【東大受験生】今日の一問【御用達】

主に東大受験生に向けて日々一題数学の問題が出題されます。
東大受験生や数学が得意の受験生は挑戦してみましょう。

期待

誰が投下するんだよ

問題もなしにスレ立てとな

詳しくは東大理系スレの流れを確認してくれ。
かなり荒れてるんだ。
君たちが興味持つならうざい奴もこっちに移ってくれるでしょう。
盛り上げてやってください。

文系用もｷﾎﾞﾝﾇ

誘導
【東大】今日の一問【理系】
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1334452461/

整数a,b,x,yが
a^3+6ab^2=x^3+6xy^2
3a^2b+2b^3=3x^2y+2y^3
を満たしている。
(a,b)=(x,y)を示せ。

このスレは>>7よりも難度が高めということで
差別化を図ろうと思うんだが、需要はあるのだろうか

無いみたいだな

くこか〜＾＾

円Cの周上に,等間隔に(2n-1)個の点をとる.ただし,nは3以上の自然数.
この中から相異なる5点P_1,P_2,P_3,P_4,P_5を無作為に選び,
P_1→P_2→P_3→P_4→P_5→P_1と線分を結んで得られる図形をLとする.
(1)Lが星型になる確率を求めよ.
(2)Lが星型になり,かつその中央にできた五角形に円Cの中心が含まれる確率P(n)を求め,lim[n→∞]P(n)を求めよ.

あれ？トリップ違う気がするな.
まあ,いいか.

偽物さん乙ですｗ

平面上の三角形の三辺の積をL,面積をSとする.
三角形の形を変化させるとき,L^2/S^3は最小値を持つことを示し,その値を求めよ.

[過去問]
正四角錐Vに内接する球をSとする.
Vを色々変えるとき,比
R=(Sの表面積)/(Vの表面積)
の取りうる値のうち,最大のものを求めよ.
ここで,正四角錐とは,底面が正方形で,底面の中心と頂点を結ぶ直線が底面に垂直であるような角錐のこととする.

>>12
(1)1/12
(2)P(n) = (n+1)n/{48(2n-3)(2n-5)}, lim[n→∞]P(n) = 1/192

>>15
正三角形のとき,最小値 64/(3√3)

a, b, p, q を無理数とする.
次の 2 つの x に関する方程式 �@, �A を考える.
　　　x^3 + ax^2 + bx + c = 0　... �@
　　　x^2 + px + q = 0　　　　　... �A
�@ が有理数の解をもたないとき,
�@ と �A は共通解をもたないことを示せ.

ごめん, 間違った.
下に正しい問題書く.

a, b, p, q を有理数とする.
次の 2 つの x に関する方程式 �@, �A を考える.
　　　x^3 + ax^2 + bx + c = 0　... �@
　　　x^2 + px + q = 0 　　　　　... �A
�@ が有理数の解をもたないとき,
�@ と �A は共通解をもたないことを示せ.

xの多項式 f(x) があり,任意の実数aに対して, f(x) - f(a) が常に
x^3 - a^3 で割り切れるとする.
このとき,ある多項式g(x)によって f(x) = g(x^3) と表されることを示せ.

(1)
天使はつねに真実を述べ,悪魔はつねに嘘をつく.
A, B は悪魔か天使であることはわかっているが,どちらかはっきりしない.
A がこういった.
「わたしが天使ならば, B も天使です」
この 2 人の正体を調べよ.

(2)
3 人の女神が口論している.
もっとも美しい女神はただー人であるとする.
また,もっとも美しい女神のみが真実を述べる可能性を持つ.
3 人がこういった.
アテナ「もっとも美しいのはアフロディテではない」
アフロディテ「もっとも美しいのはヘラではない」
へラ「わたしがもっとも美しい」
この 3 人の中でもっとも美しい女神を調べよ.

おい！もう一問！
もとのスレに戻ってこい！
こっちじゃ誰も解かないぞ

Prove that if one and only one edge of a tetrahedron is greater than 1, then
its volume is ≦1/8

tetrahedron……四面体

>>12
まとめる際に問題文は多少変更しました（解答も変わってます）
変更した部分が問題解決の本質に繋がるのなら申し訳ありません
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/345854.pdf

　・合計が (1) となるように事象をうまく分割できる
　・極限だけなら簡単に求まり，検算に役立つ

といったテクニックが使えるのかも知れませんが
俺には見えませんでした


面白い問題とは思うけど，あえて言わせてもらえば
入試問題としてはあまりいい出来ではないと思います
入試では厳しい時間制限があるのでもう少し誘導をつけるべきでしょう
解答の表現も人それぞれになりそうで採点も大変になると思います
もっともそれ程多くの人が解けるわけではないでしょうが…
解けない人が多くなるということは得点の分布に偏りが生じて
選抜試験としてはあまり役に立たないかもしれません

受験生が受験という困難を乗り越えていくのを
手助けするような問題ももう少し増やして頂ければと思います
高い能力をお持ちなので，そういう問題も多数作れると思うのです

訂正
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/345856.pdf

>>20
　　　x^3 − 2√2 ＝ 0　…�@
　　　x^2 − 2 ＝ 0　…�A
のとき，�@は有理数解をもたないが
�@�Aは共通解 √2 をもつが…

>>20
やってしまいましたなぁ

ごめん, c も有理数.

>>20
対偶、共役解、解と係数の関係、ごにょごにょ

>>20 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/346847.pdf

方針は >>30 さんが述べておられるとおり
別に難しくはないが，どこまでを前提としてよいか判断に困る
解説に加えた性質の証明も要求しているなら
それも設問にするべきと思うがいかがでしょう
それとも，根本的に別の方針があるんですかね

>>31
いつもお疲れ様です。勉強になります。

このスレでは解答を要求されないんだからもう一問さん戻ってきてくれないかなー

>>21
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/347362.pdf
「注」を認めていいなら（事実だけは教科書にも書いてある）適度なレベル
これの証明は経験がないと発想しにくい

半径 a, b (a＞0, b＞0) の球がそれぞれ 2 個ずつあり, どの球もそれ以外の 3 つの球に外接している.
これらの球の接点から任意に 2 点を選び, その 2 点間の距離を考える.
それらの距離のうち, 最大のものを a, b を用いて表せ.

>>34
合ってるか合ってないかぐらい言ってくれないと
本当に意味のない出題になると思うのですが？

>>34
√（2ab）

>>36
正解です.

>>33も正解です.

めんどくさいならもうやめればいいのにw

面白い積分を見つけたので, 勉強の息抜きにでも.

n が 2 以上の整数のとき,
　　　　　∫[0→π/2] sin(nx) (cosx)^(n-2) dx
を求めよ.

出題者の振る舞い方ひとつでスレの盛り上がりがこんなにも違うんだな

もう一問さんの問題は問題集では見かけないものが多いので
出題を楽しみにしてるんですけどね
難しすぎる問題にはもう少し誘導を付けるべきとは思うが


他所のスレで見た問題

xyz 空間上に2点 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ） をとる．
点 P が線分 AB 上を，点 Q が z 軸上の　z ≧ 0　の部分を
PQ ＝ 1　を満たしながら動くとき，
xy 平面と線分 PQ の軌跡とで囲まれる領域の体積を求めよ．

解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/353108
パスは >>40 の解答を半角で

>>42
1/4
あんまり自信ないけど…

出題者も回答者（ほぼひとりだけど）も内に籠っちゃったこのスレはもう終わりだね

>>43
>>42 の問題の答えなら残念
どの平面での切り口を捉えるかが鍵になる
それがわかればあとは15分くらいの処理量で済む
vip ではアステロイドに着目する解法があるかもと言ってた人がいた

>>40 は n に具体的に 2，3，4，… を入れてみれば容易に予想できる
ただ，この方針ではちゃんとした解答にはしにくいだろうけど
三角関数は公式が多いので多少の試行錯誤は必要になるだろう
運がよければ5分もあればできる

微分法の基本問題です.

