【東大】今日の一問【理系】

東京大学入試対策用に、毎朝一問数学の問題を出題します。
ただし毎週土曜日はお休み。
解答、解説動画も次の日の朝にアップします。

質問があればできるだけ答えますが、
今日の一問以外の質問は時間的に答えられないと思います。

東大受験生の皆さん、この１年ともに頑張っていきましょう！

バックナンバー
【４月８日の今日の一問〜外心】
座標空間における3点A(4,-1,2),B(2,2,3),C(5,-4,0)を頂点とする三角形の外心の座標を求めよ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-78.html
【４月９日の今日の一問〜発散速度】
nは自然数、xは実数とする。
(1)h>0のとき、任意のnに対して(1+h)^n>=1+nh+{n(n-1)/2}h^2を示せ。
(2)a>1のとき、lim(n→∞)n/a^n=0を示せ。
(3)a>1のとき、lim(x→∞)x/a^x=0を示せ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-81.html
【４月１０日の今日の一問〜対称不定方程式】
a,b,cを1/a+1/b+1/c<1を満たす任意の自然数とするとき、1/a+1/b+1/cの最大値を求めよ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-79.html
【４月１１日の今日の一問〜β関数】
I(n,m)=∫[0,1]{(1-x)^n}{x^m}dxとおく。ただしn,mは負でない整数とする。
(1)n≧1のとき、I(n,m)={n/(m+1)}I(n-1,m+1)が成り立つことをを示せ。
(2)I(n,m)=1/(n+m+1)C[n+m,m]であることを示せ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-82.html
【４月１２日の今日の一問〜0近似】
S(a)=∫[0,1]|x^2-4ax+3a^2|dxとおく。
aがa>0の範囲で動く時S(a)の最小値を求めよ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-80.html
【４月１３日の今日の一問〜雨どい】
点Oを中心とした扇形OPQは、孤PQの長さが1、中心角∠POQ＝θ(0<θ<2π)を満たしている。
線分PQと孤PQに囲まれる部分の面積をS(θ)としたとき、これの最大値を求めよ。
解答→http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-83.html

今日の1問さん、この問題の解き方教えてください

任意の実数xに対して、うまく整数p、qをとると
{x-(p/q)}^2+{y-(1/(2q^2))}^2≦{1/(2q^2)}^2
とできるyを求めよ

>>1さん、本当にスレ立てありがとうございました！

４月１５日の今日の一問は故あって12:10分よりあとに出題します。
午前から勉強したかった人はごめんなさい。

>>3
これはやっかいな問題ですね。
今日は時間がないので説明は後回しにさせてください。
答えはy=1/(n^2+1)と表せる全てです(nは正の整数)。

xyz座標空間内に点A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1),H(0,1,1)を頂点とする立方体ABCD-EFGHがある。対角線AGを含む平面でこの立方体を切断するとき、その断面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。

この問題も答えをトリップにしましょう。
範囲にすると答えを統一しづらいので、最大値を書いてください。
例えば最大値が√13だと思った場合、名前欄に#√13と記入してください。
ただし英数字は必ず半角でお願いします。

誰かこの先生の授業受けてる人いないの？

新スレお疲れさまです
今日の問題難しい…立体図形は苦手だ
前スレで指摘あったし難易度あがった？

確かに難易度上がったな
二次レベルじゃね

>>8
うちの高校のかなりの数がうけてる
特待で

どこ高？
ていうか臨海セミナー自体、よく聞くものの実態が不明っていうのもあって微妙な印象

a,b,x,yを整数とする。
a^3+6ab^2=x^3+6xy^2
3a^2b+2b^3=3x^2y+2y^3
のとき、(a,b)=(x,y)を示せ。

>>13
特にa=0のときにも与式が成り立つ
第一式より
0=x^3+6xy^2
=x(x^2+6y^2)
x^2と6y^2は共に負でないので、この式から
x=0または(x=0かつy=0)
⇒x=0
a=x=0を第二式に代入してb=yを得る
この上で、一般のaについて、特にb=0のときにも与式が成り立つ
y=b=0を第一式に代入してa=xを得る
以上より(a,b)=(x,y) //

