★不定積分統合スレッド★

不定積分は難しい。
故に学習者には質問が多いはずである。
分からない不定積分は、ここに書き込んでみんなで解決していこう。
ここのレベルなら解決できない問題は無いのでは？

まずはネタ振り。

∫cos(x)dx　は？

↑間違えた・・・・

∫ 1/cos(x) dx　は？

　　　ヒント

t = tan(x/2)　とすると
　sinx = 2t/(1+t^2)
　cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
　dx = 2dt/(1+t^2)

となることを利用する。

y=∫[0,x] 1/cos(u) du ⇔ x=∫[0,y] 1/cosh(u) du

を示せ。

いや、この場合こうやっても解けるものと思われ

∫1/cos(x)dx=∫cos(x)/cos^2(x)dx ただし、^2は２乗の意。

また、cos^2(x) = 1-sin^2(x)
ここで、t=sinxとおく。dt/dx=cos(x)より、dx=dt/cos(x)

∫cos(x)/(1-sin^2(x))dx = -∫1/(t^2-1)dt = -∫1/(t+1)(t-1)dt
よって、(与式) = (1/2)∫(1/(t+1) - 1/(t-1))dx = (1/2)(log|t+1|-log|t-1|) + C

∫1/cos(x)dx=(1/2)log|(x+1)/(x-1)| + C
では本番いってみよう。

∫ 1/log(x) dx は？
ちなみに私は解法をしりません。

5≠6＝って？　です。当然さげ。

>>6
変数変換して戻し忘れてる！

> ∫ 1/log(x) dx
初等関数では表せません．

スマソ。
(1/2)log|(sin(x)+1)/(sin(x)-1)| + c

質問なんだけど、これはどうやったらいいですか？

∫dx/(1-5cos^2(x))

いくらやっても全然分かりません・・・・
お願いします。

三角関数の場合は定跡があるんじゃないの．

>>11
いや、途中でどうしてもいきづまっちゃうんです・・・

>>10
tan(x/2)＝t と置いて、sin x = 2t/(1+t^2) ,cos x = (1-t^2)/(1+t^2) ,
dx = 2dt/(1+t^2) って定跡があるYO

>>13
よくみたら、>>4にも同じ事が書いてありましたね。
済みません。ありがとうございました。

リアル工房なんですけど、どうやったら>>4の式が導けるの？
やってみたけどいまいちわからん・・・
よかったらご教授ください。

>>15
t=tan(ｘ/2)とおくと、
tanの倍角の公式より
　tanｘ=2t/(1-t^2)

sin^2ｘ + cos^2ｘ = 1 より
　1+t^2 = 1/cos^2ｘ

cosの倍角の公式より
　cosｘ＝cos^2ｘ(1 - t^2) = (1-t^2)/(1+t^2)

sinｘ＝cosｘ * tanｘ = 2t/(1+t^2)

dt/dx = 1/2 * (1/cos^2(x/2))
= (1+t^2)/2

ちょっち間違ってるけど、まあ、こんな感じです、ハイ。。

なんどもまちがい、スマソ・・

>>16
ありがとうございます。
自分でも早速やってみたいと思います。

∫logx dx ってどうやって解くんでしょうか・・

t = logx
dt = 1/x dx
っておいたんですけど、xが残ってしまいます。
よかったら教えてください。

　∫log(x)dx
= ∫(x)'log(x)dx
= xlog(x) - x・(1/x)
= xlog(x) - 1
部分積分の練習問題として頻出なのでぜひ覚えておくとイイよ

>>21は間違っているぞ。

∫log(x) dx
= ∫dx・log(x) - ∫{ (log(x))'・∫dx } dx
= x log(x) - ∫dx
= x log(x) - x
= x(log(x) -1)

部分積分の頻出というのは本当。
まぁ、練習した方がいいな。

部分積分を、簡単に覚えるにはこのようにする

log(x)　＝　1・log(x)　とおく
これを２つに分ける。
ここでは「１」と「log(x)」

微分する方　log(x)　→　1/x
積分する方　　１　　→　　x

これをたすきがけして掛け算する。
最初の項は「左上と右下」、積分の項は「右上と右下」をかける。

∴　x log(x) - ∫(1/x)・x dx
　＝x log(x) - ∫dx
　＝x log(x) - x
　＝x (log(x) - 1)

このように覚えておけば間違えないし、分かりやすい。
慣れてくれば表無しでもできるようになるよ。

>>21-23
ありがとうございました。

∫√(a^2 - x^2) dx
ってどうやったらいいですか？

置換も部分積分も通じないんですけど・・・

>>25
それは円

x^2+y^2<=a^2の第一象現の部分の面積だということに気づけば
あとは小学生の問題。

ごめん。第二象現も含むわ。

そうじゃなくて原始関数を求めたいんじゃないの？
x√(a^2 - x^2)　を微分してみると見えてくるYO！

>>25
x=a sint とおく。　　（-π/2 <= t <= π/2）

>>30
何故そうするのでしょうか？？
ちょっと唐突すぎて・・・

２７がいうように、この関数のグラフが
半径 a の円だから。。。
その円周上の点は三角関数であれわせばすっきりするだろうとう憶測から
この置換を思い付く。

不定積分って、三角関数の積分（>>4）のような
一般的な置換はないのですか？

工房なんですけど、
∫exp(x^2)dx　って絶対に解けないんですか？
理由が知りたいです。
不思議でたまりません。

>>34
「解く」の意味が不明だけど、
高校程度で教わる関数(初等関数)では表せないというくらいの意味であって、
exp(x^2)の不定積分は存在はするわけ。
おわかり？

