数学出題スレin大学受験板

良問、難問、奇問を出したり解いたり
（基準は人それぞれ、貴方にとっての良問でOK）
別解歓迎、亀レスOK、楽しみましょう

・質問スレではありません
回答者が面白いと感じた問題にのみレスがあると思ってください
　・質問スレはこちら
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part92＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1257166558/
高校生のための数学の質問スレPART252
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1259149314/
　・高校レベルでない質問はこちら
◆ わからない問題はここに書いてね 262 ◆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255601148/

・大学生以上の知識が必須なものは、誘導をつけるか数学板へ
（頭を使うという意味での難しさはOK）
面白い問題おしえて〜な 十六問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/

へー(´・ω・｀)

・すべての自然数ｎについて、以下の命題が成立することを示せ→帰納法で証明

nを2以上の自然数とする。このとき不等式
(a_1 +a_2 +…+a_n)/n≧^{n}√(a_1･a_2･…･a_n)
が以下のnについて成り立つことを証明せよ。
ただし、n=2の場合での成立は証明なしに用いてよい。
(1)n=4
(2)n=3
(3)nは任意の自然数

正四面体（辺の長さは1）の1辺を軸として回転した時できる回転体の体積は？

>>5　π/4

この問題ができない人はね、これまでの数学の勉強全てを疑います。

>>4
そのやり方、昔感動した。今なら凸性を使うのが好み

>>5自己レス？では改変

1辺1の正四面体を向かい合う辺の中点を結ぶ軸の周りに回転させた回転対の体積は？

Σ[k=1,n]2^(k-1)tan2^(k-1)aを求めよ

（１）　(0.5)^93を計算すると小数点第何位まで数字が並ぶか。
（２）　5^93の上2桁を求めよ。必要であればlog2=0.3010…　を用いてよい（logの底は10）。

5進法でも10進法でも3桁になる自然数の個数は？

5^2≦n＜5^3
∴ 25≦n＜125

10^2≦n＜10^3
∴ 100≦n＜1000

∴100≦n＜125

25個

ｎ→∞のときｎ*sin(π/ｎ)→πを示せ

>>12

n*sin(π/n)
=π*{sin(π/n)/(π/n)}
→π*1　（n→∞ ∴π/n→0）

わずか１０分で撃破されたか。容赦ねーなｗ
問題作るのに結構時間掛かったんだけどなｗｗｗ

5進法でも10進法でも4桁になる自然数の個数は？

52417523658771452369^47を求めよ。('82 東京大学 理科2類 前期)

理科2類クソワロタ
同年の理科一類は理科二類と違う問題が出たのか？ｗ

a = cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)
b = cos(2π/7)*cos(4π/7)*cos(6π/7)
とする

(1)cos3θ=cos4θをみたすとき
x=cosθ　となる４次方程式を求めよ

(2)x=cosθ となる３次方程式を求めよ

(3)a b の値を求めよ

43より小さくて43と互いに素な自然数の個数は？

41

>>8
面白い
tan2x=2tanx/(1-tan^2x)
∴tanx=1/tanx-2/tan2x
∴Σ[k=1,n]2^(k-1)tan2^(k-1)a
=Σ[k=1,n](2^(k-1)/tan2^(k-1)a-2^k/tan2^ka)
=1/tana-2^n/tan2^na

読みにくいっす

>>15
存在しなくないか？

(1)1/3=0.33333333･･･
Ans*3=1
について間違いを指摘せよ
(2)1+1=2を証明せよ
(東工大)

軸が互いに直交する2つの放物線が、異なる4点で交わっているとき、4つの交点は同一円周上にあることを証明しなさい。

>>25
これはなかなかの良問だな

このスレから知的な何かを感じられる

結構有名問題じゃない？2次曲線は計算がめんどくさいだけでかんたんだし

計算は要らない問題だよ
理解が問われる

>>25
学コンにあったような...

