真・スワップ派のFX part3

皆さんからいただいたヒントをもとにもう一度解いてみました。
【問題】
１０万円を両替するのに、千円札と五千円札で両替する。千円札と五千円札を合わせた紙幣の枚数が７０枚を超えるのは、千円札が何枚以上のときか。

【私の解答】
千円札をX、五千円札をYとする。
１０００X　＋　５０００Y　＝　１０００００…�@
X　＋　Y　＞　７０…�A
X>０、Y>０

�@を計算すると　Y=２０−1/5X…�@´
�@´を�Aに代入すると　
X＞６２．５
ただし、Xは５の倍数である。　よって、千円札と五千円札を合わせた紙幣の枚数が７０枚を超えるのは
千円札が６５枚以上のときである。
以上


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ヒントを見てあたしも気づきました。千円札は５枚綴りにカウントしていかないと１０万円を千円札と五千円札のみでは両替できない！！！って。
多分答えはこれで合ってると思います。６５枚。
ただ、最後の方の回答方法がこれではたしていいのかが不安です。
「ただし、Xは５の倍数である」これはこれで問題ないでしょうか。

せっかくヒントをいただいたのにまた投稿してしまってなんだか申し訳ないです。

よろしくお願いいたします。

現在、大学で制御系の研究をしていまして、システムの一部のパラメータを考えています。
パラメータを考える上で数学の問題に帰着したためこちらに投稿させていただきます。

そのパラメータ(x,y)の条件は以下の3つです。、
(i）共に正の値
(ii)x^2+y^2が最小となる値
(iii) Ax^2+Bx+Cxy+Dy^2+Ey+F≧0 ・・・�B
x≧G ・・・�C
（システムの構造上、A、D、Gは正の定数、B、C、Eは負の定数、Fは0ではない定数ということがわかっています。）

(i)(ii)(iii)を満たす(x,y)=(x1,y1)としたときに(x1,y1)はA~Gを用いてどのように表されるか、
簡単な過程も含めて教えていただけないでしょうか。
（�Bの領域が楕円となるときは教えていただき、わかったのですが
楕円とならない場合にどのように考えればよいのか教えていただきたいです。）

0＜F のときは，0＜x，0＜y の範囲での x^2＋y^2 の最小値はないでしょう。

F＜0 のとき，最小値がもしあれば，境界 Ax^2＋Bx＋Cxy＋Dy^2＋Ey＋F＝0（G≦x，0＜y），x＝G（0＜y） 上において最小となるのでしょう。

境界 x＝G（0＜y）での最小値は�Bにこれを代入して，y についての二次不等式を解けばよいのでしょう。

境界 Ax^2＋Bx＋Cxy＋Dy^2＋Ey＋F＝0 （G≦x，0＜y）で x^2＋y^2 での最小をとる(x，y)については，
「C＜−2√{AD} かつ F＝−(AE^2＋B^2D−BCE)/(C^2−4AD)」のときだけは境界は２直線の一部になるでしょうから
そのときは原点からその直線までの距離で求まるでしょうけれどそれ以外の楕円，双曲線，放物線になる場合は，

　φ(x，y，k)＝x^2＋y^2−k(Ax^2＋Bx＋Cxy＋Dy^2＋Ey＋F)（G≦x，0＜y）

とでもしてラグランジュの未定係数法で候補を絞り，実際に最小になるかを
境界の形状などで確認する，といった感じでしょうか…もっと簡便な方法があるかもしれませんが…。

>インテグラル 分子 １＋sinｘ 分母 １ ｄｘ

というのは，

　∫{ {1＋sin{x}}/1 }dx
＝∫1dx＋∫{ sin{x}}dx
＝∫{dx/dx}dx＋∫{d/dx}{ −cos{x}}dx

でしょうか？それとも，もしかして，

　∫{ 1/{1＋sin{x}} }dx
＝∫{ {1−sin{x}}/{1−sin{^2x}} }dx
＝∫{ {1−sin{x}}/{cos^2{x}} }dx
＝∫{ 1/{cos^2{x}} }dx − ∫{ {1/{cos^2{x}}}・sin{x} }dx
＝∫{ 1/{cos^2{x}} }dx − ∫{ {1/{cos^2{x}}}・sin{x} }dx
＝∫{d/dx}{tan{x}}dx − ∫{ {1/{cos^2{x}}}・{d/dx}{−cos{x}} }dx

