＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part92＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/


前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part91＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1253207277/

P(x)をx-2で割るとあまり3
(x-1)^2で割るとあまり2
では(x-2)(x-1)^2で割るとあまりは？

という問題で答えが-x^2+3x+1となっているのですがどうしてでしょうか？
ちなみに自分で出した答えはx^2-2x+3です

>>2
自分でやったやり方を書いて（具体的に）。

乙

>>2
お前が正しい。
答えは間違っていると思われる。
ってゆーか、解答はないのか？

>>2
(x-2)f(x)+3=(x-1)^2g(x)+2
(x-2)f(x)-(x-1)^2g(x)=-1
x(x-2)-(x-1)^2=-1
(x-2)(f(x)-x)-(x-1)^2(g(x)-1)=0
(x-2)(f(x)-x)=(x-1)^2(g(x)-1)
f(x)-x=(x-1)^2h(x)
g(x)-1=(x-2)h(x)
(x-2)f(x)+3=(x-2)((x-1)^2h(x)+x)+3=(x-2)(x-1)^2h(x)+(x-2)x+3=(x-2)(x-1)^2h(x)+x^2-2x+3

>>3>>5
>>6さんのやり方でした。あっててよかった。
ありがとうございました。わかりにくい質問ですみませんでした。
次から気をつけます。

四面体の1つの頂点から各頂点へのベクトルを3つ設定して
1つの点のベクトルの式をその3つのベクトルを使って2つ作ってそれを係数比較するのは可能なんでしょうか？

>>8
問題書いて

>>8
何言ってるかさっぱり‥

具体的な問題書いてみ

>>8
可能です。
ベクトルの一次独立の話だよね。
3次元は2次元の自然な拡張になってます。

f(x)=sinx、-π/2<x<π/2、逆関数f^-1(x)について
x実数にて、y=f^-1(sinx)の関数ってy=xだが、このxの範囲って-1<x<1に変わるよね?
後(2)mを自然数とするときf^-1(sinx)=x/(2m)の正の解の和を教えて下さい

>>12
f^(-1)(sinx)ならxの範囲は実数全体です
またf^(-1)(sinx)≠xです
f^(-1)(f(x))ならxの範囲は元の-π/2≦x≦π/2であり
その範囲においてf^(-1)(f(x))=xです

>>12
>後(2)mを自然数とするときf^-1(sinx)=x/(2m)の正の解の和を教えて下さい
sinx=sin(x-2nπ), -π/2+2nπ≦x≦π/2+2nπ
sinx=sin(π-x+2nπ), π/2+2nπ≦x≦3π/2+2nπ
f^(-1)(sinx)=x-2nπ, -π/2+2nπ≦x≦π/2+2nπ
f^(-1)(sinx)=π-x+2nπ, π/2+2nπ≦x≦3π/2+2nπ
x/(2m)=±1 ⇔ x=±2m
π/2+2nπ<2m
n<m/π+1/4を満たす最大のnをあらためてnとすると
0≦k≦nであるkに対して
x-2kπ=x/2mよりx=4kmπ/(2m-1) （k=0は除く）
π-x+2kπ=x/2mよりx=(4km+2m)π/(2m+1)
よって求める正の解の和は
Σ[k=1, n]4kmπ/(2m-1)+Σ[k=0, n](4km+2m)π/(2m+1)=2mn(n+1)π/(2m-1)+2m(n+1)^2π/(2m+1)=2m(n+1)(4mn+2m-1)π/(4m^2-1)

f(x)=e^x＋e^(-x)−ax^2−2の時、次の問いに答えよ。（広島）
(1)1≧aの時、全ての正の数xに対してf(x)>0であることをsyoumeiせよ。
(2)f(x)>0が全ての正の数xに対してなりたつような定数aの最大値は1であることを証明せよ。

(1)は二回の微分で証明できたのですが、(2)がよくわかりません・・・。
お願いします。

>>14
>x/(2m)=±1 ⇔ x=±2m
>π/2+2nπ<2m
>n<m/π+1/4を満たす最大のnをあらためてnとすると
x/(2m)=±π/2 ⇔ x=±mπ
π/2+2nπ<mπ
n<m/2+1/4を満たす最大のnをあらためてnとすると

>>12
>後(2)mを自然数とするときf^-1(sinx)=x/(2m)の正の解の和を教えて下さい
-π/2≦f^(-1)(x)≦π/2より
-π/2≦x/2m≦π/2
-mπ≦x≦mπ
f(f^(-1)(x))=xより
sinx=sin(x/2m)
x-2kπ=x/2m, π-x+2kπ=x/2m
(2m-1)x=4mkπ, (2m+1)x=2m(2k+1)π
x=4mkπ/(2m-1), 2m(2k+1)π/(2m+1)
0<4mkπ/(2m-1)≦mπ
0<k≦m/2-1/4
0<2m(2k+1)π/(2m+1)≦mπ
0≦k≦m/2-1/4
以下同様

>>12ですが、前半の部分がわからないので教えて下さい

>>15
f'(x)=e^x-e^(-x)-2ax
f''(x)=e^x+e^(-x)-2a≧2-2a≧0
(f''(x)=0はa=1かつx=0のときのみ)
f'(x)は単調増加でありf'(0)=0より
x<0でf'(x)<0
x>0でf'(x)>0
よってf(x)≧f(0)=0
(f(x)=0はx=0のときのみ)

a>1であるときf''(0)=2-2a<0であるので
f''(x)の連続性より
-ε<x<εにおいてf''(x)<0となる正数εが存在する
この範囲でf'(x)は単調減少であるので
f'(0)=0より
-ε<x<0でf'(x)>0
0<x<εでf'(x)<0
よって0<x<εでf(x)は単調減少となり
0<x<εでf(0)=0>f(x)

>>19
迅速な回答ありがとうございました！

arcsin(sinx)=xになると思ってるので
とにかく実数全体になるかがわからないです

質問させていただきます。http://imepita.jp/20091104/824400
この計算の成り立たない箇所と理由を教えて下さい。お願いします。

>>18
y=f(x)=sinx, -π/2≦x≦π/2, -1≦y≦1
f^(-1)(y)=x, -1≦y≦1, -π/2≦x≦π/2
すべてのxにおいて-1≦sinx≦1なのでf^(-1)(sinx)の定義域はすべての実数
f^(-1)(sinx)=z, -π/2≦z≦π/2と置くと
f(f^(-1)(sinx))=f(z)
sinx=sinz
xに対し上式を満たす-π/2≦z≦π/2の範囲のzは
z=x-2nπ, -π/2+2nπ≦x≦π/2+2nπ
z=π-x+2nπ, π/2+2nπ≦x≦3π/2+2nπ

>>21
>arcsin(sinx)=xになると思ってるので
なりません

>>22
(log[2](4x))(log[2]x)≠log[2](4x^2)

>>25
解答ありがとうございます。
理由とか説明可能ですか？

>>26
x=1のとき左辺は0右辺は2です

>>27
ありがとうございました！

<<12ですが、
f^(-1)(sinx)のグラフは実数全体になるが-2/π<x<2/πの範囲ではy=xになると考えて大丈夫ですか?

質問させていただきます

u=2(x)^(1/2)+(y)^(1/2)に
x=4mb/a(a+4b), y=ma/b(a+4b) を代入すると、
u=[m(a+4b)/ab]^(1/2)

簡単な問題なのかもしれませんが
代入後の途中式が分かりません...教えてください

>>29
それで結構です

>>30
m, a, b>0すなわちx, y, u>0でよろしいですね？
x, y>0であるときx^(1/2)y^(1/2)=(xy)^(1/2)およびz>0であるとき(z^2)^(1/2)=zとなりますので
u^2=4x+4(xy)^(1/2)+y=16mb/(a(a+4b))+4(4m^2ab/(ab(a+4b)^2))^(1/2)+ma/(b(a+4b))=16mb/(a(a+4b))+4(4m^2/(a+4b)^2)^(1/2)+ma/(b(a+4b))=16mb/(a(a+4b))+8m/(a+4b)+ma/(b(a+4b))=(16mb^2+8mab+ma^2)/(ab(a+4b))=m(a+4b)^2/(ab(a+4b))=m(a+4b)/(ab)
u=(u^2)^(1/2)=(m(a+4b)/(ab))^(1/2)

>>32
ご丁寧にありがとうございます！！
凄いきれいにまとまりますね！
ホントに困ってたんです。時間もなくて・・
勉強頑張れそうです！先生ありがとうございました！

http://imepita.jp/20091105/142360　１
http://imepita.jp/20091105/131530　２

この問題教えてください。

本質の研究・本質の解法・大学への数学�T
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1239215015/

このスレの>>890さんの質問にも良かったら答えてあげて
質問スレに書きそびれたみたいだから

>>35
問題書いて

>>35
マルチじゃねえか

35だけど
マルチにならないように問題書かなかったのに
これでマルチじゃ成り立たないよ

>>36
問題書いて良いなら書くけど・・・

>>38
数学板とマルチ

>>35
1/(1/x)=xかどうかと同じことです

>>40
なんかわかるけど、わかんない。そんな風に考えるしかないの？

>>35
そのスレの890だけど、ありがとう。

>>41
左辺は x=0 では定義されていないのでは？

>>43
当たり前だろ
それと同じだと言ってるだけ

>>43
右辺を左辺に変形するには条件が必要ってこった。

>>44
「それ」ってなんのことよ

>>46
>>35のことだろ

質問です
今合同式って学校で習いますか？

確率の最大を求める問題で出てきたのですが、
≧
＜
↑を一行にしたような記号は何を表すのですか？

文脈で理解しろ

a＞0とする。項数３の２つの有限数列4,a,bおよびb,c,36はともに等比数列であり、a,b,cは等差数列とする。a,b,cの値を求めよ。

答えでは
a^2=4b
c^2=36b
2b=a+c
からa=8,b=16,c=24
となっていて、数列の順番を考えないと思うのですが、これでいいのでしょうか。
問題には『この順に』とか書いてないので、数列の順番も考えるべきだと思ったのですが…。
どなたかお願い致します。

数列は数を並べたものなので
数列a,b,cは等比数列をなす、と書いてあったら順番は考えなくていい、しかし
３数a,b,cは等比数列をなす、と書いてあったら順番も考えなくてはいけない
となっていたはずです。

1000+aが100+aで割り切れるときのaの値を求めよ。
ただしaは0<a<100なる整数である。

方針すら掴めません。
どなたか解法教えて下さい。
よろしくお願いします。

２以外に偶数で素数が存在しないって事を証明無しに言っても大丈夫だろうか?

2以外の偶数は、2を因数に持つので素数になりえない
の一行加えたらいいと思うけど

>>54
大丈夫

>>53
商は１０以下だから虱潰ししたくなった、効率がいいかは分かりませんが。

>>56
ありがとうございます。
どのようにして虱潰しでやっていくのかがわかりません。
詳しく教えていただけませんか？

aに具体的数値入れていったらわかるんじゃない？
4個分くらいやってみて何もつかめなかったらそれは捨て問

>>54だが、回答ありがとうございました

>>57
素直にやるなら
1000+a=k(100+a)をみたす2以上の整数kが存在する
aについて書き直すと
a=100(10ｰk)/kｰ1
ところで0<a<100だったからkは2〜9の整数のいずれか
あとはそれぞれのkについてaの値を求めてみよう

てかこれ小学生向けの問題みたいだね

bを整数とすると
1000+a=(100+a)bと書ける。
これを変形すると
ab-a+100b-1000=0
よって(a+100)(b-1)=900と変形できる。
ここで右辺を素因数分解すると(2の2乗)(3の2乗)(5の2乗)となる。
ここでいまaの条件0<a<100から
100<a+100<200となることから、
a+100は5*5*3*2か5*3*3*2*2しかありえない。
a+100=5*5*3*2=150のとき　a=50,b=6
a+100=5*3*3*2*2=180のとき　a=80,b=5
これでよいでしょうか。
ひさしぶりに数学しました。

>>58>>60>>61
皆様ありがとうございます。
助かりました。

>52
そのような決まりがあったのですか。
どうもありがとうございました。

｢数列a,b,c｣といえばその順番で固定
｢3数a,b,c｣といえばその順番は任意(自由)
いや>>52の言い方が紛らわしいような気がしたので

合同式の和の法則とかって合同式の定義を書けば証明無しで使ってもokだよな?

4次方程式:(x^2+4x+a)(x^2+ax+4)=0が相異なる4実解をもつような
実数aの範囲を求めよ
またそのときのaに対して,x^2+4x+a=0の解をγ、δ(γ<δ)
x^2+ax+4=0の解をα,βとするとき(α<β)
α、β、γ、δを大小の順に並べよ

という問題を教えてください
前半部分はまぁ普通にとけるとして
後半部分の解の大小関係がよくわかりません
お願いします

>>66
aの範囲ってどうなるの？

>>61
質問者じゃないけどこれのbは合ってますか？代入しても違うような。

ちょっとしたミスでしょ？
(a,b)=(50,7),(80,6)だね

>>66
γ＜0＜α＜β は自明。
-5＜a＜-4、a＜-5 で場合分け。

数列の問題で
ａn＝８・３のｎ−１乗。【初項８公比３】だったら、Σk=１からnまでの(ａの第k項＋４k−２)のａの第k項ってａnにkを代入した８・３のk−1乗ですよね？
センター面白いほどの問題で2006年以降の本試のどれかなんですが、意味不明すぎて泣きたいです。
誰かお願いします

一息ついて次の問題に取り掛かろうとしたらまた意味不明でした。

２、４、６、８…

連続して並ぶ５項のうち、初めの３項の和が次の２項の和に等しければ５項のうち中央の項は○○である。
解答は中央の項をａと置きます。ですが中央の項を２ｎとした僕はバカなんでしょうか

>>72
いえ、利口です、がんばれ

>>72
数学板とマルチ

URLのない指摘なんかしてると答えちゃうぞ

マルチした本人は言わずもがなだが
>>75氏がマルチを捜せないネット初心者 ということは分かった

>>71
そのとおりです

>>53
これ今回の河合東大オープンだな

こんな易しいのが出てるのか、これで一つの大問って事はないよな

>>53
1000+a=900+100+aから考えちゃダメなんか？

質問させていただきます
http://imepita.jp/20091108/602250
この計算で成り立ち得ない箇所を教えて下さい。

>>80
それいいな

>>82とりあえずワックススレ行ってこい。
神に成れるぞ

>>81
log(-x)=-logxなんて公式は無い
それに真数条件も意識しないと

>>79
これが(1)
(2)は10^(n+1)+aと10^n+aで一般化
点数のとりどころかな、全体的に易しかったみたいだけど

>>84
ありがとうございます！

>>85
お、ありがとう

数学に関して2乗するときに両辺が正であることを確認しなければいけないのはなぜですか？

問題を書いたほうがよいかと。

あえて答えると「同値性がくずれるから」

ありがとうございます
同値性がくずれたら2乗するとまずいのですか？

あと
5進法で表された数2314を10進法であらわせ
10進法で表された数567を5進法であらわせ
がどうやっていいのかわかりません　
まず進法がよくわかりません
お願いします

問題を書かないとなんともいえないです。


進法については教科書または参考書を読んだほうがよろしいかと。
本のほうが２ｃｈでの答えより体系的かつ洗練された文で書かれているので。

>>90
((2・5+3)・5+1)・5+4=334
567÷5=113...2
113÷5=22...3
22÷5=4...2
4232

…ある連続した二つの正の整数を掛け合わせると10000の倍数となる。二つの整数を求めよ。ただし二つの整数は1から999までとする。

2^4と5^4を使って解くという発想すら浮かばず答えを先に知ってしまいましたが、どうやって解いていくのかがわかりません。お願いします。

>>93
素因数で考えることがわかればもう終わったも同然じゃないか。

積は5＾4と2＾4を素因数として持っていなければならない。連続した二つの正整数が
ともに5の倍数であることはありえないから、解があるとすればその一方は5＾4を
素因数として持つ。

ところが5＾4=625であるから、これを2倍するとすでに指定された範囲を超える。
従って解が存在するとすれば一方は625でなければならない。その前後の数を
考えると626は2^1しか持っていないので不適、624は2＾4*39と書けるので条件を満たす。

>>94
マルチにマジレスブギャー 、と自己レスしてみる。

>>94
マジレスサンクス。
もうだめだ高1の範囲からやり直すわ

>>93
10000=2^4・5^4がn(n+1)を割り切るため
nとn+1の何れかは2の倍数何れかは5の倍数である
nとn+1は隣り合う2数であるので一方が2の倍数であれば他方は2の倍数ではなく一方が5の倍数であれば他方は5の倍数ではない
よってn, n+1の2べき5べきに関して次の4通りとなる
nの2べき, 5べき, n+1の2べき, 5べき
0, 0, 4+, 4+
0, 4+, 4+, 0
4+, 0, 0, 4+
4+, 4+, 0, 0
（ここで0はべきを含まないこと、4+は4つ以上のべきを含むことを意味する）
最初と最後はnもしくはn+1が10000の倍数となるため題意を満たさない
2つ目の場合はnは5^4=625の倍数でありn≦999よりn=625
n+1=626は2^4=16の倍数ではないので不適
3つ目の場合は上記と同様に考えてn+1=625でありn=624は16の倍数であるため適
n=624

まず、10000=2^4・5^4というのが浮かばないです。終わってますか…？

>>98
勉強不足
終わってるんじゃなくて始まってさえいない
一年必死にやってから終わってるか考えたらいいよ

ひらめきが欠けてるのか、日頃数学に慣れ親しんでいないからか、どちらかだと思っていた。>>99ありがとうございます。

>>90ありがとうございます
1/2-X=√X^2+Y^2
X^2+Y^2は√のなかです

「両辺を２乗するときになぜ左辺は正で右辺も正だからXの範囲は〜」と言わなければいけないのですか？
言わないとまずいですか？

>>91
やり方はわかりましたが何故そんなことをするのかがよくわかりません
教えて下さい

2以上の自然数に対し、nとn^2＋2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ
という問題に関して質問です
解説で
「n=2と3を調べた後で他は3の倍数が出てくるからだめ。だから3でわったあまりで分類する。」
とありました
しかしなぜ
「他がだめな理由は3の倍数が出てくるからだめ。
だから
3で割ったあまりで分類する。」
という発想につながるのですか？
ここが納得いきません
お願いします

>>102
3の倍数がでてくるからダメ
↓
n=3のとき以外はn^2+2はすべて3の倍数になるのではないかと予想
↓
n=3のとき以外はn^2+2はすべて3の倍数になることを示そう
↓
nを3で割った余りで分類

最後のところがよくわからないのかも知れないが、
mの倍数であることを示す場合にmで割った余りで分類するのは常用の手段。

＞ここが納得いきません

じゃなくて「ここが理解できません」だろ。
まあ、解説が>>102の通りなら悪いと言えば悪いが。

n≡±1 (mod 3) ⇒ n^2≡1 (mod 3) は頻出。
これをもじってるだけ。

>>102
何に納得がいかないのかをもっとわかるように書くべき

３で割った余りに着目することに対してなら上で誰かが書いてるように定石

３の倍数になることになぜ気づくのかなら、具体的な数値で実験すると見えるバズ

n=9のときn^2+2は素数
nが素数じゃ無いけどw

nが偶数ならn^2+2は素数では無い
よって題意を満たし得るnはkを自然数として
n=2k+1
と置ける。また、nが3を超える3の倍数のときも題意は満たさないから
k≠4,7,…,3l+1(lは自然数)
そこで、(上記以外の場合、すなわち)
k=3l+2,3l+3
の場合を考えればよい。そのとき
n^2+2=…=4k(k+1)+3
で、k(k+1)は3の倍数となるからn^2+2も3の倍数となる。
…
よって題意は示された。
ってな感じならわりと自然じゃ無かろうか？

>>103
ありがとうございます
mの倍数であることを示す場合にmで割った余りで分類する
は定石なんですか、知りませんでした。解説でいきなり言われてえっとなってしまいました
でもmの倍数であることを示す場合にmで割った余りで分類する発想になる理由がわかりません
お願いします
>>104
ありがとうございます
modは予備校の先生が使わない方がいいと言ってたのでよくわかりませんが
解説は>>102のようにされました。質問しに行きましたがよくわかりませんでした。
>>105
ありがとうございます
わからないところはその定石
「mの倍数であることを示す場合にmで割った余りで分類する」発想になる理由です
習ったこともない発想だったので理解できません
>>107
ありがとうございます
k≠4,7,…,3l+1(lは自然数)
そこで、(上記以外の場合、すなわち)
k=3l+2,3l+3
の場合を考えればよい。
はなるほどと思いました

自分で考えたのですか
n=2がだめ、n=3が成立を示した後に
nが3の倍数が明らかに素数ではないので不適で残りは
nが3で割って1余るか3で割って2余る数しかないから
それぞれ計算してだめということを証明してnは3のみと答える発想を
さっき思いついたのですがどうでしょうか？

長文すみません

>>108
おっしゃる通り
それが一番自然な解法でしょう
変な解法ですまんかった
ただついでに言えば、>>104さんの言われたことを、勉強してる人達は知ってるので
見通し良く最短距離で正解を導けるわけですね
知っておいて損の無い知識かと思います

>>108
> さっき思いついたのですがどうでしょうか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1256380893/703
ここで即レスをもらっているが、別人？

なぜ、そういう発想をするのかは、そうするとうまくいくから。
nの多項式についてmで割った余りを考えるとき、nをmで割った余りで分類すれば、
余りだけを計算すればよい（要するに合同式）。
例えば、mが3の場合、3で割った余りで分類するとnは3a、3a+1、3a+2とおける。
nについての多項式に実際にこれらを代入して展開してみれば、
3aを因数に持つ部分は3で割り切れることから、3aを因数に持たない部分、
つまり、余りの部分だけみればよいことがわかる。

自然数列に関する問題です

ｎを正の整数とする。ｎ個の自然数１，２，３，……，ｎを、和の等しい３つ
のグループに分けることができるようなｎの満たす条件を求めよ。

>>111
3m+2、3m+3のとき（mは正の整数）。

証明は帰納法しか思いつかなかったし、それもかなり不細工ｗ

>>113 はこんな感じ?
3の倍数+1の形が不適であることはすぐ示せる。2,3のときダメなこともすぐ示せる。
5,6,8,9のとき上手くいくことを具体的にグループ分けして示して、あとはそれぞれに
6足したとき(n+1、n+6) (n+2、n+5) (n+3、n+4)を3グループに割り振れば和が
等しい状態を保てる、として数学的帰納法へ。

試験時間内に出す必要がある解答としては、時間コストの点では悪くないと思うけど。

>>114
そのほうが美しいな。

考えたのは、
5、6で示す。
成り立った場合、連続するm、m+1で別々の組に入っているものが必ずあるので
（なかったら、全ての数が同じ組に入っていることになってしまう）、
それらを入れ替え、m+1が入った方にn+1、mが入った方にn+3、残りの組にn+2を入れれば成り立つ。
不細工でしょ？ｗ

>>115
お見事だよ
数学専攻？

>>111
京大プレの問題だな

3つの座標が直線に並んでいるかどうかを確かめる計算式を書きたいのですがどのような書き方があるでしょうか

三点をABCとすると
ＡＢベクトル＝ｋＡＣベクトルとなるｋが存在するなら3つの座標が直線に並んでいる

三次元でも使えるし計算ミスしにくからこの書き方がいいと思う。

>>110
ありがとうございます
別人です

>>109
ありがとうございます
mの倍数になるからmで割った余りで分類するというのは
mでくくりやすいようにそうするという理解でよろしいでしょうか？

>>120
>>110の後半は読んでくれなかったのか？

>>120
ちょっと表現がわかりにくいかもしれないけど
>>110の後半があなたの疑問に答えてくれてると思うよ

>>119
素早い回答ありがとうございます
申し訳ないのですが
各座標をA(100,100)B(200,200)C(300,300)として式を一度書いてもらえないでしょうか

>>115
ほとんど同じだけど、1がある組の1とn+3を入れ替え、
他の2組に 1+(n+1) と n+2 を入れる。

(200-100,200-100)=k(300-100,300-100)
となるｋが存在するなら3つの座標が直線に並んでいる

100=200k が解をもつから　おｋ

A(100,100)B(200,200)C(300,30３)のとき

(200-100,200-100)=k(300-100,30３-100)

