＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part86＊＊＊
1 ：大学への名無しさん：
数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part85＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1230906647/
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part85＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1230906647/
|
|
|
2 ：大学への名無しさん：2009/02/06(金) 23:48:37 ID:OTkD1oanO
どなたかお願いします
∫[0 2]x^2 |x-1|dx=?
この問題の答えは7/2らしいのですがよくわかりません どうやったらこの答えになるのかどなたかお願いします
∫[0 2]x^2 |x-1|dx=?
この問題の答えは7/2らしいのですがよくわかりません どうやったらこの答えになるのかどなたかお願いします
>>2 区間を [0,1]と[1,2] に分割して絶対値をはずす。
4 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 00:06:38 ID:1/mIYjSYO
>>3スミマセン問題を少し間違えました
∫[0 2]x^2 - |x-1|dx
でした
ですが3の方がおっしゃったように x≦1とx≧1で場合分けをした後
∫［0 １] x^2 +ｘ-1 dx+ ∫[1 2] ｘ^2 -ｘ+1 dx
となりますよね?このときって [0 1] の方は0から-1+√5/2までは負になるからまた場合分けをすると聞いたのですが本当でしょうか？
長くなってすみません
∫[0 2]x^2 - |x-1|dx
でした
ですが3の方がおっしゃったように x≦1とx≧1で場合分けをした後
∫［0 １] x^2 +ｘ-1 dx+ ∫[1 2] ｘ^2 -ｘ+1 dx
となりますよね?このときって [0 1] の方は0から-1+√5/2までは負になるからまた場合分けをすると聞いたのですが本当でしょうか？
長くなってすみません
5 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 00:09:04 ID:gogsqwM6O
6 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 00:18:26 ID:1/mIYjSYO
>>4
どなたかお願いします
どなたかお願いします
7 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 02:20:37 ID:3RShj2Tv0
>>979
それぞれの点の位置ベクトルを大文字で記すと
2P-2O=(A-O)+4t(B-O)+(2-10t)(C-O)
i.e. A+4tB+(2-10t)C+(6t-1)O-2P=0
点A, B, C, Oに錘をそれぞれの係数の比で載せて釣り合う。
まず△PAB:△PBC:△PCA=|2-10t| : 1 : |4t|
OPは平面ABCにより2:|6t-1|の比に内分か外分される。
三角形ABCを底辺と見てOABC : PABC=2 : |6t-1|
それぞれの点の位置ベクトルを大文字で記すと
2P-2O=(A-O)+4t(B-O)+(2-10t)(C-O)
i.e. A+4tB+(2-10t)C+(6t-1)O-2P=0
点A, B, C, Oに錘をそれぞれの係数の比で載せて釣り合う。
まず△PAB:△PBC:△PCA=|2-10t| : 1 : |4t|
OPは平面ABCにより2:|6t-1|の比に内分か外分される。
三角形ABCを底辺と見てOABC : PABC=2 : |6t-1|
>>4
君は∫[0, 2](x-1)dxを計算する際にx=1を境に場合分けするのか
君は∫[0, 2](x-1)dxを計算する際にx=1を境に場合分けするのか
10 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 02:48:27 ID:3RShj2Tv0
11 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 02:53:19 ID:3RShj2Tv0
>>8
物理使っちゃ流石にまずいだろｗ
物理使っちゃ流石にまずいだろｗ
12 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 02:55:04 ID:qQWkqjgl0
>>11
やっぱりダメナノカナー。
やっぱりダメナノカナー。
空間での力のモーメントの釣り合いなのかな？
初見だわ。面白い
数学ではチェバ・メネのモーメントしか知らなかった
初見だわ。面白い
数学ではチェバ・メネのモーメントしか知らなかった
995 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2009/02/07(土) 01:37:12 ID:yC3pf9j2O
くじ10本のうち3本が当たりで
３人が順に引くとき
当たる確率は３人とも同じですか？
同じです。これはくじを全て1列に並べ、左端から1人ずつ選んでいくことを考えてもいい。
阿弥陀籤(あみだくじ)というように、神様のように、超越的な何かがその列を作る、と。
当たりクジがどこにあるかは全て同様に確からしい。
くじ10本のうち3本が当たりで
３人が順に引くとき
当たる確率は３人とも同じですか？
同じです。これはくじを全て1列に並べ、左端から1人ずつ選んでいくことを考えてもいい。
阿弥陀籤(あみだくじ)というように、神様のように、超越的な何かがその列を作る、と。
当たりクジがどこにあるかは全て同様に確からしい。
15 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 06:08:06 ID:BdMQF2YY0
>>983
θに限定詞がついていませんが文脈から∃θであるとすればその命題は真です
θに限定詞がついていませんが文脈から∃θであるとすればその命題は真です
数列の漸化式の問題で、
b(n+1)=b(n)^2
ゆえに
b(n)=b(n-1)^2=b(n-2)^4=……=b(1)＾2n-1
と解答にあるのですがどう考えればb(1)^2n-1になるのがわかりません。
考え方を教えて下さい。
b(n+1)=b(n)^2
ゆえに
b(n)=b(n-1)^2=b(n-2)^4=……=b(1)＾2n-1
と解答にあるのですがどう考えればb(1)^2n-1になるのがわかりません。
考え方を教えて下さい。
×なるのが
○なるのか
○なるのか
答違ってるけど、表記ミスかな？
b(n)=b(n-1)^2=b(n-2)^4=……
をしばらく続けて、指数がどんな数列になってるか考えてみ。
その一般項がb(1)の指数になる。
b(n)=b(n-1)^2=b(n-2)^4=……
をしばらく続けて、指数がどんな数列になってるか考えてみ。
その一般項がb(1)の指数になる。
>>20
やっぱり解答が間違えてるんですね…
やっぱり解答が間違えてるんですね…
>>22
b(1)の指数が2^(n-1)になる。
b(1)の指数が2^(n-1)になる。
24 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 15:35:13 ID:v9RVb1pg0
y=4cos2θ＋12sinθcosθ
=6sin2θ＋4cos2θ
=2√13sin(2θ＋α)
2行目までは解けるのですが、
そこから3行目へのクダリがどうしても理解できません。
どなたかわかりやすく解説していただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
=6sin2θ＋4cos2θ
=2√13sin(2θ＋α)
2行目までは解けるのですが、
そこから3行目へのクダリがどうしても理解できません。
どなたかわかりやすく解説していただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
25 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 19:26:25 ID:BdMQF2YY0
>>24
点(6,4)を(r cosα, r sinα)と表します
点(6,4)を(r cosα, r sinα)と表します
26 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 19:37:08 ID:K+4X6oHtO
「１２個のボールを３人でa､b､c個に分ける。
a＝b≧1､C≧1となる配分方法は何通りあるか。」
という問題で、解答には
a(=b)=1､2､3､4､5の場合があるから５通り
ってなってるんですけど、
例えばa=1(b=1､c=10)の場合について
解答ではこれを一通りとカウントしてるみたいですが、
三人でわけてるんだから
×３して３通りになりませんか？？
お願いします。
a＝b≧1､C≧1となる配分方法は何通りあるか。」
という問題で、解答には
a(=b)=1､2､3､4､5の場合があるから５通り
ってなってるんですけど、
例えばa=1(b=1､c=10)の場合について
解答ではこれを一通りとカウントしてるみたいですが、
三人でわけてるんだから
×３して３通りになりませんか？？
お願いします。
27 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 19:51:04 ID:BdMQF2YY0
この文章であればa,b,cを受け取る人を区別しないすなわち誰が受け取っても1通りと解釈するのが妥当でしょう
3人の誰がどれを受け取るかを区別するなら
12個のボールをa,b,cに分けてP,Q,Rの3人に分配する
のようにしましょうか
3人の誰がどれを受け取るかを区別するなら
12個のボールをa,b,cに分けてP,Q,Rの3人に分配する
のようにしましょうか
28 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 20:19:01 ID:8nQNPQUzO
Aは、二行二列の行列で、いずれの成分も0でなく、実数a、bに対して
3A^2+2aA+bE=O
をみたしているとする。ただし、Eは二次の単位行列でOは二行二列の零行列である。このとき、
A^3=(ｹ)A+(ｺ)E
この解説ではいきなり筆算をしているのですがよくわかりません
3A^2+2aA+bE=O
をみたしているとする。ただし、Eは二次の単位行列でOは二行二列の零行列である。このとき、
A^3=(ｹ)A+(ｺ)E
この解説ではいきなり筆算をしているのですがよくわかりません
29 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 20:24:52 ID:8nQNPQUzO
30 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 20:25:57 ID:BdMQF2YY0
ｘ^3+ｙ^3-3XY+1の因数分解
教えてください
教えてください
32 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 20:33:54 ID:rGB/QvHN0
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1222422617
この問題なのですが、
扇形の角度の、cosは出たのですが、
conθからθを中心角とする、扇型の面積を求められず、
お手上げです。
よろしくお願いします。
この問題なのですが、
扇形の角度の、cosは出たのですが、
conθからθを中心角とする、扇型の面積を求められず、
お手上げです。
よろしくお願いします。
33 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 21:41:21 ID:ysMWB0hS0
>>31
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyzは知ってるよな？
ここでz=1とおいてやると…
>>32
せめて角の名前を書いてどこのcosがいくつだとか言ってくれ
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyzは知ってるよな？
ここでz=1とおいてやると…
>>32
せめて角の名前を書いてどこのcosがいくつだとか言ってくれ
34 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 22:10:12 ID:BdMQF2YY0
35 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 22:23:19 ID:BdMQF2YY0
>>31
x^3-3xy+(y^3+1)
因数分解できるならxについての定数項の積がy^3+1であるのでy^3+1=(y+1)(y^2-y+1)と因数分解すると
x=3次、2次を代入しても次数の関係から0にはならないので
x=k(y+1)を代入すると
k^3(y+1)^3-3k(y+1)y+(y^3+1)=(k^3+1)y^3+(3k^3-3k)y^2+(3k^3-3k)y+k^3+1よりk=-1のとき0になるので
(x+y+1)(x^2-(y+1)x+(y^2-y+1))と因数分解できる
x^2-(y+1)x+(y^2-y+1)については
y^2-y+1は実数の範囲ではこれ以上因数分解できないし
x=2次、0次を代入しても次数の関係から0にはならないので
これ以上因数分解は出来ない
x^3-3xy+(y^3+1)
因数分解できるならxについての定数項の積がy^3+1であるのでy^3+1=(y+1)(y^2-y+1)と因数分解すると
x=3次、2次を代入しても次数の関係から0にはならないので
x=k(y+1)を代入すると
k^3(y+1)^3-3k(y+1)y+(y^3+1)=(k^3+1)y^3+(3k^3-3k)y^2+(3k^3-3k)y+k^3+1よりk=-1のとき0になるので
(x+y+1)(x^2-(y+1)x+(y^2-y+1))と因数分解できる
x^2-(y+1)x+(y^2-y+1)については
y^2-y+1は実数の範囲ではこれ以上因数分解できないし
x=2次、0次を代入しても次数の関係から0にはならないので
これ以上因数分解は出来ない
36 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 23:02:29 ID:BdMQF2YY0
>>32
sinθ=1/3であるθが必要ですので逆三角関数を使わない限り表現できません
sinθ=1/3であるθが必要ですので逆三角関数を使わない限り表現できません
37 ：大学への名無しさん：2009/02/07(土) 23:04:26 ID:dIpXrpeXO
F(X)＝X３乗＋PX＋QX＋Rが二点(α、F(α))と(β、F(β))は原点に関して対称である。これから得られる式はα＋β＝0とF(α)＋F(β)＝0でいいんですか？
うん
>>37
いいよ
いいよ
40 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 01:23:30 ID:JILG98NJO
ありがとうございます。
どういたしまして
42 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 06:26:13 ID:rbV1bebr0
>>35
>x^2-(y+1)x+(y^2-y+1)については
複素係数まで許せば2次方程式の解の公式より
(x-ωy-1/ω)(x-(1/ω)y-ω) （ここでωは1の（原始）6乗根ω=(1+i√3)/2
>x^2-(y+1)x+(y^2-y+1)については
複素係数まで許せば2次方程式の解の公式より
(x-ωy-1/ω)(x-(1/ω)y-ω) （ここでωは1の（原始）6乗根ω=(1+i√3)/2
43 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 10:50:55 ID:oRsdf5wVO
2^n＋3^n＜10^10≦2^n+1＋3^n+1
からこの式
→3^n＜10^10＜ 2*3^n+1
になるのがわかりません
誰かヘルプみい…orz
からこの式
→3^n＜10^10＜ 2*3^n+1
になるのがわかりません
誰かヘルプみい…orz
44 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:01:36 ID:hR23W6c90
sin2π/13*cos2π/13=t
としたとき、
tan21π/13を t で表せ。
七倍角定理でも使うのかな？
っと思ったのですが、式量が多くなってしまって、、、
よろしくお願いします。
としたとき、
tan21π/13を t で表せ。
七倍角定理でも使うのかな？
っと思ったのですが、式量が多くなってしまって、、、
よろしくお願いします。
>>35
ありがとうございます
ありがとうございます
46 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:08:58 ID:wb+uiRiQO
47 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:10:36 ID:wb+uiRiQO
46訂正
n^n^2→n^3＋n^2
n^n^2→n^3＋n^2
48 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:23:10 ID:rbV1bebr0
>>43
3^n<2^n+3^n<3^n+3^n=2・3^n
3^n<2^n+3^n<3^n+3^n=2・3^n
49 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:25:31 ID:gYWk0LpqO
>>44
21/13＝1＋8/13
タン(π＋θ)＝タン
t/2＝ｻｲﾝ4/13π
コス4/13π＝√(t^2-4)/t
ｻｲﾝ8/13π＝2・t/2・√(t^2-4)/t＝√(t^2-4)
コス8/13π＝√(5-t^2)
タン(π＋8/13π)＝√(t^2-4)/(5-t^2)
21/13＝1＋8/13
タン(π＋θ)＝タン
t/2＝ｻｲﾝ4/13π
コス4/13π＝√(t^2-4)/t
ｻｲﾝ8/13π＝2・t/2・√(t^2-4)/t＝√(t^2-4)
コス8/13π＝√(5-t^2)
タン(π＋8/13π)＝√(t^2-4)/(5-t^2)
50 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:29:38 ID:9piQPHWl0
>>44
sin(2π/13)cos(2π/13)=tより、
sin4π/13=2t, 0<cos4π/13だからcos4π/13=√(1-4t^2)
tan21π/13=tan8π/13
=sin(8π/13)/cos(8π/13)
=4t√(1-4t^2)/(1-8t^2)
たぶんこれが一番スマートじゃないかと思うがわからん
sin(2π/13)cos(2π/13)=tより、
sin4π/13=2t, 0<cos4π/13だからcos4π/13=√(1-4t^2)
tan21π/13=tan8π/13
=sin(8π/13)/cos(8π/13)
=4t√(1-4t^2)/(1-8t^2)
たぶんこれが一番スマートじゃないかと思うがわからん
>>44
sin2π/13+cos2π/13出して解と係数でやるとか
sin2π/13+cos2π/13出して解と係数でやるとか
52 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:31:53 ID:wb+uiRiQO
53 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 11:36:33 ID:rbV1bebr0
>>44
t=sin(2/13)πcos(2/13)π=(1/2)sin(4/13)π
tan(4/13)π=(2t)/√(1-(2t)^2)
tan(21/13)π=tan(8/13)π=(2tan(4/13)π)/(1-tan^2(4/13)π)=(2(2t)/√(1-4t^2))/(1-(4t^2)/(1-4t^2))=(4t√(1-4t^2))/(1-8t^2)
t=sin(2/13)πcos(2/13)π=(1/2)sin(4/13)π
tan(4/13)π=(2t)/√(1-(2t)^2)
tan(21/13)π=tan(8/13)π=(2tan(4/13)π)/(1-tan^2(4/13)π)=(2(2t)/√(1-4t^2))/(1-(4t^2)/(1-4t^2))=(4t√(1-4t^2))/(1-8t^2)
∫cos2θ=1/2sin2θ+Cとなる導き方、過程をどなたかお教えください
55 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 13:10:28 ID:oRsdf5wVO
58 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 15:05:12 ID:WDQdno2BO
どなたかこれ答えのみでいいので教えてください。y＝x＾2と（0,1）を中心とする半径rの円の共有点の個数をrの値によって分類せよ。
59 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 16:02:08 ID:on1QbC6OO
黄チャートⅡBのP.30のpractice24に関する質問です。
問題文は以下の通り。
(y+2z)/x=(z+2x)/y=(x+2y)/zのとき、この式の値を求めよ。
質問1:なぜxyz≠0を示す必要があるのですか？
質問2:x+y+z=0の場合を考えたあとにx+y+z≠0の場合を
考えるのではダメなんですか？
理由も教えてください。
この問題の解法の流れを知りたいです。
問題文は以下の通り。
(y+2z)/x=(z+2x)/y=(x+2y)/zのとき、この式の値を求めよ。
質問1:なぜxyz≠0を示す必要があるのですか？
質問2:x+y+z=0の場合を考えたあとにx+y+z≠0の場合を
考えるのではダメなんですか？
理由も教えてください。
この問題の解法の流れを知りたいです。
60 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 16:33:08 ID:rbV1bebr0
>>59
(y+2z)/x=(z+2x)/y=(x+2y)/z=k
y+2z=kx
z+2x=ky
x+2y=kz
3(x+y+z)=k(x+y+z)
x+y+z=0またはk=3
x+y+z=0のとき
z-x=kx
x-y=ky
y-z=kz
z=(k+1)x
x=(k+1)y
y=(k+1)z
0=x+y+z=(k+1)^2z+(k+1)z+z=(k^2+3k+3)z
z≠0よりk^2+3k+3=0, k=(-3±i√3)/2
実際
k=3については
x=y=z=1のとき式の値は3となり
k=(-3±i√3)/2については
k+1=ω=(-1±i√3)/3は1の（原始）3乗根なので
x=ω^2, y=ω, z=1とすると
(y+2z)/x=(ω+2)/ω^2=ω^2+2ω=ω-1
(z+2x)/y=(1+2ω^2)/ω=ω^2+2ω=ω-1
(x+2y)/z=(ω^2+2ω)/1=ω^2+2ω=ω-1
と確かに式の値はω-1となる
(y+2z)/x=(z+2x)/y=(x+2y)/z=k
y+2z=kx
z+2x=ky
x+2y=kz
3(x+y+z)=k(x+y+z)
x+y+z=0またはk=3
x+y+z=0のとき
z-x=kx
x-y=ky
y-z=kz
z=(k+1)x
x=(k+1)y
y=(k+1)z
0=x+y+z=(k+1)^2z+(k+1)z+z=(k^2+3k+3)z
z≠0よりk^2+3k+3=0, k=(-3±i√3)/2
実際
k=3については
x=y=z=1のとき式の値は3となり
k=(-3±i√3)/2については
k+1=ω=(-1±i√3)/3は1の（原始）3乗根なので
x=ω^2, y=ω, z=1とすると
(y+2z)/x=(ω+2)/ω^2=ω^2+2ω=ω-1
(z+2x)/y=(1+2ω^2)/ω=ω^2+2ω=ω-1
(x+2y)/z=(ω^2+2ω)/1=ω^2+2ω=ω-1
と確かに式の値はω-1となる
61 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 16:37:17 ID:rbV1bebr0
>>60
こうもできます
>z=(k+1)x
>x=(k+1)y
>y=(k+1)z
>0=x+y+z=(k+1)^2z+(k+1)z+z=(k^2+3k+3)z
z=(k+1)x
x=(k+1)y
y=(k+1)z
xyz=(k+1)^3xyz
xyz≠0より(k+1)^3=1
k=0, (-3±i√3)/2
ここでk=0は
x=y=zを導くのでx+y+z=0であったことよりx=y=z=0で不適
こうもできます
>z=(k+1)x
>x=(k+1)y
>y=(k+1)z
>0=x+y+z=(k+1)^2z+(k+1)z+z=(k^2+3k+3)z
z=(k+1)x
x=(k+1)y
y=(k+1)z
xyz=(k+1)^3xyz
xyz≠0より(k+1)^3=1
k=0, (-3±i√3)/2
ここでk=0は
x=y=zを導くのでx+y+z=0であったことよりx=y=z=0で不適
正方行列A、Bに対して
AB=E
が成り立つとき、
BA=E
が成り立つことは説明が必要ですか？
必要だとすれば、高校の範囲を逸脱せずに説明することは可能ですか？
AB=E
が成り立つとき、
BA=E
が成り立つことは説明が必要ですか？
必要だとすれば、高校の範囲を逸脱せずに説明することは可能ですか？
63 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 17:26:47 ID:on1QbC6OO
正の整数nに対して｢偶数ならば2で割り、奇数ならば1を引いて2で割る｣という操作を値が1になるまで繰り返し行うときの操作回数をαnとする。ただしα1=0とする。pを正の整数とするときαn=pを満たす最小のnは2^pでαn=pを満たすnの個数をαpとし、αp=2^pである。
このときn=(2^25)+1とすると、
n ｱｲ
Σαk=(Σp*αp)+ｳｴ=(ｵｶ*2^25)+ｷｸ
k=1 p=1
ｱ～ｸに何が入るか。
途中式解説つきでお願いします!
このときn=(2^25)+1とすると、
n ｱｲ
Σαk=(Σp*αp)+ｳｴ=(ｵｶ*2^25)+ｷｸ
k=1 p=1
ｱ～ｸに何が入るか。
途中式解説つきでお願いします!
66 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 18:24:40 ID:9piQPHWl0
>>63
解答・解説についての質問ならその解答・解説を書かないと無理
>>64
式が読みづらい。∑は三行使うのではなく>>1のように書くこと推奨
あとαの定義が2つあっておかしい。前者をα、後者をβと書くと
Σ_[k=1, n]α_k=Σ_[p=1, 24](pβ_p)+50=23*2^25+52
p=1, 2, …24を満たす自然数がそれぞれβ_1, β_2, …β_24個あって、
さらに2^25と2^25+1があるのでこうなる、的な説明でOK?
Σ計算は具体的に和の形で書いてみると割とつかめるはず。
1*2^1+2*2^2+…24*2^24
=(2^1+2^2+…+2^24)+(2^2+2^3+…+2^24)+…+(2^23+2^24)+2^24
=(2^25-2^1)+(2^25-2^2)+…+(2^25-2^23)+(2^25-2^24)
=24*2^25-(2^1+2^2+…+2^24)
=24*2^25-(2^25-2)
解答・解説についての質問ならその解答・解説を書かないと無理
>>64
式が読みづらい。∑は三行使うのではなく>>1のように書くこと推奨
あとαの定義が2つあっておかしい。前者をα、後者をβと書くと
Σ_[k=1, n]α_k=Σ_[p=1, 24](pβ_p)+50=23*2^25+52
p=1, 2, …24を満たす自然数がそれぞれβ_1, β_2, …β_24個あって、
さらに2^25と2^25+1があるのでこうなる、的な説明でOK?
Σ計算は具体的に和の形で書いてみると割とつかめるはず。
1*2^1+2*2^2+…24*2^24
=(2^1+2^2+…+2^24)+(2^2+2^3+…+2^24)+…+(2^23+2^24)+2^24
=(2^25-2^1)+(2^25-2^2)+…+(2^25-2^23)+(2^25-2^24)
=24*2^25-(2^1+2^2+…+2^24)
=24*2^25-(2^25-2)
67 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 18:51:24 ID:WDQdno2BO
どなたか58お願いします。
>>67
半径変えて絵を描いてみれば、
「円が放物線の上に乗っかったような形で接するとき」
「円が（0,0）に接するとき」
を境界にして共有点の個数が変わることが分かる。まずはこれがどう
変わっていくかを、自力で考えてみるべし。この絵が描けないようなら
素直に白旗挙げれ。
乗っかったような形で接するとき、接点のｘ座標をｐとして放物線の
接線の一般形を出しておいて、（0,1） （p,p^2) (接点）の2点を通る
直線がこの接線に直交する、とできる。これからpの値が決まり、
このときの半径も決まる。
半径変えて絵を描いてみれば、
「円が放物線の上に乗っかったような形で接するとき」
「円が（0,0）に接するとき」
を境界にして共有点の個数が変わることが分かる。まずはこれがどう
変わっていくかを、自力で考えてみるべし。この絵が描けないようなら
素直に白旗挙げれ。
乗っかったような形で接するとき、接点のｘ座標をｐとして放物線の
接線の一般形を出しておいて、（0,1） （p,p^2) (接点）の2点を通る
直線がこの接線に直交する、とできる。これからpの値が決まり、
このときの半径も決まる。
69 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 19:21:59 ID:WDQdno2BO
r＝1のときは3個かな？
70 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 19:25:24 ID:rbV1bebr0
>>58
y=x^2
x^2+(y-1)^2=r^2
y^2-y+(1-r^2)=0の正の解に対しy=x^2を満たすx即ち共有点は2個
解y=0に対し1個
負の解に対しては共有点は存在しない
D=1-4(1-r^2)>0すなわちr>(√3)/2のとき解y=(1±√D)/2
(1+√D)/2はrに依らず正の解（共有点2個分）
(1-√D)/2=0となるのは1=Dよってr=1のとき（共有点1個分）
r>1であればD>1となるため負の解（共有点0個分）
r<1であればD<1となるため正の解（共有点2個分）
D=0となるのはr=(√3)/2のときで解y=1は正の解（共有点2個分）
D<0となるのはr<(√3)/2のときで実数解はないので共有点もない
よって
0個 0<r<(√3)/2
2個 r=(√3)/2
4個 (√3)/2<r<1
3個 r=1
2個 1<r
y=x^2
x^2+(y-1)^2=r^2
y^2-y+(1-r^2)=0の正の解に対しy=x^2を満たすx即ち共有点は2個
解y=0に対し1個
負の解に対しては共有点は存在しない
D=1-4(1-r^2)>0すなわちr>(√3)/2のとき解y=(1±√D)/2
(1+√D)/2はrに依らず正の解（共有点2個分）
(1-√D)/2=0となるのは1=Dよってr=1のとき（共有点1個分）
r>1であればD>1となるため負の解（共有点0個分）
r<1であればD<1となるため正の解（共有点2個分）
D=0となるのはr=(√3)/2のときで解y=1は正の解（共有点2個分）
D<0となるのはr<(√3)/2のときで実数解はないので共有点もない
よって
0個 0<r<(√3)/2
2個 r=(√3)/2
4個 (√3)/2<r<1
3個 r=1
2個 1<r
>>66
ありがとうございます
表記を間違えてすいません
Σ_[k=1, n]α_k=Σ_[p=1, 24](pβ_p)+50=23*2^25+52
の2つ目の式の+50はどこからきたのでしょうか??
ありがとうございます
表記を間違えてすいません
Σ_[k=1, n]α_k=Σ_[p=1, 24](pβ_p)+50=23*2^25+52
の2つ目の式の+50はどこからきたのでしょうか??
72 ：大学への名無しさん：2009/02/08(日) 21:28:54 ID:9piQPHWl0
>>71
2^25と2^25+1の分
2^25と2^25+1の分
区別できない玉を三個の箱に分ける。ただし、空の箱があってもいいとする。
ｍを自然数とする。箱が区別できない場合、６ｍ個の玉を三箱のうち２箱以上は同数となるように分ける方法は何通りあるか求めよ。
一時間かかっても解けないです。
解法教えてください。
ｍを自然数とする。箱が区別できない場合、６ｍ個の玉を三箱のうち２箱以上は同数となるように分ける方法は何通りあるか求めよ。
一時間かかっても解けないです。
解法教えてください。
箱も玉も区別できないのだから、6mを3つの整数の和に分割する"組み合わせ"を
考えることになる。
個数が異なってもいい1つの箱には0～6mの間の偶数が任意に選べる。
（奇数だと残り2箱が同数にならない）
その選び方は3m+1通り。これの個数を決めると、残った個数を等分すれば
いいのだから「個数の組み合わせ」が確定する。
従って3m+1通り。……で、どっか問題あるだろうか。単純すぎて逆に不安なんだけど。
考えることになる。
個数が異なってもいい1つの箱には0～6mの間の偶数が任意に選べる。
（奇数だと残り2箱が同数にならない）
その選び方は3m+1通り。これの個数を決めると、残った個数を等分すれば
いいのだから「個数の組み合わせ」が確定する。
従って3m+1通り。……で、どっか問題あるだろうか。単純すぎて逆に不安なんだけど。
ありがとうございます。
おかげで意味が分かりました
確率だけはどーも苦手…
おかげで意味が分かりました
確率だけはどーも苦手…
指数対数のところで出てくる最高位の解き方を教えてくれませんか？
解説見てもいまいちわからないので
解説見てもいまいちわからないので
>最高位の解き方
で何だかわかるにはエスパー検定3級くらいには通ってる必要がありそうだ。
具体的な問題の形で示してもらわないと凡人には悟れない。
たとえば2＾55 とかのいちばん上の桁の数字が何になるか、みたいな問題？
で何だかわかるにはエスパー検定3級くらいには通ってる必要がありそうだ。
具体的な問題の形で示してもらわないと凡人には悟れない。
たとえば2＾55 とかのいちばん上の桁の数字が何になるか、みたいな問題？
>>77すいません
問題では8の44乗の最高位の数字は？とあります
問題では8の44乗の最高位の数字は？とあります
桁の話だから対数はすべて常用対数。
たとえば5桁の数で考えてみる。最上位の桁が2の5桁の数Xは
20000≦X＜29999
この常用対数を取ると
log20000≦logX＜log30000
ところが、log(ab)=log(a)+log(b) であり、10000=10＾4であるのだから
log20000=4+log2 log30000=4+log3
従って、4+log2≦logX<4+log3
つまり、最上位の桁が2である5桁の数Xは、常用対数をとったときに
logXが log2+4（こっちには等しくていい） と log3+4（こっちよりは小さい） の
間に入っている。
これを一般化すると、最上位の桁がmであるn桁の数Yは、常用対数を
取ると、log（m） +（n-1) ≦log(Y) < log(m+1) +(n-1) となることが分かる。
そして、1≦m≦9なら 0<log(m)<1 だから、要するるに
「最高位の数字を評価したい数のlogが幾つになるか計算する
→その値の小数部に着目して、それがlog（一桁の数字）の
どことどこの間に入るか（たとえばlog5とlog6の間） 考えろ」
と言うことになる。
8^44=(2^3)^44=2＾132 だから、 対数を取ると132*log2、
log2を与えられた概数で評価して小数部分をとると幾つになるか考え、
それが上記のようにlog（一桁の数）のどれとどれの間に挟まれるかを
考えればいい。
たとえば5桁の数で考えてみる。最上位の桁が2の5桁の数Xは
20000≦X＜29999
この常用対数を取ると
log20000≦logX＜log30000
ところが、log(ab)=log(a)+log(b) であり、10000=10＾4であるのだから
log20000=4+log2 log30000=4+log3
従って、4+log2≦logX<4+log3
つまり、最上位の桁が2である5桁の数Xは、常用対数をとったときに
logXが log2+4（こっちには等しくていい） と log3+4（こっちよりは小さい） の
間に入っている。
これを一般化すると、最上位の桁がmであるn桁の数Yは、常用対数を
取ると、log（m） +（n-1) ≦log(Y) < log(m+1) +(n-1) となることが分かる。
そして、1≦m≦9なら 0<log(m)<1 だから、要するるに
「最高位の数字を評価したい数のlogが幾つになるか計算する
→その値の小数部に着目して、それがlog（一桁の数字）の
どことどこの間に入るか（たとえばlog5とlog6の間） 考えろ」
と言うことになる。
8^44=(2^3)^44=2＾132 だから、 対数を取ると132*log2、
log2を与えられた概数で評価して小数部分をとると幾つになるか考え、
それが上記のようにlog（一桁の数）のどれとどれの間に挟まれるかを
考えればいい。
80 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 06:51:11 ID:3Amv/ICv0
2^10=1024≒10^3よりlog2≒3/10=0.3 (0.30103000)
3^4=81≒2^3・10よりlog3≒(3・0.3+1)/4=0.475 (0.47712125)
log4=2log2≒0.6 (0.6020599)
log5=log10-log2≒0.7 (0.69897000)
log6=log2+log3≒0.775 (0.77815125)
7^2=49≒100/2よりlog7≒(2-0.3)/2=0.85 (0.84509804)
log8=3log2≒0.9 (0.90308999)
log9=2log3≒0.95 (0.95424251)
3^4=81≒2^3・10よりlog3≒(3・0.3+1)/4=0.475 (0.47712125)
log4=2log2≒0.6 (0.6020599)
log5=log10-log2≒0.7 (0.69897000)
log6=log2+log3≒0.775 (0.77815125)
7^2=49≒100/2よりlog7≒(2-0.3)/2=0.85 (0.84509804)
log8=3log2≒0.9 (0.90308999)
log9=2log3≒0.95 (0.95424251)
81 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 12:06:48 ID:oxrst3m0O
|ｘ^２－５ｙ^２|＝４満たす正の整数ｘ,ｙの組(ｘ,ｙ)集合をＳとする｡
①(ｘ,ｙ)がＳの要素のとき,ｘ,ｙはともに偶数,またはともに奇数であることを示せ｡
②(ｘ,ｙ)がＳの要素のとき,ｘ＞１ならばｘ＜５ｙ＜３ｘが成り立つことを示せ｡
①は偶数(２m),偶数または奇数(２m±1),奇数の時成り立ち,偶数,奇数または奇数,偶数のとき成り立たない事を言えばいいでしょうか?②はよく分かりませんでした｡｡｡
よろしくお願いします｡
①(ｘ,ｙ)がＳの要素のとき,ｘ,ｙはともに偶数,またはともに奇数であることを示せ｡
②(ｘ,ｙ)がＳの要素のとき,ｘ＞１ならばｘ＜５ｙ＜３ｘが成り立つことを示せ｡
①は偶数(２m),偶数または奇数(２m±1),奇数の時成り立ち,偶数,奇数または奇数,偶数のとき成り立たない事を言えばいいでしょうか?②はよく分かりませんでした｡｡｡
よろしくお願いします｡
>>81
2は背理法でうまくいくと思う。
2は背理法でうまくいくと思う。
>>81です｡
82さん｡ありがとうございます｡色々調べて､背理法でやってみたのですがこんな感じになってしまいました｡果たして論理が成り立っているのかすら不明です｡
ｘ＞１のとき､ｘ＜５ｙ＜３ｘが成立しないと仮定すると､５ｙは,５≦５ｙ≦ｘ､５ｙ≧３(ｘ,ｙは正の整数)…*をみたすが､これはｘ＝２,３,４で成立しない｡ よって*に矛盾｡
ご意見お願いします｡
82さん｡ありがとうございます｡色々調べて､背理法でやってみたのですがこんな感じになってしまいました｡果たして論理が成り立っているのかすら不明です｡
ｘ＞１のとき､ｘ＜５ｙ＜３ｘが成立しないと仮定すると､５ｙは,５≦５ｙ≦ｘ､５ｙ≧３(ｘ,ｙは正の整数)…*をみたすが､これはｘ＝２,３,４で成立しない｡ よって*に矛盾｡
ご意見お願いします｡
85 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 15:29:30 ID:ij2GbOfOO
AB=2である点ABに対して、AP^2-BP^2=1を満たす点Pの軌跡を求めよ。
初歩的な問題かもしれませんが、立式すらできません……。お願いします。
初歩的な問題かもしれませんが、立式すらできません……。お願いします。
>>81、83、86
で、不等式はどっちかが成り立てばいいので、>>83で考えた矛盾する方針は
頓挫してしまうと思う。仮定して矛盾を言う背理法を使うよりは、ここは
対偶を使った証明のほうが（手順的には）一直線にいけるんじゃない？
長くはなっちまうのだけれど。
方針：
証明したい命題 x,yがSの要素であるとき、x>1 ⇒ x<5y<3x
その対偶：x,yがSの要素であるとき、「x≧5y または 5y≧3x」 ⇒ x=1※
（xは正整数だからx≦1を満たすのはx=1のみ）
この対偶を証明すれば証明したい命題を証明できることになる。
証明：x,yがSの要素だから、x＾2-5y＾2=4 ⇔ 25y＾2= 5x＾2-20 …(a)
または 5y＾2-x＾2=4 ⇔ 25y＾2= 5x＾2+20 …(b) のいずれかが
成立している。また、x、yは正の整数だから、
x≧5y⇔x＾2≧25y＾2 、 3x≦5y ⇔ 9x^2≦25y＾2
x≧5y であるとき、
(a) から 25y＾2=5x＾2-20≦x＾2 これより-√5≦<x≦√5、
これを満たす正整数はx=1のみ
また(b)から…
3x≦5y であるとき、 (a)から…(b)から…
ゆえに、「x,yがSの要素であるとき、x≧5yまたは3x≦5yならばx=1である」ことが
言えるから、その対偶「x,yがSの要素であるとき、x<5y<3xならばx>1である」ことが
証明できた。
で、不等式はどっちかが成り立てばいいので、>>83で考えた矛盾する方針は
頓挫してしまうと思う。仮定して矛盾を言う背理法を使うよりは、ここは
対偶を使った証明のほうが（手順的には）一直線にいけるんじゃない？
長くはなっちまうのだけれど。
方針：
証明したい命題 x,yがSの要素であるとき、x>1 ⇒ x<5y<3x
その対偶：x,yがSの要素であるとき、「x≧5y または 5y≧3x」 ⇒ x=1※
（xは正整数だからx≦1を満たすのはx=1のみ）
この対偶を証明すれば証明したい命題を証明できることになる。
証明：x,yがSの要素だから、x＾2-5y＾2=4 ⇔ 25y＾2= 5x＾2-20 …(a)
または 5y＾2-x＾2=4 ⇔ 25y＾2= 5x＾2+20 …(b) のいずれかが
成立している。また、x、yは正の整数だから、
x≧5y⇔x＾2≧25y＾2 、 3x≦5y ⇔ 9x^2≦25y＾2
x≧5y であるとき、
(a) から 25y＾2=5x＾2-20≦x＾2 これより-√5≦<x≦√5、
これを満たす正整数はx=1のみ
また(b)から…
3x≦5y であるとき、 (a)から…(b)から…
ゆえに、「x,yがSの要素であるとき、x≧5yまたは3x≦5yならばx=1である」ことが
言えるから、その対偶「x,yがSの要素であるとき、x<5y<3xならばx>1である」ことが
証明できた。
88 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 15:55:03 ID:kDkAkK/eO
ベクトルです。
s,tは0<s<1,0<t<1を満たす定数とする。平面上に異なる２点ＡＢと直線AB上にない点Ｐがあり、Ｐは次の条件を満たしながら動く。
線分PAをs:(1-s)に内分する点をＱ、線分PBをt:(1-t)に内分する点をＲとするとき↑ARと↑BQが直交する。
↑PA=↑a ↑PB=↑bとして問に答えなさい。
①内積↑a･↑bを|a|,|b|,s,tを用いて表しなさい。
②t|b|<|a|<|b|/sが成り立つことを示しなさい。
③cosAPBの最小値をs,tを用いて表しなさい。
②から分かりません…
s,tは0<s<1,0<t<1を満たす定数とする。平面上に異なる２点ＡＢと直線AB上にない点Ｐがあり、Ｐは次の条件を満たしながら動く。
線分PAをs:(1-s)に内分する点をＱ、線分PBをt:(1-t)に内分する点をＲとするとき↑ARと↑BQが直交する。
↑PA=↑a ↑PB=↑bとして問に答えなさい。
①内積↑a･↑bを|a|,|b|,s,tを用いて表しなさい。
②t|b|<|a|<|b|/sが成り立つことを示しなさい。
③cosAPBの最小値をs,tを用いて表しなさい。
②から分かりません…
>>85
たとえばA(-1,0)、B(+1,0)、P（x,y） として方程式を立てる。
{(x+1)^2+y^2} - {(x-1)^2+y^2} =1
4x=1 x=1/4
これは（図形的に解釈して）ABを5：3に内分する点を通り、
ABに垂直な直線の全体を示す。
※この直線とABの交点をHとすれば、AH=5/4、BH=3/4
Pが上記の軌跡を描くとき、三平方の定理から
AP＾2-BP^2=（AH^2 +PH＾2）-（BH^2 +PH＾2）=25/16-9/16=1
たとえばA(-1,0)、B(+1,0)、P（x,y） として方程式を立てる。
{(x+1)^2+y^2} - {(x-1)^2+y^2} =1
4x=1 x=1/4
これは（図形的に解釈して）ABを5：3に内分する点を通り、
ABに垂直な直線の全体を示す。
※この直線とABの交点をHとすれば、AH=5/4、BH=3/4
Pが上記の軌跡を描くとき、三平方の定理から
AP＾2-BP^2=（AH^2 +PH＾2）-（BH^2 +PH＾2）=25/16-9/16=1
A(6,0)、B(0,-8)、Pの軌跡をy=1/9x^2とする。Pのx座標は0より大きい。△ABPの面積が最大になるのはPがいくつのときで面積はいくつになるか。∠PABが最大になるのはPがいくつのときか。
途中式と解説つきでお願いします。
途中式と解説つきでお願いします。
