなりどうしたの？（ワ

>>108
「圧倒的に正しい」と「正しい」には違いがあるのでしょうか?
「圧倒的」とつけるとうさんくさく見えますが?

品がないしね

そうそう。
「圧倒的」なんて、全然冴えないよ。
もっと、「超メチャンコ爆発的に正しい」とか
言ってこれなくちゃ、説得力ない。
みんなが言いたいのも、そういうことだろ？（笑）

いや、納得できないね。
個人的には、
「ハチャメチャみそくそメークドラマ的に正しい」
と言って欲しい。
>>112は、スレの流れを読めないDQNだね。

>>107

じゃ、聞くけど、君のいう無限集合の定義は？

>>114
まあ、まあ、いいじゃないですか。ほっとけば・・

>>115

ま、いいじゃないか。聞きたいっていうんだから。

集合Aが有限であることの定義は、ある自然数n(von Neumann の表示)と
1ー1に対応すること。
Dedekind 有限はAが真部分集合を1ー1に対応しないこと。
Dedekind 有限なら有限であること、また
Dedekind 有限でなければ自然数を1ー1に対応する部分集合が存在する
こと両方とも選択公理がいる。

>>107=>>117だったら自爆してるな（ｗ

107は別な人だけど、もし同一だとなんで自爆になるか理解できないのですが?

>>114
ほんとに要らないの？＞選択公理

＞部分集合であって自然数と濃度の等しいものを含む

これは「自然数の集合からの単射が存在する」
という意味だ。
その単射を一般の場合に構成するのは
選出公理意外に方法はない。

実数の集合の部分集合は有限集合か
自然数の集合と同じ濃度か実数の集合自体と同じ濃度のどれかだよね？

ははは
すごい素朴な奴

その主張がCHだ。
CH→ACはゲーデルの38年の結果の一つ

GCH⇒AC だった

自分より濃度が小さい集合からその集合自体への単射が
存在すると言うのは自明…だよね？

あと２つの集合があったとき濃度に（等号も含めて）
必ず大小関係が成り立つってのも明らかだよね？

だったら122は当たり前の事だったか

無限集合は可算集合を含むというのは
直観的に言えそうだけど
その直観にすでに選出公理が入ってるんだよ

＞あと２つの集合があったとき濃度に（等号も含めて）
＞必ず大小関係が成り立つってのも明らかだよね？

まさにこれに選出公理使ってるんだ

以前から思ってた集合論の疑問きいてみていい？
ＢＧ集合論の選択公理って
∀X∃Y X∈Y＆not(Φ∈X)⇒∃F:X→∪[a∈X]a s.t. F(a)∈a
それとも
∀X not(Φ∈X)⇒∃F:X→∪[a∈X]a s.t. F(a)∈a
どっち？もしかして同値？集合論って独習でかじった程度なので(うちの
大学、基礎論とか集合論の授業ないので)当方ＤＱＮゆえへんな質問かも
しれませんがだれかおしえてくらはい。

>>129
前者は集合に関する選択公理、後者はクラスに関するもの。後者の方が
強力、同値ではない。

>>130
やはり同値ではないですか。それでＢＧ集合論で選択公理って通常
どっちをさすんでしょう？あと同値でないことはどうやって証明するの？
つまり前者の公理はみたすけど後者の公理をみたすモデルってどうやって構成するの？

集合のみを含むBGの定理はZFの定理である

>>132
すいません。当方ＤＱＮなもんでよくわからんのですがそれもしかして
>>131へのレス？

しまった。さげてもた。あげ。

>>131
クラス型の強制法。

>>135
だめだ。ぜんぜんわからん。
＞クラス型の強制法。
なんですこれ？できれば概略きぼん。

一口で説明できるようなものではないので、ここでは仕方ないでしょう。
大学で勉強してください。

>>137
当方の大学にはその手の研究室がないんです。
＞一口で説明できるようなものではないので、ここでは仕方ないでしょう。
そうですか。ならしょうがないですね。でも結論として
>>129の上の公理は成立するけど下の公理は成立しないモデルは構成可能なんですね。
その証明ののってる論文か本だけでも紹介してもらえません？(できれば本きぼんぬ。)

わすれてた。そいで同値でないとしてＢＧで選択公理っていった場合どちらのことをさすの？

>>139
後者のクラス型の強い方。
論文その他は AMS Math-Sci net で調べて下さい。

>>140
＞論文その他は AMS Math-Sci net で調べて下さい。
あの〜、結局構成可能なんですか？構成可能ならその構成法(クラス型の強制法？)
の載ってる論文のタイトルか著者名だけでも教えてもらえません？
なんの手がかりなしに検索しても山のようにＨｉｔしそうで。うちの
雑誌室にない雑誌だと論文とりよせないといけないし、(なさそうだし)
とりよせてのってなかったらたまらんし。