実数 x に対して,
　　　　　f(x) = x cos(π/x)
とおく. x ≧ 1 のとき,
　　　　　f(x+1) - f(x) ≧ 1
を示せ.

aを0<a<1/2を満たす定数とする。A(a,0)とする。
円x^2+y^2=1の周上に点Pが、直線x=a上に点Qがあり、PQ＝aを満たしながら動くものとする。
このとき、AQの長さのとりうる値の範囲を求めよ。

これはどう解けばいいでしょうか

>>47
Q（ a ， q ）とする
中心 Q ，半径 a の円 C が単位円と共有点（これが P ）をもつときを考えればよい
最大となるのは，もちろん Q が単位円上に来るとき
最小となるのは，円 C が単位円と接するとき

>>48 訂正
最大になるのも接するとき

　　 /＼＿＿／ヽ
　 ／／~　　~＼:＼
　｜ (●)　(●) :｜
　｜　ノ(＿)ヽ ::｜
　｜　`-=ニ=-′::｜
　 ＼　 `＝′ ::／
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼

sin(x^2) は 周期関数 か ?

2つの自然数で、その和が4984、最小公倍数が162540であるものを求めよ。

>>52
東大受験生向きの問題をお願いします
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4007984.html

x,y が整数であるとき、 x/15 + y/20 の形に表される最小の正の有理数は何か。

1/60

これは簡単過ぎるかも...
しかし演習効果はなかなか高いと思います.

n を自然数とする.
(1) lim[n→∞] ∫[0,π/2] (1 - cosx)^n dx を求めよ.
(2) lim[n→∞] {∫[0,π] (1 + cosx)^n dx} / {∫[0,π] (1 + sinx)^n dx を求めよ.

これは簡単過ぎるかも...
しかし演習効果はなかなか高いと思います.

n を自然数とする.
(1) lim[n→∞] ∫[0,π/2] (1 - cosx)^n dx を求めよ.
(2) lim[n→∞] {∫[0,π] (1 + cosx)^n dx} / {∫[0,π] (1 + sinx)^n dx} を求めよ.

>>57
これはおもしろいですね
計算できる人のほうがかえって苦労しそう

>>58
そのトリップは (2) の答えですね.
正解です.

確かに, センスのある人は (1) も (2) も暗算で答が出せそうですね.

0
1/2
おもんない

>>60
(1) はどう示しましたか ?

>>46

誰か>>46解けた？
平均値の定理使うと成り立たなそうなんだが…

5x≡1（mod 12）を満たすx を求めよ。

>>61
解答作らないくせに人に質問するなよ

このスレにまで来て解答クレクレは、流石にやめろや…
てか、解答クレクレ荒らしって向こうのスレ主の塾の生徒？

>>63
今日のもう一問 ◆gMApZoM0qsM7
こいつに聞けよｗｗｗｗ

>>63
x ≧ 2 なら平均値定理ですんなり片付く
1 ≦ x ≦ 2 のときは俺は少し悩んだ
グラフの凸性を踏まえて
y ＝ f ( x )　と　y ＝ f ( x + 1 )　のグラフの y 座標を比較した

>>64
合同式の問題なんて出ないと思うが。

5x≡1 (mod12) ⇔ 5*5x≡5 (mod12) ⇔ x≡5 (mod12)
または
5x≡1 (mod12) ⇔ 5x≡1+24 (mod12) ⇔ x≡5 (mod12)

これはちょっと難しいかな... ?
よくあるネタなんですが... (神大, 北大 等で類題あり)

(1) x ＞ 0 のとき, 不等式
　　　　　x - x^3/6 ＜ sinx ＜ x - x^3/6 + x^5/120
が成り立つことを示せ.

(2) 0 ＜ x ＜ π/2 の全ての x に対して, 不等式
　　　　　(sinx)/x ＞ cos(αx)
が成り立つような正数 α のうち, 最小のものを求めよ.

1/√3

>>71
論証した？
答の当たりをつける位なら誰にでも出来るが、
論証はなかなか出来ない、という問題じゃない？

論証も何も・・・・２回微分すれば明らかなんだが＾＾；

>>68はスルーか

>>74
もう少し詳しく書いていただかないと, 合っているかどうか判定出来ません...
平均値定理で "すんなり" 片付く, というのには懐疑的ですが...

>>73
簡単だったようですね, 失礼しました.
ところで, (1) が強力な誘導になっているのですが, 気付かれましたでしょうか ?

あっさり答だけ書かれるとムカつく
書くなら途中もちゃんと書けよ

まともにコミュニケーション取れたんだ

>>46 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/355272.pdf&key=math

こういうことなんですけど，どっかまずいですかね
計算，グラフは wolframalpha や GeoGebra でも確認しています

なお，俺は >>74 とは別人です，念のため

>>78
お見事です.
こんなに素直に解けるんですね.

なるべく計算量が少なくなるような解法を考えてみて下さい.

楕円に内接する長方形の辺は,
長軸または短軸のいずれかに
平行であることを証明せよ.

>>79
自分の考えてた解はめんどくさいから書く気ないよね

途中も書けというのでとりあえず俺が答えた分は上げておきます
>>57 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/355347.pdf&key=math

>>82
正解です.
(1) は,
　　　　　1 - cosx ≦ 1 - (cosx)^2 = (sinx)^2 ≦ x^2
とする手もあり.

>>83
ごめん, 大ウソでした.

>>81
π/x = π/(x+1) + π/(x^2+x)
1 = {cos(π/(x+1))}^2 + {sin(π/(x+1))}^2

二人が同時にそれぞれ一枚の硬貨を投げる試行を続ける.
一方の表の出た回数が, 他方の表の出た回数より二回多くなったとき, 試行を終える.
n 回目に試行が終わる確率を求めよ.
ただし, 硬貨の表が出る確率は 1/2 とする.

　　　　　a = cos6゜
　　　　　b = sin6゜
とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 次の等式を証明せよ.
　　　　　a^5 - 10a^3b^2 + 5ab^4 = (√3)/2
　　　　　5a^4b - 10a^2b^3 + b^5 = 1/2
(2) a, b はともに無理数であることを証明せよ.

>>85
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/356128.pdf&key=math

>>87
正解です.
連立状態から抜け出すことも出来ます.

n と a を自然数とし, 以下の命題 P, Q を考える.
　　　　　P : n が a で割り切れるならば, n の各桁の和も a で割り切れる.
　　　　　Q : n の各桁の和が a で割り切れるならば, n も a で割り切れる.
(1) 任意の自然数 n に対して P が真となる自然数 a をすべて求めよ.
(2) 任意の自然数 n に対して Q が真となる自然数 a をすべて求めよ.

自然数 m, n が
　　　　　√n ≦ m/2 ＜ √(n + 1)
をみたしているとき,
　　　　　m ＜ √n + √(n + 1) ＜ m + 1
が成り立つことを示せ.

阪大

a , b , c を実数とする．3 次方程式
　　　　　ax^3 + bx^2 + cx - b/3 = 0
の実数解 α で,
　　　　　-1 ＜ α ＜ 1
を満たすものが，少なくともひとつ存在することを示せ．

>>92
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/357216.pdf
パスは sin18°の近似値を有効数字3桁で半角で入力（0.*** と5文字入力）

ここはレベル高いなあ…

こういうのは「レベル高い」とは言わんよ
受験数学の縛りの範囲で受験に役立たないことをシコシコシコシコ．．．

無意味すぎて哀れ

>>93
正解です.

