【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題11
>>218
m行m列の升目として、左上から数えてi行目j列目の要素をEij、i行目の要素の総和をRi、j列目の要素の総和をCjとする。
以下合同式の法は全て2として、定義よりEij≡Ri+Cj-2Eijだけどこれは≡Ri+CjなのでRi+Cjの偶奇を決めればEijも決まることが分かる。
Ri≡0だったとするとC1,C2,C3,…,Cnの中に偶数の値がn-Ri個、奇数の値がRi個ある。
これを後はRi≡1、Cj≡0、Cj≡1の各場合について行うとなんやかんやで
n≡1の時Riは奇数の値一つと偶数の値一つを取ることができ、n≡0の時全てのRiはただ一つの偶数値になる。
同様に、m≡1の時Cjは奇数の値一つと偶数の値一つを取ることができ、m≡0の時全てのCjはただ一つの偶数値になる。
後は値の取り方とRi,Cjの中での並び換えとかを数え上げて>>216の通り。大分適当だからこれで分からなかったら他の人の解答か12月号を待ってくれ。
誰か拡張してm×nの升目に0,1,2,…,k-1を書き込むとき全ての要素について
Eij≡Ri+Cj-2Eij (mod k)となる並び方の総数、を求められた人いない？
m行m列の升目として、左上から数えてi行目j列目の要素をEij、i行目の要素の総和をRi、j列目の要素の総和をCjとする。
以下合同式の法は全て2として、定義よりEij≡Ri+Cj-2Eijだけどこれは≡Ri+CjなのでRi+Cjの偶奇を決めればEijも決まることが分かる。
Ri≡0だったとするとC1,C2,C3,…,Cnの中に偶数の値がn-Ri個、奇数の値がRi個ある。
これを後はRi≡1、Cj≡0、Cj≡1の各場合について行うとなんやかんやで
n≡1の時Riは奇数の値一つと偶数の値一つを取ることができ、n≡0の時全てのRiはただ一つの偶数値になる。
同様に、m≡1の時Cjは奇数の値一つと偶数の値一つを取ることができ、m≡0の時全てのCjはただ一つの偶数値になる。
後は値の取り方とRi,Cjの中での並び換えとかを数え上げて>>216の通り。大分適当だからこれで分からなかったら他の人の解答か12月号を待ってくれ。
誰か拡張してm×nの升目に0,1,2,…,k-1を書き込むとき全ての要素について
Eij≡Ri+Cj-2Eij (mod k)となる並び方の総数、を求められた人いない？
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