＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part90＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/


前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/

　　　　　　`・+｡*・　　　　　(´･ω･`)
　　　　　　　　｡*ﾟ　 ｡☆―⊂、　　つ　　>>１乙
　　　　　　｡*ﾟ　　　 ：　　　　　ヽ　 ⊃
　　　　　　`+｡**ﾟ**ﾟ　　　　　　 ∪~

ｙ´＝absinx/cdsiny―�@
a,b,c,dは定数。これが�@によりｙはｘの増加関数であるから、
となっているんですがどうゆうことですか？ｘもｙも変数なわけですが。

3％の食塩水3�sを入れた容器に2本の管A Bがつけてあり毎分Aからは1�sBからは1.5�sの食塩水を流し込む。同じ時間き両管から入る食塩水の量は等しく、はじめにAだけを1分30秒用いて、その後はBだけを用いると何分間用いても濃度はかわらないという。
A B両管から流し込む食塩水の濃度はそれぞれ何％か。

>>3
>>1
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。

増減考えるならa,b,c,dの符号が最小限必要だと思われるが。
面倒がらずに問題の最初から書くべし。

>>5
ごめんなさい

変の長さAB＝a.BC＝b.CD＝c.AD＝dが、
一定である凸四辺形ABCDにおいて∠B＝X、∠D＝yとおく。

（1）ｘとｙの間の関係式を求めよ　→a^2+b^2-2abcosx=c^2+d^2-cdcosy―※(余弦定理)
（2）四辺形ABCDの面積が最大となるときのｘ、ｙの関係を求めよ。
　
※の両辺をxで微分してｙ´＝absinx/cdsiny―�@
四辺形ABCDの面積（ｓ）＝absinx+cdsiny―�A
�Aの両辺もｘで微分してs´=(ab/2*siny)sin(x+y)―�B


�@によりｙはｘの増加関数であるからｘ+ｙもｘの増加関数でしたがって
�Bとからｘ＋ｙ＝πのときにｓは極大かつ最大


この＞�@によりｙはｘの増加関数であるからｘ+ｙもｘの増加関数で
とゆうのがわかりません。お願いします

ｐ、ｑがa≦ｘ≦ｂ（0＜a<b)でpx+q≧logxをみたすとき、
I＝∫〔a.b〕(px+q-logx)dxが最小になるようなｐおよびｑを求めよ。

Ｉ＝（b-a）{(b+a)*(p/2)-q}+Ａ(定数)≧(b+a)*log（b+a)/2}+Ａ(定数)
(なぜならpx+q≧logx)

この等号成立条件でｙ＝logxと直線ｙ＝px+qがｘ＝(b+a)/2で接することらしいですが
何でそうなるんですか？

全統模試の見直しをしていたのですが、
２√−５ａ＋４＝６
が、
−５ａ＋４＝９
に、どのように計算したらなるのかわかりません。
初歩的ですいません。

すいません！〉4　ですが今気づいたのですが問題文だけ書いてました！失礼しました。誰か教えてください
(>_<)

>>7
３行目-qて+qじゃないの？
>>8
両辺２乗して両辺４で割る

>>4
＞毎分Aからは1�sBからは1.5�sの食塩水を流し込む。同じ時間き両管から入る食塩水の量は等しく、
時間当たりの流入重量は違う？等しい？後半は食塩？

>>8
ほんとにそう書いてある？
>>7
不等号右は正しくは(b-a)log((a+b)/2)だね？
左は∫(px+b)dxを計算しただけで直線下の面積。右は辺の長さが(b-a)とlog((a+b)/2)の長方形の面積
図かいて見ればわかるけど、直線を動かしながら面積を計算したときx=(a+b)/2のときだけ一致するよ

>>8です
回答はhttp://imepita.jp/20090812/386490
となっています
２乗したら−５ａ＋４＝３６になりますよね？
よくわからないですorz

２も２乗しましょう。

>>13
なるほど！わかりました！ありがとうございます

〉7　さん。後半も食塩水です量も等しいです！入力ミスすいません。よろしくお願いします！

1+1/2+1/3+……+1/n=2n/n+1
がよくわからないんですけど
教えていただけますか？

>>17
誰にもわからないと思う

質問です。

ａを定数とする。ｘについての方程式
cos^2(x)+2asin(x)ｰaｰ1=0
の 0≦ｘ＜2π における異なる実数解を求めよ。

という問題の解き方を教えて下さい。

ちなみに、解答は
-1/3＜ａ＜0のとき４個
ａ=-1/3のとき３個
ａ＜-1/3,ａ=0,1＜ａのとき２個
ａ=1のとき１個
0＜ａ＜1のとき０個

となっていて、

sin(x)=ｔとおくと、１≦ｔ≦１であり、方程式は
(1-t^2)+2atｰaｰ1=0
よって
(t-a)^2-a^2+a=0

というヒントが添えられていて、これの理解はできました。

1<tのときxは0個
t=1, -1のときxは1個ずつ
-1<t<1のときxは2個

>>20
えっと、それからどうやって答えに結びつければ良いのでしょうか？
バカですみません……

t<-1のときxは0個が抜けてた
(1-t^2)+2atｰaｰ1=0を解いて例えばt=1/2, 1となったらxは3個存在。tがどんな解になるかをaで分類して答えを出す。

腫瘍マーカーの精度（実際にガンの人に検査した時陽性が出る確率）が95％で、
検査を受ける人の中でガンの人が1000人中5人だった時、
陽性が出た人がガンである確率は8％
これってどういう計算で求めているんですか？？

検査した人が10万人いたら、癌は500人。
うち陽性が出る人数は495人。
癌じゃないのは99500人、うち誤検出で陽性が出るのは4975人。
足して割れ。

すげー！！
ありがとうございました！！！

>>22
つまり、
sin(x)=a±√(a^2-a)だから
-1＜a-√(a^2-a)かつa+√(a^2-a)＜１のとき実数解は４個
ということですよね？
それが
-1/3＜a＜0のとき
に変形できず
-1/3＜a＜1のとき
になる私はどうすれば……

>>26
解の公式なんか持ち出すのはうまくない。t^2=(2t-1)aとすればy=t^2とy=(2t-1)aの共有点をグラフで考えられる。
後者の直線は(1/2,0)を通り傾き2aの直線。aを動かして視覚的に考えるといい。
例えばa=0のときt=0で重解でsinx=0となるxは0,πと2つある。

おぉっ
分かりました!!(たぶん)

ありがとうございました!!m(_ _)m

〉4　です。どなたか知恵をくださいませ〜。難しいすぎる…

>>29
問題文矛盾してない?

〉30　そうですよね…でもこれ宿題で学校から渡されてるんですよ…。

アンカーは「>>4」としてくれないと効かないからめんどくさい

>>4
＞毎分Aからは1�sBからは1.5�sの食塩水を流し込む。同じ時間き両管から入る食塩水の量は等しく、
時間当たりの流入重量は違う？等しい？後半は食塩？

〉7　さん。後半も食塩水です量も等しいです！入力ミスすいません。よろしくお願いします！

>>31
入力ミスすいません、って書いてるけど
＞後半も食塩水です量も等しいです！
なら、どこがミスなのか分からない。
訂正した問題を書いてくれ。

〉33　さんへ。すいません。後半食塩って書いてありました。意味不明な所もあるとは思いますが問題文通り記入します。↓

3％の食塩水3�s入れた容器に2本の管A Bがつけてあり、毎分Aからは1�s、Bからは1.5�sの食塩水を流し込む。

続き…
同じ時間に両管から入る食塩の量は等しく、はじめにAだけを1分30秒用いて、その後はBだけを用いると、何分間用いても濃度は変わらないという。A B両管から流し込む食塩水の濃度はそれぞれ何％か。

解答は過程は書いていなく A6％ B4％とだけ書いてありました。

>>36
何分間用いても濃度は変わらない＞はじめにAだけを1分30秒用いて、の結果、Bの濃度に一致しなければならない。
（3000*0.03+1500*A）/（3000+1500）=B
同じ時間に両管から入る食塩の量は等しく
1000A=1500B
解いてA6％ B4％

〉37さん　
(☆。☆）ありがとうございますっ！凄い！あの〜数学専門の方ですか？

私立中の夏期宿題を手伝う母？いまさらだけどスレチだった。
小・中学生のためのスレ　Part 35
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247822142/

〉39さん　スレ違っててごめんなさい。弟の宿題です。すいません余計な事聞いてしまって。でもホントにありがとうございました

黄チャートで確率のところやってて分からないところがあったので教えてください
さいころの出る目の最小値・最大値のところなんですけど、

問いは　１個のさいころを繰り返し３回投げるとき、目の最大値が６である確率を求める　なんですけど、

解答・解説見て　最大値６以下である確率　−　最大値５以下である確率　っていうやり方でとくっていうことは分かったんですけど、
自分がやったやりかたの間違えがよくわからないので　なんで間違えてるか教えてください。
自分がやったやり方は

最大値が６であるってことは、６の目が一度出れば条件を満たすので
（６、１〜６、１〜６）の組み合わせ　ｘ３（６が１回目、２回目、３回目にでてくる場合）
よって、3*6＾2/6!＾3=1/2

というふうに解きました。けど、答えは91/216と程遠いんですが＾＾；
だれか　教えてください　ｍ（＿）ｍ

背反条件とかよく考えてないね。最大値が6⇔6の目が少なくとも1回出る⇔6の目が1,2 又は3回出る
6の目が1回出るときは3*25/216 2回出るとき3*5/216 3回出るとき 1/216
全部足して91/216

>>42
あぁー　そっかぁ〜　ありがとうございます
この背反条件の思考不足って自分よくやるミスです

これの対策って、やっぱり、ただたくさん問題解くだけですか？

解ける問題を増やす。つまり解法暗記で足りる。やってるうちに習熟すると思う。

ある線分を劣弧に対応する弦とするような、半径の異なる複数の円を考えたとき
その弦の上に立つ円周角(中心角)は、円の半径が小さいほど大きくなる

ということを初等幾何だけで示したいのですけど以下のような証明で大丈夫ですか?

線分ABを劣子に対応する弦となるようなn個の円があり
半径をそれぞれr[1]>r[2]・・・>r[n]とするとき
孤ABの長さが一定なのでa(>0)と置くと
r[1]θ[1]=r[2]θ[2]=・・・=r[n]θ[n]=a
であるから、θ[n]>θ[n-1]>・・・>θ[1]

という感じで示してOKでしょうか?

弟の宿題に一生懸命になる姉萌える

実数は連続してるからn個のように有限個であっては困る
半径と中心角(=2×円周角)の関係を調べてみては

中心Oから弦AB(長さ2a)におろした垂線の足をHとして三角形OAHについて中心角を2θとすると
sinθ=a/r

a,b,c,dを定数とする。ただし,b＞0,c＞0,0≦d＜2πとする。
関数 f(x)=ａ+ｂsin(ｃx+ｄ)が
周期６πの周期関数で、x=πで最小値-2をとり、最大値が38であるとき、a,b,c,dの値を求めよ。

の解き方を教えて下さい。
頭悪いんで、できるだけ丁寧にお願いします

略解では、a=18,b=20,c=1/3,d=(7π)/6となっています

>>49
うざ

頭悪いんで≠脳に欠陥がある
頭悪いんで≒嫌いだから手を抜きたい

>>50
どの辺りがでしょうか。
指摘して下さい。直します。

>>51
確かに好きではありません。
しかし、手を抜きたかったら、友達のノートを写すなりなんなりするわけで、それよりは自分で考えるきっかけになるだろうと思い、ここで質問させていただいてるんですが……
ここ、質問スレですよね？
私、何か悪いことをいたしましたでしょうか？
質問に答えて下さる方はいらっしゃらないのですか？

周期６πの周期関数→これで一つの式が出来る
x=πで最小値-2をとり→これで二つの式が出来る
最大値が38→これで１つの式が出来る

周期６πの周期関数ってどういう条件なの？ってことをまず調べよう
あと、f(x)の概形は簡単にわかるからまず描け
ただ代入すれば解けるような問題を教えてくれ、と言われても問題の丸投げと思われても仕方ない
まずどこまで考えて、どこが分からないか、というのを聞けば答えてくれるでしょ

丸投げは質問者の努力を感じないのと、頭悪いから丁寧にってところに厚かましさを感じさせ心象を悪くする

まず補題として定義域を全実数とし
y=sinx、y=2sinx、y=1+2sinxの最大値、最小値
y=sin2x、y=sin(3x+(π/6))の周期を考えたらいい
そうした方が教えやすい

ベクトルについて質問します。

同一直線状にない平面上の3点をA、B、Cとし、その位置ベクトルを a,b,cとした時
実数L,M,Nとし、P＝La+Mｂ+Nｃであらわされるベクトルをpの終点の位置の
場合分けについてよくわかりません。

（L,M、N）の組の符号を（+、+、+）としたら三角形ABCの内部はわかりますが、（+、-、+）
の場合には　　

　　　　A
　　　　　　　　　　（横線が引けないので省略しますが、　このあたり）

　B______________　　C

になるのがどうしてなのかよくわかりません。
　BC上にDをとり　　AP（ベ）＝ｓAD（べ）　AD（ベ）＝AB（ベ）+ｔBC（ベ）　と実数ｓ、ｔ
して　L＝１−ｓ　M＝ｓ-ｓｔ　N＝ｓｔ　とするところまでは理解出来ました。

おねがいします。

>>56

すいません。　自己解決しました。

>>53
わかりました!!
丁寧に教えて下さって…ありがとうございます。
その上ご指導もして下さって、本当にありがとうございました

>>54
ご指摘ありがとうございます
以後、気をつけます

>>55
おぉ!!そうやっていけばいいんですね!!わかりました!!
ありがとうございます!!

>>56
L+N+M=1の場合ですね？
xyz空間内でx+y+z=1がどのような平面を表すかを見れば納得しやすいのですが範囲外ですね
p+(-m)b=la+nc
1, -m, l, n>0および1+(-m)=l+n=k>0と置くと
(1/k)p+(-m/k)b=(l/k)a+(n/k)c=qは線分PBおよびABの交点の位置ベクトル
ここから位置関係が分かると思います

>>49
c≠0の場合
周期はcx=2πを解いて2π/cこれが6πとなることよりc=1/3
最大値はa+|b|=a+b=38最小値はa-|b|=a-b=-2よりa=18, b=20
x=πで最小値を取ることよりcπ+d=(3/2+2n)π (∵b>0)
d=(3/2+2n-1/3)π=(7/6+2n)π=(7/6)π

>>45
半径の異なる2円について証明すれば十分です
図を描けば△OAO'についてOの内角とO'の外角の差が∠OAO'>0であることから従います

>>17
1+1/2+…+1/n>2n/(n+1)ですね？
帰納法で示せば
1+1/2=3/2>4/3=2・2/(2+1)
1+1/2+…+1/n>2n/(n+1)であれば
1+1/2+…+1/n+1/(n+1)>2n/(n+1)+1/(n+1)=(2n+1)/(n+1)>2(n+1)/(n+2)
(∵(2n+1)(n+2)=2n^2+5n+2>2(n^2+2n+1)=2(n+1)(n+1))
調和平均と算術平均の関係を使うなら
n/(1/1+1/2+…+1/n)<(1+2+…+n)/nより
1+1/2+…+1/n>2n/(n+1)

媒介変数で表された曲線の対称性をみる見方を教えてください

まずy=f(x)で表された関数で考えてみると
・f(x+p)=f(x)が成立するとき、f(x)は周期pの周期関数
・f(-x)=f(x)のとき、つまり(x,f(x))(-x.f(-x))という関係があるとき、y=f(x)はy軸対称
・-f(x)=f(x)のとき、つまり(x,f(x))(x.f(-x))という関係があるときy=f(x)はx軸対称

であることはわかります。
これがx=x(t),y=y(t)、α≦t≦β等になると
一般にどうやって書けばよいのでしょうか?

例えばアステロイドx=a(cosθ)^3, y=a(sinθ)^3のとき
x=x(θ),y=y(θ)とおくと
x(θ)=x(2π-θ)かつy=(2π-θ)=-y(θ)
x(π-θ)=-x(θ)かつy(θ)=y(π-θ)
これよりx軸かつy軸対称ですけど
一般にx=x(t),y=y(t)とかかれたとき
任意のx=x[1]に対して、x=x[1]に対応する媒介変数がt[1],t[2],t[3]と3つくらいあって
y(t[1])=y(t[2])=-y(t[3])
とかなっていたら、これはx軸対称と考えていいんでしょうか?
同様に
x=x[1]に対応する媒介変数がt[1],x=-x[1]に対応する媒介変数がt[4],t[5]とかあって
y(t[1])=y(t[4])=y(t[5])になっていたらy軸対象と考えていいんでしょうか?

あと、もう一つ媒介変数表示されたときの周期に関する見方も教えてください

f(x+p)=f(x)が成立するとき、f(x)は周期pの周期関数
という定義はわかりますが

x=cosπt,y=sin2πt t>0
で表された曲線を描けという問題で

周期が2であるので0≦t≦2で考えればよく
軌跡全体は
(cosπ(t+1),sin2π(t+1))=(-cosπt,sin2πt)だから
0≦t≦1の部分をy軸に折り返せばいい

という部分の周期2の件が良くわかりません

センター数学Ａ（確率）の質問です。解説を読んでも理解できない部分がありました。どなたかよろしくお願いします。



問
1から9までの数字が1つずつ書いてあるカードが、それぞれ1枚ずつ、合計9枚ある。この中から3枚のカードを取り出し、書かれた数字の小さい方から順にX,Y,Zとする。
このときX=4である確率を求めよ。


解説
X=4になる場合は、4と5〜9までの5つの数字から二枚とるときだから、

5C2/9C3=10/84=5/42…答


質問
上の式で、なぜX=4と限定できるのでしょうか。Y,Zが5以上の数となるのはわかるのですが、この式だと、Xは1〜4のどれでもいいということになるのでは…と思いました（そんなことはないと思うのですが、なぜなのか理由がわからないのです）
どなたか解説お願いします！

>>62 １〜３を選ぶと、それがｘになって　ｘ＝それ　になっちゃうよ。

>>61 sin も　cos も正で最小の周期が２πだから　この場合　角度が２πｔ
になってるから、周期２でおｋ。

>>60 後半の主張は必ずしも言えないと思う。点をいくつかとってみて概形の
さらに大まかな図をイメージしてみる、あとは前半にかいてあるような一般の
対称を示す式をつくればいい。（その式が実際に成り立つことを示してね。）

一辺の長さ１の立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨで角ＥＰＧの点ＰをＡＢ上に取る時その角が最大になる時、ＰはＡから０．５〜０．６上にあることを証明せよ
制限時間２５分

>>66は今日の東大模試だな
一番最初に着手して完答したやつだ

ちょｗｗ
じゃあとっとと完答しろや

だからもうしたって

>>66
なんで模試の解答を聞く必要がある。
しかもマルチだし。

つかできたわ
簡単すぎﾜﾛﾀｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

単なる計算問題w
簡単すぎw


と俺も笑っておこう

直線Ｌを直線Ｍ自身に移す一次変換の条件と、直線Ｌの点をを直線Ｍ上
に移される一次変換の条件って違うらしいんですがどう違うんですか？

>>73
点の集合としての直線

>>63

>>62です。
つまり、
（5C2・1C1）/9C3
ということなんでしょうか?

a[n]=Σ[k=1→n]1/√k, b[n]=Σ[k=1→n] 1/√(2k+1)のとき
lim[n→∞]a[n]、lim[n→∞]b[n]/a[n]を求めよ

という問題が添削記述問題ででまして

a[n]=1/1+1/√2+1/√3+・・・+1/√n >n/√n=√n
追い出しの原理よりn→∞でa[n]→∞
1/√(2k+2)<1/√(2k+1)<1/√(2k)
Σ[k=1→n]1/√(2k+2)<b[n]<Σ[k=1→n]1/√(2k)
つまり
(1/√2)Σ[k=2→n+1]1/√k<b[n]<(1/√2)Σ[k=1→n]1/√(k)
(1/√2){a[n]+1/√(n+1)-1}<b[n]<1/√2 a[n]
はさみうちの原理よりn→∞のとき
lim[n→∞]b[n]/a[n]=1/√2

という回答作ったんですけど

>a[n]=1/1+1/√2+1/√3+・・・+1/√n >n/√n=√n
>追い出しの原理よりn→∞でa[n]→∞

ここの部分は数学的に正しくありません
y=1/√xのグラフを書いて面積で評価しましょう
と書かれて減点されたんですけど、具体的にどのように駄目なのか
教えていただけませんか? 　よろしくお願いします

添削者がDQNだったとか

そういうことってあるんですね・・・
あまり気にしないことにします。

>>75 はい。

回答お願いします。数学�Tの関数の問題の記述で解答する場合には
グラフをかかなくては減点されるのですか？

問題による

>>79
わかりました！ありがとうございます。

関数の独立と従属について質問させてください

独立というのは変数同士の間に関係式がなく、お互いに影響せず動くことで
従属とは変数同士の間に成り立つ関係式があり、お互い影響しながら動くことですよね?

F(x.a)=x^2-2ax+a^2+4　2≦x≦4, -1≦a≦3　は独立
F(x.y)=x^2-2xy+5y^2+6x-14y (x.yは全実数)　は独立

F(x.y)=x^2-2xy+5y^2+6x-14y (x^2+y^2≦8)　は従属
F(x.y.z)=3x+2y+z (ただしx^2+y^2+z^2=1) は従属
F(a.b.c)=cosa+cosb+cosc (a.b.cは三角形の内角) は従属

という感じでOKでしょうか?

>>83
おｋ

すいません、同じネタですが長くなったので一度区切りました。

α,β,γは三角形の内角で
F(α,β,γ)=sinαsinβsinγ　といった場合これらは従属な3変数関数

ここからγ=π-(α+β)で1文字消去して
f(α.β)=sinαsinβsin(π-(α+β)) (0<α<π,0<β<π-α)
となるとαとβの独立2変数関数と書いてあるのですが
β<π-αという制約がついているのでこれは従属ではないのですか?

長くなりましたがお願いします

従属というのは一方が決まればもう一方も決まるという事

aは1≦a＜2を満たす定数。辺ABの長さがa、辺ADの長さが1である長方形ABCDがあり、半径xの円Ｏと半径yの円Ｏ´がこの長方形に含まれている。
また、円Ｏは2辺AB、ADに接し、円Ｏ´は2辺CB、CDに接し、2つの円は互いに外接している。この時、x、yの値が変化するとき、2つの円Ｏ、Ｏ´の面積の和の最大と最小を求めよ。

sin(x+y)=2sin(x+y)/2 cos(x+y)/2
これどういう意味ですか？

右と左が等しいよ、という意味

どういう展開でこうなるのか教えていただけますか？

sin(2θ)=2sinθcosθを利用

i see!

http://beebee2see.appspot.com/i/agpiZWViZWUyc2VlchQLEgxJbWFnZUFuZFRleHQY8fUKDA.jpg
でかくてごめん
この記号の意味って何…
大きさを議論してますってことの表現？

>>93
p^q＞q^pならば〜
p^q＝q^pならば〜
p^q＜q^pならば〜
をまとめて書いてるだけ。
どうせ続きがあるだろ。

対角線の長さとその間の角の大きさが常に等しければ
その四角形の面積は常に等しいでいいんですか？

またそれが三角形になっても等しいでいいの？

>>95
その通りだけど何か？

>>87
(x+y)^2=(a-x-y)^2+(1-x-y)^2
t=x+y≦1
t^2=a^2-2at+t^2+1-2t+t^2
t^2-2(a+1)t+(a^2+1)=0
t=a+1-√(2a)=1+√(aa)-√(2a)<1, ≧2-√2>1/2
t-1/2≦x≦1/2
π(x^2+y^2)=π(x^2+(t-x)^2)=π(2x^2-2tx+t^2)=2π(x-t/2)^2+πt^2/2
t/2=((t-1/2)+(1/2))/2
最小値πt^2/2最大値π(t^2+t+1/2)

>>66
PA=x
PB=1-x
PE=√(x^2+1)
PG=√((1-x)^2+1+1)=√(x^2-2x+3)
EG=√2
cosθ=(PE^2+PG^2-EG^2)/(2PE・PG)=√((x^2-x+1)^2/((x^2+1)(x^2-2x+3)))=√(1-(x^2+2)/(x^4-2x^3+4x^2-2x+3))
f(x)=(x^2+2)/(x^4-2x^3+4x^2-2x+3)
f'(x)=-2(x^5-x^4+4x^3-5x^2+5x-2)/(x^4-2x^3+4x^2-2x+3)^2
g(x)=x^5-x^4+4x^3-5x^2+5x-2
g'(x)=5x^4-4x^3+12x^2-10x+5=5x^4+4x^2(1-x)+(8x^2-10x+5)
h(x)=8x^2-10x+5
D/4=5^2-8・5<0
h(x)>0
g'(x)>0
g(1/2)=-9/32
g(3/5)=38/3125
θの最大 ⇒ cosθの最小 ⇒ f(x)の最大 ⇒ f'(x)=0 (∵f'(x)は単調減少) ⇒ 1/2<x<3/5

>>98
>∵f'(x)は単調減少
g(x)=0となるx=aが1/2<a<3/5にただ1つ存在し
x<aでg(x)<0よってf'(x)>0すなわちf(x)は単調増加
x>aでg(x)>0よってf'(x)<0すなわちf(x)は単調減少
よってx=aでf(x)は最大

変の長さAB＝a.BC＝b.CD＝c.AD＝dが、
一定である凸四辺形ABCDにおいて∠B＝X、∠D＝yとおく。

（1）ｘとｙの間の関係式を求めよ　→a^2+b^2-2abcosx=c^2+d^2-cdcosy―※(余弦定理)
（2）四辺形ABCDの面積が最大となるときのｘ、ｙの関係を求めよ。
　
※の両辺をxで微分してｙ´＝absinx/cdsiny―�@
四辺形ABCDの面積（ｓ）＝absinx+cdsiny―�A
�Aの両辺もｘで微分してs´=(ab/2*siny)sin(x+y)―�B


�@によりｙはｘの増加関数であるからｘ+ｙもｘの増加関数でしたがって
�Bとからｘ＋ｙ＝πのときにｓは極大かつ最大


この＞�@によりｙはｘの増加関数であるからｘ+ｙもｘの増加関数で
とゆうのがわかりません。お願いします

>>100
y’＞0 なら d(x＋y)/dx＝1＋y’＞0

>>100
xの増加とともにyも増加するのだから、x+yも増加する

y=f(x)は区間[a.b]で下に凸であり、第二次導関数は連続
点(a.f(a))(b.f(b))を結ぶ線分と曲線y=f(x)で囲まれる部分の面積は
(1/2)∫[x=a→b]{(x-a)(b-x)f''(x)}dx
と表されることを示せ

という問題で
答えは与式を適当なところまで部分積分
直線の方程式を立てて面積を立式して計算していくと
部分積分した結果と一致したのでOK

という感じで証明できたのですけど
(1/2)∫[x=a→b]{(x-a)(b-x)f''(x)}dx
というのはすごく意味ありげな格好なんですけど、
こんな式が出てきた背景ってあるのですか?