>>14
>特にa=0のときにも与式が成り立つ

これが唐突に思えるんだが、
解説よろ

>>15
問題文がざっくりしててちょっと曖昧だが、「任意の整数a,bについて、整数x,yが与式を満たすとき(a,b)=(x,y)を示せ」ということだと解釈した
aやbは任意の整数だから特にaやbが0のときにも成り立つことが必要条件

>>16
なんでそんな意味不明な解釈を勝手にしちゃうの？
馬鹿なの？

>>17
じゃあどのような解釈が順当なのかな？
まさか自分の考えも無しに理解できないからという理由だけで他人を否定しているわけではないよね？

ていうか問題分が悪いだろ

今日の問題の説けた時の壮快感は異常w

>>16
さすがにそれはねーよ・・・

>>21
任意の整数a,bで示せれば問題無いと思うのだけど
論理的誤謬があるなら指摘してくれれば真摯に聞くよ
指摘できないなら無為なレスは慎んでほしい

>>20
うわあああああ

>>22
任意の整数a,bで示せてないじゃん・・・

問題文変更

整数a,b,x,yが
a^3+6ab^2=x^3+6xy^2
3a^2b+2b^3=3x^2y+2y^3
を満たしている。
(a,b)=(x,y)を示せ。

最後に今日の一問解いて寝るわ
待ってろよ

うわあああああああ
なんで違うのと思ったら最後に×2してないだけだったああああああ

×2さえしてれば5分で解けた問題なのに

三秒でといた

ぶっちゃけ勘

まあなんとなく感でわかるよな
どう考えてもああいうふうに切った時が一番でかいもん

>>24
必要条件も分からない人とはお話したくないです

ひつようじょうけんｗｗｗｗｗ
>>14だとa≠0,b≠0のときがしめせてないんだけどどう思う？ｗ
こんなレベル低いやつが東大目指してんのかよｗｗｗ

>>33
与式:p
「∀a∈Z,∀b∈Z,p」⇒「a=0,p」⇔「b=y」より
「∀a∈Z,∀b∈Z,p」⇔「∀a∈Z,∀b∈Z,p」∧「b=y」
「∀a∈Z,∀b∈Z,p」⇔「∀a∈Z,∀b∈Z,p」∧「b=y」⇒「b=0,p」∧「b=y」⇔「a=x」より
「∀a∈Z,∀b∈Z,p」⇔「∀a∈Z,∀b∈Z,p」∧「a=x」⇔「∀a∈Z,∀b∈Z,p」∧「a=x」∧「b=y」⇒「(a,b)=(x,y)」

a≠0かつb≠0のとき(a,b)=(x,y)が与式を満たすかどうか、というのは十分性に関する問題であって必要性には関わらない
そんなことも分からないレベル低いやつが東大目指してるの？

両方とも東大は受からないでFA

>>3
y=1/2 or 1/5

解法
(i)まず x を[0,1]に限定してもよい（[n,n+1]でも同じことが起きる）ことを示す
(ii)直線 y=m を円が完全に覆う条件を求める

昨日の一問の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-91.html
図形問題はおおまかな対称性をまず捉えるのが重要ですね。

座標平面においてx座標とy座標がともに整数である点を格子点という。
また、2つの格子点を結ぶ長さ1の線分から両端を除いたものを格子辺という。
(1)　点P(360,2010)を通る直線y=ax(aは定数)が0≦x≦360の範囲で交わる格子辺の数を求めよ。
(2)　nを2以上の整数とする。点P(360,2010)を通る曲線y=bx^n(bはnにより定まる定数)が0≦x≦360の範囲で交わる格子辺の数を求めよ。

この問題も(2)の答えをトリップにします！
答えが1234個だと思った人は#1234と名前欄に記入してください。
ただし英数字は全て半角でお願いします。

なぜ2010?

>>5と>>36どっちが正しいの?

