＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part86＊＊＊

｢3枚のコインがあり、はじめはすべて表を向いている。この中から無作為に1枚のコインを選びひっくり返す。
この操作をn回繰り返したとき、すべてのコインが表になっている確率をP_nとする。
P_2nをnの式で表せ。｣
という問題です。漸化式をたてるのだろうとは思うのですがそれができません。
どなたかお教えください。

>>952
p[n], q[n], r[n], s[n]を3, 2, 1, 0枚表を向いている確率とすると
p[1]=r[1]=s[1]=0, q[1]=1
p[n]+q[n]+r[n]+s[n]=1
p[n]=(1/3)q[n-1]
q[n]=p[n-1]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+s[n-1]
s[n]=(1/3)r[n-1]
q[n]=(1/3)q[n-2]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+(1/3)r{n-2]
r[n-1]=(3/2)q[n]-(1/2)q[n-2]
(3/2)q[n+1]-(1/2)q[n-1]=(2/3)q[n-1]+(1/3)((3/2)q[n-1]-(1/2)q[n-3])
(3/2)q[n+1]-(5/3)q[n-1]+(1/6)q[n-3]=0
q[n+1]-(10/9)q[n-1]+(1/9)q[n-3]=0
t^2-(10/9)t+(1/9)=0
t=1,1/9
q[n+1]-q[n-1]=(1/9)(q[n-1]-q[n-3])
q[n+1]-(1/9)q[n-1]=q[n-1]-(1/9)q[n-3]
q[2n-1]-q[2n-3]=(1/9)(q[2n-3]-q[2n-5])=(1/9)^(n-2)(q[3]-q[1])=(-2)(1/9)^(n-1)
q[2n-1]-(1/9)q[2n-3]=q[2n-3]-(1/9)q[2n-5]=q[3]-(1/9)q[1]=(2/3)
8q[2n-1]=6+2(1/9)^(n-1)
q[2n-1]=3/4+(1/4)(1/9)^(n-1) （n=1を含む）
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))

>>952
P_2nは偶偶偶の確率
１−P_2nは偶奇奇の確率
（コインが奇奇奇、偶偶偶は無いでしょ？）

さて、漸化式
1/3　P_（2n-2）＋2/9（１−P_2n-2）＝P_2n

解く

1回ごとに表の枚数は±1となるので
初めに奇数枚表であるから
2n回目にも表は奇数枚（(2n-1)回目には偶数枚）
p[2n]=(1/3)p[2n-2]+(1/3)(2/3)(1-p[2n-2])=(1/9)p[2n-2]+2/9
p[2n]-1/4=(1/9)(p[2n-2]-1/4)=(1/9)^n(p[0]-1/4)=(3/4)(1/9)n=(1/4)(1/3)^(2n-1)
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))

>>953
よくもまぁそんな長いこと…
答えは合ってるから、ある意味（計算力が）凄いな

参考書に書いてある解法のことで質問があります

今年の赤チャートの63ページで紹介されている二つの二次方程式の共通解を
求める問題について、
元式のxをいったんαに置き換えてから計算するのはなぜなのでしょうか？
xのまま計算するとどんな不都合が発生するのでしょうか？

>>957
だから問題を書いて

各式のＸにはどんな値を入れてもＯＫ、もちろん2式の結果は違ってくる
ただし共通解だと同じ結果、あたりまえだけど
何でもありのＸ、共通解のαという区別

と思う。もってないし。
と書くのは、スレルール違反？

>>958
すみません いま問題を書きます

問題は↓です
「２つの２次方程式　2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と　ｘ2 + x + k

かさねがさねすみません

問題は↓です
「２つの２次方程式　2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と　ｘ^2 + x + k = 0 が共通の実数解をもつように
定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ」

