【東大】毎日過去問を1問ずつ解くスレ【理系数学】

毎日東大理系数学を1問ずつみんなで解き、研究するスレです。
スレ主が毎朝問題文を投下していきます。

受験生はそれに合わせて毎日解き、分からないところは質問して下さい。

塾・予備校関係者は次の日に解答などを書き込んで下さい。
もしくはよい解答をアップしているサイトの紹介でもかまいません。
みなで様々な解法を研究し、ベストなものを作りましょう。
スレ主もなるべく毎日解答をアップするつもりです。

受験生のために現在の教育要綱である2006年以降は
直前期に残しておきたいので、2005年から遡っていきます。

最初は東大理系数学2005年の第1問になります。
以下問題文になります。

x>0に対し、f(x)=logx/xとする。
(1)n=1,2,…に対してf(x)の第n次導関数は、数列{a_n}、{b_n}を用い
　て、
　　f^(n)(x)=(a_n+b_n*logx)/x^(n+1)
　と表されることを示し、a_n、b_nに関する漸化式を立てよ。
(2)h_n=Σ[k=1〜n]1/kとおく。h_nを用いて、a_n、b_nの一般項を求めよ。

画像で確認したい人は↓のリンクを参照して下さい。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/20120731010105d17.gif

a_nは連立漸化式の形ですか？

>>3
その通りです。
かなりときづらい形になると思います。

何度もすみません
h_nを用いてっていうのはh_nを利用してって意味で、漸化式中にh_nが入るって訳じゃないですよね？

漸化式じゃなかった
一般項です

>>5
いえ、この場合は答えにh_nが入っても構わない、という表現だと思います

え？じゃあかなり簡単なような……

>>8
僕はマニアックな漸化式だと感じました。
大数の難易度もCですよ。

はい
簡単じゃねとおもって解こうとしたけどムズかしくて諦めました

受験生はこれ解いたら自分の回答晒すのか

>>11
晒してくれれば記述などのアドバイスがもらえると思います。
もちろんぼくもできるだけ気付いた点は指摘したいと思います。

(1)　数学的帰納法を用いて証明する
n=1のとき
f1(x)=(1-logx)/x^2
これは成り立つ
ｎ=ｋのとき成り立つと仮定すると
fk+1(x)={(bk・x^k+1)/x - (k+1)x^k(ak+bk)logx}/x^2k+2
={bk-(k+1)ak-(k+1)bklogx}/x^k+2
これは成り立つ
よって与式は成り立ち an+1=bn-(n+1)an bn+1=-(n+1)bn

(2) b1=1 b2=-2・-1=2 b3=-3・2=6 ・・・
よってbn=n！(-1)^n　(n≧1）
これをan+1の式に代入して
an+1=n！（-1）＾ｎ - (n+1)an
両辺を(n+1)！（-1）＾ｎ+1　で割ると
an+1/{(n+1)！（-1）＾ｎ+1}=-1/n+1 + an/n！(-1)^n
an/n！(-1)^n=cnとすると
cn+1=-1/n+1 + cn
cn=-1/n +cn-1
cn-1=-1/n-1 + cn-1
・・・
c2=-1/2 + c1

cnからc1まで辺々加えて
cn=-(1/n + 1/n-1 +・・・+1/2) + c1
c1=1より
cn=-hn
したがって　an/n！(-1)^n=-hn
an=n！(-1)^n+1ｈｎ　(n≧1）