91 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 16:11:22 ID:3Amv/ICv0
>>85
点Pから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると
AP^2=AH^2+PH^2
BP^2=BH^2+PH^2
AP^2-BP^2=AH^2-BH^2=(AH-BH)(AH+BH)=1よりAH>BHであるのでHは直線AB上でAよりもB側にある
BがAHの間にある場合はAH-BH=AB=2,AH+BH≧AH≧AB=2で不適
よってHはABの間にある
このときAH+BH=AB=2なのでAH-BH=1/2よってAH=5/4,BH=3/4よりHはABを5:3に内分する点
以上により点PはABを5;3に内分する点Hを通り線分ABに垂直な直線（あるいは平面あるいは…）上の点
A(-1,0),B(1,0)として（第3番以降の座標軸があってもかまわない）x=1/4を得る方が簡単ですか
点Pから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると
AP^2=AH^2+PH^2
BP^2=BH^2+PH^2
AP^2-BP^2=AH^2-BH^2=(AH-BH)(AH+BH)=1よりAH>BHであるのでHは直線AB上でAよりもB側にある
BがAHの間にある場合はAH-BH=AB=2,AH+BH≧AH≧AB=2で不適
よってHはABの間にある
このときAH+BH=AB=2なのでAH-BH=1/2よってAH=5/4,BH=3/4よりHはABを5:3に内分する点
以上により点PはABを5;3に内分する点Hを通り線分ABに垂直な直線（あるいは平面あるいは…）上の点
A(-1,0),B(1,0)として（第3番以降の座標軸があってもかまわない）x=1/4を得る方が簡単ですか
>>91
ああ、ABが空間に置かれていたら、確かに直線x=1/4 ではなく 平面x=1/4ですな。
元の問題にはABが平面にあるとは一言も書かれてないし、平面と決め付けたのは
ちょっと良くなかったか>自分
ああ、ABが空間に置かれていたら、確かに直線x=1/4 ではなく 平面x=1/4ですな。
元の問題にはABが平面にあるとは一言も書かれてないし、平面と決め付けたのは
ちょっと良くなかったか>自分
93 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 16:27:38 ID:3Amv/ICv0
>>90
△ABPは無限に大きくなりますから最小を求めるのですね？
ABの傾きは4/3
y'=2/9x=4/3となるのはx=6
Pから直線ABへ下ろした垂線の足をHとすると
P(6,4)のときにPHは最小値を取る
よって△ABPの最小値は12
Aから放物線に接線を引くとその接点のx座標(>6)は
2/9x=(1/9x^2)/(x-6)よりx=12
P(12,16)のとき∠PABは最大値を取る
△ABPは無限に大きくなりますから最小を求めるのですね？
ABの傾きは4/3
y'=2/9x=4/3となるのはx=6
Pから直線ABへ下ろした垂線の足をHとすると
P(6,4)のときにPHは最小値を取る
よって△ABPの最小値は12
Aから放物線に接線を引くとその接点のx座標(>6)は
2/9x=(1/9x^2)/(x-6)よりx=12
P(12,16)のとき∠PABは最大値を取る
>>88
ARとBQの交点をHとする。
(2) 図形的に∠ARPは鈍角になる
（∠ARPが鋭角または直角であった場合、QHのH側の延長と
PRのR側の延長が交点Bを作れない）
△ARPで、APは鈍角∠ARPの対辺であるからこの三角形を作る三辺中で最長。
従ってAR>PRであり、|a↑|>ｔ|b↑|
同様に∠BQPが鈍角であることと、△BQPの辺の長さを考察すると、
|b↑|>s|a↑| よって|a↑|<|ｂ↑|/ｓ
やや直感に頼った「証明」だけど、悪くても8割程度の部分点はこれで来ると思うけどなぁ。
ARとBQの交点をHとする。
(2) 図形的に∠ARPは鈍角になる
（∠ARPが鋭角または直角であった場合、QHのH側の延長と
PRのR側の延長が交点Bを作れない）
△ARPで、APは鈍角∠ARPの対辺であるからこの三角形を作る三辺中で最長。
従ってAR>PRであり、|a↑|>ｔ|b↑|
同様に∠BQPが鈍角であることと、△BQPの辺の長さを考察すると、
|b↑|>s|a↑| よって|a↑|<|ｂ↑|/ｓ
やや直感に頼った「証明」だけど、悪くても8割程度の部分点はこれで来ると思うけどなぁ。
>>88 a↑、b↑の↑を省略する。
(3) cos∠APB=（a↑・b↑)/(|a||b|）
=｛s(|a|/|b|） + t(|b|/|a|)} /(1+st) ……※
ここで|b|=k|a| とすると、kは正の値で
※式の分子=s/k+kt ≧2√(st) 、等号はk=√(s/t)で成立。
よって最小値は（2√st）/（1+st）
……で、値は正しいと思うんだが問題はここから先。
(2)で書かれたとおり t|b|<|a|<|b|/s ⇔ kt<1<k/s を満たすことが必要。
これは代入によって√(sｔ）<1<1/√（ｓｔ） となるから、必要条件は確
かに満たせる、と、この検証は必要で、ここまではいい。
でも、(2)は|b|/|a| に対しての必要条件であって、(2)の不等式を満たす
すべての|b|/|a| に対しての作図の実現を保証する十分条件ではない。だから、
与えられたs,tと任意の長さ|b|に対し、（√(s/t))|b|の長さ|a|を使って
必ず元の条件を満たす図が描ける、という保証がないように思えるんだよなぁ。
(3) cos∠APB=（a↑・b↑)/(|a||b|）
=｛s(|a|/|b|） + t(|b|/|a|)} /(1+st) ……※
ここで|b|=k|a| とすると、kは正の値で
※式の分子=s/k+kt ≧2√(st) 、等号はk=√(s/t)で成立。
よって最小値は（2√st）/（1+st）
……で、値は正しいと思うんだが問題はここから先。
(2)で書かれたとおり t|b|<|a|<|b|/s ⇔ kt<1<k/s を満たすことが必要。
これは代入によって√(sｔ）<1<1/√（ｓｔ） となるから、必要条件は確
かに満たせる、と、この検証は必要で、ここまではいい。
でも、(2)は|b|/|a| に対しての必要条件であって、(2)の不等式を満たす
すべての|b|/|a| に対しての作図の実現を保証する十分条件ではない。だから、
与えられたs,tと任意の長さ|b|に対し、（√(s/t))|b|の長さ|a|を使って
必ず元の条件を満たす図が描ける、という保証がないように思えるんだよなぁ。
>>93
ありがとうございます!今見たら最小でした;ずっと最大だと思ってました
ありがとうございます!今見たら最小でした;ずっと最大だと思ってました
実数aと実数rについて
(1+i)r^2+(aｰi)r+2(1ｰai)=0
i^2=ｰ1とする。
aとrの値を求めてください。
お願いします。
(1+i)r^2+(aｰi)r+2(1ｰai)=0
i^2=ｰ1とする。
aとrの値を求めてください。
お願いします。
99 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 21:02:14 ID:3Amv/ICv0
>>98
左辺を整理すると
(r^2+ar+2)+i(r^2-r-2a)=0
r,aは実数なのでr^2+ar+2, r^2-r-2aも実数
よってr^2+ar+2=0, r^2-r-2a=0
辺々引いて(a+1)(r+2)=0
a=-1またはr=-2
a=-1のときr^2-r+2=0だがこれを満たす実数rは存在しない
r=-2のときa=3
左辺を整理すると
(r^2+ar+2)+i(r^2-r-2a)=0
r,aは実数なのでr^2+ar+2, r^2-r-2aも実数
よってr^2+ar+2=0, r^2-r-2a=0
辺々引いて(a+1)(r+2)=0
a=-1またはr=-2
a=-1のときr^2-r+2=0だがこれを満たす実数rは存在しない
r=-2のときa=3
100 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 21:03:46 ID:Rx2BeOWg0
>>98
実部と虚部をそれぞれ計算して
(r^2+ar+2)+(r^2-r-2a)i=0
r^2+ar+2=r^2-r-2a=0
r^2+ar+2-(r^2-r-2a)=(a+1)(r+2)=0
よって、a=-1またはr=-2
a=-1のとき、r^2-r+2=r^2-r-2=0
これを満たす実数rは存在しない。
r=-2のとき、6-2a=6-2a=0
ゆえにa=3
よって答はa=3, r=-2
実部と虚部をそれぞれ計算して
(r^2+ar+2)+(r^2-r-2a)i=0
r^2+ar+2=r^2-r-2a=0
r^2+ar+2-(r^2-r-2a)=(a+1)(r+2)=0
よって、a=-1またはr=-2
a=-1のとき、r^2-r+2=r^2-r-2=0
これを満たす実数rは存在しない。
r=-2のとき、6-2a=6-2a=0
ゆえにa=3
よって答はa=3, r=-2
三桁の素数を全て求めよ
奇数を地道に探してくしかないんでしょーか＞＜
奇数を地道に探してくしかないんでしょーか＞＜
103 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 21:14:52 ID:3Amv/ICv0
104 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 21:18:30 ID:WlVZc65SO
xy平面において、行列{[cosθ,-sinθ],[sinθ,cosθ]}の表す一次変換をfとする。
点(1,1)のfによる像をPとし、点(1,0)と点(0,1)とを結ぶ線分のfによる像をlとする。
(1)θが0から2πまで変わるとき、Pの軌跡の方程式を求めよ。
(2)θが0からπまで変わるとき、lが動いてできる範囲を図示せよ。
(3)(2)で示した範囲の面積を求めよ。
極座標系で考えようとしたのですが、上手くいきません。
(1)からで申し訳ないのですが、どなたか解説して頂けないでしょうか？
宜しければ(3)までお願い致しますm(__)m
点(1,1)のfによる像をPとし、点(1,0)と点(0,1)とを結ぶ線分のfによる像をlとする。
(1)θが0から2πまで変わるとき、Pの軌跡の方程式を求めよ。
(2)θが0からπまで変わるとき、lが動いてできる範囲を図示せよ。
(3)(2)で示した範囲の面積を求めよ。
極座標系で考えようとしたのですが、上手くいきません。
(1)からで申し訳ないのですが、どなたか解説して頂けないでしょうか？
宜しければ(3)までお願い致しますm(__)m
どなたか>>62にお答えください。
>>62 多分に私見を含むので間違っている可能性がある。一つの意見として
見てほしい。実は同じ問題についてずっと疑問に思っていた。
一般の正方行列について議論する場合、正方行列一般の行列式と行列の
正則性について言及することが必要になってくるけれど、この段階で高校
範囲を超える。従って高校範囲では一般の次数について説明するのは
無理だと思う。ただし、|A||B|=|AB|、および|A|≠0であればAには逆行列が
存在すること、を証明済みの定理として利用可とすれば、下の証明が
そのまま使える。
2次正方行列に限定すれば、上記の行列式に関しての定理を成分計算で
証明することにより、以下のような証明が可能になる。
|E|=1 であるから|A|も|B|も正則であり逆行列が存在する。
Aの逆行列をXとすれば、AX=E これとAB=Eが同時に成立するから
A(B-X）=O この両辺の左からXを書けるとE(B-X）＝O
展開して移行するとB=X 従ってBはAの逆行列であり、逆行列の
定義からBA=XA=Eも成立する。
実際の運用では、それ自体を証明することが(実質的に)求められているので
ない限り、AB=Eから直ちにBをAの逆行列である、としてよいと思う。
見てほしい。実は同じ問題についてずっと疑問に思っていた。
一般の正方行列について議論する場合、正方行列一般の行列式と行列の
正則性について言及することが必要になってくるけれど、この段階で高校
範囲を超える。従って高校範囲では一般の次数について説明するのは
無理だと思う。ただし、|A||B|=|AB|、および|A|≠0であればAには逆行列が
存在すること、を証明済みの定理として利用可とすれば、下の証明が
そのまま使える。
2次正方行列に限定すれば、上記の行列式に関しての定理を成分計算で
証明することにより、以下のような証明が可能になる。
|E|=1 であるから|A|も|B|も正則であり逆行列が存在する。
Aの逆行列をXとすれば、AX=E これとAB=Eが同時に成立するから
A(B-X）=O この両辺の左からXを書けるとE(B-X）＝O
展開して移行するとB=X 従ってBはAの逆行列であり、逆行列の
定義からBA=XA=Eも成立する。
実際の運用では、それ自体を証明することが(実質的に)求められているので
ない限り、AB=Eから直ちにBをAの逆行列である、としてよいと思う。
108 ：大学への名無しさん：2009/02/09(月) 23:59:53 ID:WlVZc65SO
>>106
申し訳ありません。
少しパニックになって考えるのを放棄してました…
与えられた行列って原点を中心にθ回転する一次変換だと思ったのですが…
Pがcosθ,-sinθ、sinθ,cosθと出てから何をしていいのかよく分かりませんorz
愚問極まりないと思いますが、教えて下さいm(__)m
申し訳ありません。
少しパニックになって考えるのを放棄してました…
与えられた行列って原点を中心にθ回転する一次変換だと思ったのですが…
Pがcosθ,-sinθ、sinθ,cosθと出てから何をしていいのかよく分かりませんorz
愚問極まりないと思いますが、教えて下さいm(__)m
>>108 いや、なんでそこで計算しちゃうかな。図形として
(1,1) （原点と結んだ点がｘ軸とπ/4の角度をなし、原点から√2離れた点）を
0～2πの間で回した軌跡だよ？ 原点中心の半径√2の円でいいじゃない。
(2）からは複雑になるけど、図形的に考えましょう、というのは同様。
（1,0）を回すと、ここを起点にした半径1の半円、
（0,1) を回すとやはり半円。これらは一体となって3/4円弧になる。
これらの点の始点どうし（もとの線分）、終点どうし（原点対象の位置に来る線分）を結ぶ。
さらにこの線分内で原点にもっとも近い点は（1/2、1/2） （距離（√2）/2 ）だから、
この点を始点にπだけ回した点をやはり半円で描く。
（積分で回転体の体積を考えるとき、軸からもっとも近い距離の点の軌跡を
考えるのと同じ要領）
通過領域は以上の線分で囲まれた図形になる。
(1,1) （原点と結んだ点がｘ軸とπ/4の角度をなし、原点から√2離れた点）を
0～2πの間で回した軌跡だよ？ 原点中心の半径√2の円でいいじゃない。
(2）からは複雑になるけど、図形的に考えましょう、というのは同様。
（1,0）を回すと、ここを起点にした半径1の半円、
（0,1) を回すとやはり半円。これらは一体となって3/4円弧になる。
これらの点の始点どうし（もとの線分）、終点どうし（原点対象の位置に来る線分）を結ぶ。
さらにこの線分内で原点にもっとも近い点は（1/2、1/2） （距離（√2）/2 ）だから、
この点を始点にπだけ回した点をやはり半円で描く。
（積分で回転体の体積を考えるとき、軸からもっとも近い距離の点の軌跡を
考えるのと同じ要領）
通過領域は以上の線分で囲まれた図形になる。
> Pがcosθ,-sinθ、sinθ,cosθ
行列と縦ベクトル(11） の積だから、像の座標は
（cosθ-sinθ, sinθ+cosθ）
こいつを合成で処理すると
（√2cos（θ+π/4）,√2sin（θ+π/4））
これでθを0～2πで変化させる、というのが数式で処理する時の手順。
行列と縦ベクトル(11） の積だから、像の座標は
（cosθ-sinθ, sinθ+cosθ）
こいつを合成で処理すると
（√2cos（θ+π/4）,√2sin（θ+π/4））
これでθを0～2πで変化させる、というのが数式で処理する時の手順。
極限の問題で
「 lim(x→0)f(x) 」を求めるような問題で、
lim(x→+0)f(x) と lim(x→-0)f(x) の両方の極限を求めなければならない場合
（lim(x→0){2^(1/x)}／[1+{2^(1/x)}] のような問題）と、
そのまま lim(x→0)f(x) だけを求めてもよい場合
（lim(x→0){sin(3x)}／[x+{sin(x)}] のような問題）
とはどのように区別すればよいのでしょうか
極限付近において関数が連続かどうか、つまり、
「lim(x→+0)f(x)」と「lim(x→-0)f(x)」の値が同じかどうか
ということを問題式を見ただけで判断するのはかなり困難ですよね？
連続かどうかがわからない場合は、最初っから+と-の２つで考えた方がいいって事なのでしょうか
解答の序盤でいつも悩んでしまいます
「 lim(x→0)f(x) 」を求めるような問題で、
lim(x→+0)f(x) と lim(x→-0)f(x) の両方の極限を求めなければならない場合
（lim(x→0){2^(1/x)}／[1+{2^(1/x)}] のような問題）と、
そのまま lim(x→0)f(x) だけを求めてもよい場合
（lim(x→0){sin(3x)}／[x+{sin(x)}] のような問題）
とはどのように区別すればよいのでしょうか
極限付近において関数が連続かどうか、つまり、
「lim(x→+0)f(x)」と「lim(x→-0)f(x)」の値が同じかどうか
ということを問題式を見ただけで判断するのはかなり困難ですよね？
連続かどうかがわからない場合は、最初っから+と-の２つで考えた方がいいって事なのでしょうか
解答の序盤でいつも悩んでしまいます
114 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 06:59:00 ID:ChlSdBX6O
三角形ABCの返AB、ACの中点をそれぞれD,Eとし、返BE、CDの交点をGとする。４点D,B,C,Eが同一円周上にあるとき、
(1)AB＝ACである。
(2)2∠ABG＝∠BAEであるとき、∠BAG＝∠ABGである。
(3) (2)の条件を満たすとき、三角形ABCは正三角形である。
を証明せよ。
って問題なんですけど(2)からわかりません
高２です。
(1)AB＝ACである。
(2)2∠ABG＝∠BAEであるとき、∠BAG＝∠ABGである。
(3) (2)の条件を満たすとき、三角形ABCは正三角形である。
を証明せよ。
って問題なんですけど(2)からわかりません
高２です。
115 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 08:05:50 ID:gJP2uX1Q0
>>114
中点連結定理よりBC//DE
∠DEB=∠EBC（錯角）=∠EDC（円周角）
∠EDB=∠EDC+∠CDB=∠DEB（上記）+∠CEB（円周角）=∠CED
DEは共有より
△DEB≡△DEC（2角挟辺）
よってBD=CEよりAB=AC
∠EBC=∠EDC（円周角）=∠BCD（錯角）より△BCGは2等辺三角形なのでBG=CG
∠ABG=∠ACG（円周角）
AB=ACより
△ABG≡△ACG（2辺挟角）
よって∠BAG=∠CAG=(1/2)∠BAC=∠ABG
∠BAG=∠ABGより△ABGは2等辺三角形
よってAG=BG
AD=BD
∠BAG=∠ABGより
△ADG≡△BDG（2辺挟角）
よって∠ADG=∠BDG
AD=BD
CDは共有より
△ADC≡△BDC（2辺挟角）
よってAC=BC
AB=AC=BCより△ABCは正三角形
中点連結定理よりBC//DE
∠DEB=∠EBC（錯角）=∠EDC（円周角）
∠EDB=∠EDC+∠CDB=∠DEB（上記）+∠CEB（円周角）=∠CED
DEは共有より
△DEB≡△DEC（2角挟辺）
よってBD=CEよりAB=AC
∠EBC=∠EDC（円周角）=∠BCD（錯角）より△BCGは2等辺三角形なのでBG=CG
∠ABG=∠ACG（円周角）
AB=ACより
△ABG≡△ACG（2辺挟角）
よって∠BAG=∠CAG=(1/2)∠BAC=∠ABG
∠BAG=∠ABGより△ABGは2等辺三角形
よってAG=BG
AD=BD
∠BAG=∠ABGより
△ADG≡△BDG（2辺挟角）
よって∠ADG=∠BDG
AD=BD
CDは共有より
△ADC≡△BDC（2辺挟角）
よってAC=BC
AB=AC=BCより△ABCは正三角形
116 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 08:08:08 ID:gJP2uX1Q0
>>113
>極限付近において関数が連続かどうか、つまり、
>「lim(x→+0)f(x)」と「lim(x→-0)f(x)」の値が同じかどうか
>ということを問題式を見ただけで判断するのはかなり困難ですよね？
困難ではないと思います
>連続かどうかがわからない場合は、最初っから+と-の２つで考えた方がいいって事なのでしょうか
それもよいかも知れません
>極限付近において関数が連続かどうか、つまり、
>「lim(x→+0)f(x)」と「lim(x→-0)f(x)」の値が同じかどうか
>ということを問題式を見ただけで判断するのはかなり困難ですよね？
困難ではないと思います
>連続かどうかがわからない場合は、最初っから+と-の２つで考えた方がいいって事なのでしょうか
それもよいかも知れません
>>113
数学の素養が足りない。
数学の素養が足りない。
118 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 15:03:04 ID:KnIWGRgQ0
xについての３次関数y=x^3-3ax^2+4a^3-36a^2+72aのグラフが、
x軸の正の部分と異なる２点で交わるような定数aの値の範囲は
□＜a,または、□＜a＜□である。
という問題が解けません。よろしくおねがいします。
x軸の正の部分と異なる２点で交わるような定数aの値の範囲は
□＜a,または、□＜a＜□である。
という問題が解けません。よろしくおねがいします。
>>107
以前数学板で同じような話題があった．以下そのログ．
620 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:28:52
逆行列の定義で正方行列 A に対して AB=BA=E を満たす B が存在するとき
B を A の逆行列という、とありますが、
AB=E ならば BA=E は成り立つのに、何故わざわざ AB=BA=E としているのですか？
621 名前： １３２人目の素数さん [age] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:35:34
成り立つ事をとっとと示せ。
622 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:40:26
「AB=E ならば BA=E は成り立つのに」
ほう・・・・・
623 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 00:00:24
証明は線形代数の本に書いてあると思いますが．．．
もし成り立たないのなら反例を教えて下さい。
624 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2008/05/13(火) 00:19:14
それが自明じゃないからだよ。
群論を知ってたら逆元の定義を思い起こせるかな？
625 名前： １３２人目の素数さん [age] 投稿日： 2008/05/13(火) 00:25:55
>>623
AB=Eを満たすBをAの逆行列とだけ定義してAB=BA=Eを示してくれ。本の証明でもいいぞ
（続く）
以前数学板で同じような話題があった．以下そのログ．
620 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:28:52
逆行列の定義で正方行列 A に対して AB=BA=E を満たす B が存在するとき
B を A の逆行列という、とありますが、
AB=E ならば BA=E は成り立つのに、何故わざわざ AB=BA=E としているのですか？
621 名前： １３２人目の素数さん [age] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:35:34
成り立つ事をとっとと示せ。
622 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/12(月) 23:40:26
「AB=E ならば BA=E は成り立つのに」
ほう・・・・・
623 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 00:00:24
証明は線形代数の本に書いてあると思いますが．．．
もし成り立たないのなら反例を教えて下さい。
624 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2008/05/13(火) 00:19:14
それが自明じゃないからだよ。
群論を知ってたら逆元の定義を思い起こせるかな？
625 名前： １３２人目の素数さん [age] 投稿日： 2008/05/13(火) 00:25:55
>>623
AB=Eを満たすBをAの逆行列とだけ定義してAB=BA=Eを示してくれ。本の証明でもいいぞ
（続く）
>>118
y=x^3-3ax^2+4a^3-36a^2+72a
y'=3x^2-6ax=3x(x-2a)
(ｱ)2a=0，(ｲ)2a<0，(ｳ)2a>0
これら３つの場合について増減表を書くなりグラフを描くなりして調べると
(ｱ)と(ｲ)は明らかに不適だとわかるから
あとは残る(ｳ)について考察すると
求める範囲は 2<a<3，6<a
この流れで解き進めてもし詰まったらまた来て
てか答これで合ってるのかは知らんけどwww
y=x^3-3ax^2+4a^3-36a^2+72a
y'=3x^2-6ax=3x(x-2a)
(ｱ)2a=0，(ｲ)2a<0，(ｳ)2a>0
これら３つの場合について増減表を書くなりグラフを描くなりして調べると
(ｱ)と(ｲ)は明らかに不適だとわかるから
あとは残る(ｳ)について考察すると
求める範囲は 2<a<3，6<a
この流れで解き進めてもし詰まったらまた来て
てか答これで合ってるのかは知らんけどwww
>>119
626 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 01:02:07
X＝(1/|A|)A~ （A~ はAの余因子行列）
とおくと AX＝XA＝E
AB＝E のとき B＝XAB＝X （一意性）
では駄目ですか？
627 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2008/05/13(火) 01:28:43
>>626
あっている。
ただ、何を既知とするかで、証明方法はいろいろ。線形代数初心者には余因子の説明が必要。以下も例。
A,B,Eをnxnとする。
AB=Eならば、Bのランクはn
（そうでないとBによって写る像の次元がnより小さくなり、さらにAを掛けて次元がnにもどりようがない）
よってBは基本変形によりEにできる。つまり、Q-1BP = E、となるような基本行列P,Qがある。
これより、P-1を右から、Qを左から掛けることで
B=QP-1
を得る。ここで、AB=Eという題意の条件に上記B=QP-1を代入すると、AB=A(QP-1)=Eとなる。だからA=PQ-1となって、BA=(QP-1)
(PQ-1)=E
632 名前： 626 [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 10:53:52
>>627
有り難うございます。
では、「AB=Eを満たすBをAの逆行列」とだけ定義しなかったのは、
この定義だと逆行列の一意性の証明が自明でないからでしょうか？
それとも、行列限定ではなく一般には、片側の逆元（例えば左逆元）
の存在だけでは、もう片方の逆元の存在はいえないからでしょうか？
626 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 01:02:07
X＝(1/|A|)A~ （A~ はAの余因子行列）
とおくと AX＝XA＝E
AB＝E のとき B＝XAB＝X （一意性）
では駄目ですか？
627 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2008/05/13(火) 01:28:43
>>626
あっている。
ただ、何を既知とするかで、証明方法はいろいろ。線形代数初心者には余因子の説明が必要。以下も例。
A,B,Eをnxnとする。
AB=Eならば、Bのランクはn
（そうでないとBによって写る像の次元がnより小さくなり、さらにAを掛けて次元がnにもどりようがない）
よってBは基本変形によりEにできる。つまり、Q-1BP = E、となるような基本行列P,Qがある。
これより、P-1を右から、Qを左から掛けることで
B=QP-1
を得る。ここで、AB=Eという題意の条件に上記B=QP-1を代入すると、AB=A(QP-1)=Eとなる。だからA=PQ-1となって、BA=(QP-1)
(PQ-1)=E
632 名前： 626 [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 10:53:52
>>627
有り難うございます。
では、「AB=Eを満たすBをAの逆行列」とだけ定義しなかったのは、
この定義だと逆行列の一意性の証明が自明でないからでしょうか？
それとも、行列限定ではなく一般には、片側の逆元（例えば左逆元）
の存在だけでは、もう片方の逆元の存在はいえないからでしょうか？
∫e^-x=--e^-x+C
になるまでの過程をどなたかお教えください。
所有しているどの参考書にも載っていないんです。
になるまでの過程をどなたかお教えください。
所有しているどの参考書にも載っていないんです。
>>122
∫e^(-x)dx=∫{-e^(-x)}'dx=-e^(-x)+C
∫e^(-x)dx=∫{-e^(-x)}'dx=-e^(-x)+C
124 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 18:06:59 ID:ygOhJa1GO
a,bを正の実数とする。このとき
｢x^2+y^2≦a^2ならば、|xｰ2y|≦bである｣
という命題が成り立つための必要十分条件を求めよ。
何これ！？どうやるんですか！？
お願いします。
｢x^2+y^2≦a^2ならば、|xｰ2y|≦bである｣
という命題が成り立つための必要十分条件を求めよ。
何これ！？どうやるんですか！？
お願いします。
127 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 19:04:29 ID:KnIWGRgQ0
128 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 19:04:53 ID:56gR93Rs0
>>126
x^2+y^2≦a^2、|x-2y|≦bをxy平面上にそれぞれ図示してみるといい。
直線x-2y=b, x-2y=-bの原点からの距離がa以上になれば
よいことは図からわかると思う。後は計算だけ。
x^2+y^2≦a^2、|x-2y|≦bをxy平面上にそれぞれ図示してみるといい。
直線x-2y=b, x-2y=-bの原点からの距離がa以上になれば
よいことは図からわかると思う。後は計算だけ。
>>127
>>120も参照のこと
(ｱ)2a=0すなわちa=0のとき
y'=3x(x-0)=3x^2≧0
yはすべての区間で単調に増加するから、グラフとx軸との交点は１つしかない
(ｲ)2a<0すなわちa<0のとき
増減を調べてみると、区間x≧0においてyは単調に増加する事がわかるから
グラフとx軸の正の部分との交点は高々１つしかないとわかる
（実際にはa<0のときにはx=0に対してy＜0なので交点は１つ存在するんだけど…）
(ｳ)2a>0すなわちa>0のとき増減を調べてみると、0≦x≦2aでyは減少、x≧2aでは増加だよね？
…そんじゃどうすればグラフとx軸の正の部分が２点で交わるよ？
分かんなかったらまた来てwww
>>120も参照のこと
(ｱ)2a=0すなわちa=0のとき
y'=3x(x-0)=3x^2≧0
yはすべての区間で単調に増加するから、グラフとx軸との交点は１つしかない
(ｲ)2a<0すなわちa<0のとき
増減を調べてみると、区間x≧0においてyは単調に増加する事がわかるから
グラフとx軸の正の部分との交点は高々１つしかないとわかる
（実際にはa<0のときにはx=0に対してy＜0なので交点は１つ存在するんだけど…）
(ｳ)2a>0すなわちa>0のとき増減を調べてみると、0≦x≦2aでyは減少、x≧2aでは増加だよね？
…そんじゃどうすればグラフとx軸の正の部分が２点で交わるよ？
分かんなかったらまた来てwww
>>119 121 で書かれてるのも、
>>107で書いたのとポイントは同じで、
AB=EでAの正則性が保証されれば（AX=XA=EとなるXが存在することが
確定すれば）BはそのXに他ならない、という道筋だと思う。
で、>>121最後の
>それとも、行列限定ではなく一般には、片側の逆元（例えば左逆元）
>の存在だけでは、もう片方の逆元の存在はいえないからでしょうか？
に関わってくるような感じなんだろうか。
>>107で書いたのとポイントは同じで、
AB=EでAの正則性が保証されれば（AX=XA=EとなるXが存在することが
確定すれば）BはそのXに他ならない、という道筋だと思う。
で、>>121最後の
>それとも、行列限定ではなく一般には、片側の逆元（例えば左逆元）
>の存在だけでは、もう片方の逆元の存在はいえないからでしょうか？
に関わってくるような感じなんだろうか。
131 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 20:43:00 ID:KnIWGRgQ0
>>129さん ありがとうございます。
グラフとx軸の正の部分が２点で交わるには
①x=0のときにy>0
解くとa<3,6<a
②x=2aのときにy<0
解くとa<0,2<a
2a>0,①,②より2<a<3，6<a
ということですよね？
やっと分かりました。
ご丁寧に教えていただきましてありがとうございました。
グラフとx軸の正の部分が２点で交わるには
①x=0のときにy>0
解くとa<3,6<a
②x=2aのときにy<0
解くとa<0,2<a
2a>0,①,②より2<a<3，6<a
ということですよね？
やっと分かりました。
ご丁寧に教えていただきましてありがとうございました。
132 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 20:53:39 ID:ZGyig/ysO
解答の記述についてなんですが、「よって」「したがって」「ゆえに」の使い分け方が分かりません。
これら全て同じ意味ですよね？
「だから」や「こういう理由で」という意味だと思うんですが。
あまり気にしないほうがいいですか？
これら全て同じ意味ですよね？
「だから」や「こういう理由で」という意味だと思うんですが。
あまり気にしないほうがいいですか？
133 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 21:42:27 ID:ygOhJa1GO
(1)行列A=1/6{[-1,-√3],[√3,-1]}に対して、A^n(n=1,2,3…)を求めよ。
(2)f[n](x)=[√3 1]A^n[cosx sinx] とするとき、
(↑ [√3 1]は行を、[cosx sinx]は列を表しています)
I[n]=∫【0→π】|f[n](x)|dxを求めよ。
(3)Σ【n=1→∞】I[n]を求めよ。
(1)は、Aが2π/3回転し、1/3倍に相似変換する行列と判断して、
3の倍数とそれ以外で場合分けをしてみました。
合っているかは別として結果を書きますと
n=3k→A^n=(1/3)^3k
n=3k+1→A^n=(1/3)^(3k+1)*(1/2){[-1,-√3][√3,-1]}
n=3k+2→A^n=(1/3)^(3k+2)*(1/2){[-1,√3][-√3,-1]}
(k=0,1,2…)
となりました。
(2)のf[n](x)から、どう手をつけていいのか分かりません。
普通に掛け合わせたものを積分すればいいのでしょうか？
どなたか宜しければ教えて下さい。
お手数でなければ(3)もお願いします。
どうか宜しくお願い致します。
(2)f[n](x)=[√3 1]A^n[cosx sinx] とするとき、
(↑ [√3 1]は行を、[cosx sinx]は列を表しています)
I[n]=∫【0→π】|f[n](x)|dxを求めよ。
(3)Σ【n=1→∞】I[n]を求めよ。
(1)は、Aが2π/3回転し、1/3倍に相似変換する行列と判断して、
3の倍数とそれ以外で場合分けをしてみました。
合っているかは別として結果を書きますと
n=3k→A^n=(1/3)^3k
n=3k+1→A^n=(1/3)^(3k+1)*(1/2){[-1,-√3][√3,-1]}
n=3k+2→A^n=(1/3)^(3k+2)*(1/2){[-1,√3][-√3,-1]}
(k=0,1,2…)
となりました。
(2)のf[n](x)から、どう手をつけていいのか分かりません。
普通に掛け合わせたものを積分すればいいのでしょうか？
どなたか宜しければ教えて下さい。
お手数でなければ(3)もお願いします。
どうか宜しくお願い致します。
134 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 22:20:57 ID:gJP2uX1Q0
135 ：大学への名無しさん：2009/02/10(火) 22:50:48 ID:n1ligODXO
5人が全員一緒に1回だけじゃんけんをするとき、ちょうど2人が勝つ確率と勝つ人が1人もいない確率は丁度１人が勝つ確率の何倍か
のやり方を教えてください。
後、2次関数y=x^2-axの2≦x≦5における最大値と最小値の差をdとおく。
ただしaは実数の定数。
このときd=5となるようなaの値は
(Ⅰ)a/2<2すなわちa<4のとき
最小値(2-a/4)^2-a^/4=4-a-3a^2/16
最大値(5-a/4)^2-a^2/4=25-5a/2-3a^2/16
ここでd=5なので
25-5a/2-3a^2/16-(4-a-3a^2/16)=21-3a/2=5
よってa=32/3
となりa<4に反するので不適。
(Ⅱ)2≦a/2≦5すなわち4≦a≦5のとき
最小値-a^2/4
①2≦a/2<3.5=7/2のとき
最大値(5-a/4)^2-a^2/4=25-5a/2-3a^2/16
②7/2≦a/2≦5のとき
最大値(2-a/4)^2-a^/4=4-a-3a^2/16
d=5より25-5a/2-3a^2/16-(-a^2/4)=a^2/4-5a/2+25=5,
4-a-3a^2/16-(-a^/4)=a^2/16-a＋4=5
よってa=8±4√5,5±√55i(i=√(-1)とする)となり条件に反するので不適。
(Ⅲ)5<a/2すなわち10<aのとき
最小値25-5a/2-3a^2/16，最大値4-a-3a^2/16
d=5より
4-a-3a^2/16-(25-5a/2-3a^2/16)=5
よってa=52/3
よって(Ⅰ)～(Ⅲ)より求めるaの値は52/3
となってしまったのですが、回答欄は
○○-○√○，○＋○√○(○にはマイナスか0～9が入る)
となってて全く違う答えなんです。
なんか途中で失敗した感があるのですが教えてください。
回答お願いします。
のやり方を教えてください。
後、2次関数y=x^2-axの2≦x≦5における最大値と最小値の差をdとおく。
ただしaは実数の定数。
このときd=5となるようなaの値は
(Ⅰ)a/2<2すなわちa<4のとき
最小値(2-a/4)^2-a^/4=4-a-3a^2/16
最大値(5-a/4)^2-a^2/4=25-5a/2-3a^2/16
ここでd=5なので
25-5a/2-3a^2/16-(4-a-3a^2/16)=21-3a/2=5
よってa=32/3
となりa<4に反するので不適。
(Ⅱ)2≦a/2≦5すなわち4≦a≦5のとき
最小値-a^2/4
①2≦a/2<3.5=7/2のとき
最大値(5-a/4)^2-a^2/4=25-5a/2-3a^2/16
②7/2≦a/2≦5のとき
最大値(2-a/4)^2-a^/4=4-a-3a^2/16
d=5より25-5a/2-3a^2/16-(-a^2/4)=a^2/4-5a/2+25=5,
4-a-3a^2/16-(-a^/4)=a^2/16-a＋4=5
よってa=8±4√5,5±√55i(i=√(-1)とする)となり条件に反するので不適。
(Ⅲ)5<a/2すなわち10<aのとき
最小値25-5a/2-3a^2/16，最大値4-a-3a^2/16
d=5より
4-a-3a^2/16-(25-5a/2-3a^2/16)=5
よってa=52/3
よって(Ⅰ)～(Ⅲ)より求めるaの値は52/3
となってしまったのですが、回答欄は
○○-○√○，○＋○√○(○にはマイナスか0～9が入る)
となってて全く違う答えなんです。
なんか途中で失敗した感があるのですが教えてください。
回答お願いします。
>>130
続きを忘れてた．
634 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 21:54:32
>>632
著者の好み．
少なくとも俺がそう書くのは，一般の代数での逆元の定義：
「右逆元と左逆元が存在し，一致するとき逆元という」
というのを念頭に置き，これと一致するようにしているから．
635 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 22:37:14
>>632
ある集合のすべての元に定義されている演算・があるとする。
この演算・の単位元もあるとする。
単位元をeとすると、
a・b=eであるが、b・a≠eであるようなものはある。
（というか数個の元からなる集合で、勝手にそいう規則をつくればいい。
たとえば、I,K,Lの3つの元で、Iを単位元として、K・L=I、L・K=Kとすればよい）
しかし、さらに演算・に結合法則が成り立ち、「右逆元がすべての元に対して存在」すれば、左逆元も存在し、両者は一致す
る。
（もちろん、上記は左逆元がすべての元に対して存在する、と仮定しても同様）
新着レス 2008/05/13(火) 23:09
636 名前： 626 [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 23:09:18
>>634-635
どうも有り難うございました。
長年のもやもやがやっと取れました！
続きを忘れてた．
634 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 21:54:32
>>632
著者の好み．
少なくとも俺がそう書くのは，一般の代数での逆元の定義：
「右逆元と左逆元が存在し，一致するとき逆元という」
というのを念頭に置き，これと一致するようにしているから．
635 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 22:37:14
>>632
ある集合のすべての元に定義されている演算・があるとする。
この演算・の単位元もあるとする。
単位元をeとすると、
a・b=eであるが、b・a≠eであるようなものはある。
（というか数個の元からなる集合で、勝手にそいう規則をつくればいい。
たとえば、I,K,Lの3つの元で、Iを単位元として、K・L=I、L・K=Kとすればよい）
しかし、さらに演算・に結合法則が成り立ち、「右逆元がすべての元に対して存在」すれば、左逆元も存在し、両者は一致す
る。
（もちろん、上記は左逆元がすべての元に対して存在する、と仮定しても同様）
新着レス 2008/05/13(火) 23:09
636 名前： 626 [sage] 投稿日： 2008/05/13(火) 23:09:18
>>634-635
どうも有り難うございました。
長年のもやもやがやっと取れました！
138 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 00:02:01 ID:GNXcGF/wO
>>135お前頭悪いだろ？
要領良く勉強できないタイプ。
要領良く勉強できないタイプ。
>>135 後半はそもそも平方完成を失敗してるんで話にならない。
x^2-ax = (x-a/2)^2 -a^2/4 だよ。
あと、軸以外の値を代入するときは平方完成前の形に入れるのがふつー。
x=2 を代入するなら2＾2-a*2=-2a+4
---
前半「人は区別する」という大原則がある。5人の手のバリエーションは
3＾5 = 243 でこれが分母。あと、グーチョキパーをGCPと略す。
誰かが勝つ確率は、「勝ちの手」と「負けの手」の組み合わせが3通り
（GCPのどれかが勝ち、勝ちに対応した負けの手が自動的に決定）
5人の手をこのうちどれかだけに割り振る場合の数が 3*2＾5、
ただしオールG/P/Cはアイコになるので、結局一度で勝負が付く
場合の数全体は 3*2＾5-3 = 93
勝負が付かなければアイコだから、勝つ奴が一人もいない場合の数は
243-93=150通り
一人が勝つ場合「5人のうちの誰」が「どの手」で勝つかで特定できる。
二人が勝つ場合も、「5人のうちの誰と誰」が「どの手」で勝つかで
特定できる。
x^2-ax = (x-a/2)^2 -a^2/4 だよ。
あと、軸以外の値を代入するときは平方完成前の形に入れるのがふつー。
x=2 を代入するなら2＾2-a*2=-2a+4
---
前半「人は区別する」という大原則がある。5人の手のバリエーションは
3＾5 = 243 でこれが分母。あと、グーチョキパーをGCPと略す。
誰かが勝つ確率は、「勝ちの手」と「負けの手」の組み合わせが3通り
（GCPのどれかが勝ち、勝ちに対応した負けの手が自動的に決定）
5人の手をこのうちどれかだけに割り振る場合の数が 3*2＾5、
ただしオールG/P/Cはアイコになるので、結局一度で勝負が付く
場合の数全体は 3*2＾5-3 = 93
勝負が付かなければアイコだから、勝つ奴が一人もいない場合の数は
243-93=150通り
一人が勝つ場合「5人のうちの誰」が「どの手」で勝つかで特定できる。
二人が勝つ場合も、「5人のうちの誰と誰」が「どの手」で勝つかで
特定できる。
140 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 09:09:52 ID:004qtclFO
>>139
ありがとうございます。
ということは2人が勝つ確率は
5人から2人選ぶので5C2,2人勝ってもG/C/P GCPの場合と全員あいこがあるので-4ということで
(5C2*3*2^5-4)/243
でしょうか?
2は勝ちと負けで2通りということですよね?
ありがとうございます。
ということは2人が勝つ確率は
5人から2人選ぶので5C2,2人勝ってもG/C/P GCPの場合と全員あいこがあるので-4ということで
(5C2*3*2^5-4)/243
でしょうか?
2は勝ちと負けで2通りということですよね?
