★１００！と１０００！の桁数の出し方★

1 ：ラプラス：01/09/10 16:42

どうやったらいいんですか？
∑logｋ　（Kは1からN)なんて計算できませんよね？？

2 ：ラプラス：01/09/10 16:44

スターリングの公式は

あくまで、およその値ですし・・・。

3 ：１３２人目の素数さん：01/09/10 17:10

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=997329928&ls=50

の８８４

4 ：１３２人目の素数さん：01/09/10 17:59

>3
桁数と０の数は違うと思われ。

5 ：貧乳マニア：01/09/10 21:13

やっぱり∑log(k)（対数の底は10）を計算するのが良いだろう。
計算に使うlog(k)の数値の有効桁数から計算誤差を見積もることができる。
計算結果の最大値と最小値の整数部分が同じになればよい。

分かりやすく書くと、

数列min(k)とmax(k)で
min(k)<log(k)<max(k)
であるとき、
∑min(k)　と　∑max(k)
の整数部分が同じであれば、
10^∑min(k) と　10^∑max(k)
の桁数も同じで、
10^∑log(k)の桁数もそれになる。

ということだ。

そうなるために必要なlog(k)の有効桁数は（恐らく）数桁で良いと思う。

6 ：３：01/09/10 23:21

＞桁数と０の数は違うと思われ

勘違いしてました。すみません

7 ：_man：01/09/11 00:38

>>1　＞∑logｋ (Kは1からN)なんて計算できませんよね？？

(5と同じ発想かもしれんが) ∑[K=1,1000]logkと∑[K=2,1001]logkの和の1/2ぐらいが∫[1,1000]log(x)dxであるとイメージする。
２つの∑が階段状に並んだ1000枚の短冊群、∫がそれをならしたもの・・・。

でもlogの曲線の膨らんだ部分『{log(k)+log(k+1)}/2と∫[k,k+1]log(x)dxとの差』が少し出る。
その誤差を厳密に修正したのが、スターリングさんで、
2さんの書いたスターリングの公式　m! ～ (2π^1/2)*(m^(m+1/2))*(e^(-m))
※「～」は(mが大きくなると近似していく意味のつもり)

で、両辺の常用対数を計算すると
m=100 で、158桁
m=1000 で、2568桁

ちなみに公式の「近似の誤差」がどれほどか確かめてみたら、桁数計算で使う限り、
1!の場合はさすがに違っているが、早くも2!以上で一致しました。

8 ：ラプラス：01/09/11 12:05

>>7さんをはじめ
皆さんありがとうございました。
何とか積分に持ち込めないかなぁと考えていたんですけど
こういう風な感じにすれば良かったんですね。

9 ：数えろ：01/09/17 04:20

1000!
= 40238726007709377354370243392300398571937486421071463254379991042993851239862902
05920442084869694048004799886101971960586316668729948085589013238296699445909974
24504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094
64649629105639388743788648733711918104582578364784997701247663288983595573543251
31853239584630755574091142624174743493475534286465766116677973966688202912073791
43853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308
43139284440328123155861103697680135730421616874760967587134831202547858932076716
91324484262361314125087802080002616831510273418279777047846358681701643650241536
91398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186
11681155361583654698404670897560290095053761647584772842188967964624494516076535
34081989013854424879849599533191017233555566021394503997362807501378376153071277
61926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545
25722386554146106289218796022383897147608850627686296714667469756291123408243920
816015378088989396451826324367161676217916890977991190375403127
46222899880051954444142820121873617459926429565817466283029555702990243241531816
17210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061
69089796848259012545832716822645806652676995865268227280707578139185817888965220
81643483448259932660433676601769996128318607883861502794659551311565520360939881
80612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245
01440282188525247093519062092902313649327349756551395872055965422874977401141334
69627154228458623773875382304838656889764619273838149001407673104466402598994902
22221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171
22984590164192106888438712185564612496079872290851929681937238864261483965738229
11231250241866493531439701374285319266498753372189406942814341185201580141233448
28015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217
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275384886339690995982628095612145099487170124451646126037902930
91208890869420285106401821543994571568059418727489980942547421735824010636774045
95741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690
10593398383577793941097002775347200000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000