100 =200k
100 =203k
を同時に満たすｋは存在しないから　おｋじゃない

>>125
細かい説明有難うございます
よくわかりました！

質問させていただきます。　
aを実数とし、関数f(x)=(ax+1)~2を考える。
　
不等式:f(0)+f(1)/2≦m∫1→0f(x)dx
が、全てのaに対して成り立つような実数mの値の範囲を求めよ。
　
よろしくお願いします。

>>127
普通に計算すればいんじゃね？

そんな基礎的なことを聞くなと怒られそうですが・・・
白茶ｐ２５例題４の解説の最後の部分
(a-b)(a-b)-c(a-b)＝(a-b)(a-b-c)
なぜ、こうなるのか教えてください。
a-bをＸ等に置き換える以外でお願いします。

>>128
全てのaに対してっていうので、何をすればいいかわからなかったです。
　
>>127
よろしくお願いします

(a-b)(a-b)-c(a-b)
=(a-b)(a-b)-(a-b)c 交換法則
＝(a-b){(a-b)-c} 分配法則
=(a-b)(a-b-c)

>a-bをＸ等に置き換える以外で
なんでそんな限定をするのか、というか、
それが一番楽で基本的な考え方なのに、なぜそれを排除しようとするのか、が
傍からは全く理解できない。

>>130
f(0)とf(1)と積分を普通に計算する
m≧（aの式）
の形に変形する
（aの式）の部分を微分してグラフを書く
m≧（グラフの最大値）が答え

>>127
f(0)+f(1)/2=1+(a+1)^2/2=(a^2+2a+3)/2≦m∫[1, 0](ax+1)^2dx=m{(ax+1)^3/(3a)][1, 0]=m(1-(a+1)^3)/(3a)=-m(a^2+3a+3)/3
3(a^2+2a+3)≦-2m(a^2+3a+3)
(2m+3)a^2+6(m+1)a+3(2m+3)≦0
2m+3=0
m=-3/2
-3a≦0 NG
2m+3<0
m<-3/2
D/4=9(m+1)^2-3(2m+3)^2≦0
3(-m^2-6m-6)≦0
m^2+6m+6≧0
m≦-3-√3<-3/2<-3+√3≦m
m≦-3-√3

>>131>>132
回答ありがとうございます。
置き換える解き方は解説が載っていたのですが、こちらは妙にあっさりだったもので。
とにかくありがとうございました！

すみませんこの問題の解答を教えてもらえないでしょうか。

（以下問題文）
a,bは２以上の整数とする。このとき次の問いに答えよ。

a^b-1が実数ならば、a=2であり、bは素数であることを証明せよ。
（問題ここまで）

千葉大学の入試問題（改?）らしいのですが解答の糸口も自分で見出せないので
分かる方お願いします。

>>136
問題おかしくねえか？

>>137
あきらかにおかしいなｗ
整数問題は良く知らないから、エスパーできないけどｗｗ

＞a^b-1が実数ならば
a^b-1が素数ならば
でしょ
ヒントは因数分解してみる
bが素数でないならb=xy(x,y>1)とおける、とか

ごめんなさい入力ミスしてましたorz
正しくは以下です。。。

（以下問題文）
a,bは２以上の整数とする。このとき次の問いに答えよ。

a^b-1が素数ならば、a=2であり、bは素数であることを証明せよ。
（問題ここまで）

ちゃんと確認したのでこれで間違いないです。
ごめんなさい。('A`)

a=2はすぐにわかるだろ。2以外の素数は奇数なんだから。

>>134
答えが間違ってました。
　
>>127
誰かよろしくお願いします。

>>142
ちゃんと読んでないが
f(0)+f(1)/2≦m∫1→0f(x)dx
の左辺は(f(0)+f(1))/2だというオチじゃないのか？
流れを理解すれば自分でできるはず

ついでに積分区間も下が０で上が１のような気がするな・・・

>>140
それソースどこ？

2^b-1について
bが合成数だと仮定すると
b=mnとおける(m,nは2以上の整数)が
2^mn-1=(2^n-1)(1+2^n+…+2^n(m-1))と因数分解できて矛盾
∴bは素数
(a=2はa^b-1=(a-1)(1+…+a^(b-1))より分かる)

質問させて下さい

(√2)^(x-1)=log_{√2}(x-1)

x=3,5
この計算過程をお願いします。
代入!?するしかないんでしょうか？

>>139,>>141,>>145-146
みなさんありがとうございます。
予備校で配られたプリントに載っていた問題なのでどこから引用したのかわかりませんが一応問題の横に大学名が書いてありました。

m,nの条件についてですが「bは2以上の整数である」との条件があるのですがmもnも2以上にしてしまうとmn(=b)が4以上の整数となり
上記条件に当てはまらないように思うのですがこれでも良いのでしょうか？

(a=2はa^b-1=(a-1)(1+…+a^(b-1))より分かる)
この部分はa=2を入れると a^b-1=(1+…+2^(b-1)となり因数分解できてないので
a=2の場合が素数となるのでしょうか？

また別解としてa=2を表すときに
「a^b-1≧3より3以上の素数は全て奇数になるのでこの場合a^b-1が奇数を表すのはa=2の時のみ」
このような解答方法でも大丈夫でしょうか？

質問ばかりですみません。。。

>>148
bは2以上の整数であるという前提と、bが素数でないとするとという仮定でmnと置くのだから、
bは4以上の整数だよ。

a=2についてはそれでいいと思う。

bは4以上の整数だよというのは、その前提と仮定の場合はそうなるという意味。

10!の正の約数の個数は？

>>151
素因数分解

>>149-150
なるほどわかりやすい解説ありがとうございます。

因数分解さえできれば自分にもできそうです。
ありがとうございました。

三角関数の相互関係からです。

sinθ+sin^2θ=1 のとき、cos^2θ+2cos^4θ の値を求めよ。

この問題なのですが、全く解き方が分かりませんでした。
どなたか、解説をよろしくお願いします。

>>154
sinθとcosθの関係式で超基本的なやつがあるだろ？

49より小さくて49と互いに素な自然数の個数は？

>>156
しらみつぶし

27こ？

数列｛ａ(n)｝，｛ｂ(n)｝を、
ａ(1)＝ｂ(1)＝１
ａ(n+1)＝ａ(n)＋４ｂ(n)
ｂ(n+1)＝ａ(n)＋ｂ(n)
(n=1,2,3,…)と定めるとき
ａ(n)＋２ｂ(n)＝３^nになることを示せ

はどうしたらいいですか？教えて下さい。

広大の入試問題らしいのですが(1)は簡単に解けるものの(2)以降が解けません。
どうか力を貸してもらえないでしょうか。

（問題）
A,Bの２つの袋に、球がそれぞれ2個ずつ入っている。いま、硬貨を1枚投げ、表が出れば
AからBに球を1個移し、裏が出ればBからAに球を1個移す。この操作を繰り返し、
どちらかの袋の中の球がなくなったとき終了する。次の問いに答えよ。

(1)硬貨を２回投げたとき、終了する確立を求めよ。
(2)硬貨をｎ回投げたとき、ちょうど終了する確立を求めよ。
(3)終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値を求めよ。

簡単な(1)のみですが私の解答を書いておきます。
-------------------------------------
(1)
２回投げたときに終了するのは、２回とも表が出るか、２回とも裏が出るとき
(�@)２回とも表が出る場合
(C[2.2])(1/2)^2=1/4
(�A)２回とも裏が出る場合
(C[2.0])(1/2)^2=1/4

よって1/4+1/4=1/2
------------------------------------------

>>160
テニスなどのデュースを想像していただければ。

(2)
nが偶数の時、1/(2^(n/2))
nが奇数の時、0

(3)
4回

>>151
10!=2・3・2^2・5・2・3・7・2^3・3^2・2・5=2^8・3^4・5^2・7
(1+8)(1+4)(1+2)(1+1)=270

>>154
t^2+t-1=0, |t|≦1
t=sinθ=(-1+√5)/2
cos^2θ=1-sin^2θ=1-t^2=t=(-1+√5)/2
cos^2θ+2cos^4θ=t+2t^2=t+2(1-t)=2-(-1+√5)/2=(5-√5)/2

>>156
49=7^2
49-7=42

>>159
a[n+1]+2b[n+1]=3a[n]+6b[n]=3(a[n]+2b[n])=3^n(a[1]+2b[1])=3^(n+1)
a[n]+2b[n]=3^n

f(x)=x^3+axとおく。曲線y=f(x)上の原点Ｏでない点Ｐにおいて接線を引き、接線と曲線の交点のうち点Ｐと異なるものをＱとする。
点Ｐにおける接線と点Ｑにおける接線が直交するように点Ｐをとることができるような定数aの値の範囲を求めよ。


Ｐ(p,p^3+a)Ｑ(q,q^3+a)として
Ｐにおける接線の式y=(3p^2+a)x-2p^3とf(x)を連立してそれの判別式=0からp=-8、q=4、Ｑにおける接線とＰにおける接線が直交するから(3q^2+a)(3p^2+a)=-1、この式にp=-8、q=4代入


というような過程で進んでいったのですが答えがでませんでした。

どなたか教えてください。

>>151
>>163

10!の正の約数270個すべての和は？

>>168
やかましい

ワロタ

>>167
f'(x)=3x^2+a
(x^3+ax)-(t^3+at)=(x-t)(x^2+xt+t^2+a)=(3t^2+a)(x-t)
x^2+xt+t^2+a=3t^2+a
x^2+xt-2t^2=0
(x-t)(x+2t)=0
f'(-2t)f'(t)=(12t^2+a)(3t^2+a)=-1
36t^4+15at^2+a^2+1=0
36T^2+15aT+a^2+1=0
D=(15a)^2-4・36(a^2+1)=81a^2-144≧0
a≦-4/3, 4/3≦a
-15a+√D≧0
√D≧15a
a≦-4/3 OK
20≦15a≦√D
225a^2≦D=81a^2-144
144a^2 ≦-144 NG

>>168
(1+2+…+2^8)(1+3+…+3^4)(1+5+5^2)(1+7)=511・121・31・8=15334088

>>168
すべての積は？

>>173
良問

>>162
nが必ず偶数でしか試合は終了しないということは理解できるのですが
nを求める方針としてはn=2,4,6･･･といった感じで数列のようにnを出すという方針でしょうか？
例えばn=6の場合だと
[表裏表裏表表表]等で表４回、裏２回か裏４回、表２回の時だとわかるのですが
単純にC[6.2](1/2)^6としてはだめなんですよね？・・・

もう少し詳しく解説してもらえないでしょうか？

ちょうど2つの正の約数しか持たない自然数ってどんな整数なの？

１と自分はいつも約数だから他に約数がないってこと
つまり素数。１は１個だからダメ

>>175
Aの個数でいうと
０か４、１か３、２
の３通りの間の行き来を考えてみたらどうだろう
0か4というのはそこで終了だから
最後以外は２と「１か３」の間を行ったり来たりしなきゃいけないはず

なるほどぉ-　それじゃァ--

ちょうど3つの正の約数しか持たない自然数ってどんな整数なの？

なんだ168=179か？
素数の2乗じゃないのかな

http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up30050.gif

手書きの部分のように解いたのですが、答えが合いません・・・
間違っているところを教えてください！
（汚い字ですみません）

>>181
a[n]は合ってるよw
求めるのはなんだい？

>>175
全然計算してないけど、漸化式使ってやるんじゃないか？

>>182
げげげげげ！！！
これって和を求めるんですね・・・
a[n]を求めるんだと思ってました。
ありがとうございました。

>>171
質問者じゃないんですが
＞-15a+√D≧0
√D≧15a
a≦-4/3 OK
20≦15a≦√D
225a^2≦D=81a^2-144
144a^2 ≦-144 NG


最後のここら辺の式はどうやって出したのでしょうか？

>>185
T=t^2≧0でなくてはならないので
T=(-15a±√D)/72のうち少なくとも一方は0以上
-15a-√D≧0ならば-15a+√D≧0であるので
T=(-15a±√D)/72のうち少なくとも一方が0以上であるのは-15a+√D≧0であることと同値
これはさらに√D≧15aであることと同値
ここでaの範囲がa≦-4/3であるときと4/3≦aであるときに分け
a≦-4/3であれば√D≧0>-20≧15aで条件は成立するので適
4/3≦aであれば
√D≧15a≧20>0はD=81a^2-144≧(15a)^2=225a^2
すなわち-144≧144a^2と同値であるが
この条件は成立しないので不適

>>186
なるほど、詳しい解説ありがとうございます。

Transform the function f(x) = (1-cosx)/x^2 into the form suitable to evaluate it for small x (preserve two terms in series expansion)

全然わからないんですが、どなたか解答お願いします。

>>188
単なるマクロ〜輪転界

>>178
ありがとうございます！
その考え方で(2)は何とか答えまでたどり着けました。

(3)についてですが答えは４になるようですがどうやって導きだしたのでしょうか？
私の考え方は以下なのですがこれだと計算できない（？）し例えできても記号を含んだ期待値になってしまいます。

（期待値の計算）
2*1/2+4*1/4+6*1/8+8*1/16+･･･+n*1/(2^(n/2))
ここでN=n/2とすると
2/2+4/4+6/8+8/16+･･･+(2N/2^N)=Σ_[k=1,N](2k/2^k)

とこのようになり計算できなく（？）なってしまいます。。。

1+2x+3x^2+4x^3+...というのは教科書レベルのはず
S-sSを考えればできる
和のとり方を変えると簡単なんだけど、まずは普通にやってみるべきだな

ｎより小さくてｎと互いに素な自然数の個数がｎ−２となるｎは？

>>192
n=1, 2, 3は不適n=4は適
n≧5とする
nの素因数がpのみのとき
n=pは不適n=p^k, k≧2であれば
p, 2p<p^kで不適
nの素因数にp, qの2つがあれば
p, q<pq≦nで不適
n=4

>>191
そうでしたか。等差と等比の積になってたんですね。
と自分でやってみたものの以下のようになりました。これでよいんですかね？

S(N)=2*1/2+4*1/4+6*1/8+8*1/16+･･･+(2N)*(1/2^N)　とすると
(1/2)S(N)=2*1/4+4*1/8+6*1/16+･･･+2(N-1)*1/2^N+2(N+1)*1/(2^(N+1))
S(N)-(1/2)S(N)より
1/2S(N)=(1+1/2+1/4+1/8+･･･+2^(1-N))-2(N+1)*1/(2^(N+1)) 両辺の逆数をとり
2/S(N)=(1+2+4+8+･･･+2^(N-1))-2^(N+1)*1/2(N+1) 等比数列の和の部分があるのでまとめると
2/S(N)=(-2^(2N+1)+2^(N+1))/(2(N+1))
よってS(N)/2=(2(N+1))/(2^(N+1)-2^(2N+1))=(4N(N+1))/(2^(N+1)-2^(2N+1))
N=n/2より
Sn=(4(n/2+1))/(2^(n/2+1)-2(n+1))

こんな感じでしょうか・・・

>1/2S(N)=(1+1/2+1/4+1/8+･･･+2^(1-N))-2(N+1)*1/(2^(N+1)) 両辺の逆数をとり
>2/S(N)=(1+2+4+8+･･･+2^(N-1))-2^(N+1)*1/2(N+1)
これはまずいでしょう

まず少しでも見やすいように
S(N)=1+2/2+3/2^2+...+N/2^(N-1)と書いておく
S(N)-(1/2)S(N)
=(1+2/2+3/2^2+...+N/2^(N-1))-(1/2)(1+2/2+3/2^2+...+N/2^(N-1))
=(1+2/2+3/2^2+...+N/2^(N-1))-(1/2+2/2^2+3/2^3+...+(N-1)/2^(N-1)+N/2^N)
=1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-N/2^N　（縦に並べると見やすいはず）
=(等比の和）-N/2^N
とやるんじゃなかったかな。しっかり復習してください。

>>195
詳しく解説していただきありがとうございます。
1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)
この等比数列の和になるとこですが真っ向が(1/2)^N-1になってればそのままできるのですがなってないので
初項1,公比2の等比数列の逆数をとればよいのでしょうか？
であとはN=n/2を代入で完了ですかね。。。

1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)
=1+(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)^(N-1)
初項1、公比1/2、項数N

1/a+1/bと1/(a+b)は等しくないでしょ

rはをみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件�@，�Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
�@　新しい2つの円の半径の比はr：で、半径の和はもとの円の半径に等しい。
�A　新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。
・k回目の操作で得られた個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、個の円を得る()。
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

がよくわかりません
半径をxと置いて1回の操作だけを示しただけで証明されるのはなぜですか？

rはをみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件�@，�Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
�@　新しい2つの円の半径の比はr：1-rで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
�A　新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。
・k回目の操作で得られた2^k個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、2^k＋1個の円を得る。
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

すみません　問題を書き間違えました
(1)の解答が
「半径xの円は操作Pを行うと半径xrの円と半径x(1-r)の円の2つの円を得る
このときもとの１つの円の周の長さは2πxであり操作Pの後の2つの円の周の長さの和は2πxとなり
周の長さの和は一定でありはじめの円周は2πであるからn回目の円の周の長さの和は2πである」
となっていますが納得できません
なぜ円が1つから2つになる操作を示しただけでどんどん円は増えていくのに証明されたことになるのですか？
答えは調べれば2πとわかるのですが2πであることの証明の仕方に納得がいきません
いい解答や解決がありましたら教えてください
(3)も同じように半径をxと置いて証明してるので同じように理解できません

お願いします　
長文失礼しました

長さが1の正三角形の内部に半径が等しい3つの円が互いに外接していて
それらは三角形の3辺とも2点で外接している。円の半径rを求めよ

という問題なんですがどうしたらいいでしょうか?
円の中心通しを結ぶと2rの正三角形が出来ますけど
これではとけないと思いますし・・・なにか面積の関係を利用するのでしょうか?
おねがいします

一応今、考えた解法で正三角形ABC、円の中心をP1.P2.P3として
P1〜P3をそれぞれ結び、またそれぞれの中心から∠A.∠B.∠Cを結び
最後に中心から辺AB.AC.BCに垂線を下ろして図形を分割して
高さr、底辺(1-2r)/2の直角三角形6つと高さr.横2rの長方形3つと2r.2r.2rの正三角形1つに分割して
面積に着目して
√3/4=r(1-2r)×6×1/4+2r^2*3+√2(r^2)=√3/4
でrを求めるとr=√12/(12+4√3)になりました

ちょっと力技すぎるときかただと思うのですが
これ以外にいい解法ありますでしょうか?

>>198
>rはをみたす実数
？

>>199
>平面上に個の円を作る
？

>>200
円P1はABに接しているとする
P1からABに下ろした垂線の足をHとすると
∠AP1H=60°よりAH=r√3
AB=1=2r√3+2r
r=1/(2+2√3)=(√3-1)/4
>>201
それで結構と思います

ｘ^2002をｘ^4―１で割った余りを教えて下さい

http://imepita.jp/20091113/285100
この図を見て１対２になるのと、相似な三角形である事がわかりません。

あっよろしくお願いします

相似の条件は、対応する角が同じことでしょ。
このばあいABとA２B´は、中点連結定理で平行になるから、その二つの三角形の低角はそれぞれ錯角で等しくなる。
だから相似。
相似な三角形同士なら、当然それぞれの三角形の高さも同じ相似比になるから、１対２になる。

7桁の数1x540y4が72で割り切れる。x､yは？

>>197
あぁ単純なことですね・・・すみません。

訂正して以下のようになりましたがこんな感じなんですかね。何度も何度も申し訳ありません。
1/2S(N)=[1-(1/2)^N]/[1-1/2]-N/2^N=2-(1/2)^(N-1)-N/2~Nより
S(N)=4-(1/2)^(N-2)-N/2^(N-1)
N=n/2より
S(n/2)=4-(1/2)^(n/2-2)-(n/2)/2^(n/2-1)
よって
S(n)=4-(1/2)^(n-2)-n/2^(n-1)=4-(4/2^n)-(2n/2^n)　　←このS(n/2)からS(n)への変形は怪しいような・・・
=4-(2/2^n)(2+n)

>>208
ありがとうございます。理解できました。
連続なんですが、
http://imepita.jp/20091113/405280
http://imepita.jp/20091113/403070
で、６！通りの順列を８個ずつ束にしたものと考えれるとはどうゆうことですか？
３！×８の８は｛｝の中の数字(１なら二個の１があり区別している)の１、２、３に対するどちらを振り分けるかで２^３＝８。
だとはわかるのですが、上記の束にしたものと考えれる。というのは何の事をいってるのかわかりません。
お願いします。

>>211
図形問題じゃないんだから、書こうよ。しかも、横向きで見づらいし。

1から6までの数字を並べる並べ方（順列）は6!通り。
これらのうちの例えば、
123456
123465
124356
124365
213456
213465
214356
214365
の8通りを束にして同じものと考えるのと同じことだって意味。

間違えてました
S(n/2)=4-(1/2)^(n/2-2)-(n/2)/2^(n/2-1)

ここで止めて良いですね

>>209
(x.y)＝(7.6)(2.2)でおk？

ok

8桁の数25x22341が11で割り切れる。xは？

>>216
どうみても3

>>199
rは0<r<1をみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件�@，�Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
�@　新しい2つの円の半径の比はr：1-rで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
�A　新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に2^K個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。
・k回目の操作で得られた2^k個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、2^k＋1個の円を得る。
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

すみません　問題を書き間違えました
(1)の解答が
「半径xの円は操作Pを行うと半径xrの円と半径x(1-r)の円の2つの円を得る
このときもとの１つの円の周の長さは2πxであり操作Pの後の2つの円の周の長さの和は2πxとなり
周の長さの和は一定でありはじめの円周は2πであるからn回目の円の周の長さの和は2πである」
となっていますが納得できません
なぜ円が1つから2つになる操作を示しただけでどんどん円は増えていくのに証明されたことになるのですか？
答えは地道調べれば2πと予想できるのですが2πであることの証明の仕方に納得がいきません
いい解答や解決がありましたら教えてください
(3)も同じように半径をxと置いて証明してるので同じように理解できません

どうかお願いします　
長文失礼しました
訂正致しました

スレチかもしれんが俺も一問だけ問題出させてくれ、高２の実力試験で昔出た問題

４桁の数字abcd(1234ならa=1.b=2.c=3.d=4)が７で割り切れるための条件、１１で割り切れるための条件を求めなさい

完答率２％って先生言ってた‥‥‥馬鹿な私立だから仕方ないか‥‥‥

>>219
7で割り切れる四桁の数はm∈Ｎとして
1000≦7m≦9999
とかける。
143≦m≦1428 (∵m∈Ｎ)
7m＝1001,1008,1015,…9996
これは初項1001,公差7の等差数列だから求める条件は
994+7n (n:1,2,…,1286)…(答)
同様に、11で割りきれる四桁の数の条件は
990+11n (n:1,2,…,819)…(答)

>>209
72=8・9
0y4が8の倍数なのでy=2, 6
1+x+5+4+0+y+4=x+y+14が9の倍数なので
y=2のときx=2
y=6のときx=7

何を求められているのかいまいちわからないが
1000a+100b+10c+dが7で割り切れるとき
でいいよ
もう少し言うなら
6a+2b+3c+dが7で割り切れるとき
か？

>>216
2-5+x-2+2-3+4-1=x-3が11の倍数なのでx=3

>>223
その形が奇麗かもね
(11×91-1)a+(11×9+1)b+(11-1)c+d
ってことね

28のすべての約数の和は？

>>225
28を素因数分解すると
28=(2^2)7
よって
[{(2^3)-1}/(2-1)][{(7^2)-1}/(7-1)]
=56…(答)

方針は>>224でおk

解答形式はセンターみたいに(ｱ)a(ｲ)b(ｳ)c(ｴ)dなんだけど過程を書けって書いてた

この方法で９の倍数の条件が求めることができて、小学生の時に習ったものを証明できる
まあ東大で出て来るかもしれない変な問題として先生が出したそうな

スレ汚しすまんかった、やっぱり2chの人は頭がいいのう

>>227　
東大で類題が出ているよ
また問題だしてねぇ

28のすべての約数の和は56
56-28＝28かあ
ところで
6のすべての約数の和は？

x^2＋y^2＋xy＝49
x＋y−xy＝−7
(x＋y)^2＝x^2＋y^2−2xy
を使ってxとyの値を解く方法を教えてください

>>229
x^2+y^2+xy=49
⇔(x+y)^2-xy=49…�@
x+y-xy＝-7
⇔(x-1)(y-1)=8…�A
(x+y)^2＝x^2+y^2-2xy
⇔xy=0…�B
�@�Bより
(x+y)^2=49
x+y=±7
�A�Bより
(x,y)=(-7,0),(0,-7)…(答)