141 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 10:49:34 ID:WWfP4+Ld0
>>135
グーの出ている組み合わせの全体をG
チョキ・パーについてもC,Pとすると
#G∪C∪P=3^5
（#AはAの要素数を表す）
#G∪C＼P=2^5
（A＼BはAであってBでないすなわちAを全体集合としたときのA∩Bの補集合を表す）
同様に#C∪P＼G=2^5, #P∪G＼C=2^5
よって
#G=#G∪C∪P-#C∪P＼G=3^5-2^5
同様に#C=3^5-2^5, #P=3^5-2^5
また
#G＼C＼P=1^5=1, #C＼P＼G=1, #P＼G＼C=1
よって
#G∩C＼P=#G∪C＼P-#G＼C＼P-#C＼P＼G=2^5-2
#C∩P＼G=2^5-2, #P∩G＼C=2^5-2
#G∩C∩P=#G-#G＼C＼P-#G∩C＼P-#P∩G＼C=(3^5-2^5)-1-2(2^5-2)=3^5-3・2^5+3
勝ち負けが決まらないのは
#G＼C＼P+#C＼P＼G+#P＼G＼C+#G∩C∩P=1+1+1+3^5-3・2^5+3=3^5-3・2^5+6
よってその確率は(3^5-3・2^5+6)/3^5=(3^4-2^5+2)/3^4=51/81
ちょうど2人が勝つ場合のうち2人がグー3人がチョキの場合は5C2=10
チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
3・10/3^5=10/81
ちょうど1人が勝つ場合のうち1人がグー4人がチョキの場合は5C1=5
チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
3・5/3^5=5/81
グーの出ている組み合わせの全体をG
チョキ・パーについてもC,Pとすると
#G∪C∪P=3^5
（#AはAの要素数を表す）
#G∪C＼P=2^5
（A＼BはAであってBでないすなわちAを全体集合としたときのA∩Bの補集合を表す）
同様に#C∪P＼G=2^5, #P∪G＼C=2^5
よって
#G=#G∪C∪P-#C∪P＼G=3^5-2^5
同様に#C=3^5-2^5, #P=3^5-2^5
また
#G＼C＼P=1^5=1, #C＼P＼G=1, #P＼G＼C=1
よって
#G∩C＼P=#G∪C＼P-#G＼C＼P-#C＼P＼G=2^5-2
#C∩P＼G=2^5-2, #P∩G＼C=2^5-2
#G∩C∩P=#G-#G＼C＼P-#G∩C＼P-#P∩G＼C=(3^5-2^5)-1-2(2^5-2)=3^5-3・2^5+3
勝ち負けが決まらないのは
#G＼C＼P+#C＼P＼G+#P＼G＼C+#G∩C∩P=1+1+1+3^5-3・2^5+3=3^5-3・2^5+6
よってその確率は(3^5-3・2^5+6)/3^5=(3^4-2^5+2)/3^4=51/81
ちょうど2人が勝つ場合のうち2人がグー3人がチョキの場合は5C2=10
チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
3・10/3^5=10/81
ちょうど1人が勝つ場合のうち1人がグー4人がチョキの場合は5C1=5
チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
3・5/3^5=5/81
142 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 10:50:00 ID:WWfP4+Ld0
>>139
>5人の手をこのうちどれかだけに割り振る場合の数が�3*2＾5、
>ただしオールG/P/Cはアイコになるので、結局一度で勝負が付く
>場合の数全体は�3*2＾5-3�=�93
どれかだけに割り振る場合の数の中でオールG/P/Cになる場合が2回ずつ重複して数えられてますので6を引きます
>5人の手をこのうちどれかだけに割り振る場合の数が�3*2＾5、
>ただしオールG/P/Cはアイコになるので、結局一度で勝負が付く
>場合の数全体は�3*2＾5-3�=�93
どれかだけに割り振る場合の数の中でオールG/P/Cになる場合が2回ずつ重複して数えられてますので6を引きます
143 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 12:44:29 ID:aHO/g3BL0
チェクリピ数ⅠA 60番
a^2-8a+24<4b<-a^2+8a を解く。
bは 2<b<4の範囲で動く。
解き方 a^2-8a+24<-a^2+8aで2<a<6
なぜa^2-8a+24<-a^2+8aだけでいいのかよくわかりません。
よろしくお願いします。
a^2-8a+24<4b<-a^2+8a を解く。
bは 2<b<4の範囲で動く。
解き方 a^2-8a+24<-a^2+8aで2<a<6
なぜa^2-8a+24<-a^2+8aだけでいいのかよくわかりません。
よろしくお願いします。
145 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 13:20:54 ID:aHO/g3BL0
>>144
わかりました！thx!!また何かあったら教えて下さい！
わかりました！thx!!また何かあったら教えて下さい！
146 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 13:32:17 ID:WWfP4+Ld0
>>141
>ちょうど2人が勝つ場合のうち2人がグー3人がチョキの場合は5C2=10
>チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
>3・10/3^5=10/81
>ちょうど1人が勝つ場合のうち1人がグー4人がチョキの場合は5C1=5
>チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
>3・5/3^5=5/81
同様にちょうど3人が勝つ場合が
3・5C3/3^5=10/81
ちょうど4人が勝つ場合が
3・5C4/3^5=5/81
勝負が付かない場合が
1-(5/81+10/81+10/81+5/81)=51/81
>ちょうど2人が勝つ場合のうち2人がグー3人がチョキの場合は5C2=10
>チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
>3・10/3^5=10/81
>ちょうど1人が勝つ場合のうち1人がグー4人がチョキの場合は5C1=5
>チョキ・パーの場合もパー・グーの場合も同じなのでその確率は
>3・5/3^5=5/81
同様にちょうど3人が勝つ場合が
3・5C3/3^5=10/81
ちょうど4人が勝つ場合が
3・5C4/3^5=5/81
勝負が付かない場合が
1-(5/81+10/81+10/81+5/81)=51/81
147 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 16:00:34 ID:fswpLIYS0
座標平面のx>0の部分に半径1/2の円Cがあり、x軸と放物線y=x^2に接している。
(1)円Cの中心の座標を求めよ
(2)x軸、放物線y=x^2および円Cによって囲まれた部分
(ただし、円の内部は含まない)の面積を求めよ。
(1)の中心の座標は求まったのですが、(2)が分かりません
どなたかご教授お願いいたします。
(1)円Cの中心の座標を求めよ
(2)x軸、放物線y=x^2および円Cによって囲まれた部分
(ただし、円の内部は含まない)の面積を求めよ。
(1)の中心の座標は求まったのですが、(2)が分かりません
どなたかご教授お願いいたします。
質問です
区分求積法についてなのですが、
公式 ∫[a,b]f(x)dx=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]f(xk)Δx の積分区間[a,b]はどうやって求めるのでしょうか？
問題を解いていて右辺の形には出来るのですが、積分区間が分からないため公式を使うことが出来ません。
解答を見ても導いた経緯がなく、いきなり出てくるのでさっぱり分かりません。
助けてください。
区分求積法についてなのですが、
公式 ∫[a,b]f(x)dx=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]f(xk)Δx の積分区間[a,b]はどうやって求めるのでしょうか？
問題を解いていて右辺の形には出来るのですが、積分区間が分からないため公式を使うことが出来ません。
解答を見ても導いた経緯がなく、いきなり出てくるのでさっぱり分かりません。
助けてください。
積分区間の取り方は複数（極端に言えば無数）ある．
ケースバイケース．
ケースバイケース．
>>148 たとえば
lim[n→∞] { Σ[k=1,n] log(2+(k/n))*(1/n) }
が「何を表しているか図に描ける」ことがまず大事で、その上で描いたものを
積分として再解釈する、という理解の仕方が必要だと思うんだけど。
何度かこうしたことをして、慣れてくると、対応関係から一発で積分と
見られるようになるけれど、いきなり「これは積分にこう対応する」と
覚え（させ）るのはダメだと思う。
lim[n→∞] { Σ[k=1,n] log(2+(k/n))*(1/n) }
が「何を表しているか図に描ける」ことがまず大事で、その上で描いたものを
積分として再解釈する、という理解の仕方が必要だと思うんだけど。
何度かこうしたことをして、慣れてくると、対応関係から一発で積分と
見られるようになるけれど、いきなり「これは積分にこう対応する」と
覚え（させ）るのはダメだと思う。
三角形と四角形の存在条件についてですが
三角形ABCがそんざいするためには
-1<COSA<1
となるのはCOSA=±1のとき直線になるってことでいいですか？
四角形の存在条件を問題をとく過程で見かけたのですがどのようにして使っているんだかよくわかりませんでした
三角形の存在条件はしってるのですが…
三角形ABCがそんざいするためには
-1<COSA<1
となるのはCOSA=±1のとき直線になるってことでいいですか？
四角形の存在条件を問題をとく過程で見かけたのですがどのようにして使っているんだかよくわかりませんでした
三角形の存在条件はしってるのですが…
147ですが(1)はこうなりました。
円Cの中心の座標を(a,1/2)(a>0)とおくと
Cの方程式は(x-a)^2+(y-1/2)^2=1/4
y=x^2をCの方程式(x-a)^2+(y-1/2)^2=1/4に代入
x^4-2ax+a^2=0・・・(※)
これがただ1つだけ実数解を持つとき接する。
微分して増減表を書くと、
x<(3乗根4a)/2のとき減少、x>(3乗根4a)/2のとき増加だと分かるから、
(※)がx=(3乗根4a)/2を解に持てばよい。
代入して、
{(3乗根4a)/2}^4-2a・(3乗根4a)/2+a^2=0
∴-3a(3乗根4a)/4+a^2=0
両辺をa・(3乗根a)で割ると、
-3(3乗根4)/4+(3乗根a^2)=0
∴a=3√3/4
よって、中心の座標は(3√3/4,1/2)
円Cの中心の座標を(a,1/2)(a>0)とおくと
Cの方程式は(x-a)^2+(y-1/2)^2=1/4
y=x^2をCの方程式(x-a)^2+(y-1/2)^2=1/4に代入
x^4-2ax+a^2=0・・・(※)
これがただ1つだけ実数解を持つとき接する。
微分して増減表を書くと、
x<(3乗根4a)/2のとき減少、x>(3乗根4a)/2のとき増加だと分かるから、
(※)がx=(3乗根4a)/2を解に持てばよい。
代入して、
{(3乗根4a)/2}^4-2a・(3乗根4a)/2+a^2=0
∴-3a(3乗根4a)/4+a^2=0
両辺をa・(3乗根a)で割ると、
-3(3乗根4)/4+(3乗根a^2)=0
∴a=3√3/4
よって、中心の座標は(3√3/4,1/2)
>>149
>>150
どうやら公式でとくというより、本質を理解しないと解けそうにありませんね･･･
ただ、4時間ほど悩んでも理解が出来ないのでここは捨てようかと思います。
レスありがとうございました。
>>150
どうやら公式でとくというより、本質を理解しないと解けそうにありませんね･･･
ただ、4時間ほど悩んでも理解が出来ないのでここは捨てようかと思います。
レスありがとうございました。
154 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 18:46:34 ID:LB4V7Qn7O
3直線Ｙ＝0、2X－Ｙ＝0、X＋2Ｙ－a＝0(a＞0)で作られる三角形の外接円の半径をaを用いて表せ。答はa／2です。解いてもa／4にしかならいんですけど解き方教えてください。
すいません初歩的なこととは思いますが、
∫x/x^2+1=1/2log(x^2+1)+Cになるまでの途中式をお教え願います。
∫x/x^2+1=1/2log(x^2+1)+Cになるまでの途中式をお教え願います。
単発だが
ロピタルの定理は記述の場合、証明すれば使っていいの？
ロピタルの定理は記述の場合、証明すれば使っていいの？
158 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 19:05:10 ID:V2neJijb0
>>154
y=0をy軸(x=0)と勘違いしてないか？
2x-y=0とx+2y-a=0は直交するから原点と(a, 0)を結んだ線分が直径になる
>>155
x^2+1=tで置換
>>156
証明すればそりゃあいいだろう
y=0をy軸(x=0)と勘違いしてないか？
2x-y=0とx+2y-a=0は直交するから原点と(a, 0)を結んだ線分が直径になる
>>155
x^2+1=tで置換
>>156
証明すればそりゃあいいだろう
すみませんがどなたか>>147をお願いします。
160 ：156：2009/02/11(水) 19:09:42 ID:8DFHRSS7O
>>158
ですよねｗありがとー
ですよねｗありがとー
>>158
ありがとうございます。多分自力でできたと思います。
ですが自身がないので、おこがましいとは思いますがよろしければ途中式まで書いて頂けませんか？
もし面倒でしたら無視してもらってかまいません
ありがとうございます。多分自力でできたと思います。
ですが自身がないので、おこがましいとは思いますがよろしければ途中式まで書いて頂けませんか？
もし面倒でしたら無視してもらってかまいません
f(x)=x^3
g(x)=mx-2
上の曲線と直線が
(1)接するときの接点
(2)異なる３点で交わる実数mの範囲
の一番やりやすい解き方を教えてください。数学Ⅱの範囲でお願いします。
g(x)=mx-2
上の曲線と直線が
(1)接するときの接点
(2)異なる３点で交わる実数mの範囲
の一番やりやすい解き方を教えてください。数学Ⅱの範囲でお願いします。
163 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:09:12 ID:WWfP4+Ld0
>>147
(x-a)^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2
y=x^2
y'=2x=-(x-a)/(y-1/2)
x-a=-2x(y-1/2)
4x^2(y-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/4
(4y+1)(y-1/2)^2=1/4
4y^3-3y^2=0
y=0, 3/4
(0,0)は接点として不適なので((√3)/2,3/4)が接点
a=x+2x(y-1/2)=(3√3)/4
∫[0,3/4](((3√3)/4-√((1/2)^2-(y-1/2)^2)-√y)dy
=(9√3)/16-∫[0,3/4]√((1/2)^2-(y-1/2)^2)dy-(√3)/4
=(5√3)/16-∫[-π/2,π/6](1/4)cos^2θdθ
=(5√3)/16-(1/4)(π/3+(√3)/8)
=(9√3)/32-π/12
求める領域に中心角2π/3の扇型を加えたものが放物線とx軸の間の領域に台形を加えたものと一致するので
∫[0,(√3)/2]x^2dx+(1/2)(3/4+1/2)((√3)/4)-(1/2)(1/2)^2(2π/3)=(√3)/8+(5√3)/32-π/12=(9√3)/32-π/12
として求めてもよい
(x-a)^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2
y=x^2
y'=2x=-(x-a)/(y-1/2)
x-a=-2x(y-1/2)
4x^2(y-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/4
(4y+1)(y-1/2)^2=1/4
4y^3-3y^2=0
y=0, 3/4
(0,0)は接点として不適なので((√3)/2,3/4)が接点
a=x+2x(y-1/2)=(3√3)/4
∫[0,3/4](((3√3)/4-√((1/2)^2-(y-1/2)^2)-√y)dy
=(9√3)/16-∫[0,3/4]√((1/2)^2-(y-1/2)^2)dy-(√3)/4
=(5√3)/16-∫[-π/2,π/6](1/4)cos^2θdθ
=(5√3)/16-(1/4)(π/3+(√3)/8)
=(9√3)/32-π/12
求める領域に中心角2π/3の扇型を加えたものが放物線とx軸の間の領域に台形を加えたものと一致するので
∫[0,(√3)/2]x^2dx+(1/2)(3/4+1/2)((√3)/4)-(1/2)(1/2)^2(2π/3)=(√3)/8+(5√3)/32-π/12=(9√3)/32-π/12
として求めてもよい
>>162
(1) f(x)-g(x)=x^3-mx+2 = ｛(x-α)^2*｝(x-β）
とおいて右辺を展開。2次の項と定数項からα、βを求めて
そこからmを導く。αは接点のx座標、βは交点のx座標になる。
(2)ｘ＾3=mx-2 が3つの解を持つ ⇔ y=x^3+2 と y=mx が3つの交点を持つ
と考える。まずy=ｘ＾3+2 のグラフを描き、原点を通る直線y=mxがこれと
3交点を持つmの範囲をグラフから考える。
(1) f(x)-g(x)=x^3-mx+2 = ｛(x-α)^2*｝(x-β）
とおいて右辺を展開。2次の項と定数項からα、βを求めて
そこからmを導く。αは接点のx座標、βは交点のx座標になる。
(2)ｘ＾3=mx-2 が3つの解を持つ ⇔ y=x^3+2 と y=mx が3つの交点を持つ
と考える。まずy=ｘ＾3+2 のグラフを描き、原点を通る直線y=mxがこれと
3交点を持つmの範囲をグラフから考える。
165 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:19:29 ID:WWfP4+Ld0
>>154
2x-y=0とx+2y-a=0は直交するのでこの三角形は直角三角形でありその斜辺はy=0と2x-y=0nの交点（原点）とy=0とx+2y-a=0の交点(a,0)とを両端とするので外接円の直径はa半径はa/2
2x-y=0とx+2y-a=0は直交するのでこの三角形は直角三角形でありその斜辺はy=0と2x-y=0nの交点（原点）とy=0とx+2y-a=0の交点(a,0)とを両端とするので外接円の直径はa半径はa/2
(1) f(x)-g(x)=x^3-mx+2 = ｛(x-α)^2｝*(x-β）
*の位置がずれた。
なお、「何でこれでいいんだ」と説明を要求されうる状況（学校の課題等）で
しかも説明できないなら、「接点の座標をtと置いて、接線の公式に従って
y=x^3の接線の方程式を作り、それが y=mx-2 の形になる」と解いていく。
……y=x＾3が単純な形だからこっちのほうが楽かも。
*の位置がずれた。
なお、「何でこれでいいんだ」と説明を要求されうる状況（学校の課題等）で
しかも説明できないなら、「接点の座標をtと置いて、接線の公式に従って
y=x^3の接線の方程式を作り、それが y=mx-2 の形になる」と解いていく。
……y=x＾3が単純な形だからこっちのほうが楽かも。
>>164
なるほど！ありがとうございます！
なるほど！ありがとうございます！
168 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:23:23 ID:WWfP4+Ld0
>>155
∫(x/(x^2+1))dx
=∫1/(x^2+1)・(1/2)2xdx
=∫1/(x^2+1)・(1/2)d(x^2+1)
=∫1/t・(1/2)dt
=(1/2)log(x^2+1)+C
∫(x/(x^2+1))dx
=∫1/(x^2+1)・(1/2)2xdx
=∫1/(x^2+1)・(1/2)d(x^2+1)
=∫1/t・(1/2)dt
=(1/2)log(x^2+1)+C
169 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:23:46 ID:LB4V7Qn7O
154です。ありがとうございました。
すみません…
f(x)=2{4^x-4^(-x)}-10{2^x+2^(-x)}-1
(x≧0)
の最小値とそのときのxの値をお願いします。
f(x)=2{4^x-4^(-x)}-10{2^x+2^(-x)}-1
(x≧0)
の最小値とそのときのxの値をお願いします。
行列です。
A^2 +A+E=Ｏが成立するとき、A-Eは逆行列をもつことを示せ
という問です。
解答に、
(A-E)(A+pE)を展開するとき、Aの係数はp-1であり
これが1になるようなpを定めて]
とのことなのですが、この[]の内用は解答用紙に書くべきでしょうか？
いきなり(A-E)(A+2E)=…
と書くのもどうかと思いまして
よろしければ御教授願います
A^2 +A+E=Ｏが成立するとき、A-Eは逆行列をもつことを示せ
という問です。
解答に、
(A-E)(A+pE)を展開するとき、Aの係数はp-1であり
これが1になるようなpを定めて]
とのことなのですが、この[]の内用は解答用紙に書くべきでしょうか？
いきなり(A-E)(A+2E)=…
と書くのもどうかと思いまして
よろしければ御教授願います
176 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:48:35 ID:KIxl54n+0
>>171
2^x+2(-x)=tと変換。相加相乗からtの値域( f(x)にとって定義域 )を出す
2^x+2(-x)=tと変換。相加相乗からtの値域( f(x)にとって定義域 )を出す
177 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 21:54:23 ID:/KAb30ZtO
質問です。
tan0 = tan{(π/2)-(π/2)} = 1/{tan(π/2)} ？
この考え方は何がおかしいのでしょうか。
tan0 = tan{(π/2)-(π/2)} = 1/{tan(π/2)} ？
この考え方は何がおかしいのでしょうか。
>>177
tanθはπ/2+nπ(nは整数)では定義されない(値が存在しない)
tanθはπ/2+nπ(nは整数)では定義されない(値が存在しない)
>177
tan(α-β)
=sin(α-β)/cos(α-β)
=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
この過程で分母分子をcosαcosβで割っているので
cosαcosβ≠0即ちα,β≠nπ±π/2のときのみtanの加法定理は成り立つ
tan(α-β)
=sin(α-β)/cos(α-β)
=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
この過程で分母分子をcosαcosβで割っているので
cosαcosβ≠0即ちα,β≠nπ±π/2のときのみtanの加法定理は成り立つ
>>171
数III 使えば、t=2＾x として（ｘが増加するときｔも増加、x≧0でt≧1）
g(t)= 2t＾2 - 2/t＾2 -10ｔ -10/ｔ -1
これを微分して、1/t＾3（これは常に正）でくくって
分子だけに着目して増減表書いて、t=2 つまりx=1で最小値、
とできそうだけどねぇ。
この形で質問ってことは学校等の課題くさいけど、どこの単元を
履修中に出された問題？
数III 使えば、t=2＾x として（ｘが増加するときｔも増加、x≧0でt≧1）
g(t)= 2t＾2 - 2/t＾2 -10ｔ -10/ｔ -1
これを微分して、1/t＾3（これは常に正）でくくって
分子だけに着目して増減表書いて、t=2 つまりx=1で最小値、
とできそうだけどねぇ。
この形で質問ってことは学校等の課題くさいけど、どこの単元を
履修中に出された問題？
質問です。
K1:x^+y^=9 、 K2:(x-5)^+y^=4とする。
円K1の周および内部の領域をD1、円K2の周および内部の領域をD2とする。
また、点(a,b)は領域D1、D2を動く点とする。(y-x)の最大値、最小値をもとめよ。
これはどう解けばよいのですか？
K1:x^+y^=9 、 K2:(x-5)^+y^=4とする。
円K1の周および内部の領域をD1、円K2の周および内部の領域をD2とする。
また、点(a,b)は領域D1、D2を動く点とする。(y-x)の最大値、最小値をもとめよ。
これはどう解けばよいのですか？
182 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 22:40:03 ID:KIxl54n+0
k=y-x⇔y=x+kとおき、xy座標座標平面でkを動かして調べる(線形計画法)
184 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 22:55:01 ID:WWfP4+Ld0
>>171
t=2^xとおく（x≧0よりt≧1）
f(x)=g(t)=2(t^2-t^(-2))-10(t+t^(-1))-1
g'(t)=4t+4t^(-3)-10+10t^(-2)
g''(t)=4-12t^(-4)-20t^(-3)
g'''(t)=48t^(-5)+60t^(-4)>0よりg''(t)は単調増加
g''(7/4)=-2428/2401<0, g''(2)=3/4>0よりg''(t)=0となるtは7/4<t<2の範囲にただ１つ存在しこの値aにおいてg'(t)は最小値を取る
g''(a)=4-12a^(-4)-20a^(-3)=0
4a^4-12-20a=0
a^3=3a^(-1)+5
g'(a)=(4a^4-10a^3+10a+4)/a^3
=(30a-30a^(-1)-34)/a^3
分子h(t)=30t-30t^(-1)-34はt>0で単調増加なので
h(a)>h(7/4)=19/14>0よりg'(a)>0
よってg(t)は単調増加なのでg(t)≧g(1)=-21
t=2^xとおく（x≧0よりt≧1）
f(x)=g(t)=2(t^2-t^(-2))-10(t+t^(-1))-1
g'(t)=4t+4t^(-3)-10+10t^(-2)
g''(t)=4-12t^(-4)-20t^(-3)
g'''(t)=48t^(-5)+60t^(-4)>0よりg''(t)は単調増加
g''(7/4)=-2428/2401<0, g''(2)=3/4>0よりg''(t)=0となるtは7/4<t<2の範囲にただ１つ存在しこの値aにおいてg'(t)は最小値を取る
g''(a)=4-12a^(-4)-20a^(-3)=0
4a^4-12-20a=0
a^3=3a^(-1)+5
g'(a)=(4a^4-10a^3+10a+4)/a^3
=(30a-30a^(-1)-34)/a^3
分子h(t)=30t-30t^(-1)-34はt>0で単調増加なので
h(a)>h(7/4)=19/14>0よりg'(a)>0
よってg(t)は単調増加なのでg(t)≧g(1)=-21
188 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 23:07:21 ID:KIxl54n+0
189 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 23:09:28 ID:WWfP4+Ld0
-4^(-x)だったのか。
192 ：大学への名無しさん：2009/02/11(水) 23:17:30 ID:WWfP4+Ld0
193 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 00:00:55 ID:ZKtPkBK5O
数列
A(n+1)=1/2A(n)
-(1/2)^(n+1)+3/2の解法で
自分は
A(n+1)-p(1/2)^(n+2)+q
=1/2[A(n)-p(1/2)^(n+1)+q]※p、qは定数
として定数p、qを求める為にA(n+1)を代入したんですが、定数pが消えてしまい困っています
この方法での間違いが分からないので指摘してください。
※答えは別の方法で出せるので、解法上の間違えを教えて下さい
A(n+1)=1/2A(n)
-(1/2)^(n+1)+3/2の解法で
自分は
A(n+1)-p(1/2)^(n+2)+q
=1/2[A(n)-p(1/2)^(n+1)+q]※p、qは定数
として定数p、qを求める為にA(n+1)を代入したんですが、定数pが消えてしまい困っています
この方法での間違いが分からないので指摘してください。
※答えは別の方法で出せるので、解法上の間違えを教えて下さい
>>193
pが消えることが置き方の間違いだと思うが・・・
pが消えることが置き方の間違いだと思うが・・・
>>194
その手でうまくいかなかったら、pの部分をｎ（またはｎ+1）の1次式にしてみる。
A(n+1) -(p(n+1+q) (1/2)^(n+2)+r
=1/2[A(n)-(pn+q)(1/2)^(n+1)+r]※p、q、ｒは定数
でやってみそ。
ｐに掛かるのが左辺はｎ+1ってのがポイント
その手でうまくいかなかったら、pの部分をｎ（またはｎ+1）の1次式にしてみる。
A(n+1) -(p(n+1+q) (1/2)^(n+2)+r
=1/2[A(n)-(pn+q)(1/2)^(n+1)+r]※p、q、ｒは定数
でやってみそ。
ｐに掛かるのが左辺はｎ+1ってのがポイント
>>192
間違えではありません。俺も何回も見直しましたが…
さすがに+4^(-x)ならできますよ。
これは底辺私大の問題で赤本がなく、解答入手不可です。この類の問題は２年連続で出てるんでミスでもないと思われます。それにミスプリにはちゃんと訂正があるので…
間違えではありません。俺も何回も見直しましたが…
さすがに+4^(-x)ならできますよ。
これは底辺私大の問題で赤本がなく、解答入手不可です。この類の問題は２年連続で出てるんでミスでもないと思われます。それにミスプリにはちゃんと訂正があるので…
>>192
もし+4^(-x)だとしたらｔとおかなくても相加相乗で一発で答えを出せますよね？
もし+4^(-x)だとしたらｔとおかなくても相加相乗で一発で答えを出せますよね？
199 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 00:43:42 ID:Iil4q9YCO
202 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 01:07:57 ID:jcLQYpUR0
>>197
t=2^x+2^(-x)と置かないと相加相乗で一発というわけにはいかないのではないですか？
t=2^x+2^(-x)と置かないと相加相乗で一発というわけにはいかないのではないですか？
失礼します。
a>0,b>0のとき、(a+b)/2,√(ab),(2ab)/(a+b),√(a^2+b^2)/2
の大小関係を調べよ。という問題です。
(a+b)/2,√(ab)は、相加平均、相乗平均の大小を使い、求めることができました。
しかし、それ以上進むことができません。どなたかご教授願います。
a>0,b>0のとき、(a+b)/2,√(ab),(2ab)/(a+b),√(a^2+b^2)/2
の大小関係を調べよ。という問題です。
(a+b)/2,√(ab)は、相加平均、相乗平均の大小を使い、求めることができました。
しかし、それ以上進むことができません。どなたかご教授願います。
204 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 01:43:56 ID:QQ/HZ4naO
>>178-179
ご回答ありがとうございます。
ご回答ありがとうございます。
205 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 01:50:24 ID:jcLQYpUR0
>>203
((1/a)+(1/b))/2≧√((1/a)(1/b))
(a+b)/(2ab)≧1/√(ab)
2ab/(a+b)≦√(ab)
（2ab/(a+b)を調和平均といいます）
√((a^2+b^2)/2)？
(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2=(a^2-2ab+b^2)/4=(a-b)^2/4≧0
(a^2+b^2)/2≧((a+b)/2)^2
√((a^2+b^2)/2)≧(a+b)/2
((1/a)+(1/b))/2≧√((1/a)(1/b))
(a+b)/(2ab)≧1/√(ab)
2ab/(a+b)≦√(ab)
（2ab/(a+b)を調和平均といいます）
√((a^2+b^2)/2)？
(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2=(a^2-2ab+b^2)/4=(a-b)^2/4≧0
(a^2+b^2)/2≧((a+b)/2)^2
√((a^2+b^2)/2)≧(a+b)/2
206 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 01:51:40 ID:Iil4q9YCO
どういたしまして
>>203 結論は出てるけど、
こういうときは1と3等、とりあえず値を代入して「テストする」考えが有効。
（1+3）/2 =2
√（1*3）=√3≒1.732
2*1*3/（1+3）=3/2=1.5
√（（1^2+3^2）/2）=√5≒1.732
よって(2ab)/a+b < √（ab） < √（（a^2+b^2）/2） < （a+b)/2
と予想が付く（無論、a,bの値次第で逆転する可能性はあるので、あくまで
予想だけれど）
そうしたら隣接するものどうしで大小を確定させる方針で進める。
すべて正でルートが掛かってるものがあるなら、2乗同士の大小比較でも
かまわない、というのは定跡。
たとえば最初の2項、>>205では鮮やかに解いているけれど、
とりあえず2乗して差をとると
（√（ab））^2 - （（2ab）/（a+b））^2
=ab（1-4ab/（a+b)^2） =｛ab/（a+b）＾2｝*{（a+b)^2-4ab}
= ｛ab/（a+b）＾2｝*（a-b)^2≧0
のように何とかなっちゃうことも多い。
こういうときは1と3等、とりあえず値を代入して「テストする」考えが有効。
（1+3）/2 =2
√（1*3）=√3≒1.732
2*1*3/（1+3）=3/2=1.5
√（（1^2+3^2）/2）=√5≒1.732
よって(2ab)/a+b < √（ab） < √（（a^2+b^2）/2） < （a+b)/2
と予想が付く（無論、a,bの値次第で逆転する可能性はあるので、あくまで
予想だけれど）
そうしたら隣接するものどうしで大小を確定させる方針で進める。
すべて正でルートが掛かってるものがあるなら、2乗同士の大小比較でも
かまわない、というのは定跡。
たとえば最初の2項、>>205では鮮やかに解いているけれど、
とりあえず2乗して差をとると
（√（ab））^2 - （（2ab）/（a+b））^2
=ab（1-4ab/（a+b)^2） =｛ab/（a+b）＾2｝*{（a+b)^2-4ab}
= ｛ab/（a+b）＾2｝*（a-b)^2≧0
のように何とかなっちゃうことも多い。
↑√5≒2.236 だから （a+b)/2 < √（（a^2+b^2）/2）
です。失礼しますた。
です。失礼しますた。
>>202
いける。等号成立条件が4^x+4^(-x)と2^x+2^(-x)で一致する
いける。等号成立条件が4^x+4^(-x)と2^x+2^(-x)で一致する
X＝sinθ+cosθとおく。
0ﾟ≦θ≦135ﾟのとき、
f(θ)＝2(sin^3θ＋cos^3θ)＋√6/4sin2θとおくと、f(θ)はXのみの式g(X)に書き換えられる。g(X)をもとめよ。
またこの範囲の時のf(θ)の最大値とそのときのθを求めよ。
っていう問題誰か教えてください。
お願いします。
0ﾟ≦θ≦135ﾟのとき、
f(θ)＝2(sin^3θ＋cos^3θ)＋√6/4sin2θとおくと、f(θ)はXのみの式g(X)に書き換えられる。g(X)をもとめよ。
またこの範囲の時のf(θ)の最大値とそのときのθを求めよ。
っていう問題誰か教えてください。
お願いします。
cos^3x+sin^3x=(cosx+sinx)(cos^2x-cosxsinx+sin^2x)
2sinxcosx=(cosx+sinx)^2-(cos^2x+sin^2x)
2sinxcosx=(cosx+sinx)^2-(cos^2x+sin^2x)
213 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 07:21:09 ID:jcLQYpUR0
>>210
けれど2^x+2^(-x)は引いてますよ
けれど2^x+2^(-x)は引いてますよ
>>213
本当だ、これじゃあ無理だ。
本当だ、これじゃあ無理だ。
215 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 08:59:34 ID:qolWOrMjO
x^2+3y^2＝7^nで
x、yが互いに素でないならその最大公約数は7^nの約数になんでなるのかわかりません
教えてください
x、yが互いに素でないならその最大公約数は7^nの約数になんでなるのかわかりません
教えてください
216 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 10:02:24 ID:jcLQYpUR0
>>215
dをx,yの最大公約数とすると
x=x'd, y=y'dと因数分解できるから
7^n=x^2+3y^2=x'^2d^2+3y'^2d^2=(x'^2+3y'^2)d^2
x',y'は整数なのでx'^2+3y'^2も整数
よってdは7^nの約数
dをx,yの最大公約数とすると
x=x'd, y=y'dと因数分解できるから
7^n=x^2+3y^2=x'^2d^2+3y'^2d^2=(x'^2+3y'^2)d^2
x',y'は整数なのでx'^2+3y'^2も整数
よってdは7^nの約数
217 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 11:28:42 ID:qolWOrMjO
ありがとうございます
わかりました
わかりました
>>198
今のところは2^x=tとおいて数Ⅲでやる解法が一番やりやすいんですがね。
>>202
確かに…
2^(2x)+2^(-2x)と
2^x+2^(-x)は
相加相乗からどっちもx=0で最小になってしまいますね。
でもなんでこれじゃ解けないんですかね？
今のところは2^x=tとおいて数Ⅲでやる解法が一番やりやすいんですがね。
>>202
確かに…
2^(2x)+2^(-2x)と
2^x+2^(-x)は
相加相乗からどっちもx=0で最小になってしまいますね。
でもなんでこれじゃ解けないんですかね？
>>213
あ、そっか…
あ、そっか…
今まで何となくやってたんですが、
b_(n+1)=5b_n…①
①のときb_nは初項b_1、公比5の等比数列だから…というのは、
①
⇔b_n=5b_(n-1)
⇔b_n=(b_1)5^(n-1)
から導いたものでよろしいですか？
学校で、_xのxの部分と5^yのyの部分が足して1になればよい
というイメージを習ったのですが、なぜだかわかりません
b_(n+1)=5b_n…①
①のときb_nは初項b_1、公比5の等比数列だから…というのは、
①
⇔b_n=5b_(n-1)
⇔b_n=(b_1)5^(n-1)
から導いたものでよろしいですか？
学校で、_xのxの部分と5^yのyの部分が足して1になればよい
というイメージを習ったのですが、なぜだかわかりません
>>223
おk
おk
∫(e^-2t･cos2t-e^-2t･sin2t)dt
の解き方がわかりません。問題集ではすぐに1/2･e^-2t･sin2tと答えがでているのですが…
どなたかお願いします。
の解き方がわかりません。問題集ではすぐに1/2･e^-2t･sin2tと答えがでているのですが…
どなたかお願いします。
>>225部分積分。見やすいようにe^xをexp(x)で書く。
なぜか神様がインスピレーションを与えてくれて、後半のsinが掛かってる
ほうだけ取り出して部分積分してみようと考えた、とする。
（前半、後半に分けてやって後半だけでいい事に気づいた、でもいい）
exp(-2t)sin2ｔ = （-1/2）（exp(-2t))'sin2t
だから
∫exp(-2t)sin2ｔ dt = （-1/2）exp(-2t)sin2t + ∫exp(-2t)cos2t dt + C’ ※
移項すると
∫exp(-2t)cos2t dt -∫exp(-2t)sin2ｔ dt = （1/2）exp(-2t)sin2t +C
この左辺は求めたい不定積分そのもの。
つか、納得したいだけなら得られた原始関数を微分して、もとの被積分関数に
なることが確かめられればいいんじゃないか、とも思う。
ちなみに、※の形からもう一回右辺に出てきたものを部分積分すると
もとの不定積分と同じものが出てくる。これをIとでも置いて、方程式のように
解くことで、 ∫exp(-2t)sin2ｔ dt 単独の原始関数を求める、というのは
受験対応の教科書レベルの必修問題。
なぜか神様がインスピレーションを与えてくれて、後半のsinが掛かってる
ほうだけ取り出して部分積分してみようと考えた、とする。
（前半、後半に分けてやって後半だけでいい事に気づいた、でもいい）
exp(-2t)sin2ｔ = （-1/2）（exp(-2t))'sin2t
だから
∫exp(-2t)sin2ｔ dt = （-1/2）exp(-2t)sin2t + ∫exp(-2t)cos2t dt + C’ ※
移項すると
∫exp(-2t)cos2t dt -∫exp(-2t)sin2ｔ dt = （1/2）exp(-2t)sin2t +C
この左辺は求めたい不定積分そのもの。
つか、納得したいだけなら得られた原始関数を微分して、もとの被積分関数に
なることが確かめられればいいんじゃないか、とも思う。
ちなみに、※の形からもう一回右辺に出てきたものを部分積分すると
もとの不定積分と同じものが出てくる。これをIとでも置いて、方程式のように
解くことで、 ∫exp(-2t)sin2ｔ dt 単独の原始関数を求める、というのは
受験対応の教科書レベルの必修問題。
227 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 15:25:10 ID:4HEQNNRLO
すみません、分からない問題が沢山あります。お手数かけますが解説お願いします。
AB=9,BC=10,CD=6,∠ABC=60ﾟの四角形ABCDが円Ｏに外接している。
AD=？
AB=6㎝,AD=14㎝の長方形がある。また,EはBCを3:4に分ける点であり,ACとDEの交点をFとする。
このとき,
AF:FC=？
三角形EFCの面積は？Cc㎡である。
AB=9,BC=10,CD=6,∠ABC=60ﾟの四角形ABCDが円Ｏに外接している。
AD=？
AB=6㎝,AD=14㎝の長方形がある。また,EはBCを3:4に分ける点であり,ACとDEの交点をFとする。
このとき,
AF:FC=？
三角形EFCの面積は？Cc㎡である。
229 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 15:42:10 ID:nZSxCeT+O
>>224
ありがとうこざります
ありがとうこざります
>>227
前半：四角形が円に「外接」（円の外側に四角形）でいいのね？
辺AB、BC、CD、DAの延との接線をP,Q,R,Sとすると
たとえばBP=BQのように、「ある頂点からその隣の接点までは
距離が等しい。AP=AS=a のように置けば
a+b=9 b+c=10 c+d=6 で a+dは幾つ、という問題。
この場合60°は乗法としてフェイク。
万一「内接」の間違いなら、余弦定理でACの長さを出して
∠D＝120°からもう一度余弦定理を利用。
後半の前半：相似比が中学に生き残ってたころの公立校入試標準レベルの問題。
△AFD∽△CFEで相似比はAD：CEの長さの比と同じ、この比はAF:FCにも等しい。
後半の後半：△CDEに着目。DF:FEも上で見た相似比と同じ。DEを底辺と見て
△CDEを見れば、CFで面積がこの比になるように分割されている。なら△EFCは
△CDEの何倍？
前半：四角形が円に「外接」（円の外側に四角形）でいいのね？
辺AB、BC、CD、DAの延との接線をP,Q,R,Sとすると
たとえばBP=BQのように、「ある頂点からその隣の接点までは
距離が等しい。AP=AS=a のように置けば
a+b=9 b+c=10 c+d=6 で a+dは幾つ、という問題。
この場合60°は乗法としてフェイク。
万一「内接」の間違いなら、余弦定理でACの長さを出して
∠D＝120°からもう一度余弦定理を利用。
後半の前半：相似比が中学に生き残ってたころの公立校入試標準レベルの問題。
△AFD∽△CFEで相似比はAD：CEの長さの比と同じ、この比はAF:FCにも等しい。
後半の後半：△CDEに着目。DF:FEも上で見た相似比と同じ。DEを底辺と見て
△CDEを見れば、CFで面積がこの比になるように分割されている。なら△EFCは
△CDEの何倍？
231 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 16:33:03 ID:4HEQNNRLO
>>230凄く分かりやすい解説ありがとうございます。
前半
はい、外接です。
途中まで分かったんですが、60°をどう利用すればいいか、分かりません(*_*)
後半
分かりました！
△EFC=△CDE×4/11
ですねっ！？？
あと、中学の相似があやふやなまま来てしまったのですが…
砂時計みたいな形の二つの三角形は、相似と考えていいんですか？
前半
はい、外接です。
途中まで分かったんですが、60°をどう利用すればいいか、分かりません(*_*)
後半
分かりました！
△EFC=△CDE×4/11
ですねっ！？？
あと、中学の相似があやふやなまま来てしまったのですが…
砂時計みたいな形の二つの三角形は、相似と考えていいんですか？
>>231
失礼「情報として」フェイク。 書かれていても使わない。
実際は、書かれた情報をすべて満たす四角形が本当に作図できるか
はっきりと分からない。どこからの出典か次第で、そこを考えずに
てきとーに出された問題の可能性がありうる。
（四角形「が」円「に」外接って言ったら内側から4辺に接することだよなぁ。
これが違うっていうならやっぱり問題として変だし）
後半は8/（8+14）=4/11でおけ。ただ、「砂時計みたいな→相似」は
あまりにいい加減。平行線の錯角や対頂角で、2角相当が言えるでしょ？
失礼「情報として」フェイク。 書かれていても使わない。
実際は、書かれた情報をすべて満たす四角形が本当に作図できるか
はっきりと分からない。どこからの出典か次第で、そこを考えずに
てきとーに出された問題の可能性がありうる。
（四角形「が」円「に」外接って言ったら内側から4辺に接することだよなぁ。
これが違うっていうならやっぱり問題として変だし）
後半は8/（8+14）=4/11でおけ。ただ、「砂時計みたいな→相似」は
あまりにいい加減。平行線の錯角や対頂角で、2角相当が言えるでしょ？
233 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 16:57:28 ID:4HEQNNRLO
>>232
はい。大学の過去問で、四角形「が」円「に」外接で間違いないです。よく分からない問題だなあと思い…この問題あと4問程続くのですがorz
すみません;表現が砂時計しか思いつかなかったので。成程ありがとうございます。
はい。大学の過去問で、四角形「が」円「に」外接で間違いないです。よく分からない問題だなあと思い…この問題あと4問程続くのですがorz
すみません;表現が砂時計しか思いつかなかったので。成程ありがとうございます。
234 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 19:40:24 ID:/5ktaisRO
半径1の球に内接する円錐のうち体積が最大であるものの高さを求める問題で、
V=1/3πr^2hとして関数の最大最小問題にするという方針は見えるのですが、
円錐の底面の半径をr、高さをhとして、三平方の定理より
r^2+|h-1|^2=1としてr^2を出してVの式に代入しています
ここで、なぜr^2+|h-1|^2=1が成り立つのか教えてください…
V=1/3πr^2hとして関数の最大最小問題にするという方針は見えるのですが、
円錐の底面の半径をr、高さをhとして、三平方の定理より
r^2+|h-1|^2=1としてr^2を出してVの式に代入しています
ここで、なぜr^2+|h-1|^2=1が成り立つのか教えてください…
断面図を考えて球の中心と円錐の底面の中心と
球と円錐の接点でできる直角三角形
球と円錐の接点でできる直角三角形
すみません、どうしても分からない問題があるので質問させてください
a^2(b-c)+b^2(c-a)c^2(a-b)の因数分解の順序を数1Aの範囲で教えてください
どうして答が-a(a-b)(b-c)(a-c)となるのか理解できません
a^2(b-c)+b^2(c-a)c^2(a-b)の因数分解の順序を数1Aの範囲で教えてください
どうして答が-a(a-b)(b-c)(a-c)となるのか理解できません
訂正します
答は-(a-b)(b-c)(c-a)でした
何度もすみません
答は-(a-b)(b-c)(c-a)でした
何度もすみません
aの2次式と思って整理する
たぶん+が1つ抜けてるとして
たぶん+が1つ抜けてるとして
239 ：慶應：2009/02/12(木) 21:23:00 ID:egUuYsAyO
すみません 絶対不等式ってなんでしたっけ? 二次関数のやつでしたっけ?