10 ：１３２人目の素数さん：01/10/15 23:30

age

11 ：１３２人目の素数さん：01/10/15 23:40

>>9
最近見たレスの中で一番オモロイ（笑）

12 ：１３２人目の素数さん：01/10/15 23:54

>>9
最近見たレスの中で一番説得力があるな（ｗ

13 ：132人目の素数さん：01/10/16 00:13

激しくﾜﾗﾀ

と。

14 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:21

>>13
丸一月前のレスに激しくﾜﾗｳﾅ！（ｗ

15 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:30

>>9 がいいとは言えんよ。
これ見て何桁かすぐに言えるかい？
10000!だったらどうする。
(10^n)!だったらどうする。
問題にしてるのはそういうことだろ。
それが数学てもんだ。

16 ：小学校6年生天才児：01/10/16 00:32

そんなお前に激しくひいた

と。

17 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:34

>>15
常用対数＋１

18 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:36

>>17
常用対数で、どうやるの？？

19 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:50

>>18
ネタか？

例えば、1581の常用対数は3.199だ。
それをプラス１して整数部をとれば、４になる。
実際に４桁だろう？

20 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:52

>>19
ネタ？
100!の常用対数は？

21 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 00:58

Javaで

BigInteger i;
i = fact(100);
System.out.println("100!の桁数は" + log(i)+1);

もちろんfact()は定義済みとして考えてね。

22 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 01:00

>>21
mathematicaでもできるぞ。

23 ：20：01/10/16 01:01

>>21
許す。

24 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 15:52

age

25 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 19:38

>>21
Java って全く知らないのだけど、log の引数は C の double のようなものに変換
されないの？　いいなあ。

scheme だと factorial は教科書の末尾再帰のところに書いてあるから流用すると

(+ 1 (floor (log (factorial 1000))))

は浮動小数の桁あふれでアウトのやつばっかり。十進の文字数を数える

(string-length (number->string (factorial 1000)))

は通るやつが多い。

とはいえ、ベルヌーイ数を使ってガンマ関数の対数を近似計算する方が、楽だと思う。

26 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 21:57

まあ、やっぱり25の言うように、真面目に話せば、スターリングの一般的に言われている近似式は
n!/(n^n・e^(-n)・√(2πn))=1だけど、正確には
n!/(n^n・e^(-n)・√(2πn))=1+1/12n+1/288n^2-139/51840n^3-…
で、ベルヌーイ数を使った級数で表されるから、それでやればいいんじゃない？

27 ：１３２人目の素数さん：01/10/16 23:25

Ｊａｖａだと”１＋１＝”＋１＋１は”１＋１＝１１”になると思う。

28 ：１３２人目の素数さん：01/10/17 01:40

>>25 >>27
>>21が使っている関数は標準関数ではない。
クラス内で自作するもの。

恐らく　　BigInteger fact(BigInteger n);
　　　　　　int log(BigInteger x);
という仕様だと思う。

ちなみに標準関数は「Math.」が頭につく。

29 ：２７：01/10/17 02:19

>>28
そんな事を言っているんじゃなくて
＞System.out.println("100!の桁数は" + log(i)+1);
がおかしいと言っている。
100!の桁数は1571
は大きすぎ。

30 ：２７：01/10/17 03:58

＞恐らく　　BigInteger fact(BigInteger n);
だと
＞i = fact(100);
はエラー。

31 ：１３２人目の素数さん：01/10/17 15:38

>>29 >>30
文法なんてどうでもいいジャン・・・（汗’
何でそういう揚げ足ばっかりとる奴が現れるんだろうね。
そんなに力をひけらかしたいのかい？

ハァ、バカばっかり・・！

32 ：１３２人目の素数さん：01/10/17 16:47

>>31
こういうやつは放置しておけばいいの！