>>228
6の約数は
1,2,3,6
ゆえに6の約数の総和は
1+2+3+6=12…(答)

>>230
普通に基本対称式ではダメなの？

28のすべての約数の和は56
56-28＝28

6のすべての約数の和は12
12-6=6

ほかにこんな数はあるのかなあ？

>>233
あるけど未解決問題につながってる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0

なるほどぉ
ところで、28のすべての約数の積は？

>>235
√（28^((1+2)(1+1)))=28^3

nは自然数、aとbは互いに素でa^2=b^2･nのとき
b=1になぜなるのかわかりません
教えて下さい

>>237
a,bが互いに素、とはa,bが1以外の公約数をもたないこと
a^2=b^2･n
⇔n=a^2/b^2
右辺は一切約分できないから
b^2=1
⇔b=±1
となる

ありがとうございます
塾で右辺がaの倍数だから左辺もaの倍数、しかしaとbは互いに素だからb=1と説明されたのですが理解できません
教えて下さい

http://d.pic.to/ybrot
2行目から3行目に行くときの計算をうまく説明してください
接線の方程式の公式です

>>239
>右辺がaの倍数だから左辺もaの倍数
？

>>240
単に計算しているだけのようだが・・・
展開とか移項って知ってる？

>>242
知ってるです
分配法則して移項してもならんです
詳しく説明してくれませんか？

さーせん
わかってしまったのです
分数の足し算間違えてました
ごめんなさい山本俊郎
本に向かって三流だと罵声をあげまくってしまった

>>244
日本語ちょっと変だけどなんかなごんたｗ

ｎ桁の自然数の各桁に、一つも0・9を含まない数の集合をＳ(ｎ)と置く。
Ｓ(ｎ)の中で、3の倍数となる数の個数をＡｎとする時。

Ａｎ+1をＡｎを用いて表し、Ａｎを求めよ。


全く手がつかず、詰んでます。
どなたかお願いします。

>>246
S(n)全体の要素の個数は？

質問です
正五角形の対角線によってできる正五角形の対角線によって…のように図形的な極限をとる場合
それが収束することを前提としてαに収束するとする
上の問題の場合収束値は0になるはずですが、α＞0と仮定すると次の正五角形を作れるので矛盾っていう示し方はありですかね？

>>248
それが収束のそれってなに？
なにがなにに矛盾？

>>246
0+3, 6→0
1+2, 5, 7→0
2+1, 4, 6→0
a[n+1]=2a[n]+3(8^n-a[n])=3・8^n-a[n]
a[n+1]/8^(n+1)=3/8-(1/8)(a[n]/8^n)
t=3/8-(1/8)t
(9/8)t=3/8
t=1/3
a[n+1]/8^(n+1)-1/3=-(1/8)(a[n]/8^n-1/3)=(-1/8)^n(a[1]/8-1/3)=(-1/8)^n(-1/12)
a[n+1]=8^(n+1)(4-(-1/8)^n)/12=(4・8^(n+1)-8(-1)^n)/12=(4・8^(n+1)+8(-1)^(n+1))/12
a[n]=(4・8^n+8(-1)^n)/12

>>248
問題書いて

>>250
>a[n]=(4・8^n+8(-1)^n)/12
a[n]=(4・8^n+8(-1)^n)/12=(8^n+2(-1)^n)/3

質問です
x^4+x^2+1
の因数分解を教えてください

>>239
それはミスだな
左辺がaの倍数のくだりはいらない
左辺が自然数であることがカギだよ

x^4+x^2+1 = 0
が「実数解をもたないから実数の範囲では因数分解できないよ＞＜

>>253
x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

>>250
最初の
0+3, 6→0
1+2, 5, 7→0
2+1, 4, 6→0
は、ｎ＋1桁の自然数の各位の和が3の倍数になるためのｎ＋1桁目の数字ということですか？

>>257
そうだろうね

>>250
>0+3, 6→0
>1+2, 5, 7→0
>2+1, 4, 6→0
n+1桁の数が3の倍数となるのは
n桁までの合計が3の倍数のときn+1桁目が3, 6
n桁までの合計が3で割って1余るときn+1桁目が2, 5, 8
n桁までの合計が3で割って2余るときn+1桁目が1, 4, 7

>>259
解りました、ありがとうございます

http://p.pita.st/?m=cefcdi2d
センター試験の解答の部分なんですが、ＡがＲで割りきれることと、ＢＱがＲで割りきれることはどうして同値なんでしょうか？
情報が少なくてすいません。これで分かる方がいたら教えて欲しいです。

>>261
A=BQ+R
⇔A=R{(BQ/R)+1}
だから

(第n＋1回目の期待値の合計)=(第n回目までの期待値の合計)＋(後1回で得られる期待値)
が理解できません
具体的にわかりやすく教えてください

訂正
(第n＋1回目までの期待値の合計)=(第n回目までの期待値の合計)＋(後1回で得られる期待値)

>>263
問題書いて

>>262
ありがとうございました！

>>256
ありがとうございました

>>263
具体的な問題が書かれていないのに具体的に答えるのは難しい。

> 第n＋1回目の期待値の合計
日本語がおかしくないか？

>>246
1〜9の場合は3の倍数は9^n/3個となる
n桁のうち9以外がk桁あるものはnCk・a[k]通りとなるので
1+Σ[k=1, n]nCk・a[k]=9^n/3=(1+8)^n/3=Σ[k=0, n]nCk・8^k/3
Σ[k=0, n]nCk(a[k]-8^k/3)=0
（ここでa[0]=1およびn≧1とする）
Σ[k=0, n]nCk(-1)^k=(1+(-1))^n=0　（n≧0, n=0のときは1）
と比較することで帰納的にa[n]-8^n/3=(-1)^n(1-1/3)=(2/3)(-1)^nであることを証明できるので
a[n]=(8^n+2(-1)^n)/3

一辺がaの正方形で四つの角が曲線半径rの図形の面積Sの公式を教えてください
宜しくお願いします。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219060264/1

>>270
意味不明。
エスパーすれば、
a^2-(4-π)*r^2

自然数n,A,Bに対して、
a(n)=50^(n-1)A+B
とおく。A+Bが７で割り切れるならば、a(n)は7で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ

教えて下さい

>>273
a[k+1]-a[k]=7^2*50^(k-1)*A

>>273
a[n]=(49+1)^(n-1)A+B=(Σ[k=0, n-1]49^k・(n-1)Ck)A+B=(1+49Σ[k=1, n-1]49^(k-1)・(n-1)Ck)A+B=(A+B)+49(Σ[k=1, n-1]49^(k-1)・(n-1)Ck)A

>>274-275
ありがとうございます
しかし、手で書き直してたんですが……分かりません……

もう少し詳しくお願いできませんか？

厚かましくてすみません

>>276
直でも証明できてそれが>>275でしてる方法。

俺のは数学的帰納法の2手目に必要なこと。
前置きと結論くらい書けるでしょ、何が分からんの。

これの答がないので教えてください。お願いします。
http://imepita.jp/20091114/795420

(Σ[k=0, n-1]49^k・(n-1)Ck)
ってどういうことなんでしょうか……(> <)

>>278
まず、自分の答えを書けよ。

>>279
え、>>275なの？
数学的帰納法で解けって書いてあるからそれだと思ってたわ。

ただの二項定理だよ、習ってないの？
というか俺の出る幕じゃないな、すまん。

>>273です。分かりました。ありがとうございました。

横レスです。どういたしまして。

>>278
A 1/2・1/2+1/2・1/2・1/2=3/8
C 1/2・1/2・1/2=1/8
B 1/2・1/2=1/4
D 1/2・1/2=1/4

log{10}(2) が無理数であることを証明せよ。

有理数と仮定
=q/p(互いに素)とおく
から背理法

かなと思ってやってみたんですがよくわからなくなりました
辿り着けないのかそもそもやりかたが間違ってるのか…
どなたかよろしくお願いします。

>>285
それでいい
y=log_a(x) はx=a^yとも書ける

>>286
やっと辿り着いたようです。
ありがとうございました！

自然数nに対して、正の整数a[n],b[n]を(3+√2)^n=a[n]+b[n]√2によって定めるとき、a[n+1],b[n+1]をa[n],b[n]を用いて表すのは、どうしたらいいですか？

a[n+1]+b[n+1]√2=(3+√2)^(n+1)
=(3+√2)(3+√2)^n
=(3+√2)(a[n]+b[n]√2)
=...

>>205
t=x^4
t^500=x^2000
t^500-1=(t-1)(t^499+t^498+…+t+1)
x^2000-1=(x^4-1)(x^(4・499)+…+x^4+1)
x^2002-x^2=(x^4-1)(x^(4・499)+…+x^4+1)x^2
x^2002=(x^4-1)(x^(4・499)+…+x^4+1)x^2+x^2
x^2

>>289さん、ありがとうございます。できました

x＞0,y＞0,x≠1, y≠1のとき、
log{x}y＋log{y}x＞2＋(log{x}2)(log{y}2)の領域を求めよ

底を2にして因数分解したら(log{2}x)(log{2}y)(log{2}x−log{2}y＋1)(log{2}x−log{2}y−1)＞0
になったんですが領域が直線以外すべてになりました
恐らく最初からおかしいのだと思います

ヒントいただけないでしょうか
気になって寝れません

>>292
式は正しい
境界を交点以外のところで跨ぐと一つの因数だけ符号が変わるから全部ということはない
たとえばx=y=2を入れてみれば左辺<0になってるでしょう

ある自然数nに関して√nと√n-1がともに無理数であることを証明せよ
という問題について質問です
背理法を用いる
√nが有理数であるとする
aとbは互いに素であるとして
√n=a/b ただしbは0ではないとする
両辺を２乗して
n=a^2/b^2
分母を払って
b^2･n=a^2

「左辺がbの倍数であるから右辺もbの倍数である
言い換えると約数としてbをもつ
ところがaとbは互いに素なのでb=1となる」
この「　」がめちゃくちゃ納得できません

具体的に教えて下さい

>>293
場合分けがすごいことになると思って正確に計算してませんでした…
実際大したことありませんでした
ありがとうございました

b＞1とするとbはある素数pを因数に持つのでa^2もpを因数に持つ
つまりaもpを因数に持つことになり互いに素に矛盾

かなりレベルの低い質問なんですが、
積分の時に用いる六分の一公式ってどんな時に使えるのですか？
使い所がわかりません。

>>297
面積、極値の差

>>294
>ある自然数nに関して√nと√n-1がともに無理数であることを証明せよ

本当に問題文が正しいのなら背理法なんか無意味なんだが‥

例えばn=3のときに成り立つことを示せばいい

>>299
ﾜﾛｽ

49より小さくて49と互いに素な自然数の個数は？（さくら教研の宿題）

>>301
49=7^2
49-7=42

>>298
ありがとうございました

y=lnxが区間n≦x≦n+1において上に凸であることを示すという問題と

1/2lnn(n＋1) < ∫[n , n+1]lnｘ　dxが成り立つことえを示す。

この二つの問題がわかりません。
解説おねがいします

>>304
2回微分。

グラフ描く。
左辺は(n,0)、(n+1,0)、(n,ln(n))、(n+1,ln(n+1))を結ぶ台形の面積。
あとは上の結果を踏まえればよい。

1対1数1の２次関数の１３番について質問があります。

実数x,yが2x^2+3xy+2y^2=1を満たすときx+y+xyの最大値と最小値を求める問題なのですがまずx+y=u,xy=vとおいて１文字消去をして解くと解答にはありました。

僕は逆手流でといてみようと思って2x^2+3xy+2y^2=1をu,vであらわして2u^2-v=1,x+y+xyをu+vとして
x+y+xyがkという値をとりうるとして
2u^2-v=1かつu+v=kかつu^2-4v≧0を満たすu,vが存在するとして
u=k-vを2u^2-v=1に代入して二次方程式が実数解をもつ条件からk≧-9/8とでます。
そしてx,yが実数という条件からu^2-4v≧0にu=k-vを代入してこれがどんなvに対しても成り立つようにD≦0としてkの範囲を出すと
k≦-1となり以上から-9/8≦k≦-1となって最小値-9/8最大値-1としたのですが解答と答えが合いません。
最小値は合っています。
なので最大値を出すときに何かを間違えたのではないかと思っていますが自分では分りません。
どなたか解説よろしくお願いします

高2で、文系ですが質問です。
　
公比2 初項1の等比数列｛an｝について
　
(1)
和1/a1+1/a2+1/a3+････+1/anを求めよ。
　
(2)
和log2a1+log2a2+log2a3+････+log2anを求めよ。

先日の塾内模試の問題で分からないのが2つあるので教えてください。
1つ目
Ｘ＝2(x+y)，Ｙ＝-xy とおく。（ただし、x,yは実数）
点(x,y)の存在する領域ＥをＸＹ平面に図示せよ。

2つ目
nを自然数として、数列a(n),を
a(1)＝9/5, a(n+1)＝1/5a(n)+2 によって定める。
(1)　b(n)＝a(n)−5/2 とおくとき、b(n＋1)とb(n)の関係式を求めよ。
(2)　すべてのnに対して、5^n*a(n)は整数であることを示せ。

たくさん書いてしまいすいません。
解説よろしくお願いします。

>>306
そしてx,yが実数という条件からu^2-4v≧0にu=k-vを代入してこれがどんなvに対しても成り立つようにD≦0としてkの範囲を出す

ここが違う。
x,yが実数になるように,解と係数の関係を用いて2次方程式をつくりその判別式が0以上になるような(x,yが実数となるような)
vの値を求めなきゃいけないのだから,どんなvでも0以上になるように、ってのはおかしい。別にvは実数値をとらなくていいのだからね。

>>307
どこに質問が？

>>305
左辺は(n,0)、(n+1,0)、(n,ln(n))、(n+1,ln(n+1))を結ぶ台形の面積。
になるのがわかりません。

>>311
マルチすんな。

>>309
ありがとうございます。

x,yに制限があるのでv=xyがすべての実数をとるわけではないのでxyがとる範囲についてだけu^2-4v≧0が成り立てばよい、という理解でいいのでしょうか？

ちなみにこれを逆手流でやろうとするとかなり煩雑になってしまうのでしょうか？

vの範囲にkが入ってしまうのでかなり面倒,というか解けるのかすら解かりません、

てか,対象式に気付けば１文字消去は普通ですし,逆手流でやる必要も無いでしょう。
わざわざ遠回りしているようなものです。

>>313
解けるよ、u,vでグラフ描いてみればいい。
2放物線の交点の座標を出せばそこまで面倒なものでもない。

>>308
その1
x,yの方程式と考えて、実数解を持つX,Yの範囲を決めれば良い

>>308
その2
(1)くらい解けないのか？

>>307
普通に問題がわからなかったんです。
よろしくお願いします

>>317
すいません、間違えました…orz
2の(1)は解けているので、それ以外の2つをよろしくお願いします。

>>319
じゃあ答え書いて

小数の10進数から2進数の変換って積が１になるまで２を掛けていくと思うんですけど
例えば　0.8125の10進数を2進数にする。
最初に0.8125×2=1.625
次に　1.625×2=1.250 って答えになってるんですが1.625×2って3.25になると思うですがなんで1.250って出るんですか？

>>308
１つめ
x+y=α
xy=β
とすると、x,yは
t^2-αt+β=0
の二解
x,yは実数だから（略

>>321
1引かなきゃ意味無いだろ。
10進数で同じ操作してみ(10をかけていく)。
まぁだから(1.625-1)×2と書くべきだな。

>>320
b(n+1)＝(1/5)b(n) となったのですが、間違っていたら教えてください

>>322
実数解条件ですか…
ありがとうございます

>>272
すいません、説明不足でした。


図形の面積を求める公式なのですが

４つの角が丸まっている正方形（正方形とは呼べませんが・・・）です。

その丸まっている曲線半径がrなのです、で１辺の長さがaの面積です。

a^2-(4-π)*r^2 であっているのでしょうか？

>>324
問題をちゃんとかけ。エスパーすると
a[n+1]=(a[n]/5)+2
なんだろうかね。そうすると
b[n+1]=b[n]/5
になるね。ってことは
b[n]は求まるだろ？そしたらa[n]も求まるから、
5^n*a[n]は・・・

>>315
どんな解法ですか？教えて下さい。

>>328
？ 回答者、だよね…？
まぁいいや。
ttp://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=707
を見れば分かると思う。
間違ってたら言ってください。

実数係数の三次式とその微分が同じ数で0に等しくなるときその数が実数であることを示せ
こんな板があったとはしりませんでした。ぜひお願いします。

三次方程式は少なくとも一つの実数解をもつことを中間値の定理を用いて示せ。

どなたか解答をお願いします…。

>>327
すいません、関係ないと思ったところは省略してました…

丁寧にありがとうございました、答え導けました。

>>330
問題が意味不明。チャンと書かないと答えられん。
>>331
高校レベルでいいなら、教科書に載ってるでしょ。

>>331
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0)が正の値と負の値を取るのであれば中間値の定理よりその間でf(x)=0となる点すなわちf(x)=0の実数解が存在するので
f(x)=0が実数解を持たないのであればすべての実数xについてf(x)>0であるかすべての実数xについてf(x)<0である
よってすべての実数xについてf(x)f(-x)>0である
f(x)=x^3(a+b/x+c/x^2+d/x^3)
f(x)f(-x)=-x^6(a+b/x+c/x^2+d/x^3)(a-b/x+c/x^2-d/x^3)
lim[x→+∞]x^6=+∞
lim[x→+∞](a+b/x+c/x^2+d/x^3)(a-b/x+c/x^2-d/x^3)=a^2>0
より
lim[x→+∞]f(x)f(-x)=-∞
これはすべての実数xについてf(x)f(-x)>0であることに反する

>>330
f(a)=0とするとf(x)=(x-a)g(x)と置ける
f'(x)=g(x)+(x-a)g'(x)
f'(a)=g(a)=0よりg(x)=(x-a)h(x)と置ける
よってf(x)=(x-a)^2h(x)
f(x)は3次式であるからh(x)は1次式
f(x)が実数係数の多項式であるからaの共役複素数a*もf(x)=0の解となるので（後述）
上記の結果より
f(x)=(x-a*)^2k(x)とも書けることになる（k(x)は1次式）
f(x)=(x-a)^2h(x)=(x-a*)^2h(x)
因数分解の一意性よりa=a*すなわちaは実数

実数係数の多項式f(x)=Σcnx^nについてf(a)=Σcna^n=0のとき
(Σcna^n)*=Σ(cna^n)*=Σ(cn*)(a*)^n=Σci(a*)^i=f(a*)=0*=0となる
ここで複素数の和と積に関して(a+b)*=a*+b*および(ab)*=(a*)(b*)であることおよび実数cについてc=c*であることを使った
前2者は
((a+bi)+(c+di))*=((a+c)+(b+d)i)*=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=(a+bi)*+(c+di)*
および
((a+bi)(c+di))*=((ac-bd)+(ad+bc)i)*=(ac-bd)-(ad+bc)i
(a+bi)*(c+di)*=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i

九州大学の2008年度の問題の文系第4問の(4)がわかりません
なぜあの不等式が成り立つのですか？
教えてください

>>336
問題書いて

ここまですっかり省略するのも珍しいなｗ

>>337
ありがとうございます
どこかのホムペアドレスでもいいですか？

うん

>339取りあえずURL載せれば良いと思うよ。

ありがとうございます
アドレス乗せても害はありませんか？

>>342
心配なら自分で書けばいいだろ。

写メ撮ってpic.to使ってうｐすればいい。電話で数式書くのは骨が折れる。

http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/08/ky1.html
これかい？

>>342
どの不等式なんだ？
>>345に解答も載ってるからわからないところを指摘してみたら

>>345
a1=cos2cos1
4a1sin1=4cos2cos1sin1=2cos2(2cos1sin1)=2cos2sin2=sin4
a1=sin4/(4sin1)

an=sin2^(n+1)/(2^(n+1)sin1)とすると
2^(n+1)ansin1=sin2^(n+1)
a[n+1]=cos2^(n+1)an
2^(n+2)a[n+1]sin1=2cos2^(n+1)2^(n+1)ansin1=2cos2^(n+1)sin2^(n+1)=sin2^(n+2)
a[n+1]=sin2^(n+2)/(2^(n+2)sin1)

sin1>sinπ/3=√3/2>1/√2
1/sin1<√2
an=sin2^(n+1)/(2^(n+1)sin1)<1/(2^(n+1)sin1)<√2/(2^(n+1))

(x-p)+2p(y-p^2)=0

-p+2p(a-p^2)=0
p(2p^2+1-a)=0
3本 (a>1)
1本 (a≦1)

OB・OC=OB^2=1

(P1, P2)=(A, A), (B, B), (B, C), (C, B), (D, E), (E, D), (E, E)
7/25

qi=0 ⇔ Pi=B, E
q1…qn≠0 ⇔ すべてのqi≠0 ⇔ すべてのPi≠B, E ⇔ (3/5)^n
1-(3/5)^n

>>345
y=2a1(x-a1)+(a1^2-1)=0
a2=a1-(a1^2-1)/(2a1)=(a1^2+1)/(2a1)

a1>1
an>1とすると
a[n+1]=(an^2+1)/(2an)
a[n+1]-1=(an^2-2an+1)/(2an)=(an-1)^2/(2an)>0より
a[n+1]>1

b[n+1]=(a[n+1]-1)/2=(an-1)^2/(4an)=bn^2/an<bn^2

bn>0
bn<10^(-12)
logbn<-12
logb[n+1]<2logbn<2^nlogb1=-2^nlog2=-0.301・2^n
logb[7]<-0.301・2^6=-19.264<-12

>>345>>346
親切にありががとうございます
はいそれの九州大学の文系の第4問の数列の問題の(4)番なんですが
なんで大小がわからないのに<-12と最後にするのかわかりません
お願いします

x^2-8x<-12を解け、って言われて
何で-12？
って言ってるようなもんだよ

(1)-(3)からbnは0に近づくことがわかるけど、
どれくらいの速さで近づくのかな？という感じで、ここでは具体的に
<10^-12という目標を設定したわけ。-12自体には特に意味はない

この問題が何をやってるか気になるならNewton法でググれ

>>349
logb[1]<-0.301
logb[2]<-0.602
logb[3]<-1.204
logb[4]<-2.408
logb[5]<-4.816
logb[6]<-9.632
logb[7]<-19.264<-12

>>350>>351
ありがとうございます
疑問なのはlogb[n]の不等式が2個でてなんで-2^nlog2<-12にするかがわかりません
大小はわかるのですか？
-2^nlog2>-12とか-2^nlog2=-12にはしないのですか？

数学できる人がうやましい
自分は数学のせいで苦戦してる

>>352
方程式の意味はわかるのか？

>>352
>大小はわかるのですか？
何の大小？

>>353>>354ありがとうございます
logb[n]<-2^n-1log2と,条件よりlogb[n]<-12とでるところまではわかります
なぜ-2^n-1log2<-12とすることで求まるのですか？
-2^n-1log2と-12の大小関係がわかりません
もしlogb[n]=-2^n-1log2だったら-2^n-1log2<-12とすることには疑問をもたないのですが
今はlogb[n]<-2^n-1log2と不等式なのでよくわかりません

言いたいことがわかった
でも問題は、bn<10^(-12)となるnを
一つ見つけろ
って言ってるだけだから、別に一番小さいnにする必要は無い
だから簡単にbn<10^(-12)が保証できる-2^n-1log2<-12となるnを探すわけ
（2^n-1log2≧-12のときにbn<10^(-12)が成り立っている可能性は考えなくていい）

>>356
ありがとうございます
bn<10^(-12)は必要条件ということですか？
bn<10^(-12)を絶対に保証できる-2^n-1log2<-12となるnを探すということには納得しました

極座標の使い方や有り難味が解らないんですが
どういうときにこの座標系は活きて来るんでしょうか?