同一平面上にない点A B C DにおいてPが直線ABを動くとする。このとき角CPDが最大になるのは三角形CPDの外接円の中心をOとするとOP⊥ABとなるときであることを示せ。

ABCDが同一平面にある場合ならわかるんですが空間になると円周角とかがどうなるのかよくわかりません

ヒント：ベクトル。

>>103
直線の方程式を L(x) として g(x)＝f(x)−L(x) とすると、問題は、
∫[x=a→b]g(x)dx ＝ (1/2)∫[x=a→b]{(x-a)(b-x)g''(x)}dx と同値。
この等式は∫[x=a→b]{(x-a)(b-x)g''(x)}dx を2回部分積分すると簡単に示せる。
f(x) が２次関数の時の拡張になっている。

# 符号（マイナス）が抜けてるか上に凸だと思う。

>>104
OP⊥ABとなる状況は存在する（要証明？）
この状況でA, Bから△CDPを含む平面へ下ろした垂線の足をA', B'とすると
OP⊥A'B'（∵OP⊥AB, OP⊥AA', BB'よりOPはA, A', B, B'を含む平面に垂直よってその平面上の直線A'B'に垂直）
よって直線A'B'は△CDPの外接円Kに接している
AB上のPと異なる点Qから直線A'B'に下ろした垂線の足をQ'とすると
Q'はKの外部にあるので
∠CQ'D<∠CPD
CQ>CQ', DQ>DQ'より△CDQの外接円の半径より△CDQ'の外接円の半径の方が短い
よって
∠CQD<∠CQ'D<∠CPD
これらよりOP⊥ABとなる状況において∠CPDは最大となる

>>106
f(a)=f(b)=0, f(x)<0, a<x<bとするとき
(1/2)(x-a)(b-x)f''(x)dxには何か図形的な意味があるのかという質問だと思われます
暫く考えましたがまだわかりません
xf'(x)dx(=xdy)あるいは(x-k)f'(x)dx(=(x-k)dy)ならばグラフ上をyで線積分する場合の微分形式という図形的な意味があります
（∫[a, b](1/2)(x-a)(b-x)f''(x)dx=[(1/2)(x-a)(b-x)f'(x)][a, b]-∫[a, b]{(1/2)(x-a)(b-x)}'f'(x)dx=∫[a, b](x-(a+b)/2)f'(x)dx
一般に
∫[a, b](x-k)f'(x)dx=[(x-k)f(x)][a, b]-∫[a, b]f(x)dx=∫[a, b]|f(x)|dx）
f''(x)は曲率に関係していることが手がかりかも知れませんが

>>106
質問の答えになってなくね
俺もわからんけど

>>107
だめですね
Q'が直線CDの同じ側に来るとは限りません

ｅのｘ乗の導関数がｅのｘ乗であることの証明ってどうやるのですか？

>>111
とりあえず導関数の定義通りに式を作ってつまった所を書いて
途中でeの定義そのものを使う必要があるからそこでつまるかも

>>111
イヤ、ここで聞くよりググるほうが早いかもしれん

双曲線xy=1とx軸に接しながら動く円Cがある
双曲線とCの接点のx座標をt、円Cの範半径をrとするとき
lim(t→∞)trを求めよ　　(答え1/2　解説なし)

この問題をこう解きました
中心C(a,r)とおくと
(a-t)^2+(r-1/t)^2=r^2
⇔t^2(t-a)^2+(1-2tr)=0

またxy=1をyで微分してdy/dx=-1/x^2だから
ベクトル(-1,1/t)とベクトル(t-a,1/t-r)は垂直なので内積0を計算して
(t-a)=(1-tr)/t^3

これをさっきの式に代入して整理すると
tr=t^4-t^2√(t^4+1)+1 (0<tr<1)
有利化して極限とって1/2

ただ、この解法計算量が結構多くて地道すぎるので
もう少しマシな方法はないでしょうか?

2点(0,0,1)､(2,2,5)を直径の両端とする球面をS1､
2点(-1,0,3)､(3,4,1)を直径の両端とする球面をS2とし､
S1,S2の交わりの円Cの中心Cの座標と半径を求めよ。

この問題の解答に出てくる
”このとき点CはO1O2をx:y=1:5に外分する”ということについてどうしてそうなるのかがわかりません。
この記述の直前までは理解できたんですが、ここがさっぱりです。よろしくお願いします＞＜
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org48369.jpg

>>114
双曲線との接点A
x軸との接点B
θ=∠ACB→π (∵接線の傾き→0)
2r→1/t (∵Aのy座標は次第に直径に一致)
rt→1/2

厳密には
ACの傾き・(-1/t^2)=-1
より
ACの傾き=t^2
1/t=r+rt^2/√(1+(t^2)^2)
rt=1/(1+1/√(1+1/t^4))→1/(1+1/√(1+0))=1/2

解説読んでわからなかったので質問です。問題は、学部は分かりませんが08首都大です。
【問題】
nを自然数とするとき、１から2nまでの異なる自然数が1つずつ書かれた2n個の玉が袋に入っている。袋から1個取り出した時そこに書かれている数をaとし、戻さずに再び玉を取り出した時書かれている数をbとする。
(3)2a≧bとなる確率を求めよ。
【解説】
�@　a=k (k=1,2,・・・n)の時
2a≧bとなるbの値は b=1,2,・・・k-1,k-2・・・,2kの2k-1通り
�A　a=k (k=n+1,n+2,・・・2n)の時
2a≧bとなるbの値は bの値はkを除く2n-1通り

�@�Aより2a≧bとなる確率はΣ[n→k=1](2k-1)+n(2n-1)=n(3n-1)通り
(以下略)
1,何故場合分けをするのでしょうか？ 2,�@�Aで何故、bの値の取り方がこうなるのですか？3.Σの計算の理由がわかりません。

長文すいませんでした。

>>116
すいません

>1/t=r+rt^2/√(1+(t^2)^2)
>rt=1/(1+1/√(1+1/t^4))→1/(1+1/√(1+0))=1/2

この上の式から2番目の式を導く過程ってどうしたらいいですか?
なんかすっごい分数だらけの式になってますけど・・・・
小まめに計算されたのですか?

>>115
S1の直径は√(2^2+2^2+4^2)=2√6中心はA(1,1,3)
S2の直径は√(4^2+4^2+2^2)=6中心はB(1,2,2)
2球の中心を通る平面で切った断面を考えるとそれぞれの大円の交点P, Qが求める円の直径の両端となるので
AB=√(0^2+1^2+1^2)=√2より
θ=∠ABCと置くと余弦定理より
cosθ=(5/12)√2
sinθ=√(47/72)
PC=3sinθ=(√94)/4
BC=3cosθ=(5/4)√2
B, A, Cはこの順で1直線上にあるので
BA:BC=1:(5/4)=4:5
AC:BC=1:5
C=(5A-B)/(5-1)=(1,3/4,13/4)

>>118
rを移項して逆数を取るだけです

そのあと分子のt^2を√の中に入れて割ります

>>120
ありがとうございます。ものすごく素晴らしく鮮やかです。

>1/t=r+rt^2/√(1+(t^2)^2)
この関係は点Aの法線ベクトルと
相似の関係からひっぱってきたんですよね?

これに気がつけるように精進したいと思います

>>117
a≧nのときは2a≧2nですので条件である2a≧bは必ず成立することになりますが
a<nのときは2a<2nですので2a≧bとなるbは制限を受けることになります
Σ計算はすべての場合の数を求めています

>>115
球面S1の方程式から球面S2の方程式を引いて，
共通円を含む平面の方程式を出して，
点と平面の距離の公式を使う方が早いが新課程ではあまりやらない．

>>81　ありがとうございました！

>>123
ありがとうございます。理解することができました。

こういうのって問題見て、ぱっと思いつくものなのでしょうか？
それとも脳内で123さんの書かれたようなことを経て考えつくのでしょうか？

１対１の�TのP．38で最後のとこを増減表でといてaｰ3の二乗のとこをaの係数がプラスだから増加関数だと思ってといたんだけど減少関数じゃないですか…


たしかに1より2を代入したほうが小さくなるんでなんとなくは納得するんですけど…


やっぱりここはグラフかかないで増減表で解くときは範囲を細かく見なければいけないということでしょうか？


長文で失礼しますがどなたかお答えお願いしますm(_ _)m

>>127
>>1

>>124
確かにそうですね
この問題の場合2球の中心を通る平面x=1で切ると平面上の円の方程式になりますので円と直線で同じことができます
C1: (y-1)^2+(z-3)^2=6
C2: (y-2)^2+(z-2)^2=9
辺々引いて
(2y-3)-(2z-5)=-3
2y-2z+5=0
(2, 2)からの距離は|2・2-2・2+5|/√(2^2+2^2)=(5/4)√2
以下>>119と同様

１〜８までの数があり同時に３枚取り出す。
（１）取り出し方は何通りか。
（２）取り出した３枚の積が偶数になるのは何通りか。
（３）取り出した３枚の積が８の倍数の場合何通りか
�@8 x 7 x 6 ÷ 3 x 2 x 1 = 56通り

�A1枚でも偶数が含まれていれば積は偶数になるので、3枚とも奇数の組み合わせの数を全体の数から引けば答えは出ます。
56 - (4 x 3 x 2 ÷ 3 x 2 x 1) = 56 - 4 = 52通り

�Aまではたぶん合っていると思うんですけど�Bがわかりません＞＜
ヤフ知恵にあった回答では「8の倍数になるためには3枚のうち2と4が同時に含まれるか、あるいは8が一つ含まれることが必要です。
2と4が同時に含まれる組み合わせ・・・・残りは1枚しか選べないので6通り
8が含まれる組み合わせ・・・・・・・・残り2枚を7枚のうちから選ぶ組み合わせなので7 x 6 ÷ 2 x 1 = 21通り
6 + 21 = 27通り
とあったんですけど
２と４が同時に含まれてる場合と８が含まれてる場合って重複してませんか？
それに3つ全てが偶数の場合でも8の倍数になるし。。。
正しい答えが分かりません
誰か教えてください。お願いします＞＜

>>130
数学板とマルチ

>>130
8C3=56

8C3-4C3=52

52-2C1・4C2-2C2・4C1-1C1・4C2=30

質問です
指数･対数の問題で出て来る「最高位」と「整数部分」とはどこのことなのですか？

最高位は一番左の数
整数部分はそのままその数字の整数部分
小数点以下は切り捨てした値

>>134
即レスありがとうございます

問
1辺が1の立方体3個から成る図のような立体がある。
与えられた3点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切った時の切り口を書き、
点Ｄを含む立体の体積を求めよ。
図　http://imepita.jp/20090820/826560　(赤線は自分の書き込みです)

答え
V=1/2×(1^3×4)-1^3
+1/3×(1/2×1/4×1/2)×1/3
+1/3×(1/2×3/4×1)×3/2×{1-(1/3)^3}
=1+1/144+13/72=19/16

図は正解の切り口の図で、答えが上記のように書いてありました。
切り方はわかったのですが、答えの各部分、それぞれ足したり引いたりしていますが、
それがどこの部分を計算してるのか全くわかりません。
どのような計算をしているのか教えてください。よろしくお願いします。

お願いします。
問題）袋の中に外れクジ13本、当たりクジ4本が入っている。クジを1本ずつ引くとき、
ｎ（3≦ｎ≦17)回目に3本目の当たりクジを引く確率をＰnとする。
ただし、取り出したクジは元に戻さない。
問 Ｐnを求めよ。

解答は
Ｐn＝(ｎｰ1)(ｎｰ2)(ｎｰ17)／460
です。
確率漸化式だと思うのですがうまく式が立てられません。お願いします。

>>136
(3^3+4^3+5^3-2^3-2^3-3^3-3)・1/3・1/2・1/4・1/3・1/2=170/144=85/72になりました
19/16=171/144
これは立方体4つで形成されていると誤解していませんか？

>>137
解答間違ってるよ

>>137
(n-1)C2・(17-n)C1/17C4=(n-1)(n-2)(17-n)/4760？

>>138-139
ありがとうございます

問題文には「立方体3個からなる〜」と書いてあるのに図が4個になってます…
そもそも問題文も解答も間違ってるんですかね…

すいません、>>141のアンカーは>>138です

申し訳ありませんでした。
解答の分母に0がついておりませんでした。

訂正も間違えてしまいました。
正しくは解答の分母4760です。
あと、考え方を教えて欲しいのですが・・・

>>141
>図が4個になってます
分かりにくいですがこの図は3個の立方体の図と見ることができます

>>144
n-1本(同時に)引いて、そのときに当たりくじを2本、ハズレくじをn-3本引いて、かつ次に当たりくじを引く確率

>>144
17のうち4つの当たりの配置が17C4通りありn-1までに当たり2個nに当たり1個n+1以降に当たり1個の配置が(n-1)C2・(17-n)C1通りです

>>146,147
ありがとうございました。
非常にスッキリしました。
またよろしくお願いします(*^_^*)

>>141
ACの中点を点対称中心にして反対側の位置にBを含む立方体をコピーする
それも含めて切断すると�@（4つの立方体が半分になる）
んで、�A「そこから最初にコピーして足した立方体をとる」
削れてたので取りすぎだ
その分返そう
それって対象だったからBを含む部分と同じだ
�B「三角錐の上をちょん切った残りと考えて足して終わり」
V=�@「1/2×(1^3×4)」�A「-1^3」
+1/3×(1/2×1/4×1/2)×1/3←これはちょん切った部分で要らないんじゃ？1/144
�B「+1/3×(1/2×3/4×1)×3/2×{1-(1/3)^3}」

>>138指摘の誤差とも合うのでこういうことかと思う。

「nが整数の時、n(n+1)(2n+1)は６の倍数であることを証明せよ」
解答にはｎを6で割ったあまりで分類するってやり方で書いてあるんですよ。
そんで、僕は今までなんとなく解法暗記でやってきたんですが、どうしてnを
６で割ったあまりで分類するって発想に至るかを理解していません。
なので、教えてください。お願いします。

>そんで、
ムカつく

ｎが整数のとき、ｎは２で割り切れる数と２で割ると余り１になる数の２種類ある
なんで６にするかといえば都合がいいから

>>145
>>149
お二方ともありがとうございました！完全に理解することができました
それにしてもこういう解答方法はなかなか思いつかないです…
本当にどうもありがとうございました

>>150
整数を6k+mの形であらわすと、6kは明らかに6の倍数で、mだけをみればいいから

それとは全然関係ないんだが
n(n+1)(2n+1)=n(n+1){(n+2)+(n-1)}=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
みたいに式を都合よく変形するのもよくある

>>150
a.b.nを整数、f(x)を整数係数の多項式とするとき
a≡b (modp)→f(a)≡f(b) (modp)
(⇔aをpで割ったあまりとbをpで割った余りが等しいとき
f(a)をpで割ったあまりとf(b)をpで割った余りが等しい)
という強力な関係がある.

ある整数の余りがわかるとその整数でつくられている
整数係数多項式の余りが解るのだから、
整数係数多項式が与えられていて
その多項式をpで割った余りを考えるときには
その多項式を構成している文字について
pで割った余りを考えればよいということがわかる。

本問ではn(n+1)(2n+1)という整数係数多項式が与えられていて
これが6で割った余りが0になればいいわけだから
n(n+1)(2n+1)を構成している文字であるnを6で割った余りで分類して
うまくn(n+1)(2n+1)を6で割った余り=0を導けばよい

という発想の流れになる。

質問です
　(x^3+y^3+7)/(x+y+1)の最小値を求めよ
という問題なのですが、私は以下を試しました
１．xについて微分→分子が2x^3+3(y+1)x^2-(y^3+7)となって
3次の解の公式は非現実的なので極値を与えるxが分からない
２．x+y=uとxy=vで表す→今やり直したらこれはできました。計算ミスでした
３．どうせ相加相乗かコーシーシュワルツでいけるでしょ→全然適用できない
４．ならばJensenで･･･使える気がしない
とダメダメです
誘導でx^3+2>=3xを示せというのがあるのですが
この不等式は思いつく気がしないのでこれを使わずに、特に３．で解きたいです
よろしくお願いします
色々な解法があると嬉しいので、思いついた方針だけでも助かります

うはｗ誘導すごい

>>156
うーん・・誘導がないにしても
---------------------------------------------------------
最小値をmとすると
(x^3+y^3+7)/(x+y+1)≧m
⇔{(x^3+n)+(y^3+n)+m}/(x+y+1)≧mx+my+m/(x+y+1)=m
(ただしn=(7-m)/2)
になる。等号ももちろん成立する。

そこでx^3+n≧mx、y^3+n≧my、m+2n=7
をみたす実数m.nを1つさがしたい。

x>0で考えちゃって
x^3+n≧mx⇔x^2+n/x≧m
f(x)=x^2+n/xとしてやるとt=f(x)とt=mが接するときを考えればいいのでf(x)の最小値を探す。
微分してx=α(7-m=4α^3をみたす)のとき、f(x)は最小値3α^2をとるので
7-m=4α^3かつm=3α^2となるmでm=3、よってn=2
----------------------------------------------------------
というところまで考えて準備して、
x^3+2≧3xを自力で出して、証明してからどうどうと評価するかなぁ・・やっぱり。

絶対不等式の利用も考えてはいるけど結構難しい。
あと分子の次数が高いので割り算で次数を下げてうまく処理できるとうれしいけど
やっぱり難しいし。もう少し時間ください。

一橋後期06年で似たような問題が出ていて

1)4x^3+1≧3xを示せ
2)(4x^3+4y^3+5)/(x+y+1)の最小値を求めよ

とかいうような問題が同じように誘導かかってでるけど
やっぱりこれも評価に持ち込まないと厳しいよね。
logをとって引き算で考えていじるとかあるかもしれないけど。

あ！失礼しました
この問題ではx,yは非負の範囲です
本当にごめんなさい

>>158
なるほど。そういった発想でこの誘導がでてくるわけですね
勉強になります
私も次数下げは試みたのですが泥沼に嵌りました
今からlogで考えてみます

質問です

問題：

x^2-3ax+2a-3=0　が　２つの整数解をもつようaを定める。　a^2+3　の値を求めよ。


略解：

α+β=3a , αβ=2a-3

『よって　6a=2(α+β)=3(αβ+3)　から　(3α-2)(3β-2)=-23』

以下略


略解しか無かったので。
『　』でくくった部分の操作がよく分かりません。
確かに逆からたどれば確かにそうなりますが、どういう発想でやればああなるのでしょうか？
あのやり方になった思考の経緯が分かりません。

>>156
s＝x+y，t＝xy とおくと x^3+y^3+7)/(x+y+1)＝(s^3-3st+7)/(s+1)
t≦s^2/4 より (s^3-3st+7)/(s+1)≧(s^3+28)/(s+1)

0,1,2,3,4,5,6,7の数字が書かれた8枚のカードがある。

カードをもとに戻すことなく、1枚ずつ8枚すべてを取り出し、左から順に横に一列に並べる。
このとき、数字mのカードの左側に並んだmより小さい数字のカードの枚数がm-1枚である確率を求めよ。
ただし、mは1から7までの整数のいずれかとする。


8枚のカードを並べたときのmの位置決定の仕方が分りません。宜しくお願いしますです。

解答は1/m+1となってます

× (s^3+28)/(s+1)
○ (s^3+28)/4(s+1)

>>162
整数問題は文字整数が3文字以上になれば不等式で範囲を絞り
項の数を減らす方向で絞込んでいく。

2文字なら
整数×整数=整数
という積の形に分解すると圧倒的に考えやすい

もう一つは剰余に着目する

という定石がある。

今回は2文字だしα+β=3a , αβ=2a-3までだしたら
(αの1次式)×(βの1次式)=(整数)
の形に変形したいと考える
しかもaはよくわからない数だから当然2式から消去したい。
そこで6aに統一してaを消すと2(α+β)=3(αβ+3)
3αβ-2α-2β+9=0
(α-2/3)(3β-2)-4/3+9=0
⇔(3α-2)(3β-2)-4+27=0
⇔(3α-2)(3β-2)=-23

>>163
s=2で極小値、v=1で等号成立ですね。ありがとうございます

ところで、もう一つ解答を作成したのを忘れていました
なんだか見慣れない感じなのですが、この解答は論理的に問題ないでしょうか
解答
求める最小値をkとする
f(x,y)=x^3+y^3+7-k(x+y+1)とすると
f=0となるようなx,y(>=0)が存在する
fをxで微分して、増減表書いて、
　f'=3x^2-k
　f(x,y)>=f(√(k/3),y)
yについても同じことをして
　f(x,y)>=f(√(k/3),√(k/3))
だから、これの左辺<=0が必要で、
　f(√(k/3),√(k/3))<=0　⇔　3<=k
ここで、fは増減表よりx,y>√(k/3)で単調増加で、
f→∞(x,y→∞)となるから、中間値の定理よりf=0となる
x,yをx,y>=√(k/3)にとれる。よって十分。
よって最小値はk=3

>>167

そういうの待ってました！
ありがとうございました。

定石という事で覚えておきます。

>>119>>124>>129
ありがとうございます！なんとか理解できました。
それにしても>>119のような長い手順を丸々省略するなんて鬼畜ですね。
数研出版は。

>>168
>だから、これの左辺<=0が必要で、
これはなぜですか？

>>164
8枚中0〜mを並べる場所の選び方が8C(m+1)通り
0〜m-1のm枚の並べ方がm!通り
mの左にこのうちm-1枚が並ぶので
mを右から1つ目の所に挿入した上で選んだ場所に置く
残りの7-m枚を選ばれなかった場所に並べる並べ方が(7-m)!通りなので
題意を満たす並べ方は8C(m+1)・m!・(7-m)!=8!/(m+1)通り
よって求める確率は（並べ方の総数である8!で割って）1/(m+1)

8枚を並べて0〜mのm+1の間でmの場所を適切に調節（交換）するとm+1通りの並べ方から同一の並べ方が生じるので題意を満たす並べ方は全体の1/(m+1)の割合になる

x^3+y^3≧2(x+y)^3(jensen)
(t^3+28)/(t+1)は点(-1,-28)と点(t,t^3)を結ぶ傾き
最小値3はすぐに出る

>>171
間違えました、「右辺<=0が必要」と打つつもりでした
右辺ならば問題はないですか？

なるほど
増減表を書いてx, y≧0の範囲にf=0となるx, yが存在するための条件を示そうということですね
存在するならば最小値である右辺が0以下となり
右辺が0以下ならば中間値の定理より存在すると

>>174
>x^3+y^3≧2(x+y)^3(jensen)

これってどうしていえるの?

(x^3+y^3)/2　≧　(x+y/2)^3
⇔(x^3+y^3)≧(x+y)^3/4 (等号はx=y)
じゃなくて?

(x^3+y^3)/2　≧　((x+y)/2)^3
⇔(x^3+y^3)≧(x+y)^3/4 (等号はx=y)

こう書かないと駄目か。

さよう
2で割るのが書き忘れただけ
x+yをtとおけば示したとおり

そか。

(t^3+28)/(t+1)は点(-1,-28)と点(t,t^3)を結ぶ傾きだから
最小値になるのは(t.t^3)で接するときで
(t^3+28)/(t+1)=3t^2からt=2と出す流れ?

それとも接するとき図形的にt=2が見える?

そのように傾きを等しいと考えた
幾何的的な解き方は分からない
単純な分数関数だし非常に簡単に最小値出せそうな気もするのだが

>>174
ありがとうございます
いやー、ここの住民は本当に優秀ですね

三角形OABにおいて
∠AOB=90°OA=2, OB=1とし、ABの中点をMとする
三角形OABの外側に辺OB,ABを底辺とする2つの正三角形を描き
それぞれの頂点をPQとする
(1)OA↑とOB↑を用いて、OM↑、OP↑、MQ↑を表せ
(2)三角形MPQの面積を求めよ

この問題を教えてください
自分はOを原点、B(1.0),A(0.2)とする座標平面にのせて考えました
OM↑はABの中点なので明らか。
OP↑は三角形OBPが長さ1の正三角形で
点Pの座標が(1/2,-√3/2)とすぐでました。

MQ↑を求めるときにちょっと苦労しまして、
BA↑を点Bを中心に-60°回転した点がQなのでQ({1/2}+√3, {√3/2}+1)
とだして、MQ↑を求めました
あとはMP↑を出して座標平面の面積公式に叩き込んで解いたのですが
MQ↑をこの方法で解いてるの時点で計算が多くてうまくない気がします

もう少し形のよさ・正三角形等の幾何的な条件を利用して上手に解きたいのですが
どうしたらいいでしょぅか? よろしくお願いいたします

MQ↑・AB↑=0、|MQ↑|=√5*√3/2でいいんじゃない?