>>78と>>82と>>87と>>93をもう一度上げてもらえませんか？お願いします。

>>97
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/357657.zip&key=math

>>89ってどうやって解くんですか？
面白そうと思って考え始めたが、全然わからぬ

>>98
ありがとうございます！
解決の糸口を掴むにはどう考えればよいのかや
周辺知識も書かれてあって勉強になります！
これからじっくりと読ませてもらいます！

ここの問題面白いなぁ
全部自作問題？

>>99
a に対して, n を上手く選ぶのです.

>>101
全部ではないです.

以下の〈条件〉をみたす実数 a の取り得る値の範囲を求めよ.

　〈条件〉
　　　　　xyz = ax + y + z
　　　　　xy + yz + zx = 1
をみたす実数 x, y, z が存在する.

>>103
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/358501.pdf&key=math

これも自作問題ですか？
うまいことできてるなぁ

>>104
すみません, タイミングが合わず, 見ることができませんでした...
もう一度あげていただけませんか ?
よろしくお願いします.

(1-yz)/(y+z)x=(y+z)/(yz-a)から
y+z=s,yz=tとでもおいてs^2-4t≧0とs^2=(1-t)(t-a）で解くだけちゃうんすかね

当然y+z=0,yz=0は別に処理で

>>106
で、答えは何になったの？
てかほんとに答え出せてる？

a<0,9≦a

on・・□
off・・■と、します。（onになる確率p、offになる確率1ーP）
間にoffが一つ挟まっても電流は流れるとします。
例
□□□□流れる
□□■□流れる
□■■□流れない
ここでP(N)を
□□□・・・（N個）・・□□の間に電気が流れる確率とします。
このときP（N）を求める問題の解答を教えてください。
＠野口

>>103 再うｐ
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/358818.pdf&key=math

>>110
再うｐありがとうございます.
何時もながらお見事です.

>>106, 108
正解です.

典型的でない問題を, と思うのですが,
みなさんどれもアッサリ解かれますね.

京大受験生向きです :

次の [命題] が正しいかどうか答えよ.
正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.

[命題] 3 つの辺と 3 つの角のうち, 5 つが一致している 2 つの三角形は, 合同である.

4,6,9の三角形と6,9,13.5の三角形とか

>>113
正解です.

京大受験生向けです :

次の [命題] が正しいかどうか答えよ.
正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.

[命題]
周期 3 の数列 a[n] と周期 2 の数列 b[n] がある.
a[n], b[n] はこれ以上小さい周期をもたないとする.
このとき, a[n] + b[n] の周期は 6 である.

ひし形　⇒　台形 ･･･だっけ？

>>116
誤爆…だよね？

6の約数の1，2，3，でないことを示すだけ

>>118
本当に示せていますか ?

有理数 a, b が
　　　　　a^3 + b^3 = 2ab
をみたしている.
(1) ab ≦ 1 を示せ.
(2) √(1 - ab)は有理数であることを示せ.

(1)は簡単でa+b=s,ab=tとでもおいたら
t=s^3/(2+3s),s^2-4≧0だからグラフ書いたら明らか
(2)はどうしましょうかねぇ

ああ√(s^2-4t）は有理数だから
√(1-t)が有理数なら
√(s^2-4t）*√(1-t)は有理数で無理数なら無理数になる
√(s^2-4t）*√(1-t)=√((2s^2-s^3)/(2+3s))*√((2+3s-s^3)/(2+3s))=√(s^2(s-2)^2(s+1)^2/(2+3s)^2))より有理数
よって有理数

>>120
俺も最初は >>121-122 の流れで解いたけど
よく見たらデカルトの葉線という有名曲線（入試でも出題例あり）なので
他のやり方でもいけるかな
　　b = ta
とおけば a ， b ともパラメータ t で表せて曲線の追跡ができる

>>120
(a^3+b^3)/(2ab)=1
1^2-ab の1に上式代入で瞬殺なんだけど、

a^3+b^3=2abを満たす有理数a,bって、a=b=0,1 だけって比較的簡単に
言えるから失敗作と言えない事もないような・・・

>>124
(8/9)^3+(4/9)^3 =2*8/9*4/9
なにゆーてんのあんた

>>125gj

>>121, 122
>>123
>>124
正解です.
( >>124 の人は >>123 の人の書き込みを読むと,
どこから >>125 の人の例が出たかわかると思います. )

(1) は相加相乗でも出来ます.
(2) は, 素朴に 2 次方程式の解の公式を使って
　　　　　a^3 + b^3 = 2ab
　　　　　a^4 + ab^3 = 2a^2b
　　　　　a^4 - 2a^2b + b^2 = b^2(1 - ab)
　　　　　1 - ab = (a^2 - b)^2/b^2
とすることも出来ます.

>>127
あーシンプルでいいですねぇ
でも正直これは思いつかないなぁ

東大頻出の二項係数の演習です.

0 以上の整数 n と, 0 以上 n 以下の整数 r に対し,
　　　　　nCr = n!/{r!(n - r)!}
と定義する.
(1) nCr (0 ≦ r ≦ n) のうち最も大きいものはどれか.
(2) lim[n→∞] Σ[r=0→n] 1/nCr を求めよ.

不等式評価で挟みこむだけ

>>125
抱いて！

以下の 《命題》 を考える.

　　　　　《命題》
　　　　　xy 平面上の 2 曲線 　
　　　　　　　　　　C_1 : y = x^3
　　　　　　　　　　C_2 : ax^2 + bx + c
　　　　　が相異なる 3 点で交わり, しかも, それらの点で C_1 に接する 3 直線が 1 点 (p, q) で交わる.

《命題》 が成立するような実数 a, b, c が存在するための実数 p, q のみたす条件を求めよ.

訂正 :

以下の 《命題》 を考える.

　　　　　《命題》
　　　　　xy 平面上の 2 曲線 　
　　　　　　　　　　C_1 : y = x^3
　　　　　　　　　　C_2 : y = ax^2 + bx + c
　　　　　が相異なる 3 点で交わり, しかも, それらの点で C_1 に接する 3 直線が 1 点 (p, q) で交わる.

《命題》 が成立するような実数 a, b, c が存在するための実数 p, q のみたす条件を求めよ.

え
a=3p/2
b=0
c=-q/2になるから接点が三本引ける点すべてじゃないの
だからx^3とy=0で囲まれてるところ

>>129
上にも不等式評価で瞬殺って書いたけど
2+2/n+4/(n^2-n)<Σ[r=0→n] 1/nCr<2+2/n+2(n-3)/(n^2-n)で２

どちらも正解です.

1 辺の長さが 3 の正方形の周を三等分する 3 点 A, B, C を頂点とする
△ABC の面積の最大値と最小値を求めよ.

重心が一致するから重心と頂点の距離で比べれて
最大が元の三角形
最小が1/4

正三角形じゃなくて正方形なんだが

うわほんまや
でもどっちにしろ簡単じゃん
x^2-3x+6でxが1から2で動かして15/4と4

過疎ってるね

>>140
正解です.

a 〜 i は実数の定数とする.
x, y, z についての連立方程式
　　　　　ax + by + cz = 0
　　　　　dx + ey + fz = 0
　　　　　gx + hy + iz = 0
を考える.
　　　　　|a| ＞ |b| + |c|
　　　　　|e| ＞ |d| + |f|
　　　　　|i| ＞ |g| + |h|
のとき, (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) となる解は存在するか ?

