数学の質問スレ【大学受験板】part109
訂正
e = lim(1+1/n)^n
e = lim(1+1/n)^n
オイラーの公式も知らないで複素解析やろうとしてんのか
test
exp(x)の定義ってf(0)=1かつf'(x)=f(x)≠0だっけ
f(1)がlim～に一致するのは導けるね
exp'(jωx)=jωexp(jωx)、exp''(jωx)=-ω^2exp(jωx)辺りからexpと三角関数の相関導く
f(1)がlim～に一致するのは導けるね
exp'(jωx)=jωexp(jωx)、exp''(jωx)=-ω^2exp(jωx)辺りからexpと三角関数の相関導く
>>953
オイラーの公式はテイラー展開を使わず、成立することを証明してから使ってください
オイラーの公式はテイラー展開を使わず、成立することを証明してから使ってください
957 ：大学への名無しさん：2013/07/20(土) 21:32:35.56 ID:IO2oMA3X0
横からだけど。来年高3になる人から使う新課程数IIIの検定教科書を用意して持っているが、
扱い順は 2次曲線と極座標→複素数平面→現行数III内容。
従ってオイラーの公式は教科書に登場していない。この教科書の場合、eは微分法で
lim[h→0]{(1+h)^(1/h)} として定義されており、そのあと複素数平面に話題が戻らない。
なので、あんまり深い話になるなら、あるいは理論的厳密性を求めるなら、受験板の
質問スレではなく、数学板でやるのが本来は筋であろうと思う。
軽い程度とか、学部入試の問題の裏技的な取扱いで話が行くならばまだしも、
扱い順は 2次曲線と極座標→複素数平面→現行数III内容。
従ってオイラーの公式は教科書に登場していない。この教科書の場合、eは微分法で
lim[h→0]{(1+h)^(1/h)} として定義されており、そのあと複素数平面に話題が戻らない。
なので、あんまり深い話になるなら、あるいは理論的厳密性を求めるなら、受験板の
質問スレではなく、数学板でやるのが本来は筋であろうと思う。
軽い程度とか、学部入試の問題の裏技的な取扱いで話が行くならばまだしも、
>>957
ハァ？足りないことあるかい。eの定義はeの定義だ。てめえの脳みそが足りないんだろう。脳足リンが
ハァ？足りないことあるかい。eの定義はeの定義だ。てめえの脳みそが足りないんだろう。脳足リンが
960 ：大学への名無しさん：2013/07/20(土) 23:13:27.02 ID:IO2oMA3X0
今1浪なんだけど、2浪してしまったら、
複素数平面とかわけ分からないのまで勉強しないといけない...
極座標とか数Cの端っこの、ほとんど出てこない内容だったのに数3の最初の方に出てきやがった。
複素数平面とかわけ分からないのまで勉強しないといけない...
極座標とか数Cの端っこの、ほとんど出てこない内容だったのに数3の最初の方に出てきやがった。
整式 P = a x^2 + b x + c を
整式 Q = x^2 - d で割った余りは、
Pのx^2部分をdに置き換えたものだという
これについて、私古畑任三郎が納得出来る説明が出来ますか！？
整式 Q = x^2 - d で割った余りは、
Pのx^2部分をdに置き換えたものだという
これについて、私古畑任三郎が納得出来る説明が出来ますか！？
P(x) = a(x^2 - d) + ad + bx + c だろ
軌跡の問題です
A,B,C,D>0のとき
Y = {(A+ i ωB)/(C+i ωD)}^(1/2)
においてωを変化させたときの複素平面上におけるYの軌跡を求めよ
A,B,C,D>0のとき
Y = {(A+ i ωB)/(C+i ωD)}^(1/2)
においてωを変化させたときの複素平面上におけるYの軌跡を求めよ
965 ： 【東電 68.8 %】 ：2013/07/21(日) 12:14:57.07 ID:AtFZNExK0
dでわる
y=k/(x-p)+q
y=k/(x-p)+q
友人に質問された問題なんだが，どっから手をつけていいかすらわからん
もちろん友人もお手上げ。力を貸してほしい
鋭角三角形ABCがあって，頂点Aから出た光が各辺で１回ずつ反射して頂点C
に到達することが可能であるための必要十分条件が
90°-2/3 β<α<90°-1/3 β
であることを示せ。ただし，α=∠BAC，β=∠ABCである。
友人いわくベクトルを使ってとく問題らしい。ヒントだけでも教えて頂けたら嬉しいです。
もちろん友人もお手上げ。力を貸してほしい