あ、確かにそれは早いですね
しかも基本に忠実ですし・・・

AB↑の法線ベクトルの1つが(1/√5)(2,1)ですから
MQ↑=|MQ↑|(1/√5)(2OB↑+OA↑/2)
=√3/2(2OB↑+OA↑/2)
でさくっとでてきました。ありがとうございます。

すいません、もう一題質問させてください

三角形ABCは円Oに内接し
AB=AC=4,BC=3とする。頂点Aを通らない孤BC上を点Pが動く
(1)BP.CPはxについての2次方程式
　x^2-2xAPcos∠ABC+AP^2-16=0の解であることを示せ
(2)BP+CPの最大値を示せ

という問題です
円の半径をRとして、余弦定理よりcos∠ABC=3/8, sin∠ABC=√55/8なので
R=(16√55)/55

三角形ABP,ACPに余弦定理を与えることで
(1)が示されて、(2)は
BP+CP=2APcos∠ABC=(3/4)APだから
APが最大、つまり直径のとき最大とわかり最大値が求まるのですが
これも図形的に(1)(2)とも導くことは無理でしょうか?

x^2-2xAPcos∠ABC+AP^2-16=0の解と係数の関係より
BP+CP=2APcos∠ABC
BPCP=AP^2-16
なので、特にBPCPはなにかしら図形的に意味を持ってそうな気がするんですが
構図的に方べきの定理やトレミーの定理を考えているのですがうまくいきません。

よろしくお願いします

(2)だったらまだある程度図形的にいける。AのOに関する対称点をQとする。
対称性より孤QC上に点Pがある場合を考えれば十分であり
点Qを通りBCと平行な直線に関して、点Cの対称点をCq
点Pを通りBCと平行な直線に関して、点Cの対称点をCpと書く
BP+PC=BP+PCp≦BQ+QCq
だから、点PがQと一致したとき最大となる。円の半径をRとして
トレミーの定理より2R×3=4x+4x⇔x=3R/4
後はRを代入すれば解ける。

トレミーなんか持ち出さなくても相似とかで3R/4は出るとおもう。

ほかスレに間違って投稿してしまいました。
逆行列を誰かお願いできますでしょうか？

1　1
1　5　

の逆行列がなんか出来ないです。
わかるひとおねがいします。

数字なら えふますたーの目 ってググってみ

簡単だけど原理理解で非常にわかりやすい

ありがとう

>>187

こんな感じではどうでしょうか？

直線ＰＣ上にＢＰ＝ＣＱとなる点Ｑを（Ｐ，Ｃ，Ｑの順になるように）とる。
角ＡＢＰ＝角ＡＣＱ（∵円に内接する四角形の対角の和は１８０度）
に注意して、三角形ＡＢＰ≡三角形ＡＣＱ
ゆえ、角ＡＰＢ＝角ＡＱＣ

円周角定理より、
角ＡＰＢ＝角ＡＣＢ，角ＡＰＣ＝角ＡＢＣ
に注意すれば、
三角形ＡＰＱは三角形ＡＢＣと相似の二等辺三角形

よって、ＢＰ＋ＣＰ＝ＰＱ＝２ＡＰcos角ＡＰＱ＝２ＡＰcos角ＡＢＣ

ＰＱの中点をＭとして、
ＡＰ＾２＝ＡＭ＾２＋ＰＭ＾２
ＡＣ＾２＝ＡＭ＾２＋ＣＭ＾２
両辺の差をとって、
（左辺）＝ＡＰ＾２−ＡＣ＾２＝ＡＰ＾２−１６
（右辺）＝ＰＭ＾２−ＣＭ＾２＝（ＰＭ＋ＣＭ）（ＰＭ−ＣＭ）＝ＣＱ・ＣＰ＝ＢＰ・ＰＣ

以上より、187様が書かれているとおり、解と係数の関係を利用して、（１）は示されます。

（２）
ＢＰ＋ＰＣ＝２ＡＰcos角ＡＢＣ＝ＡＰ＊３／４
ＡＰはＰが円弧ＢＣの中点となる（＝ＡＰが直径となる）とき最大
（以下略）

A(0.0),B(2,0),C(1,√3を頂点とする三角形ABCに対して
三角形ABCの周又は内部に動点Pがあるとき
PA^2+PB^2+PC^2の値が最小となるときの点Pの座標とその最小値を求めよ
(解答は最小値4,P(1,√3/3))

解説はP(x.y)とおき、yを固定したときのxの範囲を求め
2点間距離の公式でPA^2+PB^2+PC^2の値をxの関数として求め
最小値をyの式で表した後、yを動かして最小値の最小値を求めてるんですけど
もう少しいい方法はないでしょうか?

直感的には正三角形の重心にいるとき最小で
答えもそうなってますけど・・・

お願いします。
1+1/2+1/3+……+1/n=2n/n+1>2n/n+1
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。(>は「〜以上」のつもりで)

(１)k=1のとき〜〜〜〜〜〜

(２)n=kでの成立を仮定すると
1+1/2+1/3+...+1/k+1/k+1-2(k+1)/k+2
　　>〜〜〜〜

ここから、式変形が分からないです。
出来れば詳しく書いていただけますか。

ベクトルで処理する方法もあるかと。

それぞれ位置ベクトルを小文字で表す。
ＰＡ＾２＋ＰＢ＾２＋ＰＣ＾２
=|a↑-p↑|^2+|b↑-p↑|^2+|c↑-p↑|^2
=3|p↑|^2-2(a↑+b↑+c↑)・p↑+|a↑|^2+|b↑|^2+|c↑|^2
=3|p↑-(a↑+b↑+c↑)/3|^2+|a↑|^2+|b↑|^2+|c↑|^2
-(|a↑+b↑+c↑|^2)/３
よって、p↑-(a↑+b↑+c↑)/3＝０⇔Ｐが三角形ＡＢＣの重心のとき最小で、最小値を計算すれば４

>>196
賢いやり方ですね。私は思いつかなかったです。

私は以下のようにベクトルで考えたのですが、おそらく>>194さんの模範解答にある，
2つのパラメータの片方を固定する方法をベクトル流に表現する解答に当たるのででしょうか．
（矢印を書くのは煩わしいので省略します．）

↑{AB} = b , ↑{AC} = c　とおく．
b・c = 2, |b|=|c| = 2．

辺BCをt:(1-t)に内分する点をQとおくとき，
↑{AQ} = (1-t)b + tc 　　( 0 <= t <= 1 )
と表せる．3点A,P,Qが同一直線上にあるとすると，
↑{AP} = k(1-t)b + ktc　( 0 <= k =< 1，∵Pは三角形の周または内部にある)
と表せる．簡単のため，p = ↑{AP}とおく．

さて，以上の設定において，
|↑{AP}|^2 + |↑{BP}|^2 + |↑{CP}|^2
=|p|^2 + |b|^2 - 2b・p + |p|^2 + |c|^2 - 2c・p + |p|^2

（ここで，|b| = |c| = 2， b・p = k(1-t)|b|^2 + tkb・c, k(1-t)b・c + tk|c|^2
を代入して，）

= 3 |p|^2 + 8 - 12k >= 0 (∵ AP^2 + bP^2 + C^2 >= 0)　…(*)

よって，
k <= (3|p|^2 + 8) / 12
で，|p|^2 >= 0より，k <= 8/12 = 2/3．
従って，Pは，線分APを2:1に内分する点である．

>>196
ありがとうございます。ベクトルだと本当にすっきりしますね！


自分もまだ考えていましてこんな解法思いつきました
A.Bの中点をMとして中線定理より
PA^2+PB^2+PC^2=2+2PM^2+PC^2
したがってPC^2+PM^2を最小にする点Pは
x=1上にあることが必要である。
よってP(1.a) (0≦a≦√3)とおけて、
このときPC^2+2PM^2=3a^2-2a√3+38(=f(a)とおく)となるから
f(a)≧f(√3/3)=2
等号はa=√3/3で成立するため、十分でもある。
以上よりP(1.√3/3)でありPA^2+PB^2+PC^2≧4

もう少し図形的に見えるといいんですけど。

>>197
ありがとうございます。早速拝見します

さて，k=2/3より，
p = 2/3 {(1-t)b + tc}
と表せるので，k=2/3のとき，
(*)
→AP^2 + BP^2 + CP^2
=3|p|^2
=3・4/9・| (1-t)b + tc |^2
=(4/3)・{t^2 - t + 1}
=(16/3)・{(t-1/2)^2 + 3/4 }

従って，t=1/2のとき，AP^2 + BP^2 + CP^2は最小値4をとる．
このとき，Qは辺ABの中点となるので，AQを2:1に内分する点は三角形ABCの重心である．

ちょっと論理の点でお伺いしたいのですけど

AP+BP+CPが最小となる点Pを考えて
AC↑を原点周りに60°回転してAC'↑をとり、C'(-1.√3)
同様にAP↑を60°回転した点をP'とすればAP=PP'、CP=C'P'
がいえるから
AP+BP+CP=C'P+P'P+PB≧C'B
ということで点Pが「y=-√3/3 (x-2)かつ�僊BCの周又は内部」にいるとき
って言えるんですよね。

これと先の中線定理から出てきた必要条件x=1上にいる
という条件組んであげると、
P(1.√3/3)が出てくるんですけど、
こうやって出てきたPは単なる必要条件に過ぎないですか?
また十分性を確認するとしたらどうしたらいいでしょう。

>>201

PA^2+PB^2+PC^2の大小とPA+PB+PCの大小の関係を示すことが必要になると思いますが、大変ではないでしょうか？

三角方程式不等式の問題で
単位円などの図を書かないと減点されるのでしょうか？

↑三角方程式や三角不等式の問題でってことです

>>202
なるほど、そういう流れになるのですね・・・
確かに大変ですね。。
わかりました。ありがとうございます

>>203
逆に何故必要かと問いたい

>>203
問題書いて

>>195
お願いします。

>>195

≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　（∵ｎ＝ｋで題意の式が成立することを利用）
=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
=k/((k+1)(k+2))
≧０

三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５．ＢＣ＝７，ＣＡ＝３とする
また三角形ＡＢＣの外心をＰとするときＡＰ↑をＡＢ↑とＡＣ↑で表せ

という問題を教えてください
できるだけ綺麗に解きたいです。
自分が考えた方針としては、ＡＢ↑とＡＣ↑の内積を求め
ＡＰ↑とＡＣ↑の内積を考え、ＡＰ↑とＡＢ↑の内積を考え
ＡＰ↑＝ｓＡＢ↑＋ｔＡＣ↑を内積の式に代入すれば
計算がんばってとけるかな？　と思っていまやっています

答えは
ＡＰ↑＝（１３／１５）ＡＢ↑＋（１１／９）ＡＣ↑です

>>210

ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。

ＭＰ⊥ＡＢ　かつ　ＮＰ⊥ＡＣ
⇔
（ＡＰ↑−（1/2）ＡＢ↑）・ＡＢ↑＝０　かつ
（ＡＰ↑−（1/2）ＡＣ↑）・ＡＣ↑＝０

後は、御指摘のとおり、
ＡＰ↑＝ｓＡＢ↑＋ｔＡＣ↑
を代入して、連立方程式を解けばよいと存じます。

1/ab＜1であることは、ab＞1であるための(　)。文字は実数とする。
カッコに入るのは必要十分条件だと思ったんですが答えがが必要条件ってなってました
僕が間違ってるのでしょうか？

回答お願いします

>>212
必要条件です
どちらかが負を考えたらわかるかも

>>213
すいません、どういうことですか？

一応僕の考えを書いときます
ab＞1の両辺に1/abをかけると1/ab＜1になるから1/ab＜1とab＞1は同じもの
よって必要十分条件だと思いました

>>214
a=1,b=-1とか考えろとかそういうことだよ。

1/(ab)かけるにしたって負数かけるなら不等号の向き変わることくらい習ったろ？
文字の不等式考えるときはいつも注意してないと、
うっかり正だと思い込んでしまったりするぞ。

>>215
いや、ab＞1ということはabは正だから符号は変わらないのではないんですか？

>>216
1/ab＜1⇒ab＞1
は1/ab＜1から必ずab＞1が導ける(変形できる)ということ
a=1 b=-1 のとき導けないだろ

>>217
1/ab＜1⇒ab＞1はダメでも
ab＞1⇒1/ab＜1ならできるのでこれでいいと思ってました

何度もありがとうございました

多項式の列P0(x)=0　P1(x)=1　P2(x)=1+x　Pn(x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n-1を考える

(1). 正の整数 n，m に対して，Pn(x) を Pm(x) で割った余りは
P0(x)，P1(x)，. ······，Pm−1(x) のいずれかであることを証明せよ．
(2). 等式 Pl(x)Pm(x2)Pn(x4) = P100(x) が成立するような
正の整数の組 (l, m, n) をすべて求めよ。

古い東大の問題なのですが、全く分からなくて。教えてください。お願いします。

できないから

>>219
(1)は取り合えず帰納法で上手くいく。
(2)は(1)を使うのかも知れないけど、
Pn(x)＝(1-x^n)/(1-x) を使うと、
(1-x^(l+1))(1-x^(2m+2))(1-x^(4n+4))(1-x^100)(1-x^2)(1-x^4)
後は係数比較。

× (1-x^(l+1))(1-x^(2m+2))(1-x^(4n+4))(1-x^100)(1-x^2)(1-x^4)
○ (1-x^l)(1-x^(2m))(1-x^(4n))(1-x^100)(1-x^2)(1-x^4)

Pn(x)=Q(x)Pm(x)+R(x)
Pn(x)(x-1)=Q(x)Pm(x)(x-1)+R(x)(x-1)
x^n-1=Q(x)(x^m-1)+R(x)(x-1)
n=qm+r
x^n-1=(x^(n-m)+x^(n-2m)+…+x^r)(x^m-1)+(x^r-1)
Q(x)=x^r(1+x^m+…+(x^m)^(q-1))=x^rPq(x^m)
R(x)(x-1)=x^r-1
R(x)=1+x+…+x^(r-1)=Pr(x)

P100(x)=Q(x)Pl(x) ⇔ 100=ql
Q(x)=Pq(x^l)=Pm(x^2)Pn(x^4) ⇔ m>1, l=2, q=50 or m=1, l=4, q=n=25
P50(x^2)=Pm(x^2)Pn(x^4) ⇔ P50(x)=Pm(x)Pn(x^2) ⇔ l=2, m=2, n=25

>>221 >>222 >>223
ありがとうございました。こんなに早く教えて下さって、感謝です。
自分の実力のなさを痛感し、努力したいと思います。本当にありがとうございました!!

私文だけど数学選択にすればよかったと今更思う

京大理系数学乙(09)の質問です。

ttp://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2009/kyodai/sugakuc/index.htm の
「この2式を満たすkが存在する範囲を求めればよい
ｋを消去して」
の理由がわかりません。
何故でしょうか。

あと
自分は、sとk、tとk　の等式･･･(A)を作って
0≦k≦1　の条件式を(A)に会うように割ったり足したりして
0≦s≦9/16、0≦t≦1/4までは出ました。
最終的な答えでは等号がついてないのが解りません。

お願いします。
また、こういう理解が出来ないというのは、
どういった考えが身に付いていないからでしょうか?

お願いします。

>>226
問題書いて

>>226
「x+y=7かつx-y=1をみたす実数yが存在する」
⇔x-(7-x)=1
⇔2x-7=1
⇔x=4

っていう「yの存在条件=yの代入消去によって得られた式」
という論理関係と同じこと。
kの存在条件を考えてるからkを消した

s,t>0だから
0は入らないし、s=9/16とするとt=0になるから
t=9/16は不適でしょ
なので等号は入らない

>>227,228
ありがとうございます。

>>228
実はその論理関係があやふやです･･･
反射的に解けば228さんのようにx=4まで辿り着いたと思います。
でも日本語を読んで自分で意味を考え始めると意味不明です。
自分でも意味不明なんです。
考えれば考えるほど意味不明になっていってしまうんです。

存在条件とかパラメータとか逆手流?みたいな考え方が
良くわからないのですが、
どういった勉強をすればよいでしょうか？

>>229
「x+y=7かつx-y=1」を解くとx=4,y=3
なので、「x+y=7かつx-y=1をみたす実数y」とは、y=3のこと　

「x+y=7かつx-y=1をみたす実数yが存在する」ということは言葉を変えると
「x+y=7かつx-y=1という連立方程式においてyがy=3という値を取ることができる」ということ。
「x+y=7かつx-y=1という連立方程式においてyがy=3という値を取ることができる」
ための必要十分条件は、yを消去して出てきたx=4。
x=5でもx=2でもy=3にはなれない。相方のxがx=4だからこそ
yがy=3という値を取れるのだという意味。
そのx=4とはいったいどこから出てきたの? というと
「x+y=7かつx-y=1」からyを代入消去して得られた式:x-(7-x)=1を同値変形したもの。

これを一般化すると
「f(x.y)=0かつy=g(x)をみたす実数yが存在する」⇔「f(x.g(x))=0」・・・・・(*)
f(x.y)=0かつy=g(x)をみたすyが存在するため必要十分条件とは
yを消去して得られた式、f(x.g(x))=0に他ならない。

さっきと同じように考えれば
f(x.y)=0かつy=g(x)という連立方程式を解くと、x=a.y=bになったとする
「f(x.y)=0かつy=g(x)をみたす実数yが存在する」ということは
「f(x.y)=0かつy=g(x)という連立方程式において、yがy=bという値をとることが出来る」という意味
そのためには相方のxさんがx=aであることと同値
x=aはどうやって出てくるかといえば、f(x.y)=0かつy=g(x)からyを消去して出来た式
f(x.g(x))=0を同値変形して出て来る。

(*)が一度納得できればさっきの京大の問題でも
9-9k-16s=0かつ4k-16t=0を満たすkが存在する
⇔16s+36t=9
と、kを代入消去して得られた式がぱっと出てくるようになる

(*)がどうしてもわからなければ
身近な教師に聞いて納得するまで質問するか
詳しい参考書(受験数学の理論みたいな感じの奴)片っ端から読むか
もやもやするだろうけど、一度「yの存在条件=yの代入消去によって得られた式」
と憶えて使ってみるしかないと思う。使っているうちにしっくり来ることはあるし。

御察しの通り軌跡なんかの問題でよく使う考え方で
パラメーターを消去するのはパラメーター(逆像)の存在条件と同値。

>>230-231
ありがとうございます！
絶対叩かれると思ってびくびくしてましたが、
とても親切に教えていただけてとても嬉しいです！

本当にありがとうございます、
何度も読んで理解します！
ありがとうございました

叩かれる条件
*努力の形跡が見られない丸投げ
*テンプレ無視の俺流表記
*バカのくせに開き直って逆ギレ
*マルチポスト
と、まあここらあたりが主流だな

質問者としての分を弁えて
人としての礼儀を守っていれば
そうそう叩かれることはないぞ

お前さんの場合、設問転記の手間を省いて
解答例だけへのリンクを貼った点については
回答者によっては非難された可能性もあるけどな

こういうスレでの質問者の手抜きは
憎悪の対象となる場合が多いから、以後注意するように

（ｘ+1）/ｘ*（ｘ+2）*（ｘ+3）の原始関数を求める際に、
(a/ｘ)+(b/(x+2))+((ｃ/ｘ+3))などとして係数比較して部分分数に分ける時と、
3/（x-1）*（x+2）^2の原始関数を求めるのに部分分数に分けるとき
(a/(x-1))+((b/(x+2)^2)としてもうまくいきませんa=0,b=0になります。
解答では((a/(x-1)*(x+2))+(b/(x+2)^2)としています。
この分母の分け方の違いはどうゆう基準で因数に分けているんですか？

>>223
>P50(x^2)=Pm(x^2)Pn(x^4) ⇔ P50(x)=Pm(x)Pn(x^2) ⇔ l=2, m=2, n=25
⇔ l=2, m=2, n=25 or l=2, m=50, n=1

>>234
部分分数分解は分母の因数で展開されるから
(x-1)(x+2)^2の因数は(x-1)と(x+2)と(x+2)^2
(x+2)を忘れてはだめだし、(x+2)^2も必要

質問者じゃないけど(x+2)^2 は何故必要なんですか？

厳密には複素関数まで勉強しなきゃいけないけど
この場合は
1/(x-1)(x+2)^2 = 1/(x+2){1/(x-1)(x+2)} = 1/(x+2){(1/(x-1) - 1/(x+2)}*(1/3) = { 1/(x-1)(x+2) - 1/(x+2)^2 }*(1/3)
= 1/9(x-1) - 1/9(x+2) - 1/3(x+2)^2
になって(x+2)^2はこれ以上部分分数分解できない形だからといえばいいかな

＞部分分数分解は分母の因数で展開されるから
(x-1)(x+2)^2の因数は(x-1)と(x+2)と(x+2)^2
(x+2)を忘れてはだめだし、(x+2)^2も必要

なら(x-1)(x+2)^2の因数は(x-1)と(x+2)と(x+2)^2に加え(x-1)*(x+2)もいるんじゃないですか？
これで分解してみると文字４つとなり解けません。
>>234は文字２つですんでいます。しかし因数は上記のように４つあると思いますし、
やはりこの分母の分け方の違いはどうゆう基準で因数に分けているのかわかりません。
お願いします。

ブラーマグプタの公式って試験で使ったらまずいですか？
受験する大学は文系です

分数式f(x)/g(x)は次の3つの式の和に表される
-------------------------------------------------------------------------------
部分部数分解の定理

1)多項式

2)g(x)の因数に(x-a)^mが現れていれば
A[1]/(x-a) + A[2]/(x-a)^2 +・・・A[m]/(x-a)^m

3)g(x)の因数に(x^2+ax+b)^mが現れていれば
(A[1]x+B[1])/(x^2+ax+b) + (A[2]x+B[2])/(x^2+ax+b)^2 + ・・+(A[m]x+B[m])/(x^2+ax+b)^m

f(x)の次数<g(x)の次数のときは2),3)のみの和で表される
--------------------------------------------------------------------------------

・（ｘ+1）/{ｘ*（ｘ+2）*（ｘ+3）}の場合
2)の適用で、(a/ｘ)+(b/(x+2))+((ｃ/ｘ+3))とわける

・3/（x-1）*（x+2）^2の場合
同じく2)の適用で
{a/(x-1)}+{b/(x+2)}+{c/(x+2)^2}とわける

と結果だけをひとまず理解しておけばいいと思うよ
とりあえず誘導がついていればそれに従えばいいし。

スレ違いかもしれんが質問させてくれ。センターじゃなく一般受験で法政を受けようと思うんだが、数学�U・Ｂはいるのか？

>>240
問われてる問題の核がどこにあるかによるんだろうけど
基本的には使わない方向で問題考えたほうがいいと思うよ。
あからさまに使ってほしいと訴えかけるような問題なら使えばいいんだけど。

自明っていうほど自明な定理でもないし
どんな教科書にも乗ってる重要定理ともおもえないし
それ以前にヘロンの公式でもそうだけど計算が煩雑になるだけで
使うメリットがあまりないと思うし。

>>243
ありがとうございます
極力使わないようにします

>>241
良くわかりました
ありがとうございます

ベクトルで質問です

座標空間に点(2,-4,3)を通りベクトル(2,1,1)に平行な直線lと点A(5,2,9)がある。
Aを通りlと直交する直線がyz平面と交わる点の座標を求めよ

lのベクトル方程式は分かるのですが,それをどう使えばいいか分かりません。お願いします

普通に(0.7.14)になったけど・・・

なんかミスってるかな

求め方がわからないんです＞＜

(2,-4,3)に始点をもちAに終点を持つベクトルを直線lの方向ベクトル方向に正射影して、その終点をBとすると、答えはOA↑+tAB↑(x座標が0となるようなt)から得られる,
分かりにくい解答だな

Aを通りlと直交する直線は
方向ベクトル(2.1.1)に垂直で、点(5.2.9)を通るので
この直線上の任意の点は、媒介変数tを用いて表現できる。
その点がyz平面上にあるときx成分が0になるわけだから
そこから、tが求まり、tが求まればy成分もz成分も出る

という流れだけど・・・

>>246
ベクトル(2,1,1)と垂直なベクトルは、
2a＋b＋c＝0
を満たすから、そのうちのひとつは(1,−1,−1)…(*)である。
点Ａを通り(*)に平行な直線は
x−5＝(y−2)/−1＝(z−9)/−1
である。
yz平面上の点はx＝0であるので直線lとyz平面の交点の座標は
(0,7,14)…(答)

251訂正
直線lと垂直な直線とyz平面との交点だったね

>>251
君頭悪いでしょ

>>253
おまえもな

>>249
その方法でやってみたのですが,うまくいかないのです
間違っているところ指摘してください

正射影ベクトルOB↓は平行ベクトル(2,1,1)をｕ↓とすると
ｕ↓･OA↓/|ｕ↓|^2×ｕ↓であり
OA↓･ｕ↓=18
|ｕ↓|^2=6より
OB↓=(6,3,3)
OA↓+tOB↓=(3+3t,6-3t,6-3t)

どこで間違えてますか?＞＜

>>255
暗記数学やってると伸びないよ。ちゃんと図描け＞＜

>>255
数値にミスがある
ＯＡ↓＝(5,2,9)
ＯＢ↓＝(8,−1,6)
ＡＢ↓＝(3,−3,−3)
ＯＡ↓＋tＡＢ↓
＝(5＋3t,2−3t,9−3t)
5＋3t＝0
t＝−5/3
を代入すれば
(0,7,14)
になるよ

>>257
君頭悪いでしょ

u=-x/(x^2+y^2+z^2)^3/2
をxについて微分してください
途中式を書いてくれると嬉しいです
答えとどうしても合わなくて困ってます…

>>259
商の微分法の公式よりuの分母
={(x^2+y^2+z^2)^3/2}^2
=(x^2+y^2+z^2)^3…�@
分子
=1･(x^2+y^2+z^2)^3/2-x･(3/2)･{(x^2+y^2+z^2)^1/2}･2x
=(-2x^2+y^2+z^2)√(x^2+y^2+z^2)…�A
約分できないから
u=�A/�@…(答)
商の微分法と合成関数の微分法を使ってる

>>260
商の微分方か…!存在を忘れてました、ありがとうございます

でも途中-付け忘れてたりしませんか…?また答えが合わないのは自分のせいでしょうかorz

>>261
うっかりした
u=-�A/�@
だね

１２本のクジのうちｎ本が当たりクジである
当たりの得点を３点、ハズレクジを-１点とし
当たりをひいた場合は試行を終了
ハズレをひいた場合はクジを戻さずに当たりが出るまでクジを引き続けるとする
このとき得点の期待値が０以上となるｎの範囲を求めよ