一般論に関して厳密に記述するのはだるいが、束を使えば良いってことは分かった。

解答くれよう
お前らだけ分かった気になって分かんない奴はどうすればいいんだよう

1．2つの放物線を、一般性が失われない範囲で設定する。
たとえば、放物線の一方をy=ax^2としても一般性を失わない。

2．2つの放物線の方程式を f(x,y)=0 ―(1)，g(x,y)=0 ―(2) とすると
p{f(x,y)}+q{g(x,y)}=0 ―(3) は2つの放物線の交点を通る図形になる。

3．(1),(2)が4つの解をもつとき、(3)が円の方程式を表すような実数p,qが存在することを示せばいい。

と思う。

二つの放物線をy=ax^2+bx+cとx=dy^2+ex+fと置いて
前者をaで割った式と後者をdで割った式を辺々足して終わりじゃね

13cm幅の長い紙がある。
この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？

>>34
半径が>0であることを言っておくべきかな
殆ど自明だけど、ここもポイントかと
（計算は不要）

>>36
なら実数の解を持ってるから半径＞0と付け加える

>>24これはネタ？
適当に考えてみた

(2)

1+1≠2と仮定し、1+1=a･･･�@,(a≠2)とおく

両辺を2乗して

a^2=(1+1)(1+1)
=1+1+1+1
=2a

a(a-2)=0

a≠2よりa=0

これを�@に代入して

1+1=0
∴1=-1(矛盾)

よって1+1=2

サイコロをｎ個同時に投げる時、出た目の数の和がｎ＋３になる確率を求めよ。

〔京都大〕

>>39
1/3n+3かな

>>38
＞a^2=(1+1)(1+1)
＞=1+1+1+1
＞=2a
二行目から三行目でa+a=2aを使ってるぜアニキ
この証明は大学でやるらしいんだがｗ

>>41
あああﾎﾝﾄだすまない

x^2+y^2=4(x,yは実数)のもとで
2x+yの最大値、最小値を求めよ。

解法1　「円には三角」を用いる

１+１=２なんて証明試験時間内に不可能だろｗ

自然数の定義だろ

解法2　「１次式には内積」を用いる

ペアノの公理関係以外にも＋とかの定義とかについても議論しないといけないんじゃね？良くわからんけど

>>43
なにこれ流石にナメすぎだろ

出題オナニーくんはさくら教研の工作員だろ。
入試に出ないような愚問ばっかりのテキストを、法外な値段で販売。
まさにTHE悪徳商法。

数学板の東大作問スレとかオヌヌメ 今はどうか知らんけど

相変わらず東京出版工作員のインターネットを使った攻撃が続いている。

大変だな頑張って倒せよ笑

>>39
サイコロをn個振った時点で目の合計は最低でもn

残り3をn個に振り分ければいいから、その場合の数はn+2C3通り
また全事象は6^n通り
よって求める確率は
(n+2)(n+1)n/6^(n+1)

これで合ってるかな？

空間内の相異なる４点A,B,C,Dについて、
不等式∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB≦360゜が成立することを証明せよ

pは7以上の素数とする。

(1) (10^k)-1 が p で割り切れるような自然数kが存在することを示せ。

(2) (1)の k の最小値を n とする。また n は偶数とし n=2m とおく。
このとき、 10^m をpで割った余りを答えよ。

(1) フェルマーの小定理より明らか。

(2) (10^2m)-1 = ((10^m)-1)((10^m)+1) ≡ 0 (mod p)
⇔ (10^m)+1 ≡ 0　(∵ 2mは 10^k-1≡0 をみたす最小のk)
⇔ 10^m ≡ -1 ≡ p-1

以下の命題を真にする無理数 a, b は存在するか。

命題： a^b は有理数である。

>>57

√2^√2 が有理数ならば、
a=b=√2 は題意を満たす。

√2^√2 が無理数ならば、
(√2^√2)^√2=2 より
a=√2^√2, b=√2 は題意を満たす。

>>54

>>56
フェルマの小定理等（他にも最小値・最大値を求める際にLagrangeの方法とか）、
高校で扱ってない定理を大学入試で使っても良いのでしょうか（減点が心配です）