鋭角三角形ABCがあって，頂点Aから出た光が各辺で１回ずつ反射して頂点C
に到達することが可能であるための必要十分条件が
90°-2/3 β<α<90°-1/3 β
であることを示せ。ただし，α=∠BAC，β=∠ABCである。
友人いわくベクトルを使ってとく問題らしい。ヒントだけでも教えて頂けたら嬉しいです。
√3cos2θ-sin2θ=0
↓
tan2θ=√3
この変形ってどうやってだすんでしょうか？
↓
tan2θ=√3
この変形ってどうやってだすんでしょうか？
>>967
cos2θ≠0を言ってから両辺をcos2θで割るといいよ
それかくくるかどっちかだね
√3cos2θ-sin2θ=0
cos2θ(√3-tan2θ)=0
∴tan2θ=√3
マーク形式なら頭の中で処理しときゃええよ
cos2θ≠0を言ってから両辺をcos2θで割るといいよ
それかくくるかどっちかだね
√3cos2θ-sin2θ=0
cos2θ(√3-tan2θ)=0
∴tan2θ=√3
マーク形式なら頭の中で処理しときゃええよ
あーわざわざくくらなくてもいいのか
移行すりゃいいし0じゃないことも言わなくていいか。まぁ適当に式変形すりゃでるよ
移行すりゃいいし0じゃないことも言わなくていいか。まぁ適当に式変形すりゃでるよ
logの連続性を利用するというのはどういうことですか？
>>966
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/vb-samples-001/1a-hansha-orikaeshi001.pdf
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/vb-samples-001/1a-hansha-orikaeshi001.pdf
>>970
対数関数が数IIIで定義された意味で連続であることを利用する、ということ。
(感覚的には、グラフがつながってる曲線として描けること。それを数学で扱えるような表現に直したのが
数IIIで出てくる連続性の定義だけど、高校数学なら連続性そのものを問題にするときでもなければ、
感覚的な扱いで十分なことが多いと思う)
中間値の定理や平均値の定理が適用できる条件の一つが、関数が連続であること。
それ以上の回答が必要なら問題全部書かなきゃ無理。
対数関数が数IIIで定義された意味で連続であることを利用する、ということ。
(感覚的には、グラフがつながってる曲線として描けること。それを数学で扱えるような表現に直したのが
数IIIで出てくる連続性の定義だけど、高校数学なら連続性そのものを問題にするときでもなければ、
感覚的な扱いで十分なことが多いと思う)
中間値の定理や平均値の定理が適用できる条件の一つが、関数が連続であること。
それ以上の回答が必要なら問題全部書かなきゃ無理。
>968
ありがとうございます！
ありがとうございます！
>>972
質問者じゃないんですけど、中間値の定理を使いたいときに連続性を示さなければならないと思いますが簡単そうな関数だったらなにも証明せずに連続であるといっていいのでしょうか？
それともグラフ書いたりして示すべきなのでしょうか
はたまた定義にしたがってlim使って示さなければならないかどうかはどの辺りで線引きすればいいのですか？
質問者じゃないんですけど、中間値の定理を使いたいときに連続性を示さなければならないと思いますが簡単そうな関数だったらなにも証明せずに連続であるといっていいのでしょうか？
それともグラフ書いたりして示すべきなのでしょうか
はたまた定義にしたがってlim使って示さなければならないかどうかはどの辺りで線引きすればいいのですか？
初等関数なら証明不要
それ以外なら定義に従って示すべき
それ以外なら定義に従って示すべき
どなたか回答よろしくお願いします。
f(x)=x^2-2x+k(x≧1)の逆関数をf^-1(x)とする。y=f(x)のグラフと
y=f^-1(x)のグラフが異なる二点で交わるとき、定数kの値の範囲を求めよ。
（青チャⅢC p24）
共有点の座標を(x,y)として
y=x^2-2x+k(x≧1)......①
x=y^2-2y+k(y≧1)......②
①-②からy-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x≧1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえにx=y........☆1