コーシーの方は分かるんですが…教えてください
コーシーの方は分かるんですが…教えてください
日本語でおっｋ
241 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 22:34:04 ID:bZ+rGzO5O
三角形ABCがBC:CA:AB=4:5:6
sinA=√7/4
この三角形の外接円の半径が32であるとき、内接円の半径を求めたいのですがどうすれば良いのでしょうか?
お願いします。
sinA=√7/4
この三角形の外接円の半径が32であるとき、内接円の半径を求めたいのですがどうすれば良いのでしょうか?
お願いします。
242 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 22:41:02 ID:5LkQot2uO
243 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 22:44:18 ID:5LkQot2uO
244 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 22:57:54 ID:B7HxjM3RO
低レベルな質問ですみません…
問題
xについての多項式Ｐを2x^2＋5で割ると7x－4余り、更に、その商を3x^2＋5x＋2で割ると3x＋8余る。
この時、Ｐを3x^2＋5x＋2で割った余りを求めよ。
解答
それぞれの商をＱ1Ｑ2として、題意より
Ｐ=(2x^2＋5)Ｑ1＋7x－4・・・・１
Ｑ1=(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋3x＋8・・・・2
1と2から
Ｐ=(2x^2＋5){(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋3x＋8}＋7x－4
=(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4
んでここで疑問！
「Ｐを3x^2＋5x＋2で割ったときの余りは、(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4を3x^2＋5x＋2で割ったときの余りに等しい。」
「」の部分が全く理解出来ません…
誰か詳しく教えてください(´・ω・｀)
問題
xについての多項式Ｐを2x^2＋5で割ると7x－4余り、更に、その商を3x^2＋5x＋2で割ると3x＋8余る。
この時、Ｐを3x^2＋5x＋2で割った余りを求めよ。
解答
それぞれの商をＱ1Ｑ2として、題意より
Ｐ=(2x^2＋5)Ｑ1＋7x－4・・・・１
Ｑ1=(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋3x＋8・・・・2
1と2から
Ｐ=(2x^2＋5){(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋3x＋8}＋7x－4
=(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Ｑ2＋(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4
んでここで疑問！
「Ｐを3x^2＋5x＋2で割ったときの余りは、(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4を3x^2＋5x＋2で割ったときの余りに等しい。」
「」の部分が全く理解出来ません…
誰か詳しく教えてください(´・ω・｀)
245 ：慶應：2009/02/12(木) 23:06:09 ID:egUuYsAyO
コーシーシュワルツの 有名不等式なら分かるんですが 絶対不等式ってなんでしたっけ?
246 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 23:20:31 ID:3blkYPhP0
>>244
シンプルに答えると
(2x^2+5)(3x^2+5x+2)Q_2の部分は3x^2+5x+2で割りきれるから
よくわからないなら
(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4を3x^2+5x+2で割った商と余りをそれぞれ
a(x), b(x)とでもおいて3x^2+5x+2をくくり出してみろ
シンプルに答えると
(2x^2+5)(3x^2+5x+2)Q_2の部分は3x^2+5x+2で割りきれるから
よくわからないなら
(2x^2＋5)(3x＋8)＋7x－4を3x^2+5x+2で割った商と余りをそれぞれ
a(x), b(x)とでもおいて3x^2+5x+2をくくり出してみろ
質問させていただきます
nは０以上の整数で
a[n] = ∫[0,1] e^(-x)*x^n dx
において
a[n]/n! = 1-1/eΣ_[k=0,n]1/k! を示せという問題で
自分ではa[n]=n*a[n-1]-1/eの両辺をn!で割って出てくるかなと思ったのですが
a[n-1]/(n-1)!の部分が１にならない気がして・・・とけないです
数式の書き方に間違いがあったらごめんなさい
よろしくおねがいします
nは０以上の整数で
a[n] = ∫[0,1] e^(-x)*x^n dx
において
a[n]/n! = 1-1/eΣ_[k=0,n]1/k! を示せという問題で
自分ではa[n]=n*a[n-1]-1/eの両辺をn!で割って出てくるかなと思ったのですが
a[n-1]/(n-1)!の部分が１にならない気がして・・・とけないです
数式の書き方に間違いがあったらごめんなさい
よろしくおねがいします
>>244
(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Ｑ2は割り切れるからあまりが出るのは後者の部分
(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Ｑ2は割り切れるからあまりが出るのは後者の部分
>>247
a[n]/n! = a[n-1]/(n-1)! - (1/e)*(1/n!)
a[n-1]/(n-1)! = a[n-2]/(n-2)! - (1/e)*(1/(n-1)!)
これを続けていくと
a[n]/n! = a[n-1]/(n-1)! - (1/e)*(1/n!)
a[n-1]/(n-1)! = a[n-2]/(n-2)! - (1/e)*(1/(n-1)!)
これを続けていくと
250 ：大学への名無しさん：2009/02/12(木) 23:35:05 ID:bZ+rGzO5O
>>443
ありがとうございます。
そうやったのですが答えが√(答えは整数だった)になってしまうんですよね。
余弦定理より
sinA=√7/4
外接円の半径が32であるので正弦定理より
4X/(√7/4)=64
よってX=4√7
これよりAB=24√7,CA=20√7となり、三角形ABCの面積は
(1/2)*24√7*20√7*√7/4=420√7
故に求める半径をrとすると
(1/2)(4r+5r+6r)=420√7
と表せる。
よって
r=56√7
どこか間違ってますか?
ありがとうございます。
そうやったのですが答えが√(答えは整数だった)になってしまうんですよね。
余弦定理より
sinA=√7/4
外接円の半径が32であるので正弦定理より
4X/(√7/4)=64
よってX=4√7
これよりAB=24√7,CA=20√7となり、三角形ABCの面積は
(1/2)*24√7*20√7*√7/4=420√7
故に求める半径をrとすると
(1/2)(4r+5r+6r)=420√7
と表せる。
よって
r=56√7
どこか間違ってますか?
あ、うおぅ 出ました できました！
ありがとうございました
助かりました
ありがとうございました
助かりました
254 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 00:01:22 ID:TnpdqGzUO
何かが打ち消しあう
256 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 00:50:11 ID:GAyfuzpy0
>>139,141,146
どうもありがとうございます。
お返事が遅れて申し訳ないです。
>>142
>どれかだけに割り振る場合の数の中でオールG/P/Cになる場合が2回ずつ重複して考えられてますので
ここの部分がよくわからないです。
あいこになる場合は
GGGGG，CCCCC，PPPPP，GCPGG，GCPGC，GCPGP，GCPCP，GCPCC，GCPPP
が考えられますよね？
>>139
2次関数問題のご指摘ありがとうございます。
答えは10-4√5と4+√10でしょうか？
私の書いたやり方の(Ⅱ)を更に①と②で場合分けしてますが他に良い方法ありませんか？
私自身、随分面倒くさいやり方してるなあと思いまして^^;
回答宜しくお願い致します。
どうもありがとうございます。
お返事が遅れて申し訳ないです。
>>142
>どれかだけに割り振る場合の数の中でオールG/P/Cになる場合が2回ずつ重複して考えられてますので
ここの部分がよくわからないです。
あいこになる場合は
GGGGG，CCCCC，PPPPP，GCPGG，GCPGC，GCPGP，GCPCP，GCPCC，GCPPP
が考えられますよね？
>>139
2次関数問題のご指摘ありがとうございます。
答えは10-4√5と4+√10でしょうか？
私の書いたやり方の(Ⅱ)を更に①と②で場合分けしてますが他に良い方法ありませんか？
私自身、随分面倒くさいやり方してるなあと思いまして^^;
回答宜しくお願い致します。
257 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 01:07:14 ID:AQplbbNL0
よろしくお願いします。
50x/x^2＋600≧1
x^2-50x+600≦1
どいしてこのような式変形になるのかわかりません。回答お願いします。
50x/x^2＋600≧1
x^2-50x+600≦1
どいしてこのような式変形になるのかわかりません。回答お願いします。
258 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 01:11:30 ID:ybG81qLQO
>>246 >>248
わかったぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！
でも、この類の問題って…
毎回(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Q2が3x^2＋5x＋2で割り切れる！って確認するの？
それとも秒殺できる確認方法があるんですか？
あと、現中２で東大志望です。
数学が苦手なんですけど、どのように勉強していったらいいですか？
センター自己採点|A98・||B70です
貧乏なんで塾や予備校には多分通えません…
わかったぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！
でも、この類の問題って…
毎回(2x^2＋5)(3x^2＋5x＋2)Q2が3x^2＋5x＋2で割り切れる！って確認するの？
それとも秒殺できる確認方法があるんですか？
あと、現中２で東大志望です。
数学が苦手なんですけど、どのように勉強していったらいいですか？
センター自己採点|A98・||B70です
貧乏なんで塾や予備校には多分通えません…
259 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 01:12:47 ID:ybG81qLQO
>あと、現中２で東大志望です。
>数学が苦手なんですけど、どのように勉強していったらいいですか？
>センター自己採点|A98・||B70です
>貧乏なんで塾や予備校には多分通えません…
ﾜﾛﾀ
>数学が苦手なんですけど、どのように勉強していったらいいですか？
>センター自己採点|A98・||B70です
>貧乏なんで塾や予備校には多分通えません…
ﾜﾛﾀ
>>256 確率のほうは勘違い（-6すべきところを-3としたこと）があって申し訳ない。
2次関数のほうは要するに、f(x)=x^2-ax として
最小値を与えるx…軸 x=a/2 が範囲内の時 a/2、範囲外の時 aに近い側の範囲の端
最大値を与えるx…軸から遠い側の範囲の端
だから
aによる境界 a=4 a=7 a=10
最小値 f(2) ｜ f(a/2） ｜ f(a/2) ｜ ｆ（5)
最大値 f(5) ｜ ｆ（5) ｜ f(2) ｜ f(2）
(a=4；7；10は a/2=2；7/2（範囲の中央）；5 に対応）
この場合分けは必須だけど、こう整理しておくと幾分見やすい。
左から順に(I) (II) (III) (IV)として、まず (I) (IV) だけ検証する。
（I) f(5)=25-5a ｆ（2)=4-2a f(5)-f(2)=21-3a これが5になるとき a=16/3>4 で不可
(IV) f(2)-f(5)=3a-21 これが5になるときx=26/3 < 10 で不可
従って可能性が残るのは、軸 a/2 が範囲内にある(II)(III)のとき。
このとき最小値はy=x＾2 と平行移動すれば重なる y= x＾2-axの頂点、
そこから最大値と5の差が生じるためには、最大値を与えるx座標と
最小値を与えるｘ座標（軸）の差が√5ならば良い（∵y=x＾2と同型）
これから、最大値を与えるｘがx=5のとき、軸a/2 = 5-√5
a=10-2√5で、これは4≦a≦7を満たす。
同様に最大値を与えるｘがx=2の時、軸 a/2=2+√5
a=4+2√5で、これは7≦a≦10を満たす。
よってこれら二つの値が解。
とやると多少後半は速いと思う。
2次関数のほうは要するに、f(x)=x^2-ax として
最小値を与えるx…軸 x=a/2 が範囲内の時 a/2、範囲外の時 aに近い側の範囲の端
最大値を与えるx…軸から遠い側の範囲の端
だから
aによる境界 a=4 a=7 a=10
最小値 f(2) ｜ f(a/2） ｜ f(a/2) ｜ ｆ（5)
最大値 f(5) ｜ ｆ（5) ｜ f(2) ｜ f(2）
(a=4；7；10は a/2=2；7/2（範囲の中央）；5 に対応）
この場合分けは必須だけど、こう整理しておくと幾分見やすい。
左から順に(I) (II) (III) (IV)として、まず (I) (IV) だけ検証する。
（I) f(5)=25-5a ｆ（2)=4-2a f(5)-f(2)=21-3a これが5になるとき a=16/3>4 で不可
(IV) f(2)-f(5)=3a-21 これが5になるときx=26/3 < 10 で不可
従って可能性が残るのは、軸 a/2 が範囲内にある(II)(III)のとき。
このとき最小値はy=x＾2 と平行移動すれば重なる y= x＾2-axの頂点、
そこから最大値と5の差が生じるためには、最大値を与えるx座標と
最小値を与えるｘ座標（軸）の差が√5ならば良い（∵y=x＾2と同型）
これから、最大値を与えるｘがx=5のとき、軸a/2 = 5-√5
a=10-2√5で、これは4≦a≦7を満たす。
同様に最大値を与えるｘがx=2の時、軸 a/2=2+√5
a=4+2√5で、これは7≦a≦10を満たす。
よってこれら二つの値が解。
とやると多少後半は速いと思う。
基礎的なことで申し訳ないんですが、dx/dtとかのdってどういう意味ですか？
264 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 09:20:19 ID:ZMXft3c2O
>>263
Δよりもっともっと微少なもの
Δよりもっともっと微少なもの
数学でよく(1)で証明して(2)でそれを利用して解くみたいな問題がありますが
その場合もし(1)が証明出来なくてもそれを使って(2)を解いても大丈夫ですか？
その場合もし(1)が証明出来なくてもそれを使って(2)を解いても大丈夫ですか？
問題による
大学にもよるし採点者にもよるかもしれない
大学にもよるし採点者にもよるかもしれない
文系プラチカ57で
a=bとしたとき【a=b=1/2】となり
a+b<1に反する
とあるのですが【】になる理由がよくわかりません
問題は
x-y<0､x+y<2､ax+by<1
の表す領域が三角形の内部になるようなa､bを示す問題です
a=bとしたとき【a=b=1/2】となり
a+b<1に反する
とあるのですが【】になる理由がよくわかりません
問題は
x-y<0､x+y<2､ax+by<1
の表す領域が三角形の内部になるようなa､bを示す問題です
271 ：大学への名無しさん：2009/02/13(金) 21:13:45 ID:XPX6XeQiO
理系良門プラチカってどの程度のレベルの大学向きですか？
>>270
d/dtまでが一つの演算記号だ
d/dtまでが一つの演算記号だ
大学では dy、dx 自体に意味づけをするけどね．
274 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 00:15:33 ID:EdpXSWrw0
dもですね
275 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 00:27:50 ID:oi2CdqbiO
おもしろそう！
>>272
なぜ鸚鵡返しをする
なぜ鸚鵡返しをする
277 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 03:02:15 ID:PRCQC4h4O
278 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 05:02:48 ID:R5n2+gFp0
>>261
ありがとうございます。
私は上に書いたように8つになってしまったのですが、6つとなる例を教えていただけませんか？
142を見てもよくわからなかったので^^;
後、
＞最小値はy=x＾2 と平行移動すれば重なる y= x＾2-axの頂点、
この部分がよくわからないので教えてください。
ありがとうございます。
私は上に書いたように8つになってしまったのですが、6つとなる例を教えていただけませんか？
142を見てもよくわからなかったので^^;
後、
＞最小値はy=x＾2 と平行移動すれば重なる y= x＾2-axの頂点、
この部分がよくわからないので教えてください。
数学的帰納法について質問です。
n=kで等式①が成り立つと仮定すると
n=k+1のとき…という流れだとおもうんですが、
n=k+1番目を調べるときに成り立つと仮定した①を利用しても構いませんよね？
(ただし勝手に①にk+1番目を代入する行為を除く)
n=kで等式①が成り立つと仮定すると
n=k+1のとき…という流れだとおもうんですが、
n=k+1番目を調べるときに成り立つと仮定した①を利用しても構いませんよね？
(ただし勝手に①にk+1番目を代入する行為を除く)
>>279
もちろんOK
もちろんOK
281 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 11:41:57 ID:LWvJQyvuO
加法定理から三角関数の和積への変形の仕方がわからないので
教えてください
教えてください
282 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 11:59:32 ID:yMVZ7ivv0
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ
＋)sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ
∴sin(α＋β)＋sin(α－β)=2sinαcosβ
sinとcosの加法定理の－版と＋版を足し合わせたり引いたりして
共通する部分をカットして作ればおｋ
＋)sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ
∴sin(α＋β)＋sin(α－β)=2sinαcosβ
sinとcosの加法定理の－版と＋版を足し合わせたり引いたりして
共通する部分をカットして作ればおｋ
283 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 12:20:49 ID:uDARKCBJO
lim_[n→∞]{(2-k^2)n^2}-3n+1／{√(n-1)(2n-1)}-kn
という問題で、次に行う操作が分子の最高次であるn^2で分子分母を割ることまでは分かるのですが、その操作を行った式が、
lim_[n→∞](2-k^2)-(3/n)+(1/n^2)／{√[(1/n]-[1/n^2])([2/n]-[1/n^2)]}-k/n
となり、√の中がn^2で割っているのが何故だかわかりません。
分子分母をn^2で割ったら、√の中はn^4で割るのではないのですか？
という問題で、次に行う操作が分子の最高次であるn^2で分子分母を割ることまでは分かるのですが、その操作を行った式が、
lim_[n→∞](2-k^2)-(3/n)+(1/n^2)／{√[(1/n]-[1/n^2])([2/n]-[1/n^2)]}-k/n
となり、√の中がn^2で割っているのが何故だかわかりません。
分子分母をn^2で割ったら、√の中はn^4で割るのではないのですか？
284 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 13:20:05 ID:EdpXSWrw0
>>283
その結果はn^4で割っていますよ
その結果はn^4で割っていますよ
285 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 13:47:22 ID:uDARKCBJO
286 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 13:59:40 ID:LWvJQyvuO
>>282
ありがとうございました！
ありがとうございました！
>>280
ありがとうこざいます
ありがとうこざいます
1. f(x)=x^2-2xとする。関数列{fn(x)}nを漸化式
f1(x) =f(x)及び
fn+1(x)=f(fn(x)) で定める。(nは自然数)
このとき、数列{fn'(1)}の一般項を求めよ。
2. 関数fが閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能であり、f(a)=f(b)を満たすならば、
f'(c)=0を満たすようなc∈(a,b)が存在する。
このとき、定理の仮定に於いて「fが閉区間[a,b]で連続」の部分を
「fの定義域が閉区間[a,b]」に置き換えた場合、
成り立たないことを反例を挙げて証明せよ。
この二問です。よろしくお願いします。
f1(x) =f(x)及び
fn+1(x)=f(fn(x)) で定める。(nは自然数)
このとき、数列{fn'(1)}の一般項を求めよ。
2. 関数fが閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能であり、f(a)=f(b)を満たすならば、
f'(c)=0を満たすようなc∈(a,b)が存在する。
このとき、定理の仮定に於いて「fが閉区間[a,b]で連続」の部分を
「fの定義域が閉区間[a,b]」に置き換えた場合、
成り立たないことを反例を挙げて証明せよ。
この二問です。よろしくお願いします。
どこまで考えた?
2番はy=x[x]が的確ですよね。
訂正します。
訂正します。
1.とりあえず計算して行ってみれば
293 ：大学への名無しさん：2009/02/14(土) 23:27:05 ID:6er754CFO
fn'をfn-1'であらわしてみな
携帯からだからヒントのみで実例
携帯からだからヒントのみで実例
294 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 03:00:14 ID:hbJu8cgw0
質問です。
√{(x-1)^2+y^2}r√{(x+1)^2+y^2}=x^2+(y+1)^2-2
⇔{(x-1)^2+y~2}{(x+1)^2+y^2}={x^2+(y+1)^2-2}かつx^2+(y+1)^2-2≧0
でx^2+(y+1)^2-2≧0が出てくるのは、左辺が正の平方根を掛けた形だから、
正×正＝正または０×正＝０または正×０＝０または０×０＝０になって、
必ず０以上になるからであるという理解でよろしいですか？
√{(x-1)^2+y^2}r√{(x+1)^2+y^2}=x^2+(y+1)^2-2
⇔{(x-1)^2+y~2}{(x+1)^2+y^2}={x^2+(y+1)^2-2}かつx^2+(y+1)^2-2≧0
でx^2+(y+1)^2-2≧0が出てくるのは、左辺が正の平方根を掛けた形だから、
正×正＝正または０×正＝０または正×０＝０または０×０＝０になって、
必ず０以上になるからであるという理解でよろしいですか？
√X=K⇔X=K^2且つ0≦X, 0≦K
296 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 03:14:00 ID:UxoPMJ+NO
放物線y=(a^2-1)*x^2/a^2-a^2+1とx軸とで囲まれる部分の面積をS(a)とおく。ただし、aは0<a<1をみたす定数とする。
このとき、S(A)=S(1/4)かつa≠1/4をみたすaの値の求め方を教えて下さい。
下に書いたのが私がやったやり方です。答えは間違ってました。
x軸と囲まれる部分がある→放物線の頂点はx軸より上(∵0<a<1)
放物線の解は
与式⇔(a^2-1)(x+a)(x-a)=0
よりx=±aなので
S(a)=∫(-a~a) (a^2-1)*x^2/a^2-a^2+1
=(-4a^2+4a)/3=S(1/4)=1/4
よってa=3/4,1/4
となってしまいました。
宜しくお願いします。
このとき、S(A)=S(1/4)かつa≠1/4をみたすaの値の求め方を教えて下さい。
下に書いたのが私がやったやり方です。答えは間違ってました。
x軸と囲まれる部分がある→放物線の頂点はx軸より上(∵0<a<1)
放物線の解は
与式⇔(a^2-1)(x+a)(x-a)=0
よりx=±aなので
S(a)=∫(-a~a) (a^2-1)*x^2/a^2-a^2+1
=(-4a^2+4a)/3=S(1/4)=1/4
よってa=3/4,1/4
となってしまいました。
宜しくお願いします。
放物線の解という言葉がおかしい。直線の解とかも聞いたことないはず。
与式とはどれのことだ。∫の中にdxがない。これは結構重大。
S(a)=(a^2-1)/a^2∫[-a,a](x-a)(x+a)dx=(a^2-1)/a^2*(-1/6)*(2a)^3=(4/3)a(1-a^2)
君が省略した計算の部分で間違ってる。積分すると次数が1つあがるから、
aの3次式になると予想はつくはず。
与式とはどれのことだ。∫の中にdxがない。これは結構重大。
S(a)=(a^2-1)/a^2∫[-a,a](x-a)(x+a)dx=(a^2-1)/a^2*(-1/6)*(2a)^3=(4/3)a(1-a^2)
君が省略した計算の部分で間違ってる。積分すると次数が1つあがるから、
aの3次式になると予想はつくはず。
>>301
お前がバカなことは分かったよ。条件反射みたいなレスしちゃって。
今回はX=K^2とあるからX≧0は隠れてるけど、普段はそうとも限らない。
質問しにくるような人に対しては尚更そのへんに神経質になるべき。
お前がバカなことは分かったよ。条件反射みたいなレスしちゃって。
今回はX=K^2とあるからX≧0は隠れてるけど、普段はそうとも限らない。
質問しにくるような人に対しては尚更そのへんに神経質になるべき。
>>303
そりゃあ確かめるべきだけど、次第に確かめるまでもない程度には力がついてくるよ。
決して無駄なことじゃない。お前みたいなこと言ってるといつまでいっても同値変形によって
処理することができないよ。同値変形で処理できるようになるとかなり力がつく。
そりゃあ確かめるべきだけど、次第に確かめるまでもない程度には力がついてくるよ。
決して無駄なことじゃない。お前みたいなこと言ってるといつまでいっても同値変形によって
処理することができないよ。同値変形で処理できるようになるとかなり力がつく。
関数f(x)=(2^x)+{2^(-x)}-{2^(2x+2)+2^(-2x+2)}の最大値を求めよ
という問題の解法を教えてください
2^x=XとでもおいてXの関数として微分に持ち込む解法は思いつくのですが
結構綺麗な形なのでもう少しスマートな解法があると思うんです。
よろしければなにか面白い解き方を教えていだたけると幸いです
という問題の解法を教えてください
2^x=XとでもおいてXの関数として微分に持ち込む解法は思いつくのですが
結構綺麗な形なのでもう少しスマートな解法があると思うんです。
よろしければなにか面白い解き方を教えていだたけると幸いです
あ、すいません。過去レスみたら同じ問題が出ていました
>>305
X=2^x+2^(-x)として変換。相加相乗平均からX≧2 (x=0で等号成立)
2^2x+2^(-2x)=(2^x+2^(-x))^2-2=X^2-2からf(x)はXの2次関数で表せる。
この手の問題は慣れると暗算で答え出せる。
X=2^x+2^(-x)として変換。相加相乗平均からX≧2 (x=0で等号成立)
2^2x+2^(-2x)=(2^x+2^(-x))^2-2=X^2-2からf(x)はXの2次関数で表せる。
この手の問題は慣れると暗算で答え出せる。
308 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 04:32:06 ID:UxoPMJ+NO
>>608
積分計算で展開するのはよくない。なるべくカタマリで処理したい。
1/6公式は知らない？放物線と直線で囲まれた面積の公式
式はあってる。もともとS(a)=S(1/4)で得られた3次方程式だから、
まずこれはa=1/4で成立しないとおかしい。つまり、因数定理から(a-0.25)で割り切れる。
割る際には4a-1で割るといい。
積分計算で展開するのはよくない。なるべくカタマリで処理したい。
1/6公式は知らない？放物線と直線で囲まれた面積の公式
式はあってる。もともとS(a)=S(1/4)で得られた3次方程式だから、
まずこれはa=1/4で成立しないとおかしい。つまり、因数定理から(a-0.25)で割り切れる。
割る際には4a-1で割るといい。
>積分計算で展開するのはよくない
誤解しないように書くと、もちろん∫～～dxの計算ときのこと。方程式解くときじゃないよ。
誤解しないように書くと、もちろん∫～～dxの計算ときのこと。方程式解くときじゃないよ。
311 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 07:53:54 ID:bi8ScozYO
07早商
１の(2)
a1=99900
n≧2のときa1+a2+…an=n^2anを満たすとき
a999=エ/オ
を教えてくｒ…教えて下さい
青本の解説見てもわからない俺はアホ(´・ω・`)
１の(2)
a1=99900
n≧2のときa1+a2+…an=n^2anを満たすとき
a999=エ/オ
を教えてくｒ…教えて下さい
青本の解説見てもわからない俺はアホ(´・ω・`)
>>311
n≧2のとき a[_1] + a[_2] + … + a[_n-1]=(n-1)^2 * a[_n-1]
書かれた式の両辺からこの式の両辺を引くと
a[_n]= n^2*a[_n] - (n-1)^2*a[_n-1]
(n^2-1)*a[_n]=(n-1)^2*a[_n-1]
n≧2だから整理すると
a[_n]/a[_n-1] = (n-1)^2 / (n^2-1) = (n-1)/(n+1)
同様に (n≧3なら）
a[_n-1]/a[_n-2] = n-2 / n
これをa[_2]/a[_1]= (2-1)/(2+1) =1/3 まで作って両辺の積を考えると
a[_n]/a[_1] = { (n-1)*(n-2)*(n-3)…*1} / {(n+1)*n*(n-1)*…*3｝
=2/{(n+1)*n}
a[_999]=[a_1]*2/(1000*999) = 1/5
でえーんでないかい（解の値が分かってるときは書いてくれるとうれしい）
n≧2のとき a[_1] + a[_2] + … + a[_n-1]=(n-1)^2 * a[_n-1]
書かれた式の両辺からこの式の両辺を引くと
a[_n]= n^2*a[_n] - (n-1)^2*a[_n-1]
(n^2-1)*a[_n]=(n-1)^2*a[_n-1]
n≧2だから整理すると
a[_n]/a[_n-1] = (n-1)^2 / (n^2-1) = (n-1)/(n+1)
同様に (n≧3なら）
a[_n-1]/a[_n-2] = n-2 / n
これをa[_2]/a[_1]= (2-1)/(2+1) =1/3 まで作って両辺の積を考えると
a[_n]/a[_1] = { (n-1)*(n-2)*(n-3)…*1} / {(n+1)*n*(n-1)*…*3｝
=2/{(n+1)*n}
a[_999]=[a_1]*2/(1000*999) = 1/5
でえーんでないかい（解の値が分かってるときは書いてくれるとうれしい）
これは1対1スレにも投稿したのですがレスをちょっと急いでるんでスレが速そうなここにも投稿させていただきます
琉球大学の問題にて
関数f(x)=1/1+x^2について、次の問いに答えよ。
(1)|f'(x)|の最大値Mを求めよ
という問題について
f'(x)=-2x/(x^2+1)^2 ∴|f'(x)|=2|x|/(x^2+1)^2
この|f'(x)|をg(x)とおくと遇関数であるから、x≧0における
g(x)=2x/(x^2+1)^2の最大値を求めればよい。ここでg'(x)は次の式と同符号である。
(x^2+1)^2-x･2(x^2+1)･2x=(x^2+1)(1-3x^2)
とあるのですが上式の左辺はどのようにして導き出せれたものなんですか？
ご教授お願いします。
琉球大学の問題にて
関数f(x)=1/1+x^2について、次の問いに答えよ。
(1)|f'(x)|の最大値Mを求めよ
という問題について
f'(x)=-2x/(x^2+1)^2 ∴|f'(x)|=2|x|/(x^2+1)^2
この|f'(x)|をg(x)とおくと遇関数であるから、x≧0における
g(x)=2x/(x^2+1)^2の最大値を求めればよい。ここでg'(x)は次の式と同符号である。
(x^2+1)^2-x･2(x^2+1)･2x=(x^2+1)(1-3x^2)
とあるのですが上式の左辺はどのようにして導き出せれたものなんですか？
ご教授お願いします。
314 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 13:30:24 ID:CMNIbJUm0
>>313
微分した分子
微分した分子
>>314
その場合僕の計算だと商の微分法で
2･(x^2+1)^2-2x･2(x^2+1)になってしまうんですけど
おそらく僕の計算が間違っているんですよね…ご訂正お願いします。
>>315
申し訳ありません。ちゃんと>>1を読んでませんでした。返す言葉もございません…
その場合僕の計算だと商の微分法で
2･(x^2+1)^2-2x･2(x^2+1)になってしまうんですけど
おそらく僕の計算が間違っているんですよね…ご訂正お願いします。
>>315
申し訳ありません。ちゃんと>>1を読んでませんでした。返す言葉もございません…
>>316
ヒントつ 同符号
ヒントつ 同符号
半月で数1Aの基礎って出来る?
>>319
数学の問題に関する質問をどうぞ。
数学の問題に関する質問をどうぞ。
微分方程式です
{(e^x)f(x)}'=1を、
F'(x)=aF(x) (aは定数)のとき
F(x)=Ce^(ax) (Cは定数)
を利用して解きたいのですがわかりません
ご教授願いますm(._.)m
{(e^x)f(x)}'=1を、
F'(x)=aF(x) (aは定数)のとき
F(x)=Ce^(ax) (Cは定数)
を利用して解きたいのですがわかりません
ご教授願いますm(._.)m
323 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 16:32:56 ID:4YyWBMstO
∫ e^y/e dyについて
∫ e^y/e dy=e・e^y/e＋C
となりますが、
なぜeが二回かかっているのですか??
e^xを積分したらe^xになるというのは理解しています。
合成関数の積分だと思うのですが…なぜeがでてくるのか教えてください。
∫ e^y/e dy=e・e^y/e＋C
となりますが、
なぜeが二回かかっているのですか??
e^xを積分したらe^xになるというのは理解しています。
合成関数の積分だと思うのですが…なぜeがでてくるのか教えてください。
324 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 16:38:25 ID:4YyWBMstO
↑解決しました
失礼しました
失礼しました
325 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 18:31:48 ID:88qIT/kBO
２つの曲線y=x^2+ax+pとy=ｰx^2+bx+qの両方に同時に接する直線について考える。
このような直線が異なって２つ存在するたもの必要十分条件を求めよ。
お願いします。
このような直線が異なって２つ存在するたもの必要十分条件を求めよ。
お願いします。
326 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 18:38:11 ID:Y+1geeO5O
来年東北大学経済学部受験するんすけど数学Ⅰ･Ａ、Ⅱ･Ｂの二次対策にどんな問題集、参考書使えばいいですか？
327 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 19:06:38 ID:CMNIbJUm0
>>325
接点のx座標をm,nとすると
2m+a=-2n+b=((m^2+am+p)-(-n^2+bn+q))/(m-n)=k
m=(k-a)/2, n=(b-k)/2を最後の等式に代入して整理すると
k^2-(a+b)k+(a^2+b^2)/2-2(p-q)=0
これに2実数解があればよいので
D=(a+b)^2-2(a^2+b^2)+8(p-q)>0
8(p-q)>(a-b)^2
接点のx座標をm,nとすると
2m+a=-2n+b=((m^2+am+p)-(-n^2+bn+q))/(m-n)=k
m=(k-a)/2, n=(b-k)/2を最後の等式に代入して整理すると
k^2-(a+b)k+(a^2+b^2)/2-2(p-q)=0
これに2実数解があればよいので
D=(a+b)^2-2(a^2+b^2)+8(p-q)>0
8(p-q)>(a-b)^2
328 ：大学への名無しさん：2009/02/15(日) 19:18:33 ID:88qIT/kBO
ありがとうございました！
329 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 02:12:35 ID:2edIE1H2O
>>309
ありがとうございます。
公式すっかり忘れてました^^;
64a^3-64a+15=(4a-1){a-(-1+√61)/8}{a-(-1-√61)/8}になり、答えが(-1+√61)/8だとわかりました。
このとき、S(a)はaがいくつのとき最大になるのでしょうか?
ありがとうございます。
公式すっかり忘れてました^^;
64a^3-64a+15=(4a-1){a-(-1+√61)/8}{a-(-1-√61)/8}になり、答えが(-1+√61)/8だとわかりました。
このとき、S(a)はaがいくつのとき最大になるのでしょうか?
330 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 02:41:59 ID:uXLg3E4z0
>>278をお願いします。
331 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 06:49:07 ID:JRZnCk0zO
不等式 x≧0 、ｙ≧0、ｚ≧0、 x＋ｙ＋3ｚ≦7について考える。
１、ｚ=1であるような(x、ｙ、ｚ)の個数を求めよ。
2、ｚ≦2を示せ。
3、すべての組(x、ｙ、ｚ)の個数を求めよ。
っていう問題誰か教えてください。お願いします。
１、ｚ=1であるような(x、ｙ、ｚ)の個数を求めよ。
2、ｚ≦2を示せ。
3、すべての組(x、ｙ、ｚ)の個数を求めよ。
っていう問題誰か教えてください。お願いします。
332 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 06:50:09 ID:JRZnCk0zO
追加、x、ｙ、ｚ はすべて整数です。
334 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 11:39:18 ID:1R0kL3F80
>>330
誤解していたところをどのように修正したかを別の人があえて理解しようとしなくても問題はありません
それよりも元の問題の解法の意味をよく考えることの方が重要です
（少しだけ書きますとあなたの言う８個とそこで言う６個は数えているものが全く違います）
後半については
最小値は（y=x＾2 と平行移動すれば重なる）y= x＾2-axの頂点
という意図でしょう
上にある場合分けにおいてf(a/2)が最小値と書かれている通りです
なぜy=x^2を持ち出したかはそのあとの説明を読めば分かります
誤解していたところをどのように修正したかを別の人があえて理解しようとしなくても問題はありません
それよりも元の問題の解法の意味をよく考えることの方が重要です
（少しだけ書きますとあなたの言う８個とそこで言う６個は数えているものが全く違います）
後半については
最小値は（y=x＾2 と平行移動すれば重なる）y= x＾2-axの頂点
という意図でしょう
上にある場合分けにおいてf(a/2)が最小値と書かれている通りです
なぜy=x^2を持ち出したかはそのあとの説明を読めば分かります
3^x+2/3^x=t とおくと tの最小値とそのときのxの値を求めよ。
また、
y=9^x+4･9^(-x)-2･3^(x+1)-4･3^(-x+1)+5
をtを用いて表せ。
書き方がよくわからないかもしれませんが、
3^x は3のx乗、9^xは9のx乗、9^(-x)は9の-x乗、
3^(x+1)は3のx+1乗、3^(-x+1)は3の-x+1乗です。
また、
y=9^x+4･9^(-x)-2･3^(x+1)-4･3^(-x+1)+5
をtを用いて表せ。
書き方がよくわからないかもしれませんが、
3^x は3のx乗、9^xは9のx乗、9^(-x)は9の-x乗、
3^(x+1)は3のx+1乗、3^(-x+1)は3の-x+1乗です。
分かりにくかったら、まずは3^x=Xとか置いてごらん。
339 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 14:33:55 ID:450+s00JO
行列なんですが、
det(A)=0 と A^(-1)=φ は必要十分条件ですか？
det(A)=0 と A^(-1)=φ は必要十分条件ですか？
A^(-1)=φ ←コレ何？
空集合と「存在しない」を混同してるのかな？
空集合と「存在しない」を混同してるのかな？
∫[x=0,1]x|x-x/√2|dx
の答えが2-√6/2になっているんですが自分の答えだとどうしても1/3-√2/4になってしまいます。
どこが間違っているのでしょうか？
の答えが2-√6/2になっているんですが自分の答えだとどうしても1/3-√2/4になってしまいます。
どこが間違っているのでしょうか？
すいません訂正があります
×2-√6/2
○(2-√6)/2
でした
×2-√6/2
○(2-√6)/2
でした
343 ：草井 満子 ◆zsaYJ2w0yM ：2009/02/16(月) 15:45:13 ID:BD0ulZZP0
>>341
自分のドコが間違ってるか聞きたいんなら、どうやって解いたか書いたら？
自分のドコが間違ってるか聞きたいんなら、どうやって解いたか書いたら？
>>343
すいません
どうやら問題文にも訂正が…
∫[x=0,1]x|x-1/√2|dxでした；申し訳ない
∫[x=0,1]x|x-1/√2|dx
=∫[x=0,1]|x^2-x/√2|dx
と変形して、∫の外に出して
1/3-(1/2)･1/√2
=1/3-√2/4
と計算したのですが…
すいません
どうやら問題文にも訂正が…
∫[x=0,1]x|x-1/√2|dxでした；申し訳ない
∫[x=0,1]x|x-1/√2|dx
=∫[x=0,1]|x^2-x/√2|dx
と変形して、∫の外に出して
1/3-(1/2)･1/√2
=1/3-√2/4
と計算したのですが…
すいませんどうやら自己解決しました。
スレ汚しスイマセン。
スレ汚しスイマセン。
346 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 17:02:25 ID:98ZT2Y03O
{(√4m+5)}^3=(√5)^3／2
という方程式を解きたいのですが、解答が
4m+5=5／[3]√4
となっていました。左辺は(√4m+5)ではないのでしょうか？
左辺の3乗を外したってことは、3乗されていた数がそのままでてくるのではないのですか？
という方程式を解きたいのですが、解答が
4m+5=5／[3]√4
となっていました。左辺は(√4m+5)ではないのでしょうか？
左辺の3乗を外したってことは、3乗されていた数がそのままでてくるのではないのですか？
347 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 17:20:13 ID:1R0kL3F80
>>346
3乗を外したあと2乗してます
3乗を外したあと2乗してます
348 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 18:01:35 ID:98ZT2Y03O
すいません
3乗を外すと、
(√4m+5)=(√5)／[3]2
となると思うんですが、右辺分母はすでに[3]√4になっていて、これは2乗しても変わらないのですか？
3乗を外すと、
(√4m+5)=(√5)／[3]2
となると思うんですが、右辺分母はすでに[3]√4になっていて、これは2乗しても変わらないのですか？
>>348
３乗恨とルートは違う
３乗恨とルートは違う
350 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 18:49:25 ID:2lkqwoqG0
Ｘ＾２－２＾Ｘ＝１
代入してＸ＝３じゃダメ。
代入してＸ＝３じゃダメ。
352 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 20:24:53 ID:98ZT2Y03O
度々申し訳ありません…
(√4m+5)=(√5)／[3]2
まで持っていって、左辺の√外すために両辺を2乗しますよね、すると
[3]2はどう扱えばいいのでしょうか？
また、[3]2の解釈は、「3乗したら2になる数」で合ってますか？
(√4m+5)=(√5)／[3]2
まで持っていって、左辺の√外すために両辺を2乗しますよね、すると
[3]2はどう扱えばいいのでしょうか？
また、[3]2の解釈は、「3乗したら2になる数」で合ってますか？
353 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 20:41:42 ID:jsdGxcUmO
(sinX)^5の積分はどうやってやればいいでしょうか？
(1-(cosx)^2)^2・sinx
355 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 21:27:35 ID:2edIE1H2O
>>334
オールG/P/Cとは
GGGGG,PPPPP,CCCCCの3通りのことを>>139が示している訳ではないのでしょうか?
後半については全く理解不能です。
恐れ入りますが、もう少し詳しく説明していただけませんか?
オールG/P/Cとは
GGGGG,PPPPP,CCCCCの3通りのことを>>139が示している訳ではないのでしょうか?
後半については全く理解不能です。
恐れ入りますが、もう少し詳しく説明していただけませんか?