>>35
それって
y' = exp(x^2)について
yが求まるっていう意味ですか？
もし知っていたら教えてください。

In[1]:=Integrate[2Exp[x^2],x]
Out[1]=Sqrt[Pi] Erfi[x]

>>36
そゆこと。
でも普通使われる関数で表すことが出来ないだけ。

>>38
u = Erfi(x)っていう関数があるんですか？
なんていう名前なんですか？

じゃあ、
y' = 1/log(x)についても
yは存在するんですか？

>>40
大概の関数で原始関数は存在すると考えても差し支えない。

>>41
こういう微分できない奴はどうですか？
y' = abs(x)

>>42
「微分」できなくても「積分」はできる。
不連続は積分ではさして問題にならん。

>>43
あ、そっか！
積分は面積を求める作業だから、
不連続なことはあまり関係ないんだ・・・・

ってことは
「微分可能関数」と「積分可能関数」は
別って事でよろしいですか？

>>45
実数の範囲ではそういうことでいいのでは。

>>46
え”！？
複素関数では違うんですか？？

今あるの全部教科書に載ってるレベルじゃん

受験レベルpls

>>48
載ってねぇよ！

>>33
有理関数の不定積分はこちら↓
http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/rat-fn-int/index.html

有理関数の不定積分に帰着させる置換方法はこちら↓
http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/several-fn-int/index.html

数学なんてどこが楽しいの？
人生の敗北者のクラ〜イ逃げ道＆自己満足じゃん。

>>51
正しい

>>51
友達を蔑んで楽しいのか？

>>51
数学専門は暗いかもしれんが、
それを利用している工学はクリエイティブで明るい。
縁の下の力持ちだな。

>>54
理系はみんな根暗だよ。

∫(x+1)/(x^2+x+1) dx
ってどうやって解いたらいいですか？
本当に分かりません。
よろしくお願いいたします。

>56
ヒント：高校レベルの微積分でとける

>>56
定数a，bを使って
｛a*(分母)’/分母｝+｛b/分母｝
の形に分解する

∫dx/｛二次式｝は
∫dx/(x^2±a^2)に帰着

>>56
平方完成してみれ。

あ、できました！！

1/√3・(ArcTan{(1+2x)/√3}) + 1/2・log(x^2+x+1)
ですか？

ありがとうございました。
分からないことがあったらまた来ます。

＞あ、できました！！

なんか・・・そんな感じの問題では・・・

∫2dx/(x^2+1)
=i∫((x-i)^(-1)-(x+i)^(-1))dx
=i(log|x-i|-log|x+i|)+c_1
=ilog|(x-i)/(x+i)|+c_1

∴2arctanx=ilog|(x-i)/(x+i)|+c_2

>>62
ログに絶対値つけるのは
変数が実数のときだけで，しかも
ホントはよくない書き方なのよ．
絶対値をはずして計算しときなさい．

(c_3)e^(2arctanx)=((x-i)/(x+i))^i
majidesuka?
c_3=?
wakewakaran

>>64
exp(2i Arctanx)=(x+i)/(x-i)
ならいいか

y=f(x)のとき
何で、
d((y')^2)/dx = 2y'y''なんですか？
気になって眠れません。
よろしくお願いします。

ごうせいかんすうのびぶん

>>66
合成関数の微分法。y' = t とかしてみると分かりやすいと思われ。
d((y')^2)/dx = d(t^2)/dx = 2t・dt/dx = 2y'・d(y')/dx = 2y'y''

>>66は合成関数の微分公式の理由を知りたいんじゃないのか？

∫[0,∞](x^2)/(x^4+5*x^2+6) dx
ってどうやって解いたらいいですか？
留数が本当に分かりません。
よろしくお願いいたします。

不定積分は求まらないけど定積分なら求まる
というのもあげていってほしい。
できれば高校数学範囲で。

>>71
∫exp(x^2) dx

>>72
正しくは
∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx
だね。積分区間が虚軸だったらそれでいいが(笑)

>>70
t/(t^2+1) か 1/(t^2+1) の形なら計算できるので
その組み合わせに持っていきたい。

分母が積の形なら分解できる
(x^2)/(x^4+5*x^2+6) = (x^2)/(x^2+2)-(x^2)/(x^2+3)
分子のxが邪魔なので消す。
=1/(x^2+3) - 1/(x^2+2)
これで２つに分かれた。

それぞれについてx=√3tant x=√2tantとして置換積分
∫[0,k]1/{(x/√3)^2+1}dx=√3∫[0,α]dt　　　�@
αはk=√3tanαとなるもの
∫[0,k]1/{(x/√2)^2+1}dx=√2∫[0,β]dt　　　�A
βはk=√2tanβとなるもの

�@-�A　は　√3α-√2β=(√3-√2)α+√2(α-β)
k→∞の時　　α→βなので　√2(α-β)→0
　　　　　　 α→π/2なので　(√3-√2)α→(√3-√2)π/2