bnの証明がなんかうまくかけない

あ、戻ってきたの？

複素数平面の問題は現行課程向けににアレンジしてほしいです。

(1)(一部略)
(前半)
帰納法で示す。
(i)n=1のときf^(1)(x)=(1-logx)/x^2 より,a_1=1,b_1=-1とすれば成立する。
(ii)n=kのとき成立することを仮定し,これにより計算によって
a_{k+1}=-(k+1)a_k+b_k
b_{k+1}=-(k+1)b_k
と定めれば,f^(k+1)(x)は与えられたように表示できるので,n=k+1のときも正しい。
従って,帰納法の原理によりすべてのnについてf^(n)(x)=(a_n+b_n*logx)/x^(n+1)
は,数列{a_n},{b_n}を以上のように定めることにより.表すことができることがいえた。
次に，上記のような漸化式を満たす数列のみが，f^(n)(x)=(a_n+b_n*logx)/x^(n+1) を満たすことを示す。
f^(n+1)(x)とf^(n)(x)を比べると,
-(n+1)a_n+b_n-(n+1)b_n*logx=a_{n+1}+b_{n+1}logx　がすべてのxでいえるので,
x=1を代入することにより
a_{n+1}=-(n+1)a_n+b_n という必要条件を得，またこのことと
x=eを代入することによりb_{n+1}=-(n+1)b_nという必要条件を得る。
これは条件を満たすことは証明済みであるので，よってもとめる漸化式は
a_{k+1}=-(k+1)a_k+b_k
b_{k+1}=-(k+1)b_k
のみに限る。

上添え字kじゃなくてnです。すんません。
(2)
b_n=(-1)^n * n!　は予想して帰納法をすればよい。
a_(n+1)=-(n+1)a_n+(-1)^n*n!
a_(n+1)/(n+1)!=(-1)*a_n/n!+(-1)^n/(n+1)
a_(n+1)/(n+1)!*(-1)^(n+1)=a_n/(n)!*(-1)^n-1/(n+1)
a_(n)/(n)!*(-1)^(n)=c_(n)とすると
c_(n+1)-c_n=-1/(n+1)
Σ[k=1,n-1]c_(n+1)-c_n=Σ[k=2,n]-1/k
∴c_n-c_1=-h_n+1
c_1=-1
c_n=a_(n)/(n)!*(-1)^(n)
より
a_n=(-h_n)*(n)!*(-1)^(n)

漸化式としては見慣れないですが，予想帰納法でゴリ押せないこともないような…？

>>13
だいたいよいと思いますが確かに{b_n}の証明が粗いかもです。
僕は↓のように書きました。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/201207310101033c6.gif
よかったら見てみて下さい。

アフィカス死ね

直接求める方法として、
------------------------------------------------------
{b_n}の漸化式の両辺を(-1)^{n+1}*(n+1)!で割ることで

b_{n+1}/[(-1)^{n+1}*(n+1)!]=b_n/[(-1)^n*n!]

から数列{b_n/[(-1)^n*n!]}は定数列なので

b_n/[(-1)^n*n!]=b_1/[(-1)^1*1!]=1

ゆえにb_n=(-1)^n*n!
-----------------------------------------

これでもいけますね。

>>16
漸化式を立式するところで、
僕は恒等式の議論をせずに左右の係数をいきなり比較してしまいました。
もちろん必要条件から絞って十分性を示す方が厳密ですが、
それが問題の中心でない場合は係数比較が許されている気がします。
河合塾の解答を確認しましたが、
やはり同様に係数比較をいきなり行っています。
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/05/t01.html

一応僕が作った2005年第1問の解答および解説動画になります。
よければ参考にしてみて下さい。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-190.html

今日は2005年の第3問を皆で解きましょう。
問題文は↓になります。

関数f(x)を
　f(x)=(1/2)x{1+e^(-2x+2)}
とする。ただし、eは自然対数の底である。
(1)x>1/2ならば、0≦f'(x)<1/2であることを示せ。
(2)x_0を正の数とするとき、数列{x_n}(n=0,1,…)をx_(n+1)=f(x_n)によ
　って定める。x_0>1/2であれば、
　　lim[n→∞]x_n=1
　であることを示せ。

この問題文を画像で参照したい方は↓のリンクから見て下さい。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/201207310125373f2.gif