↑
適当な数字をｎに代入する以外に方法ないですかね？

263は数学板とマルチ

>>264
>>1読んでませんでした。すいません。

記述において
「判別式をDとする」と書かずに、
いきなり「D」と書いて通用しますか？

>>263
平均して4回目に当たりを引くようなら期待値0
平均して4回目に当たりが出るのは4(n+1)=12+1よりn=9/4のとき
よってn≧3(≧9/4)

点Ｏを中心とする半径１の球面上に３点、Ａ、Ｂ、Ｃがある。
線分ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。線分
ＯＰ、ＯＱ、ＯＲのうち少なくとも一つは長さが1/2以上である
ことを証明せよ。

これベクトル使わずにどういう方針で解いたらいいでしょう？
座標だと成分が多すぎますよね。

0≦x≦y≦z
x+y+z=6n
x,y,z,nは非負整数

を同時に満たす(x,y,z)の組の個数を求めるうまい方法ってありますか？

>>268
ＯＲ,ＯＰ,ＯＱ＜1/2と仮定する。…(*)
△ＯＡＢで(*)と三平方の定理より
√3＜ＡＢ≦2
同様に(*)から
√3＜ＢＣ,ＣＡ≦2
ＡＢ≦ＢＣ,ＣＡとしても一般性は失われない。
このとき、
0≦∠ＡＢＣ≦π/3…�@
ここで、△ＡＢＣに正弦定理を用いて
Ｒ＞√3/2sinＡ
�@のもとで、sinＡはＡ＝π/3のとき最大で、
Ｒ＞1
これは、Ａ,Ｂ,Ｃが半径1の球上にあることに反する。
よって、(*)は誤りでＯＲ,ＯＰ,ＯＱのうち少なくとも１つは1/2以上である。■

>>269
X=x, Y=y-x, Z=z-y
とおいてX,Y,Zで考えるといいことあるかも

>>269
x=6n-y-zだから
3n-z/2≦yかつy≦z
また、x≧0より6n-y-z≧0⇔6n-z≧y

そこで領域:3n-z/2≦yかつy≦zかつ6n-z≧y
内の格子点の数を数えてみる

という方針はどうだろ?
うまい具合に数えられるかは試してないからわからんけど。

２つの曲線y=cosxとy=sin(x-p)との区間〔0、π/2〕〔π、3π/2〕
における好転のｘ座標をそれぞれa,bとする。
ただしｐは定数で０＜p＜π/2である。

区間〔a,b〕において２つの曲線でかこまれた部分を
ｘ軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。答えにab入らずpで表す。

解答は1/2(（π/2）+ｐ+π）＝ｔとおいて
囲まれた部分がtに対して対象とゆうことを使っているんですが、

もっと平凡に回転させた時の図形が（a+b)/2で線対称、cosa=sin(a-p),cosb=sin(b-p)
などを使って解けませんか？

数学板ではスルーでした
お願いします。

>>273
解答書いて

>>273
言葉足らずでいまいちよくわからないけど
>1/2(（π/2）+ｐ+π）＝ｔ
といきなり対称点を見つけてtと置いてるところがテクニカルに感じる
こんなものなくても解けないか?という質問だと想定してレスさせてもらう。

結論から言えば結局どういうアプローチをしても
1/2(（π/2）+ｐ+π）という値はどこかで必要になると思う。

-cosx=sin(x-p)をみたすx=tを用いて、求める体積は
π[∫[a.t]{sin(x-p)^2}dx-∫[t.π/2]{(cosx)^2}dx]
+π[∫[t.b]{(cosx)^2}dx-∫[p+π,b]{sin(x-p)^2}dx]
とかける。
そしてこのtは-cosx=sin(x-p)よりt=1/2(（π/2）+ｐ+π）

ちなみに君の言う（a+b)/2で線対称とやらを考えたとしても
2a=(π/2)+p,2b=(5π/2)+pより
(a+b)/2={(π/2)+p+π}/2=t　ということで
絶対にこの値からは逃れられない

最初から1/2(（π/2）+ｐ+π）を見抜いてサクサク立式するか
後から必要に応じて1/2(（π/2）+ｐ+π）という値を引っ張ってくるかの違いはあれ
絶対にこのtからは逃れられない　と思うよ。

間違えた

π[∫[a.t]{sin(x-p)^2}dx-∫[a.π/2]{(cosx)^2}dx]
+π[∫[t.b]{(cosx)^2}dx-∫[p+π,b]{sin(x-p)^2}dx]

かな。まぁ図書いて見てもらえればわかるか

sinAsinC=sinBsinDのとき四角形ＡＢＣＤは台形であることを証明
せよ。

これさっぱりです。とりあえずsin(A+B)sin(A+D)=0を示したらいいと
思うのですが、式が煩雑になって....

どうすれば？詳しい解答お願いします

sin(A+B)sin(A+D)=0を展開していって何度も試行錯誤したんですが
条件との兼ね合いが全くうまくいかなくて...示せないんですよ

>>277
cos(A-C)-cos(A+C)=cos(B-D)-cos(B+D)
A+B+C+D=2π
cos(A+C)=cos(B+D)
cos(A-C)=cos(B-D)
A-C=±(B-D)+2nπ
A+D=B+C+2nπ=B+C=π
A+B=C+D+2nπ=C+D=π

>>275
ありがとうございます。
言わんとしてることまで汲み取っていただいて。

>>269

x,y,zの大小を外して、
０≦x,y,zでＨ（３，６ｎ）＝Ｃ（６ｎ＋２，２）＝（３ｎ＋１）（６ｎ＋１）個・・・Ａ
x,y,zの３つが同じなのは（２ｎ，２ｎ，２ｎ）の１個・・・Ｂ
x,y,zの２つだけ同じなのは、３・３ｎ＝９ｎ個・・・Ｃ

０≦x＜ｙ＜ｚの個数は、（Ａ−Ｂ−Ｃ）÷３！＝３ｎ＾２
これに、以下を加える
０≦ｘ＝ｙ＜ｚ　２ｎ個
０≦ｘ＜ｙ＝ｚ　３ｎ個
０≦ｘ＝ｙ＝ｚ　１個

よって、３ｎ＾２＋５ｎ＋１・・・【答】

>>281
文字が増えると計算量が爆発しそうだけどその方法がよさげだね。
場合分けなしで一発でやろうとしたがうまくできかなかったわ。
>>271の置き換えで 3X+2Y+Z=6n (X,Y,Z≧0) になるが
ここから多項係数か何かの利用で簡単に求められるのかと思ったけど思い付かない。

>>281の下から３行を訂正させてください。

０≦ｘ＜ｙ＝ｚ　（誤）３ｎ個 →（正）ｎ個

【答】（誤）３ｎ＾２＋５ｎ＋１→（正）３ｎ＾２＋３ｎ＋１

xyz空間内にP（k，0，0）を通ってベクトルd＝（0，1，√3）に平行な直線lとxy平面上の円C：x^2＋y^2＝a^2，Ｚ＝0（a＞0）がある。直線lに点Q，円C上に点R（acosθ，asinθ，0）を取るとき、QRの最小値を求めよ。



場合わけが必要らしいですが、なぜ必要なのか、どういう場合で分けるのか詳しく教えて下さい。

√5.76ってどうやったら2.4になるんですか？
√5の値を覚えてて足してるんですか？

>>284
k≧0
Q(k, t, t√3), R(acosθ, asinθ, 0)
QR^2=(k-acosθ)^2+(t-asinθ)^2+(t√3)^2
=k^2-2akcosθ+a^2cos^2θ+t^2-2atsinθ+a^2sin^2θ+3t^2
=4t^2-2atsinθ-2akcosθ+k^2+a^2
=(2t-(a/2)sinθ)^2-(a/2)^2sin^2θ-2akcosθ+k^2+a^2
=(2t-(a/2)sinθ)^2-(a/2)^2(1-cos^2θ)-2akcosθ+k^2+a^2
=(2t-(a/2)sinθ)^2+((a/2)cosθ-2k)^2-3k^2+(3/4)a^2
t=(a/4)sinθ
4k/a>1 ⇒ θ=0, QR=|k-a|
4k/a≦1 ⇒ cosθ=4k/a, QR=√((3/4)a^2-3k^2)

>>285
576=2・2・144=2^2・12^2=24^2
5.76=24^2/100=24^2/10^2=2.4^2

a,b,は実数でa^2+b^2>0とする。変数θが連立不等式

asinθ+bcosθ≧0
acosθ-bsinθ≧0

を満たす範囲にあるときsinθの最大値を求めよ
なんですが

a=sinα,b=cosαとおいて
sin(α+θ)≧0
cos(α＋θ)≧0
に変形までもっていくとsin(α＋θ)の最大値は
1ってわかるんですがsinθの最大値ってどうやって
求めるのってなります...

教えてください


>>279
まことにありがとうございます、大変分かりました、そんなに
簡単なんですね阪大の問題なのに...

>>288
> a=sinα,b=cosαとおいて

まずこれだめ。なんでか分かる？

簡単な解法としては2式の左辺をベクトルの内積とみること。

>>288
r=√(a^2+b^2), (cosα, sinα)=(a/r, -b/r)とすると
rsin(θ-α)≧0, rcos(θ-α)≧0
sin(θ-α)≧0, cos(θ-α)≧0
0≦θ-α≦π/2 (+2nπは省略）
α≦θ≦α+π/2
1) 0≦α≦π/2 (a≧0, b≦0)
θ=π/2で最大値1
2) π/2≦α≦5π/4 (a≦0, b≦-a)
θ=αで最大値sinα=-b/√(a^2+b^2)
3) 5π/4≦α≦2π(b≧0, b≧-a)
θ=α+π/2で最大値sin(α+π/2)=cosα=a/√(a^2+b^2)

あぁ、ここには清書屋がいるのね・・・

>>289
何でですか？

>>292
>>290でも見てくれ

>>293
あそっか、比か、ＯＫっす。

>>291
院生の人だと思います。助かっております

>>294
そりゃ宿題を早く片付けるためには助かるだろうけどさ
質問者のためにならないし丸投げ質問が増えるので
清書はあまり推奨されていない

>>290
周期関数だから省略するんですね、なるほど。
これで来年こそ阪大合格です

阪大ってそんなに簡単なのか

>>295
宿題っつか夏期講習休んだ分..まだ教えてほしいことあるし。
てか自分で考えてから聞いてるからね、いやぁでも感謝してますよ。
てか偉すぎる....

あと必要条件ってのは最低条件ってことですよね？最低ってことは
中ぐらいもあるのかっていうけど、最低ってことは幅を広げるって
ことだからギリギリまで最高ってことですよね？これも２ちゃんで
知った知識です。ありがとうっす。
必要十分条件についてもよくわかりました。

必要条件の認識おかしいし・・・
こんなんでも阪大に合格できる可能性あるのか・・・

数列u[n]は
u[1]=1, u[2n]=2u[n]-1, u[2n+1]=2u[n]+1
と定義される。
(1)数列u[n]は群数列になることを示せ
(2)n=(2^k)+r (r=1.2.3....(2^k)-1)のときu[n]を求めよ

という問題教えてください
(1)の答えが略　(2)は2r+1が答えです

1,2,3....16くらいまで実験してとりあえず
第1群が1,　1項
第2群が1.3　2項
第3群が1.3.5.7・・・　4項
第4群が1.3.5.7.9.11.13.15　8項
と1から順に続く奇数が並んでいく群数列であることはわかりました
だから第k群が1.3.5.7...(2^k)-1になるとわかり
これを利用すれば(2)はわかるのですが(1)はどう示していいのかよくわかりません。

よろしくお願いします

>>299
いや必要条件ってのは、最低限の条件でしょ、十分条件によって
それが最高の条件になるんでしょ。

>>301
えｗ

>>301
ちょっと訊くけど最低限の条件ってどんなイメージ？
実数 x に対して x=x は x > 0 の必要条件だがどう解釈すると「最低限」になるの？

>>300
群数列の定義って何？

>>303
いや必要条件ってのはいっぱい集めるんでしょ、だから矛盾しないように
集めて集めて、最低限は集めたぞってなる。で十分条件で正しかったら、
最高じゃん？ってこと。

>>300
>第k群が1.3.5.7...(2^k)-1になるとわかり

これをそのまま数学的帰納法で示せばいいよ。つまり
{u[n]}の第k群が項数2^(k-1)個で1,3,5,7,,,,-1+2^k
なる群数列になることを数学的帰納法で示す

ポイントは普通の帰納法ではなく全段仮定で示すこと。
・k=1で成立を確認
・k≦j (j≧1)のときに成立を仮定して
j+1群が項数2^j個で1,3,5,7,,,-1+2^(j+1)
となることを調べに行く。

何故かと言うとj-1群の1つの項からj+1群の項が生まれる
という可能性を排除しないといけないから。
j群の1つの項からj+1群の2項が出てきて
項数が2×j群の項数=2^j個になるという論証をしたいから。

その十分性の真偽がわからないから、これだけ集めれば十分だろってのが
必要条件だろ？

>>300
群数列とは普通は群に分かれた数列のことを指し
分け方を指定してあるもののことです
群数列になるという言い回しは馴染みません

必要条件:この中に答えが絶対ある
答えじゃないのもあるかも

十分条件:とりあえずこれは答えの一つ
探せばまだあるかも

こんな感じ

オレは3浪人の仮面浪人だが,大学に習う逆三角関数の微分と
積分って使っていい？

添削
>オレは3浪の仮面浪人だが, 大学で習う逆三角関数の微分と
>積分って使っていい？

いいんじゃない？大学なんて誰が受けるかわかんないんだし。

>>310
とりあえず、国語で落ちそうだな

三角形ABCにおいて直線ABに関して点Cと対称な点をD
直線ACに関して点Bと対称な点をEとする。
直線DEと直線BCが平行のとき、三角形ABCはどのような三角形か.


これを質問させてください
答えは∠A=90°の直角三角形orAB=ACの二等辺三角形です
AB↑、AC↑を用いてAD↑を表し、同様にAE↑を求め
DE↑を求め、DE↑//BC↑から求めることは出来たのですが
これを初等幾何で求めることは出来ませんか?

よろしくお願いします

>>314
直線ABを円の直径とする

>>314
ごめんなさい。把握できてませんでした。
x^2+y^2=1
の円を考える。

A（0,0）
B（0,1）に設定し∠BAC<π／2
ならばAB=ACの二等辺三角形

同様に原点A、 例えばBを（1/2,√3/2）に設定し∠BAC>π/2とすればAB=ACかつ∠BACの直角三角形

>>316
∠BAC=π/2 は下の場合に含まれ、BACが半直線上に含まれることは問題文より不適

>>316
>∠BAC<π／2
>ならばAB=ACの二等辺三角形

これはどこからいえたことでしょうか?

同様に
>Bを（1/2,√3/2）に設定し∠BAC>π/2とすればAB=ACかつ∠BACの直角三角形

これはどこからいえたことでしょうか?

>>318
円を考えていますから
x≦0またはx≧0における0≦θ≦π/2またはπ/2＜θ≦π
を考える

それはもちろんわかります。

それを考えた上で
∠BAC<π／2ならばAB=ACの二等辺三角形
はどうしたらいえるのですか?

>>314
・∠Aが直角のとき
三角形ABC≡三角形ACDとなり、∠Aが直角の元では
直線DEと直線BCが平行と三角形ABCが直角三角形であることは
必要十分になる

・∠Aが鋭角のとき
EDとAC,ABの交点をG.Fとでもおけば
台形GFBCは、DE//BCかつ対角線の長さが等しいので
等脚台形である。したがって∠B=∠Cで三角形ABCは二等辺三角形

・∠Aが鋭角のとき
同様にGFBCに着目して等脚台形であることをいえばよい
これは四角形CDGBとCFEBが平行四辺形であることから
導けば二等辺三角形であるといえる

だからAB=ACの二等辺or∠A=90°の直角三角形

>>307
こいつ頭おかしいんじゃね？

>>309
こいつもおかしい

>>310
簡単にできるんだから不安なら導けばいいじゃん

g(x)＝x^3-x^2+x+3　として、

α＋β＝-1
αβ＝1
α^2+β^2＝-1
α^3＝1 β^3＝１

問：ｎを正の整数とする時、g(α^n)+g(β^n)

解けません。n=1の時8になるのだけでは解答不十分ですよね？
恐らくＫ＋１とＫ＋２を考えるのかとも思い実践しましたが、うまくいきませんでした。
αやβに　^3(k+1)　が出てきて苦しいです。
よろしくお願いします。

>>325
ωを1の原始3乗根とするとα=ω,β=ω^2となる。

>>326
すいません、力不足なのかしれませんが
なぜβ^2になるかがわからないです。
あと、仮にそうなったとしても文字の入っている状態の式、ｎ乗等をどうする処理するかがわかりません。

>>327
教科書嫁

>>321
ありがとうございます。
鈍角のとき平行四辺形になるところをもう少し考えてみたいと思います。

1の立方根は1とωとω^2
α、βはどちらも1の立方根だが明らかにαとβは異なるしいずれかが1とすると矛盾する

>>322-323
数学的にどこがおかしいのか書け

対称式の分数問題で
分母が（α−１）（βー１）＝αβ＋（α＋β）＋１となるんですが

これは乗法公式使わなくていいんでしょうか？

もう少し詳しく

(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1

>>325
解と係数の関係よりx=α, βはx^2+x+1=0の異なる2解
α^2=-α-1=β, β^2=-β-1=α
g(α^n)=α^(3n)-α^(2n)+α^n+3=- β^n+α^n+4
g(β^n)=β^(3n)-β^(2n)+β^n+3=-α^n+β^n+4
g(α^n)+g(β^n)=8

「集める」とか「答え」とか
数学的に定義されてない言葉を使うのはよくないでしょ。常識的に

あたまおかしいから仕方ない

>>336-337
じゃあ必要条件、十分条件を数学的に定義された言葉でわかりやすく説明してくれよ

http://imepita.jp/20090829/861440
お願いします。答えだけでも大丈夫です。

>>339
とりあえず首を傾げないと問題が読めないのでつらい。
どうにか画像をまともにしてほしいものだ。

中点とか書いてあって2乗がでてくるから
中線定理か三平方かなにか使いたい問題だろうなというのはわかった。

http://imepita.jp/20090830/006300

申し訳ありません。
見えますか？

>>333
332ですが、>>334の方式でした。
乗法公式使わずに、普通に展開して−で括ったら大丈夫みたいですね

0<x<π､0<y<πにおいて
sin(x)sin(y)=3cos(x)cos(y)=3/4
を満たすx､yの値を求めよ。

自分で幾つか方法は試したんですが、結局行き詰まってしまいます。
大まかでいいので解法をお願いします。

>>339です。
申し訳ないです。
自己解決いたしました。
スレ汚し失礼しました

sin(x)sin(y)=3/4
cos(x)cos(y)=1/4
tanxtany=3, tanx+tany=tan(x+y)(1-tanxtany)=-2tan(x+y)
ここで cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny=-1/2 から (tan(x+y))^2=(sec(x+y))^2-1 (sect=1/cost) =3
tan(x+y)=±√3なのでtanx+tany=±2√3
tanx, tanyはzの2次方程式 zz±2√3z+3=0 ⇔(z±√3)^2 よってtanx=tany=±√3
答えはx=y=pi/3, 2pi/2

>>343
sinの積を和に直せばできるよ
sin(x)sin(y)=(1/2)*(-cos(x+y)+cos(x-y))=3/4
cos(x)cos(y)=(1/2)*(cos(x+y)+cos(x-y))=1/4
上プラス下⇔cos(x-y)=1⇔x-y=0
上マイナス下⇔cos(x+y)=-1/2⇔x+y=2x=2pi/3または4pi/3
x=y=pi/3または2pi/3
とか

あるHPで、
aに比較してxが微小なとき、
1/(a-x)=1/a+x/a^2+x^2/a^3+…
1/(a+x)=1/a-x/a^2+x^2/a^3-…
という近似式が成り立つ
と見かけたのですが、どうすれば導けるのでしょうか？
テイラー展開とかするんですか？

>>347
どうみてもテイラー展開じゃん

この場合は特にマクローリン展開という

はいはいどっちでもいいよ

どっちでも論理的に問題はないが, 特別な呼称が認められる場合はそちらを優先したい

ご勝手にどうぞ

言われなくとも勝手にさせて頂くつもりです

勝手にしてもいいけど無意味に>>349として出てこなくてもいいからね

それはあなたも同じことです

なにが？

特に重要ではないので分からなかったのなら別にそれはそれで構いません

数学で名称にこだわるほど不毛なことはないな

何事においても名称は大事ですよ

いるいるｗ
名称にやたらこだわるけど全然理解してないやつｗ

ぼくは見たことありませんが、あなたの周りにはそういう人がたくさんいるんですか
友を見れば人が分かるという言葉もありますしね

他所でやれ。

残念ながら友達がいない人には分からないと思うよ？

友達がいない人には何が分からないのですか？

特に重要ではないので分からなかったのなら別にそれはそれで構いませんｗ

馬鹿からかうのは面白いなｗ
２ちゃんの醍醐味

あらあら草生やしたよこの人

なに言ってんのいまさら？

二度目だったか
草を生やす人間には知性を感じないから好きじゃない

知性のないおまえの好みなどどうでもいいｗ

といっても既にこのやり取りで知能に欠けることは一目瞭然であったが

やっぱ数学で名称にこだわる奴ってこんなんばっかだよな
本質を見ないでそれ以外のことをやたらと気にする

こんなんばかりとあるが、このやり取りを見てどうやって名前にこだわる人間が本質を見ていないと判断したのかわからない
論理的根拠にあまりに乏しすぎるのは分かるか

>>373
>>367
分からなければ別にいい

示しようがないから、誰にとっても分かるはずがないのだよ

相当に頭が悪いご様子。Fラン？

どこからFラン程度に頭が悪いと判断したのかを述べてもいいと思うが？

いや言わなくても君以外はみんな分かってるから十分でしょ

馬鹿からかうのは面白いなｗ
２ちゃんの醍醐味

どうやって「みんな分かってる」って判断したの？

それはね、馬鹿には分からないことなんだよ？

このつまらないやり取りいつまで続くんだ

俺が飽きるまで

やっぱ馬鹿からかうのはやめらんないなｗｗｗ

lを、点(1,1,1)を通り方向ベクトルが(2,1,1)の直線とする。
点(1,2,3)を始点とし、l上の点を通って点(4,5,6)を終点とする曲線のうち長さが最も短いものの長さを求めよ。

この問題が解けません。どういう方針で解けばよいでしょうか?

学校の先生が出した問題か？

学校の課題です。考えたのですがうまく解けません…
方針だけでもヒントをお願いします

方針立ったがFラン馬鹿の解答でも待ってからにするかｗ

名前に対していい加減な人は、自分ひとりでものを考える分にはいいけど、こういうネット掲示板なんかでコミュニケーションはかろうとしないでもらいたいものだな、混乱を招く

一人で混乱してろｗ

馬鹿の解答ﾏﾀﾞｰ？

>>391
清書終わるまえに先に書いていいぞ
後だしがいいならそれでいいが、俺をFラン呼ばわりしておきながら俺より頭悪いように見えることになるがね

どうぞ〜
清書厨は清書書かないと気が済まないのかただの馬鹿かどっちなんだろうね。
方針だけ書けばいいのに。
まさか√(2次式)+√(2次式)の最小値を頑張って求めたりはしてないよねｗ

>>385
一直線上に始点と終点とL上の点が並ぶときが最短だけど
それは問題の条件からありえなさそうだから
終点始点L上の点を最短に結ぶ折れ線と
(3.3.3.)を中心として始点と終点を通る球面を考えて
その球面上にL上の点がいるとしたらその孤の長さ
を比較してやればいいんじゃないの?

A(1,2,3),B(4,5,6), l上の点をP(1+2t, 1+t, 1+t)とする.
曲線のAP間, BP間がそれぞれ直線となる場合に問題の長さは最小となるので, P点で折れる折れ線を考えればよい.
AP=sqrt(6t^2-6t+5)
BP=sqrt(6t^2-30t+50)
AP+BPが最小となるtを調べればよい. 6t=xと変数を変換し, y=f(x)=√6(AP+BP)を定義すると, yの最小値について調べればよい.
y=√((x-3)^2+(0-√21))+√((x-15)^2+(0+√75)^2)
これは2点間(x, 0), (3, √21)の距離と2点間(x, 0), (15, -√75)の距離の和で、明らかに点(x,0)が(3, √21), (15, -√75)を結ぶ直線上に
くるときに最小値240+30√7をとる. 求めるべき答えはこれを√6で割り40√6+5√42
瑣末な間違いはありうる.

|AP↑|+|BP↑|に三角不等式は適用できなかった.

学校の先生は不親切だな. 一般的に曲線と言えば直線は除くのだから, 生徒に対しては曲線は直線をも含むと伝えるべきであろう.
そうでなければこの問題には答えが存在しない.

>>394
すみません、なぜ(3,3,3)中心の球なんですか??
もう少し詳しくお願いします…

すみません、できればもうひとつお願いします。

6種類の玉が3個ずつある。ここから無作為に6個の玉を選んだとき、含まれる玉の種類の期待値を求めよ。

普通にやってできないことはないですが簡単に求める方法があるらしいです。
期待値の和と和の期待値の関係を使いそうですがいまいち分かりません…

>>394
それは何という幾何学か.