356 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 21:55:56 ID:1R0kL3F80
357 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 21:58:47 ID:1R0kL3F80
>>355
>>261でいう(I)と（IV)の可能性は排除したのだから、残る可能性はともに
「最小値を与えるx座標が頂点のものである」という条件下のものである。
つまり、頂点のｙ座標と、最大値を与えるy座標との差が5である、
ということが必ず成立している。
ところが、考えている放物線はy=x^2とまったく同じ形（平行移動して
重ねることができる）なのだから、
「頂点のｙ座標を与えるｘ座標」と
「そこから5大きいｙ座標を与えるx座標」の”差”は√5に決まっている。
（ここが分からないなら、まずy=x＾2の図を描き、つぎに適当に平行移動した
放物線の図を描いて考えてみること。もしこの図を描いても分からないなら、
この解法を分かってもらうのは無理そうだ）
従って、考えている放物線でも、「頂点のｙ座標の値より5大きいｙ座標を
与えるx座標」※と「頂点のｘ座標」（これはa/2なのであった）の差は
√5であるはず。
従って、※が範囲の上限である5であれば 5-√5 = a/2
※が範囲の下限である2であれば、2=a/2-√5 であることになる。
あとは（II)(III)の範囲に入ることを確認して終了している。
>>261でいう(I)と（IV)の可能性は排除したのだから、残る可能性はともに
「最小値を与えるx座標が頂点のものである」という条件下のものである。
つまり、頂点のｙ座標と、最大値を与えるy座標との差が5である、
ということが必ず成立している。
ところが、考えている放物線はy=x^2とまったく同じ形（平行移動して
重ねることができる）なのだから、
「頂点のｙ座標を与えるｘ座標」と
「そこから5大きいｙ座標を与えるx座標」の”差”は√5に決まっている。
（ここが分からないなら、まずy=x＾2の図を描き、つぎに適当に平行移動した
放物線の図を描いて考えてみること。もしこの図を描いても分からないなら、
この解法を分かってもらうのは無理そうだ）
従って、考えている放物線でも、「頂点のｙ座標の値より5大きいｙ座標を
与えるx座標」※と「頂点のｘ座標」（これはa/2なのであった）の差は
√5であるはず。
従って、※が範囲の上限である5であれば 5-√5 = a/2
※が範囲の下限である2であれば、2=a/2-√5 であることになる。
あとは（II)(III)の範囲に入ることを確認して終了している。
359 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 23:06:41 ID:98ZT2Y03O
[3]2は自分で勝手に書いたものです
解説には[3]2は載っていないです
両辺について3乗を外したなら、やっぱり2も3乗根がつくのかなぁ、と思いまして…
実数に累乗根はつかないのですか？
解説には[3]2は載っていないです
両辺について3乗を外したなら、やっぱり2も3乗根がつくのかなぁ、と思いまして…
実数に累乗根はつかないのですか？
360 ：大学への名無しさん：2009/02/16(月) 23:10:39 ID:2lkqwoqG0
361 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 01:02:24 ID:B8YrBY3V0
362 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 02:44:29 ID:eHv3Y/4+O
あとは確率ね。
たとえばGP2通りの手からなる組み合わせは2＾5通りあるが、
GGGGG、PPPPPは1種類になって勝負がつかない。
従ってこの場合で勝負がつく手のパターン（場合の数）は 2^5-2
このほか、GC,PCでも全く同じに考えられるから、結局
「5人の手が2通り”以内”で勝負がつく場合の数は
GP,GC,CPの3パターンに対してして2＾5-2とおりずつで
3*（2＾5-2)=3*2＾5-6 通り。これがそのまま、勝負がつく
全ての場合の場合の数になっている。計算するとこれが90通り。
（5人の手がGCP全部を含むか、GCPのうちいずれか1種類だけでは
勝負はつかない）
たとえばGP2通りの手からなる組み合わせは2＾5通りあるが、
GGGGG、PPPPPは1種類になって勝負がつかない。
従ってこの場合で勝負がつく手のパターン（場合の数）は 2^5-2
このほか、GC,PCでも全く同じに考えられるから、結局
「5人の手が2通り”以内”で勝負がつく場合の数は
GP,GC,CPの3パターンに対してして2＾5-2とおりずつで
3*（2＾5-2)=3*2＾5-6 通り。これがそのまま、勝負がつく
全ての場合の場合の数になっている。計算するとこれが90通り。
（5人の手がGCP全部を含むか、GCPのうちいずれか1種類だけでは
勝負はつかない）
ちなみに、GCP3通り全部を含んでアイコになる場合の数を
真面目に計算すると、
手の数が多い順に3人、1人、1人になる場合…
GCPどの手を3人が出したか…3通り
それがたとえばGであった場合、5人のうち誰がP
（最多の手に単独なら勝てる手）か…5通り
残り4人のうち誰がC（最多の手に単独で負ける手）か…4通り
（残り3人は最初に選んだ最多の手に自動的に決まる）
従ってこの場合の合計が3*5*4=60通り
手の数が2人、2人、1人になる場合
GCPどの手が1人だけか…3通り
それがGであった場合、5人のうち誰がGか…5通り
残り4人の誰と誰がP（最小の手に単独なら勝てる手）か…C[4,2]
（残り2人は自動的にこの場合Cになる）
従ってこの場合の合計が3*5*6=90通り
よって、3種の手が全て出揃うアイコは合計150通り。
>>256は3通り全てを含む場合を入れているけれど、これと比べて漏れが
あまりに多すぎる。
GCP1種類だけになるのが3通り。
結局
3種類でアイコ…150通り
2種類で勝負がつく…90通り
1種類でアイコ…3通り
合計243通りで、これは正しく3＾5になっている。
解答を読んでも分からないところ(最後の【】部分)があったので、教えていただけると助かります。
分からないのは(2)番の一部なんですが、(1)番から続いている問題なので、 一応(1)番から書きます。
《問題》
(1)xy平面上に、曲線xy=3x+2y-5のグラフを書け。
(2)0<x≦a、0<yであるx、yが上の式を満たすとき、x+yが最大値を持つための
aの条件を求めよ。また、そのときの最大値も求めよ。
《解答》
(1) y(x-2)=3x-5
x=2のとき、上の等式は成り立たないからx≠2
このとき y=(3x-5)/(x-2)=1/(x-2)+3
よってグラフ(ry
(2) x+y=kとおくと、x+yの最大値は、直線y=-x+kが(1)の曲線と共有点を持つとき、
そのy切片kの最大値である。
a>2なら、直線x+y=kは2<x≦aにおいて(1)の曲線と共有点をもち、
(共有点のx座標を2に近づけると)kはいくらでも大きい値をとり、最大値をもたない。
0<a≦2のとき、直線x+y=kが(1)の曲線と0<x≦aで接するのは
(-x+k)(x-2)=3x-5から x^2+(1-k)x+2k-5=0の判別式 D=(1-k)^2-4(2k-5)=0
を解いてk^2-10k+21=0から(k-3)(k-7)=0
ゆえにK=3、7
【K=7のとき、接点のx座標は(k-1)/2=3(>2)で条件を満たさない。】
(以下略)
分からないのは(2)番の一部なんですが、(1)番から続いている問題なので、 一応(1)番から書きます。
《問題》
(1)xy平面上に、曲線xy=3x+2y-5のグラフを書け。
(2)0<x≦a、0<yであるx、yが上の式を満たすとき、x+yが最大値を持つための
aの条件を求めよ。また、そのときの最大値も求めよ。
《解答》
(1) y(x-2)=3x-5
x=2のとき、上の等式は成り立たないからx≠2
このとき y=(3x-5)/(x-2)=1/(x-2)+3
よってグラフ(ry
(2) x+y=kとおくと、x+yの最大値は、直線y=-x+kが(1)の曲線と共有点を持つとき、
そのy切片kの最大値である。
a>2なら、直線x+y=kは2<x≦aにおいて(1)の曲線と共有点をもち、
(共有点のx座標を2に近づけると)kはいくらでも大きい値をとり、最大値をもたない。
0<a≦2のとき、直線x+y=kが(1)の曲線と0<x≦aで接するのは
(-x+k)(x-2)=3x-5から x^2+(1-k)x+2k-5=0の判別式 D=(1-k)^2-4(2k-5)=0
を解いてk^2-10k+21=0から(k-3)(k-7)=0
ゆえにK=3、7
【K=7のとき、接点のx座標は(k-1)/2=3(>2)で条件を満たさない。】
(以下略)
0<x≦a、0<yであるx、y
0<a≦2のとき
よって x≦a≦2
よってx=(k-1)/2=3(>2)で条件を満たさない
0<a≦2のとき
よって x≦a≦2
よってx=(k-1)/2=3(>2)で条件を満たさない
分数関数だから数Cをやってる/数IIIも既習という前提でいいかね。
新3年でIIIとCを平行していて、IIIが微分に入ってなければ一部わからないかも
しれないが。
前半、それでも間違ってないけど、数Iの整数問題の応用でこう考えると早い。
xy-3x-2y=-5 の左辺を因数分解できるように両辺に6を足すと
xy-3x-2y+6 = (x-2)(y-3) = 1
これはxy=1のxをx-2に、yをy-3に置き換えた形の式だから、
xy=1（これが中学で反比例のグラフとして既習）を
x軸正方向に2、y軸正方向に3平行移動したグラフ。
（従って漸近線はx=2、y=3）
後半、判別式からだけで解いて求めた値は、このグラフの「第1象限内の
左下部分で」接するとき、という「」内の条件が反映されていない。
右上部分で接するときの値も同時に求めてしまっていて、そっちがk=7。
これを後から、後半冒頭で考えた考察に従って捨てているのが【】内。
実際、xy=1 ⇔ y=1/x が傾き-1になるのは、微分してy'=-1/x^2を満たす点で
x=±1、対応するyはy=±1（複号同順）
これを（3,2）平行移動すると(2,1)と（3,4) になる。これらは漸近線の交点
(2,3)の左下と右上に対応。そして、(2,1)を通るときx+y=kのkが3、
（3,4)を通るときにはｋが7になっている、というわけ。
新3年でIIIとCを平行していて、IIIが微分に入ってなければ一部わからないかも
しれないが。
前半、それでも間違ってないけど、数Iの整数問題の応用でこう考えると早い。
xy-3x-2y=-5 の左辺を因数分解できるように両辺に6を足すと
xy-3x-2y+6 = (x-2)(y-3) = 1
これはxy=1のxをx-2に、yをy-3に置き換えた形の式だから、
xy=1（これが中学で反比例のグラフとして既習）を
x軸正方向に2、y軸正方向に3平行移動したグラフ。
（従って漸近線はx=2、y=3）
後半、判別式からだけで解いて求めた値は、このグラフの「第1象限内の
左下部分で」接するとき、という「」内の条件が反映されていない。
右上部分で接するときの値も同時に求めてしまっていて、そっちがk=7。
これを後から、後半冒頭で考えた考察に従って捨てているのが【】内。
実際、xy=1 ⇔ y=1/x が傾き-1になるのは、微分してy'=-1/x^2を満たす点で
x=±1、対応するyはy=±1（複号同順）
これを（3,2）平行移動すると(2,1)と（3,4) になる。これらは漸近線の交点
(2,3)の左下と右上に対応。そして、(2,1)を通るときx+y=kのkが3、
（3,4)を通るときにはｋが7になっている、というわけ。
>>367,>>368
レスさっそくありがとうございます。
なんとなくは分かったんですが、そもそも(k-1)/2=3って式がどこから出てきたのか分からなくて。
右辺の3は漸近線のことですよね？
左辺は・・・？
再度すみません。
レスさっそくありがとうございます。
なんとなくは分かったんですが、そもそも(k-1)/2=3って式がどこから出てきたのか分からなくて。
右辺の3は漸近線のことですよね？
左辺は・・・？
再度すみません。
370 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 13:31:54 ID:YK6kH1hz0
>なんとなくは分かったんですが
ちゃんとグラフ描いてる? xy=1を平行移動した双曲線を見ながら、
傾き-1の直線がこの双曲線の第1象限部分とどこで共有点を持つか
（とくにその座標のx+yについて最大値がありうる場合に）、ということを
考えれば、問題の意味も一方の解を捨てている意味も、とてもよく分かると
思うのだけれど。
> 0<a≦2のとき、直線x+y=kが(1)の曲線と0<x≦aで接するのは
> (-x+k)(x-2)=3x-5から x^2+(1-k)x+2k-5=0の判別式 D=(1-k)^2-4(2k-5)=0
書かれた答案（模範解?)では、
直線x+y=kと与えられた双曲線が接する（元の問題）
→2次関数x^2+(1-k)x+2k-5=0 が「あらかじめ考えたx座標の範囲で」
x軸と接するためのｋの条件を考える
という手筋になっている。「」内を除き、「接する」という条件だけを考えると
k=3,7と2つ答えが出たわけ。で、2次関数がx軸と接することが分かっているとき、
その接点のx座標は軸の座標に決まってるから、「」内を考えるために、
上記の2次関数の軸の座標を-(1-k)/2 として計算してるわけ。
k=7のとき-（1-k)/2=3 で、これは上記の説明どおり「接点のx座標」であり、
「水平な漸近線」y=3とは直接の関係はない。それが前半で考えた2
（a>2だとダメ、というところに出てきた2）よりも大きいから、こっちは
捨てるのだ、という論法。
ちゃんとグラフ描いてる? xy=1を平行移動した双曲線を見ながら、
傾き-1の直線がこの双曲線の第1象限部分とどこで共有点を持つか
（とくにその座標のx+yについて最大値がありうる場合に）、ということを
考えれば、問題の意味も一方の解を捨てている意味も、とてもよく分かると
思うのだけれど。
> 0<a≦2のとき、直線x+y=kが(1)の曲線と0<x≦aで接するのは
> (-x+k)(x-2)=3x-5から x^2+(1-k)x+2k-5=0の判別式 D=(1-k)^2-4(2k-5)=0
書かれた答案（模範解?)では、
直線x+y=kと与えられた双曲線が接する（元の問題）
→2次関数x^2+(1-k)x+2k-5=0 が「あらかじめ考えたx座標の範囲で」
x軸と接するためのｋの条件を考える
という手筋になっている。「」内を除き、「接する」という条件だけを考えると
k=3,7と2つ答えが出たわけ。で、2次関数がx軸と接することが分かっているとき、
その接点のx座標は軸の座標に決まってるから、「」内を考えるために、
上記の2次関数の軸の座標を-(1-k)/2 として計算してるわけ。
k=7のとき-（1-k)/2=3 で、これは上記の説明どおり「接点のx座標」であり、
「水平な漸近線」y=3とは直接の関係はない。それが前半で考えた2
（a>2だとダメ、というところに出てきた2）よりも大きいから、こっちは
捨てるのだ、という論法。
黄チャートⅢＣのp.207です。
実数tを媒介変数として曲線 x=3t^2 , y=3t-t^3 を考える。
yをxの関数と考えて，yの増減を調べることによって，この曲線をxy平面上に図示せよ。
という問題の解答１行目で、
x=3t^2, y=3t-t^3=t(3-t^2)から，この曲線のt≧0の部分と，t≦0の部分はx軸に関して対称である。
とあるのですが、どういう考え方で対称であると導けるのでしょうか。
実数tを媒介変数として曲線 x=3t^2 , y=3t-t^3 を考える。
yをxの関数と考えて，yの増減を調べることによって，この曲線をxy平面上に図示せよ。
という問題の解答１行目で、
x=3t^2, y=3t-t^3=t(3-t^2)から，この曲線のt≧0の部分と，t≦0の部分はx軸に関して対称である。
とあるのですが、どういう考え方で対称であると導けるのでしょうか。
372 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 15:59:00 ID:B8YrBY3V0
>>371
t=a,-aに対する点が(3a^2,a(3-a^2)),(3a^2,-a(3-a^2))とx軸に関して対称な点であるからです
t=a,-aに対する点が(3a^2,a(3-a^2)),(3a^2,-a(3-a^2))とx軸に関して対称な点であるからです
374 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 16:58:02 ID:bujrKWMhO
お願いします
∫[0,2]xe^(-2x^2)dx
を計算したいんですが、部分積分したらxの次数は上がっていっちゃうし、e^(-2x^2)は積分できないし、どうすればいいのかわかりません
∫[0,2]xe^(-2x^2)dx
を計算したいんですが、部分積分したらxの次数は上がっていっちゃうし、e^(-2x^2)は積分できないし、どうすればいいのかわかりません
>>374
t=x^2で痴漢して
dt/dx=2x
dx=dt/2x
そんでdxに代入
あとは積分範囲
0→2を0→4にすれば
1/2∫[0,4]e^-2t dt
と変換出来ます
教科書かなんかにも似てるのあると思うから、痴漢積分みてみ
t=x^2で痴漢して
dt/dx=2x
dx=dt/2x
そんでdxに代入
あとは積分範囲
0→2を0→4にすれば
1/2∫[0,4]e^-2t dt
と変換出来ます
教科書かなんかにも似てるのあると思うから、痴漢積分みてみ
376 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 18:10:33 ID:bujrKWMhO
>>335
ありがとうございます、もう少しよろしいでしょうか？
計算したら、
(-1／2e^4)+(1／2)
となったんですが、解答を見ると、
(-1／4e^8)+(1／4)
となっていました。
何がどうなっているのかわかりません…
ありがとうございます、もう少しよろしいでしょうか？
計算したら、
(-1／2e^4)+(1／2)
となったんですが、解答を見ると、
(-1／4e^8)+(1／4)
となっていました。
何がどうなっているのかわかりません…
377 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 19:52:17 ID:U8GynjERO
Σ(1/n)
n→∞の場合の級数の和の公式ってありますか？
n→∞の場合の級数の和の公式ってありますか？
>>377 発散する。
さあ、証明してみよう。
さあ、証明してみよう。
379 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 20:04:37 ID:3rmQMdIqO
隣接２項間漸化の問題ってなんでa[n]とa[n+1]をαと置いて特性方程式を解くとa[n+1]-α=χ(a[n]-α)って変形できるんですか？
>>379 ある意味話が逆。一部文字を変えるが、先にあるのは以下の「やりたいこと」。
やりたいこと：a[n+1]=p*a[n]+q の形で漸化式が与えられたときに、
a[n+1]-α=p(a[n]-α) と書けるαを見つけたい。（p≠1とする）
この結果から逆に戻ることにする。右辺を展開した上、左辺をa[n+1]だけに
すると、このときの右辺=p*a[n] +α（1-p)
この定数部分が最初のqならバッチグー(死語)なので、方程式
q=α(1-p) を満たすようなαの値を探せばいいことになる。
ところがこの式を再度変形すると、
α=pα+q であり、”結果的に”もとの漸化式のa[n]とa[n+1]をともにαと
おいた1次方程式と同じ形になっている。
という理解でいいと思う。この考え方なら、「αと置き換えると特性方程式が
できる」のは、記憶上の方便と言っていいことになる。
やりたいこと：a[n+1]=p*a[n]+q の形で漸化式が与えられたときに、
a[n+1]-α=p(a[n]-α) と書けるαを見つけたい。（p≠1とする）
この結果から逆に戻ることにする。右辺を展開した上、左辺をa[n+1]だけに
すると、このときの右辺=p*a[n] +α（1-p)
この定数部分が最初のqならバッチグー(死語)なので、方程式
q=α(1-p) を満たすようなαの値を探せばいいことになる。
ところがこの式を再度変形すると、
α=pα+q であり、”結果的に”もとの漸化式のa[n]とa[n+1]をともにαと
おいた1次方程式と同じ形になっている。
という理解でいいと思う。この考え方なら、「αと置き換えると特性方程式が
できる」のは、記憶上の方便と言っていいことになる。
△OABに対して OP↓=sOA↓＋tOB↓とする。
実数s,tがs+t=1/3, s≧0 t≧0 を満たすとき、点Pの存在範囲を求めよ。
という問題なんですが、そもそもs+t=1/3となる意味がわかりません。
教科書や参考書で太線で書かれている
s+t=1とは一体どういう関係が…
実数s,tがs+t=1/3, s≧0 t≧0 を満たすとき、点Pの存在範囲を求めよ。
という問題なんですが、そもそもs+t=1/3となる意味がわかりません。
教科書や参考書で太線で書かれている
s+t=1とは一体どういう関係が…
s+t=1/3⇔3s+3t=1
その後もチンプンカンプンです。
ご指導お願いします。
ご指導お願いします。
>>383
頭の準備体操：
x+y=1は点(0,1) (1,0) を通る直線になる。
では、x+y=1/3 は、x軸上のどことy軸上のどこを通る直線になる?
→類推して考えて
であれば、sとtの値に「ともに非負」という縛りがなければ、
OP↑=sOA↑＋tOB↑ 、s+t=1/3 は、
線分OA上のどこと線分OB上のどこを通る直線になると思う?
→この感覚が正しいことを論証しよう
s'=3ｓ、t'=3ｔ とすれば382の言うようにs'+t'=1が成立する。
ここで、OP↑=s'（OX↑）+t'（OY↑) が与えられた方程式と全く同じものを
表すようにしたい（そうすれば、s'+t'=1なのだから基本パターンに持ち込める）
では、OX↑、OY↑をそれぞれOA↑、OB↑を使ってどう書けるか考えてみよう。
頭の準備体操：
x+y=1は点(0,1) (1,0) を通る直線になる。
では、x+y=1/3 は、x軸上のどことy軸上のどこを通る直線になる?
→類推して考えて
であれば、sとtの値に「ともに非負」という縛りがなければ、
OP↑=sOA↑＋tOB↑ 、s+t=1/3 は、
線分OA上のどこと線分OB上のどこを通る直線になると思う?
→この感覚が正しいことを論証しよう
s'=3ｓ、t'=3ｔ とすれば382の言うようにs'+t'=1が成立する。
ここで、OP↑=s'（OX↑）+t'（OY↑) が与えられた方程式と全く同じものを
表すようにしたい（そうすれば、s'+t'=1なのだから基本パターンに持ち込める）
では、OX↑、OY↑をそれぞれOA↑、OB↑を使ってどう書けるか考えてみよう。
>>384
ご丁寧な返答、感謝します。
＞頭の準備体操：
これは、
y軸上(0,1/3)x軸上(1/3,0)となりました。
＞→類推して考えて＞→この感覚が正しいことを論証しよう
Oを原点、Aをx軸上の(1,0)、Bをy軸上の(0,1)として、比較考察してみると、
O“X”↓=1/3OA↓ O“Y”↓=1/3OB↓ となり、
Xはx軸上の点(1/3,0) Yはy軸上の点(0,1/3)として比較出来ますよね？
つまり、点pの存在範囲は、線分XY上ということですよね？
ご丁寧な返答、感謝します。
＞頭の準備体操：
これは、
y軸上(0,1/3)x軸上(1/3,0)となりました。
＞→類推して考えて＞→この感覚が正しいことを論証しよう
Oを原点、Aをx軸上の(1,0)、Bをy軸上の(0,1)として、比較考察してみると、
O“X”↓=1/3OA↓ O“Y”↓=1/3OB↓ となり、
Xはx軸上の点(1/3,0) Yはy軸上の点(0,1/3)として比較出来ますよね？
つまり、点pの存在範囲は、線分XY上ということですよね？
386 ：大学への名無しさん：2009/02/17(火) 23:53:13 ID:3rmQMdIqO
>>380
わかりやすい回答ありがとうございます。おかげですっきりしました。
わかりやすい回答ありがとうございます。おかげですっきりしました。
>>385 それでおっけー。
というように、基本パターンからずれたパラメータ範囲が与えられた場合には
ベクトルの側を定数倍して、係数を基本パターンに合わせてやる、というのが
一つの手法としてある。
さらに、「斜交座標」の考え方を随時想起できると、直線で描かれる図形には
色々と見通しが良くなるかもしれない。
座標（x,y)で表される点P
→位置ベクトルp↑=（x,y)で表される点P
という見方の変化はこれまでに扱ってきたわけだけど、さらにこれは
基本ベクトルe_1↑=(1,0) 、e_2↑=（0,1) を使って、
p↑=ｘ*e_1↑+ｙ*e_2↑
と表すことができる。
二つの「基底」をなす基本ベクトルe_1↑、e_2↑に対して、e_1のｘ倍とe_2↑のｙ倍を
合わせた先がp↑だ、という考え方をすることになる。
ここで、e_1↑、e_2↑の代わりに、平行ではあるが直交していない基本ベクトル
a↑、b↑を考えて、これを基準に平面に格子を描くと、やはり平面上の任意の点が
m・a↑+ｎ・b↑の形で書ける、というのが自然なものとして理解できると思う。これが
斜交座標の考え方。
>>384で示したのは、（直交）座標の考えをもとに斜交座標的な考え方をすることで、
数II的な直線の方程式を数B的なベクトル方程式につなぐ考え方であった、
とも言えるわけ。
というように、基本パターンからずれたパラメータ範囲が与えられた場合には
ベクトルの側を定数倍して、係数を基本パターンに合わせてやる、というのが
一つの手法としてある。
さらに、「斜交座標」の考え方を随時想起できると、直線で描かれる図形には
色々と見通しが良くなるかもしれない。
座標（x,y)で表される点P
→位置ベクトルp↑=（x,y)で表される点P
という見方の変化はこれまでに扱ってきたわけだけど、さらにこれは
基本ベクトルe_1↑=(1,0) 、e_2↑=（0,1) を使って、
p↑=ｘ*e_1↑+ｙ*e_2↑
と表すことができる。
二つの「基底」をなす基本ベクトルe_1↑、e_2↑に対して、e_1のｘ倍とe_2↑のｙ倍を
合わせた先がp↑だ、という考え方をすることになる。
ここで、e_1↑、e_2↑の代わりに、平行ではあるが直交していない基本ベクトル
a↑、b↑を考えて、これを基準に平面に格子を描くと、やはり平面上の任意の点が
m・a↑+ｎ・b↑の形で書ける、というのが自然なものとして理解できると思う。これが
斜交座標の考え方。
>>384で示したのは、（直交）座標の考えをもとに斜交座標的な考え方をすることで、
数II的な直線の方程式を数B的なベクトル方程式につなぐ考え方であった、
とも言えるわけ。
文系ⅡＢまで履修済みです。
放物線U:y=x^2 …①
円C:x^2+(y-s)^2=r^2 …②
が、ただ一つの共有点を持つためのs,rについての条件を求めよ
という問題で、解答が
求める条件は
①、②よりxを消去してできる方程式
y^2-(2sｰ1)y+s^2ｰr^2=0…③が、
y=0を解にもつ。 …④かつ
正の解をもたない。…⑤ことである。
④より③にy=0を代入してs^2=r^2
このとき、③はy{y-(2s-1)}=0
∴y=0,2s-1
⑤より2s-1≦0
∴s≦1/2
したがって、求める条件は
s≦1/2 かつ s^2=r^2
となっているのですが、なぜ求める条件が｢正の解をもたない｣となるのかがわかりません。
グラフを描いてみると分かるように、y=0を解にもち正の解をもたないということは
ただ一つの解y=0をもつことではないのでしょうか。
自分はそう思って(判別式)=0を用いて解いたのですが、
答えがs=r=1/2となり、明らかにおかしくなってしまいました。
意味わかりません…
誰かお願いします…
放物線U:y=x^2 …①
円C:x^2+(y-s)^2=r^2 …②
が、ただ一つの共有点を持つためのs,rについての条件を求めよ
という問題で、解答が
求める条件は
①、②よりxを消去してできる方程式
y^2-(2sｰ1)y+s^2ｰr^2=0…③が、
y=0を解にもつ。 …④かつ
正の解をもたない。…⑤ことである。
④より③にy=0を代入してs^2=r^2
このとき、③はy{y-(2s-1)}=0
∴y=0,2s-1
⑤より2s-1≦0
∴s≦1/2
したがって、求める条件は
s≦1/2 かつ s^2=r^2
となっているのですが、なぜ求める条件が｢正の解をもたない｣となるのかがわかりません。
グラフを描いてみると分かるように、y=0を解にもち正の解をもたないということは
ただ一つの解y=0をもつことではないのでしょうか。
自分はそう思って(判別式)=0を用いて解いたのですが、
答えがs=r=1/2となり、明らかにおかしくなってしまいました。
意味わかりません…
誰かお願いします…
390 ：大学への名無しさん：2009/02/18(水) 17:05:30 ID:IDq7sBQlO
例えば分母がx^3-3x-2のとき、部分分数分解はするなら(x+1)^2とx-2だけではダメで(x+1)^2とx-2とx+1にするのは何故ですか？
>>388
s=r(r>0)のときUとCは共有点を3つもつのでこの場合を除外する必要がある
s=r(r>0)のときUとCは共有点を3つもつのでこの場合を除外する必要がある
392 ：大学への名無しさん：2009/02/18(水) 17:12:25 ID:HmbCaftx0
>>390
(x+1)/x^2を部分分数展開してみてください
(x+1)/x^2を部分分数展開してみてください
393 ：大学への名無しさん：2009/02/18(水) 17:22:03 ID:IDq7sBQlO
1/x+1/x^2でいいんですか…？
394 ：大学への名無しさん：2009/02/18(水) 17:24:05 ID:IDq7sBQlO
n次式のときはn個にわけるんですか？
396 ：大学への名無しさん：2009/02/18(水) 19:30:41 ID:HmbCaftx0
数学の解答の最後に、答えの右下に"//"のようにスラッシュを二回書く人がいますが、あれはどういう意味ですか？
>>395
御免。よく読んでなかった。それで合ってる
③を作った時に、y=x^2≧0がyの条件として消えているので
｢①と②が共有点をただ一つ持つ｣⇔｢③が解をただ一つ持ち、かつy=0が解｣
これは誤り。正しくは
｢①と②が共有点をただ一つ持つ｣⇔｢③がy≧0に解をただ一つ持ち、かつy=0が解｣
あとは解の配置問題
軸 -(1-2s)/2≦0⇔s≦1/2
y=0のとき③=0⇔s^2=r^2
となる
御免。よく読んでなかった。それで合ってる
③を作った時に、y=x^2≧0がyの条件として消えているので
｢①と②が共有点をただ一つ持つ｣⇔｢③が解をただ一つ持ち、かつy=0が解｣
これは誤り。正しくは
｢①と②が共有点をただ一つ持つ｣⇔｢③がy≧0に解をただ一つ持ち、かつy=0が解｣
あとは解の配置問題
軸 -(1-2s)/2≦0⇔s≦1/2
y=0のとき③=0⇔s^2=r^2
となる
f(x)=4/3 * √{(1+x)^3/x}を微分した場合、
答えはf'(x)=2{1-(1+x)/3x} * √{(1+x)/x}で合ってますか？
解答とは違うやり方なので確認ができなくて困ってます・・・
答えはf'(x)=2{1-(1+x)/3x} * √{(1+x)/x}で合ってますか？
解答とは違うやり方なので確認ができなくて困ってます・・・
>>398
ありがとうございました。よくわかりました！！
ありがとうございました。よくわかりました！！
複素数係数の整式は定義されてますか？
例えば
f(x)=ix^2+(1+i)x
等を扱うことはあるんでしょうか
例えば
f(x)=ix^2+(1+i)x
等を扱うことはあるんでしょうか
403 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 17:32:56 ID:wP5Y8v6J0
任意の整数ｍとかって書かれてたら何でも成り立つって事ですか？
405 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 17:52:16 ID:GhzICE0t0
>>402
x^2+1を因数分解せよ
x^2+1を因数分解せよ
406 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 18:17:20 ID:LyX9GDsNO
>>405(x+i)(x-i)
407 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 18:32:09 ID:LyX9GDsNO
sin1ﾟが無理数であることを証明しろ
という問題なんですが、
どうすれば全くわかりません。
sin1ﾟ=p/qと仮定しても、、、
それから進みません...
という問題なんですが、
どうすれば全くわかりません。
sin1ﾟ=p/qと仮定しても、、、
それから進みません...
408 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 19:01:24 ID:osXq+oOFO
曲線C:y=xlogx(x>0)の接戦のうち点(0.ｰ1)を通るものをLとする。直線Lと曲線C及びy=ｰ1/eとで囲まれる図形の面積をもとめよ。
過去問を落としたので答えがありませんでした。
(e^2+4eｰ1)/(4e^2)と出たんですがどうでしょうか？
よろしくお願いします
過去問を落としたので答えがありませんでした。
(e^2+4eｰ1)/(4e^2)と出たんですがどうでしょうか？
よろしくお願いします
409 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 19:04:31 ID:GhzICE0t0
>>407
sin45°=1/√2と45倍角を使います
sin45°=1/√2と45倍角を使います
410 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 19:24:53 ID:GhzICE0t0
>>408
1/e-1/4-(3/4)(1/e^2)？
1/e-1/4-(3/4)(1/e^2)？
412 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 19:49:45 ID:LyX9GDsNO
>>409
45倍角…
それは存在すると仮定するんですか？
sin3α=3sinα-4(sinα)^3
を使って、
sin1ﾟが有理数ならば、sin3ﾟも有理数...sin9ﾟも有理数ってなりますね。
でも45ﾟにはもってけません泣
45倍角…
それは存在すると仮定するんですか？
sin3α=3sinα-4(sinα)^3
を使って、
sin1ﾟが有理数ならば、sin3ﾟも有理数...sin9ﾟも有理数ってなりますね。
でも45ﾟにはもってけません泣
413 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:02:56 ID:BFYW1Y+H0
楕円のパラメータ表示に関する質問です。
x^2/a^2+y^2=1(a>1) とその上に動点P,Qがあり、原点Oに対して∠POQ=π/2
を満たしている。
このとき、直角三角形OPQを直線OQのまわりに一回転してできる直円錐の体積をVとする。
OPベクトルがx軸の正方向となす角をθとするとき、Vをθの式で表せ。
こういうもんだいなんですが、
OPベクトル=(acosθ、sinθ)と表して、OP=の長さcos^2θ+sin^2θを出して、
OQベクトルをOPベクトルの90度回転変換を施して、OQベクトルを出して、同様にその長さを出して
V=π×OP^2×OQ×1/3
で出したのですが、答えが合いません。
数学的に間違ってるところ指摘お願いします。
x^2/a^2+y^2=1(a>1) とその上に動点P,Qがあり、原点Oに対して∠POQ=π/2
を満たしている。
このとき、直角三角形OPQを直線OQのまわりに一回転してできる直円錐の体積をVとする。
OPベクトルがx軸の正方向となす角をθとするとき、Vをθの式で表せ。
こういうもんだいなんですが、
OPベクトル=(acosθ、sinθ)と表して、OP=の長さcos^2θ+sin^2θを出して、
OQベクトルをOPベクトルの90度回転変換を施して、OQベクトルを出して、同様にその長さを出して
V=π×OP^2×OQ×1/3
で出したのですが、答えが合いません。
数学的に間違ってるところ指摘お願いします。
>>413
楕円なので、たとえばOP↑=(acosδ,sinδ） と表すことは出来るけれど、
そのときのδは、この問題でOPが実際にx軸と成す角と決められた文字
θとは違う値になっている（π/2の整数倍の値以外では）。
たとえば、a=10、δ=π/6のときP（5√3、1/2） だが、
このときOPがx軸正方向と成す角はπ/6になってないのは分かるよね。
楕円なので、たとえばOP↑=(acosδ,sinδ） と表すことは出来るけれど、
そのときのδは、この問題でOPが実際にx軸と成す角と決められた文字
θとは違う値になっている（π/2の整数倍の値以外では）。
たとえば、a=10、δ=π/6のときP（5√3、1/2） だが、
このときOPがx軸正方向と成す角はπ/6になってないのは分かるよね。
415 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:10:42 ID:BFYW1Y+H0
連続ですいません。
>>407さん
sin1°を無理数であると証明するんですか？
一つの方法として、背理法がありますが、
sin1°を有理数と仮定すると
半角、二倍角の公式によって、sin2°sin4°sin8°・・・sin64°まで出せます。
後は加法定理によって、√3を出せば、有理数であることと矛盾しますので、証明できると思います！
めんどくさい方法ですが、確実だと思います！
>>407さん
sin1°を無理数であると証明するんですか？
一つの方法として、背理法がありますが、
sin1°を有理数と仮定すると
半角、二倍角の公式によって、sin2°sin4°sin8°・・・sin64°まで出せます。
後は加法定理によって、√3を出せば、有理数であることと矛盾しますので、証明できると思います！
めんどくさい方法ですが、確実だと思います！
416 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:17:28 ID:BFYW1Y+H0
417 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:21:08 ID:U6+dAfA60
∫ｘ/（ｘ＾２－２ｘ－３）＝∫ｘ/{(x-3)(x+1)}
∫ｘ＾２/(1+e^x)=
∫√（（x-a）(b-x)）= a<b
全部ｄｘです
解き方をおしえてくださいｍｍｍＯＴＺ
∫ｘ＾２/(1+e^x)=
∫√（（x-a）(b-x)）= a<b
全部ｄｘです
解き方をおしえてくださいｍｍｍＯＴＺ
部分
分数
分数
419 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:43:50 ID:osXq+oOFO
>>414
単なるパラメータとして考えるしかない（超高校級のレベルではどうかは
知らないが、高校レベルでは、単純に楕円に即した有用な意味を見出すのは
難しいと思う）。
強いて言うなら、同語反復みたいな感じにはなるが
「偏倍して楕円を円にしたときに偏角となるような値」
（ただ、これで解決できる問題もないわけじゃない）
で、413を見ると
>OP=の長さcos^2θ+sin^2θ
すでにθの意味づけで問題があることを指摘したけれど、
ここもダメですね。a^2(cosδ)^2 + (sinδ)^2 で、cosの前には
a^2が要る。
単なるパラメータとして考えるしかない（超高校級のレベルではどうかは
知らないが、高校レベルでは、単純に楕円に即した有用な意味を見出すのは
難しいと思う）。
強いて言うなら、同語反復みたいな感じにはなるが
「偏倍して楕円を円にしたときに偏角となるような値」
（ただ、これで解決できる問題もないわけじゃない）
で、413を見ると
>OP=の長さcos^2θ+sin^2θ
すでにθの意味づけで問題があることを指摘したけれど、
ここもダメですね。a^2(cosδ)^2 + (sinδ)^2 で、cosの前には
a^2が要る。
421 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:49:14 ID:BFYW1Y+H0
422 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 20:55:13 ID:U6+dAfA60
>>418
ありがとうございます下二つはまったくわかりませんＯＴＺ
ありがとうございます下二つはまったくわかりませんＯＴＺ
424 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:05:50 ID:LyX9GDsNO
>>415
二倍角、半角とは…sin2α=2sinαcosαや
(sinα)^2=(1-cos2α)/2
のことですよね。
sin1ﾟが有理数ならばcos1ﾟは有理数を証明しなければ、
2倍角は使えないのでは??
二倍角、半角とは…sin2α=2sinαcosαや
(sinα)^2=(1-cos2α)/2
のことですよね。
sin1ﾟが有理数ならばcos1ﾟは有理数を証明しなければ、
2倍角は使えないのでは??