>>41

>>36が正解
これ学コンの過去問だよ

ほんとにだんだん難しくなるw
河合始まるまでいい暇つぶしになったわ

全然分からない　
君らすごいな

>>43素晴らしい！さすがです

>>42
あ、凡ミスした・・・
全ての円と円の接点のy座標を拾ってしまいました
図にすると下のようになりますね
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/image.gif

昨日の一問の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-92.html
(1)の解き方次第で(2)が解けなくなる場合があるので
そこが難しいポイントかもしれません。

AとBの二人がゲームを複数回行う。
このゲームにおいてAの勝つ確率はp(0<p<1)であり、
Bの勝つ確率は1-pである。すなわち引き分けはない。
毎回ゲームの勝者に1点ずつ与えていき、
点差が2点以上になった時点でゲームを終了する。
n回以内にゲームが終了し、かつ終了した時点で
Aの方が点数が高い確率をP(n)とする。ただしnを自然数とする。
(1)　P(n)を求めよ。
(2)　極限値lim[n→∞]P(n)を計算せよ。

488　　　だるまにおん　[2012/04/14(土) 09:52:15 ID:darumaotoshi]
閑散としてきたので、簡単な問題ですが出題します。
a,b,x,yを整数とする。
a^3+6ab^2=x^3+6xy^2
3a^2b+2b^3=3x^2y+2y^3
のとき、(a,b)=(x,y)を示せ。

491　　　prime_132　[2012/04/16(月) 23:26:48] sage
>>488
　a^3 + 6ab^2 = x^3 + 6xy^2,　･･････(1)
　3a^2･b + 2b^3 = 3x^2･y + 2y^3,　･･････ (2)
　(1)±(2)*√2 より
　(a±b√2)^3 = (x±y√2)^3,　(複号同順)
3乗根をとる。
　a ± b√2 = x ± y√2,　　　(複号同順)
辺々たすと
　2a = 2x,
　a = x,
辺々引くと
　(2√2)b = (2√2)y,
　b = y,

492　　　だるまにおん　[2012/04/17(火) 02:35:20 ID:darumaotoshi] sage
>>491
正解です。

>>47
http://beebee2see.appspot.com/i/azuYr9KaBgw.jpg
写真でゴメンなさい

>>48
君はもしかして>>33君かな？その問題まだ根に持ってたんだね
確かに>>48の解法は上手だが、>>34を否定したいんだったらその論理的欠陥を指摘しないと意味無いよ

Q(x)はxの多項式で，任意の実数xに対して
Q(x+2)-(x+1)Q(x+1)+xQ(x)+2Q(x-1)=0
が成り立つ．Q(1)=3のとき，Q(x)を求めよ．

>>49正解です！
次回以降可能ならばぜひ途中の記述もアップしてください
時間があるときは目を通させていただきます！

他の人も画像をアップしたい場合は
http://iup.2ch-library.com/
にまずアップロードして、その画像のアドレスを貼れば
他の人も見れるようになるようです。
保存期間は一日とかみたいですが・・・

>>51
Q(x)は2次関数で一意に定まる
Q(x)=3/37*(x^2+11x+25)
計算は自信無い

携帯のカメラで取るのおすすめ
すぐアップロードできるよ！

豆知識ついでに、位置情報サービスをオンにしてると検索結果とかで自分の今いるところの周辺情報見れるからおすすめ

iPhoneなら　設定→一般　でオンにできるよ

>>54こらこら
iphoneで撮る人は「位置情報サービス」をオフにしないと
画像に位置情報が組み込まれて住所がバレてしまうようなので気を付けましょう

>>53
計算過程をもう少し詳しく書いてもらえますか？
ちなみに答えは間違っている

Q(x)が1次関数と仮定するとQ(x)=0となり矛盾
Q(x)がn次関数(n≧2)と仮定し与式に代入する
x^nの係数に注目し、任意のxについて与式は成り立つ事を用いてn=2でなくてはならないと言える

ここまであってる？

>>57
まあそうなんだろうが、俺はx^nの係数に注目してもn=2と言えない…
どうやった？

>>51
2x^2+6x-5
計算していったらこうなったが

昨日の一問の解答と解説動画になります。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-93.html
この問題はテニスのデュースを題材にした問題でした。

xyz座標空間内に母線の長さが2、底面が半径1の円である円錐を、
頂点が原点と重なるようにxy平面上に置く。
この円錐を頂点が原点から動かないようにxy平面上を転がす時、
円錐が通過しうる領域をDとする。Dの体積を求めよ。

>>59
x=0で成り立つ？

そもそも何で2次に限定されるのかわからん

計算ミスってた
x^2+3x-1

ん？>>61今日はすごい簡単？
正三角形回すだけであってる？

>>62
(x+1)^(n+1)=x^(n+1)+n*x^n+(n次未満の項)