物理なんかでは円運動なんかの解析で
x^2+y^2=r^2という制約がついた元での運動方程式は
直行座標では考えにくいので極座標で議論するっていう使い方があるのですが
数学の問題で極座標を導入して問題を解いた経験が無くて
どういうときに効果的な概念なのかよくわからないでいます。
数Cを勉強していても最初からどこどこを極として〜とか与えられてますし。。。

>>358
一次変換ってやらなくなったんだっけ？

>>359
まだやってるよ

なら、例えば円弧が一次変換でどの様な図形にうつされるか？
とかかな？

log(1−X)をXで微分
＝1/(1−X)

log(1−ａ)をXで微分
＝0
であってますか？

簡単なこと聞いてすみません

質問させていただきます。　
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。
点Pは時刻0ては頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
　
規則:点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。
n秒後に点Pが頂点Oにある確率をPnとするとき
�@Pn+1とPnの関係式を求めよ。
　
�APnを求めよ。

>>363
何が分からないのか具体的に。

Pn+1＝1/3(1-Pn)

数学が急遽必要になったねですが…
現在8から最低でも50点以上にあげる必要があります。

数IIとIIBの選択が可能ならばどちらがいいでしょう？

>>364
�@と�Aの問題です。
よろしくお願いします。

>>367
何も分からないの？

(a)n秒後にOにいる確率は「P(n)」
(b)n秒後にO以外の点にいる確率は「1-P(n)」
(c)n+1秒後にOにいるのは、n秒後にO以外の点にいて、しかもn+1秒目にOに移動する場合のみ
(d)よってn+1秒後にOにいる確率P(n+1)は「(1/3)*(1-P(n))」と等しい

(a)〜(d)のどれが分からない？

中心(0.3)半径1の円Cとx軸の両方に接するような円の軌跡を求めよ

という問題なんですけどどう考えたらいいですか?
円孤を消して考えろ　がヒントなんですが・・・

円の中心の軌跡ですね。言葉足らずでした。

天は人の上に人をつくり人の下に人をつくる。生まれが豊かなれば労せずして人の上となり親が貧なれば人の下となる。
ゆえに慶応は門閥・ゼニ・コネをもって至高の価値となす。門閥は親の仇と言ふはもってのほかなり。
貧乏人と朝鮮人はくたばってしまえ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜Y吉門下

>>369
(x, y)とx軸の距離は|y|
(x, y)と(0, 3)の距離は√(x^2+(y-3)^2)
|y|=√(x^2+(y-3)^2)±1≧|y-3|-1
y≧1
y±1=√(x^2+(y-3)^2)
(y±1)^2=x^2+(y-3)^2
y^2±2y+1=x^2+(y-3)^2
6y±2y=x^2+8
y=x^2/8+1, y=x^2/4+2

>>369
２次曲線の単元なら、
放物線の定義を考える。
準線がカギ。

nを自然数とするとき、次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
1＾2,-2＾2,3＾2,-4＾2,5＾2,…

第n項は(-1)＾n-1*n＾2だということまでは分かったのですが、その先が分かりません。

よろしくお願いします。

1^2-2^2+3^2-4^2+5^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2-2(2^2+4^2)
1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2-2(2^2+4^2+6^2)

三角関数の相互関係から質問です

2次方程式 25x^2-35x+4k=0 の2つの解がsinθとcosθであるとき、定数kの値を求めよ。

という問題です。どなたか、解き方の解説をお願いします。

>>376
sinθ+cosθ=35/25=7/5
(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1+2sinθcosθ=49/25
sinθcosθ=4k/25=(49/25-1)/2=12/25
k=3

>>376
ちょっとは勉強しなさいw
基本中の基本じゃないかw

この問題の解説の解説お願いします。

http://kissho.xii.jp/1/src/1jyou96985.jpg

次のベクトル空間Wの次元と1組の基を求めよ
(5)が分かりません
http://imepita.jp/20091118/539000

f(x)をa+bx+cx^2+dx~3とおいて代入したりしたんですけど、解けません・・・
教えてもらえるとありがたいです

>>379
なんだかよくわからない解説だなあ。
10％の食塩水の食塩濃度と22％の食塩水の食塩濃度を別々に考える。
前者は溶液が4倍になったのだから10/4％になり、
後者は溶液が4/3倍になったのだから22*3/4％になるので、
合計すると(10+22*3)/4％の食塩濃度になるはず。

>>380
すれ違い

座標平面上に3点A(a,0)、B(3a,0)、P(0,y)をとり、∠APB=θとおく。ただしaは正の定数で、y＞0とする。
Pがy軸上を動くとき、θが最大となるPの座標、およびその時のθの値を求めよ。

この問題で自分は直線PA、PBとx軸のなす角をα、βと置いて、θ=β-αとして解いたら答えが合わなくなりました。
ちなみにtanα=-y/a、tanβ=-y/3aとなり、tanθに-がつきました。

どこが間違いなんでしょうか？
長くなりましたが、お願いします。

>>383
> θ=β-α
なんで？

>>383
cosθ=AP・BP/(|AP||BP|)=(3a^2+y^2)/√((a^2+y^2)(9a^2+y^2))=√((3a^2+y^2)^2/((a^2+y^2)(9a^2+y^2)))=√((9a^4+6a^2y^2+y^4)/(9a^4+10a^2y^2+y^4))=√(1-4a^2y^2/(9a^4+10a^2y^2+y^4))
=√(1-4a^2/(9a^4/y^2+10a^2+y^2))≧√(1-4a^2/(10a^2+2√((9a^4/y^2)(y^2))))=√(1-4a^2/(10a^2+6a^2))=√(1-4/16)=(√3)/2
θ≦π/6
（等号成立は9a^2/y^2=y^2すなわちy=√(3a)のとき）

>>384
△APBにおいて
α+(π-β)+θ=πとしたんですが、もしかしてα､βの位置が間違ってますかね？

>>383
tanθ=tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=(-y/(3a)+y/a)/(1+(-y/(3a))(-y/a)))=(2y/(3a))/(1+y^2/(3a^2))=1/(3a/(2y)+y/(2a))≦1/(2√((3a/(2y))(y/(2a))))=1/√3
θ≦π/6
（等号成立は3a/(2y)=y/(2a)すなわちy=√(3a)のとき）

>>386
> α+(π-β)+θ=π
なんで？ どこがαでどこがβ？

>>380
設問の説明が足りない
そもそも
W={f(x)∈R[x]_3}
って何？
f(x)は3次の多項式ってことで解釈していいのか？
だったらこの多項式の成す線形空間は
dim{1,x,x^2,x^3}=4
でK^4と同型だが
規底については2つの方程式から変数消してやってきゃいい
まぁ凄くアバウトな説明だが勘弁

お願いします。略解だけではなく、途中式なども書いていただけるとありがたいです。

（以下問題）
１つの袋に５個の球が入っており、それぞれに、０、１、２、３、４の数字が書かれている。
この袋から球を１つ取り出し、もとに戻すという試行を繰り返していき、取り出した球に書かれた数字と直前の試行で
取り出した球の数字との和が４となったとき終了する。
n≧2とする。ｎ回以下の試行で終了したときは、最後に取り出した球に書かれた数字を得点とし、
ｎ回の試行では終了しない場合の得点は０とする。
このようにして定まる得点の期待値をE(n)とする。

(1)2≦k≦nとする。ちょうどｋ回目の試行で終了する確立P(k)を求めよ。
(2)E(n)をnを用いて表せ。

>>390　名前欄はミスです。失礼しました。

>>390
P(1)=0
P(k)=(1/5)(1-P(k-1))
t=(1/5)(1-t)=1/6
P(k)-1/6=(-1/5)(P(k-1)-1/6)=(-1/5)^(k-1)(P(1)-1/6)=-(1/6)(-1/5)^(k-1)
P(k)=(1-(1/5)^(k-1))/6

E(n)=Σ[k=1, n]((0+1+2+3+4)/5)P(k)=(1/3)Σ[k=1, n](1-(-1/5)^(k-1))=(1/3)(n-(1-(-1/5)^n)/(1+1/5))=(1/3)(n-5/6+(5/6)(-1/5)^n)

>>387
おかげで解決しました
どうやら書いて頂いた式の途中で計算ミスをしていたようでした。
ありがとうございました。
>>388
直線BPとx軸のなす角をβ、直線APとx軸のなす角をαとしましたよ。

>>392
>P(k)=(1/5)(1-P(k-1))
P(k)=(1/5)(1-P(1)-P(2)-…-P(k-1))=(4/5)P(k-1)=(4/5)^(k-2)P(2)=(4/5)^(k-2)(1/5)(1-P(1))=(1/4)(4/5)^(k-1)

E(n)=Σ[k=1, n]((0+1+2+3+4)/5)P(k)=(1/2)Σ[k=1, n](4/5)^(k-1)=(1/2)(1-(4/5)^n)/(1-4/5)=(5/2)(1-(4/5)^n)

>>394
>E(n)=Σ[k=1, n]((0+1+2+3+4)/5)P(k)=(1/2)Σ[k=2, n](4/5)^(k-1)=(1/2)(4/5-(4/5)^n)/(1-4/5)=2(1-(4/5)^(n-1))

>>394
k回までに終了しない確率をq(k)とすると
q(1)=1
q(k)=(4/5)q(k-1)=(4/5)^(k-1)q(1)=(4/5)^(k-1)
p(1)=0
p(k)=(1/5)q(k-1)=(1/4)(4/5)^(k-1) (k≧2)

y=√3・sin(x+30度) 0≦x≦180
最大値、最小値を求めよ。

三角関数は苦手です。誰か教えてください
ちなみに答えは
最大値√3 (x=60度)　最小値-√3/2 (x=180度)　です。

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>>397
その範囲のsinの最大値、最小値を考えてあとから√3倍すればいい
0°≦x≦180°ならx+30°はどんな範囲をとるか考えて、
単位円でその範囲のsinの値(ってことは単位円のｙ座標)考えれば答えが出る。

a:定数、0≦x≦1の範囲でy=|x(x-a)|√(1-x)とx軸で囲まれた部分を
x軸周りに回転して得られる立体の体積を最小にするaを求めよ

という問題で計算していくと
V=π∫[0.1](x^2){(x-a)^2}{(1-x)}dx
っていう式が出てくるんですけど、この積分なんとか工夫して
綺麗に裁く方法は無いですか?
模範解答は全部一気に展開して
π∫{-x^5+(2a+1)x^4+・・・+a^2x^2}dxを計算して解答してます。

>>400
あまり計算量が変わらないかもしれないけど、
(x-a)^2の部分だけ展開してaの2次関数V=a^2I_1+aI_2+I_3
（I_1=π∫[0.1]x^2(1-x)dx、I_2=-2π∫[0.1]x^3(1-x)dx、I_3=π∫[0.1]x^4(1-x)dx）
として考えるとか

共通接線の問題で判別式を満たしていても２曲線の形から共通の接線たりえないことはあるのでしょうか？
やさしい理系数学の演習100番の解説を読んでいて思ったのですが

すいません101番の東北の問題でした

>>402
問題書いて

円周の長さってどうやって求めるんですか？直径×３．１４で合ってますか？

巻き尺で計る

お願いします。詳しく解説していただけるとありがたいです。

（問題）
(1) すべての正の数x,yに対して,不等式x(logx-logy)≧x-yが成り立つことを証明せよ。
また等号が成り立つのはx=yの場合に限ることを示せ。

(2) 正の数x(1),･･･,x(n)がΣ_[i=1,n]x(i)=1を満たしているとき,
不等式Σ_[i=1,n]x(i)log{x(i)}≧log(1/n)が成り立つことを証明せよ。
また,等式が成り立つのはx(1)=･･･=x(n)=1/nの場合に限ることを示せ。

(ａ-ｂ)(ｂ-ｃ)(ａ-ｃ)
=‐(ａ-ｂ)(ｂ-ｃ)(ｃ-ａ)

白チャ(p47)から交代式についてなんですが、
文字を入れ替えた時の符号の付け方が分かりません。
「2つ文字を入れ替えたら符号を逆転させる」
で良いですか？

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(ａ-ｂ)(ｂ-ｃ)(ａ-ｃ)
=(ａ-ｂ)(ｂ-ｃ){-(c-a)}
=‐(ａ-ｂ)(ｂ-ｃ)(ｃ-ａ)

>>407
1/xは単調減少
1≦t
1≧1/t
∫[1, t]dx/x=[logx][1, t]=logt≧∫[1, t]dx/t=(t-1)/t=1-1/t
1>t=x/y
1<1/t
∫[t, 1]dx/x=-logt≦∫[t, 1]dx/t=(1-t)/t=1/t-1
いずれにせよ
logt≧1-1/t
t=x/yとすると
log(x/y)=logx-logy≧1-1/(x/y)=(x-y)/x
x(logx-logy)≧x-y

>>404
y=e^xとy=ax^2の両方に接する直線の本数を求めよ
別にこの問題が解けなかったわけじゃなくて解説の一文が引っかかっただけですが

等号成立はt=1すなわちx=yのときのみ

y=1/nとするとx(logx+logn)≧x-1/n
Σxi(logxi+logn)=Σxilogxi+logn≧Σ(xi-1/n)=0
Σxilogxi≧-logn=log(1/n)

等号成立はすべてのxi=1/nのときのみ

>>402
指数関数で判別式？

>>406
そんなこと試験で出来ねぇだろが低脳が

>>410
自分は何を考えていたんだろう…何も考えられなかったんでしょうけど。
ありがとうございます！

正の実数Ａ，Ｂ，Ｃがあり　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ+Ｂ+Ｃ、１/Ａ+１/Ｂ+1/Ｃのどちらかは３以上となることを証明せよ
わかりにくくてすみません　数�Tの範囲でお願いします

>>411
回答ありがとうございます。
いくつか分からない点があるので質問お願いします。

(1)
>1/xは単調減少
グラフを考えれば単調減少ということは分かるのですがこのことをどこで利用されているのでしょうか？
>1≦t
どうしてこうなるのかが分かりません。

(2)
>Σxi(logxi+logn)=Σxilogxi+logn≧Σ(xi-1/n)=0
Σ(xi-1/n)=0となるのはなぜですか？
また、Σ(xilogxi+xilogn)のようにはならないんでしょうか？

すごい簡単な問題なんだろうが混乱したから助けて下さい
｢丸いケーキに等間隔にローソクをたてる｣
1：赤2本、白2本、青1本のローソクをたてる方法は何通りか？
2：白4本、黒6本、紫1本のローソクをたてる方法は何通りか？

答だけでいいです
お願いします

>>420
> 答だけでいいです
じゃあ、スレチ

>>419

(1)
＞1/xは単調減少
>グラフを考えれば単調減少ということは分かるのですがこのことをどこで利用されているのでしょうか？
不等式　∫[1, t](1/x)dx≧∫[1, t](1/t)dx　と　∫[t, 1](1/x)dx≦∫[t, 1](1/t)dx　を示すのに使っている。
∵関数 1/x が単調減少だから 1≦x≦t のとき 1/x≧1/t なので ∫[1, t](1/x)dx≧∫[1, t](1/t)dx
∵関数 1/x が単調減少だから t≦x≦1 のとき 1/x≦1/t なので ∫[t, 1](1/x)dx≦∫[t, 1](1/t)dx

＞1≦t
>どうしてこうなるのかが分かりません。
そうなるのではありません。そうしたのです。
上記のように1とtとの大小関係によって使うべき不等式が違うため，t=1の前後で場合分けをしたのでしょう。

(2)
＞Σxi(logxi+logn)=Σxilogxi+logn≧Σ(xi-1/n)=0
>Σ(xi-1/n)=0となるのはなぜですか？
Σ(xi-1/n)=(Σxi)-(1/n)(Σ1)=1-(1/n)*n=1-1=0


>また、Σ(xilogxi+xilogn)のようにはならないんでしょうか？
なっています。Σxi(logxi+logn)=Σxilogxi+logn に至る計算の途中で。

>>418
A、B、Cは正であるからそうか相乗平均が使えて
A+B+C>0
1/A+1/B+1/C>0
A+1/A+B+1/B+C+1/C
>=(√A/A+√B/B√C/C)*2
=6
であるため少なくとも一方は3以上
証明終わり

>>422
詳しく質問に答えていただきありがとうございます。
場合分けだったんですね。

お陰で何とか理解できることができました。
また機会があればお願いします。ありがとうございました。

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>>420
単なる円順列

点(a,b.c)からy軸に下ろした垂線の足が(0.b.0)にいくのってどうしてですか?
同様にx軸に下ろすと(a.0.0).z軸に下ろすと(0.0.c)のようですけど・・・

>>427
通常、断りがなければ座標ってそういうものだから。

>>427
座標平面で考えてみたら？

>>428
つまり定義なんですか?
座標に限らなくても普通の一辺の長さがa.b.cの直方体をイメージして直方体を持ってきたとすれば
縦横高さにa.b.cだけ進んだ頂点から、底面の縦の直線に垂線下ろすと
必ず縦にaだけ進んだ位置にある頂点を通るってことですよね・・・

>>429
2次元ならわかるんですが・・・・

>>427
3垂線の定理とよばれる定理があり
その定理を直交座標空間に適用してだけ。
証明しらべてみたら?

>>431
ありがとうございます。早速ぐぐってみます

>>430
点(a,b.c)からy軸に降ろした垂線の足は、y=bという面上にあるはずじゃん。

>>430
点Aがどこかにあって、その座標を読み取ろうとしたときどうする？
x軸に降ろした垂線の足のx座標を点Aのx座標をするんじゃないの？

正方形を9マスに切り分けて、真ん中以外の8マスに1〜8の数字を一つずつ埋める。
また、正方形を回転させて一致するような並べ方は同じとみなす。

この並べ方は何通りあるか。

1,2,3(順序は問わない)が、隣り合う並べ方の確立を求めよ。


どう考えればいいのかわかりません。
誰かお願いします。

>>435
1が四隅のどこかにあるときと四隅じゃないときに分けて円順列じゃだめかな？

123の真ん中の数字が四隅のどこかにあるときと四隅にないときに分けて円順列。
そのそれぞれに123を並べる並べ方があるからってのじゃダメなか？

空間ベクトルの問題です。

　空間において、点Oを中心とする半径１の球面上に相異なる４点A，B，C，Dを
とり、△BCD，△CDA，△DAB，△ABCの重心をそれぞれP，Q，R，Sとおく。
　このとき、線分OP，OQ，OR，OSのうち、少なくとも１つは長さが１/３以上で
あることを証明せよ。

全ての長さが１/３未満であると仮定して矛盾を導けばよいのは分かるのですが、
肝心の矛盾が見つかりません…

少なくとも〜って見ると背理法使いたくなるけど>>423と同じような感じで
|OP|^2+|OQ|^2+|OR|^2+|OS|^2≧1/9
を示せばよい。理由は自分で考えてみて

>>436
まず全部の並べ方がよくわからないんです。

私は、8マスを直線の並びと考えて8！÷2だと思うんですが。

>>438
よく分からないです＞＜

>>439
最初に書いたのが全部の並べ方のことなのだが。

君の考え方は
> 正方形を回転させて一致するような並べ方は同じとみなす。
を無視している。

まず、円順列の基本を調べ直してみたら？

>>441
円順列と、正方形の8マスとだとどう違うのかがイメージしにくいですね…

123
4 5
678

812
7 3
654

とで分けるって意味ですか？

>>442
そうだよ。
1が角にあるのと角にないのは回転させても同じにならないだろ？

>>443
それだと(n-1)!の公式は使えないですね。
少し考えてみます。

>>444
だから、円順列ってのを調べてみろってば。
自分で編み出すつもりか？ たいしたことじゃないので編み出せなくもないだろうけど。

y=x^3-xのグラフをCとし、Cをx軸方向にk（0<k<2）だけ平行移動した曲線をDとする。
Dの方程式を求めよ。

答えは現在手元にありません。お願いします

ちなみに自分では
y=x^3-3kx^2+(3k^2-1)x+定数項
になりました

>>445
調べてもいまいちこの問題につなげられないから困ってるんです。

>>447
円順列ってどう考えるって書いてあった？

>>446
y=(x-k)^3-(x-k)
「定数項」じゃ答えとしてまずいだろと思う。

>>437
|p|, |q|, |r|, |s|<1/3
|b+c+d|, |a+c+d|, |a+b+d|, |a+b+c|<1
|b+c+d|^2, |a+c+d|^2, |a+b+d|^2, |a+b+c|^2<1
|b|^2+|c|^2+|d|^2+2(bc+bd+cd)=3+2(bc+bd+cd)<1
bc+bd+cd, ac+ad+cd, ab+ad+bd, ab+ac+bc<-1
bc+bd+cd+ac+ad+cd+ab+ad+bd+ab+ac+bc=2(ab+…+cd)<-4
ab+…+cd<-2
|a+b+c+d|^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2+2(ab+…+cd)=4+2(ab+…+cd)<0

>>435
1が4隅にある場合回転させて左上にすると7!通り
1が4辺の中央にある場合回転させて上部中央にすると7!通り
2・7!=10080

1, 2, 3が1辺に並ぶ場合回転させて上部にすると3!・5!
1, 2, 3が4隅の1つとその両隣に並ぶ場合回転させて左上にすると3!・5!
2・3!・5!=1440
2・3!・5!/(2・7!)=3!/(7・6)=1/7

>>420
青のロウソクを起点として考えて残りのロウソクを立てる場所4ヶ所のうち2ヶ所が赤で2ヶ所が白
4C2=6

紫のロウソクを起点として同様に
10C4=210

垂心をベクトルで表すとどうなりますか？
なぜそうなるのですか？

nは3以上の自然数とするxyz空間において、立方体v={(x,y,z)［x］<=n、［y］<=n、［z］=<n)
※［　］は絶対値記号
に含まれる格子点のうち、次の条件を満たす点の数を求めよ
(1)［x］>［y］>［z］
(2)(［x］-［y］)(［y］-［z］)(［z］-［x］)=0すみませんが教えて下さい

>>454
x>y>z≧0で考えて符号を付ける
|x|>|y|>|z|>0である格子点の総数は2^3nC3=4n(n-1)(n-2)/3
|x|>|y|>|z|=0である格子点の総数は2^2nC2=2n(n-1)
合計2n(n-1)(2n-1)/3

格子点の総数は(2n+1)^3
|x|≠|y|≠|z|≠|x|である格子点の総数は3!・2n(n-1)(2n-1)/3=4n(n-1)(2n-1)
|x|, |y|, |z|の何れかに等しいものがある格子点の総数は(2n+1)^3-4n(n-1)(2n-1)=24n^2+2n+1

>>454ですが、>>454
コンビネーションがなぜ出てくるのかが分からないのですみませんが教えて下さい
自分はz=t(0<t≦n)とおいて、y<±xを同時に満たす範囲を調べて
まずΣ(k=t+1〜n){2k-1｝と置いて更に、Σ(t=1〜n)として和を取って、t<0の時も同じだからこの和を2倍。後、t=0の時の格子点を調べて足したんですが、どこがいけないでしょうか?