09年の東大前期の問題にフェルマーの小定理が出題されてる
過去には京大・慶大・奈良女(後期)でも出題されてます

ある国立大学の数学の先生に、入試でロピタルの定理を使ったら減点しますか？と聞いたら
正しく使えば減点しないと言ってた

>>61さんへ
60です。　書き方が悪かったです。
>フェルマの小定理等（他にも最小値・最大値を求める際にLagrangeの方法とか）、
>高校で扱ってない定理を大学入試で使っても良いのでしょうか（減点が心配です）

問題を解くときに、高校で扱ってない定理を証明なしで使ってよいのでしょうか？

さぁ知らない
フェルマーの小定理を証明する問題しか入試では出題されてないと思うが

>>43

解法4　「ラグランジュの等式」を用いる

フェルマーの小定理を使うと明らかな命題を証明するのにフェルマーの小定理を使って良いわけあるまい

x^2+y^2=4(x,yは実数)のもとで
2x+yの最大値、最小値を求めよ。

解法5　「コ−シー・シュバルツの不等式」を用いる

どう用いるの？

2x+y=(2,1)･(x,y)と内積でみるやつだっけ？

ラグランジュの等式ってなんだ？

解法6　「図形上で共有点があること」を用いる

>>67
入試において、コーシー・シュワルツの不等式を自明なものとして、使ってよいのでしょうか
減点とかないのでしょうか？

x^2+y^2=4(x,yは実数)のもとで
2x+yの最大値、最小値を求めよ。

解法7　「元になった数がありさえすればよい」を用いる

なになに＞2

逆手流?

>>38と>>41

ａ^2＝４から
ａ＝±２で
題意に沿うのは２のみ
じゃダメかな？
新年早々バ回答ですみません

>>76
a^2=4は導けません。
1+1+1+1=4とは言えないよ。

>>77
76だよ

あ、そっか。画期的(スマート)な解法教えてくれ

だから「1とは何か」「2とは何か」ってところから掘り起こさないと無理だって。
「1とは何か」→「最初の自然数である」
「2とは何か」→「1の次の自然数である」
「1の次の自然数は2の他に存在しないのか」→「しません」
「＋1とは何か」→「次の自然数を導く規則である」

別解って色々あるんだな

放物線C:y=(x^2)+ax+bが点(1,1)と点(2,2)を結ぶ線分Lと共有点を持つとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

オーソドックスな解法は、Lの方程式とCの方程式を連立して、1≦x≦2に解をもつ条件をもとめる、
いわゆる解の配置の問題にもちこむというものだが、こういう発想は、どこから出てくるのか？

10人の留学生がいる。
彼らは、英語・フランス語・ドイツ語・中国語・スペイン語のうち
いずれか2つの言語を話すことができ、 話せる2つの言語の組合せは
各人ですべて異なっている。
この10人を、2人ずつの5組に分け、どの組の2人も共通の言語で
会話できるようにしたい。
組み分けの仕方は何通りあるか。

>>82　言葉で書くのは辛いけどやってみた、自信はない

言語をA,B,C,D,Eとし、留学生は話せる言葉でAB等とあらわす。
　(1)A,B,C,D,Eすべてが共通になるとき
言語Aを共通とする組みの作り方が4C2通り。これをAF,AGとする。
留学生FGが共通に使う言語はFかGかいずれかで2通りだが、
改めて共通に使うほうをH,そうでないほうをIとする。
そして留学生FG改めHIと組になる留学生をHJとするとJが2通り。
残りは自動的に決ってしまう。実際、A,H,I,J以外の言語をKとすると、
IJとIK、JAとJK、KAとKHとするしかない。
よってこの場合は4C2・2・2=24通り。
　(2)一つの言語が2組で共通に使われるとき
どの言語が2組で使われるかで5通り。この言語をLとすると、
Lを使う留学生の組み方が4C2/2通り。
残り6人はL以外の4つの言語を2つずつ使える。
共通に使われるのは3つの言語が一組ずつとなる。
あぶれる言語Mが4通り。残りをN,O,Pとすると、
留学生MN,MO,MPの相手の割り当て方が2通りとなるから、
この場合は5・4C2/2・2・4=120通り。
　以上(1),(2)より計144通り

