TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？

200番前後の住人その2、181です。
>>1のことは私も存じておりません。
さて超亀レスです。>>225をn/{2^(n-1)}と予想しましたが
証明できません。
ということで180さん降臨希望。
さて、289でもやってみますか…

>>293
おひさしぶりです、180=289です。
>>225の問題ですが、答えは合っていますよ。

α=cos(2π/n)+isin(2π/n)とおくとα^n=1で、
　x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1 = (x-α)(x-α^2)…(x-α^{n-1})
にx=1を代入して、両辺の絶対値を取ると
　n = |1-α|･|1-α^2|…|1-α^{n-1}| 　… ◎
ここで、k=1,2,…,n-1に対して簡単な計算から
　1-α^k = 2sin(kπ/n){sin(kπ/n)+icos(kπ/n)}
だから |1-α^k|=2sin(kπ/n)である。
これを◎に代入して整理すると、与式 = n/{2^(n-1)}

>>225
>Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)を計算せよ

遠回り

θ=2π/n
α=cosθ+isinθ
n=Π[1≦k≦n-1](1-α^k)　（←証明略）

n^2=Π[1≦k≦n-1](1-α^k)(1-α^(n-k))
=Π[1≦k≦n-1](2-2cos(kθ))
=Π[1≦k≦n-1](2sin(kθ/2))^2
=[2^(n-1)*Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)]^2

Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)＞0より
n/2^(n-1)=Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)