指数の指数

（√２）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・
これは限りなく２に近づく

（√３）＾（√３）＾（√３）＾（√３）＾・・・・・・
これは限りなく３に近づくと思うけどどうよ？

こら、答知ってて書くな！

（√３）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・ ＝３
なぞなぞ？

＞３
ん？つまり（√２）＾（√2）＾（√2）・・・＝√3
なのか？？なぞだ　教えてくれ

√2 = 2^(1/2).
(a^(2^b))^(2^(1/2)) = a^(2^b 2^(1/2)) = a^(2^(b + 1/2)).

>>4
そもそも （√２）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・って、
√２の右肩に指数√２が乗っていて、その右肩に指数√２が乗っていて、でまたその右肩に・・・
っていうつもりだよねえ。>>1
だったら（√３）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・ ＝ (√３)^２ ＝３
違ってたらゴメン

∞じゃないの？

(√２)^x=x なら x=2 で OK
(√３)^x=x は x=3 じゃあダメじゃん。

(t^(1/t))^…＝２のようですが@mathematica

＞（√２）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・
＞これは限りなく２に近づく

まずはこれを証明してくれ。

>>6
(√２)^x=x の解は x=4 もありますよん。

>>11 え？ オレ(6)に言ったの？

違ったｽﾏｿ
>>8 に言ったのかも
この際誰でもいいんだけど。。

10
　ヒント。a^a^a^… が収束して、その極限値が c だとすると、a^c = c となる。
両辺の対数をとると、c log a = log c すなわち log a = log c / c だが、右辺
は c の関数として e で最大値 1/e をとる。つまり log a ≦ 1/e すなわち、
a ≦ e^(1/e) = 1.44466786… でないと収束しない。すなわち a = √2 なら収束
するが、a = √3 では収束しない。

　実は 14 では収束の証明はしてないが、これを数列の形に書いて対数
をとるといろいろやってるうちに証明を思いつくと思う。結果を記すと、
1/e ≦ c ≦ e のとき、a = c^(1/c) と置くと、a^a^a^… は c に収
束する。

>>5
を使えば、対数使わなくても解けるよ！

>>14,>>15

ふむふむ。
なんか、>>1はあっさり流してるけど、結構むずかしくない？
極限値が存在してa^c=cであるとき、a=cとなるような
特殊なaが√2だってことか。

>>1は、式の美しさから
√3でも、と思ってるだけで、じつはそうはならないってことね。

じゃ、つぎは平方根じゃなくて立方根でやってみる？

（3√３）＾（3√３）＾（3√３）＾（3√３）＾・・・・・・

（4√４）＾（4√４）＾（4√４）＾（4√４）＾・・・・・・

これらはどうよ？

x√x = x^(1/x) = x^(x^(-1)).
(a^(x^b))^(x^(x^(-1))) = a^(x^b x^(x^(-1))) = a^(x^(b + x^(-1))).

じゃあ、x√y では？

>>17に自己レス
a=cとなるような、ではなく、a^2=cとなるような。だな。

>>18
もし、>>9の言うことがただしければ、どっちも２に収束することになるけど、
>>14をみるかぎり、>>9の収束値はｔのような気がする。
それぞれ、３，４に収束しそうだが、どうか？

>>20にさらに自己レス
まてまて、4√４って√２だよな？
>>11でも(√２)^x=x の解は２と４だって言うし。
どっちに収束するんだ？

対数を使う解法がまちがってるの？
おいらの理解がおかしいのか？

f(x)=x^(√2)として、数列a[n]をa[n+1]=f(a[n])で定める。ただしa[0]=√2
a[n]が収束するか、収束するなら極限値は？

>>17
＞まてまて、4√４って√２だよな？
＞>>11でも(√２)^x=x の解は２と４だって言うし。
＞どっちに収束するんだ？
どっちって、混乱してるネ。４に収束なんて言ってないよ。
自分でもそう書いてんじゃん。

>>23
うむ、禿げしく混乱している模様（藁
>>15では、
＞1/e ≦ c ≦ e
とあるんで、ここに意味がありそうだね。
もすこし考えて見ます。

>>35
おっしゃるように、複素数も含めるとそうなるよね。
周期性を持つんだよね。

[ 予言しときました ]

>>21
f(x)=(√２)^x の不動点は２と４だが
f'(x)=log2/2 (√２)^x
f'(2)=log2<1 より２は吸引不動点
f'(4)=2log2>1 より４は反発不動点

まず最初に、f(x)=(log x)/x という関数は、0≦x≦e で単調増加な関
数であることに注意しておく。

1/e≦c≦e のとき、a = c^(1/c) とおく。また、数列 x_n を

x_0 = a
x_{n+1} = a^{x_n}

で定義する。1≦c≦e とする。1≦x≦c のとき、a=c^(1/c)≧1 だから、
1≦a^x≦a^c = [c^(1/c)]^c = c であり、しかも x≦c≦e だから
(log x)/x ≦ (log c)/c = log[c^(1/c)] = log a すなわち
log x ≦ x log a すなわち x ≦ a^x すなわち数列 x_n は単調増加
かつ 1≦x_n≦c を満たすから、極限が存在する。その極限を b と置け
ば、a^b = b となるので対数をとると、b log a = log b すなわち
(log b)/b = log a = (log c)/c で、しかも 1≦b≦c≦e だから
b = c でなければならない。すなわち x_n は c に収束する。