よって∫[0,∞](x^2)/(x^4+5*x^2+6) dx = (√3-√2)π/2

>>74
ありがとうございます.ところでどこら辺が複素解析的なのでしょうか？
問題を見たときに気をつけるべき点とかはあるんでしょうか？

∫(-∞,∞) sin(x) / x dx
高校の範囲で言われると苦しいか。。。

しかし　71の　∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx　も
重積分なしで計算できるかな。。そうすうると高校の範囲ってのは
くるしくない？

　　　　１
∫―――――――dx
　　　　3
　　　ｘ　−１

を積分せよ。

>>76
実は，後者の積分は高校範囲で比較的自然に求めることができます。
y=e^(-x^2)をy軸の周りに回転した立体の体積を2通りに
表すことで求められるんです。

>>77
∫dx / (x-1)(x^2+x+1)
と因数分解してから、部分分数分解しる。

>>75
複素解析的？そんなこと言ったかな？
充分高校範囲内だね。
もしかして俺が間違ってるの？

>>80
この問題は
アールフォルス「複素解析」
にも載ってる.
有名だＹＯ！
でも高校範囲ではないんだＮＥ.
答は合ってる所がワナ！

∫｛ｌｏｇ（ｘ）｝＾２　ｄｘ

っていうのがわからないんですが・・・・・・

log x=y とおいて置換積分
そののち部分積分

>>81
答えは合ってる？
どこが間違ってるのか教えて。広議積分の扱い？

∫log(logx)dxってどうしたらいいですか？

てーせきぶんだけどいい？
f(x)=xsinx/(1+exp(x)) を-pi<x<piで。
原始関数はもとまらないそうです。

>>86
定積分はルンゲクッタを使え。

ひーーーっ（＞＜）難しい記号がいっぱいだ〜〜
いじめないでよ〜〜

>>86
I=∫[-π,π]xsinx/(1+exp(x))dx
=∫[π,-π](-y)sin(-y)/(1+exp(-y))(-dy) (y=-xと置換)
=∫[-π,π]xsinx/(1+exp(-x))dx
から1/(1+exp(x))+1/(1+exp(-x))=1を利用して
2I=∫[-π,π]xsinxdx
でよさげ。

>>85
log(logx)の原始関数は初等関数じゃなかったような。

∫ 1/log(x) dx は？
これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？
これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？
これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？これどうやるの？

>>91
「対数積分」という関数の定義式に他ならない(正確には定積分だけど)。
だから初等関数では表せない！

∫x/√1-x^4dx
がさっぱり分かりません
どーか教えてください

>>93
楕円積分で表せるのでは

>>94は
４乗のルートがでてきたら楕円積分か
とろいやっちゃなー
x^2=u とおいてみろや。

>>94-95
サンクスです
楕円積分でやってもいまいちだったので
x^2=uでやってみたらなんとか出来ました
まじでありがとう

> ４乗のルートがでてきたら楕円積分か
> とろいやっちゃなー
じゃ、なんでも超幾何関数であらわすとか...

>>97
それがいちばんこんぴゅーたさんにやさしいとおもいます

age

∫xdx　＝　x²/2
になる理由が本当に分からん・・・
ネタじゃないんだ。

微分の逆が積分なんて何の根拠があるのよ？
定義っていうのは無しね。
だって、定積分と結びつかないじゃん。。。

>>100
微分の逆が積分になるというのは
微分積分学の基本定理。証明を読もう。
xなら直接証明もできるけどね。

ひと目で解かる（？）、微分積分学の基本定理
http://math1.edu.mie-u.ac.jp/~yasuda/biseki.html

∫xdx　＝　x?/2
にはならない。

>>102
さんくす！

>>103
なにお前？文字化けにつっこんでんじゃねぇよ

∫xdx=x^2/2+C

>>100
微積分学の基本定理ってやつですな。まあ証明はじぶんで調べてください。

微分も積分も古代にアルキメデスなどがやってる。
それが互いに逆の演算だと発見したこと---微積分学の基本定理---
これがニュートン，ライブニッツ，関孝和の功績。

∫1/(1+sin x) dx

581 ：質問です。 ：01/12/05 14:31
積分というより三角関数の質問です。

∫(sint)^4 * (cost)^4 dt

のsin４乗 カケル cos４乗

はどう変形するの？

∫1/(1+sin x) dx は下記ページに答えがありますよ。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/english/kou/keisan/sekibun/no0014.html

∫(-∞,∞) sin(x) / x dx を求めるのって
∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx を求めるのと同じ程度の難しさでしょうか？

もうちょいむずい。
普通のやりかたは複素関数論使う。
あとフーリエ級数使うやりかたもある。

そうですか。まぁ挑戦しても無駄な努力に終わるわけでは
なさそうなことは分かりました。ありがとうございます

age

>>113
複素関数使ったら出来ました。ありがとうございます

>>114
よく勉強したね。
e^(iz)/z の極＝原点での
半回転の評価に基づく方法は
普通の留数計算よりちょっと高級だ。
一般的には，極を通る積分の「主値」
を計算することにつながる。

ふてぇ積分？

ちょっとお聞きしたいのですが3Ｄでｚ＝-1/4ｙ＾2+1-ｙ＾2なる方物柱体とｘｙ平面とで囲まれる部分の体積を重積分で解くにはどんな式を立てたらよいのやら？（大学受験の範囲では解けます｡）