>>83
正解だと思います。
（１）の自動的に決まるところが美しい！

a.bをそれぞれ正の整数(ただしa≧2)とし、aとbの最大公約数をcとする.
自然数dに対して、整数bdをaで割った余りをeとする
このとき" Σ(d=1 to a-1) e "をaとcの式で表せ.

>85
どうでしょ？
a=fc, b=gcとおくとf, gは互いに素。
bdをaで割った商をqとするとbd=aq+e (0<=e<a)だが、
gcd=fcq+e よってeもcの倍数でe=chとおけて、0<=h<f。
したがってhはgdをfで割ったあまりとなる。
Σ(d=1 to a-1) e=Σ(d=1 to a) eであるが、
f, gは互いに素だからgd==gd'(mod. f)⇔d=d' (mod. f)であり
d=1,..,a=fcと変化する時、hは0,1,..,f-1をc回ずつ取る。以上より
Σ(d=1 to a-1) e=Σ(d=1 to a) ch=c^2(1+2+...+(f-1))
=(c^2)f(f-1)/2=a(a-c)/2

x > 0，y > 0 のとき、z=(x-y)/(x+y) の値域を求めよ。

(解法1)
y > 0より、分子分母をyで割り、x/y=t とおくと、t > 0。
z=(t-1)/(t+1)
z'=2/(t+1)^2 > 0
lim[t→0]z→-1，lim[t→∞]z→1
以上から、-1 < z < 1

(解法2)
z=(x-y)/(x+y)
は点(x,x)と点(-y,y)を結ぶ線分の傾き。
よって、-1 < z < 1

(解法3)
zが値域に含まれる。
⇔(x-y)/(x+y)=z　かつ　x > 0，y > 0 を満たす(x,y)が存在する。
⇔直線y=(1-z)x/(1+z) が第一象限を通る。
⇔ -1 < z < 1

(解法?4)
x > 0，y > 0より、x+y>x-y
∴ -1 < z < 1
ｘ≫yとすると、z≒x/x=1
x≪yとすると、z≒-y/y=-1
以上から、-1 < z < 1

(解法?5)
u=x+y,v=xyとおいてv>0よりz^2=1-4v/u^2＜1となる。
したがって-1<z<1を得る。
またxに対してy=1/xとおくとu=x+1/x,v=1となってzは±1にいくらでも近くとれる。
zはx,yについて連続なのでその間のすべての値をとる。

>>18
良問乙

cos4θ-1=-2(sin2θ)^2=-2(2sinθcosθ)^2=8(x^2-1)x^2
cos3θ-1=4x^3-3x-1
∴cos4θ-cos3θ=8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)
(1)8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0
(2)8x^3+4x^2-4x-1=0
(3)θ=2π/7,4π/7,6π/7はcos3θ=cos4θを満たすから、
x=cos(2π/7),cos(4π/7),cos(6π/7)は8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0の
1でない解で、8x^3+4x^2-4x-1=0の解となる。
これらは互いに異なるから8x^3+4x^2-4x-1=0の３解であり、
解と係数の関係から、a=-1/2, b=1/8。

良スレ保全age

頭の体操だ。全部解けるかな？

Rの任意の2つの元 a，b に対して、演算 a+b∈R，ab∈R が定義され、以下の(1)〜(10)の条件をみたす。

(1) a+b = b+a
(2) (a+b)+c = a+(b+c)
(3) 任意の a∈R に対して a+0=a をみたす 0∈R が存在する。
(4) 任意の a∈R に対して -a∈R が存在して、a+(-a) = 0 をみたす
(5) ab = ba
(6) (ab)c = a(bc)
(7) a(b+c) = ab+ac
(8) 任意の a∈R に対して a1=a をみたす 1∈R が存在する
(9) 0でない任意の a∈R に対して a^1∈R が存在して aa^-1 = 1 をみたす
(10) 1≠0

