１＋１＝２である事を証明してみろ！

> S(0)+S(0) = S(S(0))
> ((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい

S(x)にあたる日本語として「xの次の自然数」という言葉を使いたくなります
が, その「次」という概念の定義に「x+1」は必ずしも含まれません.
任意の集合Aに対するA∪{A}という操作によって自然数を
　0 := φ (空集合)
　1 := 0∪{0} = {0}
　2 := 1∪{1} = {0, 1}
　3 := 2∪{2} = {0, 1, 2}
と定義し, 1変数関数Sを
　任意の自然数Aについて, A∪{A}をS(A)と表す
と定義します. ここからただちに
　1 = S(0)
　2 = S(S(0))
　3 = S(S(S(0)))
が導かれますが, 「x+1」はまだ登場しません. これに+の定義
　(Q4) ∀x[x+0 = x]
　(Q5) ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
を加えてはじめて
　x+1 = S(x)
が (任意の自然数xについて, 特にS(0)について) 証明されます.