119の訂正します。ｚ＝-1/4ｙ＾2+1-ｘ＾2です。すんません！

>>120
∫∫∫１・dzdydxについて解いてみなよ。

>>120

zを固定して楕円　x^2+(1/4)y^2=1-z の面積＝2π(1-z)
体積＝∫[0,1]2π(1-z)dz＝π

∫r/root(1 - r^2) dr = -root(1 - r^2)

期末の勉強はじめてノート読み返したら、↑があって早くも挫折しそうです。
わけがわからないよ・・・。

1-r^2=t　と置く
rdr=-1/2dt

与式＝-1/2∫dt/√(t)
＝-1/2（2*√(t)）
＝−√（1-r^2)

>>123
合成関数の微分
[Ｆ（Ｇ（ｘ））]’＝Ｆ’（Ｇ（ｘ））・Ｇ’（ｘ）

両辺をｘで積分して
Ｆ（Ｇ（ｘ））＝∫[Ｆ’（Ｇ（ｘ））・Ｇ’（ｘ）]ｄｘ

>>123です。

>>124-125
どうもです。

＞∫r/root(1 - r^2) dr = -root(1 - r^2)

＞期末の勉強はじめてノート読み返したら、↑があって早くも挫折しそうです。わけがわからないよ・・・。

ｕ＝root(1 - r^2)とおくと、ｕ^2＝1−ｒ^2
ｄ(ｕ^2)＝ｄ(1 - r^2)
ｄ(ｕ^2)＝ｄ(１)−ｄ(ｒ^2)
２ｕｄｕ＝０−２ｒｄｒ
ｕｄｕ＝−ｒｄｒ
ｄｒ＝(−ｕ/ｒ)ｄｕ
上の式を問題の式に代入、
∫r/root(1 - r^2) dr＝∫(r/ｕ)(−ｕ/ｒ)ｄｕ＝−∫１ｄｕ＝−ｕ＋Ｃ＝−root(1−ｒ^2)＋Ｃ

定期age

∫(exp(-x))/(x^2) dx
∫(exp(-x))/x dx
どなたか教えていただけませんか？

>>129
初等関数では無理だＹＯ！
ネタ？

部分積分でやろうと思っても、循環してしまう。

当方大学１年です。
電磁気学のテストの過去問に>>129の積分をしないと
解けない問題がありまして。。。
１年生では無理でしょうか？

その問題をここに書いちゃったほうがいいかも

原点からの距離をｒとしたとき、
電場ベクトルEの向きが原点から放射状で、その大きさが
(1/r^2)-( (1/r^2)+(1/ar)+(1/2a^2) )exp(-r/a)
のとき、無限遠を基準としたときの電位をｒの式で答える問題です。
ｒに沿って[r,∞]の積分をしたいのです。
でもできないのです。どうしたらいいのでしょう？

>>133
不定積分ならできると思う。

e(-x)/x = Σx^(n-1)/n!
∫e(-x)/xdx = -log(x) + Σ(-x)^n/(n*n!) + C
とりあえずテーラー展開してしまった

>>133
１／ｒ−（１／２ａ＋１／ｒ）ｅｘｐ（−ｒ／ａ）。

>>136
ありがとうございます！どうやって解いたんですか？

>>137
　（ｄ／ｄｒ）（ｆ（ｒ）ｅｘｐ（−ｒ／ａ））
＝（１／ｒ＾２＋１／ａｒ＋１／２ａ＾２）ｅｘｐ（−ｒ／ａ）。
　（（ｄ／ｄｒ）ｆ（ｒ）−（１／ａ）ｆ（ｒ））ｅｘｐ（−ｒ／ａ）
＝（１／ｒ＾２＋１／ａｒ＋１／２ａ＾２）ｅｘｐ（−ｒ／ａ）。
（ｄ／ｄｒ）ｆ（ｒ）−（１／ａ）ｆ（ｒ）＝１／ｒ＾２＋１／ａｒ＋１／２ａ＾２。

>>138
助かりました。。。ありがとうございました

不定積分ではないので、スレ違いなのですが、
考えて頂けると嬉しいです。

（１）　∫[0-∞] dx / (1+x^2)^2

（２）　∫[0-∞] dx / (x^4 + x^2 +1)

（３）　∫[1-∞] dx / x・sqrt(x^2 - 1)

以上です。
一生懸命考えたのですが、どうしてもできませんでした。
お忙しいでしょうが、よろしくお願い致します。

√(1-x²)dxってどーやんの？

∫√(1-x²)dxってどーやんの？

の間違い。

x?
てなに？

C言語で？：てあったね

>>141
x=sinθ
dx=cosθ
∫√(1-x²)dx=∫(cosθ)^2dθ=∫(1+cos2θ)/2dθ={θ+(1/2)*sin2θ}/2+C
=θ/2+(sin2θ)/4+C

いちおうもう一度貼っておきます。

寝ないで考えましたが、サッパリやり方が浮かんできません。
どうしようもないので助けてください・・・

不定積分ではないので、スレ違いなのですが、
考えて頂けると嬉しいです。

（１）　∫[0-∞] dx / (1+x^2)^2

（２）　∫[0-∞] dx / (x^4 + x^2 +1)

（３）　∫[1-∞] dx / x・sqrt(x^2 - 1)

In = ∫(log x)^n dx とするとき
Inの漸化式を求め、これを用いてI4を計算せよ。

ってどう手を付ければいいのでしょう？
お願いします。

14?