これは
前にやったカタツムリですか？

>>22
1つ見つければ，それでよいということでしょうか？

>>24
(1)
f'(x)=1/2*(1+e(1-2x)e^(1-2x))
t=1-2xと置換すると x＞1/2　より　t＜0
f'(t)=1/2*(1+et*e^t)
g(t)=t*e^t と置くと
g'(t)=(1+t)e^t
よって-1＞tのときg(t)は狭義単調現象　-1＜t＜0のときは狭義単調増加
t=-1のときg(t)は極小値-(1/e)をとる。
またlim[t→-∞]t*e^t=0　より-(1/e)≦g(t)＜0
よって0≦f'(x)<1/2　がいえた。

(2)
まず任意の0以上の整数nについて，x_n＞1/2 を示す。
n=0のとき，x_0＞1/2　なので成立。
また，(1)の結果より，x＞1/2ならば，y=f(x)は広義単調増加することがわかる。
従って，x_k＞1/2と仮定すれば，x_{k+1}=f(x_k)≧f(1/2)=1/4(1+e)＞1/2　がいえ，
これより，x_{k+1}＞1/2の成立もいえる。また，n=0での成立がいえているので，すべてのnに対しx_n＞1/2であることがいえた。
次に，すべてのnについてx_n＜1であることを示す。n=0のときは成立。
n=kのときx_k＜1を仮定するとx_{k+1}=f(k)＜f(1)=1 よりn=k+1での成立もいえるので,以上よりすべてのnで
1/2＜x_n＜1　が成立することがいえた。1/2＜x＜1ではf(x)は狭義単調増加。
ここで,0≦f'(x)＜1/2と(1)より0＜∫[x_n,1]f'(x)dx＜∫[x_n,1]1/2dx　
∴0＜1-x_{n+1}＜(1/2)*(1-x_n)　これより,
0＜1-x_n＜(1/2)^(n)　という不等式を得る。　よって,ハサミウチの原理よりlim[n→∞]x_n=1 であることが示された。

佐治さんなんか声かわりましたね

>>25
いえ、「逐次代入法」の類題だと思います。
>>27
実は親不知を抜いて、大変腫れたのでまだうまく口が開かないのです。
変な声だったらすいません。

こういうの、京大編とか誰かやらないのかな。

>>26
本来はよくないと思います。
ただあたかも多項式の左右の係数を比較するかのように、
定数項とlogxの係数を比較している参考書が多いと思います
(僕の解答も含め)
ただ実際には減点されるかもしれないので、
余裕があれば書くに越したことはないかもしれません。

>>26
解答はよいと思います。
僕は(2)は平均値の定理を使って示しました。
この方法の方がf'(x)の単調性が成り立ってなくてもよいので、
一般性があると思うのです。

3 組の対辺が互いに垂直であるような4 面体V がある．
このとき，V の各辺の中点は，V の重心を中心とするある1 つの球面上にあること示せ．

2005年第3問の解答および解説動画を作ってみました。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-191.html
よかったら参考にしてみてください。

今日は2005年の第4問をみんなで解きましょう。
下が問題文になります。


3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。


この問題文を画像で確認したい人は↓のリンクを参照して下さい。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/20120801073824d3b.gif

やっぱりやったことあるの出てきますね
ていうかこの問題はいろんな参考書に出てくる

>>30-31 参考になりました。有難う御座います。

>>34
a^2-a≡0(mod.10^4)
a(a-1)≡0(mod.10^4)
a≡1(mod.2)と((a-1),a)=1,0＜a≦10^4-1より
a≡0(mod.5^4)かつa-1≡0(mod.2^4)…★を満たすaを求めればよい。
a=x*5^4,a-1=y*2^4　と置くと，aを消去して(x,yは自然数)
x*5^4-y*2^4=1　という関係式を得る。ただし，0＜a≦10^4-1より
1≦x＜2^4 をxは満たす。ここで，mod.2^4において，i*5^4≡j*5^4(mod.2^4)を満たす
異なる自然数の組(i,j)は存在しない(∵2と5は互いに素)ので，仮に
x*5^4-y*2^4=1を満たす自然数x,yが存在するならば,x*5^4≡1(mod.2^4)を満たさなければならないので,
1≦x＜2^4の範囲内では，高々1つしか解を持ち得ないことがわかる。
ここで，x*5^4≡1(mod.2^4)を満たす1≦x＜2^4の範囲のxは，5^4≡1(mod.2^4)なのでx=1であり，
このときa=5^4,a-1=5^4-1で，★を満たす。以上の議論より，もとめるaは625のみである。