一辺の長さが自然数の立方体 ABCD - EFGH が座標空間上にある.
A, B, C, D が格子点のとき, E, F, G, H も格子点であることを示せ.

>>144
ほとんど自明のような気がしますが,ていねいに示せということでしょうか。

>>145
自明ですか ?
示してみて下さい.

何年か前の大数の宿題だっけ

>>147
海外の問題集が出典です.

「海外の問題集」は出典とは言わない。

こいつもネタ元隠しか。

どこでもいいだろ黙ってろカス

>>148
ちゃんと出典明らかにしろよ。

1 より大きい二つの無理数 a, b で, どんな自然数 m, n に対しても
　　　　　[a^m] = [b^n]
とならないようなものは存在するか.
ただし [x] は x 以下で最大の整数を表す.

存在する！

その通り !

よくある受験問題にひねりを加えたのですが,
元ネタがかすみすぎていて難しかったかもしれません.

0 ＜ θ ≦ π/2 において
　　　　　1/sinθ − 1/θ ＜ 1
が成り立つことを示せ.

>>143
の解き方が知りたいです(´・ω・`)

>>144
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/363751.pdf&key=math

>>143
移項，両辺を a ， e ， i で割るなどして
改めて a ， e ， i が 1 となるような方程式で考えて構わない
第3の等式を用いて z を消去して x ， y の連立方程式が
非自明解をもつかどうか調べる

という方針で手を付けてみたが，未だ完答に至らず…

>>157
正解です.

>>143
これでどうかな？
http://uproda.2ch-library.com/lib555191.pdf.shtml

DLキー　143

>>56　と　>>115 がわからぬ…。

>>115
　　{ a[n] } : p , q , r , p , q , r , ...
　　{ b[n] } : s , t , s , t , s , t , ...
として， { a[n] + b[n] } が6より小の周期を持つと仮定してみる

>>160
(ほぼ)正解だと思います.

x に関する二次方程式
　　　　　x^2 - x + k = 0
がある. その二つの解を
　　　　　α_k, β_k
とする. ( 重解をもつときは, α_k = β_k )
任意の 0 以上の実数 x に対し, 0 ≦ k ≦ 1/4 をみたす 実数 k が存在し,
　　　　　x = α_k/β_k
とできることを示せ.

問題の意味がよくわからん

>>164
＞＞ 任意の 0 以上の実数 x に対し, 0 ≦ k ≦ 1/4 をみたす 実数 k が存在し,
＞＞ 　　　　　x = α_k/β_k
＞＞ とできることを示せ.

は

任意の 0 以上の実数 r に対し, 0 ≦ k ≦ 1/4 をみたす 実数 k が存在し,
　　　　　r = α_k/β_k
とできることを示せ.

としたほうが誤解のおそれがなくてよろしいのでは

本当だ, すみません.
>>166さんのおっしゃる通りです.

(1-2x)/(1+2x)のxを-1/2から1/2まで動かすと0以上全てとるからってのでいいの？

これだと簡単すぎるけど

>>155>>164
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/364385&key=math

>>169
どちらも正解です.

難易度のばらつき半端なくないっすか
>>103>>120>>143>>144とかはそこそこ難しいけど
>>112>>133>>137>>129>>166とかはすんごく簡単

それより前は解いてないからシラネ

>>89 とかどうでしょう ?

>>89
P
n=aの時について考えるとaが一桁の時のみ考えれば十分だと分かる
1,3,9以外については簡単に反例が見つかる
Q
111111111111となるa桁の数と
111111111120となるa桁の数考えて引いて9の約数の1,3,9について考える

1,3,9の時についての証明は中学数学レベルなので割愛します

正解です. 素晴らしい.

半径が 1 の球を互いに平行な n 枚の平面で体積が等しい n + 1 個の立体に分割する.
n 枚の平面と球の交わる部分の面積をそれぞれ S_{1}, S_{2}, … , S_{n} とする.
このとき,
　　　　　lim[n→∞] 1/n Σ[k=1→n] S_{k}
を求めよ.

16π/35とかなったけど合ってる自信そんなにないから解放とかはまだ書かない

ミスってるくさいなぁ
つーか三時関数の逆関数考える必要ありそうな気がしてつんでるっていう

起きてからもう一回します

バウムクーヘンかな

4π/5か
円柱から砂時計抜いて3/4倍

>>175
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/365084.pdf&key=math

感想
よくできた問題でおすすめだがちょっと発想しにくい
回転体の体積を求める部分は誘導で与えてしまってもいい気がします

全く一緒ですね
積分の誘導は確かに欲しい

上のほうで三次関数の逆関数とかいってるのもそれ関係
>>176はただの勘違い

皆さん正解です.
>>176 さんは計算ミスでしょうね.

>>175
>>180 には誤植があったので訂正
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/365124.pdf&key=math

1 つのサイコロを n 回投げる. (n は自然数.)
k (1 ≦ k ≦ n) 回目までに出た目の和を s[k] とする.
s[1], s[2], … , s[n] のうち, 1 つだけが 7 の倍数である確率を求めよ.

(n-1)5^(n-3)/6^(n-2)

n = 2 のとき, 確率は 1/5 ということですか ?

n=1 0
n=1以外
(6n-7)*5^(n-3)/6^(n-1)

なんか違う気がする

(sin44°)* (sin46°) と 1/2 の大小関係を調べよ。

sin(44°)sin(46°)
= sin(44°)cos(44°)
= (1/2)sin(88°)<1/2

綺麗
気づいたの？
知ってたの？

>>187
正解です.

M(x) は x に関する実数係数多項式を成分にもつ 2 行 2 列の行列で,
任意の実数 x, y に対して,
　　　　　M(x + y) = M(x)M(y)
が成り立つ.
M(x) を求めよ.

(1,x)
(1/x,1)
行列の書き方わかんないけど

一つ上げればいいの？
他にもあるかはわかんない
それと>>152教えて欲しいです

>>193
行列の書き方は
数学の質問スレ【大学受験板】part105
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1341155465/
などのテンプレを参照せよ

1/x は 「x についての多項式」とはふつういわない
（「 x の n 次式」の形に書けるものを多項式という）

>>192
M(x)，M(y) は可換となることから，(1,2)成分，(2,1)成分は定数となることがわかる
まだここまでしか考えてないけど (1,1)成分，(2,2)成分もそうなるのではないか
そうだとしたらあとはどの参考書にも書いてある「べき等行列」の問題で大して面白くないし
わざわざ「多項式」と書いてある意味がわからなくなるので，どこか勘違いしてるのかな…

>>152 もまだよくわからない
>>154 で「よくある受験問題」とおっしゃられているので
「(1+√2)^n の整数部分」のようなものが絡んでくるのではないかと見ているが…

>>193
1/x+1/y=1/(x+y)か？

>>195
それそもそも問題読み間違ってました
だから無視してくださいすみません

>>194
> M(x)，M(y) は可換となることから，(1,2)成分，(2,1)成分は定数となることがわかる

ここの部分がよくわからないのですが….
もう少し詳しく書いてもらえませんか ?