>>146
しつこい。死ね。

>>147
部分積分したら？

>>149
なんで氏ななきゃならないんでしょう・・・
ネタとかじゃないんですけど。

∫1/(1-cos x)dxってどーやんの？

>>152
tan(x/2)=t　と置く
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

でがんばって
答えは多分-2/tan(x/2)

あ〜、あと　dx=2dt/(1+t^2)

>>153
ありがとうございました！

定期age

ガンマ関数の定義は
Γ(x) = ∫[0〜∞] x^(t-1)・exp(-x)
だということは分かるのですが、
これをどう活用するのかがよく分かりません。

例えば、
Γ(1/2) や、Γ(10)などはどのように求めればいいでしょうか？

できれば、すぐプログラミングできるような
アルゴリズムも教えて頂ければ幸いです。
お忙しいでしょうが、よろしくお願い致します。

>>157
複素積分すればできると思う。
俺は詳しくないから知らないが。
だれか答えてやってくれ。

Γ(1/2)は変数変換する。x=y^2
Γ(10)は部分積分でΓ(x+1)=xΓ(x)を出す

∫(x-2)(2x^2　-1)dX
がわかんないんですが、教えてください…

>>160
∫(x-2)(2x^2-1)dx=∫(2x^3-4x^2-x+2)d=(1/2)x^4-(4/3)x^3-(1/2)x^2+2x+C

>>160
∫(x-2)(2x^2　-1)dX =∫(2x^3-4x^2-x+2)dX = X(2x^3-4x^2-x+2)

>>161-162
積分定数があるのと無いのがある…

>>163
本当は161が正しい。
162は半分冗談。

>>147
I(n)=∫(log x)^ndx
=∫(logx)(log x)^(n-1)dx
=(xlogx-x)(log x)^(n-1)-∫(xlogx-x)*(n-1)*｛(logx)^(n-2)｝*(1/x)dx
=x(logx)^n-x(logx)^(n-1)-(n-1)｛I(n-1)-I(n-2)｝

∴I(n)+(n-1)｛I(n-1)-I(n-2)｝=x(logx)^n-x(logx)^(n-1)　(n≧3)

>>147
I(n)=∫(logx)^ndx
=∫x'(logx)^ndx
=x(logx)^n - ∫x(logx)^(n-1)x^(-1)dx
=x(logx)^n - ∫(logx)^(n-1)dx
=x(logx)^n - I(n-1)

∴I(n)+I(n-1) = x(logx)-n

>>147
I(n)=∫(logx)^ndx
=∫x'(logx)^ndx
=x(logx)^n - ∫xn(logx)^(n-1)x^(-1)dx
=x(logx)^n - n∫(logx)^(n-1)dx
=x(logx)^n - nI(n-1)

∴I(n) + nI(n-1) = x(logx)^n

だれも>>140に答えないけど、
実際の所どーなの？

俺、>>140の（１）は院試の問題集で見たけど
解けなかった。
誰か解答キボンヌ。

>>140の（１）
∫[0-∞] dx / (1+x^2)^2
=∫[0-π/2] cos^2 t dt (x=tan t)
=π/4

(1)
∫[0,∞]｛1/(x^2+1)^2｝dx

x=tanθとおくとxが0→∞のとき、θは0→π/2
またdx=dθ/(cosθ)^2
∴∫[0,∞]｛1/(x^2+1)^2｝dx
=∫[0,π/2](cosθ)^2dθ
=(1/2)∫[0,π/2](1+cos2θ)dθ
=π/4・・・答

>>140
(2)
∫[0,∞]｛1/(x^4+x^2+1)｝dx

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)と因数分解できるので
1/(x^4+x^2+1)=(ax+b)/(x^2+x+1)+(cx+d)/(x^2-x+1)
とおいてみる。この式からa=1/2,b=1/2,c=-1/2,d=1/2を得る。
したがって1/(x^4+x^2+1)=(1/2)｛(x+1)/(x^2+x+1)-(x-1)(x^2-x+1)｝と変形できる。
よって∫[0,∞]｛(x+1)/(x^2+x+1)｝dx,∫[0,∞]｛(x-1)/(x^2-x+1)｝dxを求めればよい。
はじめに∫[0,∞]｛(x+1)/(x^2+x+1)｝dxを計算。
(x+1)/(x^2+x+1)=(x+1)/｛(x+1/2)^2+3/4｝だからx+1/2=(√3/2)tanθとおくと
xが0→∞なのでθはπ/6→π/2
またdx=(√3/2)｛dθ/(cosθ)^2｝
よって
∫[0,∞]｛(x+1)/(x^2+x+1)｝dx=(1/√3)*∫[π/6,π/2]｛√3*tanθ+1)dθ
=∫[π/6,π/2](tanθ)dθ+(√3)π/9
同様にして
∫[0,∞]｛(x-1)/(x^2-x+1)｝dx=∫[-π/6,π/2](tanθ)dθ-(2√3)π/9
グラフの対称性より∫[π/6,π/2](tanθ)dθ=∫[-π/6,π/2](tanθ)dθ
∴∫[0,∞]｛1/(x^4+x^2+1)｝dx=(1/2)｛(√3)π/9+(2√3)π/9｝=(√3)π/6・・・答