>>121

＞＞部分集合であって自然数と濃度の等しいものを含む
＞これは「自然数の集合からの単射が存在する」
＞という意味だ。

それが無限集合の定義じゃないのか？
だから、無限集合の定義を聞いたんだ。

ああ、ある自然数との一対一対応がつかない集合を
「無限集合」といったのか。
それなら、確かに自然数全体からの単射が
必ず構成できるとはいえんな。

連続濃度とか言うけど、それの代表的な例である実数が連続だからそう言うんですよね？

実数の部分集合で実数と同じ濃度だけど全く連続じゃない例ってありますよね？

って実数から有理数除いた集合ってそうなのかな？
もっと直感的に見て離散っぽく感じるのはないのか…？

カントール集合だっけ
[0, 1]区間から1/3ずつ取り除いていくフラクタルな集合。

カントール集合は[0,1]区間の部分集合として測度０で
空疎集合。真中からとる開区間の幅の率をどんどん小さく
とっていくと正測度の空疎集合ができる。これいい演習
問題。

集合とは記号を集めたものである。　　　今井塾セミナーより。

今井数学では無限集合は存在しません。ですから記号の集合は常に
有限であり、記号の全ての集合というのは存在しません。
無限というのは無であり非存在です。
いまいましいいまいましいいまいましい、、、。って書いても
決して無限には続きません、それが「いまいまし、、、」数学。

こんなこと今井さんが自分で書けたら、新しい技を身につけた
なぁって感心しちゃうんだけどな。

>>145-146
確かに連続じゃないし離散っぽく感じます。
あの後�納n≧0]3^(-n)*a_n（a_nは0か1）で表される数の集合とか考えてみましたが、
こっちの方が寂しさがなお感じられていいです。ありがとうございました

カントール集合勉強のため　あげ

り‐さん【離散】

りさん【離散】
人がちりぢりになること。住みなれた土地を離脱すること。「一家離散」

Kokugo Dai Jiten Dictionary. Shinsou-ban (Revised edition) ｩ Shogakukan 1988/国語大辞典（新装版）ｩ小学館 1988

り-さん【李さん】
中国韓国人にありがちな名前。「一家李さん」

私は官トールを尊敬しているんです。

集合楽しいよね。

うん楽しいよね。

無限のことを考えると発狂します

3時だよ! 全員集合!!

>>158
ほんとに?
まだ有限回しか考えてないんでしょ?

>>160
別に構成的に考える必要はないだろう。

>>161
どう考えようと
「考える」ってことは有限回しかできないだろう。

>>162
>>158の無限って無限回のことなのか？
ていうか、既に君も無限について考えてるじゃん。

>>159
3時と8時って似てるね。似てるといっても同相じゃないのにね。わたしの目が悪いだけだね。

せっかくだから(Sets)さん、「ハチジダヨゼンイン集合」という名前の集合をうまく定義してください。
うまくというのはネタ的にうまくってことですよ。
普通の意味のwell-definedにするのは当り前だからね。

カントールさんは無限の事を考え続けて、精神を病んだらしいが...

クロネッカーのいじめ等が負担になったからじゃない？カントール。

で、クロネッカーの方はカントールのレジュメ等が負担になってたって訳か。
お粗末さまでした。

>>167
面白いじゃん。数学って、セミナーでもいじめあって、論文でも
レフリーとやりあったりする神経戦型ゲームなんだ。

>>165

いや、もともと精神が普通でなかったから、無限を考えたともいえる。
そんな男でも、自分の云ってることが普通でないことは分かった。
だから、ますます狂ったわけだな。

age

>>1
非数学科出身ですが。。。
集合『論』の本質ならば。。。可算性と、集合間における論理的関係でしょう。。。
『集合』の本質ならば。。。分類性と共通性では？
語彙が、難しくてスイマソン。
でも、『集合』の『本質』は、『認識』の本質と関連があるから、心理板でも同時に聞いてみたら？

2度と来ないでね

>>172
鎖国的精神ですか。。。ｗ

>>171「可算性」とやらについて解説してくれる？

>>174
例えば、対象物に対して自然数を付加して、その個数を数え上げることのできる性質です。
しかし、その結果として対象物が『無限個』ならば、有限個の個数は提示できません。
そのため、その『無限個』をアレフ(χ)･ゼロと記号表現します。
こんなトコでいいでしょうか？
>>174の数学科出身さん。。。ｗ
または、現代哲学科さん？ｗ