>>192
1 0
0 1

なにこの糞問題w

>>198
お前が糞すぎｗ

0 0
0 0　もあるだろｗ

>>199
馬鹿かお前w

正解は
1 0
0 0
だよw

1 1
1 1

勝った

>>200
バカはお前だｗ

正解は
0 0
0 1
だろｗ

>>197
　　M(x) = [ [ a(x), b(x) ], [ c(x), d(x) ] ]
　　a(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + … ，etc.
とする（ a(x) の次数が n なら，　a[n+1] = a[n+2] = … = 0　とみなす）
また　N = {0,1,2,…}，　N’= {1,2,3,…}　とする

　　M(x+y) = M(x)M(y)，　M(y+x) = M(y)M(x)，　M(x+y) = M(y+x)
より， M(x)， M(y) は可換で
　　a(x+y) = a(x)a(y)+b(x)c(y) = a(y)a(x)+b(y)c(x)　…�@
　　b(x+y) = a(x)b(y)+b(x)d(y) = a(y)b(x)+b(y)d(x)　…�A
　　c(x+y) = c(x)a(y)+d(x)c(y) = c(y)a(x)+d(y)c(x)　…�B
　　d(x+y) = c(x)b(y)+d(x)d(y) = c(y)b(x)+d(y)d(x)　…�C
となる
�@より　　b(x)c(y) = b(y)c(x)
ひとまず y は固定して上式を x の恒等式と見ると
　　∀n∈N ( c(y)b[n] = b(y)c[n] )
が成り立つ　次に y を動かす
c(y) ，b(y) が y によって変化すると仮定すると
　　∀n∈N ( b[n] = c[n] = 0 )
でなければならないが，このとき c(y) ，b(y) は y によらない定数となり，仮定に反する
よって c(y) ，b(y) は y によらない定数となり，
　　b[0]，c[0] は定数
　　n∈N’に対して　b[n] = c[n] = 0
となる…

と考えたわけですが，b(x) と c(x) が恒等的に等しくなる場合などの考察が抜けたました
>>194 の記述は忘れてください

馬鹿がなにやらごちゃごちゃ書いてるがw

正解は
2 2
-1 -1
だからw
ご苦労さんwww

>>203
了解しました.

でも実数成分の行列以外にあるのか？

実数 a, b, c, d が,
　　　　　a/4 + b/3 + c/2 + d = 1/2
　　　　　a^2/7 + b^2/5 + c^2/3 + d^2 + ab/3 + 2ac/5 + ad/2 + bc/2 + 2bd/3 + cd/2 = 1/3
をみたしながら動くとき,
　　　　　a/5 + b/4 + c/3 + d/2
の最大値と最小値, および最大, 最小ならしめる a, b, c, d, e の値を求めよ.

↑最後の行の e は忘れて下さい.


(文系向き)
実数 a, b, c が,
　　　　　a/3 + b/2 + c = 1/2
　　　　　a^2/5 + b^2/3 + c^2 + ab/2 + bc + 2ca/3 = 1/3
をみたしながら動くとき,
　　　　　a/4 + b/3 + c/2
の最大値と最小値, および最大, 最小ならしめる a, b, c の値を求めよ.

糞問垂れ流しｗ

>>192
とりあえず1つ例が見つかった
　　[ [ 1+x , x ] , [ -x , 1-x ] ]

>>209涙目ｗｗｗ

>>210
はい, それは正しい例です.
もう少し しんぷる な例として,
　　　　　M(x) = [[1, x], [0, 1]]
があります.
というわけで, (1, 2), (2, 1) 成分は定数とは限らない, ということがわかりますね.

(1) 正の実数 a, b, c に対し, a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3abc が成り立つことを示せ.
(2) 正の実数 x, y ,z が x^2 + y^2 + z^2 = 3 をみたすとき、
　　　　　1/(x^3+2) + 1/(y^3+2) + 1/(z^3+2) ≧ 1
が成り立つことを示せ.

(1)省略
(1)より(z^3+y^3+z^3+6)/3xyz≧(2+xyz)/xyzである
またコーシーシュワルツより
((x^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz)*(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2))≧3/xyz
また(z^3+y^3+z^3+6)/3xyz≧(2+xyz)/xyzより
(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2)≧3/（2+xyz）である

x^2+y^2+z^2=3よりxyzの最大値はx=y=z=1のxyz=1の時で上の式にほり込んで等号成立確認してしめされたと

>>207はまだ考えてないっす

>>214
> またコーシーシュワルツより
> ((x^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz)*(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2))≧3/xyz

右辺は 9/xyz では ?

9/xyz＞3/xyzだからいいんじゃないの？

わざわざ評価を悪くする必要はないですよね ?
試しに 9/xyz でやってみてはどうでしょう ?
そうすれば, より良い不等式が得られるか,
あるいは間違いに気付くか….

>>192
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/366530

一応解けたのでお粗末な解答ですが上げます

((x^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz)*(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2))≧3/xyz
じゃなくて
((x^3+2)/3xyz+(z^3+2)/3xyz+(z^3+2)/3xyz)*(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2))≧3/xyz
っすねタイプミス

>>218
まだきちんと全部に目を通せていませんが, 答えは正解です. お見事 !
x = y としたときの必要条件から多項式の形が大体決定されるのでした.

>>214
>>219
> コーシーシュワルツより
> ((x^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz+(z^3+2)/xyz)*(1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2))≧3/xyz
> また(z^3+y^3+z^3+6)/3xyz≧(2+xyz)/xyzより
> (1/(x^3+2)+1/(y^3+2)+1/(z^3+2)≧3/（2+xyz）である

　　　　　A := 1/(x^3+2) + 1/(y^3+2) + 1/(z^3+2)
　　　　　B := (x^3+2)/3xyz + (z^3+2)/3xyz + (z^3+2)/3xyz
　　　　　C := (2+xyz)/xyz
　　　　　D := 3/xyz
とします.
　　　　　A * B ≧ D
より,
　　　　　A ≧ D/B　…�@
ですね. さらに
　　　　　B ≧ C
から,
　　　　　1/C ≧ 1/B　…�A
です. あなたはここから
　　　　　A ≧ D/C　…�B
を導いていますよね ?

�@ と �A から �B が導かれる過程をもう少し詳しく述べてください.

ああミスってますねすみません

　　　　　(x - 1)(x - 2)…(x - n) + 1
が整数係数の範囲で因数分解できるような 2 以上の整数 n をすべて求めよ.

>>152に誘導つけます.

[x] は x 以下で最大の整数を表す.
(1) [(5 + 2√6)^n] (n = 1, 2, 3, …) を 4 で割った余りを求めよ.
(2) 1 より大きい二つの無理数 a, b で, どんな自然数 m, n に対しても
　　　　　[a^m] = [b^n]
　　とならないようなものは存在するか.

>>213の誘導を変えます.
(この誘導だと2006年一橋後期に類題があります.)

(1) k を定数とする. a ＞ 0 ならば常に
　　　　　a^3 + 2 ≧ ka
　　となるような k の値の範囲を求めよ.
(2) 正の実数 x, y ,z が x^2 + y^2 + z^2 = 3 をみたすとき、
　　　　　1/(x^3+2) + 1/(y^3+2) + 1/(z^3+2) ≧ 1
　　が成り立つことを示せ.