>>959
つまり変数のｘと定数のαという区別なんですね

共通解を文字で置かないとね。

わかりました　ありがとうございます

一銭にならんくだらんスレやのう。貴様らもよくまともに答えてるな。笑えるぜ。

質問です。
・問題文
t^2-2t+a=0(t≧1/2)…(*)
(*)が実数解を持つとき、aの範囲を求めよ

・質問
問題集ではaを分離して共有点の存在条件から求めていました。
解き方自体は解るんですが、こういった問題ではどうして定石としてaを分離するんでしょうか？
そのまま(*)のグラフを書いてそれがt軸と接する条件からも求めても良いですよね？それだとややこしいからですか？

またこういう問題を見ると私はついつい判別式を立てたくなります。しかし解けませんよね。
これはtに範囲がある場合は判別式を立てても意味がない、ということで良いんですかね？

どちらも細かいことですが、宜しくお願いします。

>>967
グラフ全体を上下させるか、
x軸に平行な直線を上下させるかの違い。
前者だと場合分けによってグラフをたくさん書くことになったりする。
後者ならx軸に平行な直線を何本か引けば良い。

判別式は、実数の範囲内に解があるかどうかを判別するもので、
t≧1/2の範囲に解があるかどうかは判別できない。

>968
早くて簡潔な解説ありがとうございました。ずっと気になっていたので、これでやっとすっきり定数分離出来ます。

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・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
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＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part86＊＊＊
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>>962
2x^2+kx+4=0
x^2+x+k=0
k=-x^2-x
2x^2-x^3-x^2+4=0
x^3-x^2-4=0
(x-2)(x^2+x+2)=0
x=2
k=-6

読解力のない人がいるね

>>959
不都合はない。どちらでもいい。

どなたかよろしくお願いしますm(_ _)m

自然数1、2‥‥nを並べ替えたものをａ1、ａ2、‥‥ａnとする
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥＋n・ａn
が最大となるとき｛ａn｝はどのような数列か

方針すら立たないので、考え方みたいなのも付け加えてくれると嬉しいです。

>>973
(1・a[1]+2・a[2]+…+n・a[n])^2≦(1^2+2^2+…+n^2)(a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2)=(1^2+2^2+…+n^2)^2
a[i]=iのときが最大

>>973
内積と見る

知識自慢したいんなら数学板でやれよ。

指導要領を読めとは言わんが、４次元以上のベクトルの内積を当然のように書き捨てるのはやめろや。

使ったらだめなんだろうか？採点者次第かもしれないけど
高校のベクトルの定義から外れるかどうか教えてくれるとうれしい。
空間座標と考えると投影できるのか？駄目なような気もするけどどうなんだろ？

>>973
数列的に考えるとこんな感じ。

a1=1, a2=2, ,,,,an=n が最大になることは直感的に明らかなんで
(明らかじゃなければn=4程度で実験してみると良い)
帰納法でそれを示すか、背理法を用いるかで解法が分かれる

a(n)≠nかつa(m)=n・・・・(*)
(ただしn>m)と仮定して
ma(m)+na(n)の値を考える。
このときa(m)=n>a(n)よりna(m)+ma(n)＞na(n)+ma(m)
が成立する。よって
『a(m)とa(n)の値を入れ替える』・・・(**)
と1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値は大きくなる。
(*)(**)より
a(m)≠nかつa(n)=nのとき、
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値が大きくなる
同様に議論を繰り返せば、
a(k)=kのとき、1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥k・ak＋・・・・n・ａnの値は最大となる。