>>395
> まさか√(2次式)+√(2次式)の最小値を頑張って求めたりはしてないよねｗ

まさかが当たったｗｗｗさすがFランｗ
細かい計算見てないけどさぁ、40√6+5√42≒130 なんだけどどうみてもそんな長くねーだろｗ
そんなの普通おかしいって気付くだろ。だからFランなんだよｗｗｗ

なんだ、こいつは解答書かないのか

>>398
おい、馬鹿は意味不明な質問すんなｗ

>>400
焦るな馬鹿ｗ

>>385
方針だけな。
この問題は平面の場合は有名問題。これに帰着できる。
最短の曲線は明らかに折れ線。
始点をA、終点をBとして最短の折れ線とlの交点をP、A,Bからlに降ろした垂線の足をC,Dとする。
線分APをlを軸として回転させてAPBが同一平面上にくるように変形しても長さは変わらない。
これよりPの位置すなわちCP:DPはAC:BDの比に一致する。
なのでCとDの座標を求めてそこからPの座標を求めればいい。

>>397
各種類の玉が含まれる確率をもとめてそれをかける6する

馬鹿からかうのは面白いなｗ
２ちゃんの醍醐味

馬鹿はこんなところで回答してないで自分の勉強するか首吊った方がいいと思うよｗ

>>401
なるほど、うまいですね。そのやり方でやってみます。
ありがとうございます。

>>396
ちょｗこんな面白いレス見逃してたｗ

> 一般的に曲線と言えば直線は除くのだから
> 一般的に曲線と言えば直線は除くのだから
> 一般的に曲線と言えば直線は除くのだから

ねーよｗｗｗ
どんだけ無学なんだよおまえｗ

>>404
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A
恥さらしだな。この場合君は無学というよりも非常識ということになるのか。

授業中に曲線の定義に直線も含まれると話した可能性もないわけではないのか

>>347
等比級数の和

>>385
A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), P(1+2t, 1+t, 1+t)
AP+BP=√(6t^2-6t+5)+√(6t^2-30t+50)=√6(√((t-1/2)^2+7/12)+√((t-5/2)^2+25/12))
(AP+BP)/√6はt軸上の(t, 0)とC(1/2, √(7/12)), D(5/2, -5/√12)の距離の和でありその最小値はCD=√((40+5√7)/6)より
AP+BPの最小値は√(40+5√7)

なんか伸びてるなと思ったら精神年齢低い奴らがわめいてただけか

>>395に訂正
これは2点間(x, 0), (3, √21)の距離と2点間(x, 0), (15, -√75)の距離の和で、明らかに点(x,0)が(3, √21), (15, -√75)を結ぶ直線上に
くるときに最小値√(240+30√7)をとる. 求めるべき答えはこれを√6で割り√(40+5√7)

>>397
確率変数Xiをi番目の種類の玉が含まれているかどうかで0, 1となるものと定めると
もとめる期待値はE(ΣXi)=ΣE(Xi)=6・(1-15C3/18C3)=461/136

f(x)=1/(a-x)をマクローリン展開(x=0周りでテイラー展開)したら、
剰余項が、x^n+1/(a-θx)^n+2(0<θ<1)となったのですが、
aに比較してxが微小なとき、この剰余項をどうすれば無視できるのでしょうか？

>>412
範囲外です

>>405
> 数学においては、曲線にはその特別な場合として直線や線分の概念を含む。

これ読めないの？

おまえ何？数学の問題文に出てきた数学用語を一般用語で解釈する馬鹿？ｗｗｗ
おまえFランすら落ちてんじゃねーの？ｗ

>>411
清書屋乙ｗｗ

>>414
特別な場合は含むんだろ

>>416
特別な場合として含むんだが何？何が言いたいのかな？恥をさらしたいの？

だいたい一般用語で解釈したら数学的定義が無くて何も証明できねーだろとｗｗｗどんだけｗ

>>404で
＞一般的に曲線と言えば直線は除く
と書いてる
ウィキでは特別な場合として含むと書いてる
けどお前は>>404で
＞一般的に曲線と言えば直線は除く
を完全否定してるんだが
お前のなかでは
一般＝特別な場合
なのか？

>>386
無意味に投票率だけ上がると知名度の高い候補者が有利になって結果が乱れるよ。
統計的にも1%あれば十分結果は信頼できるんだから単に「投票行け」という指示は賢くない。

四角形ABCDは半径1の円に内接し対角線AC, BD の長さはともに.√3
であるとする
このとき四角形の4辺の長さの和AB+BC+CD+DAの
とり得る最大の値を求めよ.


この問題を教えてください。
まず座標平面上に単位円を描き
適当に円上にAをとればA(cosα,sinα)とかけて
二等辺三角形OACに着目すれば点Cの場所はαでかけそう
また、点Bの座標を(cosβ,sinβ)とかけば同様の作業で点Dも決まる
したがってαとβの2変数関数(α≠β)で
和AB+BC+CD+DAを表せばいいのかな?　合成とか和積で変数を集めていく?
という大雑把な方針までは考えられたのですが
いざやってみると点Cの場所は2通り考えられるし、Dも2通り考えられるので
場合わけが4通り出てきてちょっと・・・という感じです

そこでどう考えていいのかわからなくなりました
よろしくお願いします。

誤爆ったｗｗｗ

>>419
おいまじで日本語勉強しろよｗｗｗ
「テイラー展開は特別な場合としてマクローリン展開を含む」
と同じ言い回しだぞｗ

>>419
あと数学なんだから一般的な説明を参考にすんなｗ
定義を無視する奴は数学ができない典型だぞｗ

なんだここｗ
馬鹿の巣窟か？ｗ

>>421
中心Oから各頂点に線分を引き中心角でBCをCDを表す。
ACとBDの中心角は120°

>>412
さすがに教科書嫁

ごめｗ問題文読み間違いｗ

>>425
ありがとうございます。

∠AOB=2θとおけば、∠BOC=120°-2θで
AB.BCがθで書けるから〜っていう感じでやってみます。

ちゃうちゃういいんだ。
>>425ちょっとおかしいけど中心角使ってくれ

>>425
そこを何とかお願いします

>>421
ACとBDの交点が△OAD内にあるとしても一般性を失わない
△OACの3辺が1, 1, √3であるから
∠AOC=2π/3=∠BOD
∠AOD=2θと置くと∠COD=2π/3-2θ=∠AOB
∠BOC=2π-2θ-2(2π/3-2θ)=2π/3+2θ
0<θ<π/3
AB+BC+CD+DA=2sinθ+4sin(π/3-θ)+2sin(π/3+θ)=sinθ+(3√3)cosθ=(√28)sin(θ+α)
ここで(cosα, sinα)=(1/√28, 3√3/√28)よりπ/3<α<π/2
よってθ+α=π/2となることは有り得るので最大値は√28=2√7

>>424訂正
ここは清書屋と馬鹿の巣窟ですね

グラフの概形を書けって言われたときは変曲点まで求める必要はないんですか？＞＜

>>432
問題書いて

本日のｷﾃｨｰ ： 4PM5Qqjs0

>>431
net 乗どこの教えて関係もそうだって

>>434
まぁおまえはそんなレスしてないで数学がんばれｗ

携帯からになるが誰かは分かるだろう
>>414
酷く頭が悪いな、全く伝わってない
学校の課題という点がポイントであるが、文盲の為に分かりやすく書いてやろう
一般的定義との食い違いをたいていの高校生は知らないのだろう、教えないまま出したのなら先生は不親切だ
まともな頭もってたらそんな奇天烈な読み方はできない

>>437
おまえは何か？数学の問題に一般的定義が使われる可能性があると思ってるほど無学なのか？
たいていの高校生のレベルなど知らんがまともに勉強してれば問題文のすべての用語は
数学的定義がはっきり存在する

だいたいおまえにとって曲線の一般的定義はなんだ？
wikipediaみたいに「まっすぐではない曲がった曲線、したがって直線ではない線」か？
それはペアノ曲線を含むのか？折れ線は直線とは違うがそれは曲線なのか？
一般的定義など曖昧なんだよｗ食い違いがあるとかないとかそういう問題じゃない。
そんなことはちょっと勉強してれば常識。
問題文の用語を一般的解釈で捉える時点で高校生であろうと勉強不足。

訂正

たいていの高校生のレベルなど知らんがまともに勉強してれば問題文のすべての用語は
数学的定義がはっきり存在する
↓
たいていの高校生のレベルなど知らんがまともに勉強してれば問題文のすべての用語は
数学的定義がはっきり存在することぐらい知っている

>>438
一般的定義など不可能だろうが、日常に使う分の必要を満たすだけの曖昧な、ある程度共通した定義は誰しもあるし、それで問題ない
君の言ってることが本当なら、それだけだけでも高校生に期待できるだけまだマシだな

>>440
> ある程度共通した定義は誰しもあるし、それで問題ない

問題ないのはおまえの通うFランぐらいなもんだろうな。
例えば「原子の大きさは小さい」とか平気で命題として受け入れて
「一般的にある程度共通した認識として原子は小さいから真」
なんて間抜けなこと言うんだろうな。
これ以上恥さらすのやめた方がいいよｗ
少しでも数学を勉強してれば常識なことをおまえは否定してるんだから。

別に一般に曲面と呼ばれる数学的対象を「曲線」と名付けて定義しても数学的には一向に構わないんだぜ？

>>441
君が無知蒙昧であることは分かった
言葉は基本的に使われ方こそが意味で、定義は微妙に揺れ動く性質を殺すこと
言葉は科学的用語と一般的用語(詩的用語)を両端にした座標軸に組込める
言葉に厳密な定義を要求するか、本来通りに使われ方を意味とするか、
コード依存か、テクスト依存か、の程度である
「曲線」という言葉だって、一般の使われ方によってはある程度テクストに依存するが、科学では極限的に適任コードに依存する
「原子」と「曲線」では比較にならないんだよ、おばかさん

>>442
またとんちんかんなレスを

詩的用語という造語など間違いだな、一端には詩で使われた言葉があって、一般的な言葉は中間だ

>>443
論理というものについて話してんだぞおまえ。
基礎的な論理学でも勉強したら？

言葉がどうのこうのは哲学の話のときにやれよ。今は数学または論理学の話だ。

群論でマニアックな概念だが「アパート」とか「階」だとかいうのがある。
もちろん一般的なアパートを比喩的に表したものだが一般用語のアパートの性質とは全然違う性質をもつ。
そんなものまで一般的な意味がどうたら言うやつは馬鹿にも満たない。

数学は数学的定義が与えられた概念でしか構成できないのは常識中の常識。
使用される用語はすべて数学的定義があり一般用語としての解釈は曖昧だから
イメージとしての理解の助け以外において用語の一般的意味は数学とは無関係。

そんな常識をなんで否定するの？ｗ

そういえばこいつ最初から変に言葉にこだわってたな。
なるほどなｗ
>>372は今見ても正しいと言える。

パソコンつけてやったぞ
>>446
常識を否定？そんな曲解をされては話ができないな
もともと「学校の課題という公教育の現場」で言葉が使われたことを完全に忘却してはいないだろうか。
そして>>437へ戻る

お前が"公教育"の話だったのにわざわざ"群論"の話まで敷衍して勝手に話を進め曲解(誤解なのか？)したときは>>389の正しさを再認識した

>>448
何？おまえの通ってた学校では数学の問題文の用語に一般解釈を用いてたの？ｗ
流石だなｗ底辺もいいとこ
おまえまともな教育受けられなかったんだな。それなら仕方ないわｗ

演説したい奴は知恵袋いきな

>>450
まさか一般解釈をしてたわけじゃないけど、高校生なんて君が思ってるほど教育を受けてるものではないと思ってるよ
曲線に直線を含むなんて思いもよらない生徒も多いだろう

>>452
だから定義はっきりさせずに数学やってるのはお前レベルのとこだけだｗ

>>453
あ、そう

横槍失礼しますがうちでは集合のところで定義の大事さを教えられました。
数学で曲線が直線を含むのは高校生でもみんな知っていることだと思ってたのですが違うのでしょうか…

>>452
> 曲線に直線を含むなんて思いもよらない生徒も多いだろう

仮にそんな生徒にとってはどこまでが曲線なんだよｗ
そいつの常識に従えっつーのか？そんなの数学じゃねーよ。
定義を知らないとしても確認してからじゃないと問題を解きようがない。
定義しらずにとりあえず定理を使うっていう暗記数学厨のやり方もあるが
定理だって定義がなきゃ証明できないんだからな。

>>456
つまらない敷衍だな。「そういう生徒がいたら、公教育の現場として、不親切に感じられる」とは書いたが、「そいつの常識に従え」と読める
ようなことは一切書いてないよ。これだから「俺ルール」で言葉を使うような人間は困る。
ついでにそれじゃあ、暗記数学の定義でも教えてくれよ。まさか「定義を知らずにとりあえず定理を使う人」とか言わないよな

>>457
すまんなｗ
まさか曲線が直線を含むかどうかすら知らない程度の生徒までわざわざ相手しないと
不親切だなんて低レベルなの想定をしてなかったもんでお前が思うような解釈できなかったわｗ
ま、おまえぐらいのレベルのとこだと問題出すたびに何もかもいちいち教えてやらないと不親切なんだろうな。
「多項式はただの定数も含むんだぞ〜」とかな。レベル低くてついていけんわ。

> 暗記数学の定義

人によって違うかもしれないが解法や公式などを理解を伴わずに暗記をすること。
> 定義を知らずにとりあえず定理を使う
これはそのような暗記数学厨に見られる傾向。
ま、話それるからどうでもいいよこのことは。

>>458
多項式とかは定義が曖昧なのを知らないのか。無知だな。俺の場合は多項式に単項式は含ませず、あわせて整式としてるが。
>解法や公式などを理解を伴わずに暗記をすること。
違うな。君は言葉の意味にこだわらず「俺ルール」で言葉を使うようだから、勝手にしたらいいが。

ケンカしてると、質問をしにくいと思うんだ。
２人共、飯でも食ってきたら？

高専の数学なんですが質問です
正方行列ＡとＢがＡＢ＝ＢＡであるときＡとＢは可換であるという。
次の行列の可換な行列の形を求めよ。

1 2
3 4

という問題なんですが、上の行列に対して可換な行列を

a b
c d

と置き、

1 2 a b　　　　a b 1 2
3 4 * c d ＝ c d * 3 4

として、展開して各々の数字を比べると


a+2c=a+3b
b+2d=2a+4b
3a+4c=c+3d
3b+4d=2c+4d
という４つの式がでますが、こっから解けません。
アドバイスお願いいたします。
ちなみに答えは

2a 2b
3d 2a+3b

だそうです。

>>461
すいません、上から二つ目の数列が少しずれてしまいました。
こういう事です。

http://imepita.jp/20090830/615790

>>462
上から３つ目でした・・・・連続レスすみません・・・orz

この二人しね
空気読め

>>459
> 多項式とかは定義が曖昧なのを知らないのか。
少なくとも高校では特別に断りがない限り「多項式」は単項式を含む流儀で解釈することになっている。
というか先のレスで言いたいことはそんなことじゃない。
この突っ込みはただの揚げ足取り。話の流れに沿った内容のレスはないのなｗ

> 違うな。
どうでもいいよ。こんなの人によって定義が違うもんだ。
俺は暗記数学は嫌いだが理解暗記はだいたいの場合正しいと考えている。
これを暗記数学に含めていると暗記数学の善し悪しについて議論しにくいんでな。
そもそも暗記数学に決まった定義なんてないだろうが実際この定義に賛同する人も多い。
何度もいうがこのことはどうでもいい。お前の意見もいらない。

>>460
これ喧嘩じゃなくて俺の遊びｗ

>>459
ちなみに、
> 俺の場合は多項式に単項式は含ませず、あわせて整式としてるが。

この流儀は多少数学の勉強を進めると相当使いにくいからほとんどの人は単項式を含む流儀を使うんだがな。
この流儀を普段使うって人初めて見たわ。
授業でも断りなく多項式と言ったら普通含めるし。
「多項式近似定理」とか「多項式関数」とか単項式を含まない流儀だと合致しないし別の用語もなくて嫌な感じになるし。

話に内容がないのに内容に沿ったレスなんてよく言えたものだよ
定義が曖昧だと分かってるなら安易に使って混乱を招くのはやめてもらいたいものだな
恐らく暗記数学を有名にした本「数学は暗記だ」には「暗記数学は理解を含む」とあったし、そういうことにしてる人は多い

あと「整式」はある分野でよく使われる用語。
それ以外の学習・研究では普通は同じ意味で「多項式」の方を多用する。
>>459はおそらくwikipediaで流儀が複数あるのを知ってその場で言ったデタラメ。
デタラメでなきゃ「整式」がよく使われる数学の分野を答えられるだろう。

>>467
だから話それてるからもういいってその話ｗ
正直暗記数学なんて俺にとってはどうでもいい。
おまえが暗記数学厨だとしてもムキになっていちいち突っ込むな。流せよ。

>>466
確かに煩わしいことは多いが、それより漢字が表意文字であるので分けないと気持ち悪い
もっとも、基本的にはそうしたいが、コンテクストに依存した使い方をする場合も多い

>>470
おまえほんと数学に向いてないよ。
表意文字で気持ち悪いなら「有理数」って言葉の何が「理」なのか無駄に突っ込んでなｗ

>>461
(1, 2: 3, 4)(a, b; c, d)=(a, b; c, d)(1, 2; 3, 4)
a+2c=a+3b, b+2d=2a+4b, 3a+4c=c+3d, 3b+4d=2c+4d
3b=2c, 2a+3b-2d=0, 3a+3c-3d=0
3b=2c=6k, a+c-d=0
b=2k, c=3k, d=a+c=a+3k
(a, 2k; 3k, a+3k)

コード依存(笑)
テクスト依存(笑)
コンテクストに依存(笑)

おまえ専門分野何？哲学？ｗ
だから言葉に五月蠅いのかな？ｗ哲学板に帰れよｗ

>>468
1950年代、学校教育法で「高校以下では数学的に定義されていない言葉を用いてよい」ということになった
整式もその一つで、多項式を単項式を区別する教科書もあるが通常は区別しない
(大学への数学 2006/4 21頁)とある

確かこれを読んだとき以来だ

>>474
>>468の回答になってないけど

>>471
日本語に訳される際に誤訳をされた言葉は多いが、その言葉が認められている以上は仕方がない
rationalは理ではなく比があるということ
例えば化学の質量作用の法則は全くの誤訳で「化学平衡の法則」で代用できるが、有理数は仕方がない

>>475
なってるよ

ほんとカスは回答やめればいいのに。
まず数学できない時点でアウト。
酷い回答するぐらいならしない方がマシ。

>>477
> 確かこれを読んだとき以来だ

何に対するレスか常人には分からんのだけど
接続詞や助詞ぐらい正しく使ってくれないかなぁ？

何で哲学とか思うんだろうか
数学以外何も分からないのか

ごめん知らないｗ
何の用語？数学の議論のときに変な言葉使われても困るｗ

>>479
冗長に書かないと分からないのか
君がデタラメ(普段から区別してるのは嘘)と書いたのに対し、そうでないと示したのは分かるね

携帯で書いたりPCで書いたり忙しい奴だなｗ

>>482
どの辺が冗長なのか説明してくれｗ
なんでもいいけど>>474のコラムを理由に整式と多項式を使い分けてるの？ｗどんだけｗｗ

> デタラメでなきゃ「整式」がよく使われる数学の分野を答えられるだろう。

これはスルーですかそうですかｗ
大学以上で多項式の代わりに「整式」を多用するのは一部の分野の人またはそれを学習中の人だけなんだがな。
整式と多項式区別する人ってほんと初めて見たわ。貴重すぎる。

>>483
冗長には書いてないね
なるべく簡単に済ませたい
質問に答えるよりもデタラメを否定する目的はずっとよく果たせたと思わないか
ぼくはまだ学科決まってないし解析と線形代数ぐらいしか履修してないからいずれにしろ答えられないが

>>484
Fランはどこ行っても同じだよｗ早く就職先探しなねｗ

もう話す内容もないし、気になってたからFランの定義を教えてくれよ
君はどんな意味で使ってるんだ
「お前程度が在学してる大学」とかつまらない回答はしないと思うが

ググレカスｗ

調べたらFランじゃなかったぞ
根拠に欠けるのに決め付ける非論理的な行為を数学寄りの理系がするのは滑稽だね

>>488
ま、口だけならいくらでも言えるｗ
誰がどうみてもおまえFランｗ

誤爆ですはい

>>489
あ、そう

いやいや誤爆の誤爆だーｗ

>>491
うんｗ
前の問題で>>395を堂々と答えとしてる当たり誰がどうみてもFラン

>>493
君の主観はどうでもいいよ

大丈夫！間違いなく誰もが同じ意見だよｗ

それもまた主観だな

そうでっかｗ
そうやって自分を慰めてればいいと思うよ

>>498
そうか

497か

とりあえずおまえ程度の奴が回答やってるとここのレベル下がるから
今すぐ回答者やめて就職活動に専念しろよなｗ

こいつらマジキモ

>>472
レスありがとうございます。
質問なんですが、なぜ3b=2c=6kとおくのですか？
6kが急に出て来るところが少しわかりません＞＜

あと答えと少し違うようですが・・・・

>>502
3b=2cを6kと置くのは分数を出さないようにしたかったからです
b=k/3, c=k/2でもb=2c/3でも構いません
aの値は任意ですのでこれを2nと置くと同じ形式になります

すいません。「arc」ってなんですか？大数の微積分の極意にarcsinθとかarctanθとかあったんですけどなんのことかわかりません

arcは弧（即ち中心角）の意で逆三角関数の名称に使われますが高校数学範囲外です
大学への数学にはどのように紹介されていますか？
arcsinθのように独立変数にθを使うのは若干違和感があります

f(x) → F(x)
1/1+x^2→arctanx

って感じです

>>503
理解できました。今日1時間くらい悩んでいたので本当に助かりました。
こんな馬鹿に教えていただきありがとうございました。

お願いします。

単位円上の点A(1,0)､B0(,1)､C(-1,0)､D(0,-1)と点Pをとる。
ただし∠ACP=θ(0＜θ＜π/4)とする。
PA×PCを求めよ。

手も足も出ませんので、分かりやすい解説おながいしまつ＞＜

すいません;;
B0(,1)　→ B(0,1) です

図描けば速攻でわかるんじゃない？？
辺ACは円の中心通るんだから角APCは90度だってわかるし、そうするとただの直角三角形だから
AC=2
AP=ACsinθ
CP=ACcosθ
PA*PC=2*2*sinθcosθ=2sin2θ

>>508
別解
原点をOとして三角形ABO, BCOは底辺ともに1,高さはPのy座標とみれるので面積が同じで, 角AOBが2θなので三角形ABCの面積は2*(1/2)sin2θ
三角形ABCは(1/2)AP*ACでもあるので答えは2sin2θ

直線 y=m(xｰ1)と曲線 y=(xｰ1)(x+a)(xｰa)^2 が接するときのmの値を求めよ
ただし、aは0<a<1をみたす定数とする

この問題さっぱりわかりません
曲線ｰ直線でいいのでしょうか？
解放道具かプロセスを教えて下さい、お願いします

１辺の長さ１の正八面体の体積を求めよ。

どうしても解けないのでお願いします。

>>512
> 曲線ｰ直線でいいのでしょうか？
> 解放道具かプロセスを教えて下さい

さっぱりわかりません

>>512
(x-1)(x+a)(x-a)^2-m(x-1)=(x-1){(x+a)(x-a)^2-m}=0が重解を持つことが条件なので
x=1が重解の場合
m=(1+a)(1-a)^2
f(x)=(x+a)(x-a)^2=mが重解を持つ場合
f'(x)=(x-a)^2+2(x+a)(x-a)=(3x+2a)(x-a)=0
m=f(a), f(-2a/3)=0, 25a^3/27

>>513
2つの4角錐の和と見ると
底面の正方形の対角線の長さは√2
4角錐の高さは(√2)/2なので
2・(1/3)・1^2・(√2)/2=(√2)/3

>>515
>f'(x)=(x-a)^2+2(x+a)(x-a)=(3x+2a)(x-a)=0
>m=f(a), f(-2a/3)=0, 25a^3/27
f'(x)=(x-a)^2+2(x+a)(x-a)=(3x+a)(x-a)=0
m=f(a), f(-a/3)=0, 32a^3/27

>>515
ありがとうございます、すいませんまだわからないのですが
f'(x)=(x-a)^2+2(x+a)(x-a)=(3x+2a)(x-a)=0
の(xｰa)^2はどこから出てきたのでしょうか？

積の微分法です

あぁ！なるほど！昨日からずっと悩んでたんですっきりしました！ありがとうございました

aを正の定数とする。関数y=x^3-axのグラフをC、原点OにおけるCの接線をlとする。グラフC上の点Pを、次の条件を満たすようにとる。
(a) Pのx座標は正である
(b) PにおけるCの接線l'はlと直交する
接線l,l'の交点をQとするとき、△OPQの面積をaを用いて表せ。

の解き方を教えて下さい。
一応、P(p,q),Q(r,s)とすると、△OPQ=(1/2)|ps-qr|だから…という方針で進めていて、
Pのx座標をaで表して√(a^2+1/(3a))というところまではいったのですが、Qの出し方が分からなくて……

ちなみに、答えは
(a^2+1)^2/(27a^2)
らしいです

>>521
y=x^3-ax
y'=3x^2-a
lの傾きは-a
P(p, p^3-ap)と置くと
(3p^2-a)(-a)=-1
p=√((a+1/a)/3)
OPの傾きはp^2-a=(-2a+1/a)/3
θ=∠POQと置くと
tanθ=((-2a+1/a)/3-(-a))/(1+(-2a+1/a)/3・(-a))=1/(2a)
cosθ=2a/√(1+4a^2), sinθ=1/√(1+4a^2)
△OPQ=(1/2)OP^2sinθcosθ=(a^2+1)^2/(27a^2)

y=a/xが双曲線って問題に載ってるのだが,
双曲線の定義と違うのですが、詳細希望

>詳細希望
それはこちらのセリフだ

ある2点 P , Q からの距離の差が一定であるような曲線、って定義ならOK

暑すぎ

>>524
a>0の場合
xy=a
2xy=2a=c^2
x^2+y^2+2xy-2cx-2cy+c^2=x^2-2cx+c^2+y^2-2cy+c^2
(x+y-c)^2=(x-c)^2+(y-c)^2
x+y-c=±√((x-c)^2+(y-c)^2)
4cx+4cy-4c^2=±4c√((x-c)^2+(y-c)^2)
(x+c)^2-(x-c)^2+(y+c)^2-(y-c)^2-4c^2=±4c√((x-c)^2+(y-c)^2)
(x+c)^2+(y+c)^2=(x-c)^2+(y-c)^2±4c√((x-c)^2+(y-c)^2)+4c^2
(x+c)^2+(y+c)^2=(√((x-c)^2+(y-c)^2)±2c)^2
±√((x+c)^2+(y+c)^2)=√((x-c)^2+(y-c)^2)±2c
±√((x+c)^2+(y+c)^2)-√((x-c)^2+(y-c)^2)=±2c
√((x+c)^2+(y+c)^2)+√((x-c)^2+(y-c)^2)≧(2√2)c>2c
√((x+c)^2+(y+c)^2)-√((x-c)^2+(y-c)^2)=±2c
|√((x+c)^2+(y+c)^2)-√((x-c)^2+(y-c)^2)|=2c

∫[-π,π]x*sin(x)√(2-sin(x)^2)/(e^x+1)dxの値ってどうやったら求められますか？

三角形ABCの3つの角A､B､Cが変化するとき、cos(A)+cos(B)+cos(C)のとり得る値の範囲を求めよ。
この問題はどのように解いたらよいのでしょうか？大まかでいいので方針を教えてください。お願いします。

条件式がついた3変数関数の最大最小

1.1文字消去して、独立2変数関数の最大最小とみなす
2.3変数関数のままそのまま1文字を固定して議論する
3.3文字に関する凸不等式

このどれかで処理する

>>529
I=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x)/(e^x+1)dx=∫[π, -π](-x)sin(-x)√(2-sin^2(-x))/(e^(-x)+1)(-dx)=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x)/(e^(-x)+1)dx
2I=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x){1/(e^x+1)+1/(e^(-x)+1)}dx=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x){(e^(-x)+1+e^x+1)/((e^x+1)(e^(-x)+1))}dx=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x){(e^(-x)+1+e^x+1)/(1+e^x+e^(-x)+1)}dx=∫[-π, π]xsinx√(2-sin^2x)dx=2∫[0, π]xsinx√(2-sin^2x)dx
I=∫[0, π]xsinx√(2-sin^2x)dx=∫[π, 0](π-x)sin(π-x)√(2-sin^2(π-x))(-dx)=∫[0, π](π-x)sinx√(2-sin^2x)dx
2I=∫[0, π]πsinx√(2-sin^2x)dx
I=(π/2)∫[0, π]sinx√(2-sin^2x)dx=π∫[0, π/2]sinx√(2-sin^2x)dx=π∫[0, π/2]sinx√(1+cos^2x)dx
t=cosxと置くと
I=π∫[0, π/2]sinx√(1+cos^2x)dx=π∫[1, 0]√(1+t^2)(-dt)=π∫[0, 1]√(1+t^2)dt
t=(e^s-e^(-s))/2と置くと
1+t^2=1+((e^s)^2-2+(e^(-s))^2)/4=((e^s)^2+2+(e^(-s))^2)/4=((e^s+e^(-s))/2)^2
dt=(e^s+e^(-s))/2ds
1=(e^k-e^(-k))/2 ⇔ k=log(1+√2)
I=π∫[0, 1]√(1+t^2)dt=π∫[0, k]((e^s+e^(-s))/2・(e^s+e^(-s))/2ds=(π/4)∫[0, k](e^(2s)+2+e^(-2s))ds=(π/4)[(1/2)e^(2s)+2s-(1/2)e^(-2s))][0, k]=(π/8)((1+√2)^2+4log(1+√2)-1/(1+√2)^2)=(π/8)(4√2+4log(1+√2))=(π/2)(√2+log(1+√2))

y=x^2を動く点Ｐと、y=x^2-2x+2上を動く点Ｑとすると、線分ＰＱの中点の
動く範囲を求め図示せよ。って問題なんですが、これどうやって解きますか？
スマートな解法でお願いします、僕は点Ｐを固定してＱを動かすってやりかた
でやったんですが、めちゃくちゃになりました....