>>140
(3)
∫[1,∞]｛1/x√(x^2-1)｝dx

√(x^2-1)=tとおくとxが1→∞のときtは0→∞
またdt=xdx/√(x^2-1)=(x/t)dx
よって
∫[1,∞]｛1/x√(x^2-1)｝dx=∫[0,∞]｛1/(t^2+1)｝｝dt
t=tanθとおくとtが0→∞のときθは0→π/2
またdt=dθ/(cosθ)^2
よって
∫[0,∞]｛1/(t^2+1)｝｝dt=∫[0,π/2]dθ=π/2
∴∫[1,∞]｛1/x√(x^2-1)｝dx=π/2・・・答

∫[0,∞]｛x/(x^2+1)^2｝dx

は？

∫[0,∞]｛x/(x^2+1)^2｝dx
=1/2∫[0,∞] dy/(y+1)^2 　　　(x^2=y)
=1/2[-1/(y+1)][0,∞]
=1/2

>>175
ありがとうございます。
これでやっと単位が取れます。
(テスト勉強中)

>>173
x=1/cos(θ)と置けば一発！

その置換を一発で思い付くかがモンダイだな

∫∫∫[V]{1/(x-a)＾2+y＾2+z＾2dxdydz
V:x＾2+y＾2+z＾2≦１　　　a＞１
どこに質問すればいいのかわからなかったので、
ここに書きました。
自分かなり頭悪いので、なるべくわかりやすい回答をお願いします。

>>170-173様、本当にありがとうございました。
私も院試の勉強で行き詰まっていたのです。
これで集中して勉強できます。どうもありがとうございました。 m(--)m

定期age

定期age

∫[0,a] x^n cos x dx

は解析的に求められますか？もしくは特殊関数に
帰着できますか？但し、nは任意の実数です

∫_[0,a](x^n)cos(x)dx
=(a^n)sin(a)+n(a^(n-1))cos(a)-n(n-1)∫_[0,a](x^(n-2))cos(x)dx
(n>1)

但し、nは任意の実数です

すまん見落としてた

任意の実数を表すのにｎなんて使うなよ

cos(x)を冪級数に展開すれば定積分の値も冪級数で書けるけど
それじゃダメなんだろーな…

ありがとうございます。最後の手段として、冪展開します。

∫[0,∞] t^s exp(-t^2) cos at dt
はどんなもんでしょうか？
s=-1/2 , 3 , -1 , 1では、解析的表現が得られたのですが、
そのほかの場合は、うまくいかなくて・・・。
任意の実数sで一網打尽にする公式があればいいんですが。

∫｛x√(x^2+a)｝dx (aは定数)
どう解くのですか？おねがいします。

∫｛x√(x^2+a)｝dx = (1/3)*(x^2+a)^(3/2) + C

もうひとつなんですが、
∫｛√(x^2+a)｝dx (aは定数) は
∫｛x√(x^2+a)｝dx (aは定数)
と解き方が違うのでしょうか。

>>193
∫{√(x^2+a)}dx (aは定数) は x = {-at + (1/t)}/2
（t = -x+√(x^2 + a)）とおく。頻出の置換。
∫{x√(x^2 + a)}dx (aは定数) も同じ置換で出せるけど
∫f'(f^s) dx という形をしてるので
そういう複雑な置換をしなくても不定積分が簡単にわかる。

>>193 >>194
x=√(a) sinh(t) と置換してもできますよね。

この糞スレのおかげで単位を取ることができました。
ありがとうございました。

だったら糞スレなんて言うな
もっと丁寧に
運弧スレとか

∫1/(a+btan x)dx (ただしab≠0)
の求め方教えて頂けませんか？

>>198
{ax +b log(a cos x+b sin x)}/(a^2+b^2) +C

>>199
すいません、答えだけじゃなくて計算過程まで書いていただくとありがたいのですが…

>>200 とりあえず分母分子にcos x かけて、
分子が分母の微分になるように変形する。
∫1/(a+btan x)dx=∫cos x/(a cos x+b sin x)dx=
∫{α+ β (b cos x- a sin x)/(a cos x+b sin x)}dx
= α x + β log(a cos x+b sin x) +C

２行目を通分して分子が cos x となるように α βを求めればよし。
ってのはどうでしょう。

>>199,>>201
ありがとうございました。

あげとく

ageとかないと・・・

∫x dx って何でx^2 / 2？

>>205
三角形の面積

（･∀･）ｹﾞﾝｾｷﾋﾞｾｷ!

>>206
なるほど！サンクス！

じゃあ　∫cos x dxは何で　sin x　？

>>208
質問を小出しにするな

>>208
sin xを微分しろ。
つーか、高2の教科書でも読んで出直して来い

>>208
微分の逆が積分。
これは定義ではなく定理だが。

いや、そんなことは分かっているんだが、
そもそも何故(sin x)' = cos xなのよ？
教科書も引っ張り出したけど証明は書いてない。

>>212高校生には証明は無理

>>212
覚えろ

>>212
こんなのはどう？
http://www.interq.or.jp/student/suugaku/taiwa/node97.html

>>215 解析概論の宣伝にしか見えないのは俺だけか？

>>205
>いや、そんなことは分かっているんだが、
わかってねーから、そんな疑問が出てくるんだろーが。
sin xを微分の定義に従って極限計算やれよ。
模範解答は>>215