425 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:20:18 ID:BFYW1Y+H0
>>424
確かにその部分を吟味しなきゃいけないですね。
でもそれは簡単にできます。
問題的に「sin1°を有理数と仮定すればcos2°も有理数である」ということをいえればいいので
cos2°=1-2sin^21°
より、sin1°が有理数であるとしたら、cos2°も有理数であるといえます。
それを挟んで、sinの操作をしてみたらいかがですか？
確かにその部分を吟味しなきゃいけないですね。
でもそれは簡単にできます。
問題的に「sin1°を有理数と仮定すればcos2°も有理数である」ということをいえればいいので
cos2°=1-2sin^21°
より、sin1°が有理数であるとしたら、cos2°も有理数であるといえます。
それを挟んで、sinの操作をしてみたらいかがですか？
426 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:20:48 ID:LyX9GDsNO
427 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:25:50 ID:wFzhbbXx0
2x^15+4x^10+6x^5+8をx^4-1で割った余りを出す問題なんですが、何故か余りがx^6+6x^5+2x^3+8になってしまいました。
ちなみに商は2x^11+2x^7+4x^6+2x^3になりました。
普通に割り算の式で解いたのですが、やり方が違いましたら教えてください。
お願いします。
ちなみに商は2x^11+2x^7+4x^6+2x^3になりました。
普通に割り算の式で解いたのですが、やり方が違いましたら教えてください。
お願いします。
>>417
一番下、ルートの中身は -(x-a)(x-b)
(a+b)/2 = αとすると = -（x-α)^2-ab+α^2
-ab+α^2=β＾2 とすると（abの正負に関わらず必ず左辺は正。簡単に証明できる）
=β＾2-（x-α）＾2
(ｘ-α）/β = sin(t) と置換すると被積分関数が
β√(1-(sint)^2)
以下略。
不定積分で書いてあるが、高校レベルでの出題ならaからbまでの区間での
定積分で出されたと思う。そうでないと一般に逆三角関数使わないと答えが
xで書けないから高校では無理ぽ、になりそうな。
一番下、ルートの中身は -(x-a)(x-b)
(a+b)/2 = αとすると = -（x-α)^2-ab+α^2
-ab+α^2=β＾2 とすると（abの正負に関わらず必ず左辺は正。簡単に証明できる）
=β＾2-（x-α）＾2
(ｘ-α）/β = sin(t) と置換すると被積分関数が
β√(1-(sint)^2)
以下略。
不定積分で書いてあるが、高校レベルでの出題ならaからbまでの区間での
定積分で出されたと思う。そうでないと一般に逆三角関数使わないと答えが
xで書けないから高校では無理ぽ、になりそうな。
429 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:28:33 ID:osXq+oOFO
430 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 21:31:55 ID:7vyWXG8BO
袋のなかに赤玉２個と白玉２が入っている
この袋から２個の玉を同時に取出し色を調べてから袋に戻す
nを自然数とし、次のルールA.B.Cに従って試行を繰り返すゲームG_nを行なう
(A)取り出した２個の玉の色が異なるときには試行を繰り返す。
ただしn回試行を行なった場合には繰り返さずゲームを終了する
(B)取り出した２個の玉の色が同じ場合にはゲームを終了する
(C)k回試行を行いゲームが終了した場合に得点を2^kとする
問
ゲームG_nにおける得点の期待値を求めよ
期待値は{Σ[k=1,nｰ1](2^k)*(1/3)*(2/3)^(kｰ1)}+(2^n)*(2/3)^(nｰ1)となったのですが、うまく値がだせません
この袋から２個の玉を同時に取出し色を調べてから袋に戻す
nを自然数とし、次のルールA.B.Cに従って試行を繰り返すゲームG_nを行なう
(A)取り出した２個の玉の色が異なるときには試行を繰り返す。
ただしn回試行を行なった場合には繰り返さずゲームを終了する
(B)取り出した２個の玉の色が同じ場合にはゲームを終了する
(C)k回試行を行いゲームが終了した場合に得点を2^kとする
問
ゲームG_nにおける得点の期待値を求めよ
期待値は{Σ[k=1,nｰ1](2^k)*(1/3)*(2/3)^(kｰ1)}+(2^n)*(2/3)^(nｰ1)となったのですが、うまく値がだせません
2直線の交角の求め方がわからないです…
例えば、
y=x
y=-2x+3
この2直線の交角を求めるにはまずどうすればいいんでしょうか？
例えば、
y=x
y=-2x+3
この2直線の交角を求めるにはまずどうすればいいんでしょうか？
tanか法線ベクトルか、どちらをお望みで
>>432
わかりました!ありがとうございました
わかりました!ありがとうございました
434 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 22:31:59 ID:LyX9GDsNO
>>425
遅くなりました。
sin1ﾟが有理数と仮定する。
cos2α=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1━①
①より、
cos2ﾟは有理数、cos4ﾟは有理数
cos8ﾟは有理数cos16ﾟは有理数
cos32ﾟは有理数ですね。
cos32ﾟ=cos(30ﾟ+2ﾟ)
=cos30ﾟcos2ﾟ－sin30ﾟsin2ﾟ━②
cos2ﾟ≠0から
sin2ﾟの有理数、無理数に関係なく
②は矛盾する。
と思うのですが、どうでしょうか？
遅くなりました。
sin1ﾟが有理数と仮定する。
cos2α=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1━①
①より、
cos2ﾟは有理数、cos4ﾟは有理数
cos8ﾟは有理数cos16ﾟは有理数
cos32ﾟは有理数ですね。
cos32ﾟ=cos(30ﾟ+2ﾟ)
=cos30ﾟcos2ﾟ－sin30ﾟsin2ﾟ━②
cos2ﾟ≠0から
sin2ﾟの有理数、無理数に関係なく
②は矛盾する。
と思うのですが、どうでしょうか？
436 ：大学への名無しさん：2009/02/19(木) 23:07:41 ID:LyX9GDsNO
３－２分の３＋４分の３－８分の３＋…の和
お願いします
わかりません
お願いします
わかりません
439 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 07:17:58 ID:WC02BYuU0
>>411
範囲外です
範囲外です
440 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 07:30:36 ID:WC02BYuU0
441 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:14:28 ID:WC02BYuU0
>>413
P(r cosθ, r sinθ)
(r cosθ)^2/a^2+(r sinθ)^2=1
r=1/√(cos^2θ/a^2+sin^2θ)
Q(-s sinθ, s cosθ)
(-s sinθ)^2/a^2+(s cosθ)^2=1
s=1/√(sin^2θ/a^2+cos^2θ)
V=πsr^2/3=
P(r cosθ, r sinθ)
(r cosθ)^2/a^2+(r sinθ)^2=1
r=1/√(cos^2θ/a^2+sin^2θ)
Q(-s sinθ, s cosθ)
(-s sinθ)^2/a^2+(s cosθ)^2=1
s=1/√(sin^2θ/a^2+cos^2θ)
V=πsr^2/3=
442 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:18:10 ID:OL5LDSk9O
f(x)=∫0～x|cos(x-t)|costdt
(π/2≦x≦3π/2)
このとき、f(x)の最大値と最小値を求めよ
この問題どうやって解けばいいんですか？x-t=uと置いて解くらしいのですが、よく意味がわかりません…(>_<)
(π/2≦x≦3π/2)
このとき、f(x)の最大値と最小値を求めよ
この問題どうやって解けばいいんですか？x-t=uと置いて解くらしいのですが、よく意味がわかりません…(>_<)
443 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:18:30 ID:70bIAljNO
0≦a≦πをみたす実数aに対してy=sinxとx軸および2直線x=a.x=a+(3/2)πで囲まれる部分の面積をS(a)とする。S(a)の最大値と最小値を求めよ。
場合わけは必要ですか？
最大値(√2)+2最小値3でいいのかわかりません…
お願いします
場合わけは必要ですか？
最大値(√2)+2最小値3でいいのかわかりません…
お願いします
444 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:33:48 ID:WC02BYuU0
>>417
x/((x-3)(x+1))=a/(x-3)+b/(x+1)
a(x+1)+b(x-3)=x
4a=3, -4b=-1
a=3/4, b=1/4
∫[-a,a]x^2/(1+e^x)dx？
=∫[-a,0]x^2/(1+e^x)dx+∫[0,a]x^2/(1+e^x)dx
=∫[0,a]x^2/(1+e^(-x))dx+∫[0,a]x^2/(1+e^x)dx
=∫[0,a]x^2(1/(1+e^(-x))+1/(1+e^x))dx
=∫[0.a]x^2((1+e^x)+(1+e^(-x)))/((1+e^(-x))(1+e^x)))dx
=∫[0,a]x^2dx
=a^3/3
∫[a,b]√((x-a)(b-x))dx？
=π((b-a)/2)^2/2
=π(b-a)^2/8
x/((x-3)(x+1))=a/(x-3)+b/(x+1)
a(x+1)+b(x-3)=x
4a=3, -4b=-1
a=3/4, b=1/4
∫[-a,a]x^2/(1+e^x)dx？
=∫[-a,0]x^2/(1+e^x)dx+∫[0,a]x^2/(1+e^x)dx
=∫[0,a]x^2/(1+e^(-x))dx+∫[0,a]x^2/(1+e^x)dx
=∫[0,a]x^2(1/(1+e^(-x))+1/(1+e^x))dx
=∫[0.a]x^2((1+e^x)+(1+e^(-x)))/((1+e^(-x))(1+e^x)))dx
=∫[0,a]x^2dx
=a^3/3
∫[a,b]√((x-a)(b-x))dx？
=π((b-a)/2)^2/2
=π(b-a)^2/8
445 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:35:12 ID:WC02BYuU0
>>427
15次÷4次を実際に筆算で求めてもそれほど無理ではない
15次÷4次を実際に筆算で求めてもそれほど無理ではない
446 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 08:46:59 ID:WC02BYuU0
>>430
1回の試行で終了する確率は2/4C2=1/3
k回の試行で終了する確率は(2/3)^(k-1)(1/3)
n回の試行で終了する確率は(2/3)^(n-1)
2・(1/3)+2^2・(2/3)(1/3)+…+2^k(2/3)^(k-1)(1/3)+…+2^(n-1)(2/3)^(n-2)(1/3)+2^n・(2/3)^(n-1)
=4^n/3^(n-1)-2
1回の試行で終了する確率は2/4C2=1/3
k回の試行で終了する確率は(2/3)^(k-1)(1/3)
n回の試行で終了する確率は(2/3)^(n-1)
2・(1/3)+2^2・(2/3)(1/3)+…+2^k(2/3)^(k-1)(1/3)+…+2^(n-1)(2/3)^(n-2)(1/3)+2^n・(2/3)^(n-1)
=4^n/3^(n-1)-2
447 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 09:24:00 ID:rtCOwoiFO
1の数字を書いたカードを三枚、２の数字を三枚、３の数字を三枚、計9枚用意し、そのなかから無作為に、一度に三枚のカードを選んだとき、カードに書かれた数の和が３の倍数となる確率を求めよ。
っていう問題なんですが、わかるかたよろしくお願いします。
っていう問題なんですが、わかるかたよろしくお願いします。
448 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 09:33:33 ID:ngn0c81RO
>>448
sin5θ = sin（3θ+2θ）
=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ
って発想があって、3倍角まで覚えてれば
・sin3θとcos2θはsinθで表せる
・cos3θはcosθの奇数乗で表せる、sin2θは2sinθcosθ、
だから全体は2sinθ（cosθの偶数乗の式）で、
cosθの偶数乗だけからなる式であれば(cosθ)^2 = 1-(sinθ)^2として
sinθ（の偶数乗と有理数定数）だけで表せる
従ってsin5θはsinθと有理数の四則計算だけで表せる
とはいえそうなことに気づける（可能性がある）。
また、実際に5倍角の式を作らなくても、これだけ言っておけば証明には
つなげられる。
sin5θ = sin（3θ+2θ）
=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ
って発想があって、3倍角まで覚えてれば
・sin3θとcos2θはsinθで表せる
・cos3θはcosθの奇数乗で表せる、sin2θは2sinθcosθ、
だから全体は2sinθ（cosθの偶数乗の式）で、
cosθの偶数乗だけからなる式であれば(cosθ)^2 = 1-(sinθ)^2として
sinθ（の偶数乗と有理数定数）だけで表せる
従ってsin5θはsinθと有理数の四則計算だけで表せる
とはいえそうなことに気づける（可能性がある）。
また、実際に5倍角の式を作らなくても、これだけ言っておけば証明には
つなげられる。
450 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 10:53:49 ID:WC02BYuU0
451 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 11:02:36 ID:WC02BYuU0
452 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 11:30:40 ID:WC02BYuU0
453 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 12:02:31 ID:ngn0c81RO
454 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 14:31:43 ID:WC02BYuU0
>>448
事実として
奇数倍角の正弦は正弦の整数係数の奇数次多項式
整数倍角の余弦は余弦の整数係数の多項式
偶数倍角の余弦は正弦の整数係数の偶数次多項式
偶数倍角の正弦は正弦の整数係数の偶数次多項式×余弦
奇数倍角の余弦は正弦の整数係数の偶数次多項式×余弦
となります
オイラーの公式を使うと見通しよく証明できます
事実として
奇数倍角の正弦は正弦の整数係数の奇数次多項式
整数倍角の余弦は余弦の整数係数の多項式
偶数倍角の余弦は正弦の整数係数の偶数次多項式
偶数倍角の正弦は正弦の整数係数の偶数次多項式×余弦
奇数倍角の余弦は正弦の整数係数の偶数次多項式×余弦
となります
オイラーの公式を使うと見通しよく証明できます
455 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 14:32:54 ID:WC02BYuU0
一般的な国立大学の二次試験で⇔と∴って使っていいの？
使って良いに決まってるじゃん・・・
教科書で使われてる記号は使ってもおｋじゃないかな？
教科書で使われてる記号は使ってもおｋじゃないかな？
3^xの２回微分教えてください
1回微分はできるの? できるなら、log3は定数だよ。
460 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 21:51:49 ID:hS/uWH7IO
lim(x→∞)logx/x=0
いきなりこう書いても問題ない？
なんか証明とかいる？
いきなりこう書いても問題ない？
なんか証明とかいる？
461 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 21:53:42 ID:2vjFlH03O
>>460
問題によるとしか言いようがない
問題によるとしか言いようがない
「正の」といったら正だけ。
「非負の」なら0も入る。
「非負の」なら0も入る。
464 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 22:43:12 ID:osJG85uc0
数学Ⅰで球の体積、表面積を習いました。
（公式は、中学時代から知っています。）
授業では「証明は、まだ出来ない」とか、
「なんとかの原理」＝断面積が同じなら体積も同じ
とか、いろいろあったのですが、やたら円すいや
角すいの体積の話は認めて使っていました。
球の体積は証明できなくても、円すいなどの体積は
使っていいものなのでしょうか。
（これも、公式は習ったけど、証明した記憶がありません。）
（公式は、中学時代から知っています。）
授業では「証明は、まだ出来ない」とか、
「なんとかの原理」＝断面積が同じなら体積も同じ
とか、いろいろあったのですが、やたら円すいや
角すいの体積の話は認めて使っていました。
球の体積は証明できなくても、円すいなどの体積は
使っていいものなのでしょうか。
（これも、公式は習ったけど、証明した記憶がありません。）
465 ：大学への名無しさん：2009/02/20(金) 23:23:15 ID:hS/uWH7IO
>>462
問題はlogx/xのグラフを書く問題
問題はlogx/xのグラフを書く問題
人のことは余り言えないのだけど、日本語として読みにくい>464
「やたら」とか「球の体積→円錐などの体積」のつながりが分からない。
数学の全てを「基礎となる約束事（公理）」から構成するのは
高校までではちょっと無理なので、天下りに与えられた公式の類は
使っていいことになってる。なお、面積・体積の計算に関しては
数II・IIIで比較的厳密な導出を学ぶ（その基礎でまたちょっと、
天下りの公式や処理があるのだけど）。
ただ、既習範囲で、使っていい範囲内での公式群の整合性を
考えておくのもまた意味があることではある。
たとえば、学校でやったかもしれないが
球の表面を細かく切っていく（地球儀のたとえば緯度・経度の
区切りをもっと細かくしたような感じで）と、球の曲がりをほとんど
意識しなくなるレベルに出来る。この時点で、球を多数の、
細かくてきわめて細い角錐に分けた状態になる。
この角錐は全て球の半径を高さと見ていい。また、底面積の
合計は球の表面積4πr＾2になる。
すると角錐の体積の合計は
（1/3）*共通の高さ3*底面積の合計4πr＾2
=（4/3）πr＾3 となり、球の体積の公式と整合性があることが分かる。
「やたら」とか「球の体積→円錐などの体積」のつながりが分からない。
数学の全てを「基礎となる約束事（公理）」から構成するのは
高校までではちょっと無理なので、天下りに与えられた公式の類は
使っていいことになってる。なお、面積・体積の計算に関しては
数II・IIIで比較的厳密な導出を学ぶ（その基礎でまたちょっと、
天下りの公式や処理があるのだけど）。
ただ、既習範囲で、使っていい範囲内での公式群の整合性を
考えておくのもまた意味があることではある。
たとえば、学校でやったかもしれないが
球の表面を細かく切っていく（地球儀のたとえば緯度・経度の
区切りをもっと細かくしたような感じで）と、球の曲がりをほとんど
意識しなくなるレベルに出来る。この時点で、球を多数の、
細かくてきわめて細い角錐に分けた状態になる。
この角錐は全て球の半径を高さと見ていい。また、底面積の
合計は球の表面積4πr＾2になる。
すると角錐の体積の合計は
（1/3）*共通の高さ3*底面積の合計4πr＾2
=（4/3）πr＾3 となり、球の体積の公式と整合性があることが分かる。
2^x/log2の不定積分のやり方を解説つきでお願いします。
468 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 00:06:56 ID:vPjZNXAx0
469 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 00:08:32 ID:HOH0xvdp0
>>468
具体的に書いて
具体的に書いて
471 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 01:26:17 ID:yC5tmwn1O
3^xの二回微分の答えは
3^xlog3ですか？
違ったら解説お願いします
3^xlog3ですか？
違ったら解説お願いします
472 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 01:35:52 ID:Mzkpbdog0
>>471
y=3^x
とおいてみよう。両辺の自然対数をとると
logy=xlog3
両辺をxで微分すると、
y'/y=log3
従って
y'=ylog3
=3^xlog3
ここまでわかれば、二回微分もわかるでしょう
y=3^x
とおいてみよう。両辺の自然対数をとると
logy=xlog3
両辺をxで微分すると、
y'/y=log3
従って
y'=ylog3
=3^xlog3
ここまでわかれば、二回微分もわかるでしょう
474 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 01:54:11 ID:Mzkpbdog0
書いてることがあなたも意味不明です。
（1/3）*3*4πr＾2 =4πr＾2
≠(4/3) πr＾3
ですが。
（1/3）*3*4πr＾2 =4πr＾2
≠(4/3) πr＾3
ですが。
475 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 02:04:20 ID:hgIOU4onO
微分てなんですか？
誰か>>467お願いします。
477 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 02:27:23 ID:m0mV6IS00
>>476
ためしにまず2^xを微分してみてください
ためしにまず2^xを微分してみてください
教科書の簡単なレベル、教科書の章末レベル、センター、文系マーチの数学、文系早慶の数学って、それぞれどのくらいの難易度なんですか？
数学にしようか地歴にしようか迷ってます
数学にしようか地歴にしようか迷ってます
479 ： ◆vNG5uMymt. ：2009/02/21(土) 04:15:14 ID:tj1pJb0k0
>>475
(x^n)'=nx^(n-1)
(x^n)'=nx^(n-1)
すまんコテ消し忘れちゃった
簡単にいうと乗数を前に出して一個減らすってかんじ
簡単にいうと乗数を前に出して一個減らすってかんじ
文系引っ込んでろ
不等式についての質問なのですが
0≦a,0≦cで
a≦x≦bとc≦y≦dの２式が分かっているときに
a/c≦x/y≦b/d
という不等式を導くのは誤りですか？
0≦a,0≦cで
a≦x≦bとc≦y≦dの２式が分かっているときに
a/c≦x/y≦b/d
という不等式を導くのは誤りですか？
0＜c≦y≦dならば1/c≧1/y≧1/d
484 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 06:31:30 ID:/4W4AOWOO
486 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 09:03:47 ID:fZvWM2wF0
どなたか分かる方いますか？さっぱりわかりません。
関数U(r)=A・r^(-n)-B・r^(-m)について、以下の問いに答えよ。
(1)U(r)が最小になるr(=r[e])を求めよ。
(2)U(r[e])=B・r[e]^(-m)・(m/n -1)=A・r[e]^(-n)・(1- n/m)であることを示せ。
(3)U(r)=U(r[e])/(m-n)・{m・(r[e]/r)^n-n・(r[e]/r)^m}であることを示せ。
(4)U(r)=0の時、r=σ=r[e]・(m/n)^{1/(n-m)}であることを示せ。
(5)U(r)=U(r[e])/(m-n)・(n^n/m^m)^{1/(n-m)}・{(σ/r)^n-(σ/r)^m}であることを示せ。
関数U(r)=A・r^(-n)-B・r^(-m)について、以下の問いに答えよ。
(1)U(r)が最小になるr(=r[e])を求めよ。
(2)U(r[e])=B・r[e]^(-m)・(m/n -1)=A・r[e]^(-n)・(1- n/m)であることを示せ。
(3)U(r)=U(r[e])/(m-n)・{m・(r[e]/r)^n-n・(r[e]/r)^m}であることを示せ。
(4)U(r)=0の時、r=σ=r[e]・(m/n)^{1/(n-m)}であることを示せ。
(5)U(r)=U(r[e])/(m-n)・(n^n/m^m)^{1/(n-m)}・{(σ/r)^n-(σ/r)^m}であることを示せ。
487 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 09:57:17 ID:HOH0xvdp0
>>486
A,Bやn,mに条件は？
A,Bやn,mに条件は？
488 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 10:32:59 ID:/ofpHQtSO
tan(-90ﾟ-Aﾟ)=1/tanAﾟ
になぜなるのかわかりません
教えて下さい
になぜなるのかわかりません
教えて下さい
>> 474
共通の高さ「ｒ」のｔypo。失礼しました。
（1/3）*"ｒ"*4πr＾2 = (4/3) πr＾3
です。
共通の高さ「ｒ」のｔypo。失礼しました。
（1/3）*"ｒ"*4πr＾2 = (4/3) πr＾3
です。
490 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 10:42:37 ID:up42HtmD0
>>488
書かれた値から三角「関数」として議論していい。
tanの周期が180°だから
tan(-90°-A°）=tan（-90°-A°+180°）=tan（90°-A°）
これで納得すればよし。
tan（90°-A°）=1/tanA°
になるのが（これは三角比で導入済みだけど）まだ納得いかなければ
0°<A°<90°の間に関しては、
直角三角形で鋭角の一方がA°のものを描いてみる。
tanA°=c/b になるように直角をはさむ2辺の長さb,cが決まったとすれば、
もう一つの鋭角90°-A°に対して、
tan（90°-A°）= b/c = 1/tanA°
あとA°が-90°<A°<0° または 90°<A°<180°の範囲については
三角関数または三角比の定義から上記の結果を適用すればよし。
書かれた値から三角「関数」として議論していい。
tanの周期が180°だから
tan(-90°-A°）=tan（-90°-A°+180°）=tan（90°-A°）
これで納得すればよし。
tan（90°-A°）=1/tanA°
になるのが（これは三角比で導入済みだけど）まだ納得いかなければ
0°<A°<90°の間に関しては、
直角三角形で鋭角の一方がA°のものを描いてみる。
tanA°=c/b になるように直角をはさむ2辺の長さb,cが決まったとすれば、
もう一つの鋭角90°-A°に対して、
tan（90°-A°）= b/c = 1/tanA°
あとA°が-90°<A°<0° または 90°<A°<180°の範囲については
三角関数または三角比の定義から上記の結果を適用すればよし。
491 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 11:31:43 ID:uLVEy8tFO
(1)行列A=1/6{[-1,-√3],[√3,-1]}に対して、A^n(n=1,2,3…)を求めよ。
(2)f[n](x)=[√3 1]A^n[cosx sinx] とするとき、
(↑ [√3 1]は行を、[cosx sinx]は列を表しています)
I[n]=∫【0→π】|f[n](x)|dxを求めよ。
(3)Σ【n=1→∞】I[n]を求めよ。
(1)は、Aが2π/3回転し、1/3倍に相似変換する行列と判断して、
3の倍数とそれ以外で場合分けをしてみました。
合っているかは別として結果を書きますと
n=3k→A^n=(1/3)^3k
n=3k+1→A^n=(1/3)^(3k+1)*(1/2){[-1,-√3][√3,-1]}
n=3k+2→A^n=(1/3)^(3k+2)*(1/2){[-1,√3][-√3,-1]}
となりました。
(2)のf[n](x)から、どうしていいのか分かりません。
どなたか宜しければ教えて頂けないでしょうか？
お手数でなければ(3)もお願いします。
どうか宜しくお願い致します。
(2)f[n](x)=[√3 1]A^n[cosx sinx] とするとき、
(↑ [√3 1]は行を、[cosx sinx]は列を表しています)
I[n]=∫【0→π】|f[n](x)|dxを求めよ。
(3)Σ【n=1→∞】I[n]を求めよ。
(1)は、Aが2π/3回転し、1/3倍に相似変換する行列と判断して、
3の倍数とそれ以外で場合分けをしてみました。
合っているかは別として結果を書きますと
n=3k→A^n=(1/3)^3k
n=3k+1→A^n=(1/3)^(3k+1)*(1/2){[-1,-√3][√3,-1]}
n=3k+2→A^n=(1/3)^(3k+2)*(1/2){[-1,√3][-√3,-1]}
となりました。
(2)のf[n](x)から、どうしていいのか分かりません。
どなたか宜しければ教えて頂けないでしょうか？
お手数でなければ(3)もお願いします。
どうか宜しくお願い致します。
492 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 11:40:59 ID:yC5tmwn1O
>>472
続きお願いします
続きお願いします
493 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 11:55:50 ID:HOH0xvdp0
>>491
A^2=1/18{-1,√3;-√3,-1}
A^3=1/27E
A^(3n)=1/27^nE
A^(3n+1)=1/(6・27^n){-1,-√3;√3,-1}
A^(3n+2)=1/(18・27^n){-1,√3;-√3,-1}
f[3n](x)=1/27^n|√3cos x+sin x|=2/27^n|sin(x+π/3)|
f[3n+1](x)=1/(6・27^n)|0cos x-4sin x|=2/(3・27^n)|sin x|
f[3n+2](x)=1/(18・27^n)|-2√3cos x+2sin x|=2/(9・27^n)|sin(x-π/3)|
|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|より
I[3n]=2/27^n∫[π/3,4π/3]|sin x|dx=2/27^n∫[0,π]|sin x|dx=2/27^n∫[0,π]sin xdx=4/27^n
I{3n+1]=2/(3・27^n)∫[0,π]|sin x|dx=2/(3・27^n)∫[0,π]sin xdx=4/(3・27^n)
I[3n+2]=2/(9・27^n)∫[-π/3, 2π/3]|sin x|dx=2/(9・27^n)∫[0,π]|sin x|dx=2/(9・27^n)∫[0,π]sin xdx=4/(9・27^n)
I[n]=4/3^n
Σ[n=1,∞]4/3^n=4/3・1/(1-1/3)=2
A^2=1/18{-1,√3;-√3,-1}
A^3=1/27E
A^(3n)=1/27^nE
A^(3n+1)=1/(6・27^n){-1,-√3;√3,-1}
A^(3n+2)=1/(18・27^n){-1,√3;-√3,-1}
f[3n](x)=1/27^n|√3cos x+sin x|=2/27^n|sin(x+π/3)|
f[3n+1](x)=1/(6・27^n)|0cos x-4sin x|=2/(3・27^n)|sin x|
f[3n+2](x)=1/(18・27^n)|-2√3cos x+2sin x|=2/(9・27^n)|sin(x-π/3)|
|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|より
I[3n]=2/27^n∫[π/3,4π/3]|sin x|dx=2/27^n∫[0,π]|sin x|dx=2/27^n∫[0,π]sin xdx=4/27^n
I{3n+1]=2/(3・27^n)∫[0,π]|sin x|dx=2/(3・27^n)∫[0,π]sin xdx=4/(3・27^n)
I[3n+2]=2/(9・27^n)∫[-π/3, 2π/3]|sin x|dx=2/(9・27^n)∫[0,π]|sin x|dx=2/(9・27^n)∫[0,π]sin xdx=4/(9・27^n)
I[n]=4/3^n
Σ[n=1,∞]4/3^n=4/3・1/(1-1/3)=2
494 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 12:07:24 ID:HOH0xvdp0
>>493
>|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|より
なぜこれが次の変形に繋がるかを書いておきます
あるk≠0についてf(x+k)=f(x)が成立するときf(x)を周期関数といいkをその周期といいます
このとき任意のa,bについて
∫[a,a+k]f(x)dx=∫[b,b+k]f(x)dx
が成立します
まず∫[p,q]f(x)dx=∫[p+k,q+k]f(x)dxに注意しましょう
するとa<nk≦a+kとなる整数nはただ１つ定まりますので
∫[a,a+k]f(x)dx=∫[a-nk,a+k-nk]f(x)dx=∫[a-nk,0]f(x)dx+∫[0,a+k-nk]f(x)dx=∫[a-nk+k,0+k]f(x)dx+∫[0,a+k-nk]f(x)dx=∫[0,k]f(x)dx
となってaによらず同一の値になるからです
>|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|より
なぜこれが次の変形に繋がるかを書いておきます
あるk≠0についてf(x+k)=f(x)が成立するときf(x)を周期関数といいkをその周期といいます
このとき任意のa,bについて
∫[a,a+k]f(x)dx=∫[b,b+k]f(x)dx
が成立します
まず∫[p,q]f(x)dx=∫[p+k,q+k]f(x)dxに注意しましょう
するとa<nk≦a+kとなる整数nはただ１つ定まりますので
∫[a,a+k]f(x)dx=∫[a-nk,a+k-nk]f(x)dx=∫[a-nk,0]f(x)dx+∫[0,a+k-nk]f(x)dx=∫[a-nk+k,0+k]f(x)dx+∫[0,a+k-nk]f(x)dx=∫[0,k]f(x)dx
となってaによらず同一の値になるからです
>>492 （対数はすべて自然対数）
(3^x）' = （log3）*3^x
3^xを微分するとlog3が前に出て微分前と同じ関数が残った。
log3はすでに指摘したように定数。
ってことは (3^x）'' = （（log3）*3^x）' =
（log3という定数）*（3^x）' で、後ろは1回目と同じに処理。
(3^x）' = （log3）*3^x
3^xを微分するとlog3が前に出て微分前と同じ関数が残った。
log3はすでに指摘したように定数。
ってことは (3^x）'' = （（log3）*3^x）' =
（log3という定数）*（3^x）' で、後ろは1回目と同じに処理。
496 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 15:13:23 ID:+v+gtUqeO
１＋１
が分かりません＞＜
教えて下さい＞＜
が分かりません＞＜
教えて下さい＞＜
何進数ですか？
499 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 16:10:14 ID:fZvWM2wF0
500 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 19:07:35 ID:Mzkpbdog0
501 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 20:33:06 ID:uLVEy8tFO
502 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 21:32:14 ID:0097hSweO
1対1の阪大の問題なんですが……
点Oを中心とする円周上に点A、B、Cがあり
OA↑+OB↑+OC↑=0↑
を満たしているとき、三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。
で、解答の書き出しが
円の半径をrとおいて
｜OC↑｜=｜-OA↑-OB↑｜=r
となっているのですが理解できません…
多分ここがわかればあとは大丈夫なので教えて頂けますでしょうか。
点Oを中心とする円周上に点A、B、Cがあり
OA↑+OB↑+OC↑=0↑
を満たしているとき、三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。
で、解答の書き出しが
円の半径をrとおいて
｜OC↑｜=｜-OA↑-OB↑｜=r
となっているのですが理解できません…
多分ここがわかればあとは大丈夫なので教えて頂けますでしょうか。
>>502.
OA↑+OB↑+OC↑=0↑
OA↑+OB↑を移項して
OC↑=-OA↑-OB↑
両辺の絶対値も等しいから
|OC↑| = |-OA↑-OB↑| …(1)
Oは円の中心、Cは円周上の点だから
|OC↑| = r …(2)
(1)と(2)をつなげたのが疑問に思ってる式。
OA↑+OB↑+OC↑=0↑
OA↑+OB↑を移項して
OC↑=-OA↑-OB↑
両辺の絶対値も等しいから
|OC↑| = |-OA↑-OB↑| …(1)
Oは円の中心、Cは円周上の点だから
|OC↑| = r …(2)
(1)と(2)をつなげたのが疑問に思ってる式。
504 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 21:58:11 ID:uLVEy8tFO
nを自然数とするとき、(4n+1)/(2n-1)は整数値aをとるものとする。
aの最大値を求めよ。
何からしていいのかわかりません…
どなたか宜しくお願い致します。
aの最大値を求めよ。
何からしていいのかわかりません…
どなたか宜しくお願い致します。
505 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 21:59:28 ID:0097hSweO
506 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 22:07:09 ID:up42HtmD0
>>504 レスエディタの上で解いてみる。
分母を払って 4n+1=a（2ｎ-1）
移項して
a+1=2ｎ(a-2） （ここでnは自然数）
a=2はありえない（左辺が0にならない）。
a-2が正である場合、a+1がa-2の2倍以上でなければならないから
a+1≧2（a-2）
2<a≦5
a=3であるとき4=2n*1 を満たすn=2が存在する。
a=4であるとき5=2n*2 を満たす自然数nは存在しない。
a=5であるとき6=2n*3 を満たすn=1が存在する
a-2が負である場合aの値は上で見た5よりも小さいから最大値に
影響しない。
よってaの最大値は5
分母を払って 4n+1=a（2ｎ-1）
移項して
a+1=2ｎ(a-2） （ここでnは自然数）
a=2はありえない（左辺が0にならない）。
a-2が正である場合、a+1がa-2の2倍以上でなければならないから
a+1≧2（a-2）
2<a≦5
a=3であるとき4=2n*1 を満たすn=2が存在する。
a=4であるとき5=2n*2 を満たす自然数nは存在しない。
a=5であるとき6=2n*3 を満たすn=1が存在する
a-2が負である場合aの値は上で見た5よりも小さいから最大値に
影響しない。
よってaの最大値は5
微積の極意P21の9番なんですが
f(x)=x^(1/x)の増減を調べるために、logｘが増加関数であることから、
x^(1/x) と logx^(1/x)=logx/x の増減が一致することを利用する。
とあるのですが、増加関数の場合だと増減が一致するということですよね？
よく分からないのですがどういうことでしょうか。
f(x)=x^(1/x)の増減を調べるために、logｘが増加関数であることから、
x^(1/x) と logx^(1/x)=logx/x の増減が一致することを利用する。
とあるのですが、増加関数の場合だと増減が一致するということですよね？
よく分からないのですがどういうことでしょうか。
単調増加、x＞ｙ⇔f(x)＞f(y)
普通そういう問題は対数微分法を使うが、別の方法があるのかな？
①両辺対数をとる logf(x)=logx^(1/x) (=(logx)/x)
②両辺微分する f'(x)/f(x)=(1-logx)/x^2
③整理する f'(x)=(1-logx)x^(1/x)/x^2
①両辺対数をとる logf(x)=logx^(1/x) (=(logx)/x)
②両辺微分する f'(x)/f(x)=(1-logx)/x^2
③整理する f'(x)=(1-logx)x^(1/x)/x^2
510 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:05:01 ID:3cmiP/L5O
x^2+y^2=1のx≧-1/2をx=-1/2を回転軸として１回転させるとき囲まれる立体の体積を求めよ。
１対１の積分(体積)の７の問題です。
僕はバウムクーヘンでやらないで、
(x-1/2)^2+y^2=1のx≧0をy軸の周りを１回転させた時の体積と考え、x≧1/2とx≦1/2にわけて普通に解きましたが、答えがあいませんでした。
これではできないのでしょうか。
１対１の積分(体積)の７の問題です。
僕はバウムクーヘンでやらないで、
(x-1/2)^2+y^2=1のx≧0をy軸の周りを１回転させた時の体積と考え、x≧1/2とx≦1/2にわけて普通に解きましたが、答えがあいませんでした。
これではできないのでしょうか。
511 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:07:24 ID:HOH0xvdp0
>>510
y軸の周りに回転させちゃだめだろ。
y軸の周りに回転させちゃだめだろ。
514 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:14:30 ID:3cmiP/L5O
>>513
なぜですか？
なぜですか？
516 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:23:31 ID:3cmiP/L5O
>>517
f(x),g(x):増加関数 ⇒ g(f(x)):増加関数
f(x),g(x):増加関数 ⇒ g(f(x)):増加関数
519 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:39:05 ID:HOH0xvdp0
>>510
(x-1/2)^2+y^2=1
x=1/2±√(1-y^2)
π∫[-1,1](1/2+√(1-y^2))^2dy-π∫[-1,-√3/2](1/2-√(1-y^2))^2dy-π∫[√3/2,1](1/2-√(1-y^2))^2dy
=π∫[-1,1](1/2+√(1-y^2))^2dy-2π∫[√3/2,1](1/2-√(1-y^2))^2dy
=π∫[-1,1](1/4+√(1-y^2)+1-y^2)dy-2π∫[√3/2,1](1/4-√(1-y^2)+1-y^2)dy
=π(5/2+π/2-2/3)-2π((5/4)(1-√3/2)-(π/12-√3/8)-(1/3-√3/8))
=π(3√3/4+2π/3)
(x-1/2)^2+y^2=1
x=1/2±√(1-y^2)
π∫[-1,1](1/2+√(1-y^2))^2dy-π∫[-1,-√3/2](1/2-√(1-y^2))^2dy-π∫[√3/2,1](1/2-√(1-y^2))^2dy
=π∫[-1,1](1/2+√(1-y^2))^2dy-2π∫[√3/2,1](1/2-√(1-y^2))^2dy
=π∫[-1,1](1/4+√(1-y^2)+1-y^2)dy-2π∫[√3/2,1](1/4-√(1-y^2)+1-y^2)dy
=π(5/2+π/2-2/3)-2π((5/4)(1-√3/2)-(π/12-√3/8)-(1/3-√3/8))
=π(3√3/4+2π/3)
520 ：大学への名無しさん：2009/02/21(土) 23:41:40 ID:3cmiP/L5O
>>518
x^(1/x)は増加関数ではありませんよね？
ある増加関数をf(x)として、（増加関数以外も含め）ある関数をg(x)とすると、
g(x)とf(g(x))の増減は一致するのでしょうか？
>>507の文からこう読み取ったのですが間違ってますかね…
x^(1/x)は増加関数ではありませんよね？
ある増加関数をf(x)として、（増加関数以外も含め）ある関数をg(x)とすると、
g(x)とf(g(x))の増減は一致するのでしょうか？
>>507の文からこう読み取ったのですが間違ってますかね…
523 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 00:07:07 ID:ifV+KIvHO
x^2+y^2≦r^2
y^2+z^2≦r^2
z^2+x^2≦r^2
の表面積求める時に、
どこか1面に注目して面積出すんですが、これって立体の構造の輪郭位は分からないと解けないですよね?
y^2+z^2≦r^2
z^2+x^2≦r^2
の表面積求める時に、
どこか1面に注目して面積出すんですが、これって立体の構造の輪郭位は分からないと解けないですよね?
524 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 00:28:11 ID:xyE+JvtWO
>>524
等客台形だから。
等客台形だから。
526 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 00:35:27 ID:ifV+KIvHO
527 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 00:37:06 ID:SDqeD190O
私立蹴って国公立転向し浪人するんですが
数IAを高1以来のほぼ無勉から今からセンター７割レベルってキツイかな？
数IAを高1以来のほぼ無勉から今からセンター７割レベルってキツイかな？
>>527
俺がカテキョすれば余裕
俺がカテキョすれば余裕
>>523
分かるというのがどういう意味かによる。
分かるというのがどういう意味かによる。
530 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 01:31:13 ID:xyE+JvtWO
文系です。
特定の二次関数に特定の点から接線引いた場合って、座標設定→重解持つって解き方しかないんでしょうか？
解答お願いします。
特定の二次関数に特定の点から接線引いた場合って、座標設定→重解持つって解き方しかないんでしょうか？
解答お願いします。
534 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 01:58:25 ID:ifV+KIvHO
>>529
立体の形を思い浮かべられるかということ
立体の形を思い浮かべられるかということ
>>534
各面が不等式で表せられれば立体の形を思い浮かべられなくてもなんとかなるんじゃね？
各面が不等式で表せられれば立体の形を思い浮かべられなくてもなんとかなるんじゃね？
536 ：西表 ◆YC93c/mtkA ：2009/02/22(日) 02:01:36 ID:RfdsFtddO
数学の可能性は無限大だよ。
537 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 02:07:32 ID:ifV+KIvHO
>>535
二円柱なら分かるんだけど、3円柱になると場合分けが発生してわけが分からなくなる
体積なら出来るんだが表面積はむずいだろ
不等式で表しても式から6面あるってわかるか?
体積なら断面図考えれば出来るけどさ
二円柱なら分かるんだけど、3円柱になると場合分けが発生してわけが分からなくなる
体積なら出来るんだが表面積はむずいだろ
不等式で表しても式から6面あるってわかるか?
体積なら断面図考えれば出来るけどさ
539 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 02:25:28 ID:ifV+KIvHO
>>539
かかんでもいいから式で出せ。
かかんでもいいから式で出せ。
541 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 02:32:28 ID:ifV+KIvHO
>>540
1つの円に関しては出せるんだが、それが何個あるのかが分からずに悩んでる
1つの円に関しては出せるんだが、それが何個あるのかが分からずに悩んでる
544 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 02:42:54 ID:ifV+KIvHO
てか3円柱の交点って式から出せるか?
循環してるからすごい事になりそうだが。
循環してるからすごい事になりそうだが。
何をそんなに悩んでるんだ。z軸に垂直な平面での断面をxy平面に正射影して
x^2+y^2≦r^2
y^2≦r^2-z^2
x^2≦r^2-z^2
を同時に満たす(x,y)の面積を考えたら高さdzとした微小体積を積み上げるだけじゃないか
x^2+y^2≦r^2
y^2≦r^2-z^2
x^2≦r^2-z^2
を同時に満たす(x,y)の面積を考えたら高さdzとした微小体積を積み上げるだけじゃないか
>>546
そりゃ体積だろ
そりゃ体積だろ
求めるのは表面積かそうかそうか失礼した
>>549
全然わかってないだろ？ｗ
全然わかってないだろ？ｗ
551 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 07:59:54 ID:l1GU5E4tO
(1)7056=2^a*3^b*5^c*7^dのとき、整数a,b,c,dの値を求めよ。
(2)7056を2つの正の整数x,yの積xyで表すとき、x,yの組(x,y)でx≦であるものの個数を求めよ。
(3)(2)においてx+yが最小となる組(x,y)を求めよ。
(1)は素因数分解して求まったのですが、(2)からどうしていいかわかりません。
宜しければ、どなたか教えてください!!
(2)7056を2つの正の整数x,yの積xyで表すとき、x,yの組(x,y)でx≦であるものの個数を求めよ。
(3)(2)においてx+yが最小となる組(x,y)を求めよ。
(1)は素因数分解して求まったのですが、(2)からどうしていいかわかりません。
宜しければ、どなたか教えてください!!
552 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 09:44:05 ID:Gknw23R8O
0!って1ですか？
553 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 09:54:07 ID:djHRBF510
>>523
表面とは条件を満たさない領域との境界なのでx^2+y^2≧r^2との境界は
x^2+y^2=r^2
y^2+z^2≦r^2
z^2+x^2≦r^2
つまり円筒の表面x^2+y^2=r^2で2つの円筒の内部
x,y,zの正負およびx,yの入れ替えで対象な条件であるので
x,y,z≧0, x≧yである表面積Sを求めるとその16倍
最初の条件から(x,y)=(r cosθ,r sinθ) (0≦θ≦π/4：x≧y≧0のため)と置くと
z^2≦r^2-y^2=x^2, z^2≦r^2-x^2=y^2
x≧yより
0≦z≦y=r sinθ (0≦θ≦π/4)
θ=0からの弧の長さs=rθより
S=lim[Δs→0]Σz(i)Δs(i)=lim[Δθ→0]Σz(i)rΔθ(i)=∫[0,π/4]r sinθrdθ=r^2(1-1/√2)
y^2+z^2≧r^2との境界z^2+x^2≧r^2との境界も同様でありx,y,zを入れ替えた条件式なのでそれらの表面積は同じ値
よって求める表面積は3・16・S=24r^2(2-√2)
表面とは条件を満たさない領域との境界なのでx^2+y^2≧r^2との境界は
x^2+y^2=r^2
y^2+z^2≦r^2
z^2+x^2≦r^2
つまり円筒の表面x^2+y^2=r^2で2つの円筒の内部
x,y,zの正負およびx,yの入れ替えで対象な条件であるので
x,y,z≧0, x≧yである表面積Sを求めるとその16倍
最初の条件から(x,y)=(r cosθ,r sinθ) (0≦θ≦π/4：x≧y≧0のため)と置くと
z^2≦r^2-y^2=x^2, z^2≦r^2-x^2=y^2
x≧yより
0≦z≦y=r sinθ (0≦θ≦π/4)
θ=0からの弧の長さs=rθより
S=lim[Δs→0]Σz(i)Δs(i)=lim[Δθ→0]Σz(i)rΔθ(i)=∫[0,π/4]r sinθrdθ=r^2(1-1/√2)
y^2+z^2≧r^2との境界z^2+x^2≧r^2との境界も同様でありx,y,zを入れ替えた条件式なのでそれらの表面積は同じ値
よって求める表面積は3・16・S=24r^2(2-√2)
554 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 10:20:23 ID:djHRBF510
>>551
7056=2^4・3^2・7^2
x≦y？
正の約数の個数は(1+4)(1+2)(1+2)=45
x^2=7056となるx=84が存在するから
(45-1)/2=22個
x+y=kと置くと
xy=7056よりk=x+7056/x
k'=1-7056/x^2=0となるのはx=84でx<84では単調減少
よって84より小さく最も84に近い約数xを求めるとそのときkは最小値を取る
1, 2, 4, 8, 16
3, 6, 12, 24, 48
9, 18, 36, 72
7, 14, 28, 56
21, 42
63
49
よりx=72, y=98
結局目の子で探すなら(2)も数えるだけなので(3)はもっとスマートに得る方法があるかも知れません
7056=2^4・3^2・7^2
x≦y？
正の約数の個数は(1+4)(1+2)(1+2)=45
x^2=7056となるx=84が存在するから
(45-1)/2=22個
x+y=kと置くと
xy=7056よりk=x+7056/x
k'=1-7056/x^2=0となるのはx=84でx<84では単調減少
よって84より小さく最も84に近い約数xを求めるとそのときkは最小値を取る
1, 2, 4, 8, 16
3, 6, 12, 24, 48
9, 18, 36, 72
7, 14, 28, 56
21, 42
63
49
よりx=72, y=98
結局目の子で探すなら(2)も数えるだけなので(3)はもっとスマートに得る方法があるかも知れません
555 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 10:20:52 ID:l1GU5E4tO
>>551(2)訂正
x≦ → x≦y でした。
x≦ → x≦y でした。
556 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 10:21:40 ID:djHRBF510
557 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 10:24:16 ID:djHRBF510
>>552
n!=n・(n-1)!をn=1の場合にも成立させるため0!=1と定義します
n!=n・(n-1)!をn=1の場合にも成立させるため0!=1と定義します
558 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 12:06:04 ID:l1GU5E4tO
559 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 12:18:43 ID:djHRBF510
なんか清書屋がいるようだな
561 ：464：2009/02/22(日) 22:05:07 ID:0KwBR2vDO
昨日から、パソコンでうまく書き込めないので、
携帯からお礼だけでも先にお伝えさせていただきます。
携帯からお礼だけでも先にお伝えさせていただきます。
562 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 22:08:08 ID:ifV+KIvHO
563 ：大学への名無しさん：2009/02/22(日) 23:50:41 ID:0coBhEZ9O
わり算についてお聞きします。
例えば2x^15+4x^10+6x^5+8÷x^3+x^2+x+1をするとき、まず2x^15が商の一部になりますが、その余りはx^3+x^2+x+1で割れるため更に割って良いのでしょうか?
それとも4x^10をおろしてから割るのですか?
説明わかりにくくてすみみませんが回答御願いします。
例えば2x^15+4x^10+6x^5+8÷x^3+x^2+x+1をするとき、まず2x^15が商の一部になりますが、その余りはx^3+x^2+x+1で割れるため更に割って良いのでしょうか?
それとも4x^10をおろしてから割るのですか?