(Σa[i]^2)(Σb[i]^2)-(Σa[i]b[i])^2
=(Σa[i]^2)(Σb[j]^2)-(Σa[i]b[i])(Σa[j]b[j])
=Σ(a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i=j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i>j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+0
+Σ[i<j](a[j]^2b[i]^2-a[j]b[j]a[i]b[i])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2+a[j]^2b[i]^2-2a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]b[j]-a[j]b[i])^2≧0
等号成立は
a[i]:a[j]=b[i]:b[j] for all i<j
すなわち
a[1]:a[2]:…:a[n]=b[1]:b[2]:…:b[n]

a.b.c>0の元で
(√a)cos^2θ+(√b)sin^2θ<√cであることは
acos^2θ+bsin^2θ<cであるための
必要条件であることを示せ

この問題の方針だけで結構ですのでお願いします。
<指針>という欄には丁寧に場合わけと書いてありまけど
それだけしか書いてないのでよくわかりません

a.b.c>0だから√{a(cosθ)^2+b(sinθ)^2}<√cが成立するんで
(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2<√{a(cosθ)^2+b(sinθ)^2}・・・(*)
が成立することを示せばいい
その捉え方は色々あると思うけど思いついた限りでは

『方針1』
(√acosθ)cosθ+(√bsinθ)sinθとみてシュワルツの不等式
『方針2』
cos.sinの2乗は0〜1の間しか取らないので
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2を点(a.0).点(b.0)について
(sinθ)^2:(cosθ)^2に内分する分点と解釈して
y=√xの凸性を利用した凸不等式として処理する
『方針3』
相加相乗平均の不等式:2√x√y≦x+yとして利用するため
{(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2}^2を考える
っていうどちらかというとおまけ的な解法
『方針4』
(cosθ)^2=xとしてxの1次関数と見る
xの係数にa.bが出てくるからa.bの大小で排反に分類する
力技的な答案

という感じだと思う。その本の<指針>とやらに書いてある
場合分けっていうのは『方針4』の話だと思う。

>>976
考え方を示せって注文だろ、ヴォケ　

お前頭大丈夫か？ｗ

質問者が理解できない考え方を説明無しに書くな


これなら自分のバカさが理解できるか？ｗｗ

理解できないって、さすがアレを知識自慢とのたまう低脳は言うことが違うな。

お前ずっと居座ってるいつものアホウか？
数学板ではバカにされるだけだから、ここで受験生相手に偉そうにしてたいのは分かるが、
ジャマだからどっか逝って。

もう一度言うぞ。ここは「受験板」の質問スレだ。
まともに高校出てる奴なら、高校生が４次元以上を知らないのは分かるはずだ。


お前ひょっとして、中退？登校拒否？

数学的帰納法って自然数相手にしか使えないの？

>>986 整数全般で言えるが、ちょい方法が違う。
n=kを仮定→n=k±1を示せれば正負どちらもおk

>>987
サンクス

>>985
理解できない考え方かどうかの話を、　
知る知らないの話にすり替えてんじゃねえよ、ヴァカ　

>>973
いうおの出題した問題じゃねぇかｗ
ネタバレすな〜

慶応ボーイのきらです
数学の質問があったら遠慮なく言ってください

x.y.zをxyz=1をみたす正の実数とする。このとき
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
を示せ

不等式難しいです

>>989
理解か知識かってのはどうでも良いが、
このスレで回答するなら、
4以上の次元は高校では扱わないってことだけは覚えといた方が良い

次スレ立てました
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part87＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1237720374/

次スレ

＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part87＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1237720374/

かぶったなｗ

乙

997

998

999

>>992
x=s/t.y=t/u.z=u/sとおくと条件よりs.t.u>0
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
⇔{(s/t)+(u/t)-1}{(t/u)+(s/u)-1}{(u/s)+(t/s)-1}≦1
⇔{(s+u-t)/t}{(t+s-u)/u}{(u+t-s)/s}≦1
⇔(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦stu　・・・・(*)
となる

ここで
(s+u-t)+(t+s-u)=2s>0
(s+u-t)+(u+t-s)=2u>0
(t+s-u)+(u+t-s)=2t>0
なので(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)の中で負であるものは高々1つ

(1)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)の中で負であるものが1つの時
(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦0<stuより(*)は成立する

(2)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)が全部正の時
相加相乗平均の不等式より
√{(s-t+u)(s+t-u)} ≦ s,
同様に考えた式を辺辺乗じて(*)は示される

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