解答用紙に「よって」とか「ここで〜から」とか使わずにひたすら数式を連ねるやつっているんだよな

785:名無しなのに合格 :2009/09/01(火) 16:41:42 ID:06POnK4ZO [sage]
1997^1997を9で割ったときの余りを求めよ(東海大)
当然、僕は解けませんでした



ほかのスレからのコピーなんですがこれをお願いします

>>535
1997^1997≡(1998-1)^1997≡-1≡8 (mod9)

したがってあまり8

>>530
A+B+C=π
cosA+cosB+cosC=cosA+cosB-cos(A+B)=cosA+2sin(A/2+B)sin(A/2)
A+B<πよりA/2<A/2+B<π-A/2
0<A/2<π/2<π-A/2
sin(A/2)=sin(π-A/2)<sin(A/2+B)≦1
cosA+2sin^2(A/2)<与式≦cosA+2sin(A/2)
cosA+2sin^2(A/2)=1-2sin^2(A/2)+2sin^2(A/2)=1
cosA+2sin(A/2)=1-2sin^2(A/2)+2sin(A/2)=(3/2)-(1/2)(1-2sin(A/2))^2≦3/2
1<与式≦3/2

集合｛1、1、2｝の部分集合をすべてあげよ
を教えてください。お願いします。

>>533
P(s, s^2), Q(t, t^2-2t+2)
M((s+t)/2, (s^2+t^2-2t+2)/2)=(X, Y)
s=2X-t, 2Y=(2X-t)^2+t^2-2t+2
2t^2-2(2X+1)t+(4X^2-2Y+2)=0
D/4=(2X+1)^2-2(4X^2-2Y+2)≧0
4Y≧4X^2-4X+3
Y≧X^2-X+3/4

>>538
>集合｛1、1、2｝
{1, 2}ですね？{}, {1}, {2}, {1, 2}の4つです

>>537
A+B+C=π
cosA+cosB+cosC=cosA+cosB-cos(A+B)=cosA-2sin(A/2+B)sin(A/2)
A+B<πよりA/2<A/2+B<π-A/2
0<A/2<π/2<π-A/2
sin(A/2)=sin(π-A/2)<sin(A/2+B)≦1
cosA-2sin(A/2)<与式≦cosA-2sin^2(A/2)
cosA-2sin(A/2)=1-2sin^2(A/2)-2sin(A/2)=(3/2)-(1/2)(1+2sin(A/2))^2>-3
cosA-2sin^2(A/2)=1-2sin^2(A/2)-2sin^2(A/2)=1-4sin^2(A/2)<1
-3<与式<1

>>531
>3.3文字に関する凸不等式
0<θ<πにおいてcosθは凸でありませんがどう使うのでしょう？

>>541
>>537でした

3^x+3^-x=1/2はどう解いたらいいんでしょうか

>>544 3^x=ｔとすれば3＾(-x)=1/t
ここで両辺t倍すれば2次方程式は作れるんだが、
相加平均相乗平均の関係から実数解がないのが見えるので
(少なくとも現行の)高校範囲外。

問題http://imepita.jp/20090902/250320

解答http://imepita.jp/20090902/250600

どうやって平面πとｘｙ平面の交点がｘ+ｙ＝3ｔとなることをだしているんですか？

Q(t.t.t)を通り(1.1.1)に垂直な平面なんだから
平面π上の点をP(x.y.z)とおけば

P∈π⇔PQ↑・(1.1.1)=0⇔x-y+y-t+z-t=0⇔x+y+z=3t
平面πの方程式はx+y+z=3t
これと、xy平面:z=0との交点はx+y=3t

>>546
P(cosθ, sinθ, 0)
cos∠POQ=(cosθ+sinθ)/√3
Q=(cosθ+sinθ)/√3・(1/√3)(1, 1, 1)=((√2)/3)sin(θ+π/4)(1, 1, 1)
Cの像は((√2)/3, (√2)/3, (√2)/3)と(-(√2)/3, -(√2)/3, -(√2)/3)を結ぶ線分

xy平面上の直線y=xに関するP(cosθ, sinθ)の対称点P'(sinθ, cosθ)に対し同じQが対応するのでQを通りlに垂直な平面とxy平面の交線はこの2点を通る直線
この平面で求める回転体を切った断面は
PQ=(√6)/3・√(1-sinθcosθ)
PP'の中点とQの距離|cosθ+sinθ|/√6
を半径とする2円に挟まれた領域でありその面積は
S=(π/2)(1-2sinθcosθ)
Q=t・(1/√3)(1, 1, 1)と置くとt=(cosθ+sinθ)/√3となることより
t^2=(1+2sinθcosθ)/3
S=(π/2)(2-3t^2)
V=∫[-√(2/3), √(2/3)](π/2)(2-3t^2)dt=π∫[0, √(2/3)](2-3t^2)dt=π[2t-t^3][0, √(2/3)]=π(2-2/3)√(2/3)=(4π√6)/9

二次不等式について。


�@3x^2−4x−4＜0
x＝-2、2／3


�Ax^2−2x＋1≧(or≦)0
答えは順に
全ての実数
ｘ＝1


�Aのようなのはちょっと特殊な解ですよね。
私は�@と�Aの答え方の区別が全く分かりません。
式を見て分かるものなのですか？
判別式の使用って絶対不可欠？

>>549答えてミスったｗ無かったことにしてくれｗ

放物線y=x^2+ax-2が2点A(0,1),B(2,3)を結ぶ線分と異なる2点で交わるときのaの値の範囲を求めよ。(2008群馬大)

線分の端点が放物線上にあるとき
「交わっている」とすると　-(3/2)≦a<-1
「交わっていない」とすると　-(3/2)<a<-1
問題集によっては2通りの答えがありました。どう採点されたのでしょうか？
それともどちらかの解が間違いか？

x→0のときってxlogx→0？
一般的に0*∞→0でいいの？

ベクトルの問題なんですが。

４角形ＡＢＣＤにおいて、
ＡＢ＝2√2　ＡＤ＝3√2　vAB・vBC=-2　vCD・vDA=1 vDA・vAB=-2
が成り立つとき、vACをvAB vADを用いて表せ。

という問題で、vAC=pvAB+qvAD [p.qは実数]と置いた後、内積を使ってp,qを求めようとしたんですが、うまくいきません。
どう解けばいいのか教えてください。

>>552
上はそう
下は違う

xy平面上に、長さが1の線分ABがある。ただし、2点A,Bはそれぞれx軸とy軸上にあり、線分ABはx≧0かつy≧0の範囲にあるものとする。線分ABの通過領域の面積を求めよ。


お願いします

>>553
Aを原点として考える
|b|=2√2, |d|=3√2, b(c-b)=-2, (d-c)(-d)=1, (-d)b=-2
b^2=8, d^2=18, bc=6, cd=19, db=2
c=pb+qd
bc=pb^2+qbd=8p+2q=6
cd=pbc+qd^2=6p+18q=19
p=35/66, q=29/33

２つの放物線y=x^2とx=y^2-3pyが４つの異なる点を共有するとき
４点は同一円周上にあることを示せ。

高校で勉強した中で一番難しい問題で、東大生でも解けないらしい
です。

ちなみに僕は、まずy^2を消去したんですよ。
つまりx=x^4-3px^2が４解をもてばいい、
それでx=0は確実にもちますよね？このとき
グラフをかいてだいたいx=s>0をもつと仮定
するとs^3-3px-1=0より
x^3-3px-s^3+3px=0が二解をもつとき、解と
係数からαとβについての関係を導いた
んですけど。こっからです。三九時間考えた
けど全く答えが見出せません。同一円周上と
いうことは対角の和が１８０°ですよね？これ
をうまく適用できません、計算が複雑すぎて。
もしかして別のアプローチですかね？
解説お願いします

>>557
y=x^2∧x=y^2-3py
⇒x^2-x+y^2-(3p+1)y=0

したがってy=x^2とx=y^2-3pyが異なる4点を共有してるとき
その4点は円(x-1/2)^2+(y-(3p+1)^2)=1/4+(3p+1)^2/4上にある

じゃ駄目?

>>555
3π/32 になった。

まず媒介変数を2つ設定して直線ABを求め
通過領域がアステロイドになることを出して
単なる積分計算

>>558
たぶんダメでしょｗｗ
そんな３行ですむなら解答何てかけばいいんだ、一応
京大用の問題なんだが、深いでしょたぶん。
誰か解ける人いないか？ちなみにこれは(2)で
(1)はpによって交点の数がかわる、pを場合分けしろって
のが問題。

>>559

よくわからないんで･･･過程を書いてもらえませんか??

>>560
>>558で問題ありません

問題ございません

>>557、涙目w

>>558で問題ない

正の整数nに対して、k(1≦k≦n)を1≦(1/k)+(1/k+1)...1/nが成り立つよう
な最大の整数とする。

(1)n=7のときkを求めよ。またn≧4ならばk≧2となることを示せ。
(2)n≧4のとき不等式log{(n+1)/(k+1)}<1<log{n/(k-1)}が成り立つことを
示せ。ただし対数は自然対数とする。です

(1)のn=7のときのkは計算で求めるだけですよえん？
それでk≧2のときは1/2+1/3+1/4>1より矛盾を導けば
いいんですよね？

まぁ(1)は不細工な解答ながらわかるんですが、一応
正しい解説お願いしますが

(2)が壊滅的にわかりません...一体どうしたらいいやら。


ちなみに
(3)
lim(k/n)(n→∞)ですが
これは学校の先生もわかりませんでした。

>>560
>(1)はpによって交点の数がかわる、pを場合分けしろって
こちらは
y=x^2, x=y^2-3py
2x・(2y-3p)=1
のときすなわちp=(1/4)^(1/3)のとき接するので
p>(1/4)^(1/3) 共有点4つ
p=(1/4)^(1/3) 共有点3つ
p<(1/4)^(1/3) 共有点2つ

スレ違いならすみません
解答の略記についてお聞きしたいのですが
・個や距離をカタカナで書く
・門がまえや第を略字で書く
・上の行と同じことを〃で省略する
・付け足したいことを空きスペースに書いて矢印で引っ張って入れる
・グラフより、図よりで逃げる
・多項式の割り算で筆算を根拠にする
採点基準が明かされていない以上正確にはわからないのは承知していますが
これらの中でちょっとマズいだろってのはないでしょうか？
正確に書くべきだとは思いますがまず間違いなく時間との戦いになるので…
変な質問ですみません　おねがいします

>>566
1/7+1/6=13/42
13/42+1/5=107/210
107/210+1/4=638/840<1
638/840+1/3=2754/2520>1
k=3

n≧4のとき
1/2+1/3+1/4=13/12>1
よってk≧2

n≧4なのでk≧2すなわちk-1≧1
x>0で1/xは正の値を取る単調減少関数であるから
log(n/(k-1))=∫[k-1,n]dx/x>1/k+1/(k+1)+…+1/n≧1>1/(k+1)+…+1/n>∫[k+1, n+1]dx/x=log((n+1)/(k+1))

>>566
(3)
k(n+1)/{e(k+1)n} ＜ k/n ＜k/{e(k-1)} よりはさみうち

>>566
log((n+1)/(k+1))<1<log(n/(k-1))
(n+1)/(k+1)<e<n/(k-1)
(1+1/n)/(k/n+1/n)<e<1/(k/n-1/n)
1/e←(1/e)(1+1/n)-1/n<k/n<1/e+1/n→1/e
k/n→1/e

http://imepita.jp/20090903/054150

この問題を質問させてください
0<c[3m]<1/3より0<3c[3m]<1であり
c[3m+1]=3c[3m]
1/3<c[3m+1]<2/3より
1<3c[3m+1]<2⇔0<3c[3m+1]-1<1だから
c[3m+2]=3c[3m+1]-1
2/3<c[3m+2]<1より0<3c[3m+2]-2<1だから
c[3m+3]=3c[3m+2]-2

これより
c[3m+3]=3c[3m+2]-2
=3(3c[3m+1]-1)-2
=3(3*3c[3m])-5=27c[3m]-5

(c[3m+3]-5/26)=27(c[3m]-5/26)
∴c[3m]=27^(m)(c[0]-5/26)+5/26=27^(m)(a-5/26)+5/26

というところまで求めたのですけど
答えがa=15/26となっていてどこか間違えていると思うのですがよくわかりません・・
よろしくお願いします

>>568
どれも問題ないと思う
初めは略記しておいて、もし時間が余って心配だったら書き直すと良いんじゃないかな
ただ、グラフより云々はまずいこともあるので気を付けて

>>572
a=c[0]=15/26＞1./3で条件をみたしてないような...

>>574
確かにそうですね・・・解答が誤植ということで納得できました。
ありがとうございます

>>560

>>567
でどうやって2x・(2y-3p)=1に式変形したかわかんないので、
（１）、（２）両方とく。
（接点は、重解でも共有点１つって考えていいんだよね？）
＝＝＝
（１）
放物線の形を考えると、ことなる共有点同士において、必ずx座標もy座標も異なる。
そこで、共有点の数は、与式からyを消去した、
x=x^4-3px^2 ・・・（ア）の実数解の個数（ただし、重解は１つと数える。以下同様）と一致する。
（ア）⇔x(x^3-3px-1)=0・・・（イ）
ゆえに、共有点の数は
x^3-3px-1=0の解が0を含まないため（<=この記述必要！）
x^3-3px-1=0の解の個数＋１である。

f(x)=x^3-3px,g(x)=1とおくと、
f'(x)=3x^2-3p=3(x^2-p)

ながくなったのでつづく

つづき
（元の問題は>>557だったか）



よって、
●p>0のとき：f'(x)=0を満たすxは±√pなので、
　f(x)のグラフの極小値はf(√p)=-2p^(3/2)、極大値はf(-√p)=2p^(3/2)
よって、f(x)=x^3-3px,g(x)=1の２つのグラフの交点は、
2p^(3/2) > 1 のとき（つまり、p > (1/4)^(1/3) ）のとき１個
2p^(3/2) = 1 のとき（つまり、p = (1/4)^(1/3) ）のとき２個
2p^(3/2) < 1 のとき（つまり、0 < p < (1/4)^(1/3) ）のとき３個

●p=0のとき：f'(x)=0を満たすxは0のみで、x>0のときf'(x)>0,x<0のとき、f'(x)<0
　よって、f(x)=x^3-3px,g(x)=1の２つのグラフの交点は、１個

●p<0のとき：f'(x)=3(x^2-p)ゆえ、f(x)=x^3-3pxのグラフは単調増加
　よって、f(x)=x^3-3px,g(x)=1の２つのグラフの交点は、１個

以上により、最終的な答えは、
p<=0のとき、2個
0 < p < (1/4)^(1/3) のとき４個
p = (1/4)^(1/3) のとき３個
p > (1/4)^(1/3) のとき２個

＃たぶんどっか計算間違えしてる。けど基本方針はこれでいいはず

次、（２）

>でどうやって2x・(2y-3p)=1に式変形したかわかんないので

接しているから共通接線を持つということで
出してるんじゃないの?

y=x^2: dy/dx=2x
x=y^2-3py: dy/dx=1/(2y-3p)
2x=1/(2y-3p)
2x(2y-3p)=1

>>557
の（２）

（（１）で計算間違いしてるかもだけど、そのままときます）

（１）により、与えられた連立方程式を満たす４つの解のうち３つの解のx座標は、0,±√p
そして、もう１つの解はy座標が1である。この解は、最初の式のx=y^2-3pyを満たすため、
y=1を代入し、xの解は1-3pだとわかる。

まとめると、４つの交点は、
(0,0),(√p,p),(−√p,p),(1-3p.1)
これを、前述の記述順に、点Ｏ，Ａ、Ｂ，Ｃとおく。

・・・と、ここで、（２）は円の式を求めるもんだと、問題の見勘違いに気づく。
よってぎぶ。
まあ、てきとーに、ＯＡＢＣから線分を３つとってきて、
そこから垂直２等分線３つを計算して、どれもが交点を１点で共有することをもとめればいい・・・のかなぁ。。。

満点はとれなくても、部分点かせぎで半分はもらえる？

>>578
＞x=y^2-3py: dy/dx=1/(2y-3p)
これ、yで微分してるから、dy/dxじゃなくない？
いや、わかんね・・・この辺最近やってないから・・・orz

逆関数の微分


結局これ何の問題なの?
>>557の問題なら>>558の言うように束で終わり。

>>557を読んでpで場合する必要があるなどとふざけたことを本気で考えてる者は日本語が不自由と言ってよろしい

>>555
A(a, 0), B(0, b)と置き
a^2+b^2=1, x/a+y/b=1
y=b(1-x/a)
2a+2b(db/da)=0
xを固定したときyの増減を考えると
dy/da=(db/da)(1-x/a)+b(x/a^2)=(-a/b)(1-x/a)+b(x/a^2)=-a/b+x/b+(b/a^2)x=((a^2+b^2)x-a^3)/(ba^2)=(x-a^3)/(ba^2)
よりa=x^(1/3)のとき最大値y=b(1-x/x^(1/3))=(1-x^(2/3))^(1/2)(1-x^(2/3))=(1-x^(2/3))^(3/2)を取る
よって一般に
y≦(1-x^(2/3))^(3/2)
x^(2/3)+y^(2/3)≦1
ここでx=sin^3θと置くと
y^(2/3)≦cos^2θ
y≦cos^3θ
よって求める領域の面積S=∫[0, π/2]cos^3θ・3sin^2θcosθdθ=3∫[0, π/2]cos^4θ(1-cos^2θ)dθ=3((3/4)(1/2)(π/2)-(5/6)(3/4)(1/2)(π/2))=(3/32)π

>>579
えｗｗｗｗｗ？
交点の座標分かるのｗｗｗ？
どうやって交点の座標わかったのですか？

>>555をお願いします

とても初歩的なのかもしれませんがふと疑問に思ったので質問させていただきます

y=√xのx=0における接線の方程式を求めよ

という問題ではどのように解答を書けばいいのでしょうか？
x=0ではy=√xは微分係数を持ちませんが接線はあるはずでそれをどのように
解答に書いたらいいのかわからないので･･･
よろしくお願いします

>>586
x=y^2, y≧0
dx/dy=2y=0
x=0

y=√x
二乗して、
x=y^2 (y＞0)
x=0のときy=0なので、y=0でのx=y^2の接線を求める。答えはx=0

>>588
y＞0じゃなくてy≧0

>>587-589
どうもありがとうございます

>>579
ちょｗｗｗｗ
代入したけどあわねぇんですけどｗｗｗ
交点はもとまらないよ、３次式だぜ？

>>571
サンクソ。

>>584

>>576-577
でかいたとおり機械的に計算しただけ。
そして、たぶん計算間違いしてる。

>>591
＞３次式
あ、そりゃそうだ、ごもっとも。

ｘ（またはｙ）の4次方程式を考えればいくて、１つは０って解が求まってるから、
ほかの解も求まるだろうと考えてた。
が、その０ってのも元の方程式から導いたものだった・・・あうち

>>586
90度、原点中心に反時計回りに回転させりゃ、
y=√x => y=x^2 かつ x<=0
x=0　　=> y=0
だから、図より、明らかに接線はy=0。
90度もとに戻せば、最終的な答えはx=0
って、１０秒で答えだしたけど・・・上の「図より明らかに」ってだめ？

y=log|x-√(x^2+a)| (a≠0)
を微分しなさい

答えが合わないので途中式も書いてくれると嬉しいです。

a{1}=1, a{2n}=2a{2n-1}, a{2n+1}=a{2n}+2^(n-1)　(n=1.2.3....)
で定義される数列a{n}について
(1)a{2n}とa{2n+1}を求めよ
(2)Σ[k=1,2n]a{k}を求めよ

このもんだいをおしえてください
とりあえず奇数項目に着目して
a{2n+1}=2a{2n-1}+2^(n-1)
と出ましたけど、普通のn+1とnの漸化式でしたら2^(n+1)で割ると解けるんですが
2n+1と2n-1なので2^(n+1)では厳しいです・・・
2^(2n+1)で割ってもうまく添え字と次数が合わせられないですし
どうしたらよいでしょうか?

>>555 = >>585

定番問題だけど定番の解き方忘れた。

なんか大昔、図工の時間に、そういう線分ＡＢを何本も書いて、
結果が（数学的にでなく、結果論として）0<=x<=1 かつ 0<=y<=1 かつ (x-1)^2+(y-1)^2>=1 だった気が・・・。

定番の解き方忘れたから、逆方向に考えて、(1,1)中心の円を考えたら、計算結果が半径 √2 - 1 になってしもうた。。。すまそ。

===
一応のせとくけど・・・・

題意より、
A=(a,0),B=(0,b),a>=0,b>=0,a^2+b^2=1・・・（１）
とおける。

（１）より a = Cosα, b = Sinα,0 <= α <= π/2とおける・・・（２）

ところで、(Cosα - 1)^2 + (Sinα -1)^2 = 3-2(Cosα+Sinα)・・・（３）

また、
(Cosα+Sinα)^2 = 1 + 2CosαSinα = 1 + Sin2α = 1 + Sinβ (β=2αとおいた)
すると、0 <= β <= πにおいて、 0 <= Sinβ <=1 なので、
1 <= Cosα+Sinα <= √2・・・（４）

よって（２）、（３）、（４）より、0<=(a-1)^2+(b-1)^2<=3-2√2・・・（５）

（１）、（５）より、線分ABの通過領域は、
0<=x<=1 ∧ 0<=y<=1 ∧ 0<=(x-1)^2 + (y-1)^2 <= 3-2√2・・・（６）
また、 (3-2√2) = (√2 -1)^2 である・・・（７）
・・・・・へ？

>>597
数列は、たいてい、試しに具体的な数を書いて、いくつか計算してみると、答えが見えてくる。
a{1}　を　x2すると a{2}
a{2}　を x(2^0) すると a{3}
a{3}　を x2 すると a{4}
a{4} を x(2^1) すると a{5}
というかんじに、
2倍=>2^0倍=>2倍=>2^1倍=>2倍=>2^2倍=>2倍=>2^3倍=>2倍=>2^4倍=>2倍=>2^5倍=>2倍=>2^6倍・・・・
奇数項目だけをみると、いつも２倍、
偶数項目だけを見ると、いつも・・・・・
・・・と、あとはお好きな方法で。

アステロイド

>>600

はじめてしったさんくす。中学の図工の先生、円周がどうのこうのいってた気が。。。だまされた・・・

あともう1題お願いします

3x+2y≦2008をみたす0以上の整数の組(x.y)の個数を求めよ

とりあえず3x+2y=2008をxy平面の第一象限に図示して
格子点の数を調べると
x=0のとき1005個・・・x=667のとき4個、x=668のとき3個、x=669のとき1個
とわかりx=kのとき1005-[(3/2)k+1/2]個?