説明わかりにくくてすみみませんが回答御願いします。
564 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 00:06:07 ID:djHRBF510
>>563
2000040000600008÷1111を計算するときまず商に2が立ちますがその余りを1111で更に割って良いのかそれとも4を下ろしてから割るのかどちらでしょうか
2000040000600008÷1111を計算するときまず商に2が立ちますがその余りを1111で更に割って良いのかそれとも4を下ろしてから割るのかどちらでしょうか
565 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 00:07:18 ID:djHRBF510
566 ：563：2009/02/23(月) 03:33:19 ID:xMTJNlT+O
567 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 06:47:15 ID:s8/LKdTx0
ちょっと教えていただきたいのですが、
S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)
S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )
これらから、
↓
S1:S2:S3=1/b^2＋a^2－c^2:1/c^2＋a^2－b^2:1/a^2＋b^2－c^2
が導かれているのですが、こうなる理由がわかりません。
ご教授お願いします。
S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)
S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )
これらから、
↓
S1:S2:S3=1/b^2＋a^2－c^2:1/c^2＋a^2－b^2:1/a^2＋b^2－c^2
が導かれているのですが、こうなる理由がわかりません。
ご教授お願いします。
569 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 08:06:19 ID:s8/LKdTx0
>>568
>S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)
>S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )
S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)=1/(c^2＋a^2－b^2):1/(b^2＋a^2－c^2)
S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )=1(c^2＋b^2－a^2 )/:1/(a^2＋b^2－c^2)
思いつかない場合S1,S2をS3で表すとよいでしょう
>S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)
>S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )
S2:S3=(b^2＋a^2－c^2):(c^2＋a^2－b^2)=1/(c^2＋a^2－b^2):1/(b^2＋a^2－c^2)
S1:S3=(a^2＋b^2－c^2 ):(c^2＋b^2－a^2 )=1(c^2＋b^2－a^2 )/:1/(a^2＋b^2－c^2)
思いつかない場合S1,S2をS3で表すとよいでしょう
571 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 08:29:40 ID:LgnRKJXcO
nを自然数とする。
(1)nを3で割った余りが1ならば、すべての自然数mに対してn^mを3で割った余りは1であることを示せ。
(2)nを3で割った余りが2ならば、すべての奇数mに対してn^mを3で割った余りは2であることを示せ。
(3)n^mを3で割った余りが2となる自然数mがあれば、nを3で割った余りも2であることを示せ。
(1)でn=3k+1としてやってみたのですが、うまくいきません。
どなたか宜しければ、(3)まで教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。
(1)nを3で割った余りが1ならば、すべての自然数mに対してn^mを3で割った余りは1であることを示せ。
(2)nを3で割った余りが2ならば、すべての奇数mに対してn^mを3で割った余りは2であることを示せ。
(3)n^mを3で割った余りが2となる自然数mがあれば、nを3で割った余りも2であることを示せ。
(1)でn=3k+1としてやってみたのですが、うまくいきません。
どなたか宜しければ、(3)まで教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。
>>572
横レスですが、一番目を二項定理を使用して解いた場合を試してみました。
添削お願いします。
n=3L+1(Lは自然数)とおくと、
n^m=(3L+1)^m
=Σ［k=0. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k･(1)^m-k
=1+Σ［k=1. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k
自然数kに対して、Ｃ［m.k］･(3L)^kは3の倍数だから、Σ［k=1. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k
は3の倍数であり、n^m=(3L+1)^mを3で割った余りは1である。
宜しくお願いします。
横レスですが、一番目を二項定理を使用して解いた場合を試してみました。
添削お願いします。
n=3L+1(Lは自然数)とおくと、
n^m=(3L+1)^m
=Σ［k=0. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k･(1)^m-k
=1+Σ［k=1. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k
自然数kに対して、Ｃ［m.k］･(3L)^kは3の倍数だから、Σ［k=1. m］Ｃ［m.k］･(3L)^k
は3の倍数であり、n^m=(3L+1)^mを3で割った余りは1である。
宜しくお願いします。
574 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 12:05:48 ID:WGByjwhzO
2^n(nは自然数)は22桁で最高位の数学が4→nを求めよ
常用対数を使ってある程度まで絞りこめたのですが最高位の数学の利用の仕方がわかりません
宜しければどなたか教えてくださいませんか
常用対数を使ってある程度まで絞りこめたのですが最高位の数学の利用の仕方がわかりません
宜しければどなたか教えてくださいませんか
575 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 12:58:45 ID:s8/LKdTx0
4・10^21≦2^n<5・10^21
21+log4≦nlog2<21+log5 （logは常用対数）
log2≒0.3010
log4≒0.6020
log5≒0.6990
71.77≦n<72.08
n=72
21+log4≦nlog2<21+log5 （logは常用対数）
log2≒0.3010
log4≒0.6020
log5≒0.6990
71.77≦n<72.08
n=72
576 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 13:32:13 ID:WGByjwhzO
>>575
ありがとうございます！
ありがとうございます！
577 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 13:34:48 ID:xMTJNlT+O
>>567
ありがとうございます。
本来ならどのように計算するのでしょうか?
問題によっては下ろして計算していったら最後の余りが割る数より上回ってしまいますよね?
その場合は、その余った数を更に割れば良いのでしょうか?
ありがとうございます。
本来ならどのように計算するのでしょうか?
問題によっては下ろして計算していったら最後の余りが割る数より上回ってしまいますよね?
その場合は、その余った数を更に割れば良いのでしょうか?
578 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 16:40:58 ID:A1YrC5LLO
∞*0は不定形ですか？
579 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 16:51:22 ID:s8/LKdTx0
Σ[k=0,n](-1)^k/nＣk
これがわからないです
奇数偶数で、場合わけなのはわかるんですが偶数の場合がわかりません
分母にコンビネーションがある時の扱い教えてください
これがわからないです
奇数偶数で、場合わけなのはわかるんですが偶数の場合がわかりません
分母にコンビネーションがある時の扱い教えてください
581 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 17:32:31 ID:L39gp08ZO
点の移動を表す行列は左からかけても右からかけてもいいんですか？
582 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 17:34:29 ID:VBCkUNUKi
>>581
じっさいにやってみれば
じっさいにやってみれば
584 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 22:20:43 ID:A1YrC5LLO
y≦-|x|+a+2
y≧|x|+a
y≦2
の表す座標平面上の領域をD(a)とするとき、領域D(a)をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積V(a)を求めなさい。
という問題の解答の途中式で
V(a)=2{π*2^2*a+π∫[1 a](-x+a+2)^2dx-π∫[1 0](x+a)^2dx}
となっているんですが
π∫[1 a](-x+a+2)^2dx
と
π∫[1 0](x+a)^2dx
で2乗をしてるのはなんでか解説お願いします。
y≧|x|+a
y≦2
の表す座標平面上の領域をD(a)とするとき、領域D(a)をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積V(a)を求めなさい。
という問題の解答の途中式で
V(a)=2{π*2^2*a+π∫[1 a](-x+a+2)^2dx-π∫[1 0](x+a)^2dx}
となっているんですが
π∫[1 a](-x+a+2)^2dx
と
π∫[1 0](x+a)^2dx
で2乗をしてるのはなんでか解説お願いします。
586 ：大学への名無しさん：2009/02/23(月) 23:47:34 ID:s8/LKdTx0
赤チャートCをもっている方がいたら教えてください。
例題12でkの値を出した後にa+dとad-bcの値を出すには何をすればいいのでしょうか？？
例題12でkの値を出した後にa+dとad-bcの値を出すには何をすればいいのでしょうか？？
590 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 03:35:37 ID:PszMqkR50
赤チャート持ってないのでエスパーするとkEのa+d, ad-bcは簡単に分かる
どうやればいいのですか？？
お願いします！
お願いします！
俺の勘違いか質問者が深く考え過ぎてるのか
a+d=k+k,=2k ad-bc=k*k-0*0=k^2
a+d=k+k,=2k ad-bc=k*k-0*0=k^2
593 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 09:35:43 ID:twW6FV1+O
>>583
点の移動を表す行列はどちらからかけるのが正しいんですか？
点の移動を表す行列はどちらからかけるのが正しいんですか？
>>593
右からかけたら列ベクトルが得られないだろ
右からかけたら列ベクトルが得られないだろ
抽象的な質問ですみません。
場合分けにおいて、等号はどのように処理すると考えればいいんでしょうか？
どちらにも付けてはダメなんですよね…？
等号も一つにして
①＞
②＝
③＜
の３つに場合分けすれば確実で、まず間違いにはならないですか？
馬鹿なのでそれが確実ならそうしようと思ってます。
場合分けにおいて、等号はどのように処理すると考えればいいんでしょうか？
どちらにも付けてはダメなんですよね…？
等号も一つにして
①＞
②＝
③＜
の３つに場合分けすれば確実で、まず間違いにはならないですか？
馬鹿なのでそれが確実ならそうしようと思ってます。
597 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 13:06:02 ID:nayfTwhn0
それなら確実です
どちらにつけてもかまいませんし
どちらにもつけてもかまいません
どちらにつけてもかまいませんし
どちらにもつけてもかまいません
>>597
そうですよね。ありがとうございました。
>>598
そういう場合もあるんですか。
一緒に統一できるのに、自分みたいに＝も場合分けして減点になることはありますか？
それと、どちらにも付けてはいけないですか？
そうですよね。ありがとうございました。
>>598
そういう場合もあるんですか。
一緒に統一できるのに、自分みたいに＝も場合分けして減点になることはありますか？
それと、どちらにも付けてはいけないですか？
＝の場合を分けて考えてももちろん構わない。減点もされない
両方に＝を入れると間違う可能性が出てくるのは、関数がその境界点で連続でない場合だ。
たとえばガウス記号が関数内に入り込んでいる時なんかだな。
両方に＝を入れると間違う可能性が出てくるのは、関数がその境界点で連続でない場合だ。
たとえばガウス記号が関数内に入り込んでいる時なんかだな。
例えば，
「0<x<4を満たすすべての実数xが，x^2-2ax+2a+3>0を満たす」
が真の命題となるような実数aの値の範囲を求めよ．
という問題では，普通f(x)=x^2-2ax+2a+3として，
軸x=aの位置で場合分けをするが，
(1)a≦0
(2)0＜a＜4
(3)a≧4
という場合分けでないといけない．
「0<x<4を満たすすべての実数xが，x^2-2ax+2a+3>0を満たす」
が真の命題となるような実数aの値の範囲を求めよ．
という問題では，普通f(x)=x^2-2ax+2a+3として，
軸x=aの位置で場合分けをするが，
(1)a≦0
(2)0＜a＜4
(3)a≧4
という場合分けでないといけない．
>>600
意味が分かりました。どちらにも付けることは必ずしないで、どちらかに自分で確信を持って付けられそうな時は付けたいと思います。
不安な時は確実に解きます。
ご丁寧にありがとうございました。
>>601
範囲付き、絶対不等式の最大最小問題ですね。
やっぱり基本的に、どちらかに付けるんですね。分かりました。
親切にありがとうございました。
意味が分かりました。どちらにも付けることは必ずしないで、どちらかに自分で確信を持って付けられそうな時は付けたいと思います。
不安な時は確実に解きます。
ご丁寧にありがとうございました。
>>601
範囲付き、絶対不等式の最大最小問題ですね。
やっぱり基本的に、どちらかに付けるんですね。分かりました。
親切にありがとうございました。
最大最小は余計でした；
ありがとうございました。
ありがとうございました。
604 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 16:01:47 ID:4seCYlGcO
x+2y-2≧0
2x+y+2≧0
x^2+y^2-9≦0のとき
x-yの最大値最小値
賽ころn回投げてでた目の総和がn+3になる確率Pn
答のみでいいので教えてください
2x+y+2≧0
x^2+y^2-9≦0のとき
x-yの最大値最小値
賽ころn回投げてでた目の総和がn+3になる確率Pn
答のみでいいので教えてください
605 ：草井 満子 ◆zsaYJ2w0yM ：2009/02/24(火) 16:27:27 ID:N5Hj+pgq0
>>580
マスター・オブ・場合の数の最後のページに載ってるよ。
マスター・オブ・場合の数の最後のページに載ってるよ。
606 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 18:17:45 ID:eH7OwmUi0
>>604
とりあえず後半について。
(i)1回4、あとは1
(ii)2と3が1回ずつ、あとは1
(iii)2が3回、あとは1
に場合分けして、
(i)はn/6^n
(ii)はn≧2のときn(n-1)/6^nで、n=1のときもこの式は0となるので成立
(iii)はn≧3のときnC3/6^n=n(n-1)(n-2)/6^(n+1)で、n=1,2のときもこの式は0となるので成立
全部足して(n^3+3n^2+2n)/6^(n+1)=n(n+1)(n+2)/6^(n+1)
前半は座標平面上に書いて直線x-y=kを考えればとけるはず
とりあえず後半について。
(i)1回4、あとは1
(ii)2と3が1回ずつ、あとは1
(iii)2が3回、あとは1
に場合分けして、
(i)はn/6^n
(ii)はn≧2のときn(n-1)/6^nで、n=1のときもこの式は0となるので成立
(iii)はn≧3のときnC3/6^n=n(n-1)(n-2)/6^(n+1)で、n=1,2のときもこの式は0となるので成立
全部足して(n^3+3n^2+2n)/6^(n+1)=n(n+1)(n+2)/6^(n+1)
前半は座標平面上に書いて直線x-y=kを考えればとけるはず
607 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 19:24:07 ID:tJKtJlS1O
質問お願いします
t^2+(t^2-a^2)
の式変形なんですが、解答の次の変形が
{t^2-(a-[1/2])}^2+a-1/4
となっていて、どう変形したらこうなるのかわかりません
t^2+(t^2-a^2)
の式変形なんですが、解答の次の変形が
{t^2-(a-[1/2])}^2+a-1/4
となっていて、どう変形したらこうなるのかわかりません
609 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 19:54:04 ID:bjjELfzOO
確率の問題で、
問題文に「ただし、すべての玉は同じ大きさであるとする」と書いてある場合は区別しなくていいんですか？
問題文に「ただし、すべての玉は同じ大きさであるとする」と書いてある場合は区別しなくていいんですか？
>>609
基本的に確率計算の時は、全てのものは区別する（として考えたほうが楽）。
書かれているような但し書きがあった場合、「結果としては区別しない」ことや
「手探りで取り出す場合、大きさが玉を選ぶヒントにならない」ことを示唆する
ものだと思う。妥当な判断が必要ならちゃんと問題文全部書くべき。
基本的に確率計算の時は、全てのものは区別する（として考えたほうが楽）。
書かれているような但し書きがあった場合、「結果としては区別しない」ことや
「手探りで取り出す場合、大きさが玉を選ぶヒントにならない」ことを示唆する
ものだと思う。妥当な判断が必要ならちゃんと問題文全部書くべき。
611 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 21:26:32 ID:1keNy6pXO
ある数Xの常用対数が
logX=-89.2728のとき
Xは少数第89位に初めて0でない数が現れる
で合っていますよね？
使っている参考書に第(89+1=)90位に初めて…が答えになっているので不安になりました‥‥
それならlogX=log0.01=-2のとき少数第三位に初めて‥となってしまうからおかしいですよね？
logX=-89.2728のとき
Xは少数第89位に初めて0でない数が現れる
で合っていますよね？
使っている参考書に第(89+1=)90位に初めて…が答えになっているので不安になりました‥‥
それならlogX=log0.01=-2のとき少数第三位に初めて‥となってしまうからおかしいですよね？
612 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 21:30:00 ID:tJKtJlS1O
613 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 21:37:22 ID:nayfTwhn0
615 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 22:13:20 ID:tJKtJlS1O
616 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 22:17:49 ID:1keNy6pXO
618 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 22:56:15 ID:nayfTwhn0
619 ：四国の浪人生：2009/02/24(火) 23:01:24 ID:fToAJQ9CO
マセマの元気が出る数学２の、頻出問題にトライ・10で分からない所があります。
問題の内容は、『Y=tan1/2(X-π/3)+1のグラフを描け』というものです。
Y=tan1/2(X-π/3)+1のグラフは、頂点(π/3,1)を通り、-2π/3<X<4π/3で１周期分となるので、この関数の周期は2π。
グラフを描く時、Y軸との交点は、X=0より
Y=tan1/2(0-π/3)+1
⇔Y=tan-π/6+1
⇔Y=-tanπ/6+1
⇔Y=-√3+1(∵tanπ/6=√3)
⇔Y=1-√3
∴このグラフは、Y軸と(0,1-√3)で交わる。
ここまでは解るのですが、このグラフがX軸と交わる時の交点の座標が求められません。
宜しくお願い致します＞＜
問題の内容は、『Y=tan1/2(X-π/3)+1のグラフを描け』というものです。
Y=tan1/2(X-π/3)+1のグラフは、頂点(π/3,1)を通り、-2π/3<X<4π/3で１周期分となるので、この関数の周期は2π。
グラフを描く時、Y軸との交点は、X=0より
Y=tan1/2(0-π/3)+1
⇔Y=tan-π/6+1
⇔Y=-tanπ/6+1
⇔Y=-√3+1(∵tanπ/6=√3)
⇔Y=1-√3
∴このグラフは、Y軸と(0,1-√3)で交わる。
ここまでは解るのですが、このグラフがX軸と交わる時の交点の座標が求められません。
宜しくお願い致します＞＜
620 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 23:04:58 ID:nayfTwhn0
>>619
tanθ=-1 ⇔ θ=(n-1/4)π （nは整数）
tanθ=-1 ⇔ θ=(n-1/4)π （nは整数）
621 ：四国の浪人生：2009/02/24(火) 23:16:27 ID:fToAJQ9CO
622 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 23:19:23 ID:yCbQn7GWO
1≦n≦9のとき
数列 1,12,123,1234,……
の第n項を求めよ
お願いします＞＜
数列 1,12,123,1234,……
の第n項を求めよ
お願いします＞＜
623 ：大学への名無しさん：2009/02/24(火) 23:24:23 ID:nayfTwhn0
>>621
x軸とはy=0と表される直線のことです
x軸とはy=0と表される直線のことです
624 ：四国の浪人生：2009/02/25(水) 00:11:37 ID:lo5opbFqO
>>621さん
Y=tan1/2(X-π/3)+1
⇔0=tan1/2(X-π/3)+1(∵Y=0)
⇔tan1/2(X-π/3)=-1
このときtanθ=-1ならば、θ=3π/4または7π/4
(1)θ=3π/4のとき
θ=1/2(X-π/3)=3π/4
⇔X-π/3=3π/2
⇔X=3π/2+π/3
⇔X=11π/6…(答)
(2)θ=3π/4のとき
θ=1/2(X-π/3)=7π/4
⇔X-π/3=7π/2
⇔X=7π/2+π/3
⇔X=23π/6…(答)
いずれもX=-π/6を満たさないとなるのですが(:_;)
何ででしょうorz
Y=tan1/2(X-π/3)+1
⇔0=tan1/2(X-π/3)+1(∵Y=0)
⇔tan1/2(X-π/3)=-1
このときtanθ=-1ならば、θ=3π/4または7π/4
(1)θ=3π/4のとき
θ=1/2(X-π/3)=3π/4
⇔X-π/3=3π/2
⇔X=3π/2+π/3
⇔X=11π/6…(答)
(2)θ=3π/4のとき
θ=1/2(X-π/3)=7π/4
⇔X-π/3=7π/2
⇔X=7π/2+π/3
⇔X=23π/6…(答)
いずれもX=-π/6を満たさないとなるのですが(:_;)
何ででしょうorz
625 ：四国の浪人生：2009/02/25(水) 00:17:13 ID:lo5opbFqO
626 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 00:53:09 ID:iephDvgfO
627 ：四国の浪人生：2009/02/25(水) 01:04:17 ID:lo5opbFqO
>>623さん
tanθ=-1より、θ=-5π/4または-π/4
・θ=-π/4のとき
tanθ=tan1/2(X-π/3)=-1
⇔1/2(X-π/3)=θ
⇔1/2(X-π/3)=-π/4
⇔X-π/3=-π/2
⇔X=π/3-π/2
⇔X=2π-3π/2･3
∴X=-π/6
こういうことですか♪
周期の範囲である-π<X<πを完全に見落としていました(T_T)
確かに>>620で示して頂いた通りでした。
ありがとうございますm(__)
tanθ=-1より、θ=-5π/4または-π/4
・θ=-π/4のとき
tanθ=tan1/2(X-π/3)=-1
⇔1/2(X-π/3)=θ
⇔1/2(X-π/3)=-π/4
⇔X-π/3=-π/2
⇔X=π/3-π/2
⇔X=2π-3π/2･3
∴X=-π/6
こういうことですか♪
周期の範囲である-π<X<πを完全に見落としていました(T_T)
確かに>>620で示して頂いた通りでした。
ありがとうございますm(__)
628 ：四国の浪人：2009/02/25(水) 01:10:01 ID:lo5opbFqO
629 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 01:14:08 ID:Ux57FP8sO
>622
漸化式
a[n+1]=10a[n]+(n+1)
,a[1]=1
を解くとよい。
漸化式
a[n+1]=10a[n]+(n+1)
,a[1]=1
を解くとよい。
630 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 02:32:20 ID:COhn/FxOO
x,yを整数としたとき7x+4yで表せない整数は存在しない
という証明はどうすればいいのでしょうか？
という証明はどうすればいいのでしょうか？
631 ：草井 満子 ◆zsaYJ2w0yM ：2009/02/25(水) 02:39:00 ID:l3ih90I40
>>630
k=7(-k)+4(2k)
k=7(-k)+4(2k)
|x-1|=5なら解るんですが、|x-1|+|x-2|=6になるとどうして
①両方とも正
②片方が負
③両方とも負
に分けるのか解りません。
答えてくれたらうれしいです。
①両方とも正
②片方が負
③両方とも負
に分けるのか解りません。
答えてくれたらうれしいです。
635 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 18:16:05 ID:oor45cn9O
お願いします
f(x)=√(2x-x^2)-x
の式に、x=(2-√2)／2を代入して値を求めたいんですが、二重根号が外せなくなって、解答の(√2)-1まで辿りつけません
どう計算したらいいんでしょうか
f(x)=√(2x-x^2)-x
の式に、x=(2-√2)／2を代入して値を求めたいんですが、二重根号が外せなくなって、解答の(√2)-1まで辿りつけません
どう計算したらいいんでしょうか
636 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 18:52:34 ID:DMd41sAe0
637 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 20:09:30 ID:oor45cn9O
>>636さん
落ち着いて計算したら答えがでました、ありがとうございました
落ち着いて計算したら答えがでました、ありがとうございました
638 ：大学への名無しさん：2009/02/25(水) 23:06:10 ID:XHcD3iQeO
∞＞ｰ∞なんて出来ませんよね？
虚数みたいに大小関係は無いですよね？
虚数みたいに大小関係は無いですよね？
639 ：638：2009/02/25(水) 23:12:01 ID:XHcD3iQeO
他いきます
>>638
広義積分の時のように拡張された実数空間ならあり得る。
広義積分の時のように拡張された実数空間ならあり得る。
641 ：大学への名無しさん：2009/02/26(木) 00:01:52 ID:26TynWZiO
>>640
高校だと∞に大小関係は付けられないのですか？
高校だと∞に大小関係は付けられないのですか？
642 ：大学への名無しさん：2009/02/26(木) 17:29:46 ID:yubvWG7X0
1．「∴」記号の後には数式のたぐいしか書くことができず、
日本語は書けないと以前Z会の添削に書かれました。
つまり、「∴x=3」はよく、「∴x=1のときF(x)は最大となる」はだめという話、本当でしょうか。
2．同値を表す左右の矢印がありますが、あの軸部分は2本線でなくてはなりませんか。
1本線に左右を指す矢印ではいけませんか。
日本語は書けないと以前Z会の添削に書かれました。
つまり、「∴x=3」はよく、「∴x=1のときF(x)は最大となる」はだめという話、本当でしょうか。
2．同値を表す左右の矢印がありますが、あの軸部分は2本線でなくてはなりませんか。
1本線に左右を指す矢印ではいけませんか。
>>642
1. ∴を使わないで、「ゆえに」という言葉を使うようにすれば
よいのではないでしょうか？
2. これも「～と・・・は同値なので」と書いたらどうでしょう。
数式というのは、実は文またはそれの一部であり、
本来「,」（カンマ）や「.」（ピリオド）をつけるのが正しいのです。
1. ∴を使わないで、「ゆえに」という言葉を使うようにすれば
よいのではないでしょうか？
2. これも「～と・・・は同値なので」と書いたらどうでしょう。
数式というのは、実は文またはそれの一部であり、
本来「,」（カンマ）や「.」（ピリオド）をつけるのが正しいのです。
解答で
有理数の集合は除法についてとじているので～
ってかいてあったのですが
とじているっていうのはどういういみですか？
有理数の集合は除法についてとじているので～
ってかいてあったのですが
とじているっていうのはどういういみですか？
646 ：大学への名無しさん：2009/02/27(金) 09:45:39 ID:Wb6/JqOS0
結果が必ずその集合の要素になること
>>645
閉じてないぞ
閉じてないぞ
>>645
ヒント：0
ヒント：0
>>648
言葉の意味としては
有理数同士のわり算は必ず有理数になる
でいいですか？
ヒントの0に関してはその解答は分数の分母0にならないという前提で言っているのでこの場合では閉じているってことになりますよね？
言葉の意味としては
有理数同士のわり算は必ず有理数になる
でいいですか？
ヒントの0に関してはその解答は分数の分母0にならないという前提で言っているのでこの場合では閉じているってことになりますよね？
ヒント２
除法＝割り算≠分数
除法＝割り算≠分数
651 ：642：2009/02/27(金) 20:01:44 ID:AiIG5joZ0
652 ：大学への名無しさん：2009/02/27(金) 23:26:53 ID:1UJwYEse0
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23227.jpg
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23228.jpg
(2)の、「f(x)が単調増加」とはどういうことでしょうか？
左に左に行くので、単調減少のような・・・
というか、(2)が何をやっているのかイマイチ分かりません・・・
よろしくお願いします。
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23228.jpg
(2)の、「f(x)が単調増加」とはどういうことでしょうか？
左に左に行くので、単調減少のような・・・
というか、(2)が何をやっているのかイマイチ分かりません・・・
よろしくお願いします。
>>652
a[_n+1] がa[_n]と比べて減少っていうのはy=f(x)の
xよりｙが小さい、という比較をしていることになる。
ここで言っているのはそうじゃない。
a[_n]からａ［_n+1]を導き出すｆ(x)という関数が、
x≧c^(1/m) において 増加関数、つまり
xの値として取れるαとβがα<βなら
それに対応するyの値同士がf(α)<f（β)になる、
つーことを確認してる。
このx同士の大小関係がf(x)での大小関係に
移る、という結果を数学的帰納法のタネにしてるのが(2)。
a[_n+1] がa[_n]と比べて減少っていうのはy=f(x)の
xよりｙが小さい、という比較をしていることになる。
ここで言っているのはそうじゃない。
a[_n]からａ［_n+1]を導き出すｆ(x)という関数が、
x≧c^(1/m) において 増加関数、つまり
xの値として取れるαとβがα<βなら
それに対応するyの値同士がf(α)<f（β)になる、
つーことを確認してる。
このx同士の大小関係がf(x)での大小関係に
移る、という結果を数学的帰納法のタネにしてるのが(2)。
654 ：652：2009/02/28(土) 04:01:21 ID:nEpr1+PF0
655 ：大学への名無しさん：2009/02/28(土) 04:18:45 ID:dJyivXsNO
ＴＤＮ(東京経済･獨協･日本女子)
地味だが実力派な三羽烏
東京経済大学
全盛期は偏差値60を越え一橋の滑り止め。東京理科大学と双璧をなしていた伝統校。少人数単科大にもかかわらず2008年度上場企業役員登用数は全国の大学で39位(私大23位)は圧巻の一言。
一度どん底にまで落ち込んだが最近また偏差値が上昇気流に乗っているお買い得大学。去年は都庁に18人を送りこんだなど本気を出し始めている。今が入り時
獨協大学
埼玉の僻地というハンデをもろともせず高偏差値を保つまさに実力派。語学系は取り分けて評価が高く一科目入試ながら偏差値67を叩きだしMarchすら凌駕する潜在能力を秘めている。
就職に弱いと言われているがそんな事は無く日通、スチュワーデスなどある分野には圧倒的な強さをしめす。外資系ならば迷わずここに決めるべき。美人が多いのも有名である
日本女子大学
いわゆる『ポンジョ』と呼ばれてはいるがどこぞのポン大と同類扱いされては甚だ不愉快な話である。日大の偏差値は医学部を覗くと最高は法の法律55で他は50前後。中には41なんていうのもある。
しかし日本女子大学は家政、家政経済60を始め全てが55以上である。最初から格が違うのだ。年輩受けもよく銀行に強いのは有名。大企業の一般職を手堅くゲットできる上に津田塾のように芋臭くなく垢抜けている。まさに才色兼備養成大学である
地味だが実力派な三羽烏
東京経済大学
全盛期は偏差値60を越え一橋の滑り止め。東京理科大学と双璧をなしていた伝統校。少人数単科大にもかかわらず2008年度上場企業役員登用数は全国の大学で39位(私大23位)は圧巻の一言。
一度どん底にまで落ち込んだが最近また偏差値が上昇気流に乗っているお買い得大学。去年は都庁に18人を送りこんだなど本気を出し始めている。今が入り時
獨協大学
埼玉の僻地というハンデをもろともせず高偏差値を保つまさに実力派。語学系は取り分けて評価が高く一科目入試ながら偏差値67を叩きだしMarchすら凌駕する潜在能力を秘めている。
就職に弱いと言われているがそんな事は無く日通、スチュワーデスなどある分野には圧倒的な強さをしめす。外資系ならば迷わずここに決めるべき。美人が多いのも有名である
日本女子大学
いわゆる『ポンジョ』と呼ばれてはいるがどこぞのポン大と同類扱いされては甚だ不愉快な話である。日大の偏差値は医学部を覗くと最高は法の法律55で他は50前後。中には41なんていうのもある。
しかし日本女子大学は家政、家政経済60を始め全てが55以上である。最初から格が違うのだ。年輩受けもよく銀行に強いのは有名。大企業の一般職を手堅くゲットできる上に津田塾のように芋臭くなく垢抜けている。まさに才色兼備養成大学である
656 ：大学への名無しさん：2009/02/28(土) 18:00:16 ID:nEpr1+PF0
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23267.jpg
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23268.jpg
なぜ赤線部のように異符号と分かるのでしょうか？
http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up23268.jpg
なぜ赤線部のように異符号と分かるのでしょうか？
657 ：大学への名無しさん：2009/02/28(土) 18:52:33 ID:X7p7rTfCO
Ｚ会のインテンシブってどうですか？
>>656
a=k(-b)(0<k)のときaとbは符号違うでしょ
a=k(-b)(0<k)のときaとbは符号違うでしょ
659 ：656：2009/02/28(土) 19:59:39 ID:nEpr1+PF0
X(2k)とx(2k+2)の大小、X(2k+3)とx(2k+1)の大小はどこから分かるのですか？
660 ：大学への名無しさん：2009/02/28(土) 22:10:19 ID:EAmEH3O3O
lim[x→π/2]tanxが存在しないらしいのですが、これは
lim[x→π/2+0]tanx=ｰ∞
lim[x→π/2ｰ0]tanx=∞だからですか？
lim[x→π/2+0]tanx=ｰ∞
lim[x→π/2ｰ0]tanx=∞だからですか？
>>660
合っている
合っている
663 ：大学への名無しさん：2009/02/28(土) 23:04:44 ID:EAmEH3O3O
>>662
ありがとうございました
ありがとうございました
>>662
なんであってる？
なんであってる？
15゜≦θ≦45゜
θ＜α＜θ+90゜
sinα＝sin(θ+45゜)
の元でαをθで表すと
α＝θ+45 135ｰθ
となっていたのですがどうして135ｰθが入るのかわかりません
θ＜α＜θ+90゜
sinα＝sin(θ+45゜)
の元でαをθで表すと
α＝θ+45 135ｰθ
となっていたのですがどうして135ｰθが入るのかわかりません
単位円を描いて考えてみ
15°≦θ≦45°の辺にθを取って、45°足したところにθ+45°を取って
そこからx軸に平行な直線を引いて交点を考えて
それがθ＜α＜θ+90°にあるかなぁ
15°≦θ≦45°の辺にθを取って、45°足したところにθ+45°を取って
そこからx軸に平行な直線を引いて交点を考えて
それがθ＜α＜θ+90°にあるかなぁ
返事ありがとうございます
むずいなぁ…＼(^_^)／
数式的に考えられないんだろうか
図形で考えるのはきついしあってるのか
どうか不安になるorz
なんとなくはわかるんですが
むずいなぁ…＼(^_^)／
数式的に考えられないんだろうか
図形で考えるのはきついしあってるのか
どうか不安になるorz
なんとなくはわかるんですが
和積公式で
sinα-sin(θ+15°)=cos{(α+θ+45°)/2} sin{(α-θ-45°)/2}=0
75°＜α+θ+45°＜225°より(α+θ+45°)/2=90°
-45°＜α-θ-45°＜45°より(α-θ-45°)/2=0
sinα-sin(θ+15°)=cos{(α+θ+45°)/2} sin{(α-θ-45°)/2}=0
75°＜α+θ+45°＜225°より(α+θ+45°)/2=90°
-45°＜α-θ-45°＜45°より(α-θ-45°)/2=0
671 ：大学への名無しさん：2009/03/01(日) 07:29:43 ID:NHMQtbXL0
>>669
むしろ図形（円またはグラフ）的に考えないと間違えますよ
むしろ図形（円またはグラフ）的に考えないと間違えますよ
672 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 00:37:20 ID:MQyRkaebO
f(x)=axe^(-ax^2)
これでわかるでしょうか!?
-ax^2はeの右上です。
f(x)を微分しろという問題なのですが、解答は積の微分法で表してあります。
別解として、面倒ですが対数微分法でできないかとやってみたのですが上手くいきませんでした。
やはり無理なのでしょうか？
>対数微分法でできないかとやってみたのですが上手くいきませんでした。
見せて
見せて
674 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 02:09:50 ID:MQyRkaebO
両辺対数とって
logf(x)=-ax^2logax
微分して
{1/f(x)}f'(x)=-2axlogax-2ax
f'(x)=-2ax(logax+1)f(x)
f'(x)=-2(a^2)(x^2)(logax+1)e^(-ax^2)
この後がどうしようもないんです。
>>672
無理ではないけどあまり意味はないですよ。
また、対数微分法よりワンクッション便利な解法があります。
例えば、
(x^x)'=(e^log(x^x))'
と、指数関数の微分に持ち込むと、
対数微分法より楽になります。
無理ではないけどあまり意味はないですよ。
また、対数微分法よりワンクッション便利な解法があります。
例えば、
(x^x)'=(e^log(x^x))'
と、指数関数の微分に持ち込むと、
対数微分法より楽になります。
677 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 06:36:46 ID:RbiP8fft0
レムニスケートなる曲線r＾2=a＾2cos2θの図形にて
θ=π/6のとき第一象限で最も高い点が((√6/4)a、√2/4a)となる理由と計算方法をお教えください。
θ=π/6のとき第一象限で最も高い点が((√6/4)a、√2/4a)となる理由と計算方法をお教えください。
679 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 15:16:33 ID:RbiP8fft0
>>678
範囲外です
範囲外です
>>679
そうでしたか。。。
1対1にて福田先生が一般にはレムニスケートr＾2=a＾2cos2θの第一象限における最大値は((√6/4)a、√2/4a)
といきなり書いてあったのでどうやって上記の座標を出すのか苦心していましたが…
範囲外なのですね。ありがとうございます。
そうでしたか。。。
1対1にて福田先生が一般にはレムニスケートr＾2=a＾2cos2θの第一象限における最大値は((√6/4)a、√2/4a)
といきなり書いてあったのでどうやって上記の座標を出すのか苦心していましたが…
範囲外なのですね。ありがとうございます。
>>678 第一象限だけで考えてよいとし、またa>0とする
（ここら辺の条件は書いてあれば省略しないで欲しい)。
r=a√cos2θ
y=rsinθ=a・sinθ・√cos2θ
積の微分法・合成関数の微分法で計算すると(過程略)
dy/dθ=(a・cosθ/√cos2θ){1-4(sinθ)^2}
θが第一象限の角として増減表を書いて考えるとdy/dθは
sinθ=1/2 の時に極大。つまりθ=π/6の時で、
このときr=a√（cosπ/3) = （√2）a/2
x座標はrcos(π/6) = (√6)a/4
y座標はrsin(π/6) = (√2)a/4
（ここら辺の条件は書いてあれば省略しないで欲しい)。
r=a√cos2θ
y=rsinθ=a・sinθ・√cos2θ
積の微分法・合成関数の微分法で計算すると(過程略)
dy/dθ=(a・cosθ/√cos2θ){1-4(sinθ)^2}
θが第一象限の角として増減表を書いて考えるとdy/dθは
sinθ=1/2 の時に極大。つまりθ=π/6の時で、
このときr=a√（cosπ/3) = （√2）a/2
x座標はrcos(π/6) = (√6)a/4
y座標はrsin(π/6) = (√2)a/4
683 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 17:42:25 ID:5aRSjQWx0
△ABCの辺AB,BC,CAをそれぞれ１：２の比に内分する点をD,E,Fとするとき、
△ABC：△DEFを求めよ。
答えは３：１なのですが、よくわかりません。
よろしくお願いします
△ABC：△DEFを求めよ。
答えは３：１なのですが、よくわかりません。
よろしくお願いします
684 ：675：2009/03/02(月) 17:46:45 ID:XSp5zoTV0
>>677
「対数をとって」微分して、
というプロセスが省けます。
具体的には、上の例では、
(e^(xlogx))'=(1+logx)(e^(xlogx))=(1+logx)x^x
というふうになり、暗算で解けるようになります。
もっというと、
((x^x)^x)'などを計算するときもこの手法が使えます。
「対数をとって」微分して、
というプロセスが省けます。
具体的には、上の例では、
(e^(xlogx))'=(1+logx)(e^(xlogx))=(1+logx)x^x
というふうになり、暗算で解けるようになります。
もっというと、
((x^x)^x)'などを計算するときもこの手法が使えます。
>>683
中学校からやり直せ
中学校からやり直せ
>>683
三角比は既習だね?
△ABCの各辺の長さを、辺に向かい合う頂点の文字の小文字で表す(AB=c等)
△ADF=(1/2)AD・AC・sinA=(1/2)（c/3）(2b/3)sinA = (2/9)*(1/2)bc・sinA=（2/9）△ABC
△BDE、△CEFも同様に(2/9)△ABC
△DEF=△ABC-（△ADF+△BDE+△CEF）=△ABC（1-（2/9）*3）=(1/3)△ABC
三角比は既習だね?