よって、求める条件は、x=x^2-2x+kすなわちx^2-3x+k=0が
x≧1の異なる２つの実数解をもつことである.........☆2
ここの☆１と☆２となる理由がわかりません。
f(x)=x^2-2x+k(x≧1)の逆関数をf^-1(x)とする。y=f(x)のグラフと
y=f^-1(x)のグラフが異なる二点で交わるとき、定数kの値の範囲を求めよ。
（青チャⅢC p24）
共有点の座標を(x,y)として
y=x^2-2x+k(x≧1)......①
x=y^2-2y+k(y≧1)......②
①-②からy-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x≧1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえにx=y........☆1
よって、求める条件は、x=x^2-2x+kすなわちx^2-3x+k=0が
x≧1の異なる２つの実数解をもつことである.........☆2
ここの☆１と☆２となる理由がわかりません。
>>974 中間値の定理から離れるけど、連続性に関して定義に基づいた証明が必要になりそうな場合は、
・場合分けを含む形で定義された関数
・極限や無限和を含む形で定義された関数(で「ふつう」の関数に書き直せないもの)
・積分で定義された関数(同上)
・0で割る形になるｘの値を定義域から除く必要がある場合
のいずれかに該当する状況に限られると思う。
逆に言えば(0で割る形を含まない限り) 「ふつうの」関数の和差積商・合成の形なら、
「元となる ○○と △△の関数が連続だから ターゲットとなる □□も連続関数」とでも
書いておけば、いちおう確認したポーズは作れるかと。(>>975で「初等関数」という表現が出たけど、
これは「高校範囲で式として表せる初等関数」を別の言葉で表現したもののつもり)
・場合分けを含む形で定義された関数
・極限や無限和を含む形で定義された関数(で「ふつう」の関数に書き直せないもの)
・積分で定義された関数(同上)
・0で割る形になるｘの値を定義域から除く必要がある場合
のいずれかに該当する状況に限られると思う。
逆に言えば(0で割る形を含まない限り) 「ふつうの」関数の和差積商・合成の形なら、
「元となる ○○と △△の関数が連続だから ターゲットとなる □□も連続関数」とでも
書いておけば、いちおう確認したポーズは作れるかと。(>>975で「初等関数」という表現が出たけど、
これは「高校範囲で式として表せる初等関数」を別の言葉で表現したもののつもり)
>>976
どの程度わからないのかがわかりにくいのであれだが…
☆1
(x-y)(x+y-1)=0 なので，x+y-1≧1 なら x-y=0
☆2
x=y を踏まえて y を消去して得られる2次方程式が
x≧1 において異なる2解を持てばおｋ
どの程度わからないのかがわかりにくいのであれだが…
☆1
(x-y)(x+y-1)=0 なので，x+y-1≧1 なら x-y=0
☆2
x=y を踏まえて y を消去して得られる2次方程式が
x≧1 において異なる2解を持てばおｋ
>>976 >>979に蛇足的補足。
y≧1は、「元の関数の定義域がx≧1だからy=f＾-1(x)の値域もy≧1。交点を考える上で、
一方のグラフがy≧1の範囲にしか存在しないのだから、交点(両方のグラフの共有点)も
y≧1を満たす」という理屈。
y≧1は、「元の関数の定義域がx≧1だからy=f＾-1(x)の値域もy≧1。交点を考える上で、
一方のグラフがy≧1の範囲にしか存在しないのだから、交点(両方のグラフの共有点)も
y≧1を満たす」という理屈。
>>979
回答ありがとうございます。忍法帳の関係であまり文字がうてず
わかりにくくてすいません。
☆１わかりました、ありがとうございます。
☆２は、なぜy=xを①式に代入して得られた式で異なる２解があればおｋなのか
がわからないです。２つの関数f(x)=f(y)とかならわかるのですが。。
回答ありがとうございます。忍法帳の関係であまり文字がうてず
わかりにくくてすいません。
☆１わかりました、ありがとうございます。
☆２は、なぜy=xを①式に代入して得られた式で異なる２解があればおｋなのか
がわからないです。２つの関数f(x)=f(y)とかならわかるのですが。。
>>981
①∧② ⇔ 「①－②」∧①
①∧② ⇔ 「①－②」∧①
>>981
>>982は質問者の聞きたいところとは違うとこだと思う(論理構成上必要な話だけど)。