だよね
面積分で瞬殺

>>64
違うでしょ
母線の長さを半径とする球体をくり抜いた形になると思うけど

こんな風にしてくんない？

1-5
◆vELb2uHn2Y ：2007/04/07(土) 12:00:32 ID:gKoCDuoZO
xyz空間の点A(0,0,1)B(0,1,0)C(0,0,-1)に対して折れ線ABCをz軸の
まわりに回転させて得られる曲面をDとする。x軸上に軸を持ちDに内接
する直円柱の体積の最大値を求めよ。

答は□*πの形になります。□=√2/2なら#√2/2

π53√3/15
になった

2/3*π^2+√3/6*π

略解
円錐の母線がx軸もしくはy軸と重なっている時を考える
この時の円錐の底面の縁上の一点をP(x,y,z)、また底面の円の中心をQとする
OQ↑•QP↑=0、QP=1を用いてx,yをzで表す
Z軸で切って積分

8(19-6√3)π/9
になった
自信はない

ホリエモン　　元ニート　　でググれ


腹よじれてﾜﾛﾀｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

８√３π/３ になった

>>68
なるほど・・・何か慶應の穴埋め問題に似ていますね
できれば試してみます
明日の一問はちょっと無理っぽいですが

>>74正解です！

みなさん結構計算で苦戦しますね
本番は模試と違って計算量が妙に多いので要注意です！

昨日の一問の解答および解説動画になります。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-94.html
回転体は「切ってから回す」は誰かさんの有名な格言ですｗ

4点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)を頂点とする正方形Tに対し、
次の性質(A)を持つ点全体のなす領域を求め、図示せよ。
性質(A):その点を中心とする円で、Tの辺と8つの共有点を持つ円が存在する。

(a^3+1)/2=(2a-1)^(1/3) をみたす実数 a を求めよ．

>>78
t=(a^3 +1)/2=(2a-1)^(1/3)とすれば
t=(a^3 +1)/2
a=(t^3 +1)/2
でとりあえず a = t のところに交点があって
a^3 -2a +1 = 0
(a-1)(a^2 +a-1) = 0
これを踏まえると

(a^3 +1)^3 -8(2a-1) = 0
の左辺が因数分解できて
(a-1)(a^2 +a-1){(a^3 +1)^2 +(a+1)^2 +2a^4 +3a^2 +7} =0
したがって
a = 1, (-1±√5)/2

>>79
ハイ、正解です。
高次の因数分解はしなくても解けるけどね。

a, b, c は正の実数で，かつ a+b+c = abc を満たしている．
このとき，
　　　　　　　1/a+1/b+1/c ≧ √3
を証明せよ．

負の数の1/3乗って定義されてたんだ

>>82
負数の3乗は負数なんだから、負数の3乗根も存在するだろ

>>77
だみだ
P(x,y)っておいて半径rにして条件数式化したら
８つもでてきて詰んだ

>>77
円の中心を (a,b) とする。
対称性より
0≦b≦a≦1
となる領域だけ調べる。

この時、一番近い頂点は A でそこまでの距離は
√{(1-a)^2 +(1-b)^2}
一番遠い辺がBCでそこまでの距離は a+1

全ての辺と 2点ずつ共有点を持つので、全ての頂点は円の外にあり
全ての辺は一部の線分が円の中にある
半径を r とすれば、全ての辺と2点ずつ共有点を持つためには
a +1 < r < √{(1-a)^2 +(1-b)^2}
であることが必要十分
r は両辺の間の数（例えば両辺の相加平均）を取ればいいので
a +1 < √{(1-a)^2 +(1-b)^2}
4a < (1-b)^2
2√a < 1-b
b < 1-2√a
b ≧ 0なので
0 ≦ a < 1/4

0≦b≦a≦1 以外の領域は
y = x や x軸 y軸に関して
これを対称移動していけばいい

Pと一番近いTの頂点との距離をL、PとTの各辺との距離の内で最大の値のものをLmaxとする
P(x,y)の満たすべき不等式はL>Lmaxである
第一象限について解けばy<(1-x)^2/4かつx<(1-y)^2/4である