すみません
２つ目の<<454は<<455の間違いです

sinＡ:sinＢ:sinＣ=6:4:3のときＡＢ:ＢＣ:ＡＣは何ですか？

<<458
正弦定理使えば速攻でわかる

>>456
その方法でも出来るでしょう
組み合わせになるのは
n≧x>y>z≧1であるx, y, zを選ぶとは
1〜nの中から数を3つ選んでx, y, zに割り当てるということになるからです

>>460
理解しました
そういえばハイレベル理系数学にも別の単元で同じ事が書いてあったのを今思いだしました
ご丁寧な解説ありがとうございました

>>460
>n≧x>y>z≧1であるx, y, zを選ぶとは
n≧x>y>z≧1である(x, y, z)を選ぶとは

Z会の東大即応かｗその前の共1がkの二次関数で表せなくてめっちゃイライラしてたわｗあれできた？

<<454
だが、<<463共通1、理2、理3は解いた
理1はもうちょっと考えてできなかったからきこうと思う
共通1は円の座標を三角関数で表すのは当たり前なんだが、θを各速度ωを使うと簡単にkで表せるよ

>>464
よく分かんないけどPとQを三角関数で表して二点間のキョリを二乗して安直には出せないってこと？

アプローチがわかりにきーんだよｗもう少し考えてみるか

<<465
p(cos2ωt、sin2ωt)
Q(acos4ωt、a+asin4ωt)
と置いて俺は2点間の距離を調べた

定積分の計算なんですが
∫[0,1]xcos(πx^2/2)dx

cosの中身がx^2の積分は初めてなのですが、どうやって解いたら良いでしょうか？

すみません普通に置換して解けました
夜更かしは良くないですね

modって使う前に定義を書いた方がいいですよね？

>>454ですが、455のコンビネーションの総数がn×2^3になっているのがわかりません
(2n)^3と思うんですか、間違ってたらすみません

>>469
いらない

>>741マジですか！ありとぅーっす！

線分交差の判定をなるべく簡潔に行いたいのですがどのような書方があるでしょうか

赤チャートの例題52の問題ですが

「正四面体ABCDの頂点から対面にそれぞれ垂線を引く。この4本の垂線は一点に交わることを証明しろ」
という問題で答案に
線分AH（Aから面BCDに下ろした垂線）を3：1に内分する点で交わるということなのですが
この3：1というのはどこからきてるのでしょうか

>>474
その答案をかけ

>>474
ハイレベル受験生の常識です
ただし、答案では証明無しに使うのはだめかも

>>474　前後関係が不明だが
>線分AH（Aから面BCDに下ろした垂線）を3：1に内分する点で交わるということなのですが
1点で交わることを証明した「後に」、AHを3:1に内分する点であるということを言うのであれば、

その交点をGとすれば四面体GABC≡GBCD≡GCDA≡GDAB
で、これら4個の四面体をあわせれば正四面体ABCDができる

ってことは正四面体ABCDに対して四面体GBCDは、底面共通で、後者の体積は
前者の1/4なんだから高さが1/4、よってGH=(1/4)AH

でいいと思うが。

と書いてから気づいたが、逆にこういう点Gを先に考えて、
BGが面CDAに垂直になってることを言えば元の問題の解答になるね。

先に該当する点を想定して、その点が確かに条件を満たすことを言う形になるが、
これでも別に証明として問題はない。

こんばんは。

長方形の対角線を結んでできる４つの三角形のうち、
２つの三角形の面積比を、
それぞれの対角線の比を用いて出せるでしょうか。

つまり、四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥとして、
ＡＥ：ＥＣとＢＥ：ＥＤから三角形ＡＢＥと三角形ＣＤＥの面積比は
出せるでしょうか。
それとも、他に条件が必要なのでしょうか。

よろしくお願いします。

>>479
1:1だよ。
対角線の交点から各辺のへ垂線を引いてみればわかる。

>>479
もしかして、長方形限定じゃないってことか？
だとしても、出せる。
底辺の比がAE:EC、高さの比がBE:ED（対頂角は等しい）ってだけ。

>>474
正四面体ABCDに外接する球の中心O、OA↑=a↑　などのように表すと、
a↑+b↑+c↑+d↑=0↑、4本の垂線はOで交わる筈で、三角形BCDの重心はHと一致。
a↑=-3 ×(b↑+c↑+d↑)/3=-3ｈ↑

>>479
2つの比を、そのまま左は左、右は右で掛けた比が面積比だから他の条件は不要。

＞a↑+b↑+c↑+d↑=0↑　証明が必要
＞4本の垂線はOで交わる筈　証明が必要
＞三角形BCDの重心はHと一致　証明が必要

>>481
ありがとうございます。

それは最初に考えたんですが、
∠ＡＥＢ＝∠ＡＥＤ＝９０°でないと成立しないんじゃないでしょうか？

頭悪くてごめんなさい。

>>484
成立する。比だよ。

三角形ABCがあったとして（底辺をBC、頂点をAとする）、
AをABの延長線上に伸ばしたら、例えば2倍に伸ばしたら高さは2倍になるだろ？
わからなければ、頂点から底辺に垂線をおろして直角三角形をつくって（高さは当然垂線の長さ）、
相似になること確かめてみて。

>>474の答案です　赤チャート数学Bの例題52の問題（空間ベクトル）です

4本の垂線をAH1、BH2、CH3、DH4として
点B、C、D、H1、H2、H3、H4の点Aに関する位置ベクトルを、
それぞれ3|ｂ|、3|ｃ|、3|ｄ|、|ｈ1|、|ｈ2|、|ｈ3|、|ｈ4|とする。

△BCDの重心をG1とすると
　　　　　|AG1|＝|ｂ+ｃ+ｄ|
また　　　|ｂ|＝|ｃ|＝|ｄ|　、|ｂ・ｃ|＝|ｃ・ｄ|＝|ｄ・ｂ|
よって　　|AG1・BC|＝|ｂ+ｃ+ｄ|・|3ｃ−3ｂ|＝3（|ｃ|＾2−|ｂ|＾2＋|ｃ・ｄ|−|ｄ・ｂ|）＝0
同様に　　|AG1・CD|＝0　　　　　ゆえに　　　AG1⊥BC、AG1⊥CD
したがって、AG1はAから面BCDに下ろした垂線で、G1はH1と一致する。

そこで線分AH1を3：1に内分する点をF1とすると
　　　　　　　AF＝3/4|ｂ+ｃ+ｄ|・・・・・・・・�@
H2は△CADの重心に一致し、線分BH2を3：1に内分する点をF2とする
　　　　　　　|ｈ2|＝|ｃ＋ｄ|、　AF2＝1・3|ｂ|＋3（|ｃ＋ｄ|）/3＋1＝3/4|ｂ+ｃ+ｄ|
同様にして、CH3、CH4を3：1に内分する点F3、F4についても、|AF3|、|AF4|が�@に等しい。

よって、F1、F2、F3、F4、は一致し、この点で4本の垂線は交わる


ここまで答案です。
3：1というのはどこからきてるのでしょうか

>>486
「3:1に内分する点を考えるとたしかにそうなるけど、どうやって3:1ってのを見つけてきたのか」ってことでいい？

1点で交わるとすると、4つの頂点とその点を結ぶと正四面体が4つにわけられる。
これらは全く同じ4つになるから、体積は4等分される。
従って高さ（その点から各面までの距離）は正四面体の高さの1/4。

>>485
つまり、元の三角形ＡＢＣと、
ＡＢをＡの方向にｎ倍に延長した点Ａ´を用いた三角形Ａ´ＢＣの
相似比は１：ｎであることから、
四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥとして、
高さの比がＢＥ：ＥＤであると言えるのでしょうか。

>>488
そうだよ。
BとDからＡＣに垂線をおろしてみればわかる。

中学生あるいはもしかすると小学生の範囲だから、
教科書見てみて。

ありがとうございます。
>>474の問題の3：1の件ですが理解できました
平面図形からやり直します

>>489
教科書見てもなかったです……orz
自分の平面幾何の才能のなさには泣けてくる＞＜

相似になるのは分かったんですが、
それを>>479にどう応用すればいいのかさっぱりです。
ＢＥ：ＥＤも底辺の比と考えれば分かるでしょうか？

>>479について自分なりに考えたんですが、

ＡＥ：ＥＣ＝ａ：ｂ
ＢＥ：ＥＤ＝ｃ：ｄとすると、

三角形ＡＢＥ：三角形ＢＣＥ＝ａ：ｂ
三角形ＢＣＥ：三角形ＣＤＥ＝ｃ：ｄとなり、

三角形ＣＤＥ＝（ｄ／ｃ）三角形ＢＣＥ
ゆえに　三角形ＡＢＥ：三角形ＣＤＥ＝ａ：ｂ（ｄ／ｃ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｃ：ｂｄ

となりました。合っていますか？

y=xとy=x^2のグラフで囲まれた部分の面積って１であってますか？

一辺１の正方形と同じ面積に見える？

>>493
この問題は積分で解ける。
ｘ−ｘ＾２＝−ｘ（ｘ−１）である。
積分の基本公式
−∫［α、β］（ｘ−α）（ｘ−β）ｄｘ＝（１／６）（β−α）＾３
によれば、
−∫［０、１］｛ｘ（ｘ−１）｝ｄｘ＝（１／６）（１−０）＾３
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１／６）・１＾３
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１／６）・１　
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１／６
である。
よって、１は誤り。１／６が正しい。　　

a

標準問題精講�TAの演習44についての質問です。

問題　４つの数字０，１，２，３の中から３つの数字を選んで、３桁の数を作るとき、３の倍数は何通り出来るか

ここで解らないのは、３の倍数になるのは、０，１，２，３の和が３の倍数時であるとしてますが、どうして
そうなのかが解りません。　お願いします。

>>497　訂正

０，１，２，３の和が３の倍数時　→　０，１，２，３から和が３の倍数になる異なる3つの数字を選んだ時

たとえば39は3の倍数だけど10の位の3と1の位の9の和は
3+9=12で3の倍数でしょ?

129も3の倍数だけど各桁の整数の和を計算すると
1+2+9=12=3の倍数になってる

一般に整数abcde・・・・zが3の倍数だと
a+b+c+d+・・・・+zが3の倍数になる

証明も結構簡単に出来る。

>>497
ありがとうございます。　ただ、その証明がわからないので、質問しました。　改めて証明のし方を質問します。　

進研で数学合計８２点で国公立無理ですかね？

>>500
以下のように証明する。

証）lを１から９までの自然数、
　　m,nを０と１から９までの自然数とする。
100l+10m+n=99l+9m+(l+m+n)
=3(33l+3m)+(l+m+n)
l+m+nが３の倍数のとき、100l+10m+nは３の倍数になる。(Q.E.D.)

式と証明の基本。教科書を読み直せ。

>>500
a*10^n≡a (mod3)であることを示す・・・(1)
n=1.2のとき成立
n=nのとき、a*10^n≡a (mod3)を仮定して
a*10^(n+1)≡10a≡a (mod3)なので(1)は示された

(1)を用いて
a[n]10^n≡a[n] (mod3)だから
a[n]10^n+a[n-1]10^(n-1)+a[n-2]10^(n-2)+・・・a[0]≡a[0]+a[1]+・・・+a[n](mod3)
よってn桁の自然数が3の倍数ならば各桁の和も3の倍数

とかね。

>>502
ありがとうございます。よくわかりました。

>>503　わざわざ合同式を使って説明してくれてありがとうございます。よく解りました。

数学問題についてではないのですが質問します。
自分は東大志望の文系です。
この前の第二回東大実戦では１完もできませんでした。
しかし、今家で時間はかって解いたところ、全完できました。
いつもそうなのですが、模試になると全くできなくなります。
本当に困ってます。どうかご教授おねがいします。

>>506
スレチじゃないか？

△ABCの重心をGとするとき、△ABCの辺、中線およびそれらの延長上にない任意の点Pに対して、
等式AP^2+BP^2+CP^2＝AG^2+BG^2+CG^2+3GP^2が成り立つことを証明せよ。

という問題なのですが、解答ではBCの中点をL、線分AGの中点をMとすればよいと
書いてあるのですが、どのような発想をすればよいのでしょうか。
よろしくお願いします。

>>508
まだ解いてないが、俺なら重心を始点にしてみるかな

>>503
桁違いにセンスがいい……。
自分の証明がダサすぎて見ていられない……orz
合同式は高校で習ったんだけど、
どうしても覚えていられない……orz

旧課程青チャート2+Bの解説を読んでいたら、
(β-α)^3≦8が、何の断りもなしに
(β-α)^2≦4と変形されていました。

どうやって大小関係がそのままだと保証しているんでしょうか？
少しいい加減に思えるのですが。

http://imepita.jp/20091124/608190
http://imepita.jp/20091124/613420

全く分からないのですいませんが、お願いします。

>>510
そうか？なんでもかんでも合同式は逆にセンスが悪いと思うけど

>>511
(β-α)^3≦8⇔β-α≦2

>>512です。
下だけでいいのでお願いします。

>>511
問題文しらんけどβ≧αなんでしょ？
両辺≧0だから8=2^3とみて2/3乗しただけ

β-αが正じゃないとこまるね

>>514 >>516-517
ごめんなさい。β＞αです。
ですから、β-αは正です。
β−α=2としてよい根拠がわからなかったんですが……。

8を素因数分解すると2^3で、
3つのβ-αは等しくなければならないのですから,
β−α=2ですね。

ありがとうございました。

円順列とじゅず順列の違いは糸で繋ぐかどうかの違いなのですか？

1.　10本のくじの中に４本当たりがあるこのくじから同時に４本ひくときその中に３本以上
あたりが含まれる確率
2.　８本のくじの中に２本当たりがあるこのくじから同時に８本ひくときその中に１本以下
あたりが含まれる確率

それぞれの答えは　1/42 1/16となったのですが答えが合いませんご教授願います。

>>512 下　円柱の軸方向の長さが十分に長いことが言ってないのは問題の不備かなとも
思うが、これは成り立っているとして。

最初z=ｔで切ると、寝かせた円柱を軸に平行な水平面で切ることになるから断面は長方形。
その幅(y軸方向)は2√(r^2-t^2)　(x軸に垂直な断面を考えればいい)
これを対角線長4/r(一辺(2√2)/ｒ) で、xy平面での断面が◇のように置かれた正方形で
切るんだから、その断面は
　 ＿＿＿
／　　　　 ＼
＼＿＿＿／　のような六角形。

この面積は、結局横4/ｒ、高さ2√（r^2-ｔ^2)の長方形から、
対角線長2√（r^2-ｔ^2)の正方形（←四隅にできる直角2等辺三角形*4）を取り除いたもの。
なお、円柱をxy平面に平行な断面で切ったときの断面のｙ軸方向の幅は最大で2ｒ、
四角柱をxy平面に平行な断面で切ったときの断面のｙ軸方向の幅は常に4/ｒ、
今ｒ≦√2なので4/ｒ≧2ｒであるから、考えている面が正方形になるのは
r=√2かつxy平面そのもので切ったときだけで、残りでは常に上のような六角形になる。

ここまでで間違えてなければ、あとはこれをz軸方向で積分すれば(2)が出るし、
それをrの関数と見てやれば(3)もできるはず。

>>521
この問題難しいですか？
あと、受験生ですか？

>>521
「その断面」は(…六角形）→考える交わりの面は

>>522
書いたので合ってれば、あまり難しいとは思わない。非回転体の体積の問題としては
そんなに厳しい方ではないとは思う。ただ、自分の世代では、中学が技術・家庭別習で、
男子は三面図を描かされた&高校ではベクトルに依らない空間座標があったので、
それらが空間図形を捉える上での準備の差になってるかもしれないけど。
まあ、そういう歳なので、重ねて言うまでもなく受験生ではない。

戦前生まれの方ですか？

小中高の算数・数学で言えば、いわゆる現代化カリキュラム課程の世代だよ。
大学受験で言えば、共通一次初期の時代。自分の世代だと中学での技術は
1・2年は週3コマあって、中1の1学期で三面図とか斜投影法・等角投影法で
立体を表現することをやらされたわけ。流石にドラフターは使わなかったけど。

高2・高3で空間座標扱うとき、図を描くためにこれらの素養がかなり直接的に
役立ったので、あれを全然やらない世代の人に比べれば、空間座標の扱いには
ハンデはあるよなぁと。ただ逆に、2次曲線も複素平面も高校までの(正規の)
カリキュラムにはなくて、今でも2次曲線は教えるときは苦手分野。

■■■■黄チャート　　合格祈願！！■■■■

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基本的な質問ですみませんが、定積分の積分した後の計算のとき、普通は［　］の右上に大きい数、右下に小さい数を書くと思いますが、符号や上下を入れ換えたほうが計算し易いときに、カッコの右上下の数を入れ換えた式を答案に書いてもいいのでしょうか？

>>527
前後でちゃんとイコールが成り立つなら、ｲｲと思います。

>>528
どうもありがとうございます。

等比数列の和の公式を図形的に説明するには
どのように考えればよいのでしょうか？
すでに検索して該当ページを見たのですが
あまりよく理解できませんでした。
わかりやすい解答をよろしくお願いします。

またお前か

>>530
それをここで説明しろと？

実数x,yが不等式x^2+xy+y^2≦3を満たすとき、X=x+y,Y=xyについて
点(X,Y)の存在する範囲を図示せよ。

という問題なのですが、どうしてY≧X^2-3の領域だけではだめなのでしょうか。

>>533
>実数x,yが
　↑
これ

x,yが実数になると限らんから
たとえばX=0, Y=1としてx,yを求めるとどうなる？

>>532
「どのように考えればよいのでしょうか？」

x+y=X, xy=Y を(x, y) についての方程式として解く
x(X-x) = Y
x^2-Xx+Y=0
これの解が実数になるのが必要条件なので、判別式を用い
X^2-4Y≧0
以上より、
Y≦1/4 X^2

これと先ほどの
Y≧X^2-3

で囲まれた部分を図示すればよい

三角形ABCの外心Oを始点として垂心Hの位置ベクトルを求めよ
がわかりませんおしえてください

>>538
ttp://d.hatena.ne.jp/gould2007/20070710

オイラ―線の性質は証明なしで使ってもいいですか?