あ、3≦a≦10^4-1だった、ゴメンナサイ。

>>32
解説して下さい。

>>34

a^2-a = a(a-1)
10000=625×16
aとa-1は互いに素で、aは奇数なので、
a^2-aが10000で割り切れる条件はaが625の奇数倍、a-1が16の倍数であることである。
よって、考えられるaは625,1875,3125,4375,5625,6875,8125,9375のいづれかであるが、このうちa-1が16の倍数となるのは625のみである。

>>36
素晴らしい論証だと思います。ただ
「mod.2^4において，i*5^4≡j*5^4(mod.2^4)を満たす
　異なる自然数の組(i,j)は存在しない(∵2と5は互いに素)」
の部分は、成り立つために0≦i<j<2^4が必要ではないでしょうか？
これを加えれば完璧だと思われます。

>>39
ある程度候補を絞ったら直接虱潰しするのは、
いい決断だと思います。ただいくつか問題がありそうです。

>a^2-aが10000で割り切れる条件はaが625の奇数倍、
>a-1が16の倍数であることである。
このようには言い切れないと思います。
例えばa-1が625*16の倍数になることもあります。
もちろんaの範囲からいってこのようなことはありえませんが、
それでもそのことに言及しておいた方が無難です。

>このうちa-1が16の倍数となるのは625のみである。
ここで答えを終わらせるのもまずいと思われます。
あくまで必要条件で答を絞り込んだだけなので、
「答が存在するならばa=625以外ありえない」
とわかっただけで解無しの場合もありえます。
十分性を調べる、すなわちa^2-aに代入して条件をみたすか
チェックすることが必要ですね。

理系2005年第4問の解答を作ってみました。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-192.html
よかったら参考にしてみてください。

強は理系2005年第5問を皆で解きましょう。
問題がかなり長いので↓を参照してください。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/2012080307332278e.gif

>>41
十分性の確認って必ずしも必要ですかね。
先生の解答の書き方だと「〜が必要」って序盤に書いてしまっているので、
確認するべきだと思いますが、
あたかも同値であるように書いても大丈夫ですよね。

「必ずしも必要ですかね。」

これって正しい日本語？

>>44
どうでしょうね。
>あたかも同値のように
というのを具体的に書いていただければ有難いのですが…
僕は整数問題は減点されるのが嫌なので、
必ず十分性を調べるようなクゼがついてしまっています。

正しい日本語だハゲ

>>47
君本当に東大受験生？ｗ
正しい日本語を覚えましょうねｗ

正しい日本語だハゲ

必ずしも必要ですってあまり聞かないけど…

>>32
アドバイスをお願いします。

>>48
一行で矛盾つくれるなんて素敵

この文章は矛盾している。
真？

不定

必要十分の議論（＝同値変形）をしているのに最後に「十分性の確認」をしたら減点されますかね。

それだとあくまで正規の解法＋αみたいな感じだから、大学の試験なら減点されないと思うなぁ
まぁ究極的には採点者によるって答えになるだろうけど・・・。

ありがとうございます。

25カ年やるか、このスレやるか
解説は圧倒的にこのスレがいいだろうけど、いかんせん他にする参考書がない

。。。？

ありゃ？
更新なし？

>>58
25カ年ならば鉄緑さんの出しているものが一番よいと思います。
割高でかつあまり売っていないですが、
楽天などにまだ在庫があったかと思います。

>>60
すいません、また体調を崩していました。
みなさんもぜひ気を付けてください。

東大理系数学2005年第5問の解答になります。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-193.html
別解に登場する格子点を用いた場合の数の数え上げ方は、
マニアックですが東大に過去3回ほど登場しており、
ぜひ押さえておくとよいと思います。