>>81
http://beebee2see.appspot.com/i/azuY8PSdBgw.jpg
糞ロダだから見れるか分からん……

>>87
解いてくれて有難う．
けど，
　　X≧P,　Y≧P
から X≧Y は導かれません．

あ，ちなみに >>63 正解です．

>>88
等号成立がどちらもa=b=cのときだから、
1/a+1/b+1/c≧3(1/abc)^(1/3)について、
1/a+1/b+1/c=3(1/abc)^(1/3)はa=b=cのとき成り立ち、
このとき3(1/abc)^(1/3)=3^(1/2)
だから1/a+1/b+1/c≧3^(1/2)
ってやったつもりだったんだけど成り立たない？

>>85>>86すばらしい！

特に>>85の人は鮮やか、正直y=xに対する線対称性は使ってなかった・・・
急いで解答修正させていただきましたｗ
ありがとう！

昨日の一問の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-96.html
図形問題はまず対称性とか周期性とかのおおまかな形を捉えるのが大事。

aを実数とし、xの3次方程式9x^3-9ax^2-7x-2a=0を考える。
(1)この3次方程式が異なる実数解を3つもつためのaの条件を求めよ。
(2)(1)の条件のもと、3つの実数解をα、γ、βと名付ける。
　このとき無限級数Σ[n=1〜∞]α^n、Σ[n=1〜∞]β^n、
　Σ[n=1〜∞]γ^nが全て収束するためのaの条件を求めよ。
(3)(1)の条件のもと、(2)と同様にα、β、γを定める時、
　無限級数S=Σ[n=1〜∞](α^n+β^n+γ^n)が収束するための
　aの条件と、そのときの収束値を求めよ。

明日は土曜日なので今日の一問はお休みです
いつも問題出してくれる人ありがとう
土曜はお休みなので代わりに出題してくれたりしないでしょうか？

僕と紛らわしくないコテハンつけてくれたらなおありがたい
さらに解答をうｐロダでアップしてくれたりしたら感謝感激です

>>94
コテハンはこれでいいですか？

>>90
a=b=c の場合しか証明できてないと思うよ．

>>95
ハイセンスｗ

ちなみに僕が使ってる「良問」の定義さらします
こんな感じの問題だとありがたいです


作成する問題は、次の項目�@)を必ずみたし、
可能な限り�A)もみたしているものが望ましい。
�@)　受験者の能力に比例した点数を与える
�A)　数学的に興味深い内容を示唆している
�@)について
入学試験問題として、優秀な学生を選抜するための項目である。
偶然の要素1)によって点数が上下しづらい、
またわずかな能力2)の差も点数の差として反映できる問題が望ましい。
具体的には、多くの受験生が学校・塾・予備校で習っていると思われる
解法・知識を、今までにない組み合わせで用いると正解に至るような問題、
また小問に分け採点ポイントが細かい問題がよい。
注1)　偶然の要素を誘発しやすい問題は次のようなものである。
・中途半端に有名な数学的知識を用いて簡単に解けてしまう
・非常に高度な発想、式変形を必要とする
注2)　能力とは以下の2つを指す。
・習った知識、解法を状況に応じて使用できる
・正確な計算、場合分けが実行できる
　　　なお次の能力については制限時間のある筆記試験では正しく評価
　　　することが困難であるため要求しない。
・習ったことのないまったく新しい解法を創ることができる

>>97続き

�A)について
東京大学の入試問題は、多くの学校・塾・予備校に引用され、
そのため高校数学に多大な影響を与える。
したがって入試問題を通じ、
多くの学生が数学に興味を持たせるためにこの項目は存在する。
明確な定義はないが、一般的な受験生の日常生活3)に関わるものがより望ましい。
注意3)　日常生活とは例えば次のようなものを想定している。
・自然環境、学校行事、家事、遊戯に関わるもの
・普段使う工業製品の仕組みに関わるもの

f(x) = x^3 - 3x と定義する．
実数 x, y が，x＜y を満たしながら動くとき，
　　　　　f(x) - f(y)
の取り得る最大の値を求めよ．

俺からも一問
pを素数aをpの倍数でない整数とし、a*1,a*2...,a*(p-1)をpで割った余りをそれぞれr_1,r_2...,r_p-1とする。次を示せ。
(ア)r_1,r_2...,r_p-1に0は現れない。
(イ)r_1,r_2...,r_p-1は全て異なる。
(ウ)r_1,r_2...,r_p-1は1,2,...,p-1が一回ずつ現れる。
(エ)a^(p-1)≡1(mod3)

ごめん、>>98はナシで．
簡単すぎた．