等比数列の和の公式を図形的に説明すること
ここの人には容易に説明できないのですね・・・

とある問題で、
0＜a≦1のとき、|a＋1|=a+1、ここまではわかるんだが、|a-1|=-(a-1)となる理由がわからん・・・
0＜a≦1
~~~~~←なんだから、aは1を含むはずだと思うんだけども、どうなんでしょう。　　　　　　　　　　
教えてくだせえ〜。

山本俊郎数学1a頻出パターン３０のpattern1からつまずいてオワタ／(＾o＾)＼

>>542
意味がわからないんだが・・・

a=1のとき、|a-1|=-(a-1)=(a-1)=0なんで
|a-1|=a-1としても-(a-1)としてもa=1のときは同じ

a-1≧0のとき⇔a≧1のとき
|a-1|=a-1
a-1≦0のとき⇔a≦1のとき
|a-1|=-(a-1)

0<a≦1のとき
|a-1|=-(a-1)

間違えた

0＜a≦1
ここ~~~~　　だった、すまん

>544
ごめん、わからない・・・

俺あほすぎわろた

まぁそれなら、何がわからないのか言葉に出来るようになったらまた書いてくれ。

>>545
含んでもかまわないじゃん。
a=1のとき、a-1=0。
|0|=-0でおかしくないよ。-0=0だから。

|a＋1|=0だったら|a＋1|=(a+1)だよね？
それだったら|a＋1|≦0も(a+1)にしかならないと思うんだけども。

あーわからんｗ

>>549
|a＋1|=0だったら|a＋1|=(a+1)でもあるし、=-(a+1)でもある。

この場合の説明としては「a+1=0だったら」としないとおかしいけどね。

？？

0＜a≦1のとき、aが0じゃないけど、0に限りなく近い値から0.99999999999999･････までで|a-1|=-(a-1)ならわかる。
だけどa=1のとき、何故|a-1|=-(a-1)なのかがわからない。a=1のとき|a-1|にa=1を代入したら|0|になって、|a-1|=a-1になるんじゃないの？

もし同じようなこと既に書いてたらごめん

黄チャ�V+C第（11刷）54ページ［B］63（群馬大）の（3）についての質問です。
無限級数の和を求める問題ですが、解答で
a1+（a2+a3+…+an+…）
と、（ ）でくくってるんですが、これでいいんでしょうか？
a1はn≧2とは異なる規則性です。
ちなみに、同じ黄チャの50ページ欄外に「部分和（有限個の和）なら（ ）でくくってよい。」という記述があります。

>>552
絶対値の外しかたを公式みたく覚えるんじゃなくてちゃんと中身の数字でかんがえろよ
a=1のときはa-1も|a-1|も-|a-1|ただの文字じゃなくてぜーんぶ0なんだよ
ぜんぶ0なんだから
a-1=|a-1|=-|a-1|
にできるだろ
a=1はどっちに含めてもいいんだよ

tan1は有理数か,って問題で

tan1が有理数だと仮定すると,
加法定理を用いる事でtan(k+1)(0<K<88)まで有理数と解かるが,
tan30は無理数なので矛盾。　
∴tan1は無理数

としたのですが,問題ないですか？

(0<K<89) でした,すいません。

>>553
問題文も解答もわからないからわからない
不安なら部分和を求めればいいじゃない

>>555
tan１ﾟならそれでいいんじゃないの
帰納法でtan１ﾟが有理数ならその範囲でtan整数ﾟは有理数ってちゃんと示したほうがベターな気はする
ただのtan１ならむり

帰納法って何ですか？
まだ未修なんですが,これではダメですかね？　後tan1°です。

△ABCにおいて、AB=４、AC＝5、∠A＝60°とする。
∠Aの二等分線がBCと交わる点をDとし、△ABCの内接円の中心をMとする。
このときの線分MDの長さを求めよ。

という問題で、解答は内分を使って解いているのですが、
内接円の半径をrとして、△ABC＝△ABM+△BMC+△CMAとしてやってみたのですが答えが合いません。
内接円の半径をrとおいて解く方法は間違っているのでしょうか。

>>559
MDとBCは垂直じゃないから、ｒ≠MDであるわけだが。
いやそんな勘違いはしてないというなら、r求めた後どう進めたのか書いてみて。

>>560
ありがとうございます
r=MDで計算してました・・・

>>559
∠Aの2等分線は内接円の中心を通るのでMD=AD-AM
BC^2=4^2+5^2-2・4・5cos60°=21
BC=√21
BD:DC=AB:AC=4:5
BD=(4/9)√21
DC=(5/9)√21
(4/9)^2・21=4^2+AD^2-2・4・AD・cos30°
(5/9)^2・21=5^2+AD^2-2・5・AD・cos30°
1/9・21=9-√3AD
AD=(20/9)√3
△ABC=1/2・4・5・sin60°=5√3=(1/2)(4+5+√21)r
r=10√3/(9+√21)=(3√3-√7)/2
AM=r/sin30°=2r=3√3-√7
MD=(20/9)√3-3√3+√7=√7-(7/9)√3

>>553
lim(a+Sn)=a+limSn

>>540
問題書いて

>>538
何を使って？

>>520
(4C4・6C0+4C3・6C1)/10C4=5/42

0

>>519
裏返せるのが数珠順列

>>512
f(x)=(logx)/x
f'(x)=(1-logx)/x^2=0
x=e
x<eで単調増加x>eで単調減少
f(e)=1/e>1/3>1/(3n)
f(1)=limf(x)=0
中間値の定理より
1<x<eおよびe<xの範囲に1つずつf(x)=1/(3n)の解が存在する

1<an<e<3
(logan)/an=1/(3n)
logan=an/(3n)<e/(3n)<1/n
an<e^(1/n)
e<bn
e/3<1<logbn=bn/(3n)
ne<bn
1≦liman≦lime^(1/n)=e^0=1
liman=1

>>512
4角柱とxy平面との交わりの正方形の頂点のxもしくはy座標の絶対値は(2√2/r)/√2=2/r
よってその正方形は|x-y|, |x+y|≦2/r
0<r≦√2<2/r
平面z=tと円柱の交わりをxy平面に正射影すると
|y|≦√(r^2-t^2)
y=√(r^2-t^2)=2/r-x
x=2/r-√(r^2-t^2)
S(t)=2(2/r-√(r^2-t^2))√(r^2-t^2)=(4/r)√(r^2-t^2)-2r^2+2t^2

V(r)=2∫[0, r]S(t)dt=(8/r)∫[0, r]√(r^2-t^2)dt+4[t^3/3-r^2t][0, r]=(8/r)πr^2/4-(8/3)r^3=2πr-(8/3)r^3

dV/dr=2π-8r^2=0
r=(√π)/2>0
増減表を作ると
V((√π)/2)=(2π-(8/3)((√π)/2)^2)(√π)/2=(2/3)√π^3
が最大

>>508
a+b+c=0
|p-a|^2+|p-b|^2+|p-c|^2=3|p|^2+|a|^2+|b|^2+|c|^2-2(a+b+c)・p=|p|^2+|a|^2+|b|^2+|c|^2

(3x^2ー1）を積分すると

(x^3ーx^2）になる式変形の過程を教えて下さい

電車の線路沿いの道を毎時9kmの速さで進んでいる人が15分ごとに電車に追い越され、９分ごとに向こうから来る電車とすれちがった。電車の速さは一定であり、電車は等間隔に運転されているとして、その速さを求めなさい。

という連立方程式の問題です
電車の速さをX、2台の電車の間隔をYとおいて、9分ごとに向こうから来る電車とすれちがったという文章からY＝9×9/60＋X×9/60って式を作るところまでは分かりました。

しかし、15分ごとに電車に追い越されたという文章から

X×15/60＝Y＋9×15/60

という式が作れる理由がわかりません。

教えて下さいお願いします。

>554
やっと理解できたかもしれん、サンクス

573だが、またわかんないこと出てきてしまった。

a=1のときはa-1も|a-1|も-|a-1|ただの文字じゃなくてぜーんぶ0なんだよ
ぜんぶ0なんだから
a-1=|a-1|=-|a-1|
にできるだろ

は理解できたのだが、問題の解説には「0＜a≦1のとき、|a+1|=a+1、|a-1|=-(a-1)だから〜・・･」
と、|a-1|の絶対値をはずした値が-(a-1)　だけ　になってる。何故-(a-1)しか答えになっていないんだろう？
a-1=|a-1|=-|a-1|にできるんだったら、|a-1|=a-1とそのままはずせるのも答えになるはずだと思った。

本来の問題は
x=2a/1+a^2(ただしa>0のとき)、√1+x/√1+x-√1-x+√1-xをaの式で表すと、0<a≦セ　のとき、ｿa、　タ<aのとき、チ/aとなる。　セ、ソ、タ、チを求める問題だった。

p(2.0.4)とq(0.3.9)で直線pqがxy平面で出会う点ってどう求めたらいいのですか?

>>572
人を原点とする慣性座標系で考えると
追い越す電車の速度はv-9
すれ違う電車の速度はv+9
よって
15/60(v-9)=9/60(v+9)
6v=24・9
v=36 km/h

>>575
(2-((2-0)/(4-9))(4-0), 0-((0-3)/(4-9))(4-0), 0)=(18/5, -12/5, 0)

>>574
そっちだけ考えれば十分だから。
試しに両方やってみれば、結局そっちだけやったのと同じになることがわかる。
手を動かそう。

>>571
質問してる側で無礼なのは先に謝って置きます


数学の質問スレの人は>>571すら分からない人達なのか？
それで質問に答えられる物なのか。
私はそれ以下だけど、考えられないわ

>578
やっと理解できたわー。助かった。

>>579
ならないよ

>>581
レスありがと

ならないよって、>>571の式変形は出来ないと言うこと？
それかその問題が分からない。ってことですか

>>571
問題あるいは解答の間違いor写し間違い

>>571
本来は
1/12(3x＾2ー1）＾2

になると思うんだけどこれ以外に変形出来るみたいなんです

>>583
レスありがと

家に着いたらもう一度見てみる。もし私の写し間違いだったら、ほんとに謝ります

黒服にアレを用意させておこう

　　　　　　　　　　 ────-，
　　　　　　　　　　|　／ヽ＿ノく
　　　　　　　　　　|　］ヽ　　　/|
　　　　　　　　　　|６＝■＝■
　　　　　　　　　　|/ | 　└┘|＿＿
　　　　　　＿＿／ヽ |＿￣　j::::::::::|＼
　　　　/⌒丶::::::::::::::::|　 .x￣|:::::::::::|::::::＼
　　　　|::::::::::|::::::::::::::::::|／只 |::::::::::::|:::::::::::＼
　　　　|::::::::::|::::::::::::::::::::| 　　|::::::::::::|＼::::::::::::)
　　　　|::::::::::|::::::::::::::::::::::| 　 |:::::::::::|　/::::::::::/
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　　　　ヽ:::::::::::＼::::::::::::::::::::::::::::::::/:::::::::/
　　　　===　( ⌒j===========(⌒ )====
　　　　　　|＼＼:::::::::::::::::::::::::::::::::|^^^＼＼
　　　　　　-::::＼＼ 二二二二二二二 ＼＼
　　　　　　　|:::::::＼＼:::::::::::::::::::|　　　　　　>　>
　　　　　　　|::::::::::::ヽ　　────┐＿＿|　|
　　　　　　　 |::::::::::::::ヽ────┐ |＿＿|　|　　　　　)　ジジジ・・・
　　　　　　　　|:::::::::::::::::::::::::::::::::|　 |　|　 　 |　|　　　　(
　　　　　　|＼￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　)￣￣￣＼
ジュワ・・・|　 ＼=========( =================( ========= ＼
　　　　　　|　　　＼======= )============================= ＼
　　　　　　|　　　　 ＼==== ( =============================== ＼
　　　　　　　　　　　　ジュワ・・・

すげー、糞ﾜﾛﾀ

連立不等式
0≦x≦6，0≦y≦4の表す領域をDとし，連立不等式
0≦x≦6，4≦y≦7の表す領域をEとする。
0≦t≦6として点PがO(0,0)，A(t,4)，B(6,7)
を結ぶ折れ線OAB上をOからBまで移動している。
ただし，領域D内では一定の速さuで動き，
領域E内では一定の速さvで動くものとする（u>0，v>0）。
また，直線OAと直線x=0がなす角をα，直線ABと直線x=6がなす角をβとする
（0≦α≦π/2，0≦β≦π/2）。このとき，次の問いに答えよ。

(2)　点Aが所要時間を最小にする位置にあるとき
sinα/u=sinβ/vが成り立つ

(3)　点Aが所時間を最小にする位置にあり，かつβ=2αが成立するとき，
u/vの値を求めよ。

(3)が解けません
教えてくださいお願いします

>>589
4tanα+3tanβ=6

平面幾何の定石ってどれくらいありますか?

高校になって、大学の入試問題を解いていたら
平面幾何の定石「中線は2倍に伸ばせ」に従って・・・とか
平面幾何の定石「円弧は消して考えろ」に従って・・・とか
中学の段階では聞いたことも無い定石をよく目にします。

そんなの初めて聞いたんだが

これは凄いお年よりか、予備校の先生か、初等幾何マニアじゃないとわかんないだろうね
何十年も平面幾何なんて高校から追い出されてたし

>>590
やってはみたんですけどできませんでした。どうか過程を……

面倒だからアルファ、ベータはa,bで代用する
2倍角公式は知ってるよな？
u/v=sina/sinb=...で、cosaがわかればいい
4tanα+3tanβ=6もtanの2倍角公式を使えばtanaの3次方程式が出る
tanaがわかればcosaは出るだろ

>>592
京都大学2008年の平面図形の問題で
定石「中線は2倍に伸ばせ」に従って〜という件で解答していました
また、安田亨という人の本に定石「円弧を消せ」にしたがって
必要な情報だけを残して不要な円弧は消してしまうと解説されていました。
どちらも知らない話でした。

>>593
どうもです。そこまで広く知れ渡っている知識ではないと判断して
この機会に先の2つは習得する、他にも色々あるかもしれないけど
そこまで神経質にならなくてもOKというスタンスで行って見たいと思います。

>>595
[5^(1/2)]/4がでてきました。ありがとうございます！

自分も気になるんだが＞初等幾何
数学板にスレはあったけど放置されてるし
君らに要らないかどうかわかは自分には判断できない
いい本があったらうれしいんだけど
定石集じゃないけど、手元にある本では清宮さんの幾何学（モノグラフ）
結構いい本だと思うけど、どうなんだろ？

メネラウスとかチェバとか結局使いこなせなかったわｗ

>>591
定石やスローガンに関して言えばそれらのほかにも
・垂直な線分比は斜めの線分比
・面積比は線分比、線分比は面積比で捉えよ
・複数の線分比を一直線上に集めよ
・内接四角形では延長して三角形をつくれ
・角の二等分をみかけたら二等辺三角形を意識せよ
・都合のいい図形に分割完成して考えよ
・一つの三角形に情報を集めよ
・円の中心と接点を結べ

とかまぁ色々あるけど、要するに高校への数学で使われてる
高数用語みたいなものだから、逆手流とかと同じで言葉にはそこまで気にしなくていい。
ただ、中線を見かけたら2倍に伸ばして平行四辺形を出すとか
円が絡んだときに、角度とか使わなければ孤を消して図を見やすくしたほうが考えやすいってのは
そこそこよくある話。線がぐちゃぐちゃしてくると返って考えにくいから。
逆に言えば補助孤・補助円を導入したほうが考えやすいことも結構あるけどね。
直角三角形が与えられたら、斜辺を直径とする円を補助円として書いちゃうとか。

>>576
余計わかんなくなったwwwwwwwwwwwwww

難しい話やめて

中心Cの座標が（1,2）、半径が2である円の周上の点P0（x0,y0）における、
この円の接線の方程式を、ベクトルを用いて求めよ。

という問題なのですが、どう考えたらよいのか分かりません。
接線上の点をPとおいてPP0・CP0＝0と考えればよいのでしょうか。

よろしくお願いします。

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>>602
内積のつもりだよね。
それでい。いと思う

点Ａ（ｘ、ｙ、ｚ）とベクトルｕ（ｘ、ｙ、ｚ）の違いがわかりません

点Ａ（ｘ、ｙ、ｚ）はそのまま座標の点を表しているのはわかるんですが
ベクトルが（ｘ、ｙ、ｚ）というのがわかりません
ベクトルu(ｘ、ｙ、ｚ)は点Ｏ（０、０、０）から点Ａ（ｘ、ｙ、ｚ）へのベクトルを表しているのですか？

>>605　1バイト文字に変更してベクトルには矢印つけた。
一般のベクトルでは、
>ベクトルu↑(x,y,z)は点O（0,0,0）から点A（x,y,z）へのベクトルを表している
というとやや問題ありで、
「点O（0,0,0）から点Ａ（x,y,z）へのベクトルはベクトルu↑(x,y,z)で表せる」
といったほうがいい。どう違うかと言えば、
点P(1,-2,3)から点B（x+1,y-2,z+3）へのベクトルもまたベクトルu↑(x,y,z)であるから。
つまり始点がどこだろうとも、(x軸方向にx,y軸方向にy,z軸方向にz)という変位を
あらわす(ことができる)のが、ベクトルu↑(x,y,z)。

ただし、ベクトルの始点(これから変化する出発点)をあえて原点に固定すると
u↑(x,y,z)の終点も点A(x,y,z)に固定される。このように始点を固定して、ベクトルの
終点で点を表すようにしたものが「位置ベクトル」で、この考えをとる時には、
最初に書かれた
>ベクトルu↑(x,y,z)は点O（0,0,0）から点A（x,y,z）へのベクトルを表している
というのは、問題ない記述になる。

>>604
すみませんが、解き方を教えていただけないでしょうか。

>>606
あー・・・わかりました。
俺のは位置ベクトルですね。
わかりやすい説明ありがとうございます

それと、もう一ついいでしょうか？


点Ｂ（a、b、c）を通り、ベクトルu↑（ｘ、ｙ、ｚ）に平行な直線をＬとしたとき
直線Ｌは（a、b、c）＋ｓ（ｘ、ｙ、ｚ）
＝（a+sx、b+sy、c+sz）と表せる

ここまでは理解できるのですが
問題はここからで、

ある点Ｐと点Ｑがあり、直線ＰＱと直線Ｌが直行するとする

これを
ＰＱ↑・Ｌ＝０として解くと
媒介変数のｓが残って解けませんでした

解答は
ＰＱ↑・u↑＝０・・・で解いていました

直線Ｌと直行なのにu↑を使うというのがわかりません

解説をお願いします・・・

あと、ベクトルu↑はx軸方向にx,y軸方向にy,z軸方向ｚの変移を表す（線分みたいなもの）
直線Ｌはそれを無限に伸ばしたもの（直線）
という捉え方は、あっているのでしょうか・・・？

まず
>あと、ベクトルu↑はx軸方向にx,y軸方向にy,z軸方向ｚの変移を表す（線分みたいなもの）
>直線Ｌはそれを無限に伸ばしたもの（直線）
ベクトルは有向線分をもとに考えられた概念だからそれでいい
(とくに、高校数学でのほとんどでは、「ベクトルとは向きと大きさを持つ量」という捉え方より
　「ベクトルとは位置の変位である」という捉え方のほうが有効ともいえる)
でも後半はダメというか不十分。u↑を変位として捉えたら始点はまだ定まってないので、
上に書かれただけではu↑と平行に伸びる直線全てになってしまう。

ここは「点Bを通り」というのが決定的に重要で、【Bを始点とした上で】、u↑を正逆任意の方向に
任意なだけ伸ばしたものが直線Lをなす、と考えるのが良い。

ここに書いたことにも絡むけど、u↑は考えている直線の「方向ベクトル」、要するにLがどっちに
伸びているかの向きを表すベクトルということになる。で、「ある点を通る」ことが確定すれば、
あとは向きを決めれば直線が決まるはずなので、直線の向きとPQとが直交すると考えれば
答えは出ることになる(ただし、空間で議論すると直線PQに直交するのはある面として表される
から、P,Qの座標が与えられてもu↑は一つの変数を残した形にしかならないけど)

間違った答えのほうだけど、Lとの内積なんてのはありえないわけで、
書かれた（a+sx、b+sy、c+sz）というのはL上の動点をRとして、OR↑を表したもの。
これはLが向いている向きそのものではないので(平面に移して考えればいい)
それとの内積が0である、というのは題意をちゃんと式にできていないことになる。

>>607
座標入れて、計算するだけ

>>609
・・・・考えて１時間・・・・・わかりそうでわからない・・・

ＯＲ↑＝ＯＢ↑＋ｓu↑は直線Ｌのベクトル方程式

これ、あってますか？

で、（a+sx、b+sy、c+sz）はＯＲ↑のことで
ＯＲ↑はu↑と平行ではない
ｓの値によって変わるＯＲ↑の先端を無限に集めたものが、直線Ｌ


（a+sx、b+sy、c+sz）・ＰＱ↑＝０、は
ＯＲ↑・ＰＱ↑＝０、ということになってしまい
直線Ｌと直線ＰＱが直行、という式ではない

直線Ｌと直線ＰＱが直行、を表すには、点Ｂは関係なく、
「直線Ｌと平行であるベクトルu↑」と「直線ＰＱ」が直行、という式を立てるしかない

ということ・・・ですか？


これって

ＰＱ↑・su↑＝０だと駄目なんでしょうか？

>>611
>ＯＲ↑＝ＯＢ↑＋ｓu↑は直線Ｌのベクトル方程式
これを単なる公式として丸覚えしてない?
書かれたような直線Lをなす動点をRとする。OからRに至る変位というのは、
OからBを経由してRに行ったものと考えてもいいから、
OR↑=OB↑+BR↑
ここでBR↑は、u↑の実数s倍として必ず表せるから
OR↑=OB↑+s(u↑)　なのだ……という理解をすべきだと思う。

なので、
>点Ｂは関係なく、
関係付けることは可能で、つまりPQ↑・BR↑=0と考えてもいい。
結局これはPQ↑・s(u↑)=0ってことになるけど。遠回りだけど、
OR↑=OB↑+BR↑ より BR↑=OR↑-OB↑=(OB↑+s(u↑))-OB↑=s(u↑)で
理屈には合う。

>ＰＱ↑・su↑＝０だと駄目なんでしょうか？
ダメなことはないが、これが任意の実数で成立するんだから
s≠0の場合なら両辺sで割れて、PQ↑・u↑=0 と同じことだよ。

いくつか指摘はしたけど、他は間違ってない。

>>612
すごい・・・どの説明もめっちゃわかりやすい・・・

納得できました

ありがとうございました

初歩的な質問ですみません…
命題の「または」という考え方がよくわからないんですが
あと条件p,q,rがこのようなときで
p:m+nは2で割り切れる
q:nは4で割り切れる
r:mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる

｢pまたはq｣はrであるためのが必要条件だが十分条件でないに何でなるかがわかりません。
pまたはq→rは納得したんですが(pの時とqの時で考えるんですよね…？）
r→｢pまたはq｣がよくわからないんですがこの時だとpかqが成り立てば真なんですか？

「pまたはq」が真っていうのはpかqのどちらかが真であればいい。つまりpが真でqが偽、pが偽でqが真、pもqも真の３つのパターン。

それで
「pまたはq」ならば「r」、というのはたとえばm=1,n=1だとすると「pまたはq」というのは真だけどrは偽。
つまり「pまたはq」というのは「r」であるための十分条件ではない。
「r」ならば「pまたはq」、というのは、rを真にする全部のmとnをとっても「pまたはq」は常に真（例えばm=2,n=4；m=4,n=8；m=10,n=4など）
つまり「pまたはq」は「r」であるための必要条件である。
以上から「pまたはq」は「r」であるための必要条件ではあるが十分条件ではない。

>>610
なんどもすみません。
やってみたのですが、
CP0↑・PP0↑＝0
(x0-1,y0-2)・(x0-x,y0-y)=0
となってしまい、答えにたどりつくことができません。
半径が2というのをどのように利用すればよいのでしょうか。
よろしくお願いします。

公式出すのかな?
(x0-1,y0-2)・(x-x0,y-y0)=(x0-1,y0-2)・(x-1-(x0-1),y-2-(y0-2))=0 と
(x0-1)^2+(y0-2)^2=2^2

積分で、積分区間が0からπ／2のとき
（分母）｜COSθ｜＞0だから｜COSθ｜＝COSθ
ってなるのはなぜですか。
θ＝π／2で0だから、0になる場合は別にするんじゃないのですか？

似たような疑問が増減表を書くときにもあって、例えば
α≦t≦βでf'（t）＝｛t‐（α+β／2）｝COSt
のとき、COSt＞0より、f’（t）＝0はt＝（α+β／２）のとき
で増減表が書かれているのがわかりません。
COSt＝0のときは考慮しなくていいんですか？

>>618
後半はα、βの値がわからんので、cos[t]=0になりうるかどうか不明
前半はcos[t]=0のときも絶対値のはずし方は同じでOKなので、あえて分ける必要なし
しいて言えば普通は|cos[t]|≧0だから|cos[t]|=cos[t]って言うね

>>619
書き忘れました。
0≦α＜β≦π／2
です。

ハッと目覚める確率をやってて疑問に思ったんですが
1<=x<=y<=z<=6のときになんで1<=x<y＋1<z＋2<=8になれるのですか？
数学音痴の自分にもわかるように説明してください

>>620
α、βがその範囲ならα+β<2β≦πだから、
必ず(α+β)/2 < π/2 であって、左辺がπ/2に等しくなることはないじゃないか。

tはπ／2もとり得るから、COSt＝0もあり得るんじゃないんですか？

>>615
またはが真になる時はどっちかが成り立てば良いんですね！
本当分かりやすく教えてくださってありがとうございました。
本当に感謝です！

>>617
ありがとうございます。
(x0-1)^2+(y0-2)^2=2^2の式は何かの公式なのでしょうか？

>>623
β=π/2であるときにはt=β=π/2であることはありうるけれど、
そのとき(α+β)/2<βであることは確定してるので、増減表の
概略は変わらない。端でf'(t)=0になるところがあるかどうかが
変わるだけ。

で、区間の端でf'(t)が仮に正から0になったとしても、その値である
t=βは極小値なり、区間内最小値を与えるものではありえない。
(極大値にはなるし、区間内最大値にもなりうるけれど)

解答のすべてが忠実に引用されてないので、
>COSt＞0より、f’（t）＝0はt＝（α+β／２）のとき
がどういう風に出てきたのか判断できないのでこれ以上は回答は無理。
>・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
>　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
>　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
ってこと。

>>621 なんでそうなれるか、だけなら
x≦y ⇒ ｘ < y+1 （当然。
　あえて言葉で書けば、yはギリギリ下がってxと等しくなれることもあるような値なんだから、
　それに1を足したら、xと同じまでは下がれなくなり、確実にxより大)