交点があればその座標はx=y(x座標とy座標が等しい)ことが言えてるのだから、
得られたxの2次方程式にｘ≧1を満たす異なる2実数解α,βがあれば
交点の座標として(α,α) (β,β)があることになり、2交点があることになるでしょ。
>>982は質問者の聞きたいところとは違うとこだと思う(論理構成上必要な話だけど)。
交点があればその座標はx=y(x座標とy座標が等しい)ことが言えてるのだから、
得られたxの2次方程式にｘ≧1を満たす異なる2実数解α,βがあれば
交点の座標として(α,α) (β,β)があることになり、2交点があることになるでしょ。
中学数学、二次関数の質問をさせてください。
長方形ABCD(AB=6cm,AD=3cm)の点Aから2点P,Qが
それぞれ秒速2cm,1cmでスタートし、点Pは点B,Cと
移動して点Dまで動き、点Qは点Dについた時点で止まる。
この２点P,Qが同時にスタートしたときx秒後にできる△APQの
面積をyとする。
4.5≦x≧7.5の場合についてyをxの式で表すという問題です。
解答は、y=3×(15-2)×1/2だったのですが、(15-2)の部分は
辺CDの長さは6cmで、点Pは2xの早さでDに進むから、
6-xになるかと思ったのですが、どうしてこうなるのでしょうか？
回答よろしくお願いします！
長方形ABCD(AB=6cm,AD=3cm)の点Aから2点P,Qが
それぞれ秒速2cm,1cmでスタートし、点Pは点B,Cと
移動して点Dまで動き、点Qは点Dについた時点で止まる。
この２点P,Qが同時にスタートしたときx秒後にできる△APQの
面積をyとする。
4.5≦x≧7.5の場合についてyをxの式で表すという問題です。
解答は、y=3×(15-2)×1/2だったのですが、(15-2)の部分は
辺CDの長さは6cmで、点Pは2xの早さでDに進むから、
6-xになるかと思ったのですが、どうしてこうなるのでしょうか？
回答よろしくお願いします！
<<982
<<983
なるほど。わかりました。
度々質問してすいませんでした、ありがとうございます！
<<983
なるほど。わかりました。
度々質問してすいませんでした、ありがとうございます！
訂正です。
6-2xになるかと思ったの間違いです。
6-2xになるかと思ったの間違いです。
>>984
P，Q はともに A をスタート地点とする
Q は辺 AD 上を秒速 1cm で進む
でいいんだな？ 他にも抜けや入力ミスがあるようだが
点 P は 4.5 ≦ x ≦ 7.5 のとき，辺 CD 上にいる
実際に数値を代入すればわかることだが
今点 P がいるいる点は最終的な位置 D からどれだけ戻った点であるか
と考えてみれば納得できるかも
P，Q はともに A をスタート地点とする
Q は辺 AD 上を秒速 1cm で進む
でいいんだな？ 他にも抜けや入力ミスがあるようだが
点 P は 4.5 ≦ x ≦ 7.5 のとき，辺 CD 上にいる
実際に数値を代入すればわかることだが
今点 P がいるいる点は最終的な位置 D からどれだけ戻った点であるか
と考えてみれば納得できるかも
>>987
なるほど！理解できました。ありがとうございます！
あともう一点疑問が出てきたのですが、
y=3×(15-2x)×1/2 の解が
=-3x+45/2 となっているのですが、
頭から計算して45-6xとなった時点で括弧は外れているはずなのに、
それぞれに1/2がかかっているのはなぜですか？
基本的なことですみませんが、回答よろしくお願いいたします。
なるほど！理解できました。ありがとうございます！
あともう一点疑問が出てきたのですが、
y=3×(15-2x)×1/2 の解が
=-3x+45/2 となっているのですが、
頭から計算して45-6xとなった時点で括弧は外れているはずなのに、
それぞれに1/2がかかっているのはなぜですか？
基本的なことですみませんが、回答よろしくお願いいたします。
>>988
それは演算の規則を復習したほうがいいのでは
y = 3 × (15-2x) × (1/2)
= (45-6x) × (1/2) ←はじめの2項 3 と (15-2x) の積を計算した（この段階ではまだ (45-6x) の括弧は付けておかないと駄目）
或いは，積の計算順序を入れ換えて
y = (3/2) × (15-2x)
としたほうが納得しやすいかね
それは演算の規則を復習したほうがいいのでは
y = 3 × (15-2x) × (1/2)