微分に比べて積分ってのは、一般に計算が難しい。
これだけ多くの不定積分が求まったのは、
微分と積分の関係が明かされたことが大きい。

>>205

直感的にy=sinxの接線の傾きを追ってれば
あぁcosxぽいって思えるだろ？

極限計算できんならそういう考えするしかないっぽい。

>>205
連続でスマソ。

sin(x)、cos(x)のTaylor展開とか、知ってると得するかもな。
探してみ。（知ってたらゴメソ。というか知らんから疑問なの
だろうな。）

今の教科書ってsinの微分も載ってないの？

>>220
普通に載ってる。俺のは載ってた

∫{sin^(-1)(log(1/x))}dx
逆三角関数の積分です。解き方がわかりません。
どなたお願いします。

いろんなマジレスありがとう。

>>215のリンク先に

[sin(x+h)-sin(x)]/h = [cos(x+h/2)sin(h/2)] /(h/2)
とい部分があるのだが何で？
どーしてこーなるの？

>>223
和積の公式か？

そやね。

三角関数の微分は加法定理から容易に導出されるよ。

>>226
問題は sin(x)/x の極限なんだなあ

>>227
炉ぴたるの定理で
lim[x->0]sinx/x = lim[x->0]cosx = 1
じゃねーの？

>>227
f(x)=sin(x)/xのグラフ描くとか。

というかy=sin(x),y=xの原点近くを見たらなんとなくわかるよな。
y=sinxとy=xの、x→0のときの0への収束の速度は一緒ってことでしょ
この式：lim{sin(x)/x}→1(x→0)

>>229
sin(x) = x （∵x << 1 , x > 0）

>>230
なんで俺にレス？
任意の実数xについて
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...
だろうが。

>>228
(sin(x))'＝cos(x) の証明に
lim[x->0]sinx/x＝1 を使ってるからなあ

>>231
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...

の証明をどうするか？

数学なんて所詮は循環論法。
ツォルンの補題も確かめられないｳﾞｧｶの集まり。

>>230はアフォですか？

循環しまくるぞ。ぶっ飛ばすぞ。

>>234
物理ではよく使いますが何か？

>>235あ？ぶっ飛ばすぞ。
>>236へぇ〜(ﾋﾟｭｯ

>>233
うちの7歳になる息子がいいました
「ｳﾞｧｶといった人はカバに謝らないといけないんだぞ」

>>233
＞数学なんて所詮は循環論法。
数学板でそれを言うなら、「定義なんて所詮トートロジー」の方が適切では？

∫∫exp(x^2+y^2)dxdy
ってどーやんの？

>>240
(∫exp(x^2)dx)^2

てゆっか、計算するまでもなく無限大じゃん。

>>242
原始関数を求めろってことじゃない？
不定積分のスレッドだし。

定期age

原始関数と不定積分の違いは何打？
区別していない文献もあるようだが

>>245
積分定数をつけないか、つけるかの違いでは？

>>246
違うよ。

>>247
じゃ、何よ？

F'=fとなるFをfの原始関数、
原始関数の全体{ F | F'=f }をfの不定積分という
…じゃなかった？

>>249
ﾌﾟ

>>248
簡単な例をあげれば、f(x)が連続関数でなければf(x)の不定積分と原始関数はイコールじゃないでしょ?

>>251
x<0 f(x)=0
x=0 f(x)=1/2
x>0 f(x)=1
のとき、不定積分は存在するが、原始関数は存在しない？

ほんまかいな？

>>253
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

（　ﾟдﾟ）ﾎﾟｶｰﾝ

dF(x)/dx=f(x)を満たすF(x)を原始関数といい、
f(x)が[a,b]で有界、かつリーマン可積分のとき
F(x)=∫(a〜x)f(x)dxを不定積分って言うって事。
これなら連続関数のときのみ等しくなるのが分かるでしょ。

ちなみに不定積分より先に定積分を導入するのがまとも。
不定積分を先に導入するのは厨房向け。

有界性がないとまずいの？

円電流の中の全磁束って積分できますか？

余裕

調べてみた範囲では、不定積分の定義は確定してないみたい。

杉浦の「解析入門１」(p.230.231)だと
不定積分と原始関数を分けて定義している。

小平の「解析入門」(o.165)だと
不定積分はすなわち原始関数である、と定義している。

>>260
不定積分だけに定義も不定...とか言ってみるテスト

サブッ。。。と思ったことをここにメモしておこう。

>>260
ま、言葉だけの問題だから。
251のように、
dF(x)/dx=f(x)を満たすF(x)と、F(x)=∫[a,b]f(x)dxが違うことがある、
ってことを理解していれば良いのでは。

定期age

スレッド
◆ わからない問題はここに書いてね ２６ ◆
の　730　に不定積分がらみの証明問題を書き込みましたので
よければ見ていただけませんか？
お願いします。

これはageとかないとマズいだろ・・・

∫[0-∞]exp(-x^2)
は収束した解を持つって聞いたんですけど
どういうことですか？
不定積分はできないんですよね。これ？

良ければ解き方を教えて頂きたいです。

当方、高校２年生。

あ、∫[0-∞]exp(-x^2) dx　でした。

ごめんなさい。

収束する。（√π）/２。重積分使えばかな〜り楽。
使わない証明は見たことあるが絶対やりたくない。（と思うぐらい長い

>>270 重積分使わずにどうやってやるの? 方針だけでも 教えて下さい.