y≦ｚ ⇔ y+1≦z+1 ⇒ y+1<ｚ+1+1 ⇔ y+1<z+2 （これも当然)
z≦6 ⇔ z+2≦6+2 ⇔ z+2≦8
1≦xはそのまま。
あとは全部並べて終了。

>>625
>中心Cの座標が（1,2）、半径が2である円の周上の点P0（x0,y0）
P_0の座標に求められる条件は、書かれたような円の方程式を満たすこと。
これは数ＩＩでやってるはず。

あるいはなるべく数Bだけで完結させるなら、要するに
|CP_0↑｜=2 ⇔ |CP_0↑｜^2=2^2 であるというのがP_0の満たすべき条件。
ベクトルの大きさの定義からこれはどう書けるのよ。

ある問題の解説の途中に
(t^2+1)/(t+1)=t-1+(2/(t+1))
という式があったんですが、
どうしてそうなるか教えて下さい

>>626
0≦α＜β≦π／2、α≦t≦β、S（t）＝∫［α,β］│sinx‐sint｜dxとおく。S（t）を最小にするtの値を求めよ。

S’（t）＝2｛t‐（α+β／2）｝COSt

欄外に、開区間（α,β）においてCOSt＞0
とあって、解答に
COSt＞0であるから、S（t）の増減表は右のようになる。
とあって、増減表は
（左端）α…（α+β／2）…β（右端）
となってます。なぜ開区間なのかがわかりません。

>>629
t^2+1=t^2-1+2=(t+1)(t-1)+2
これを分母でわればいい

>>630　結論だけ言えば、この場合開区間で議論して間違っていない。

詳細は省くけど、たとえば「本質の研究数ＩＩＩC」152ページで、導関数の符号と
増加・減少の関係を「より厳密に言った」場合の定理が示してあり、それに
対しての詳細な説明が１節を設け、8ページ以上にわたって書かれているので、
ここでそれをこまごまと解説するのは不可能。

大枠のさらにアウトラインだけ言えば、関数の増加や減少と導関数の符号を
理論的に結びつけるのは、平均値の定理やロルの定理であって、これらの定理は
「区間[a,b]で連続、区間(a,b)で微分可能なf(x)を考えるとき、
これこれであるcが区間(a,b)で存在する」という形であるから。

つまり、「閉区間の端での導関数の値」は増減表に本質的には影響しない。
ぶっちゃけた説明をすれば、関数の値が上がっていった「端」であるt=βでの
関数のグラフの傾きが0だろうと正だろうと、βがある意味での極大値になってる
ことに変わりない(βより手前で0になれば話は別だが、それは増減表自体が
全く別物になる)。必要ないから調べてない、ということ。

>>632
念のため書いておくと、f(β)の値はもちろん調べる必要があるよ。
調べる必要がないといったのは (β=π/2になるときの) f'(β) の
値だし、もともとの疑問は「なぜ増減表を作成する準備として、
"導関数の符号を"評価するときに、端のt=βの値を除外するのか」と
いうことだったはず。

>>631
ありがとうございます

>>632>>633
解説どうもありがとうございます。

f’の正負とfの単調増加減少を使う問題でも、参考書によって＞が≧になってたり、f（0）がlim（x→∞）f（x）になってたりして混乱しますが、入試で減点されないのなら、今のところ問題ないです。

深い理解は大学で、ということで。

すいません。
上のlimの（x→∞）は（x→0）の間違いです。

すいません
立法体abcd-efghの辺bc,cd,dhの中点をl,m,nとする。この時角lmnを求めなさい
という問題なのですが、まずldとndを√2aとおいて、ldを√5と求めたのですがそのあと解答で三角形ldnは直角三角形だからと書いてあるのですが、何故直角三角形だと解るのですか？

>>637
辺DHは面ABCDに垂直。
ってことは、辺DHまたはその一部分は、面ABCD内に含まれるいかなる直線・線分とも垂直。
DNはDHの一部分、LDは面ABCD内の線分。

>>638　ああ、いわゆる「ねじれの位置」は考えてないので念のため。
数B空間図形的な意味で「なす角」を考えればこれでいい。

これが気に入らないなら、
「Dは面ABCDに含まれる点なので、Dを通る辺DH（の一部分）は、
点Dを通る面ABCD内のいかなる直線・線分とも垂直」と読み替えて。

なるほど
ありがとうございます

１/X^2−X＋１の積分教えて

　どうか教えてください。
A,B,C１枚ずつと、1,2,3,4, １枚ずつ　計７枚ずつ並べるとき、

�@　途中に数字のカードが挟まってもよいが、アルファベットがABCの順に並ぶ場合の数。

�A　アルファベットのカードが隣あわずに並ぶ場合の数。

以上２問、どうか教えてください。

>>642
(1)○○○と1234を並べる。○○○にあとからABCを順番に入れる。
(2)□○□○□○□を考える。
○は必ずすべて選択する。
○に挟まれた□をまず一つずつ選択する。
4つの□から重複を許して2つ選択する。
選んだ○と□のうち、○にアルファベットを入れ、□に数字を入れる。

(2)は自信ない。

�Aは1.2.3.4を一列に並べて、×1×3×2×4×
×の5つ隙間に1つずつA.B.Cを入れるだけじゃ駄目なんですか?

また初歩的な質問で申し訳ないんですが

｢a≦-２または4≦a｣は｢a≦2　4≦a｣であるための…が
なぜ必要十分条件なんですか？

必要条件はa≦2　4≦aのが大きいのでわかったんですが
十分条件がいまいち分からないんですが｢かつ｣が入ってないからですか？

>>642 後半
4つの□と3つの○を、○が隣り合わないように並べる場合の数を考える。
↑□↑□↑□↑□↑の並びで、5つある↑のうち3つを選んで
丸を一つずつ入れる場合の数でいいからC[5,3]=10通り

この並び方一通りに付き、□に数字を、○にアルファベットを当てはめる
バリエーションの数だけ、アルファベットを隣り合わせにせずに
7つの要素を並べた並びが実現できることになるから、
10*4!*3!

>>644
なるほどー。アホみたいなこと考えてたなあ。

>>645
端折らないで全部書いて。何言ってるのか分からない。

>>645
必要十分にはどう考えてもならないと思います
集合として一致しません

>>645
｢a≦-２または4≦a｣ならば｢a≦2　4≦a｣は真だから十分条件だけど
｢a≦2　4≦a｣ならば｢a≦-２または4≦a｣は偽だから必要条件じゃない
数直線で｢a≦-２または4≦a｣と｢a≦2　4≦a｣を書いてくらべてみ？
必要十分条件ならこの範囲が完全に一致するから

>>645です…
すみません…書き間違えてました;
｢a≦-2または4≦a｣は｢a≦-2　4≦a｣であるためのです。

北大目指してるんですけど
阪大数学の授業とる意味ありますか？

理系です。

>>651
だから、なんで省略するの？

>>651
まず数直線上に　a≦-2　を書く
そして、同じ直線上に　4≦a　を書く
このとき　または　だから共通部分とか考えずに　a≦-2　の部分も　4≦a　の部分も全部斜線
今書き終えたのが　a≦-2または4≦a

次に別の数直線上に　a≦-2　4≦a　を普通にかいてみて
これが　a≦-2　4≦a

で、今かいた二つの数直線を見比べてみる

数I　2次関数について

A＜X＜Bの時F（X）＞0（軸X＝P）が成り立つ条件として、簡潔にまとめると
赤チャート
【軸が定義域内】F（P）＞0　【軸が定義域外】MIN（F（A、B））＞0
1対1
【軸が定義域内】F（P）＞0　【軸が定義域外】MIN（F（A、B））≧0
（MIN（F（A、B））＞0は間違いときっぱり書かれてた）

となっていました。
厳密によく考えてみると、確かに1対1の方が正しいのですが…
チャートのような有名な参考書にこう載ってるという事は、
実際、チャートの書き方でやっても減点されはしないんですか？

>>655
採点者に聞いて下さい
不安なら厳密な方を書けばいいだけの話

>>656
だから、実際に大体減点される確率がどれ位なのかって事を聞いてるんです
意地悪なレスはお断りです

>>657
気持ちは分かるがそういうレスはやめときな。
心証が悪くなる。

逆に質問していいか？
上に書いてあることは、赤チャートのどこに書いてあった？何ページ？

>>657
俺も逆に質問したい。その確率に意味があるのか？
100％か0％でない限りなんの意味もない（つまり、確率の問題ではない）と思うのだが。

円の面積を微分すると円周の長さに等しくなる証明の過程で、
2πrh≦S(r+h)-S(r)≦2π(r+h)h
とあるんですが、"2πrh≦S(r+h)-S(r)"は、どちらも同じ場所の面積を
表しているので、"2πrh＝S(r+h)-S(r)"だと思うんですが、
何故"2πrh≦S(r+h)-S(r)"なのでしょうか。
また、"2π(r+h)h"は何を表しているのでしょうか。

>>660
> とあるんですが、"2πrh≦S(r+h)-S(r)"は、どちらも同じ場所の面積を
> 表しているので、
違うだろ。
> また、"2π(r+h)h"は何を表しているのでしょうか。
底辺2π(r+h)、高さhの長方形の面積。

>>657
頭おかしいのか？そんな確率わかるわけないだろｗ
そんなこともわからないで赤やってるの？
どうしてもその確率が知りたいなら、こんな所で聞かないで大学の教授にひたすら質問しにいけばいいじゃない
1000人にきいて800人が減点っていえば君の大好きな確率で80.0％ってでるよ

厳密によく考えてみると、確かに

[1対1の方が正しい]

のですが…

数学は厳密さを欠くと他の分野にも及ぼす影響があるから正しいことを学ばないと

形も大きさも定まった三角形ABCの２辺AB,ACまたはその延長が、それぞれ定点P,Qを通るとき，Aより辺BCへの垂線はある定点を通り,辺BCまたはその延長は一定円に接することを示せ。

まったくわかりません。
教えてください。

>>665量問だな
前半：円収穫の定理
後半：まず庭園が何になるか図を書いて見当をつけること
ヒントAを通る直径

『x＝f（θ）＝COS^3θ、y＝g（θ）＝sin^3θとする。』

曲線の対称性を調べる最初の段階で、

f（π-θ）＝-f（θ）、g（π-θ）＝g（θ）から曲線はy軸に関して対称。

とあるんですが、この“π-θ”はどこから出てきたんですか？ 決まった手順なんですか？

>>667
x=f(θ),y=g(θ)で表されている曲線Cについて
(x.y)∈C⇔x=f(θ). y=g(θ)を満たすθが存在する・・・・(1)

y軸対対称≡曲線C上の任意の1点(x.y)を取った時、点(-x.y)もC上に存在すること・・・(2)

(1)(2)より媒介変数表示ｘ＝ｆ（θ）、ｙ＝ｇ（θ）で表された曲線Cについて
Cがy軸対称≡点(-x.y)がC上に存在する≡(-x.y)∈C
⇔(-x.y)=(f(θ'),g(θ'))となるθ'が存在する・・・・・・・・・(*)

流れをまとめると、x=f(θ)かつy=g(θ)とかけるとき
うまくθ'をとって、f(θ')=-x. g(θ')=yとなることができればCはy軸対称だといえる
(どのようにθ'をとっても、f(θ')=-x. g(θ')=yとならなければy軸対称ではない)
またcos(π-θ)=-cosθ、sin(π-θ)=sinθよりπ-θがθ'の候補に上がり
試しにθ'=π-θと取ると、無事条件を満たすのでCはy軸対対称なんだなと主張できるというわけ。

>この“π-θ”はどこから出てきたんですか？

ということで(*)と、x＝f（θ）＝COS^3θ、y＝g（θ）＝sin^3θという「形」から
π-θが出てきた。

>>668
ありがとうございます。
よくわかりました。

積分の式で
どういう問題だと置換積分で
どういう問題だと部分積分を使うか
見分け方がわからないのですが、
見分け方を教えてください

>>670
置換積分
1.定石
√(1+x^2)を含む積分, √(a^2-x^2)を含む積分・1/(x^2+a^2)を含む積分
e^xを含み普通には解きにくい積分
(ax+b)^nを含む積分で普通には解きにくいとき,
(ax+b)^1/nを含む積分で普通には解きにくいとき

2.準定石
sinの三角関数の複雑そうな積分→cosx=t等と相棒を置換(逆もあり)
tanx/2=tとおいてtの式で積分

3.状況に応じて置換する
積分区間をかえる・積分変数を変える・中身をかえる

部分積分
・f(x)e^ax,f(x)e^(-ax),f(x)sin,f(x)cos,f(x)(logxの式)等の積分
・tanをのぞく積分漸化式がらみ


これくらいは知識としてしっておいて、あとは頭を使ってその都度
都合のよい積分を実行する感じじゃないの

>>671
どうもありがとうございました
参考にさせてもらいます

次の2直線の交点と点（−2、10）を通る直線の方程式を求めよ
8ｘ−2ｙ−19＝0・・・�@
2ｘ−6ｙ＋9＝0・・・�A
　
�@�Aは一点で交わる　ここでKを定数として方程式
k(8ｘ−2ｙ−19)＋（2ｘ−6ｙ＋9）＝0と考えるとあるのですが
これがどういう意味をなすのかよくわかりません
ご教授ねがいます

>>673
数2の曲線束の所の教科書をよんだほうがいい

原理的には
・�@と�Aが一点で交わる⇔連立方程式�@∧�Aが解を1つ持つ
・�@∧�A⇒k�@+�A
(k�@+�Aは�@∧�Aであるための必要条件)
なので、�@∧�Aを表す集合をA,k�@+�Aの表す集合をBとすると
A⊆B (BのほうがAより広い)である
よってk�@+�Aが表す図形は�@∧�A(�@と�Aの交点)を通る図形

繰り返すと
k(8ｘ−2ｙ−19)＋（2ｘ−6ｙ＋9）＝0があらわす図形は
8ｘ−2ｙ−19＝0・・・�@と2ｘ−6ｙ＋9＝0・・・�Aの交点を通る図形である
なのでkの値を調整して点（−2、10）を通るようにしてくれってこと。

>>673
2直線の交点は、2直線を表す方程式を連立させたときの解。
この解は、その解説でkを定数として新しく作った方程式を成り立たせるから、
新しく作った方程式が表す図形（直線）は2直線の交点を通る。

四面体ABCDを考える。

面ABC上の点P、面BCD上の点Qについて
↑AP=x↑AB＋y↑AC
↑AQ=s↑AB＋t↑AC＋u↑AD

とおくとき、x:y=s:tならば線分AQ,DPが交わることを示せ。



お願いします。。

BCをy:xに内分する点をRとすして
PはAR上に、QはDR上にあることを示せば見通しがいいだろう

>>676
3点が決まれば平面ができあがるので三点A,P,Dは同一平面上にある。
この平面上に点Qがいれば、四角形が作られるので
四角形の対角線は必ず1点で交わるから証明できる

という方針で考えてみたらどう?

点A(1,2)を通る直線lがx軸、y軸と交わる点をそれぞれP、Qとする。
点RをOP↑+OQ↑=OA↑+OR↑を満たすようにとる。
ただし、Oは原点である。このとき直線ｌの傾きに関わらず、点Rはある関数y=f(x)のグラフ上にある。
関数f(x)を求めよ。

Rを(x,y)とおいて成分表示をして考えたのですが、その先をどうすればよいか分かりません。
よろしくお願いします。

>>679
傾きをmとして直線の方程式を立てP.Qの座標を求め、OR↑を求めた後で
R(X.Y)とおき、X=mの式その1, Y=mの式その2という二つの関係式を満たすような
実数mが存在するための必要十分条件を考えればいいかと思います

>>674>>675
お二方ありがとうございました。

0ﾟ<θ<90ﾟ,sin2θ=cos3θのときθの値を求めよ。

お願いします

加法定理使えよ

袋の中に０から４の数字が書かれたカードを同時に２枚取り出したとき、その２枚のカードの数字の積の期待値って２桁になりますか？
自分は7/2になったんですが…
この問題は今日先生に出された宿題で、問題文見ると、『〜期待値は【シス】である』って書いてあるんですが、明日は都合で授業に出られないので、答えがわかりません。
もやもやした気分なのも嫌なので、よろしくお願いします

(2+3+4+6+8+12)*1/10=3.5

になりましたが・・・

>>684
カードはそれぞれの数字のカードが1枚ずつ、全部で5枚なの？
なら、計算してないけど2桁になるわけないと思うけど。
2桁になるのが3と4のときしかないんだから。

>>685
me too

>>661
円の面積の話なんですが。
rは半径、hはΔrです。

>>668

>>661じゃないけど、ドーナッツ部分を真っ直ぐに等積変形すると
上底と下底が2πrと2π(r+h)、高さｈの台形になる。

黄チャ�Vプラクティス295（p233）
「原点中心半径1の円Cに、半径2／5の円C’が内接しながら滑らずに転がったときのC’上の点Pの軌跡を考える。初めにC’の中心O’は（3／5，0）、PはP@（1，0）の位置にある。Pが再びP@の位置に戻るまでに描く曲線の長さを求めよ。」
CとC’の接点をQ、∠PO’Q＝θ、∠P@OQ＝αとおくと、弧長が等しいのでα＝（2／5）θ

θ＝10πでPはP@に戻るんですが、このとき上の等式より、α＝4πになります。
この、「α＝4π」というのがよくわからないのです。∠P@OQ＝αだから、Qが一周して戻ってくるまでには、「α＝2π」にしかならない気がして、α＝4πというのが何を表しているのかがわかりません。

接点Qが一周したときにはPは内側にある
あと一周してやっと元に戻る

>>690
解決しました。

レスが前後してしまいましたね。
ありがとうございました。

うん、自己解決できればそれが一番だよ

宮城教育大過去問

1辺の長さが1の正三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rを
∠BAP=∠CBQ=∠ACR=θ,　0＜θ＜(π/6)
となるようにとる.また,線分APとBQの交点をS,線分BQとCRの交点をT,線分CRとAPの交点をUとする.

(1) △TBCにおいて,点Tから辺BCに下ろした垂線とBCとの交点をHとするとき,
線分THの長さhをtanθを用いて表せ.

(2) △STUの面積をsin2θ,cos2θを用いて表せ.

(3) △STUの面積の(2+√3)倍が正三角形ABCの面積と等しいとき,θの値を求めよ.



答えは順に、
【√3tanθ-(tan^2)θ】/【√3{1+(tan^2)θ}】、
【-√3{√3(sin2θ)+cos2θ-2}】/4、
θ=π/12

になります。
(1)が分からないために全く解けません。
h=BHtanθで考えようと思ったのですがここからどうやっても分かりません。
考え方が間違っているのでしょうか?
できれば今日中に解きたいです。どなたか教えていただけませんか？

�傳TCは∠BTC=120°だからそこから攻められない?

>>696
それも考えましたがいまいち生かせませんでした

活かせない筈が無いとおもうけどなぁ

BHtanθ=BTcosθtanθ={sin(60°-θ)/sin120°}cosθtanθ
=(2/√3)(tanθ)sin(60°-θ)cosθ

1+tan^2θ=1/cos^2θ
を利用すれば出てくるんじゃないの

>>698
1+tan^2θ=1/cos^2θ
の利用の仕方が分かりません。
どう変形すればいいのでしょう？

>>698
すみません分かりました！
続けてやってみます。

何度もすみません
できたとおもったらcos(60°-θ)とtan(60°-θ)が残ってしまいました
変形の仕方がまずかったようです

sin(60°-θ)*cosθを加法定理でばらして
cos^2θでくくってみた?

>>702
今度こそ解けました。
ありがとうございます！
(2)に進みます

ｌｏｇを積分するにはどうしたらいいですか

部分積分

>>705
さんくす！

この問題教えてください。どんだけやってもできないんです三角形ＡＢＣでa=BC,b=CA,c=ABとおくとき,a<b<cであるとする。
三角形ＡＢＣの周と内部を点Ｐが動く時、AP^2+BP^2+CP^2の最大値と最小値を求めよ。　東大生正答率２０％くらいだと思います。
まず、座標ですよね、つまりPの座標を(X,Y)とおく。ここでＢＣをX軸にぴったりくっつけて、ＢＣをy軸にくっつけることによって、座標の
xかyを0にして計算しやすい方向にしました。それでもです。超複雑な
式がでてきましたが、定数だけは取り除いて(X-!)^2+(Y-!)^2を考えるとき
X,Yは直線、ＡＣ、ＢＣの傾きの兼ね合いから範囲を定めなければならず。
中心すらどこか定位置がわかりません。計算が極めて煩雑になります。
次にベクトルでやりました、でも結局内積の式が前やり方のグラフの傾きと
同じややこしさになり、ましてや内部にあるという条件のs≦0,t≦0,s+t≦1でもう究極に計算は困難になります。
そして気付いたのですが、結局最大値はb^2+c^2なんじゃないかと。
こんなに計算が面倒なんだから、絶対にもっと楽にとけるのではないか？
ただ具体的な数値が決まっていないので幾何的に解くことは困難だ。
よって座標でなく、AP=x　BP=y　CP=zとおいて強引にx^2+y^2+z^2≦b^2+c^2を導こうと。
Ｐが内部にあると仮定して三角形の性質からc≦x+y　a≦y+z　b≦z+xと導けました。
でもほしいのは右側に≦がほしい、これが作れない。pのリーチの条件から、x≦c^2 y^2≦c^2 z^2≦b^2までは
いけたが、範囲が大雑把すぎる。あぁどうしよう、無理だ。無理だ・・・

最小値は点Pが重心のときの値
最大値は、点Pが特別な点になるかどうか(自分には)見えないから
2変数関数の最大値を求める方法で無理やり逃げるくらいかね。

まずyを固定してみたらどうなるかな？

yを固定する？はいしました。yは長さで他の２点は座標系でおくという
こと以外考えられず、結局円で考えるしかなくて極めて煩雑になります。
yを固定して。座標は(ycosθ,ysinθ)

絶対に最大値はb^2+c^2のはずなんですが・・・

＞東大生正答率２０％くらい
それはないだろ、基本問題だよ

AP^2+BP^2+CP^2=|p↑（以下↑は略）-a|^2+|p-b|^2+|p-c|^2
=3|p|^2-(a+b+c)・p+|a|^2+|b|^2+|c|^2
=3|p-(a+b+c)/3|^2+...
AP^2+BP^2+CP^2は重心Gからの距離が遠いほど大きい

>>707
AP^2+BP^2+CP^2=3P^2+2(A+B+C)・P+(A^2+B^2+C^2)=3P^2+6G・P+(A^2+B^2+C^2)=3GP^2+(A^2+B^2+C^2-3G^2)
P=G=(A+B+C)/3のとき最小値GA^2+GB^2+GC^2
a^2=GB^2+GC^2-2GB・GC
b^2=GC^2+GA^2-2GC・GA
c^2=GA^2+GB^2-2GA・GB
0=|GA+GB+GC|^2=GA^2+GB^2+GC^2+2(GB・GC+GC・GA+GA・GB)
a^2+b^2+c^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)
GA^2+GB^2+GC^2=(a^2+b^2+c^2)/3

GPが最大になるのはP=A, B, Cのいずれか
AA^2+BA^2+CA^2=c^2+b^2>c^2+a^2>b^2+a^2
P=Aで最大値はb^2+c^2

>>695
TCsin(π/3-θ)=TH=TBsinθ
TCcos(π/3-θ)+TBcosθ=1
TCcos(π/3-θ)/TH+TBcosθ/TH=1/TH
1/tan(π/3-θ）+1/tanθ=1/TH
TH=1/(1/tan(π/3-θ）+1/tanθ)=tanθ(√3-tanθ）/(√3(1+tan^2θ）)

tanθ=sin2θ/(1+cos2θ)
△STU=△ABC-3△TBC=(√3)/4-(3/2)TH=((√3)/4)(1-2tanθ(√3-tanθ)/(1+tan^2θ))=((√3)/4)(1-2sin2θ/(1+cos2θ）(√3-sin2θ/(1+cos2θ）)/(1+(sin2θ/(1+cos2θ）)^2))=((√3)/4)(1-2sin2θ((√3)(1+cos2θ)-sin2θ）/((1+cos2θ)^2+sin^22θ))
=((√3)/4)(1-2sin2θ((√3)(1+cos2θ-sin2θ)/(2+2cos2θ))=((√3)/4)(1-sin2θ((√3)(1+cos2θ)-sin2θ)/(1+cos2θ))=((√3)/4)(1-(√3)sin2θ+sin^22θ/(1+cos2θ))=((√3)/4)(1-(√3)sin2θ+(1-cos2θ）)=((√3)/4)(2-(√3)sin2θ-cos2θ)

(2+√3)((√3)/4)(2-(√3)sin2θ-cos2θ)=(√3)/4
2-(√3)sin2θ-cos2θ=1/(2+√3)=2-√3
(√3)sin2θ+cos2θ=2sin(2θ+π/6)=√3
2θ+π/6=π/3
θ=π/12

>>707の考えは何がいけないんでしょうか？

てか>>712の考えでP^2とかA^2とかしてますが、
何の２乗？座標系？何なんですか？

>>707の考えは何がいけないんでしょうか？

てか>>712の考えでP^2とかA^2とかしてますが、
何の２乗？座標系？何なんですか?

ふつうに座標でできるだろw

そだな、書くのが面倒だからベクトルにするだけ

あぁ、>>712はベクトルですね。最小値は何となくわかるんですが
最大値が何で重心が関係してくるんですが？Ｇは重心の位置ですよね？
もうちょっと詳しくお願いします。

>>690
Pが最初の位置から移動して再びC上の点となるのは円Cの円周を2/5進んだ点すなわちP(cos4π/5, sin4π/5)となるときでありこの間の弧長を5倍すると求める弧長となる
P(x, y)=(3/5)(cos(2/5)θ, sin(2/5)θ)+(2/5)(cos(θ-(2/5)θ), -sin(θ-(2/5)θ）=(3/5)(cos(2/5)θ, sin(2/5)θ)+(2/5)(cos(3/5)θ, -sin(3/5)θ)
∫[0, 2π]√((dx)^2+(dy)^2)=∫[0, 2π]√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ
=∫[0, 2π]√(((-6/25)sin(2/5)θ+(-6/25)sin(3/5)θ)^2+((6/25)cos(2/5)θ-(6/25)cos(3/5)θ)^2)dθ=(6/25)∫[0, 2π]√(2+2sin(2/5)θsin(3/5)θ-2cos(2/5)θcos(3/5)θ)dθ=(6/25)∫[0, 2π]√(2-2cosθ)dθ=(12/25)∫[0, 2π]sin(θ/2)dθ=48/25
48/5

A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), P(x,y)として
AP^2+BP^2+CP^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2+...
=3x^2-2(x1+x2+x3)x+...
=3{(x-(x1+x2+x3)/3)^2+(y-(y1+y2+y3)/3}^2}+...
=3{(x,y)と((x1+y2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)の距離の2乗}+定数
((x1+y2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)は重心

>>717
おれは座標入れてゴリゴリするのが好きだな
最後に意味づけて終了

f[x]を恒等的に0ではない整式とする。

F[x]=∫【0→x】f[t]dt
G[x]=∫【x→1】f[t]dt

G[F[x]]={G[x]}^2+pF[x]+q

を満たすとき。

a=∫【0→1】f[x]dtと置くとき、p,q,G[x]をaを用いて表せ。