= (45-6x) × (1/2) ←はじめの2項 3 と (15-2x) の積を計算した（この段階ではまだ (45-6x) の括弧は付けておかないと駄目）
或いは，積の計算順序を入れ換えて
y = (3/2) × (15-2x)
としたほうが納得しやすいかね
場合わけした後の結合って全部「または」じゃないのですか？
http://i.imgur.com/OGyqpVD.jpg
(1)ではy=0とそうでない場合をまたはで結合
しかし、(2)ではy=0とそうでない場合をかつで結合してます
またこの問題はy^2で割る以外方法はないんですか？こういう定石の問題ですか？
http://i.imgur.com/OGyqpVD.jpg
(1)ではy=0とそうでない場合をまたはで結合
しかし、(2)ではy=0とそうでない場合をかつで結合してます
またこの問題はy^2で割る以外方法はないんですか？こういう定石の問題ですか？
>>991
(1)は存在すりゃいいので、場合分けしたらそのどれか一つ（複数でも構わない）で存在すればいい。
だから、「または」。
(2)は全てのx,yについて成り立たなければならないので、場合分けしたらその全てで成り立つ必要がある。
だから、「かつ」。
なぜ「または」なのか、なぜ「かつ」なのかを考えずに、結合だから「または」って考えるのがおかしい。
(1)は存在すりゃいいので、場合分けしたらそのどれか一つ（複数でも構わない）で存在すればいい。
だから、「または」。
(2)は全てのx,yについて成り立たなければならないので、場合分けしたらその全てで成り立つ必要がある。
だから、「かつ」。
なぜ「または」なのか、なぜ「かつ」なのかを考えずに、結合だから「または」って考えるのがおかしい。
なんか今まで出会った0かそうでないか場合わけする問題でほとんどまたはで結合してたので、違和感がありました
ありがとうございます
ありがとうございます
ちょっとよく考えたら
y=0 y=!0をまたはで結合すればすべての実数になりませんか？
なんか混乱してきました
y=0 y=!0をまたはで結合すればすべての実数になりませんか？
なんか混乱してきました
>>994
なにを結合するのかを混同している。
(2)は、「y=0のとき、不等式が成り立つ（A）」と「ｙ≠0のとき、不等式が成り立つ（B）」を、
「全ての実数yについて、不等式が成り立つ」になるように結合させるのだから、
片方でだけ成立してもダメだ。両方とも成立する必要がある。だから、「かつ」。
「または」で結合させたら、例えば、「Aは成り立つがBは成り立たない場合」も含まれる。
つまり、「y=0では成り立たない場合」が含まれてしまうことになり、
それは「全ての実数yで成り立つ」ではない。
なにを結合するのかを混同している。
(2)は、「y=0のとき、不等式が成り立つ（A）」と「ｙ≠0のとき、不等式が成り立つ（B）」を、
「全ての実数yについて、不等式が成り立つ」になるように結合させるのだから、
片方でだけ成立してもダメだ。両方とも成立する必要がある。だから、「かつ」。
「または」で結合させたら、例えば、「Aは成り立つがBは成り立たない場合」も含まれる。
つまり、「y=0では成り立たない場合」が含まれてしまうことになり、
それは「全ての実数yで成り立つ」ではない。
996 ： 【東電 82.2 %】 ：2013/07/23(火) 17:09:07.85 ID:X+G774jr0
(AかつB)または(CかつD)
訂正
× つまり、「y=0では成り立たない場合」が含まれてしまうことになり、
○ つまり、「y≠0では成り立たない場合」も含まれてしまうことになり、
× つまり、「y=0では成り立たない場合」が含まれてしまうことになり、
○ つまり、「y≠0では成り立たない場合」も含まれてしまうことになり、
998 ：大学への名無しさん：2013/07/23(火) 18:15:24.15 ID:z2BkGcOp0
998
999 ：大学への名無しさん：2013/07/23(火) 18:21:42.30 ID:z2BkGcOp0
999
1000 ：大学への名無しさん：2013/07/23(火) 18:23:48.42 ID:z2BkGcOp0
10000
1001 ：１００１：
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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