>>223
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)+1とおく。
f(x)=g(x)h(x)と1次以上の整数係数多項式の積で表せたとする。

このときx=1,2,...,nに対してg(x)h(x)=1⇔g(x)=h(x)=1またはg(x)=h(x)=-1
となる。(∵g,hは整数係数)
ここでx=1,2,...,nのうちg(x)=h(x)=1となるものをa_1,a_2,....,a_j
g(x)=h(x)=-1となるものをb_1,b_2,...,b_iとおく。ここでj+i=nである。
まずnが偶数であることを背理法で示す。n=2m+1とおけば、j,iのうち一方はmより大きくなる。
もしj>mであれば、g(a_1)=g(a_2)=....=g(a_j)=1などから異なるj数に対してg(x)は同じ値をとるので
g(x)の次数はj以上、つまりmより大きい。h(x)の次数もmより大きくなる。
これよりg(x)h(x)の次数は2m+2以上となり、f(x)の次数が2m+1であることに矛盾。
i>mでも同様に矛盾が生じる。よってnは偶数であり、n=2mとおける。
ここでj≠iならばj,iの一方はmより大きくなり、先と同様の矛盾を生じるので、j=i=mである。
よって因数定理より
g(x)-1=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)・・・�@
g(x)+1=(x-b_1)(x-b_2)...(x-b_m)・・・�A
さて、a_1,a_2,...a_m,b_1,b_2,...b_mは1〜2mの並べ替えであることに注意する。
m≧3として矛盾を導く。1がa_1,...a_mに含まれているとき
�@より
g(1)-1=0
このとき�Aより
g(1)+1=(1-b_1)(1-b_2)...(1-b_m)

>>223
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)+1とおく。
f(x)=g(x)h(x)と1次以上の整数係数多項式の積で表せたとする。

このときx=1,2,...,nに対してg(x)h(x)=1⇔g(x)=h(x)=1またはg(x)=h(x)=-1
となる。(∵g,hは整数係数)
ここでx=1,2,...,nのうちg(x)=h(x)=1となるものをa_1,a_2,....,a_j
g(x)=h(x)=-1となるものをb_1,b_2,...,b_iとおく。ここでj+i=nである。
まずnが偶数であることを背理法で示す。n=2m+1とおけば、j,iのうち一方はmより大きくなる。
もしj>mであれば、g(a_1)=g(a_2)=....=g(a_j)=1などから異なるj数に対してg(x)は同じ値をとるので
g(x)の次数はj以上、つまりmより大きい。h(x)の次数もmより大きくなる。
これよりg(x)h(x)の次数は2m+2以上となり、f(x)の次数が2m+1であることに矛盾。
i>mでも同様に矛盾が生じる。よってnは偶数であり、n=2mとおける。
ここでj≠iならばj,iの一方はmより大きくなり、先と同様の矛盾を生じるので、j=i=mである。
よって因数定理より
g(x)-1=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)・・・�@
g(x)+1=(x-b_1)(x-b_2)...(x-b_m)・・・�A
さて、a_1,a_2,...a_m,b_1,b_2,...b_mは1〜2mの並べ替えであることに注意する。
m≧3として矛盾を導く。1がa_1,...a_mに含まれているとき
�@より
g(1)-1=0
このとき�Aより
2=|g(1)+1|=|(1-b_1)(1-b_2)...(1-b_m)|≧3*2*1=6
となり矛盾。1がb_1,...b_mに含まれるときも同様に矛盾。よってm=1,2となる。
m=1のときf(x)=x^2-3x+3は因数分解できない。
m=2のときf(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=(x^2+5x+5)^2と因数分解される。

よって求めるnはn=4のみとなる。

>>227
最後訂正
f(x)=f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=(x^2-5x+5)^2
ですね。

>>224
誘導が付くと易しいですけど，誘導がないとほぼ困難のような…。
昔の宿題みたいですね。誘導をもう少し工夫してもよかったのでは…

解答
存在する。

(5+2√6)^n=a+b√5
(5-2√6)^n=a-b√5
∴(5+2√6)^n=2a-(5-2√6)^n
∴[(5+2√6)^n]=2a-1
a=ΣC(n,k)*(5)^(n-k)*(2√6)^(k)(kは偶数)
≡1(mod.4)
∴[(5+2√6)^n]≡1(mod.4)

(6+2√7)^n=c+d√7
(6-2√7)^n=c-d√7
∴(6+2√7)^n=-(6-2√7)^n+2c
∴[(6+2√7)^n]=2c-1
c=ΣC(n,k)(6)^(n-k)*(2√7)^(k)(kは偶数)
≡2^n≡0or2(mod.4)
∴[(6+2√7)^n]≡3(mod.4)

従って，
[(5+2√6)^m]=[(6+2√7)^n] がある自然数の組(m,n)で成立するとすれば
[(5+2√6)^m]≡[(6+2√7)^n](mod.4)　とならなければならないが，
左辺はすべてのmについて1,右辺はすべてのnについて3なので，矛盾。
したがって，a=5+2√6 , b=6+2√7 が１つの例である。

>>227-228
正解です.

>>229
正解です.
私も誘導があれば簡単だと思ったので, 誘導なしにしたのですが….
なにか上手い誘導の仕方ないでしょうかね.

△ABCにおいて, AB = AC = 1, cosA = 1/3 とする.
また, 実数 s, t に対し,
　　　　　↑AP = s↑AB + t↑AC
となる点 P を考える. P が △ABC の外接円の円周上を動くとき,
　　　　　s * t
の取り得る値の範囲を求めよ.

>>230
数学オリンピックならば誘導は不要でしょうが,現実的には

問題
2つの自然数a,bで,どんな自然数m,nに対しても
a^m=b^n　とならないようなものが存在することは，以下のように証明することができる。
「等式を成立させるような自然数(m,n)の存在を仮定する。両辺をmod.bで見ると
a^m≡0(mod.b)　となるが，仮に(a,b)=1であれば，a^m≡0とはならない。つまり
両辺をbで割った余りが一致しないので，等式を満たすようなmは存在せず,矛盾する。
よって,(a,b)=1を満たすような自然数が，その一例である。」
では,この主張を無理数に拡張したもの，つまり
1より大きい二つの無理数a,bで,どんな自然数m,nに対しても
　　　　　[a^m] = [b^n]
とならないようなものは存在することを，上の証明方法を参考に示せ。

とするのが現実的ではないでしょうか？

現実が被った。すいません。

-3/16から9/16

>>231
BC^2=1+1-2*1/3=4/3
BC=2/√3

R=BC/2sinA=1/√3*3/2√2=√3/2√2

AM=cosA/2=(2/3)^1/2=√2/√3

↑AO=R/AM*↑AM=3/8*(↑AB+↑AC)

↑OP=↑AP-↑AO=(s-3/8)↑AB+(t-3/8)↑

BC^2=1+1-2*1/3=4/3
BC=2/√3

R=BC/2sinA=1/√3*3/2√2=√3/2√2

AM=cosA/2=(2/3)^1/2=√2/√3

↑AO=R/AM*↑AM=3/8*(↑AB+↑AC)

↑OP=↑AP-↑AO=(s-3/8)↑AB+(t-3/8)↑AC

OP^2=(s-3/8)^2+(t-3/8)^2+2/3*(s-3/8)(t-3/8)
=s^2-3/4s+t^2-3/4t+9/32+2/3st-1/4s-1/4t+3/32
=s^2-s+t^2-t+3/8=R^2=3/8

s^2-s+t^2-t=0
(s+t)^2-2st-(s+t)=0

s+t=u
st=v

u^2-u=2v
u^2≧4v=2u^2-2u

0≦u≦2
-1/8≦v=(u^2-u)/2≦1

-1/8≦st≦1

=s^2-3/4s+t^2-3/4t+9/32+2/3st-1/4s-1/4t+3/32
=s^2-s+t^2-t+3/8=R^2=3/8

ここで2ｓｔ/3消えてない？
そしたら俺の答えになる気がする

>>234 が正解だろう
複数の解法で同じ答えが得られた

>>237
ほんとですね、すみません。そちらが正しいようです。

上で誰かもかいいてたけど難易度のばらつきがすごいな
これは普通に入試問題で出るレベルだわ


で残ってるのが>>207>>225

>>231
既に解答があがってますが別解として
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/367178

軽い問題ですが，このレベルの融合問題は問題集ではなかなか見かけないので貴重です
こういう問題が沢山あれば効率よく定石を押さえることができると思います

みなさん正解です.