　1/e≦c＜1 の場合は皆さんで考えてくれたまえ。

>>26, >>27
勉強になります。

きょうから ひたる。

>>3-4
（√２）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・=２　より
（√３）＾（√２）＾（√２）＾（√２）＾・・・・・・ ＝ (√３）＾２＝３

ふむふむ。
まずは>>14,15を理解することからはじめなきゃな（藁
で、
>>26
そうか、不動点が存在しても、そこに収束するとはかぎらんか。あたりまえだな。
吸引不動点と反発不動点ってのは初めてききました。イメージがわかりやすいっすね。

まだ>>27が理解しきれてないんで、逝ってきます。

>>18
f(x)=m^(x/m) はたしかに m を不動点にもつが
f'(x)=log m/m m^(x/m) で
f'(m)=log m
m>e のとき f'(m)=log m>1 で残念ながらこれは反発不動点

ところで
f(x)=m^(x/m) はそのグラフから
もう１個不動点をもち（y=x と y=f(x) との交点）
それは吸引不動点になるはずだが，
その値がまだつかまらん。

ｃ∈Ｃに対してｘ（ｉ）（ｉ∈Ｚ，０≦ｉ）を
ｘ（０）＝０
ｘ（ｉ＋１）＝ｅｘｐ（ｃ・ｘ（ｉ））
と定めたとき
ｘ（ｉ）はどのように振る舞うか。
ｌｉｍ＿｛ｉ−＞∞｝ｘ（ｉ）はいつ存在するか。

c＞1/e のとき∞に発散
c≦1/e のとき収束

c≦1/e は y=x と y=exp(cx) のグラフが交点をもつための条件です。

ああ ｃ∈Ｃ ですか。
それならもうちょっと考えてみます。

ｃ∈Ｃ なら複素力学系だからマンデルブロ集合になるよ。

考えてみるとなぜ２に収束するかはわかる。
なんだか不思議な感じだね。

>>35
交点を持っても収束するとは限らない。

>>37
「マンデルブロ集合になる」んではなくて
「（ｌｉｍ＿｛ｉ−＞∞｝ｘ（ｉ）＝∞とならないｃ全体を）マンデルブロ集合という」です。
（ｃ・ｅｘｐ（ｃ・０）≠０だけど）

あれ？なんで同じスレがこんなところに

>>39
＞交点を持っても収束するとは限らない。
２つの交点のうちの小さい方は吸引不動点
大きい方は反発不動点。これはグラフからわかる。
初期値０なら吸引不動点に収束する。

>>34-35
実軸上では -1≦c≦1/e
が収束の条件。
c>1/e では単調に∞に発散。
c<-1 では２周期サイクルに漸近かな。

>>42
吸引不動点があってもそこに収束するとは限らない。

初期値０なら吸引不動点に収束することは図でわかる。

というか真の答えは
(1/e)^e<=c<=e^(1/e)
の時収束。終わり。

>>35
ｃ＜−ｅのとき収束しない。
>>42
ｃ≦０のとき交点は一つ。

x^xの微分ってどうなるんですか？

>>48
対数微分法ってのを使う。

>>49
おもいっきし高校レベルですね

>>48
y = x^x
logy = log(x^x) = x logx
y = exp(x logx)
y' = (logx + 1) exp(x logx)

∴y' = (logx + 1) x^x
これでどーよ

>>51
分かりやすい。

数学セミナーに「xのx乗の話」とかいうのが連載されてなかった？

>>25
＞ おっしゃるように、複素数も含めるとそうなるよね。
＞ 周期性を持つんだよね。
＞ [ 予言しときました ]

これの説明ｷﾎﾞｰﾝ
(予言ははずれたけど)

ｎ＝（n√ｎ）＾（n√ｎ）＾（n√ｎ）＾（n√ｎ）＾・・・・・・

n√ｎはｎのｎ乗根

∴ｅ＝（e√ｅ）＾（e√ｅ）＾（e√ｅ）＾（e√ｅ）＾・・・・・・
∴π＝（π√π）＾（π√π）＾（π√π）＾（π√π）＾・・・・・・

なんか美しいですよね。

>>53
ＨＰで公開されてる

{x(t)^y(t)}'=∂f/∂x*dx/dt+∂f/∂y*dy/dt
=y*x^(y-1)*x'+log(x)*x^y*y'

x(t)=y(t)=tとおけば
{t^t}'={1+log(t)}*t^t

>>56 これのこと？
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/bourdoki/bangaihen/xx/index.html

定理
x=(x^(1/x))^x

証明
(x^(1/x))^x
=x^(x/x)
=x
証明おわり。□

とゆーのがなぜかいてないんだYO！
考え込んじゃったじゃん！（w