のことでしょうか？

また，

>リミットx→１
>分子logｘ
>分母ｘの二乗−１

の方は

　lim_{x→1}{ {log{x}}/{x^2−1} }
＝lim_{x→1}{ {log{x}−0}/{(x−1)(x＋1)} }
＝lim_{x→1}{ {{log{x}−log1}/(x−1)}・{1/(x＋1)} }

のことでしょうか？

はずしていたらごめんなさい！

いずれにしても，

>不定積分は置換やlogをかんがえましたが解けませんでした。
置換積分などを考える前にもっと基本的なことをしてみなくてはではないでしょうか？

　(1−sin{x})(1＋sin{x})＝cos^2{x}
　(1−cos{x})(1＋cos{x})＝sin＾2{x}

や

∫{y＋z}dx＝∫ydx＋∫zdx

1/{cos^2{x}}
＝{tan{x}}'
1/{sin^2{x}}
＝{−1/tan{x}}'

などは置換積分や部分積分よりやさしいでしょう。

> 極限値は問題集みてもわかりにくいです。


lim_{x→a}{ f(x)−f(a)}/(x−a) }＝f'(a)

なども大切な基本でしょう…。

>＝∫{ {1−sin{x}}/{1−sin^2{x}} }dx

分母を単項式にして

>＝∫{ {1−sin{x}}/{cos^2{x}} }dx

分子も単項にして，
＝∫{ {1/cos^2{x}}−{sin{x}/cos^2{x}} }dx

積分記号下の第一項の積分は容易で第二項は置換積分でしょう。なので

>＝∫{ 1/{cos^2{x}} }dx − ∫{ {1/{cos^2{x}}}・sin{x} }dx

と続けています。

−不等式の証明−
次のa、bを正の実数とするとき、次の不等式が成立することを示せ。
ab^2＋4/a＋1/b≧4
【書名不明、前橋工科大過去問】

ab^2＋4/a＋1/b−4≧0
としてそこから変形して見ようと思ったのですが、余計にこんがらがってしまいました。
問題集も参考にしてみましたが最初の取っ掛かりを見つけられません。
ヒントをお願いします。
丸投げに近いような質問で申し訳ありません。駄目なら消します。

夜中にすみません。


a>0、b>0なので
相加平均≧相乗平均より
ab^2+4/a+1/b
≧2√(ab^2･4/a)+1/b
＝2√4b^2+1/b
＝4b+1/b
≧2√(4b･1/b)
＝4
よってab^2＋4/a＋1/b≧4


こうでしょうか??

答がすっきりせず、解説回答が無い問題なので、解き方があっているのか間違っているのか分かりません
助けてください
y=x^2ｰ2xｰ2と、y=x+1のグラフの交点を答えよ

私が思った解き方は、
まず連立方程式にして解く
x^2ｰ2xｰ2=x+1
x^2ｰ2xｰ2ｰxｰ1=0
x^2ｰ3xｰ3=0

これを因数分解して出た数字が二つある交点のxの座標
x=3±√21/2
これをy=x+1に代入
y=5±√21/2
よって交点は
(3ｰ√21/2,5ｰ√21/2)
(3+√21/2,5+√21/2

答えがあっているのか聞ける人がいなくて困っています…よろしくお願いします

2b♪15

aを正の定数とする。連日不等式

ax≦y≦ax＋a＋1

(2a＋1)x−a−1≦y≦(2a＋1)x

の表す領域をＤとする。
y＝axとy＝(2a＋1)x−a−1
の交点はA(1,a)


y＝ax＋a＋1とy＝(2a＋1)x−a−1の交点B(2,3a＋1)


y＝ax＋a＋1とy＝(2a＋1)xの交点C(1,2a＋1)

となる

不等式x^2＋y^2−2x−16/9≦0の表す領域がＤを含むようなaの範囲を求めるという問題が分からないです


解答には

不等式x^2＋y^2−2x−16/9≦0を円の方程式にして(x−1)^2＋y^2≦25/9

となり(1,0)半径5/3の内部か周上を表すから中心から一番遠い点Ｂを含めばよく

Ｂを円の不等式に代入して

0＜a≦1/9が解答になりましたが

なぜＢを円の不等式に代入するのですか？