>>225
対象なのを考えて右辺左辺をばらす
1/(x^3+2)≧(a+1-ax^2)/3をxが0から√3で満たすaを考える
x=1で等号成立するからx=1で接することを考えるとa=1/2
で満たすの確認できるので成立。
で３つたす

正解です.

その解きかたも悪くないですが, 誘導を無視して
＞ 1/(x^3+2)≧(a+1-ax^2)/3をxが0から√3で満たすa
を微分等を用いて見つける, ということですよね ?

そうですそうです誘導は使いかたがわからなかったのでガン無視しました

一応解いたので誘導から解く方法の解説教えてくれると嬉しいです

だいたい貴方の解き方と同じです.

(1)より a が正の実数のとき,
　　　　　a^3 + 2 ≧ 3a
となることがわかると思います. あるいは, 相加相乗の不等式から
　　　　　a^3 + 2 = a^3 + 1^3 + 1^3 ≧ 3a
が成り立ちます.

そして (2) ですが, 1/(x^3+2) を次のように少し変形してみます.
　　　　　1/(x^3+2) = (1/2){1 - x^3/(x^3+2)}
すると, (1) より,
　　　　　x^3/(x^3+2) ≦ x^3/(3x) = x^2/3
が成り立つので, 結局
　　　　　1/(x^3+2) = (1/2){1 - x^3/(x^3+2)}
　　　　　　　　　　≧ (1/2){1 - x^2/3}
となって, これはあなたが導いた不等式と同じですね.

>>207がさっぱり
うまいこと解けるように作ってるんだろうけど一文字消去で泥沼にはまるイメージしかない

>>247
2分位で解ける
うまく解けるように作ってあるな

教えてください
なんにも思いつきません

>>249
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

一瞬見ただけだけど四次元ベクトルの内積って言葉が浮かんだ

△ABC の内部に点 P をとり,
直線 AP が辺 BC と交わる点を A',
直線 BP が辺 CA と交わる点を B',
直線 CP が辺 AB と交わる点を C' とする.
点 P が △ABC の内部を動くとき,
　　　　　△A'B'C'/△ABC
の取り得る最大の値を求めよ.

チェバの定理より
xyz/((1-x)(1-y)(1-z))=1がなりたち0<xyz<1
面積比より　△A'B'C'/△ABC=(1-x-y-z+xy+xz+yz)/1=2xyz
xyz/(1-x)(1-y)(1-z)=1よりxy/((1-x)(1-y))=1/z-1なので
1/xyz=1/((1-x)(1-y))+1/xyより1/xyzの最小値を考える
xy=tを固定すると最小値をとるのはx=yの時あと適当に微分するとx=y=z=1/2のとき1/4

>>250
もうちょっと詳しくお願いします…

>>252
　　　p↑ ＝ （αa↑ ＋ βb↑ ＋ γc↑）/（α ＋ β ＋ γ）
　　　ただし，α，β，γ は正で　α ＋ β ＋ γ ＝ 1
として面積比を立式すれば　「相加平均≧調和平均」　に帰着

>>253
1番目の条件式をf(x)で表す
同じように、2番目の条件式、最大・最小を求めるべき式も
f(x)を用いて表せることに気づく

>>253-254
正解です.

>>208
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369374.pdf&key=math

この問題ならベタに文字消去でも解決するが
>>207 はこのアプローチではとてもやる気になれない
>>250>>255 が何を意味するのかも未だに見えてこないし…

>>257

>>207
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

第1の条件式→∫[0,1] f(x) dx　= 1/2
第2の条件式→∫[0,1] {f(x)}^2 dx　= 1/3
最大・最小を求める式→∫[0,1] xf(x) dx

∫[0,1] {f(x)-x}^2 dx　≧ 0
∫[0,1] {f(x)+x-1}^2 dx　≧ 0

>>258
お見事です

そういうやり方も見たことがあるのに…
俺もまだまだ修行が足りない

はい, 正解です.

立方体 ABCD-EFGH の辺上を, 頂点 A から 1 秒ごとに
等確率で隣接する 3 頂点から 1 つの頂点を選択して移動する虫がいる.
頂点 G に毒が塗ってあり, G に到達すると虫は死ぬ.
A を出発してからの虫の余命は何秒と期待されるか.

>>258
これは思いつかないわ
ムリムリムリ
>>261
偶数奇数で分けて漸化式とくだけじゃん

>>258
>>208 で同様の解法を試しました
＞＞∫[0,1] {f(x)+x-1}^2 dx　≧ 0　　…（あ）
∫[0,1] {f(x)-x+1}^2 dx　でも　≧ 0　となりますが
このとき等号を成り立たせるa,b,cは条件式をみたしません
（あ）は試行錯誤で見つけるしかないのでしょうか

　　　　　lim[n→∞] cos(nθ)
が存在するような θ の値を求めよ.

0か-1か1

>>263
(f(x)-px-q)^2としてa,b,cが存在するようなp,qを求めるとすると・・・

>>264
2kπ kは整数
>>261
33

33なわけない

��(2x+1)(2/9)*(7/9)^(x-1),{x,1,∞}=10
計算ミスなんですわぁ
これでもまちがってたらもういいや

>>269
正解です.

座標空間上に, 点
　　　　　A : (3, -2, -1)
　　　　　B : (-9, 0, 3)
をとる.
A, B を通る直線に軸がふくまれている円錐を,
点 (-7, -9, -7) を中心とする半径 3 の球を
ふくむように作るとき, 円錐の表面積は最も小さくていくらか.

【京大受験生向き】
空間上に 2 本の直線 l , l' がある.
l をふくむ平面 L と l' をふくむ平面 L' で
L と L' が平行になるものが存在することを示せ.

「空間上」ってなんだよ

1000! の桁数を求めよ
必要なら次の値を用いよ（ lg は底10の対数を表す　また e は自然対数の底である ）
　　lg 2 = 0.301　　lg e = 0.434

対数とって台形近似とか典型的なやつじゃん

>>272
l, l' が平行または反平行なら l を含む任意の平面を平行移動すれば l' を含む
l, l' が平行でなければ l を平行移動して l' と交差させれば交差2直線で1平面が決まり
その平面は平行移動で l を含む
見かけ以上に簡単だったから、つい答えてしまった

>>276
正解です.

平均値の定理が成り立つことを証明せよ。

>>278
ロルの定理を拡張するあれか、ロルじたい厳密には高校入試のレベルを超えるんだが。

>>279
それ言いだしたら微分じたい余裕で高校入試のレベルを超えているんだが。

電車んなかで数学問題の解法に夢中で、
僕の前におじいさんが立っていることが
眼に入りませんでした。
僕は正しかったのですか、まちがっていたのですか。

>>281
地縛霊かもしれないから
なんとも言えない

早稲田高、青山学院中等部 … 教諭が少女にわいせつ行為　 (2012年9月26日)
http://www.sponichi.co.jp/society/news/2012/09/26/kiji/K20120926004197220.html

　都内の私立校教諭の男２人が少女にわいせつな行為をしたとして、東京都迷惑防止条例違反などの疑いで相次いで逮捕
されていたことが２５日、警視庁への取材で分かった。
　成城署は２０日、世田谷区の路上で７月、帰宅途中の女子高生（１７）につきまとい、背後から尻を触り、胸元に１万円札
を差し入れたとして、青山学院中等部（渋谷区）の教諭の男（３３）を都迷惑防止条例違反容疑で逮捕した。
成城署によると、男は「声を掛けたら話をしてくれると思ったが、相手にされなかった。１万円札を出して気を引こうと思った」
と供述している。当時、男は酒に酔っていたが「意識はあった」と話しているという。