というところまでは見えましたがそこから先に
Σをk=0から669でとろうと思ったのですが
ガウス記号とΣ計算でどうしていいかわからず困りました

お願いします。

xの奇偶でわける

>>600

ぐぐってみたけど・・・
これ、補問的なのがなくて、>>555 みたいにいきなり聞かれて、こたえられるのかしらん？大学入試の問題として。
強引に積分？

>>604
こたえられる
x/a+y/b=1, a^2+b^2=1として調べて最後は積分

>>597 とか >>692 をみて、

なんか、やっぱし整数問題ってどっかしらで　mod がからんでるな・・・と改めておもった。
（大学入試だけしかしらんけど）

奇数偶数は　mod 2 の結果の違いだし。

>>605

さんくすそなんだ。自分も最初はそうしようと思ったけど、
問題がエレガント？なだけに、方針を変えてしまった。

今思ったが、>>598で書いた答案は、必要十分性に欠けてるわな。

書き間違い

＞>>597 とか >>692 をみて、
じゃなくて
>>597 とか >>602 をみて、

>>602
3x≦3x+2y≦2008
x≦669
x=2n, 0≦n≦334
6n+2y≦2008
y≦1004-3n
x=2n+1, 0≦n≦334
y≦1002-3n
Σ[n=0, 334]((1005-3n)+(1003-3n))=337010

>>597
b[n]=a[2n+1]=a[2n]+2^(n-1)=2a[2n-1]+2^(n-1)=2b[n-1]+2^(n-1)
b[n]/2^(n-1)=b[n-1]/2^(n-2)+1=…=b[0]/2^(-2)+n=4a[1]+n=n+4
a[2n+1]=b[n]=(n+4)・2^(n-1)
a[2n]=2a[2n-1]=2b[n-1]=(n+3)・2^(n-1)

S=Σ[k=1, 2n]a[k]=Σ[i=0, n-1](a[2i+1]+a[2i+2])=Σ[i=0, n-1]3b[i]=3Σ[i=0, n-1](i+4)2^(i-1)
2S=3Σ[i=0, n-1](i+4)2^i=3Σ[i=1, n](i+3)2^(i-1)
S=2S-S=3(n+3)2^(n-1)-3・4・2^(-1)-Σ[i=1, n-1]2^(i-1)=3(n+3)2^(n-1)-6-(2^(n-1)-1)=(3n+8)2^(n-1)-5

＞＞５４７さんのでわかったのですが
５４８さんの解答が気になったので聞かせてください
＞cos∠POQ=(cosθ+sinθ)/√3をいきなり出しているのは何でだしたのですか？
内積、余弦定理では無理そうですが。
＞PQ=(√6)/3・√(1-sinθcosθ)
PP'の中点とQの距離|cosθ+sinθ|/√6
もどうやってだしたんでしょう？
この問題の写像って軌跡のことですよね？
調べたらこんな定義にはなってますが↓

ｘ，Y をある集合であるとする．
f: X→Y が集合 X から集合 Y への写像 (mapping) であるとは，
集合 X の要素が任意に与えられたとき，
f によって集合 Y の要素がひとつ対応づけられていることである．
このとき，X のある要素について，Y の要素がただ
1 つ対応していなければならないということではない．
(これは特別な場合であり，これを 1 対 1 対応の写像，
あるいは単射であるという．)

おねがいします

>>573
変な質問なのに答えていただいてありがとうございます
グラフには気をつけます

>>596
y=log|x-√(x^2+a)|
±e^y=x-√(x^2+a)
x-(±e^y)=√(x^2+a)
x^2-2x(±e^y)+(±e^y)^2=x^2+a
-2x(±e^y)+(±e^y)^2=a
-2(±e^y)-2x(±e^y)y'+2(±e^y)^2y'=0
-1-xy'+(±e^y)y'=0
-1-(x-(±e^y))y'=0
-1-(√(x^2+a))y'=0
y'=-1/√(x^2+a)

cos∠POQ=(cosθ+sinθ)/√3は内積でいけますねすいません

>>611
cos∠POQ=OP・OQ/(|OP||OQ|)=OP・(OQ/|OQ|)=(cosθ, sinθ, 0)・(1/√3)(1, 1, 1)=(cosθ+sinθ)/√3

Q=(cosθ+sinθ)(1/3, 1/3, 1/3)
PP'の中点M=((cosθ+sinθ)/2, (cosθ+sinθ)/2, 0)=(cosθ+sinθ)(1/2, 1/2, 0)
QM=|cosθ+sinθ|√((1/3-1/2)^2+(1/3-1/2)^2+(1/3)^2)=|cosθ+sinθ|√((1/6)^2+(1/6)^2+(2/6)^2)=|cosθ+sinθ|√(6/6^2)=|cosθ+sinθ|/√6

写像と像と軌跡は微妙に意味が違います

>>602

を、>>609 とは別の解き方でやってみたら、
>>609と答えが違うんだが、だれか、ミス指摘してくださいまし。

＝＝＝
以下、扱う数字は、断りなく全て非負整数とする。
与式より、0 <= x + n <= 2008
( n=2*(x+y)とおいた。n のとりうる範囲は 0 <= n <= 2008）

nがある値をとるとき、x のとりうる値の範囲は、0以上、min(n,2008-n)以下である。

「n<=2008-n」と「n<=1004」は同値なので、
0<=n<=1004のとき、min(n,2008-n) = n
1005<=n<=2008とき、min(n,2008-n) = 2008 - n

よって、求める値は、
Σ[p=0, 1004](p+1) + Σ[q=1005, 2008]((2008 - q) + 1)
= Σ[p=0, 1004](p+1) + Σ[q=0, 1003](q+1)
= 2Σ[r=1, 1004](r) + 1005
= 2*1004*1005*(1/2) + 1005
= 1004*1005 + 1005
= 1005*(1004 + 1)
= 1005^2
= 1010025

うーん。

なにがなにやらわからないｗｗｗ

数学できるやつってまじ尊敬する

ax+y=3 -x+ay=4
この二つの直線の交点の軌跡を求めたいのですが
交点を{(3a-4/a^2+1),(4a+3/a^2+1) }
まで自力で求めたのですが、ここで詰まってしまいました。
これからどうすればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

>>610
>S=2S-S=3(n+3)2^(n-1)-3・4・2^(-1)-Σ[i=1, n-1]2^(i-1)

ここの部分はどう変形されているのですか?
2S-S
=3{Σ[i=i,n](i+3)2^(i-1) -Σ[i=0, n-1](i+4)2^(i-1)}
=3{Σ[i=i,n](i+3)2^(i-1) -Σ[i=0, n-1](i+3)2^(i-1) -Σ[i=0,n-1]2^(i-1)}
=3(n+3)2^(n-1)-3・3・2^(-1)-3Σ[i=1, n-1]2^(i-1)

となってしまうのですが・・・

>>618
やってることが逆。
この手の問題は、
（１）「aが変化するときに、ax+y=3 -x+ay=4 をみたす(x,y)の条件式が、求める奇跡になる。」と考え、
（２）aを消去
終わり。

（※（２）で、0で割る場合を、例外的に処理する必要がある場合が多い）

>>620

できました。
x^2+y^2+4x-3y＝0
で、0で割ってはいけないために(0,0)を除く。

ですよね？ありがとうございます

>>618
まず求める軌跡とは
「ax+y=3 かつ-x+ay=4をみたす実数aが存在する」
ようなx.yの集合

方針1 逆像の存在条件を考える1
X=(3a-4/a^2+1),Y=(4a+3/a^2+1)とおいて
aをなんとか消去する。

方針2　逆像の存在条件を考える2
x≠0のとき、a=(3-y)/xだから
-x+ay=4に代入
x=0のとき、y=3で-x+ay=4⇔a=4/3
これより(0.3)は軌跡として適する
と考え、軌跡を求める

方針3　パラメーターの利用
行列を利用してまとめた後、tanθ等の置換を利用して導く

方針4 視覚的図形的に考える
ax+y=3 と-x+ay=4は直行していて
ax+y=3 は点A(0.3)を通り、-x+ay=4は点B(-4.0)を通る
だから交点の軌跡は線分ABを直径とする円を描く

>>619
Σ[i=1, n]a[i]-Σ[i=0, n-1]b[i]=(a[n]+Σ[i=1, n-1]a[i])-(b[0]+Σ[i=1, n-1]b[i])=a[n]-b[0]+Σ[i=1, n-1](a[i]-b[i])

(a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n])-(b[0]+b[1]+b[2]+…+b[n-1])=(a[1]-b[1])+(a[2]-b[2])+…+(a[n-1]-b[n-1])+a[n]-b[0]

　　　a[1] a[2] a[3] … a[n-1] a[n]
b[0] b[1] b[2] b[3] … b[n-1]

>>623
ありがとうございます。

3(n+3)2^(n-1)-3・4・2^(-1)-Σ[i=1, n-1]2^(i-1)
の最後のΣ[i=1, n-1]2^(i-1)の部分に
3が掛らないのはどこかで約分されているからでしょうか?

>Σ[i=1, n-1](a[i]-b[i])
この部分が
>Σ[i=1, n-1]2^(i-1)
にあたると思うのですが・・・

もう一度手を動かして計算おって見ます

>>618
2直線は直交しているので軌跡は円か円の一部
それぞれの直線が常に通る定点を結べば直径となる

>>626
3を掛けて下さい
忘れていました

>>610
>S=2S-S=3(n+3)2^(n-1)-3・4・2^(-1)-Σ[i=1, n-1]2^(i-1)=3(n+3)2^(n-1)-6-(2^(n-1)-1)=(3n+8)2^(n-1)-5
S=2S-S=3(n+3)2^(n-1)-3・4・2^(-1)-3Σ[i=1, n-1]2^(i-1)=3(n+3)2^(n-1)-6-3(2^(n-1)-1)=3(n+2)2^(n-1)-3

>>621
＞0で割ってはいけないために(0,0)を除く。
いってることが意味不明だけどたぶんなんか勘違いしてる。

２ｃｈにかくときはともかく、マークシートじゃない問題をとくときは、
論理に破綻がないか考えつつ紙に書くほうがいいよ。
＝＝＝
といてみる。
(ちなみに、>>622 にあるように「ax+y=3 と-x+ay=4は直行していて」ってきづかんかった)

ax+y=3 かつ -x+ay=4

⇔ 『x=0 かつ（x=0の場合ってこと） y=3 かつa=4/3』
　　または
　　『x≠0 かつ（x≠0の場合ってこと） a=(3-y)/x かつ-x+ay=4』

⇔『x=0 かつ y=3 かつ a=4/3』
　　または
　 『x≠0 かつ-x+{(3-y)/x}*y=4 かつ a=(3-y)/x（aは消去できたけど、一応わかりやすいように書いとく）』

⇔『x=0 かつ y=3 かつ a=4/3』
　　または
　 『x≠0 かつ-x+(4/3)*y=4 かつ a=(3-y)/x（aは消去できたけど、一応わかりやすいように書いとく）』

⇔『x=0 かつ y=3 かつ a=4/3』
　または
　 『x≠0 かつ x^2+y^2+4x-3y＝0 かつ a=(3-y)/x（aは消去できたけど、一応わかりやすいように書いとく）』

なお、x^2+y^2+4x-3y＝0 に、(0,3)を代入すると、問題ないため、上の２式をまとめることができ、OK。

よって、x^2+y^2+4x-3y＝0 (x=0 のときにxで割ると、減点対象にになる）　以上。
実際、こんなばかていねいに書く必要はないだろうけどね。

>>618

の問題について、さっきレスしたけど、間違えて、名前に>>618って書いてしまった。
ほんとは >>630

今気づいたけど、>>622 の方針２とやってること同じだね。

実は文系出身なので、逆像とかよくわかんないor忘れてるor自分が受けたとき範囲外だった？かも。

ま、すぐに変数を消去できそうなときは、この方針でといてた。
変数の条件があったり、立体バージョンでもしかり。

長文うぜー
簡潔に説明できない奴は氏ね

問題が明らかに「幾何的に解いてくれ」って訴えかけてんのに
いきなり定石に飛びつく奴は氏ね

おまえら、文系学部の数学はまじで得だぜ。
みんな社会で苦しんでるから、数学は軽量入試みたいなもん

>>632

大学受験版だから、減点されないように書いたんだけど。
てか、どっかの大学の公式見解によると、ヘロンの公式使うと０点って最近どっかで聞いた。

でも、>>632は長文だけど、↑の方針で書いたまでだから、読むのはさほど時間かからないはずだが。

>>635
君は解答者たりえないのに何で解答者などやっているのだ？

(　^ิൠ^ิ)＜うっせー死ねよ636

(　^ิ౪^ิ)＜誰か質問しろよ、はやく

何度も同じ問題についての質問ですいません。
＞V=∫[-√(2/3), √(2/3)](π/2)(2-3t^2)dtと積分区間が
-（√2）/3〜（√2）/3となっているのは？
>>546に貼り付けた解答は((Qの移動量))＝√3((ｔの移動量))となっていますが、
これはどうゆうことでしょうか？
また>>548さんの解答ではこの移動量を考えずにすんでるのは、
多分積分区間が違うこととも関係してると思いますが、この辺がよくわかりません。
�凾箔ｮくと体積変化は１／√2�凾狽ﾅ割っものになったりたりする問題をやったことはありますがその類かなとか悩んでます。
お願いします

http://imepita.jp/20090904/422280

この問題をお願いします
数列の和の一般項の関係ならずらして引けばいいと思うのですが
2乗の数列の和も混在していてちょっと手が出ません。
となるとa1〜a6くらいまでを書き出して予想して帰納法
という方針かな?ということで今考えていますが
もう少しいい解答がありましたらお願いします

a_n>0と書いてから小さなnで予想しようとしたとき2次方程式が出て解くと異符号の解が出てくるんだろうなあ、などと思った

>>639
Qは(-√2)/3(1, 1, 1)から(√2)/3(1, 1, 1)までなので
t・(1/√3)(1, 1, 1)と表すと-√(2/3)≦t≦√(2/3)となります

>>640
a1=1, a2=4, a3=9よりan=n^2と予想して証明
（実際n^2の和n(n+1)(2n+1)/6, n^4の和n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30より成立
またanがnのk次式ならSnはk+1次Tnは2k+1次なのでk=2と推測できる）
5(n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)/30+an^2)=(3n^2+3n-1)(n(n-1)(2n-1)/6+an)
5an^2-(3n^2+3n-1)an+5n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)/30-(3n^2+3n-1)n(n-1)(2n-1)/6=0
5an^2-(3n^2+3n-1)an-n^2(n-1)(2n-1)=0
(5an+(n-1)(2n-1))(an-n^2)=0
an=n^2 (>0)

わかりづらい

(1+x+y+z)^n (n≧2)を展開して同類項を整理したときの
項数をnを用いて表せ


という問題なんですけどこれは
H[4.n]=(4+n-1)!/{4!(n-1)!}
で大丈夫でしょうか?
1が出てくるのでなんか、これでは危ない気がするのですが・・・・

異なってればだいじょうぶ

>>646
ありがとうございます。

>>645
大丈夫だけど
H[4.n]
=C[4+n-1.n]
=(n+3)!/n!3!
だよ

多項定理を用いて
A(1^p)(x^q)(y^r)(z^s)
(A=(n!/p!q!r!s!))
と一般項を出して
0≦p,q,r,s≦nかつp+q+r+s=n
を満たすp,q,r,sの組の総数を求めるとCで解ける

>>539
ありがとうございます、てかあってるんですかでも？
tの方程式だけで解いていて、sの方程式でも判別式
いるんじゃないんですか？あと別解ありますか？

xy平面上に点A(1,3)を通る2つの放物線
C1:y=-x^2+4 , C2:y=ax^2+bx+c(a>0)
がある。AにおけるC1の接線をlとする。ただし、a,b,cは定数である。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)AにおけるC2の接線がlに一致するとき、
(i)bとcをそれぞれaを用いて表せ。
(ii)Aを通りlに直交する直線をmとする。C1とlとy軸で囲まれる図形の面積をS1、C2とmで囲まれる図形の面積をS2とするとき、S2=5S1となるようなaの値を求めよ。

(1)y=-2x+5
(2)(i)b=-2a-2 , c=a+5
になったのですが、どうしても(2)(ii)が解けません。
方針は立てられるのですが答えまでたどり着けません。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

>>650
y=-x^2+4
y'=-2x=-2
y=-2(x-1)+3=-2x+5

y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b=2a+b=-2
b=-2a-2
3=a+b+c
c=3-a-b=a+5

S1=∫[0, 1]((-2x+5)-(-x^2+4))dx=[(1/3)x^3-x^2+x][0, 1]=1/3
y=(1/2)(x-1)+3=(1/2)x+5/2
(ax^2-2(a+1)x+a+5)=(1/2)x+5/2
(x-1)(ax-a+5/2)=0
x=1-5/(2a), 1
S2=-∫[1-5/(2a), 1](x-1)(ax-a+5/2)dx=a(5/(2a))^3/6=125/(48a^2)=5/3
a^2=25/16
a=5/4

>>651
ありがとうございます。
助かりました。

さっき聞いたばかりで申し訳ないのですがもう1問お願いします。

三角形OABCがあり、OA=OC=3 , OB=2 , 角AOB=角COA=90° , 角BOC=60°である。Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。
(1)内積OA↑・OB↑ , OB↑・OC↑ , OC↑・OA↑の値をそれぞれ求めよ。
(2)OH↑=OA↑+xAB↑+yAC↑を満たす実数x,yの値を求めよ。
(3)三角形ABCの周および内部をTとする。Oを中心とする半径rの球面がTと共有点をもつようなrの値の範囲を求めよ。

(1)OA↑・OB↑=0 , OB↑・OC↑=3 , OC↑・OA↑=0
(2)x=9/4 , y=1
になったのですが自信がありません。
(3)は答えまでたどり着くことができません。
よろしくお願いします。

>>651
>(x-1)(ax-a+5/2)=0
(x-1)(ax-a-5/2)=0
以下省略

>>653
1)OB↑・OC↑≠3
2)x = y
3)触れるときH、最大AorB,C

>>655
machigaeta;;

>>654
ありがとうございます。

>>655
ありがとうございます。
自分でもやってみていますがどうなるのかわかりません。
よろしければ途中式もお願いできませんか？

>>653
a・a=c・c=9
b・b=4
a・b=c・a=0
b・c=2・3・cos60°=3

h=a+x(b-a)+y(c-a)=(1-x-y)a+xb+yc
h・(b-a)=(4x+3y)-9(1-x-y)=13x+12y-9=0
h・(c-a)=(3x+9y)-9(1-x-y)=12x+18y-9=0
x=3/5, y=1/10

h=(3a+6b+c)/10
h・h=(3a+6b+c)・(3a+6b+c)/100=(81+144+9+36)/100=270/100
|h|=(3/10)√30≦r≦3

>>658
ありがとうございます。
何度もごめんなさい。
>>650のS2を求める途中式もお願いできないでしょうか？

age

>>659
1/6公式を使いました
通常の計算でも可能でしょう

>>661
ありがとうございます。
もう1回自分でやってみます。

>>661
解決しました。
何度もありがとうございました。

f(x)=(x^2+a)ℯ^x-2a(aは1より大きい実数）とする。
（１）f´(x)を求めよ。
（２）xの方程式f(x)=0はただ一つの実数解をもち、それは0<x<log2の範囲にあることを示せ
（３）（２）の実数解をtとする。
（i)lim(a→∞)tを求めよ。
（ii)　(i)の極限値をpとすると、lim[a→∞](t-p)aを求めよ。
（２）まではできて、（３）の(i)は答えはlog2だろうって見当はつくんですが
どうやってとけばいいのかわかりません。よろしくお願いします。

sinθ-cosθ=sinθcosθ
の方程式を満たすθの値って求められますか？
少なくとも綺麗な値にはならないと思うのですが・・・

>>665
sinθ-cosθ=tとおくのが定石
計算はしてないから値がどうなるかは知らん

>>664
f(x)=(x^2+a)

>>665
綺麗な値というのがπの有理数倍ということを意味するのなら
綺麗なな値にはならない
証明は大学レベルになるので、気になるなら数学板へ

>>665の定石で、t=√2sin(θ-π/4)であることを考えれば
およその値は求まる（三角関数の逆関数を使って書ける）

>>667
すみません…馬鹿なのでよく理解できません

2次方程式で
3（x^2 −8）＝（ｘ−8）（ｘ＋2）
という問題をといたら、解がｘ＝4，−1
になったんですけど、回答にはｘ＝1，−4と書いてありました。
この場合、ｘ＝4，−1でも正解ですか？

>>664
f(x)=(x^2+a)e^x-2a
f'(x)=(x^2+2x+a)e^x

f'(x)=((x+1)^2+(a-1))e^x>0
f(0)=a-2a=-a<0
f(log2)=2((log2)^2+a)-2a=2(log2)^2>0

a>2 ⇒ f''(x)=(x^2+4x+a+2)e^x=((x+2)^2+(a-2))e^x>0
0<x<log2 ⇒ f(x)<(a+(2(log2)^2)/log2)x-a
f(alog2/(a+2(log2)^2))<((a+2(log2)^2)/log2)alog2/(a+2(log2)^2)-a=0
alog2/(a+2(log2)^2)=log2/(1+2(log2)^2/a)<t<log2
t→log2

u=t-p
f(t)=f(u+p)=((u+p)^2+a)e^(u+p)-2a=2((u+p)^2+a)e^u-2a=0
a(e^u-1)=-(u+p)^2e^u
au((e^u-e^0)/(u-0))=-(u+p)^2e^u
au=-(u+p)^2e^u/((e^u-e^0)/(u-0))→-(log2)^2

>>669
>>664のeは特殊な文字のようです

>>665
(sinθ-cosθ)^2=(sinθcosθ)^2
1-2sinθcosθ=(sinθcosθ)^2
sinθcosθ=-1+√2
sin2θ=2/(1+√2)
これ以降は簡単に出来ません

>>670
3(x^2-8)=(x-8)(x+2)
3x^2-24=x^2-6x-16
x^2+6x-8=0
x^2+6x=8
x^2+6x+9=17
(x+3)^2=17
x=+-√17

になった
どこで計算ミスしてんだ俺

>>673
不用意に2乗すると余分な解が入ってくる可能性があることに注意
>>674
>x^2+6x-8=0
2x^2

あ、ほんとだ
3行目移行ミスか。

2x^2+6x-8=0
x^2+3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
x=1,-4

>>674
3（x^2 −8）＝（ｘ−8）（ｘ＋2）
式をax^2+bx+c＝0の形に変形して左辺を因数分解。
3x^2-24=x^2-6x-16
2x^2+6x-8=0
x^2+3x-4=0
（x+4）（x-1）＝0
ｘ=4、-1
と解きましたが、回答はｘ＝1、-4でした。
どちらの解も正解ですか？

>>677
俺解いたら>>676になって
x=1,-4になったけど。

とりあえずどちらの解も正解ってことはないです。
あったとしても解答に別解として書かれます

あ、ちなみに説明すると、
>>676の
（x+4）（x-1）＝0
あるでしょ?
これで君の言ってる通りx=4,-1だとすると、
4を代入すると
(4+4)(4-1)=0
8x3=0　で24=0だから違う。
-1を代入すると
(4-1)(-1-1)=0
3x(-2)=0 で-6=0だから違う。

-4,1だとすると
-4を代入すると
(4-4)(-4-1)=0
0x-5=0　成り立つ。
1を代入すると
(4+1)(1-1)=0
5x0=0　成り立つ

>>678
見直してみます。ありがとうございました。

>>679
ありがとうございます。
解が逆でx=-4、1は正解ですか？

解が逆・・？
-4,1は解答にも書いてあるみたいだし正解でしょ？
4,-1は×だけど

>>682少し質問変えます
ｘ＝1，−4とx=-4、1は同じですか？

それは同じだよ。
ただ順番が逆なだけだから。
符号が違ってるとだめだけど.

>>684
ありがとうございます！

>>664 0<x<log2 ⇒ f(x)<(a+(2(log2)^2)/log2)x-a
がわからないのですが・・・

すみません。理解しました。

何人かの方に答えていただいたのに
返事が遅れてすみません
おかげで解決しました
ありがとうございました

すべての自然数kについて
{3・5・7・・・・(2k+1)}/{1・2・3・・・・k}　<(2^k)√(2k+1)
か成立することを示せ

この問題教えてください
当然帰納法で考えるのだと思うのですが
k=kで成立を仮定してk=k+1のとき

[{3・5・7・・・・(2k+1)}/{1・2・3・・・・k}](2k+3)/(k+1)
<{(2^k)√(2k+1)} (2k+3)/(k+1)
まではいいとして
これが、(2^(k+1))√(2k+3)より大きいことがうまくいえません・・・・

お願いします。

引くとか割るとかしてみた？

とりあえず割る方向?　に近いことを考えてはみました

2^(k+1)√(2k+3)よりは{(2^k)√(2k+1)} (2k+3)/(k+1)が小さい
ということをいえればいいので
2*2^k√(2l+3)
=(2^k)√(2k+1)×2√(2k+3/kn+1)
つまり
2√(2k+3/2k+1) > (2k+3)/(k+1)　・・・(*)

というあたりでちょっとこれは・・・とおもってやめました。

2√(2k+3/2k+1) > (2k+3)/(k+1)　・・・(*)
を言えばよい、ってところまできたのね？
両辺に√(2k+3)が共通してるように見えないかな？

まぁ{√(2k+3)}^2=2k+3ですけど
それを利用して先に進む方法はまったく見えないです・・・

割っちゃったほうがわかりやすいかもね
2^(k+1)√(2k+3)/{{(2^k)√(2k+1)}(2k+3)/(k+1)}
=2(k+1)/√{(2k+3)(2k+1)}
見えてこない？

ぱっとはみえないです・・・残念ながら・・・

ただ
(2k+3)(2k+1)<(2k+2)^2なので
なんかこれで出来ないかっていう気にはなりますが・・・
少し手動かしてみます

>>689
3・5…(2k-1)(2k+1)
=(√3√3)(√5√5)…(√(2k-1)√(2k-1))(√(2k+1)√(2k+1)
=√3(√3√5)(√5√7)…(√(2k-1)√(2k+1))√(2k+1)
=√3√(16-1)√(36-1)…√(4k^2-1)√(2k+1)
<2・4・6…(2k)√(2k+1)=(2^k)k!√(2k+1)
3・5…(2k-1)(2k+1)/k!<(2^k)√(2k+1)

>>694
無事(2k+3)(2k+1)<(2k+2)^2の評価で解けました。ありがとうございます

>>696
すごい鮮やかですね・・・
こういうのをおもいつくにはどういう発想をされたのでしょうか?