>しかし、その結果として対象物が『無限個』ならば、有限個の個数は提示できません。
>そのため、その『無限個』をアレフ(χ)･ゼロと記号表現します。

・・・・この人は無限個であれば必ずアレフゼロだと思っているようだ・・・・

>>176
必ずとは書いてないよ。＞カントール関連の本をよく読みな。

書いてなくてもそう読める。

>対象物が『無限個』ならば、
>その『無限個』をアレフ(χ)･ゼロと記号表現します。

>>178
ちなみに、『２個以上の元からなる無限個の集合に包含される元の個数は、無限個の集合以上の個数である』ことは了解済みでカキコしていると。。。テスト。

>>179
ちなみに、アゲアシとられないように。。。『包含される元の個数の総和は…』ね。ｗ

>>178
文章の解読方法が、微視的ですよ。ｗ　＞　>>176と>>178は論理的でない。必要十分条件ではないな。ｗ

＞２個以上の元からなる無限個の集合に包含される元の個数の総和

句読点使えやハゲ

↑
お前もなー

使用例 句読点使えや、ハゲ

>>182
返り討ちに合う、数学科の学生。。。という、罠。ｗ
イチャモンつけが天罰に遭う、という。。。現象。ｗ

／￣＼　　　　　　　　　
|　 お　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／￣＼
|　 や　|　　　　　　 ／| |　 |　＼　　　　　　　　　| 不 そ |
|　 め　|　　　　 　/　 | |　　|　　＼　　　　　　　 | 良 ん |
| 　な　|　　　　／＿　　|　　　＿　＼| 　　　　　| み な　|
| 　さ 　|　　　/ 　＿＼ 　　／＿__　　|　　　　　| た　：　|
|　 い　|　　／　´(0ｏ)ヽ　　´(０ｏ)ヽ″|　 　　　| い　：　|
|　 ！　＞　　　|　￣　/ 　　　￣´　　　|　　　　| な　　　|
＼＿／　　ノ　 |　　　　　　　　　　　　丿 　　　| 口　　　|
　　　　　　　　　|　　 ヤ　　　　　　　ノ　　　 ＜　の　 　|
く　　　　　/　　　|　　　ｌ⌒ヽ　　　く　　　/　　　| き　 　|
　＼/　　　/　　　＼　　ー´′　　　＼/ 　　　　| き　 　|
　　＼/ 　　　　　　　＼　｀　 　　　　　/＼　/　 | 方　　|　　　　
　　　＼|＿＿.＿／　　 ￣７ 　　　／　　|　／ 　＼＿／　
　　　　　　 　／＾|　　　　,儿＿＿/＾＼　 |　　　　　　　　
　　　　　　／　　　|　　　|　　　　/　　　＼|　　＼
　　　 　∠-―――|　　 |　　　 /　　　　　　　　　＼

>>179
何で「１個以上」じゃないんですか？

仮にわかってるんなら、素直に「書き間違えた」と
言えば済むだけの話なのに・・・

２個以上の元からなる、無限個の集合に包含される元の個数

２個以上の元からなる無限個の集合に包含される、元の個数

>>179は日本語不自由

>>186
考えてごらん。
これは、数学の知識ではないよ。数え上げの問題だよ。

>>189
いや、考えたところ、「１個以上」でもいいと思うのですが。

＞無限個の集合に包含される元

先生、集合に包含されるのは集合だと思います！

>>187
よく読んでみな。＞『対象物に』と書いてあるでしょ。
数学やる前に、日本語の文章読解力を。。。＞国語の成績はいいの？特に、現代国語。

ココの住民は、典型的な理系バカだな。オレも理系だが。

|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
|　電波を感知しました｡　|
|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|
　　　　　　　　　　　　　　／　／
　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　 ＿　　　　　　　　　ﾋﾞﾋﾞﾋﾞ
　　　　 /||__|∧　　　 ／
　　。.|.（Ｏ´∀｀）　／
　　|≡（ ))　　))つ
　　｀ー｜ ｜　|
　　　　（_＿）＿）