このとき、次の(i)〜(xi)が成り立つことを示せ。

(i) 条件(3)をみたす 0 はただ1つ
(ii) 条件(4)をみたす -a は 各 a に対してただ1つ
(iii) -(-a) = -a
(iv) 0a = 0
(v) (-1)a = -a
(vi) (-1)(-1) = 1
(vii) a(-b) = -(ab) = (-a)b
(viii) (-a)(-b) = ab
(ix) ab = 0 ⇒ a = 0 or b = 0
(x) (-a)^-1 = -(a^-1)
(xi) (ab)^-1 = (a^-1)(b^-1)

>>90
誤： (9) 0でない任意の a∈R に対して a^1∈R が存在して aa^-1 = 1 をみたす
正： (9) 0でない任意の a∈R に対して 『a^-1∈R』 が存在して aa^-1 = 1 をみたす

誤： (7) a(b+c) = ab+ac
正： (7) a(b+c) = ab+ac，(a+b)c = ac+bc

（続き）
任意の a,b∈R に対し、a≦bは、任意の a,b,c∈R に対して次の(11)〜(16)をみたす。
(11) a≦a
(12) a≦b かつ b≦a ⇒ a = b
(13) a≦b かつ b≦c ⇒ a≦c
(14) a≦b または b≦a の少なくとも一方は成り立つ
(15) a≦b ⇒ a+c≦b+c
(16) a≧0 かつ b≧0 ⇒ ab≧0

(1)〜(16)の条件から次の(i)〜(vi)を示せ。ただし、a≦b かつ a≠b を a＜bと表す。

(i) a≦b ⇔ 0≦b-a
(ii) a≦b ⇔ -b≦-a
(iii) a≦b，c≦0 ⇒ bc≦ac
(iv) 0＜a ⇒ 0＜a^-1
(v) a≦b かつ c≦d ⇒ a+c≦b+d
(vi) a≦b かつ c＜d ⇒ a+c＜b+d

こんなの出たら焦る

(i) 0'=0'+0=0
(ii) (-a)'=(-a)'+0=(-a)'+a+(-a)=-a

ここまでできた

(iii) -(-a)=-(-a)+0=-(-a)+a+(-a)=a
(iv) 0a=(0+0)a=0a+0a ∴0a=0
(v) (-1)a=-(1a)=-a
(vi) (-1)(-1)=-(1(-1))=-(-1)
(vii) a(-b)=(-b)a=-(ab)=(-a)b

ここまで解いた。(v)と(vii)が自信ない。

>>53
√3^log√3(2)とかどうよ

ワケワカンネｗ
どういった層向けの問題ですか？

>>90-91
気持ちは分かるが受験板で出すのはどうかと．

数学板の東大入試作問スレレベル
頭の体操になりますなｗただ、習ったことをいろいろ試す入試問題とは一線を画すか・・・

マジレスすると、『解析入門�T（東大出版）』の問1と問2。そんなにむずかしくないだろ・・・。

等比数列の問題です

初項3、公比1.2の等比数列について
（１）初めて20をこえる項は第何項か
（２）初めて和が200をこすのは第何項か

（１）ができたらおそらく（２）もできるので
最初だけでも解説お願いします

3、3×1.2、3×1.2×1.2、3×1.2×1.2×1.2
って、順番に計算していって、最初に２０を超えるところを探せばOKだよ！

>>101
それも考えたのですが
これが50を超えるとかになると自力じゃきつくなってくるので
何かほかに計算式があるのか気になったのです

自分で計算して
(6/5)^n>8
ここまではいくことができました

っ 対数表