　また巣鴨署は２０日、４月に文京区の自宅で女子高生（１７）にわいせつな行為をしたとして、都青少年健全育成条例違反
の疑いで早稲田高校（新宿区）の教諭の男（３７）を逮捕した。

両署によると、２人とも容疑を大筋で認め、既に釈放されている。両校とも「事実関係を確認中」としている。

「アメリカの学部の40％以上が25歳以上で、数年間で過半数が35歳以上になる事に驚く日本の記事。
大学は”手段”。18歳まで暗記の偏差値競争のチキンレースをしている日本、韓国、中国が異常だ。
偏差値等を頭の良さの指標にする馬鹿は世界のまともな層には存在しない。」

「18歳で大学に合格する事にそれまでの人生の数年間を費やすとか、にわかに信じ難い。
加えて、それが頭が良いと絶賛する日本社会。
加えて、わずか2時間の試験で思考力を測ると謳っていると言う。」

「嘗ての中国の官僚登用試験であった科挙試験は”暗記”試験だったと聞く。
そして科挙と宦官は英仏に見事に抑え込まれ、中国の歴史は途絶えた。
日本の大学入学試験問題も科挙試験と同じ事だ。」

「自分がバカなのを隠すためには１００万人死んでも気にしない人間が、この国の「権力者」。
それを人は「愚劣」と呼ぶ。
清朝が滅んだのは、科挙と宦官という愚劣な人間がトップになる仕組みがビルトインされてたから。
明治政府が科挙と宦官（試験と官僚）を骨格とした時点で全ては予定通りなのだ。」

「日本の高校生が受験数学の問題の点数や受験英語の点数で
頭が良いと言われる様な社会環境は先進国とは言えず最悪だろう。」

https://twitter.com/HermesTrism

★超最新版★
2013年第2回駿台全国模試(国立大学文系・前期日程)　2012年10月26日更新
※東京大学、京都大学、一橋大学
https://www.i-sum.jp/sum/sum_page/topics/unvrank_s/rankf.cfm

67◎東京(文�T)
66◎東京(文�U)、◎東京(文�V)、★京都(法)
65※一橋(法)　
64★京都(経済･一般)、★京都(教育･文系)、★京都(総合人間･文系)　
63★京都(文)、※一橋(経済)、※一橋(商)、※一橋(社会)

パニックになるので公表していないが、東京は、もはや死の街
セシウムのレベルがチェルノブイリの緊急避難レベル
若い人は遺伝子レベルで傷がつき、悲惨な染色体異常がおきる
東京から避難せよ

東京千葉の放射能汚染はチェルノブイリ第３汚染レベル
国が隠蔽してきたＷＳＰＥＥＤＩのデータや、定時降下物の実績値の比較から考えれば
東京は２キュリーを超える深刻な汚染地域

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6738906.html

>>271
(729√41 + 8982) * π/ 8

>>271
864π

S=(12+3/tan(x))^2*(1+1/cos(2x))π
=18π*(4+1/tan(x))^2*(1/(1-tan^2(x)))
=18π*(4+1/t)^2(1/(1-t^2))を微分でt=1/2の時に最小
ってこれ亀レスってレベルじゃないな

>>288-289
正解です！

てすと

やっと規制解除か

つーかまだ出題してる人みてたんすね
もうちょっと人集まって前みたいになればいいなぁ

今年、東大大学院を受験したいのですが、願書提出はいつまでですか？

南京大虐殺の真実を書いておきます。まず事件に関する簡単な説明です。
日本軍は怒涛の勢いで南京目指して進撃していきました。そして南京手前で『国民党政府軍は』南京後方の集合地点を決めて壊滅、私服で逃げ出した国民党政府軍。
彼らが南京に逃げ込んだ後から日本軍がなだれ込んできました。これは戦場での理性として考えないといけないのですが、日本軍はここまでに仲間を殺されていました。
そして、私服で軍人と疑われる男を捕まえ、各部隊によっては殺しました。この各部隊によってその行為は悪い事ではなく当然とされたのは、ジュネーブ協定で『軍服で捕まえた捕虜は軍人として扱う。私服で捕まえた軍人はスパイ』として殺しても良い事に成っているからです。
ですから、斥候のときでも『軍服は着て』出かけているのです。 当時スパイは殺しても非難されていませんでした。
そして事件の２週間後には『日本の調査団が事件を調査し、報告書も出ています』
それによると被害者の数は１８００人程でした。その内訳はその９８％が軍人でも可笑しくない年齢の男でした。つまり女・子供・老人はいませんでした。
当時このことに対する国際的非難は殆ど有りませんでした。戦後中国で言われていた事も『数万人の被害』と言う事でした。日本のマスコミが書き出してから、国際的な非難が始まりました。
しかも数万人という数字も一番大きい数字３０万人となっていきました。当時の南京の人口ですら３０万人以下に成っていた時です。１００％嘘の数字です。
アメリカのベトナムでのソンミ村の事件について書いておきます。
ベトナム戦争中ソンミ村と隣のミント村を２００機のヘリで襲撃した米軍は『村の住民全員を広場に集めて、ソンミ村で８０００人以上ミント村で４８００人以上殺害しました』 当時の新聞が伝えた数字です。
この事件は、ジャングルに逃げ込んだ複数の村民の訴えで世界中に知れ渡り反戦気運が高まりましたが、アメリカはこの時の指揮官ですら誰一人処分していません。
そして南京との大きな違いはこのときに殺害された住民の９８％は、女・子供・老人だった、と言う事です。男達はベトコンとして出撃して村には一人もいなかった時に襲われました。

他スレコピー
日本のマスコミが外国の支配下に有るから日本が可笑しく成っているのです。統一教会など外国勢力が日本のマスコミを支配しています。
フジTVのヒエダ会長は『ソフトバンクの孫の腹心』だとも言われ一緒に食事している仲です。
読売のドン渡辺恒夫は、読売の株の３８％を持つ支配者ですが、昔はただの読売の記者だった男です。それがどうして３８％のグループ企業の３８％の株を持てたのか？謎です。
桜田淳子の韓国での統一結婚式では、教会発表で３万人以上の日本人が参加したと言っています。
彼らの教えは『企業で出世し韓国の為に尽くせ』が教義です。オウムは２００人の出家信者であれだけの事をしました。統一教会は社会の中で『出世しろ』と教え『社会の中に入っています。
ですからマスコミでは『オウムの教祖松本ちずお』は在日ですが誰も知らされていません。
カレー事件の林真須美も在日・ルーシーさん事件の織原城二も在日・教育大事件の宅間守も朝鮮部落出身です。
エリート夫バラバラ殺人の詩織容疑者も他スレでは、『男の親が勘当してまで結婚に反対した（美人・年下・親は大金持ちで社長・お嬢様学校）これで反対は在日だと書かれていますが、マスコミは韓国の良い事は派手に書きまくりますが知らせないです。

韓国籍の男による大阪市生野区無差別通り魔事件 （先週の事件、日本人なら誰でも良かった）

NHK＝完全スルー
日本テレビ NEWS ZERO＝完全スルー
テレビ朝日 報ステ＝ストレートニュース。氏名・国籍・犯行動機(生粋の日本人を殺す)等はスルー。
TBS NEWS23＝完全スルー
フジテレビ ニュースJAPAN＝完全スルー

無差別通り魔事件という通常トップニュースで報道されるべきものが
19時以降主要メディア全てで報道がされなくなった。
唯一報道したテレビ朝日では氏名すら報じなかった。

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