特殊関数のガンマ関数とベータ関数の関係を使って解くことも可能だけど、
ある意味、本末転倒かな。あ、270ではありません。

>>269
あのなぁ。それは絶対に解析的には解けないんだってば。
解けないことが証明されてるの。

コンピュータを使わなきゃ解けない、有名な問題。
確か答えは√-2だったけな。

解き方があれば、俺が既に知っているはず。
数学科学部４年だが、そんなものは一度も聞いたことがない。

ガウスの公式っていう、公式なんだよ。
それを使うだけ。証明なんかできない。

>>270-272
おまえらｱﾌｫか？　(　´,_ゝ｀) ﾌﾟｯ

>>272
それって Γ(1/2)/2 = 1/2*√(B(1/2,1/2)*Γ(1))
とかってこと? もしそうなら本質的に重積分で極座標変換してんのと
おんなじような気がするけど 気のせいかな...

複素関数論を使って、竜数定理を使うのがもっともベーシックじゃないのか？

やっぱり数学専門の方でも難しいんでしょうか・・・
子供なのでその辺の知識が無くて、
重積分やらガンマ関数、複素関数論とかよく知らないので。

大学に行ったらこれって研究テーマになりますかね？
でも>>273さんが証明できないって行ってるし・・・

興味あるんですけどね・・・（鬱

あれ？
解は√π / 2　と √-2　って２種類あるんですか？

でも、虚数って可笑しいですよね。
>>270さんが正解ですか？

>>268 http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node114.html
の式 (15.6) とそのちょっと前にかいてるのが 重積分の方法.
(積分範囲が倍になってるので 要注意)

ガウス積分は間違っても大学での研究対称にはならない.
あと 痛い電波は放置で.

>>275
そう。気のせいではありません。
Γ(a)*Γ(b)=B(a,b)*Γ(a+b)を導くのに重積分やら使います。
ですから「ある意味、本末転倒」と。

それ以外の方法もあるわさ
しかし面倒だから教えてやらん
自分で考えれ
本質的に重積分を回避するとまでは
いかないが級数の段階でやってしまうのもあるな
ほかにフーリエ級数と関係する方法もあるが
それも本質的に重積分を回避しているかどうかは微妙だ

ついでに重積分はいいけど極座標にする必要はないね

＞重積分はいいけど極座標にする必要はないね

ほう。それは一体どういう変換？

>>276 の言う ベーシックが分からないです。 pole ないのに留数定理ですか。 積分路を変えるという意味なんでしょうか。
留数積分で直接√πに比例した量が出てくるとは思えないし。

>>282
円で切って行くのが極座標として
べつに直線で切っていっても途中でてくる関数は
ちょっとちがうが積分できて値もちゃんと本丸さ

>>283
君のいうとおり>>276はたぶんわかってない
しかし複素積分つかう方法はある
一松さんの本にのってる

>>284 一松 信著 函数論入門 には極座標の方法しか載ってなかったょ.
他の本かー (´・ω・`)ショボ−ン .... よかったら本のタイトル教えて下さい.

>>285
いま手にはいるかどうかしらんけど
そのものズバリのタイトル「留数解析」共立
数学ワンポイント双書28
p.72

>>286 ありがとう

age

高校2年生なら
(∫[-∞〜∞]exp(-x^2)dx)^2=∫[-∞〜∞]∫[-∞〜∞]exp(-x^2-y^2)dxdyを
バームクーヘン型積分(って受験用語で言った気がする)で求める、って説明がいいんじゃないかと。

って、>>268はもういないのか…

不貞積分のはずが、停積分になってる。

バームクーヘン型積分っていいたいだけちゃうんかと・・・

不定積分ってどこが難しいの？

万能アルゴリズムが、初等関数に対してさえ存在しないこと。

多項式には存在するぞ

項数無限の多項式は初等関数か。

>>293
ｶｺｲｲ！

不定積分が初等関数でかけるかどうかが
代数方程式論のきっかけだったとかきいたことあるぞ

∫e^(−x^2)dxを解いてください

３００

age

∫[0〜∞]e^(−x^2)dx = √π/2

∫x/(x^4 + 4x^2 + 8) dx
ってどうやって計算するんでしょうか

ｔ＝x^2 + 2 の置換でｳﾏｰ？

∫(x^2+6x+11)/(x+2)^3 dx わかる人いたら教えてください

俺のちんこは太い積分

>>309
痴漢x+2=t

お礼ぐらい言えよゴルァ

ゴルァ１３

>>311さん回答ありがとうございます。
ただ、置換は尋ねる前にしてみたのですが、
∫(t^2+2t+3)/t^3 dt
から先がわからず困ってます。

うへぇ・・・

>>314
割ればいいよ

∫(t^2 + 2t + 3) / t^3 dt
= ∫t^-1 + 2t^-2 + 3t^-3 dt
= log|t| - 2t^-1 - 3/2 t^-2　(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

∫(t^2+2t+3)/t^3dt＝∫(1/t)dt　+　2∫(1/t^2)dt　+　3∫(1/t^3)dt

316＝ｋｋｋｋ＝こけこっこ

あ・・・すごく基本的なことでしたね(恥)
考えすぎていたようです。ありがとうございました。

ageとくじょ

∫e^x｜sinx｜dx

お願いします

age

>>322
部分積分しる

リーマン和

>>324
どうもサンクスです。

∫√（e^(2x)-1）dx

お願いします

あげ