なかなか巧妙なｼﾞｻｸｼﾞｴﾝだな。

>>194
きみの脳内電波を短絡受信したか？ｗ

数学科は理系の掃き溜めって、本当だったんですね。ｗ
だって、国語も数学もわからない人ばっか。。。ｗ＞この板の住人

>>197
激しく同感。それにアゲアシ取りの低知能。＞他の数学『家』が可哀想。

>>171=>>197その前にお前の国語はだいじょぶか？
それから、分からない事は分からないと早めに申告した方が良いぞ。
「分類性」と「共通性」って何だ？数学の用語で説明してくれるか？

http://pucchi.net/7/palu22/

PC iモ−ド対応です！　
コギャル〜？？？HHHな出会い



http://pucchi.net/7/palu22/

PC iモ−ド対応です！　
コギャルだよ全員集合
コギャルも時代だよHH
出来る出会い！！

コギャル嫌い。

>>199
ちなみに197ではありませんよ。＞文体は似ていますが。。。

「分類性」と「共通性」に関しては、『集合』に関しての私見です。
決して、『集合論』や『数学的な集合』ではないですよ。
初等的な、分類に近い『集合』についての私見です。＞だから、あえて、集合『論』ではなく『集合』としました。
>>171を見てください。

『集合』の根源的な発生過程を想像してカキコしました。
例：犬とリンゴと馬がいた時。。。
　　�@動物の集合の元は？＞分類と共通性が必要
　　�A犬(または、りんご)の集合を作成する時＞分類が必要

つまり、>>171は認知心理学的な意味での分類に関してカキコしたのでした。

あのさ、集合の本読んで勉強した事ある？

入院して集合の本を読んで２年で退院しましたが、何か？

>>203
偏執質ですな。

>>204ふーん。その割には・・・ってとこだな。
>>205まあね。

>>203
数学の本しかよんだことないだろ？ｗ

そんなことはない。

>>203
君のことを一歩手前と呼ぼう。。。以下略。ｗ

>>202
ここ数学板では、
数学的にあやふやなことを書けばで叩かれて当然のこともで、
認知心理学的にやはりデタラメなことを書いても抗弁できるということの
デモンストレーションですか?

# もちろん、心理学板や哲学板で同様なことを書けば叩かれるだけではないですか?

> 数学的にあやふやなことを書けばで叩かれて当然のこともで、
数学的にあやふやなことを書けば叩かれて当然でも、

>>210-211
お前のほうが、日本語が不自由。ばか。国語を勉強シル。ｗ
理系バカですな。＞数学と認知心理、哲学の発生を認められない。低知能。ｗ
お前はどこの駅弁大学？デカイ口叩くなら、論文書いてから言え。

>>211
数学科の学生？＞それなら、学者にはなれないよ。その知能ではね。ｗ

何か、便乗煽りがはびこっているような気が・・・

つーか煽ってるのは一人な気が・・・

まあいずれにしろ、以降での有効な議論は絶望的だな。

変なのに居着かれてしまったこのスレは
かわいそうだがご臨終ということで。
>>1よ、恨むなら寄生虫を恨んでくれ。

■合　掌　　(‐人‐)ﾅﾑﾅﾑ 　　合　掌■

「ｗ」にカッコをつけない。「。。。」や「＞」を多用。

数学板なら言葉の事についての煽りは無視して構わないし、
実際数学の事で何か言いたい事がある場合はそんな煽りは大抵は無視されるのが
現状だからそんなに悲観的になる事ないよ>>216

『無限の集合のすべての有限の部分集合(空集合を含む)のクラスが集合の輪であるが、その部分集合が集合のブール代数でないことを示してください。』

誰か解いて下さい。質問板で聞いたんですがロムるの忘れてdat落ち。
火曜にゼミの発表があるんでヤバイです！

>>219
問題の書き方が曖昧だ。次のように解釈してみる。

Uを無限集合、C={ X | X⊂U、Xは有限集合} としたとき、

１： Cは集合の輪(?)であることを示せ。
２： Cの（任意の？ある特定の？）部分集合は
　　集合ブール代数にならないことを示せ。

ここで困ることが２つある。
１つ目。集合の輪とは何か？
２つ目。２で言う「部分集合」とは、全てなのか特定なのか？

>>220
レスありがとうございます。
ring of set=集合の輪って訳したんですが意味不明です。
２については特定でいいと思います。
集合論は習い始めたばかりなんですいません。