今日は2005年の第6問をみなで解きましょう。

rを正の実数とする。xyz空間において以下の3式
x^2+y^2≦r^2
　y^2+z^2≧r^2
　x^2+z^2≦r^2
を同時にみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。

>>32
ヒントをください。

>>63
この問題って東大だったんだ
ハイ理で見たことある
でも阪大って書いてあったような気がするし、類題をいろんな大学が出してるのかな？

>>65
類題が作りやすい問題ですよね。
確か東大自身にま2003年に類題があった気がします。

東大理系数学2005年第6問の解答になります。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-194.html
典型問題ですが積分計算が難しいです。

今日は2004年の第1問を皆で解きましょう。


xy平面の放物線y=x^2上の3点P、Q、Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは1辺の長さaの正三角形であり、
点P、Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。

問題文を画像で確認したい人は↓のリンクを参照して下さい。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/201208080632355bd.gif

どうもね、、過去問だとみんなそれぞれやってるから今日の一問より需要ないのかもね。
鉄緑の買ったからなあ..でも結構さじさんのとアプローチが違ってて面白い。どっちが優れているとかじゃなく。

ブログの更新は是非とも続けてくださいな。おれはみてる

TEST

2012-1
図を描く。

直線lをθで表して円と連立。

三角比でLを求める。
微分してLの最大値求める。定義域に注意する。

2012-2

PQ以外にRを定義する。

奇数秒後にはP Q Rには居ない事に注意する。

n秒後にP、Q、Rに居る確率を定義し、n+2秒後にQにいる確率を求める(漸化式を作る)。
Qに居る確率とRに居る確率が等しい事に注意する。

漸化式を解く。

2012-3

図を描く。

二曲線の交点を求める。

V1とV2を間違えないように積分する。
バウムクーヘン分割を使っても使わなくてもよい。

V2/V1と1との差を作る。

平方根の評価。2乗すればOK。

2012-4

「連続する2つの自然数は互いに素」を使う。

(1)互いに素であるからそれぞれがn乗数でなければならない。
そうすると差が1にならないので矛盾。

(2)連続するn個の自然数の積(＝Aとおく)は、
最小の数のn乗数よりも大きく、
最大の数のn乗数よりも小さい。
すると、n乗数であるためには、
Aは「それら以外の数(＝pとする)のn乗数」であることが必要である。

pの取り得る値の範囲から、Aはp＋1も約数に持つ事になるが、
pとp＋1は連続する2つの自然数なので互いに素であり、Aはp＋1を約数に持ち得ないので矛盾する。

2012-5

(1)実際に計算すると、
各成分は整数になり、
四点は平行四辺形を作り、
その面積は1になる。

(2)実際に計算すると、
「右上の成分を±1する操作」に相当するので、
bの正負に応じて±b回掛ければよい。

(3)
少なくとも一方は満たす→両方満たさないと仮定して矛盾を導く。
実際に2つ計算する。
2乗して比べても、三角不等式を使ってもよい。

2012-6

(1)とりあえず計算すると答えが出る。

(2) (1)が使えれば良いのだが(実際使えるのだが)、計算に突入してしまった。

「時間ロス＋手間膨大＋頭の中パニック寸前」で、精神衛生上よくない。
しかし本番でも「考えずに計算に突入」してしまうだろうと思う(と言うかこの問題は解けないだろう)。

…求めるべき諸量を求めた後は、東大得意の「多変数の最大最小問題」に見える。

tの関数ではなくて、→costの関数でもなくて、
→｜cost｜のままの関数と見ると、「一次関数または定数関数」になる(一番簡単な最大最小問題)。

端点の値を求めて不等式が示される。

2011-1

(1)円の方程式と直線の方程式を連立する。
→QRの長さが求まる。
PQ＝1と三平方の定理から高さが求まる(本当は点と直線の距離の公式を使った方が早かった)。
→面積が求まった。