という問題なんですが、f[x]の原始関数をB[x]と置いて考えたんですが、上手くいかず詰っています。
誰かお願いします。

>>722
すいません、よく考えたらf[x]の原始関数はF[x]ですね、最後2行はないことにしてください。

>>682
sin2θ=cos(2θ-90)=cos3θ
-90<2θ-90<90
0<3θ<270
2θ-90=3θ, -3θ
θ=18

なるほど！！！！！！！！
重心＝内部にあるじゃん的発想ですね？

僕はややこしいからといって、文字を重心として捉えなかった
ところに問題があるんですね？

僕の数学力はどのくらいでしょうか？一応駿台全国数学偏差値６１です。

>>722
次数
G(x)はF(x)を使って簡単にあらわせる
>725
数学力とかｗまだ早い
対称に扱う、一般的に書く、という事も試せばすんなり解けただろうな

>>722
F[x], G[x]も整式でF'[x]=f[x]≠0よりF[x]は定数関数ではないすなわち1次以上の整式G[x]も同様
F[0]=G[1]=0, F[x]+G[x]=F[1]=G[0]=a
G[a-G[x]]=G[x]^2+p(a-G[x])+q
G[x]の次数をnとすると左辺はn^2次式右辺は2n次式であるのでn=2
よってG[x]=bx^2+cx+aと置くと
b(-bx^2-cx)^2+c(-bx^2-cx)+a=(bx^2+cx+a)^2+p(-bx^2-cx)+q
次数別に係数を比較すると
b^3=b^2
2b^2c=2bc
bc^2-bc=c^2+2ab-pb
-c^2=2ac-pc
a=a^2+q
b=1
c^2-c=c^2+2a-p
p=2a+c
q=a-a^2
G[1]=b+c+a=0よりc=-a-1
p=a-1
G[x]=x^2-(a+1)x+a

正の無理数α、βは（1／α）+（1／β）＝1を満たす。このとき、どんな正の整数m、nをとっても［mα］＝［nβ］が成り立たないことを示せ。
（国公立大学理系学部への数学�TA�UB58頁）

で、解答は［mα］＝［nβ］＝N（Nは0以上の整数）とおいて、�@N＞0の場合と�AN＝0の場合に分けてるんですが、N＝0となることはないから減点されるんじゃないでしょうか？

>>728
> N＝0となることはないから
なんで？

減点はされない
N>0であることを証明の中で使うと思うから
あらかじめN>0を示しておいてもいいし
解答のように場合わけしてN=0の場合がないことを言ってもいい

>>729
α＞1、β＞1、m≧1、n≧1より［ ］の中が1未満にはならない…ですよね？


>>730
わかりました。
ありがとうございます。

>>719
積分区間が0から2πまでの問題が多いから、勘違いしてました。
ありがとうございました。

>>731
> α＞1、β＞1、m≧1、n≧1より［ ］の中が1未満にはならない…ですよね？
それは問題に書かれている条件そのものではないから。
なので厳密には、Nは0以上の整数とするときにNが負にはならないことを言っておく必要もあるかもしれない。
ただ、こっちは、α、β、m、nがいずれも正というのは問題の条件そのものなので、0にならないことよりは明らか。

あ

赤玉3個と白玉５個がある。これら全部を無作為に横一列に並べるとき赤玉
のどの２個も隣り合わない確率を求めよ。

赤玉をどの２個も隣り合わないようにするためには白玉を○として表すと
■○■○■○■○■○■のいずれかに赤玉をいれて考える
この並べ方の総数は　5！×6P３　　とあるのですが
この赤玉は区別できないのですよね？　6P3の部分が6C3ではないのはなぜですか？

確率はすべてのものを原則として区別する

>>735
では、赤玉999個、白玉1個から無作為に1個取り出すとき、白玉が出る確率は1/2かい？

「区別できない」の意味を間違えている。
赤1だろうと赤2だろうと赤3だろうと区別せずに「赤」と考えるというだけであって、
別々の赤玉であることには代わりがない。
最初に挙げた例だと、取り出したときの玉の色は赤と白の2通りしかないが、
赤には赤1から赤999まで999通りある。

同様に確からしいの原則を守れば，区別しようがしまいが無問題

>>735
確率は、全ての並べ方を玉を区別して考えても、条件を満たす並べ方も玉を区別して考えるから、分子分母で約分して結果は同じ
ただの並べ方ならだめ
君のいう解き方をするなら白の区別もないから5!もいらない

>>735
同色の玉を区別する方針なら、分子・分母ともに区別を行って、求める確率は
(5!*P[6,3])/8! = (6*5*4)/(8*7*6)

同色の玉を区別しない方針なら、分子・分母ともに区別を行って、求める確率は
C[6,3]/{8!/(5!3!)} = (6!/3!3!)*{(5!3!)/8!} =(6!5!)/(8!3!)=(6*5*4)/(8*7*6)で上と同じ。
分子は>>735の図の■6箇所から3箇所の赤球の位置を選ぶ場合の数、
分母は赤玉3個白玉5個を、同色は区別せずに並べる場合の数。

区別するなら一貫して区別する、区別しないなら一貫して区別しない。これが
きちんと統一できていれば正しい答えは出る。

∫10^sinx dxが解けません
どなたかお願いします

1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25・・・
この数列の第100項までの和

がわかりません・・・
どなたか教えてください。お願いします。

>>742
第100項まで実際に足せばいいんじゃね？

同じく

>>742
1+2+…+13=13・14/2=91≦100<14・15/2=105
100-91=9
Σ[n=1, 13]Σ[k=1, n]k^2+Σ[k=1, 9]k^2=Σ[k=1, 13](14-k)k^2+Σ[k=1, 9]k^2=14・13・14・27/6-13^2・14^2/4+9・10・19/6=3470

>>728
[ma]=[nb]=k
k≦ma<k+1, k≦nb<k+1
m/(k+1)<1/a≦m/k, n/(k+1)<1/b≦n/k
(m+n)/(k+1)<1/a+1/b=1≦(m+n)/k
k≦m+n<k+1
k=m+n
1/a=m/(m+n), 1/b=n/(m+n)
NG

>>728
∃k∀m, n [ma]≠k,≠[nb]
∃m, n ma<k<k+1≦(m+1)a, nb<k<k+1≦(n+1)b
m/k<1/a≦(m+1)/(k+1), n/k<1/b≦(n+1)/(k+1)
(m+n)/k<1/a+1/b=1≦(m+n+2)/(k+1)
m+n<k, k+1≦m+n+2
k=m+n+1
1/a=(m+1)/(k+1), 1/b=(n+1)/(k+1)
NG

(2^n+1)/(n^2)が整数となるような2以上の自然数nをすべて求めよ。

以前に２ちゃんの別のスレで見た問題ですが解けません。
答えは3だと思うのですが、どなたかお願いします。
nが奇数であることまでは分かります。

>>748
分子って2^(n+1)？
(2^n)+1？

>>749
すみませんでした。(2^n)+1です。

>>748
nが5以上の奇数で題意不成立であることを帰納法で示せばいいわけだけど
細部の期論は難しそうだなぁ

1.nが5以上の素数の累乗であらわ去られるとき
2.nが3を因数に持たず、かつ合成数のとき
3.nが9を因数に持ち、かつ合成数のとき
4.n=3xとかけるとき　(xは5以上の素数を因数にもつ整数)

で場合わけとか?

>>751
やはり難しいのですか。
どこかの入試問題ではなさそうですね。
手間をおかけしてすみません。

a<bのとき
|x-a|+|x-b|≧b-a
(等号はa≦x≦bで成立)

というのは三角不等式らしいのですが､
この不等式と三角不等式で
それぞれの対応がわかりません。
教えて下さい。

>>753 三角不等式を|A|+|B|≧|A+B| と表現すれば
A=x-a、B=b-x　でそのままでしょ。
|B|=|b-x|=|x-b|であること、
|A+B|はそのままだと|b-a|だけどa<bという条件があるから
単純に絶対値記号が外せること、くらいに気づけば出てくる。

>>752
これは難しいよ
ちょっと方向間違えると数学の未解決問題とも絡んでるし
前うｐされてた解答の手順はこんな感じだった
nは素因数3を持つ
3は一つしか持たない
5以上の素因数はない

あった、これだな、もうスレ落ちるから早めに見とくといい

【東大】東京大学理科総合スレPart38【理科】
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1256289584/139

aは正の定数。
x^ex=a を満たす正の数xが２個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

どなたかお願いします

丸投げ？とりあえず
f(x)=x^(ex)とおくとlogf(x)=exlogx

>>755>>756
ありがとうございます。助かりました。
プリントアウトしてじっくり読みます。

>>758

すみません。
対数をとって微分したあとどうすればいいかがわからなくて……

増減はわかるんだね？じゃあとはx→+0,+∞の極限をしらべれば
y=f(x)のグラフが書けるでしょう。書けたらy=aと見比べる
ちなみにlim_{x→+0}xlogx=0ね

>>757
よめない
exてなに

>>761

微分すると、y'=(e^2)(x^ex)(logx+1)となったんですが、増減もいまいちわからないのでグラフがかけないのです……

グラフ描いたあと共有点を考えればいいというのはわかりました

神様、この問題を解いて下され
一辺の長さが６の正三角形ABCを考える
この正三角形の内部に２点P,Qを取り、ベクトルPQを考える
点Pから垂線をそれぞれAB,BC,CAに引きその交点をそれぞれI,J.Kとする
同様に点QからそれぞれAB,BC,CAに引きその交点をそれぞれL、M、N
とする
ベクトルPQ＝αベクトルBA+βベクトルBC（α、βは実数）
で現せる時
ベクトルIL＝（アα＋イβ） ベクトルBA
ベクトルJM＝（ウα＋エβ）ベクトルBC
ア、イ、ウ、エを求めよ

また、ベクトルIL＋ベクトルJM＋ベクトルKN＝｛オ｝ベクトルPQ
オを求めよ

y'=(e^2)(x^ex)(logx+1)
e^2?
まあそれはいいんだけど
増減は導関数の符号できまるんだから、この場合は
logx+1だけを見ればいい
大事なことだから2回言うと、「符号で決まる」

logx+1＞0より、
単調増加する、ということでしょうか？

このへんが曖昧なんで、グラフがかけないのですorz

>>764
こういうのを処理する必要があるなら正射影について学ぶのが一番速いと思う
>>760
y=logxのグラフを忘れちゃった？
logx=-1となるxを境に増減が変わると思うけど

>>767
正射影でも何でもいいからといてくれよ

>>768
面倒だからヒントだけ
ILの長さに符号（IL↑とBA↑が同じ向きの時＋）をつけたものは
BA↑とPQ↑のなす角をtとしてPQcost=BA*PQcost/BA=BA↑・PQ↑/BA
これをうまく使えばILの長さはもちろんわかるし、
IL↑もBA↑、α、βを使って書くこともできる

>>769
全くわからんわ、お前は解けないのか？

はい、解ける人を待ちましょう

>>771
解けないのかよｗｗ
アイウエまでは解けたぞ、高ニの俺でも
ただ、オができない

おめーらできねーのかよｗｗｗ
俺もう終わったぞｗｗｗ

凄いですね！

正射影だなんだってヒント出してた奴すげぇ無責任だな
あたかもできるかのように見せ掛けてできないって(笑)

うわーん

>>764だけど
アイウエまでは何となくできるんだよ
だけど、オができない
誰かマジでできる人とか居ないかな

冗談はさておき、アイウエができてオに苦労する状態なら
正射影を知っておく価値は高いだろう
上手くやれば5分もかからない問題だ

KN↑=PQ↑・AC↑/AC^2=(αBA↑+βBC)・AC↑/AC^2
=αBA↑・AC↑/AC^2+βBC・AC↑/AC^2
つまり何が言いたいかというと、
KN↑はBA↑、BC↑をAC↑に正射影しておいてから、
それぞれα、β倍して足せばよいということ
図を書けば正射影はそれぞれ(1/2)CA↑、(1/2)AC↑とわかるから、
KN↑=α・(1/2)CA↑+β・(1/2)AC↑=(1/2)(β-α)AC↑
=(1/2)(α-β)BA↑+(1/2)(β-α)BC↑

まあ頑張れ

>>778
>>778
お前。。。神だわ・・・今までは演技だったのな、すげえｗｗ

>>778
回答していただいてありがたいのだが、正射影を知らなかったら
どうやってとくんだ？

PQ↑からKN↑等を作ること自体が正射影なんだから
言葉を知ってるかどうかだけの話で
結局正射影の性質をそれと知らず使うだけのことだろう
簡単に処理しようと思えばやはり
PQ↑=αBA↑+βBA↑をαBA↑とβBA↑に分解すると思う
平行四辺形でなく、三角形に分解してみれば
KN↑はαBA↑とβBA↑をAC↑に正射影したものの和になることがわかるだろう
わざわざ面倒な事を考える趣味はないので、分解せずに・・・は考えたくないなｗ
使いこなせれば道具は多いほうがいい、これはセンターレベルでも使えるから
マスターしておくといいと思う

ごめんミス、βBA↑はβBC↑
本番ではやらないようにｗ

ところで
最後のオは3/2でいいんだよな？

>>782
三角形に分解ってどういう意味？

>>783
多分
>>783
ベクトルの足し算を最初に習ったとき
平行四辺形を書いたり、三角形を書いたりしなかった？
イメージとしては
AB↑+BC↑はAからBへ行ってそこからさらにCへ行くからAC↑と同じ
という感じ？

>>785
やっぱりｋN↑が求められないわ
どうやるんだろうな

数列の問題です。


数列a[n](n=0,1,…)は次の式を満たしている。
　　　a[0]=1
　　　��(k=1〜n){ka[k]a[n-k]}={2^(n-1)}/{(n-1)!}(n≧1)
このとき、数列a[n]の一般項を求めよ。


a[n]=1/(n!)となるのを数学的帰納法で示すのですが、n=mでの成立を仮定
したときのn=m+1での成立をどうしても示せません…

一応参考図
http://imepita.jp/20091205/750020

>>788
ありがとうな、しかし、分かりそうもないわ
正射影勉強してくるわﾉｼ

>>787
二項定理は知ってるんだよね？
無理やり２項定理の形にもっていけばいい
分子に何を掛けたらいいか考える
足りない項は補う
理系なら母関数という裏技を知ってると役立つけど、これは趣味的かもしれない
>>787
うん、それが一番、センター２Bみたいに時間がない試験だと特に役立つ

>>790
二項定理は分かります。
nとn-kがあるのでうまく変形すれば出来そうですが…

解き方の方針が分かりません、お願いします。


区間[a,b]が関数f(x)に関して不変であるとは、a≦x≦bならばa≦f(x)≦bが成り立つこととする。
f(x)=4x(1-x)とするとき、次の問いに答えよ。

(1)区間[0,1]は関数f(x)に関して不変であることを示せ。
(2)0<a<b<1とする。このとき、区間[a,b]は関数f(x)に関して不変ではないことを示せ。

言われた通りやるだけじゃないの？

>>764
正射影が完全に理解できたらオはこれだけで解決
http://imepita.jp/20091205/800620

>>791 解答垂れ流し失礼
n=mまで正しいとする。もちろん
��(k=1〜m+1){ka[k]a[m+1-k]}={2^m}/m!
を使うことはわかるだろう
実際にk=1,2,...,m+1を当てはめて項を見てほしいんだが
目的のa[m+1}はk=m+1の項にだけ現れているのがわかると思う
(k=0の項は無いので)
そこでまず、これだけ別にすると
��(k=1〜m){ka[k]a[m+1-k]}+(m+1)a[m+1]a(0)={2^m}/m!
∴(m+1)a[m+1]={2^m}/m!-��(k=1〜m){ka[k]a[m+1-k]}
帰納法の仮定より
={2^m}/m!-��(k=1〜m){k・(1/k!)(1/(m+1-k)!}
={2^m}/m!-��(k=1〜m){1/((k-1)!(m+1-k)!)}
分母の階乗の中身を合計してみれば、分子に何がほしいかわかる
kの範囲を考えると、ここにk=m+1の項を付け加えたほうがいいことがわかる
={2^m}/m!-(1/m!)��(k=1〜m){m!/((k-1)!(m+1-k)!)}
={2^m}/m!-(1/m!){��(k=1〜m+1){m!/((k-1)!(m+1-k)!)}-1}
k-1=iと置き換えて
={2^m}/m!-(1/m!){��(i=0〜m){m!/(i!(m-i)!)}-1}
２項定理より
={2^m}/m!-(1/m!){2^m-1}=1/m!

単純なんですけど・・・

xについての方程式　x=exp(-x)　の解がわかりません。

お願いします。

フーリエ級数の問題です。
f(x)=|cosx|　(-π<0<π)　f(x+2π)=f(x)
のフーリエ級数を求めたいのですが、解き方を教えてほしいです。
f(x)=|cosx|は偶関数なのにAo=0,An=0になってしまいます。
お願いします。

>>756
この証明の中でnの3ベキがsであるときnCi・3^i (i≧2)が3^(s+2)で割り切れることは帰納的に示せるとありますがどうするのですか？
nC(i+1)・3^(i+1)=3(n-i)/(i+1)・nCi・3^iですが3(n-i)/(i+1)が3の負ベキを含むことはあるとおもうのですが
帰納的というよりは直接に3のベキを数えるのでしょうか？

>>796
範囲外です

>>795
単純な式では表せません

証明の時よくなやむんだけど、例えば｢nまで｣と書いた時ってnを含まない?

>>799
どうやって解くのでしょうか？

>>801
x=e^(-x)の解と書くしかありません

>>802
そうなんですか
ずっと考えたんですけど・・・

ありがとうございました

>>794
横レスなんですけどその>>791の問題って
Σが与えられて一般項だから
定石どおりずらして引いてみようって考えて解けませんか?

(n+1)a[n+1]-Σ[k=1.n]ka[k]a[n-k]+Σ[k=1.n]ka[k]a[n-k+1]={(2^n)/n!}-{(2^(n-1))/(n-1)!}
⇔(n+1)a[n+1]+Σ[k=1.n]ka[k](a[n-k+1]-a[n-k])={(2^n)/n!}-{(2^(n-1))/(n-1)!}
⇔(n+1)a[n+1]={(2^n)/n!}-{(2^(n-1))/(n-1)!}-Σ[k=1.n]ka[k](a[n-k+1]-a[n-k])・・・(*)

まで出して、a[n]=1/(n!)と予想し
・n=1のとき成立
・n≦mのとき、a[m]=1/(m!)を仮定して
n=mを(*)に代入し
(m+1)a[m+1]={(2^(m)/m!}-{(2^(m-1))/(m-1)!}-Σ[k=1.m]ka[k](a[m-k+1]-a[m-k])
⇔(m+1)a[m+1]={(2^(m)/m!}-{(2^(m-1))/(m-1)!}-Σ[k=1.m]k(1/k!){(1/(m-k+1)!-1/(m-k)!}
までは出せたんですけど、ここからちょっとうまくいきません。

あと、母関数?の解法も教えていただけるとうれしいです

>>797　直接数えるかな
i≧2とする。iに3がt個入ってるとして
(nCiの3の数)=Σ[k=1,∞]([n/3^k]-[i/3^k]-[(n-i)/3^k])
≧Σ[k=1,s]([n/3^k]-[i/3^k]-[(n-i)/3^k]) (∵一般に[a+b]≧[a]+[b])
≧Σ[k=1,s](-[-i/3^k]-[i/3^k]) (∵n/3^kは1≦k≦sで整数)
=s-min(s,t)　(∵-[-a]は端数切り上げになって、
ガウス記号の働きの反対になる(ceiling function)。
だから和の()内はiが3^kで割り切れるとき0、割り切れないとき1)
一方、t≧1ならi≧3^t≧t+2だから、t=0も含めてi≧t+2
よって(nCi・3^iの3の数)≧s-min(s,t)+i≧s-min(s,t)+t+2≧s+2

>>804
アイデアはいいと思うけど、この問題ではどうなんだろ？
差をとったa(n+1)-a(n)が元のa(n)より簡単になる場合は特に有効だと思う
でもおかげでいい問題ができた
「1/2!+2/3!+3/4!+....+n/(n+1)!を求めよ」

（母関数の方法は高校からはみ出てるから興味がある人だけどうぞ）
形式的べき級数f(x)=Σ[n=0,∞]a(k)x^kを考えると、問題の条件より
f'(x)f(x)=Σ[n=1,∞](2^(n-1)/(n-1)!)x^(n-1)=e^(2x), f(0)=1
(両辺のx^(n-1)の係数が一致している)
よってf(x)=e^xとなりa(n)=1/n!

>>396
cos(n+1)xの積分はsinx(n+1)/(n+1)だけど
1/(n+1)忘れてない？

>>805
>直接数えるかな
解説ありがとうございました

>>805
>「1/2!+2/3!+3/4!+....+n/(n+1)!を求めよ」
(2-1)/2!+(3-1)/3!+(4-1)/4!+…+((n+1)-1)/(n+1)!=1-1/(n+1)!

>>748>>749>>750>>751>>752>>755>>756>>759
http://www.imo-official.org/problems.aspx
数学オリンピック１９９０年の三番。

>>805
どもです

やっぱりこの問題で差を取るのはうまくないですか。
実際に試験上で出されると差を取りたくなるな・・・と思ったので
和の関係式から一般項を出す問題のうち非定型なものを見て鍛えておきます。

>形式的べき級数f(x)=Σ[n=0,∞]a(k)x^k
これはマクローリン展開・テーラー展開なんかとはまた違うんですよね?
ちょっと自分のもってる知識では無理そうでした。
メモだけしておいて機会があれば勉強してみます

>>787を質問した者です。

自分なりに解答を作成してみました。合っているでしょうか？


数列{a[n]}の一般項が
　　　a[n]=1/(n!)…(*)
となることを数学的帰納法で示す。
(�@)n=1のとき
　　　1/(1!)=1
　　より、(*)は成り立つ。
(�A)n≦mを満たすすべての自然数nで(*)が成り立つと仮定し、与式において
　　n=m+1とすると
　　　��(k=1〜m+1){ka[k]a[m+1-k]}={2^(m)}/(m!)
　　∴2^(m)=m!{a[1]a[m]+2a[2]a[m-1]+…+ma[m]a[1]+(m+1)a[m+1]a[0]}
　　　(右辺)=m!〔1/(1!)1/(m!)+2/(2!)1/{(m-1)!}+…+m/(m!)1/(1!)〕+(m+1)!a[m+1]
　　　　　 ={1/(1!)+m/(1!)+…+m/(1!)}+(m+1)!a[m+1]
={mC0+mC1+…+mC(m-1)}+(m+1)!a[m+1]
=��(r=0〜m-1){mCr}+(m+1)!a[m+1]
=2^(m)-1+(m+1)!a[m+1]
　　∴2^(m)=2^(m)-1+(m+1)!a[m+1]
　　∴a[m+1]=1/{(m+1)!}
　　よってn=m+1のときも(*)は成り立つ。
(�@),(�A)より、すべての自然数nで(*)は成り立つ。
また、(*)でn=0とすると
　　　a[0]=1/(0!)=1
となり、条件よりa[0]=1なので、n=0のときも(※)は成り立つ。
以上より、数列{a[n]}の一般項は
　　　a[n]=1/(n!)
である。

【東大】東京大学理科総合スレPart38【理科】
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1256289584/139

の回答はもっと平易に高校範囲で記述できると思う。
簡単な議論から、n＝3^m の場合を考えれば十分。
その場合、最大の関所は>>805が回答してくれている箇所かな。

>>803
自分の気になったことを突き詰めていくのはとてもいいこと
でもある程度の道具を手に入れてからじゃないと大変かもしれない

x=exp(-x)の実数解は丁度1つなのはわかると思う
とりあえずNewton法で数値計算してx=0.56714 32904 09783 87...
これを手計算でやれる形にするためにf(x)=x-exp(x)+1の逆関数を
マクローリン展開して考えてみると結局
a[0]=0, a[1]=1, n≧2に対しa[n]=2(n-1)a[n-1]-Σ{k=1〜n-1}C(n-1,k)a[k]a[n-k]
として、x=Σ{i=1〜∞}a[n]/(n!2^(2n-1))となるっぽい
はじめの何項かを計算してみると（実際に手でやってるわけではない）
a[2]=1, a[3]=1, a[4]=-1, a[5]=-13, a[6]=-47, a[7]=73,...
で、n=7までとった和は23415941/41287680=0.56714 111...で、合ってるのは5桁
ちなみにn=25までの和をとると、0.56714 32904 09783 86...という感じ

これはほんのお遊びだけど、このあたりをちゃんと研究してる人も
いると思うから数学板で聞いてみると何かわかるかも

>>809
情報ありがとう

>>810
とりあえずマクローリン展開と思っていい。ただ収束の問題とかは度外視してる
これもお遊びってことで

>>811
＞　　　　　 ={1/(1!)+m/(1!)+…+m/(1!)}+(m+1)!a[m+1]
この{ }内は、1/0!+m/1!+m(m-1)/2!+...+m(m-1)・・・2/(m-1)!
=mP0/0!+mP1/1!+nP2/2!+...+mP(m-1)/(m-1)! という意味だよね？
とてもわかりやすくかけてると思う

>>812
それは興味深いですね

>>813 訂正失礼
＞これを手計算でやれる形にするためにf(x)=x-exp(x)+1の逆関数を
f(x)=x-exp(-x)+1

>>813
詳しい説明ありがとうございました。
とりあえず近似で求めるしかないってことはわかりました。
あとは自分には難しすぎました・・・
f(x)=x-exp(-x)+1の逆関数とか、どうしてそう置くのかとか

f(x)=x-exp(-x)でもいいんだけど、扱いやすいようにちょっとずらしただけだよ
f(x)=x-exp(-x)+1とすれば、x=exp(-x)の実数解をαとしたとき
f(α)=α-exp(-α)+1=1になるから、ｆの逆関数をgとすればg(1)=α
だからg(1)を求めればいい
x=g-exp(-g)+1だから1=g'+g'exp(-g)
これらからexp(-g)を消去して整理すると(g+2-x)g'=1となる
この両辺をn-1回微分して(Leibnizの公式)x=0とおけば
g^(n)(0)が求められるから、Maclaurin展開でg(1)が出せる
これを整数の計算ですむように2^(2n-1)を掛けておいたのが上のa[n]というわけ

ちゃんと理解するのは大学に入ってからで十分だと思う

＞近似で求めるしかない
本当に簡単な表現がないかどうかは自分にはわからない
あなたの考えてることは実はとても深い話
x=exp(-x)の解が代数的数（整数係数の代数方程式の解）でないことは
Lindemannの定理が保証してるけど、じゃあlogやexpやsinといった
関数を使ったらどうなの？と聞かれたら、そんな簡単な話じゃないはず

興味があるなら（大学に入ってからがいいと思うけど）、たとえば
「無理数と超越数」塩川宇賢　森北出版
なんかを読んでみたらいいんじゃないかな