質問お願いします。順列・組み合わせ分野です。
標問５４（２）

『男子５人女子４人でA、B、Cの３つの部屋に泊まるとき、
各部屋に少なくとも女子が１人いるのは何通りか？』

という問題で、3*C[4.2]*2*5*C[4.2]=1080（通り）が解答となっています。
このうち、Aに入る２人の女子とBに入る１人の女子が　C[4.2]*2
Aに入る１人の男子とBに入る２人の男子が　5*C[4.2]
最初の数３は『２人の女子がB、Cに入る場合も同じである』ために掛けられたものです。
ここが分かりません。
「女子２人男子１人」組と、２つの「女子１人男子２人」組が部屋ABCに割り振るのは「3!通り」ですよね？
なぜ「３」ではなく「3!」を掛けるのですか？

あと、これは『少なくとも』問題なので、余事象を用いた解き方があると思いますが、もしあるなら解き方を教えて下さい。
自分なりにやりましたがうまくいきませんでした。

お願いします。

>>698 解説は無視して積の意味を説明。書いてないが
各部屋3人ずつであることは規定されてるんだね?

女子：4人を3部屋で割り当て0不可だから、2人部屋1つ、1人部屋2つ。
ABCどの部屋が2人部屋で、そこに入るのが誰と誰かを決めれば決まる。
だから 2人部屋の選び方が3通り(C[3,1])、
そこに入る人の選び方がC[4,2]通り、
残り2人がどっちの部屋に入るかが2通り。これが3*C[4,2]*2

男子：女子2人部屋に入る運のいい? 奴一人をまず選び、
残り4人を2人ずつ割り振る。後者で、二つの部屋は区別される。
運のいい奴の選び方が5通り(C[5,1])
残りのうち部屋番号が若い方に入る2人の選び方がC[4,2]通り
ここまで決めれば残りは確定。この部分が 5*C[4,2]
あとはこれらの積。

>「女子２人男子１人」組と、２つの「女子１人男子２人」組が部屋ABCに割り振るのは「3!通り」ですよね？
その先どう組み立てたいのか方針が見えないが、
性別ごとの頭数だけで考えてるなら、パターンx(女2男1)が1組、
パターンy(女1男2)が2組で、これをABCに割り当てるのは
ABCどれにxを割り振るかだけで確定するから3通り。3!じゃない。

>>698
この問題を余事象でやると、女の子の割り振りが
「3人-1人-0人」または「2人-2人-0人」になって却って場合分けが増える。
あえてやるなら

・3-1-0パターン
女の子3人が入る部屋の選びかたが3通り、そこに入るメンツを選ぶのがC[4,3]=4通り、
女の子1人が入る部屋の選び方が2通り、そこに入る男の選び方がC[5,2]=10通りで
3*4*2*10=240

・2-2-0パターン
女の子が入らない部屋の選び方が3通り、そこに入る男の選び方がC[5,3]=10通り、
残り2部屋への女の子の割り振り方が（部屋番が若い方の2人を決めれば確定するから)
C[4,2]=6通り、男の割り振り方が同様に2通りで
3*10*6*2=360

とにかく3人ずつ割り振るのは部屋番が若い方から3人ずつ選んで2部屋決まればあとは残りで、
C[9,3]*C[6,3]=8*7*6*5=1680通り、これから上二つの余事象パターンの合計を引いて
1680-(240+360)=1080通り

>>698
連投申し訳ない。 女0の部屋ができるためには男3人部屋が必要で、これは
作れるとしても一つ。こっちから攻めると余事象の数はもっとかんたんに
求められることに気づいた。

3人部屋になる部屋の選び方が3通り、そこに入る男の選び方がC[5.3]=10通り、
残り2部屋のうち一方に入る人数を残りの6人から3人選ぶ選び方がC[6,3]=20通りで
最後の部屋は残りの人が入るからこれで確定。
3*10*20=600　で>>700と同じ結果になる。

初歩的すぎますが質問をさせてください
1+x=3→x=3-1
を「移項」と呼ぶのは分かるのですが、
2×x=4→x=4÷2
とするのは「移項」と呼ばないのですか？
ぐぐったところ、「一方の項を符号を変えて他方の項に移すこと」とあるのですが、
×と÷は異符号とは言わないのですか？　言わない気もしますが、確信が持てずに困っています
良かったらご教示ください

「項」っていう言葉の定義をちゃんと調べましょう
かけるや割るは移項とはいいません

>>699-701
ご丁寧にありがとうございます！
自分がどこで考え違いをしているのかがよくわかりました。
ありがとうございました。
あと、質問の仕方に不手際があったようで（おっしゃる通り各部屋３人づつです。）、、気をつけます。

>>702
わからないことがあればワシに聞くが良い。
聞きたいことを申してみよ。

ナスダック、東京株式市場の円相場などが専門じゃな。

>>703
なるほど、2xの2は項ではなく係数ですものね
納得です　ありがとうございました

1／ｃｏｓθ＋1＝1／2ってなんですか？
教えてください

たぶん方程式だと思われます

>>705
先日の雇用統計の発表でアメリカの失業率が大幅に増加したのに円高ドル安にならないのはどうしてなんですか？

yahoo知恵袋にて。
sinaθ=cosbθ　を満たすθをすべて求めなさい。

という問題です。
どうやら出題者自身が作った問題らしいんです。

出題者曰く、

「1)ａ＝ｂのとき
θは全ての実数

2)ａ≠ｂのとき
θ＝(π／2±2ｎπ)／ａ±ｂ
(ｎ＝1，2…)
(符号任意)

これは加法定理で解きます。
一般化を考えたときに９０度などの変換公式を考えていると、
本質が見えないと思います。」

らしいんですが、どうなんですか？
1)がどうも腑に落ちないのですが・・・。

実際a=bとしてθに数字代入すりゃいいじゃん
a=b=1として、θ=30°とすれば
sin30°≠cos30°
よってa=bのとき全てのθで成り立ってない

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1029869785
出題者もベストアンサーも間違えています

知恵袋ｸｵﾘﾃｨ

> 東北大の理系で３、４分で答えを出した人
この人のを見てみたいな

>>710
sinaθ=cosbθ…(*)
�T)a=bのとき(*)は
√2sin(aθ-π/4)=0
であるから
aθ-π/4=nπ (n∈Ｚ)
θ=(nπ+π/4)/a (n∈Ｚ)…(答)

�U)a≠bのとき(*)は
sinaθ=sin(bθ+π/2)
⇔2cos{(aθ+bθ+π/2)/2}sin{(aθ-bθ-π/2)/2}=0
であるから
aθ+bθ+π/2=mπ+π/2 (m∈Ｚ)または
aθ-bθ-π/2=lπ (l∈Ｚ)のとき成り立つ
よって
θ=mπ/(a+b),π(l+1/2)/(a-b) (m,l∈Ｚ)…(答)

>>715
訂正
…
(aθ+bθ+π/2)/2=mπ+π/2 (m∈Ｚ)または
(aθ-bθ-π/2)/2=lπ (l∈Ｚ)のとき成り立つ
よって
θ=(2mπ+π/2)/(a+b),π(2l+1/2)/(a-b) (m,l∈Ｚ)…(答)

cos(π/2-aθ)=cosbθ

π/2-aθ=bθ+2nπ
又はπ/2-aθ+bθ=2nπ(n∈Z)

>>707これは何なのか…
方程式？

極限ででてくるんだけどθ^2分のとかで

教えてください

>>718
>>707は方程式でcosθ=1…(答)
だけど
式変形の途中で不明なことがあるなら前後の式を書かないとわからないよ

>>707
cosθ=-2となるθ∈Rは存在しない
不能
方程式の解答としてcosθ=1というのは不適
cosという変換によるθの写像をcosθと書く
θ=2mπ(m∈z)

(1)O(0,0),A(1.0),B(0.1)からの距離の和 OP+AP+BPを
最小とする点Pを求めよ

(2)C(2.1).D(s.s) E(t.0)ととるとき
CD+DE+ECを最小とするs.tを求めよ

という折れ線の最大最小問題なんですけど
解説が(1)は図形問題の3変数関数の問題。
3変数関数と図形が絡む問題ではAP+BPという
「和を固定」する手段を覚えておきたい。とあります。
そして(2)は図形問題の2変数関数の問題。
このとき「一方を固定」して考え見るのが定石なのでCを固定してみよう

と解説しています。
(1)が3変数関数の問題で(2)が2変数関数の問題
という話がよくわからないのですが、(1)も2変数関数の問題ではないのですか?
P(x.y)とおけばOP+AP+BPはx.yの式になりますし・・・

あともう1つ
(1)でAP+BPを固定しすると点PはA.Bを焦点とする楕円上を動くので
その楕円と線分OC(CはABの中点)と共有点を持つときを考えればよい

ということでP(t.t) (0≦t≦1/2)とおき関数に持ち込んでPの値を出しているのですが

(2)も同じようにAC+CBの値等を固定して考えることは出来ますか?
楕円の定義が2定点からの距離の和が等距離にあるような点の軌跡ですから
AC+CBの値を固定したとしてもC.B自体が動くので楕円を利用する
というアイデアはつかえそうもないのですが、AC+CBという和の値を固定する
というアイデアはつかえないのだろうか・・・? と考えています

答えは
(1)P((3-√3)/6, 3-√3)/6)
(2)s=5/4, t=5/3
です。よろしくお願いします

(1/2)^2(-4)(-3/8)=7/4って参考書に書いてあるのですが答えは3/8ですよね？

>>721
(1)はOP=a. AP=b, BP=cとして
a.b.cの3変数関数f(a.b.c)と見てる。ただし君の言うように実質的には
Pを(x.y)とすればx.yの2変数関数で書けるので
f(a.b.c)は独立ではなく、なんらかの条件で拘束された3変数関数。
(x+y+z=3のとき、f(x.y.z)=3x^2+4y^2-z　みたいなイメージ)

(2)は逆に最初から独立2変数関数としてみてる。
勿論CD=d,DE=e,EC=fとしてd.e.fの
なんらかの条件で拘束された3変数関数としてみることも出来る。

(2)を(1)のように解く方法はちょっと考えてみるけど
あまり期待しないでほしいかも。

>>723
{(1/2)^2}×(-4)×(-3/8)
という意味なら3/8だね。

参考書について質問です。
基本事項の定義、公式の導出・証明
の練習のできる参考書知ってる人いませんか?
自分でも探しているのですがやはり教科書を読むしかないのでしょうか?

>>721
Pは△OABの内部としてよい（要証明）
A, Bを焦点とする楕円の短軸はOからABに下ろした垂線上にあるから
Pはこの直線上の点としてよい
r=OPと置くとAP=BP=√((r/√2)^2+(1-r/√2)^2)=√(r^2-√2r+1)
OP+AP+BP=r+2√(r^2-√2r+1)=t>0と置く
2√(r^2-√2r+1)=t-r
4(r^2-√2r+1)=r^2-2tr+t^2
3r^2+2(t-2√2)r+(4-t^2)=0
これに実数解がある条件は
D/4=(t-2√2)^2-3(4-t^2)≧0
4(t^2-√2t-1)≧0
t≧(√2+√6)/2
t=(√2+√6)/2と置くと
r=(3√2-√6)/6は
0<r<√2/2なので条件を満たしている

>>721
s, t>0としてよい（要証明）
Cの直線ODに関する対称点はC'(1, 2)
x軸に関する対称点はC''(2, -1)
CD+DE=C'D+DEより条件を満たすDは直線C'E上の点
DE+EC=DE+EC''より条件を満たすEは直線EC''上の点
よってC', D, E, C''は一直線上に並ぶので
D(5/4, 5/4), E(5/3, 0)

>>728
>直線EC''上の点
直線DC''上の点

証明が要るならしちゃダメじゃね

>>728
>s, t>0としてよい（要証明）
条件不要

それ以前に

>(2)も同じようにAC+CBの値等を固定して考えることは出来ますか?

と>>721あるから質問に対する解答の内容がずれてると思う。

>>710
そいつmixiにも書いてたな。
「2chでも知恵袋でも誰も解けませんでした」
なんてぬかしてたがそこそこできる人はこんな何の捻りもないつまらん問題放置してるだけってことに気付けｗ
どうせ馬鹿が自分で作問したのを見せびらかしたいだけなんだろうと思っていたが
>>710見たら思ったとおりの馬鹿だったなｗ

>>722
「AC+CBという和の値を固定する」ことと「A、Bを焦点とする楕円を考える」
ことは同じこと。自分で
＞楕円を利用する というアイデアはつかえそうもないのですが
と感じてるわけで、この問題ではその直感が正しいのでは？
使うとしても(1)ほど有効に機能しない。

(1)の場合、「平面上の1点Pを決めるのに」2つの変数が必要だ
ということはわかってると思う。ただ、P(x,y)と考えても
面倒なので長さOP、AP、BPを変数として使ってみようと。
と言っても実際には2つで良い訳で、問題に即して
OPとAP+BPの２つを考えたというわけ。
そうすると一方の変数AP+BPを固定するのは自然で、
これは「PがA,Bを焦点とする楕円上を動く」と考えることと同じ。

(2)の場合、ポイントはD(s,s), E(t,0)がそれぞれ
一定の直線上に乗ってることに気付くこと。
気付けば有名題だし>>728のようにできる。
こちらは「直線上に束縛された2点」を決める問題だから、
(1)とは違う問題だという感覚が大切。

もちろんいろいろな解法を考えることも大切だけどね

>>721
フェルマー点

>>734もちょっとズレてるか・・・
OPとAP+BPとすれば(1)が簡単になるなら
DEとCD+CEとすると(2)も簡単になりそうだもんな。
大きな違いは
AP＋BPを固定すればPが簡単な図形（楕円）上にあることになる。
CD+CEを固定してもCはもともと定点でDとEには得体の知れない
束縛条件が付くだけだからあまり解決にならない
という感じかな

教えてください

等式sinA=sinBcosCが成り立っている時、�僊BCはどのような三角形か？
ただし∠ABC　∠BCA　∠CABのおおきさをそれぞれB.C.Aであらわす。


【解答】BC=a CA=b AB=c　�僊BCの外接円の半径をRとする
　　　　正弦定理によりsinA=a/2R sinB=b/2R
余弦定理によりcosC=a^2+b^2-c^2/2ab

　　　これらを代入して a/2R=b/2R・a^2+b^2-c^2/2ab

ここまでは自分の力で解けたのですが、

上の式を計算して、
2a^2=a^2+b^2-c^2
になるのかがわからないんです。
2Rはどこにいってしまったのでしょうか・・・？

>>737
数学板とマルチのうえ内容が釣り

いやまじでほんとにわかんない

マルチしたので500字以上の反省文レス書かなきゃ誰も答えてくれないよ

つかさちゃんの萌える画像でもおｋ

>>735
その辺のことが書いてある手ごろな参考書をご教示下さい
(手元には洋モノしかない)

>>742
ググレカス

俺自身は困ってねーよｗ

>>724
なるほど・・変数の取り方と見方が違ったのですね。
(1)は実質2変数関数だけど、OP.AP.BPの3変数関数とみる
(2)はそのまま2変数関数として扱ってると。
勉強になりました

>>722-723
申し訳ありません・・・ちゃんと書いておくべきでした
解答と解説は手元とにあるんです。
お手を煩わせてしまって重ね重ね申し訳ありません

>>734-735
>「AC+CBという和の値を固定する」ことと「A、Bを焦点とする楕円を考える」ことは同じこと

ということはこの時の和を固定するという発想はあくまで
2定点が与えられていないと使えない固定の仕方なんですね。
数学全体としてみたときに意外と使い道に乏しい考え方なんでしょうか?

>P(x,y)と考えても面倒なので長さOP、AP、BPを変数として使ってみようと。
>と言っても実際には2つで良い訳で、問題に即して
>OPとAP+BPの２つを考えたというわけ。

なるほど。非常に解りやすい上にうなずけます。
(2)の場合も照らし合わせてまとめてみると本質が2変数関数だから
(2)はCorBを固定すればそれで捉えられるのでOK
(1)はPのx座標ory座標を固定しても考えにくいので
別のOPとAP+BPという変数を取って考えたという感じですか。
納得できました。ありがとうございます。

>>735
ぐぐってみます。

∫e^(√x)dxを√x＝tとおく置換積分ではなく部分積分するとどうなるでしょうか？教えて下さい。
積分区画は1≦x≦2です。

>>746
どうにもならないと思うけど。
聞く前にやってみれば？

ｎを自然数として、１〜ｎまでの自然数のなかで素数であるものの個数をｎを用いて表せ。

誰か解いて

素数定理でググレカス

>>748
無理。
nが大きい場合についての近似は素数定理でググれ

今日は釣り人が多いでつね

>>750
何で無理なのか証明出来ますか？

>>752
俺には無理ってだけ。
ちなみに>>748の書き方ではきちんと問題が定式化されていないので答えようがないんだがね。

>>753
そうか、残念。
誰か解いて、すごい人。

>>754
まず定式化しないと解きようがないって。

>>755
は？意味不。解けない人に用はないです。

>>756
じゃあ全人類に用はないってことで。
「nを用いて表せ」が不明確。

>>757
だから何言ってんの？頭固いの？

>>758
これで意味が通じない方が頭固いと思うけど

>>759
はいはい。まぁとにかく解けないなら、黙っててね。

>>760
じゃあ敢えて解答するが、
n以下の素数をπ(n)とすると、
答はπ(n)
はい、nで表しました。
この解答を認めたくないのであれば正確に問題を記述してください。

訂正
↓
n以下の素数の数をπ(n)とすると、

出題者自身がよくわかってないんじゃしょうがないなぁ…

>>761
バカなの？

>>764
いや>>761はかなり分かりやすいレスのつもりだったが。
そんなレスしか返せないのかよ・・・

だからそのπ(ｎ)をｎを用いて表せってことだよ？分からないの？

>>766
じゃあn未満の素数の数をp(n)とする。
π(n) = p(n)+1 (if nが素数)
π(n) = p(n) (otherwize)

表しました。

>>767
もう無視していいかい？

>>768
>>767が解答として認められないのならその理由を述べてください。
π(n)をπ(n)以外で表しました。>>766の条件通りです。

定式化されなければ命題にも問題にもなりえません。数学とはそういうものです。
まだ言っている意味が分からないですか？

>>748
誰か解いて、凄い人

まず>>749-750を無視する時点で釣りだったな。もういいわ。

>>770
いずれにせよ高校レベルじゃないぞ
数学板でやれ

>>772
基地外を数学板に誘導しないでください＾＾

このスレも要らんかもな
日によってはめちゃくちゃな回答が放置されてるし
アッチなら突っ込みが入るだろうが

あっちの高校生スレも酷いもんだよ

こんな掲示板ででオイラーもリーマンもできなかった世紀の発見がされるのか

板のクオリティが落ちてるのかな？過疎とか？
最近は見に行ってないんだけど

オイラーやリーマンが挑戦したのか？

>>777
現在の回答者の多くが過去の質問者で成り立っているからかなり酷いスレになってるよ。
板全体としては知らん。

三角関数、指数関数のマクローリン展開が絶対収束することの証明って難しいですか？

ここはいつから高校数学以外で回答者を釣るスレになったんだい？

>>779
なるほどな、それも自然なことかもしれない
ちなみに数年前Mathnoriで明治を名乗ってたのは俺だ、本当は灯台なｗ

>>782
すまん、分からんｗ
何年か前に「高校生」というコテ（トリップは「大学生」だったがｗ）がいて
難問易問問わず連夜高速で回答していたのはよく覚えている。トリばれ＆叩かれまくって消えたが。
スレ違いそろそろ自重する。

そだな、すれ汚し失礼した

過去の栄光に縋ることほどみっともないことはない

なんだ過去の栄光って？

条件「1≦a≦100,1≦b≦100, a+bが2の倍数, 2a+3bが5の倍数」
を満たす整数の組(a.b)の個数を求めよ.

という問題なんですがどうしたらいいでしょうか?
とりあえずa+b=2k (k=1.2.3..100), 2a+3b=5L (L=1.2.3...100)と書けて
a+b=2.a+b=4,a+b=6・・・
2a+3b=5, 2a+3b=10, 2a+3b=15・・・・
とab平面に図示するとちょうど交点がb=a上に並ぶので
1≦a≦100,1≦b≦100の範囲においてb=a上の格子点の数を考えて
100個としたのですが、これは違うようなのです。

よろしくお願いします。

図は大事だけどこの場合もう少し式で攻めるめるべきかな
たとえば(a,b)=(1,11)とかあるでしょう？
a=bとは限らない

>>787
aを固定したとき「a+bが2の倍数」を満たすbはaと偶希が一致するもの。
一方「2a+3bが5の倍数」を満たすbは3と5が互いに素だから4つ飛びに20個。
この20個のうちaと偶希が一致するものは半数の10個。
以下略

確かに(1.11)は満たしますね・・・
そういう見落としが沢山出ちゃっているわけですね。。

式で攻めるとなると不定方程式?　みたいなものを
考えていくことになるんでしょうか・・・
もう少し考えて見ます。

>>789
>「2a+3bが5の倍数」を満たすbは3と5が互いに素だから4つ飛びに20個

ここの部分なんですけどちょっとピンときません。
どう考えたらいいでしょうか?
3b+2の倍数=5の倍数
∴3bは5の倍数-2の倍数
∴3bは5でわって3余る数or5でわって1余る数

5でわって1余る数:1.6.11.16.21....
5でわって3余る数:3.8.13.18.23....

これらを3でわって整数部分だけを取り出すと
2.7.....
1.6.....

となりましたが・・・・

>>791
aは固定。
2a+3bが5の倍数となるbを1,2,3,4,5のうちから1つ選んでそれをBとする。
2a+3b は5の倍数 ⇔ (2a+3b)-(2a+3B)=3(b-B) は5の倍数
⇔ b = B + 5k (k=0,1,2,・・・)

>>792
例えばa=3と固定すると2a=6で
6+3bが5の倍数となるbを1〜5の中から選ぶとBは3以外ないですけど
aを固定するとBが1〜5の中で必ず1つに決まるというのは
どんな場合でもいえる必然的な話なんでしょうか?

>>793
3と5が互いに素だから1つに決まる。
ここでは少なくとも1つあることが言えれば話は進むけど。

>>794
>3と5が互いに素だから1つに決まる。

この部分がちょっと良くわかりません。

3.5が互いに素
⇔5C-3B=1となる整数b.Cが存在
⇔5(2aC)-3(2aB)=2aとなる整数2aC,2aBが存在
というのを使っていったのでしょうか?

まぁ別に1,2,3,4,5から選ばなくてもいいよ。その方が証明は簡単だわ。任意の整数から選ぶってことで。
ということで>>795でおｋ。

任意の整数からBを取ると
Bは当然一意には決まらないので

2a+3b は5の倍数
⇔ (2a+3b)-(2a+3B)=3(b-B) は5の倍数
⇔ 1≦ b = B + 5k ≦100

kがマイナスのときも考えないといけなくなるので
20個あるといいにくくないでしょぅか?

Bが1〜5の範囲に一意に決まるとしたら
1≦b=B+5k(k=0.1.2...)≦100で
B=5→k=0.1.2...19
B=1→k=0.1.2....19
ということで20個あることはわかりますが・・・・

>>797
いやいや、マイナスまで考えても20個ってすぐ分かるでしょ・・・

>>798
すいません・・・直ぐわかりません・・・

Bが100のときはk=0.-1.-2....-19
Bが1のときはk=0.1.2...19
だから、多分20個あるだろうことは想像できますが・・・

>>799

・・・

>>795のレスにはなかなか知性を感じたのだが
B = 5m+c (1≦c≦5) とおいてみたら？

苦労してるな、横レス

2a+3bが5の倍数になるbは5つおき。
b=1,2,3,...,100は全部で100個だが、これが5の倍数だから
1〜5, 6〜10, 11〜15,..., 96〜100
という風に5個ずつに分ければ、2a+3bが5の倍数になるbが各々に1個づつある

1≦b=B+5k≦100
1≦B≦100

だから今度こそ
Bb平面にb=B+5kの直線を図示すると考えれば
整数kの個数はy切片に着目して普通に20個ですね・・・ぼけてました。

するとbが20個あり
そのうち偶奇が一致するのは10個
aを動かすと100個の整数を取るので
100×10個なのですね・・・

このa=a1のときに出てきたb1とa=a2のときにでてきたb2というのは
一致することはないのでしょうか?
一致することがあるとすると引かなければならないですよね?

>>802
おいおいｗ
思わず問題文を読み返してしまったじゃないか。

aを固定したときに
・a+b=2の倍数よりa.bの偶奇が一致
・2a+3b=5の倍数よりbは20個ある
∴aが1つ決まればbが10個対応する

ことまでは言えたのですよね?

ということは・・・a=k上の点の格子点の個数が10個だから
a=k+1上の点も10個、、a=100上の点も10個だから
一致するとかしないとか関係ないですね。

お騒がせしました・・・ようやく納得できました。
さっそく自分の言葉でもう一度解答作ってみることにします！

ありがとうございました

質問です
2＾ｎ-１が３１で割り切れるような整数ｎはどんな値か

31は2進法であらわすと11111　　２＾ｎ−１でｎ＝５のとき2進法で11111となるのはわかります。
ところがなぜ答えが　ｎが5の倍数時であると言えるのかが解りません。
お願いします。