(2) 微分して求める。

2011-2

(1)定義に従って計算するだけ。

(2)場合を分けて計算した。答えが2つ出た。

(3)有理数の場合には除法の原理が使える。
正の値(本当は非負)を取りながら小さくなっていく数列なのでいつかは0になる。
qから始めればq回目には0になる。これで証明終わり。

2011-3

(1)Qの座標を表して終わり。

(2)まず微分。すると積分しやすそうな式になる。
積分すると、これがまあ大変な計算だった。うまい置換があるのかもしれない。

(3)aに絡まない所の極限値は0になる。
aに絡む所の極限値は分子の有理化で簡単に求まる。


(2)の積分計算がヤマだった。

世論調査でも6〜7割がTPP交渉参加に賛成しているからな
反対派は農家と医師会とネトウヨだけだ
モタモタしていたら内閣支持率が下がってしまうぞ
一日も早い交渉参加表明を！

2011-4
二等辺をどう捉えるか→「中線が垂線になる」としてやってみた。

後は「三点が一致しない条件」を加えて文字を消去。直角双曲線になる。

2011-5
(1)は簡単。練習用。
(2)は難しい。グラフを書いたら分かった。
(3)は(2)が出来ていたら足すだけ。ただし、もっと素朴に考えても楽に解ける。

2011-6
(1)はできた。
(2)は難しい。でも「zの存在条件→文字消去」の基本だった。こういう所が難しい。
(3)は更に難しい。(1)と(2)で「xの変域が無かった」ので、当然「x＝一定で切る」所だが、それが(1)(2)だったとは…

x＝kなどと文字を変えてみる。
するとyの場合分けが見えて、
-m≦z≦1-Mが図示出来て、
面積S(x)を求めて、
0≦x≦1で積分して終わり。

(2)の図示がミスリードな気がしてしまった。

2010-1
(1)は楽勝
(2)はbを消去して対称式の置き換え。

2010-2
(1)は接線と割線
(2)は真ん中は計算する。
右辺は計算できる。
左辺は計算できないので右辺の形に変形する。

2010-3
(1)から題意を掴むのが大変。要は漸化式を作れということで、確率なんだからそれくらいしかないと気付きたいところだった。しかしルールを間違えた。
(2)(3)は「漸化式が作れれば」簡単。

2010-4
(1)の意味が分からず。解けることは解けた。
(2)は自力解決。逆関数を使った。(1)を使って等積変形するのがうまいやり方。

2010-5
Qを固定して、Rの取り得る値の範囲を求める。六個ある。
次にPが行ける位置は二ヵ所に決まるので式を立てるとmの取り得る値は二個に決まる。m＝4の時は六個、m＝8の時は二個になる。

2010-6
図形の問題。
(1)がポイント。(2)へのヒント
(2)では場合分け。三角形と台形。
(3)はおまけ。

>>89
なんでひとりでかいせつしてんの
むなしくないの

そういうスレちゃうの

2013-1
±60°

2013-2
定数分離→振動しながら段々絶対値が小さくなっていく。

2013-3
nが偶数と奇数で場合分け。「点を取ったら続けて投げる」が結構難しい。
偶数→A、××の組合せ。
奇数→A、××、×B×の組合せ。

(2)偶奇それぞれ極限をとる。

2013-4
(1)正三角形を想起。
(2)円を設定。
これは簡単。

2013-5
(1)xに関する不等式。簡単。
(2)難しい。yの設定がポイント。「99回」というのは特に意味は無い。

例：100000111111000000＜A＜100000111112000000
みたいに不等式が作れて、
⇔100000111111000001≦A≦100000111111999999
みたいな感じで「真ん中の1が99回」が確保される。

2013-6
(1)円錐面の方程式。
母線と平行に切ると放物線が現れる。
6分の1公式で面積を求める。
(2)(1)と同様にやると出来る。
難しそうに見えて、そうでもない。