>>221
>意味不明です。

それじゃあ答えようがないな。前のスレで、
A*B=A∩B
A+B=A△B（対称差）
と定めると環になるって話があったけど、それじゃないの？

>２については特定でいいと思います。

んじゃこうだ。X＝{φ} は集合ブール代数ではない。
なぜなら、{φ}の補元{C}がXに含まれないから。■

※もしかして２問目は、「Cは集合ブール代数にならないことを示せ。」
の間違いなんじゃないの？

＞もしかして２問目は、「Cは集合ブール代数にならないことを示せ。」
＞の間違いなんじゃないの？

そのとおりです！言われて気付きました。
数学英語が苦手なもんで…

それなら簡単だよ。
ブール代数の定義は大丈夫か？

X∈C ⇒ Xは有限集合 ⇒ Xの補元は無限集合 ⇒ Xの補元はCの要素ではない。
従ってCは集合ブール代数にはならない。■

だいたいこんな感じなんだけど。具体的なイメージは湧くか？
わからなければどんどん聞いてくれ。
今日は暇だから徹底的につきあってやる。

>>222
わかりやすいフローチャートありがとうございました！
さすがに理解出来ました♪

また何かあったら宜しくお願いします！！

>>171 >>173 >>175 >>177 >>179 >>180
>>181 >>184 >>189 >>192 >>196 >>197
>>198 >>202 >>207 >>209 >>212 >>213

G.F.Simmons:Introduction to Topology and Modern Analysis. Krieger, 1982
↑
これの日本語訳ってでてる？

　

hoshu

Ｐ(Ｐ({１,２})を要素を書き表す方法で書くとどうなりますか？

>>231
P({φ,{1},{2},{1,2}) だから 16 要素があるね。ここから先
はご自分で。

そこから先がわかんなくて聞いたんですけど…

>>233
P({a,b,c,d}) (a,b,c,d が異るとき) を表しておいてそこに
代入すればよい。この a,b,c,d についてわからなければ、初め
の 1,2 の場合何故わかってるのか不思議。そして、代入したもの
を書くのは面倒くさくなるだけで、全くそこに難しさがないことが
わかれば、それで終り。代入するとき、空集合 φと空集合１つからなる
集合 {φ}、あるいは {φ,{1}}, {φ,{1,2}} などと {{1}},
{{1,2}} が同じような気がする人は錯覚に陥っているので、クソ
真面目に代入すればそれで終りということに気がつくべき。

錯覚に陥ってましたｗ
同じような気がして聞いてみたんですけどやっぱ普通にやればいいんですね
ありがとうございました。

集合写真に心霊ｳﾂﾃﾀＹＯ

ごめん。心霊に見えたの俺だった。

位相空間（Ｒ^2,Ｏ）において
・無限集合の補集合が連結集合にはならない
・有限集合の補集合は常に連結集合になる

これってあってますか？
誰か解る方、よろしければお教え下さい。

本質ねぇ。分厚いとか・・

集合がこれだけメジャーになった今、
カントールをいじめた人の立場はどうなりますか？

ごめんなさい、もう死にます
ま、死んでんだけどね

むしろクロネッカーの立場を弁護する数学史家とかいないのかなぁ・・・
クロネッカーの立場でどこまで可能か、とかをすごい突き詰めてる人。
数学って重要な議論がほとんど水面下で進行して、最後の結果だけしか表に出ないから
こういう部分がどんどん闇に埋もれてくような気がする・・・
哲学ではへーゲルなんかが何時までものさばってるのに・・・

>>242
（Ｒ^2,Ｏ）てなに？

>>246
クロネッカー擁護する意見なんざあ結構あるし、実数のある種の「いかがわしさ」を
嫌う人間だっているだろう。

ていうかさ、クロネッカーの思想的な子孫は直観主義や構成主義だろ？
生き残ってるじゃないか（笑）

>>242
半分だな。

>>247
2次元って意味で　　　　

>>249
どっちが間違ってます？

>>250

>242
連結がつながってるってことがわかってれば、他人に訊くような問題
じゃないだろう。
キチンとした証明が書けないんだろう。

>>252
すいませんでした、自分で考えてみます。
申し訳ありません。

>>253
いや、謝る必要はない。
かって、同じようなことを考えた。
（通常の位相をもった）平面で完全非連結な部分集合の補集合は連結か？
で数ヶ月考えたが証明も反証もできなかった。

>>250
だから
「,Ｏ」
てなんなの？

>>255
開集合のクラスじゃない？

>254
ｎ次元ユークリッド空間R^nを不連結集合にわけるって話は一般には難しい
問題も含んでいるとは思いますが、その線で解けてない問題ってあるんですか？　

>>257
>ｎ次元ユークリッド空間R^nを不連結集合にわけるって話は、
は簡単。R^nは(n+1)個の0次元空間に分解できる。
>一般には難しい問題も含んでいるとは思いますが、
確かに。一般的状況（＝問題の設定）下ではとたん難しくなると
（少なくとも私はそう）感じる。
>その線で解けてない問題ってあるんですか？
それは知らん。次元論を調べてみよ。

>>258
むずい。

保守

集合って何？

無限集合って何？

要素があるにはあるが、有限個じゃない集合

有限集合ってなに？

（＾＾）