△ABCの各辺の長さを、辺に向かい合う頂点の文字の小文字で表す(AB=c等)
△ADF=(1/2)AD・AC・sinA=(1/2)（c/3）(2b/3)sinA = (2/9)*(1/2)bc・sinA=（2/9）△ABC
△BDE、△CEFも同様に(2/9)△ABC
△DEF=△ABC-（△ADF+△BDE+△CEF）=△ABC（1-（2/9）*3）=(1/3)△ABC
三角比とか云々以前に、中学校の問題
△DEF=△ABC-（△ADF+△BDE+△CEF）=△ABC（1-（2/9）*3）=(1/3)△ABC
で十分
△DEF=△ABC-（△ADF+△BDE+△CEF）=△ABC（1-（2/9）*3）=(1/3)△ABC
で十分
688 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 18:22:47 ID:zPzydJtS0
大学受験や受験向けのサイトが揃っています。見て損はありません！
勉強法研究・ネットショップ・京大生のホームページなどもありますよ。漏れはここのいろいろなサイトを参考にしました。
http://saturi.alink7.uic.to/
勉強法研究・ネットショップ・京大生のホームページなどもありますよ。漏れはここのいろいろなサイトを参考にしました。
http://saturi.alink7.uic.to/
↑
_,,,--''''''''''''''- ､,,_
／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::）
/::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::{Ｅ}::/
/::::::::::::, ---------､______/
'ｰ'ミ彡ﾆｯｯ,,,, ,,,,ｯｯｪ､ lミ}
ﾄy' <ｪｧ-ｱ ｀ｲ,ｪｪｧ- |｀I
| | - ; ::.ヽ､_ i｀l
. !_l /'､_ __)､ lﾉ
_l /::: ~ l /
, .．-'''/": ｌ (ｰ＜ﾆ＞､! /､_______
' ヽ､ / iヽ ー ,ｲ ヽ r`--､
ヽ ｀ー---- '"ﾉ l |
ブラックラー中尉[First Lieutenant blackler]
(1932～ アメリカ)
_,,,--''''''''''''''- ､,,_
／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::）
/::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::{Ｅ}::/
/::::::::::::, ---------､______/
'ｰ'ミ彡ﾆｯｯ,,,, ,,,,ｯｯｪ､ lミ}
ﾄy' <ｪｧ-ｱ ｀ｲ,ｪｪｧ- |｀I
| | - ; ::.ヽ､_ i｀l
. !_l /'､_ __)､ lﾉ
_l /::: ~ l /
, .．-'''/": ｌ (ｰ＜ﾆ＞､! /､_______
' ヽ､ / iヽ ー ,ｲ ヽ r`--､
ヽ ｀ー---- '"ﾉ l |
ブラックラー中尉[First Lieutenant blackler]
(1932～ アメリカ)
>>687
現在の指導要領では、相似比を面積比・体積比につなげる話は
中学範囲から外れてるんだが、(球の表面積・体積と同様数A範囲）
それを承知した上で書いてる? 確かにこの問題では直接に相似ではないが。
あと、天下りに元の頂点にできる三角形が全体の2/9であると導いてるが、
その根拠を示さないのじゃ、算数になっても数学にゃならないぞ。
それはそうと、△ADF=(1/2)AD・A"F"・sinA であった >>686
現在の指導要領では、相似比を面積比・体積比につなげる話は
中学範囲から外れてるんだが、(球の表面積・体積と同様数A範囲）
それを承知した上で書いてる? 確かにこの問題では直接に相似ではないが。
あと、天下りに元の頂点にできる三角形が全体の2/9であると導いてるが、
その根拠を示さないのじゃ、算数になっても数学にゃならないぞ。
それはそうと、△ADF=(1/2)AD・A"F"・sinA であった >>686
691 ：大学への名無しさん：2009/03/02(月) 20:43:20 ID:5aRSjQWx0
大多数？横から見てたが大多数とは思えないが、そんなにバカばかりなのか？
exp(logf(x))として微分するなんて対数微分と原理は同じだし上級者には基本的なことだが
exp(logf(x))として微分するなんて対数微分と原理は同じだし上級者には基本的なことだが
《問題》
みかん11個を３人に分ける方法は何通りあるか。
ただし､どの人もみかんを少なくとも１個はもらうものとする。
重複組合せの利用を使うみたいですが､よく分かりません;;
答えは45通りです
x+y+z=11,x≧1,y≧1,z≧1を満たす整数解を求める問題と同じ。
○11個を並べて、その隙間（10ヶ所）のうち２ヶ所に｜を入れる
と考える解法が一般的。
○11個を並べて、その隙間（10ヶ所）のうち２ヶ所に｜を入れる
と考える解法が一般的。
>>694
そんなに居る？いないだろ。因みに質問スレだからってそんなにレベルの低いやつばかりじゃないぞ。質問板ではない。
そんなに居る？いないだろ。因みに質問スレだからってそんなにレベルの低いやつばかりじゃないぞ。質問板ではない。
どっちが正しいとか言い切れるもんじゃないが、ここに来る受験生達が判断してくれるだろ。
それとは別にID:5Vq9A8iD0は日本語をもっと勉強しろ。
「オレは理解できない」とは書いてないし「オレはそれではミスをする」とも書いてない。
オレの心配はしなくていいよ。
それとは別にID:5Vq9A8iD0は日本語をもっと勉強しろ。
「オレは理解できない」とは書いてないし「オレはそれではミスをする」とも書いてない。
オレの心配はしなくていいよ。
>>700
君は私が書き込みしたたった2つの文をを主観的に拡大解釈してるけど、
論理的に物事を考えることがこの先もずっと大事になっていくんだぞ。
君は命令口調の文を書いているが、このままだと人を指導するような人物にはなれないぞ。
老婆心ながら。
君は私が書き込みしたたった2つの文をを主観的に拡大解釈してるけど、
論理的に物事を考えることがこの先もずっと大事になっていくんだぞ。
君は命令口調の文を書いているが、このままだと人を指導するような人物にはなれないぞ。
老婆心ながら。
＞どっちが正しいとか言い切れるもんじゃないが、ここに来る受験生達が判断してくれるだろ
だったら最初から黙っとけよハゲ
だったら最初から黙っとけよハゲ
>この先理系で大丈夫か？
こういうのを「主観的に拡大解釈」と言うんだよ。知ってるかい？
それに私はハゲていないｗ
こういうのを「主観的に拡大解釈」と言うんだよ。知ってるかい？
それに私はハゲていないｗ
704 ：大学への名無しさん：2009/03/04(水) 00:35:23 ID:nDwABXWF0
http://mumei24.run.buttobi.net/cgi-bin/src/up2774.jpg
http://mumei24.run.buttobi.net/cgi-bin/src/up2775.jpg
(2)の対称性についての解答が意味不明です・・・
いったい何をやっているのでしょうか？
http://mumei24.run.buttobi.net/cgi-bin/src/up2775.jpg
(2)の対称性についての解答が意味不明です・・・
いったい何をやっているのでしょうか？
705 ：草井 満子 ◆zsaYJ2w0yM ：2009/03/04(水) 01:02:15 ID:3tyrrtAt0
>>704
見れん。
見れん。
>>706
>C上のある(x,y)に対して、必ず座標(x,-y)もまたC上の点であることを言っている。
もちろん、これは理解しています
ただこの問題の場合、どうして(2)で2π－θやπ＋θを代入する気になるのでしょうか？
そもそも、(2)の解答の横に書いてあるグラフの偏角がθになっていますが、
この場合θは単なる媒介変数に過ぎないのではないでしょうか？
>C上のある(x,y)に対して、必ず座標(x,-y)もまたC上の点であることを言っている。
もちろん、これは理解しています
ただこの問題の場合、どうして(2)で2π－θやπ＋θを代入する気になるのでしょうか？
そもそも、(2)の解答の横に書いてあるグラフの偏角がθになっていますが、
この場合θは単なる媒介変数に過ぎないのではないでしょうか？
>>704
後半の、図に対しての指摘は正当だと思う。
前半は「対称になることを示せ」といわれてるんだから、それを信じて
対称になるはずの値を考えればいい。
ｘ軸対称のほうで言えば、誘導に従ってθで考えると、同型で
cos(θ)=cos(φ)、sin（2θ)=-sin（2φ) と表せるφがどんな形になるか
考えることになる。自明な解を除けばφ=-θで、（考えてみれば
定義域を無視すれば、2π-θにする必要はない)このとき確かに
sin(-2θ)= -sin(2θ) になっている。y軸対称のほうもφ=π-θでおけ。
ただし、ここでいったん棚上げした定義域の問題を解決する必要がある。
θが（元の）π/4≦θ<9π/2の定義域であるとき、計算したφもこの定義域に
入らないと「対称な点が必ず定義域内にある」ことを示したことにならない。
解答で(1)でθの定義域をずらしてあるのはこれも理由のひとつと思えるし、
x軸対称のほうで、-θではなく2π-θにしてあるのもそれを配慮してるためと推察。
でも、この場合であってもθ=0のとき2π-θ= 2π となって定義域から外れるし、
π+θはπ≦θ<2πでやはり定義域から外れる。てなわけで、結局はθの値に
よって、式を場合わけ（適宜2πを加減）して、かならず定義域内で対称の点が
取れることを示してやる必要がある。この意味で、掲載の(2)の解答には(まだ)
論理的な瑕疵があると思う。
後半の、図に対しての指摘は正当だと思う。
前半は「対称になることを示せ」といわれてるんだから、それを信じて
対称になるはずの値を考えればいい。
ｘ軸対称のほうで言えば、誘導に従ってθで考えると、同型で
cos(θ)=cos(φ)、sin（2θ)=-sin（2φ) と表せるφがどんな形になるか
考えることになる。自明な解を除けばφ=-θで、（考えてみれば
定義域を無視すれば、2π-θにする必要はない)このとき確かに
sin(-2θ)= -sin(2θ) になっている。y軸対称のほうもφ=π-θでおけ。
ただし、ここでいったん棚上げした定義域の問題を解決する必要がある。
θが（元の）π/4≦θ<9π/2の定義域であるとき、計算したφもこの定義域に
入らないと「対称な点が必ず定義域内にある」ことを示したことにならない。
解答で(1)でθの定義域をずらしてあるのはこれも理由のひとつと思えるし、
x軸対称のほうで、-θではなく2π-θにしてあるのもそれを配慮してるためと推察。
でも、この場合であってもθ=0のとき2π-θ= 2π となって定義域から外れるし、
π+θはπ≦θ<2πでやはり定義域から外れる。てなわけで、結局はθの値に
よって、式を場合わけ（適宜2πを加減）して、かならず定義域内で対称の点が
取れることを示してやる必要がある。この意味で、掲載の(2)の解答には(まだ)
論理的な瑕疵があると思う。
>>705
お前まだその名前使ってたのか。何とかならないか。
お前まだその名前使ってたのか。何とかならないか。
>>708
ありがとうございます。非常に難しいですね・・・
どのような値を代入すればいいかを、いわば当てずっぽに近い形で探して、
たまたま死期変形していったらうまくいったという感じでしょうか・・・
そういうのは苦手です・・・
>>710
アドレス教えていただけないでしょうか・・・？
ありがとうございます。非常に難しいですね・・・
どのような値を代入すればいいかを、いわば当てずっぽに近い形で探して、
たまたま死期変形していったらうまくいったという感じでしょうか・・・
そういうのは苦手です・・・
>>710
アドレス教えていただけないでしょうか・・・？
三角形OABと三角形OACは辺OAを共有し、∠OAB=∠OAC, OB=OCである。
このとき、二つは合同ですが、このままでは(二辺と一つの角が等しい)、
1: 三辺相当
2: 二辺挟角相当
3: 二角挟辺相当
のいずれにもあてはまらないんですが、このどれかに帰着させるには
どう考えるのが一番簡単でしょうか？
このとき、二つは合同ですが、このままでは(二辺と一つの角が等しい)、
1: 三辺相当
2: 二辺挟角相当
3: 二角挟辺相当
のいずれにもあてはまらないんですが、このどれかに帰着させるには
どう考えるのが一番簡単でしょうか？
訂正: ∠OAB=∠OAC=90°
>>712-713
図を描けば自明ですが、三角形OBCは二等辺三角形なので角OBA＝角OCA。
仮定より角OAB＝角OACであることを合わせて角AOB＝角AOC。
ゆえに二辺の長さとその間の角がそれぞれ等しいので。
あるいは三平方の定理から、直角三角形では、
二辺の長さが決まれば残りの一辺の長さも決まります。
ゆえに三辺の長さがそれぞれ等しいので。
図を描けば自明ですが、三角形OBCは二等辺三角形なので角OBA＝角OCA。
仮定より角OAB＝角OACであることを合わせて角AOB＝角AOC。
ゆえに二辺の長さとその間の角がそれぞれ等しいので。
あるいは三平方の定理から、直角三角形では、
二辺の長さが決まれば残りの一辺の長さも決まります。
ゆえに三辺の長さがそれぞれ等しいので。
>>711
>cos(θ)=cos(φ)、sin（2θ)=-sin（2φ) と表せるφがどんな形になるか
>考えることになる。自明な解を除けばφ=-θで、
「自明な解を除けば」はsinのほうも書いてある以上余分だった
（cosのほうだけならθ=φでなりたつので、それを「自明な解」であり
除くべきものといった積もりだったが、これはsin側を成立させない）
が、ともかく、φ=-θを「あてずっぽに近い形で探す」んだと思ってたら、
数IIの三角関数の定義の最初を徹底的に復習すべき。
このレベルの問題やってる場合じゃない。というか、基礎として自明なレベルまで
理解しておかなきゃならないことがおろそかでは、高度なレベルの問題を
やっても得られるものはごく僅かだ。
一方はθとφ、一方は2θと2φだけど、
「cosが常に等しくてsinが常に互いの-1倍になるのは、
二つの角度の間にどんな関係があるときか、とりあえず何か一つ考えろ」って
質問だよ? 単位円で考えれば限りなく一発じゃないか。
>cos(θ)=cos(φ)、sin（2θ)=-sin（2φ) と表せるφがどんな形になるか
>考えることになる。自明な解を除けばφ=-θで、
「自明な解を除けば」はsinのほうも書いてある以上余分だった
（cosのほうだけならθ=φでなりたつので、それを「自明な解」であり
除くべきものといった積もりだったが、これはsin側を成立させない）
が、ともかく、φ=-θを「あてずっぽに近い形で探す」んだと思ってたら、
数IIの三角関数の定義の最初を徹底的に復習すべき。
このレベルの問題やってる場合じゃない。というか、基礎として自明なレベルまで
理解しておかなきゃならないことがおろそかでは、高度なレベルの問題を
やっても得られるものはごく僅かだ。
一方はθとφ、一方は2θと2φだけど、
「cosが常に等しくてsinが常に互いの-1倍になるのは、
二つの角度の間にどんな関係があるときか、とりあえず何か一つ考えろ」って
質問だよ? 単位円で考えれば限りなく一発じゃないか。
age
717 ：大学への名無しさん：2009/03/05(木) 19:38:11 ID:qouA1hxP0
受験生のみなさんへ
「浄土真宗親鸞会」には気をつけましょう！！
カルト宗教に自らの人生をささげては後悔しますよ。
手口１ 大学のサークルを装う
手口２ 宗教色を出さず、学問的な集まりを装う
手口３ 学外の拠点に連れてゆこうとする
以下は浄土真宗親鸞会について、脱会した会員や被害家族が作成したサイトです。
勧誘マニュアルなども掲載されていますので、ご注意を！！
詳細：http://news.ohmynews.co.jp/news/20080503/24449
なぜ私は親鸞会をやめたのか
http://shinrankai.hp.infoseek.co.jp/
浄土真宗親鸞会被害家族の会
http://homepage2.nifty.com/nonsect/
あと、サークルの活動では、こんな書籍も使っていますので、これが出てきたら要注意です。
「なぜ生きる」
http://www.10000nen.com/book/naze/naze.htm
「歎異抄をひらく」
http://www.10000nen.com/book/tanni/tanni.htm
「浄土真宗親鸞会」には気をつけましょう！！
カルト宗教に自らの人生をささげては後悔しますよ。
手口１ 大学のサークルを装う
手口２ 宗教色を出さず、学問的な集まりを装う
手口３ 学外の拠点に連れてゆこうとする
以下は浄土真宗親鸞会について、脱会した会員や被害家族が作成したサイトです。
勧誘マニュアルなども掲載されていますので、ご注意を！！
詳細：http://news.ohmynews.co.jp/news/20080503/24449
なぜ私は親鸞会をやめたのか
http://shinrankai.hp.infoseek.co.jp/
浄土真宗親鸞会被害家族の会
http://homepage2.nifty.com/nonsect/
あと、サークルの活動では、こんな書籍も使っていますので、これが出てきたら要注意です。
「なぜ生きる」
http://www.10000nen.com/book/naze/naze.htm
「歎異抄をひらく」
http://www.10000nen.com/book/tanni/tanni.htm
y=[-x]ってどんなグラフになりますか？
自分で考えてみたら以下のようになったんですがあっているでしょうか？
・・・
y=-2 1<x<=2
y=-1 0<x<=1
y=0 -1<x<=0
・・・
自分で考えてみたら以下のようになったんですがあっているでしょうか？
・・・
y=-2 1<x<=2
y=-1 0<x<=1
y=0 -1<x<=0
・・・
720 ：大学への名無しさん：2009/03/06(金) 01:36:25 ID:rwV+EM66O
立命の理系数学満点の取り方教えてくれー
>>719
ありがとうございました
ありがとうございました
一つ前の高校課程の者ですが数Cで一次変換って分野ありました？
行列と何か違うのですか？
行列と何か違うのですか？
行列の応用なのだよ。
一次変換を行列使って表すと便利ということじゃないの？だから行列に組み込まれてて
前課程では 1次変換、微分方程式などが削除
現課程で、限定的な 1次変換が採用
来期の課程では、行列・1次変換自体が全面削除の予定だそうですが
複素平面がまた出戻りの予定
現課程で、限定的な 1次変換が採用
来期の課程では、行列・1次変換自体が全面削除の予定だそうですが
複素平面がまた出戻りの予定
あれはなんなんだろうな
行列と一次変換派と複素数と複素数平面派で派閥対立でもあるんだろか？
極方程式なんかは物理応用重視派が勝ち取った指導内容だったりしてな
行列と一次変換派と複素数と複素数平面派で派閥対立でもあるんだろか？
極方程式なんかは物理応用重視派が勝ち取った指導内容だったりしてな
ヒント：回転
文部科＠省の答申
現課程で、行列・1次変換を勉強してきた人へ
もう今後役に立たないことをわざわざ勉強して ﾌﾟｷﾞｬｰ
お次は複素平面をｼｺｼｺ勉強してね ｻｰｾﾝ
本音：（うふふふ、これで税金が俺の財布に落ちるぅ…これだからやめられねぇ･･･）
現課程で、行列・1次変換を勉強してきた人へ
もう今後役に立たないことをわざわざ勉強して ﾌﾟｷﾞｬｰ
お次は複素平面をｼｺｼｺ勉強してね ｻｰｾﾝ
本音：（うふふふ、これで税金が俺の財布に落ちるぅ…これだからやめられねぇ･･･）
>>729
>もう今後役に立たないことを
はぁ、大学で理系・経済系に行くと、数学の基礎教育として何やるか
知らんのだろうなぁ…
無論複素平面も理系にゃ(カリによっちゃ即座に)要るわけだが、
行列が要ることになる人のほうが数は多いと思うんだけどねぇ。
>もう今後役に立たないことを
はぁ、大学で理系・経済系に行くと、数学の基礎教育として何やるか
知らんのだろうなぁ…
無論複素平面も理系にゃ(カリによっちゃ即座に)要るわけだが、
行列が要ることになる人のほうが数は多いと思うんだけどねぇ。
>>729
線形代数すら知らないとは
線形代数すら知らないとは
732 ：大学への名無しさん：2009/03/08(日) 16:55:15 ID:Di5d2CfnO
初歩的な質問ですみませんが e^log4 を簡単にしてください
4。
734 ：大学への名無しさん：2009/03/08(日) 17:47:16 ID:Di5d2CfnO
できれば過程を教えて頂きたいのですが
736 ：大学への名無しさん：2009/03/09(月) 00:20:00 ID:l3B2rwN2O
738 ：大学への名無しさん：2009/03/09(月) 19:16:21 ID:hwjcbzig0
乗法の記号は×（バツ）や・(中点)が良く使われると思います。
むかし学校で「数学では×ではなく・を使うように」と習ったので
×を使うことに抵抗があったのですが参考書などをみると計算の途中で
×を使ってます（中点のみより分かりやすい）。
試験などでは途中の計算式も評価の対象になると思いますが
×をつかっても差し支えないのでしょうか？
もしかして（）と｛｝みたいな関係なのかな？
むかし学校で「数学では×ではなく・を使うように」と習ったので
×を使うことに抵抗があったのですが参考書などをみると計算の途中で
×を使ってます（中点のみより分かりやすい）。
試験などでは途中の計算式も評価の対象になると思いますが
×をつかっても差し支えないのでしょうか？
もしかして（）と｛｝みたいな関係なのかな？
740 ：大学への名無しさん：2009/03/09(月) 19:37:25 ID:hwjcbzig0
>>739
ありがとう
ありがとう
741 ：大学への名無しさん：2009/03/09(月) 23:39:26 ID:991BnuFAO
積分の問題です
放物線y＝x^2+2x+4に原点Ｏから二本の接線を引くとき、放物線と二本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ
なんですが、接点を(t,t^2-2t+4）とおいてt＝±2
まではできました。
そのあとが分かりません。(積分の区間の出しかたとか）
ちなみに答えは16/3です。
よかったら教えてください。
放物線y＝x^2+2x+4に原点Ｏから二本の接線を引くとき、放物線と二本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ
なんですが、接点を(t,t^2-2t+4）とおいてt＝±2
まではできました。
そのあとが分かりません。(積分の区間の出しかたとか）
ちなみに答えは16/3です。
よかったら教えてください。
744 ：大学への名無しさん：2009/03/10(火) 01:15:26 ID:afw+wDs3O
>>741
いわゆる1/12公式
(2-(-2))^3/12=16/3
接点a、bとおくと二接戦の交点は(a+b)/2(自分で確かめてね)
(a+b)/2=cとおく
∫[a→c]{(x^2+2x+4)-(接戦)}dx + ∫[c→b]{(x^2+2x+4)-(もう一方の接戦)}
=∫[a→c](x-a)^2dx+∫[c→b](x-b)^2dx
いわゆる1/12公式
(2-(-2))^3/12=16/3
接点a、bとおくと二接戦の交点は(a+b)/2(自分で確かめてね)
(a+b)/2=cとおく
∫[a→c]{(x^2+2x+4)-(接戦)}dx + ∫[c→b]{(x^2+2x+4)-(もう一方の接戦)}
=∫[a→c](x-a)^2dx+∫[c→b](x-b)^2dx
745 ：大学への名無しさん：2009/03/10(火) 19:59:36 ID:BwGOO1CHO
746 ：大学への名無しさん：2009/03/10(火) 20:52:02 ID:9bruganCO
｜a｜の場合わけは
・a≧0
・a<0
で場合わけしても問題ないでしょうか？
今日一対一やっていたら、解説のところではどちらもイコールつきの不等号を使っていましたが。。
・a≧0
・a<0
で場合わけしても問題ないでしょうか？
今日一対一やっていたら、解説のところではどちらもイコールつきの不等号を使っていましたが。。
748 ：大学への名無しさん：2009/03/10(火) 21:18:26 ID:9bruganCO
>>747
なるほど。
問題に応じて考えるんですね。。
もう一つお願いします。
a+b+c=1
の場合は、この式の逆数をとって
（1/a）+（1/b）+（1/c）=1
とすることは可能でしょうか？
また、a,b,cは全て0でないとします。
なるほど。
問題に応じて考えるんですね。。
もう一つお願いします。
a+b+c=1
の場合は、この式の逆数をとって
（1/a）+（1/b）+（1/c）=1
とすることは可能でしょうか？
また、a,b,cは全て0でないとします。
ごめん、寝ぼけてたｗ
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(ab+bc+ca)/abcね。
どっちにしても成り立たない。
(1/a)+(1/b)+(1/c)=(ab+bc+ca)/abcね。
どっちにしても成り立たない。
>>748
すでに答えは出てるが、「反例は1個見つかればいい」んだから
具体的な値で考えてみる（いわゆる「実験」）も大事。
a=2、b=c=-1/2 だったら（これで和は1）
逆数の和は-7/2 で1にならない。
すでに答えは出てるが、「反例は1個見つかればいい」んだから
具体的な値で考えてみる（いわゆる「実験」）も大事。
a=2、b=c=-1/2 だったら（これで和は1）
逆数の和は-7/2 で1にならない。
753 ：大学への名無しさん：2009/03/10(火) 21:35:09 ID:9bruganCO
数学やりなおそうと思ったらいきなり最初のところでつまづいた。
因数分解と式の展開の難問になると解けなくなる。
２重根号のはずし方も、マセマ元気が出るでもかなり端折った説明。
というわけで、この分野に詳しい参考書ないですか？
因数分解と式の展開の難問になると解けなくなる。
２重根号のはずし方も、マセマ元気が出るでもかなり端折った説明。
というわけで、この分野に詳しい参考書ないですか？
>>730-731
高校レベルの話をしているのであって
大学の～学部なんぞの話をしているわけではない
あと線型代数と言えカス
>>754
現・新課程では、「二重根号をはずす計算」は扱うことが出来ませんです。。。
（いわゆるはどめ規定）
by 文部科学省
高校レベルの話をしているのであって
大学の～学部なんぞの話をしているわけではない
あと線型代数と言えカス
>>754
現・新課程では、「二重根号をはずす計算」は扱うことが出来ませんです。。。
（いわゆるはどめ規定）
by 文部科学省
756 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 08:17:19 ID:BdiOHJJCO
高校レベルの話で、なぜ行列はいらなくて複素平面はいるのか
lpg^2x (logx)^2 って同じですよね？
log^2x です
隣接３項間の最初の変形は公式みたいに、暗記すればいいんですか？
作るときにポイントとかありますか？
作るときにポイントとかありますか？
隣接３項間の最初の変形は公式みたいに、暗記すればいいんですか？
作るときにポイントとかありますか？
作るときにポイントとかありますか？
762 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 19:56:53 ID:XmfSqgBfO
x^3-4x-1=0
って実数の範囲でもxの値が出せますか？
って実数の範囲でもxの値が出せますか？
x=-1がひとつ。
764 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 20:09:03 ID:y79e2J2o0
>>762
範囲外ですが解の公式によればダメです
範囲外ですが解の公式によればダメです
765 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 20:18:19 ID:QqWFTSheO
>>762
三次関数のグラフを書いてみれば分かるけど、三次方程式は必ず実数解をもつ。
値が求めたいなら解の公式で、近似でいいなら適当に…
>>761
二次方程式の根から調べるのでああいう変形ができることは根と係数の関係を考えればわかる。
そのアイデアの背後には、三項間の漸化式で得られる数列のフルマイが等差より等比的であることがある…
三次関数のグラフを書いてみれば分かるけど、三次方程式は必ず実数解をもつ。
値が求めたいなら解の公式で、近似でいいなら適当に…
>>761
二次方程式の根から調べるのでああいう変形ができることは根と係数の関係を考えればわかる。
そのアイデアの背後には、三項間の漸化式で得られる数列のフルマイが等差より等比的であることがある…
766 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 20:24:22 ID:MLppSFwo0
線形代数と線型代数の２つはどちらでもおｋだよね、確か
関西流が線形だったよな
大学は高校の延長と考えれば複素平面より線形代数のがはるかに重要だよね
複素平面使うのって複素関数やらを使うくらいしかないよね
積分計算もコンピュータで近似的に計算することが多いし、なぜ複素平面を復活させるのか
理解に苦しむ
複素平面の問題って|z|=1を描くときω=z+1/zが描く図形はどんなんか みたいなワンパ問題しかないし
関西流が線形だったよな
大学は高校の延長と考えれば複素平面より線形代数のがはるかに重要だよね
複素平面使うのって複素関数やらを使うくらいしかないよね
積分計算もコンピュータで近似的に計算することが多いし、なぜ複素平面を復活させるのか
理解に苦しむ
複素平面の問題って|z|=1を描くときω=z+1/zが描く図形はどんなんか みたいなワンパ問題しかないし
複素平面は履修してないけど、その問題って
z=(cosθ+isinθ)+(cosθ-isinθ)=2cosθってだけ？
z=(cosθ+isinθ)+(cosθ-isinθ)=2cosθってだけ？
z=じゃなくてω=だった
(＾ω＾)おっおっおっ
複素平面使えば便利なのって回転操作程度でしょ
回転なんて複素平面使わずとも行列の一次変換で事足りる
回転なんて複素平面使わずとも行列の一次変換で事足りる
772 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 22:35:35 ID:VrTOW9aLO
皆レベルの高い質問してるけどこんなとこに書いていいのかな…
私文だったけど一浪して国公立目指したくなった
しかも女子大トップorz
数ⅠAとⅡBの知識ゼロからやらなきゃいけない
やっぱ無謀かな
私文だったけど一浪して国公立目指したくなった
しかも女子大トップorz
数ⅠAとⅡBの知識ゼロからやらなきゃいけない
やっぱ無謀かな
無謀
お茶女ってこと？で、もとが私文なら文教育学部？
なら、センター要求が85%でお釣りが来る(芸術系ならもっとずっと安いが）。
センター文系科目（英国地歴公民）で9割届かせる（この目標は、上位国公立文系狙う以上
ふつー）ことができれば、数学・理科は7割でおっけ、数学をIA8割IIB6割で足りる計算、
ではあるな。
なら、センター要求が85%でお釣りが来る(芸術系ならもっとずっと安いが）。
センター文系科目（英国地歴公民）で9割届かせる（この目標は、上位国公立文系狙う以上
ふつー）ことができれば、数学・理科は7割でおっけ、数学をIA8割IIB6割で足りる計算、
ではあるな。
776 ：大学への名無しさん：2009/03/11(水) 23:41:00 ID:VrTOW9aLO
>>774恥ずかしながら、その通りです。
そうですね、頑張れば文系科目9割はいけると思います。数ⅡBと生物の遺伝が本当に怖いけど、Bでは統計を選択したら良いと友達に勧められました。
ちなみにコンピュータの分野ってどうなんでしょう…難しいですか？
そうですね、頑張れば文系科目9割はいけると思います。数ⅡBと生物の遺伝が本当に怖いけど、Bでは統計を選択したら良いと友達に勧められました。
ちなみにコンピュータの分野ってどうなんでしょう…難しいですか？
>>776
ここは問題の質問スレなのでこれ以上は適宜別スレに移動して。
前レスに書けばよかった。
二言三言だけ書くと、多少なりともプログラミングに関する知識/経験がある、
またはそれ的な考え方ができるなら、一般にはセンター数Bの
プログラムは楽勝。ただし、まったく経験も適性もないと通常の数B単元
以上に分かりにくいこともありうると思う。
ここは問題の質問スレなのでこれ以上は適宜別スレに移動して。
前レスに書けばよかった。
二言三言だけ書くと、多少なりともプログラミングに関する知識/経験がある、
またはそれ的な考え方ができるなら、一般にはセンター数Bの
プログラムは楽勝。ただし、まったく経験も適性もないと通常の数B単元
以上に分かりにくいこともありうると思う。
>>771
では，4点（x_i, y_i） i=1, 2, 3, 4 が同一円周上にある条件を行列を使って説明してみ。
では，4点（x_i, y_i） i=1, 2, 3, 4 が同一円周上にある条件を行列を使って説明してみ。
>>778 20年と21年の問題を見てきた。
20年は見覚えがあった。この互除法の問題は楽だと思う。この程度なら楽と
言い切れるレベルでなければ、プログラムは取るべきではない、とも思った。
21年は確かに分かりづらくて、試験場だとパニック起こすかもしれない、とは
思えた。が、それでもそれでも流れを掴めば、自分にとっては、悪問といわれた
今年のベクトル（を真正面からやってしまう）よりはずっと楽という印象ではある。
万人に楽勝とは言わないけど、20年を楽にこなせていれば今年も大やけどは
しなかったんじゃないかと。だから「素質and/or適性があってそこそこ
準備すれば相対的には楽なはず」位の評価は依然できそうかな、と思えた。
それにしてもプログラムがGOTOだらけで汚いのはなんとかならんかｗ
20年は見覚えがあった。この互除法の問題は楽だと思う。この程度なら楽と
言い切れるレベルでなければ、プログラムは取るべきではない、とも思った。
21年は確かに分かりづらくて、試験場だとパニック起こすかもしれない、とは
思えた。が、それでもそれでも流れを掴めば、自分にとっては、悪問といわれた
今年のベクトル（を真正面からやってしまう）よりはずっと楽という印象ではある。
万人に楽勝とは言わないけど、20年を楽にこなせていれば今年も大やけどは
しなかったんじゃないかと。だから「素質and/or適性があってそこそこ
準備すれば相対的には楽なはず」位の評価は依然できそうかな、と思えた。
それにしてもプログラムがGOTOだらけで汚いのはなんとかならんかｗ
最近のコンピュータの問題は、プログラミングだけではなく
背景にある数値計算に関する出題もある。
質問者の経歴を見てもまだ、「楽勝」と書けるお前は、ある意味すごいな。
背景にある数値計算に関する出題もある。
質問者の経歴を見てもまだ、「楽勝」と書けるお前は、ある意味すごいな。
>>783 2回目は「やる側の条件付で相対的には楽だ」と書いたのであって
「楽勝」とは書かなかったのだが。確率と同様で、プログラミングは
他の高校数学とは得意不得意の傾向が一致しにくいんで、だから
受験者側に条件がいるとは繰り返し書いている。ただ、整数問題への
対応能力は確かに必要だと思う。19年は数値計算だけど、これは
プログラムは完全なものが提示されていて、余分なところには頭を
使わないですむね。
多くは整数問題ということにも絡むが、（変数を整数として）
X-INT(X/Y)*Y=0 を見て 「XがYで割り切れる」と即座に判断できる
程度の準備は、プログラミング取る以上は当然やっておくべきこと
だとは思っている。また、BASICの基本文法や関数を知った時点で
上記がその意味を表すことが、数分で自力で理解できないと、
(センターで取るには)適性的には難ありだろうなぁとも思う。
「楽勝」とは書かなかったのだが。確率と同様で、プログラミングは
他の高校数学とは得意不得意の傾向が一致しにくいんで、だから
受験者側に条件がいるとは繰り返し書いている。ただ、整数問題への
対応能力は確かに必要だと思う。19年は数値計算だけど、これは
プログラムは完全なものが提示されていて、余分なところには頭を
使わないですむね。
多くは整数問題ということにも絡むが、（変数を整数として）
X-INT(X/Y)*Y=0 を見て 「XがYで割り切れる」と即座に判断できる
程度の準備は、プログラミング取る以上は当然やっておくべきこと
だとは思っている。また、BASICの基本文法や関数を知った時点で
上記がその意味を表すことが、数分で自力で理解できないと、
(センターで取るには)適性的には難ありだろうなぁとも思う。
>>781
行列なぞ使わんでも余弦定理使って内接四角形の対角の和が１８０°で
あることを示せば事足りる
結局やる計算は複素数平面でも同じことでしょう
>>775
行列を学ばず大学入る方が困るよ
複素関数は習わない学科があっても線形代数はすべての理系学生が習う
行列なぞ使わんでも余弦定理使って内接四角形の対角の和が１８０°で
あることを示せば事足りる
結局やる計算は複素数平面でも同じことでしょう
>>775
行列を学ばず大学入る方が困るよ
複素関数は習わない学科があっても線形代数はすべての理系学生が習う
>>785
まず行列が高校の教程からはずされることはない。
また、君が言うように線形代数は理系なら必修だ。
そういうことでなく、学部の授業で使う使わない
という観点から、複素平面を高校で習わなくてよいと
いうことはないということ。
まず行列が高校の教程からはずされることはない。
また、君が言うように線形代数は理系なら必修だ。
そういうことでなく、学部の授業で使う使わない
という観点から、複素平面を高校で習わなくてよいと
いうことはないということ。
あんたたちは、教育審議委員か何かですか？
たとえそうだとしても、
スレ違いだ！すっこんでろっ！！アホウども！！！
ってことで
たとえそうだとしても、
スレ違いだ！すっこんでろっ！！アホウども！！！
ってことで
行列を外して複素平面を入れるのが馬鹿げてるって話じゃないのか？
>>788
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/kou/kou.pdf
50ページからが数学。次期指導要領では、高校数学から
（1次変換だけではなく）行列そのものが完全に姿を消します。
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/kou/kou.pdf
50ページからが数学。次期指導要領では、高校数学から
（1次変換だけではなく）行列そのものが完全に姿を消します。
いつから外れるの？
>>ID:xDfhcpin0
あんたが自己満足のためだけにこのスレに居座ってるのがよーく分かった。
すまんがコテ付けてくれんか？（満子レベルのでいいから）
あんたが自己満足のためだけにこのスレに居座ってるのがよーく分かった。
すまんがコテ付けてくれんか？（満子レベルのでいいから）
>>789でのアンカーは>>786につけたつもりだった。スレチなのは大変
申し訳ないが、事実と違う書き込みは放置すべきではないと思った。
>>790
数学（と理科）はH24年から実施（この春の新中1生が高校に入るタイミング）。
ただし新中1生はこの春から新内容なので、今年は、たとえば球の体積・表面積を
新中1と高校の数A履修者が同時にやるような感じになる。高校は年次進行で
実施なので、新高1生は現行カリキュラムのまま卒業。受験板的には、確かに
今の学生さんには影響が少ない話、ではある。
疑問が上がったので答えたが、指導要領関係についてはこれで最後にする。
申し訳ないが、事実と違う書き込みは放置すべきではないと思った。
>>790
数学（と理科）はH24年から実施（この春の新中1生が高校に入るタイミング）。
ただし新中1生はこの春から新内容なので、今年は、たとえば球の体積・表面積を
新中1と高校の数A履修者が同時にやるような感じになる。高校は年次進行で
実施なので、新高1生は現行カリキュラムのまま卒業。受験板的には、確かに
今の学生さんには影響が少ない話、ではある。
疑問が上がったので答えたが、指導要領関係についてはこれで最後にする。
793 ：大学への名無しさん：2009/03/12(木) 16:37:51 ID:kW0u/T+I0
数学ってあれだよな。
机に向かって紙に書かないと伸びないし
しょっちゅう腑に落ちない場面に遭遇して
そのたびに精力つかって理解しないといけない。
自分ひとりの勉強だと一番重い教科。
机に向かって紙に書かないと伸びないし
しょっちゅう腑に落ちない場面に遭遇して
そのたびに精力つかって理解しないといけない。
自分ひとりの勉強だと一番重い教科。
>>785
前半 利便性がまったく違う。
後半 複素数平面の話がいつの間に複素関数の話になったんだ？
あと、「線形代数はすべての理系学生が習う」というのは間違い。
履修しない所もある。理系学生が必ず履修するのは微積分。
前半 利便性がまったく違う。
後半 複素数平面の話がいつの間に複素関数の話になったんだ？
あと、「線形代数はすべての理系学生が習う」というのは間違い。
履修しない所もある。理系学生が必ず履修するのは微積分。
微積分でヤコビアンとかでてくるじゃん。
一体どこの大学がそんなテキスト使うの？
線形代数わかんないのに卒業させる大学って
Fランか・・・？
線形代数わかんないのに卒業させる大学って
Fランか・・・？
もはや理系を名乗る資格もないわ
799 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 04:00:23 ID:L7EBsbvW0
>>794
利便性が全く違うって… 偏角求める計算は結局同じことするよ
線形代数を代用することは不可能
理系で線型代数履修しないところってどこ？
聞いたことないなぁ あったとしてもごく少数でしょう
逆に線形代数を履修して複素関数（でしか見たことないｗ）を履修しない人間の方が圧倒的に多い
複素数平面を使うところって複素関数論以外では見たことないけど、具体的にどこの分野で使うの？
流体力学あたりなんかは使うらしいけど、それも複素関数の延長でしょう
テンソルなんかは大学入学後力学でやるところもあるだろうし、電気回路や量子論など
どの物理分野でも行列は使いすぎる
とりあえず行列消滅させてでも複素数平面のが重要だと語る人は実際に
理系で勉強したことない人でしょう
利便性が全く違うって… 偏角求める計算は結局同じことするよ
線形代数を代用することは不可能
理系で線型代数履修しないところってどこ？
聞いたことないなぁ あったとしてもごく少数でしょう
逆に線形代数を履修して複素関数（でしか見たことないｗ）を履修しない人間の方が圧倒的に多い
複素数平面を使うところって複素関数論以外では見たことないけど、具体的にどこの分野で使うの？
流体力学あたりなんかは使うらしいけど、それも複素関数の延長でしょう
テンソルなんかは大学入学後力学でやるところもあるだろうし、電気回路や量子論など
どの物理分野でも行列は使いすぎる
とりあえず行列消滅させてでも複素数平面のが重要だと語る人は実際に
理系で勉強したことない人でしょう
800 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 11:20:35 ID:5S7EjRjGO
△OABにおいて，OA＝2，OB＝3，∠AOB＝120゜とする。
辺ABの中点をM，辺AMの中点をNとする。
この時、内積OM↑・ON↑の値を求めよ。という問題で
OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑
OM↑・ON↑＝1/8(OA↑＋OB↑)・(3OA↑＋OB↑)
＝1/8(3|OA|↑^2＋4OA↑・OB↑＋|OB|↑^2)
＝1/8(3×4＋4×(－3)＋9)
＝9/8
となっているのですが、
・cosMONがわからないままOM↑・ON↑が求まってしまった理由
・下から4行目の式で、OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑
を1/8で括ったのに、1/8(4OA↑＋4OB↑)・(6OA↑＋2OB↑)ではなく1/8(OA↑＋OB↑)・(3OA↑＋OB↑)になった理由
の二つを教えてください。
志田 晶のベクトルが面白いほどわかる本のP85に掲載されている問題です。
よろしくお願いします。
辺ABの中点をM，辺AMの中点をNとする。
この時、内積OM↑・ON↑の値を求めよ。という問題で
OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑
OM↑・ON↑＝1/8(OA↑＋OB↑)・(3OA↑＋OB↑)
＝1/8(3|OA|↑^2＋4OA↑・OB↑＋|OB|↑^2)
＝1/8(3×4＋4×(－3)＋9)
＝9/8
となっているのですが、
・cosMONがわからないままOM↑・ON↑が求まってしまった理由
・下から4行目の式で、OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑
を1/8で括ったのに、1/8(4OA↑＋4OB↑)・(6OA↑＋2OB↑)ではなく1/8(OA↑＋OB↑)・(3OA↑＋OB↑)になった理由
の二つを教えてください。
志田 晶のベクトルが面白いほどわかる本のP85に掲載されている問題です。
よろしくお願いします。
801 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 11:56:01 ID:6NFqBwgL0
>>801
ここで「内積の双線形性」という言葉を出すだけでは、質問者のニーズには
応えられてないと思うよ。確かに「なぜ」に対して理由は提示できているけど
疑問の解決には結びついておらず、かえって高校生になじみのない用語で、
質問者を不安にしかねない。
>>800
ベクトルの内席を求める時、たとえばa↑=b↑+c↑という関係が成り立っていれば、
a↑・d↑=（b↑+c↑）・d↑=b↑・d↑+ｃ↑・d↑ として計算してもちゃんと同じ値が出る。
平面（や空間）のベクトルなら、これは成分計算で考えれば明らか。
b↑=(b_1,b_2)、c↑=(c_1,c_2)、d↑=(d_1,d_2) とすれば、a↑=(b_1+c_1,b_2+c_2)で
a↑・d↑= (b_1+c_1)*d_1 + (b_2+c_2)*d_2
b↑・d↑+c↑・d↑=（b_1*d_1+b_2*d_2） + （c_1*d_1+c_2*d_2）
カッコをはずして計算すれば両者はちゃんと等しくkなる。
この問題の場合はOM↑、ON↑の双方をもっと捉えやすく、内席が計算しやすいベクトル
OA↑、OB↑によってそれぞれ表して、そっちで計算している、ということ。
下は
OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑ だから OM↑=（1/2）（OA↑+OB↑）
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑ ON↑=（1/4）（3OA↑+OB↑）
これの内席を考えれば、確かに（1/8）（OA↑+OB↑）・（3OA↑+OB↑）
文字式の計算でも（(x+y)/2)* ((3x+y)/4) は（x+y)(3x+y)/（2*4） でしょ。
分母がそれぞれに分配されて（x/2 +ｙ/2）*(3x/4 + y/4) の計算でも
（それぞれのカッコは上の形の式と同じだから）上の値と違うのは
変で、上記のように計算するのが良いというのはわかるはず。
ここで「内積の双線形性」という言葉を出すだけでは、質問者のニーズには
応えられてないと思うよ。確かに「なぜ」に対して理由は提示できているけど
疑問の解決には結びついておらず、かえって高校生になじみのない用語で、
質問者を不安にしかねない。
>>800
ベクトルの内席を求める時、たとえばa↑=b↑+c↑という関係が成り立っていれば、
a↑・d↑=（b↑+c↑）・d↑=b↑・d↑+ｃ↑・d↑ として計算してもちゃんと同じ値が出る。
平面（や空間）のベクトルなら、これは成分計算で考えれば明らか。
b↑=(b_1,b_2)、c↑=(c_1,c_2)、d↑=(d_1,d_2) とすれば、a↑=(b_1+c_1,b_2+c_2)で
a↑・d↑= (b_1+c_1)*d_1 + (b_2+c_2)*d_2
b↑・d↑+c↑・d↑=（b_1*d_1+b_2*d_2） + （c_1*d_1+c_2*d_2）
カッコをはずして計算すれば両者はちゃんと等しくkなる。
この問題の場合はOM↑、ON↑の双方をもっと捉えやすく、内席が計算しやすいベクトル
OA↑、OB↑によってそれぞれ表して、そっちで計算している、ということ。
下は
OM↑＝1/2OA↑＋1/2OB↑ だから OM↑=（1/2）（OA↑+OB↑）
ON↑＝3/4OA↑＋1/4OB↑ ON↑=（1/4）（3OA↑+OB↑）
これの内席を考えれば、確かに（1/8）（OA↑+OB↑）・（3OA↑+OB↑）
文字式の計算でも（(x+y)/2)* ((3x+y)/4) は（x+y)(3x+y)/（2*4） でしょ。
分母がそれぞれに分配されて（x/2 +ｙ/2）*(3x/4 + y/4) の計算でも
（それぞれのカッコは上の形の式と同じだから）上の値と違うのは
変で、上記のように計算するのが良いというのはわかるはず。
↑内「席」を連発したのはみっともない…… 無論｢内積」です。
自分で単語登録すりゃいいんだが、MS-IMEは最初から入ってる数学用語少なすぎ。
自分で単語登録すりゃいいんだが、MS-IMEは最初から入ってる数学用語少なすぎ。
804 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 13:21:11 ID:eIAndDjc0
①Rは正の実数、aは実数とする。実数xについての命題 |x| < R ならば |x^2+a| < R である を考える。以下の問いに答えよ。
(１)この命題が真になるためにR、aがみたすべき必要十分条件を求めよ。
(２)どんなRに対しても、この命題が真とはならないaの値の範囲を求めよ。
(３)この命題が真となるようなaが存在するRの値の範囲を求めよ。
②xy平面上において原点０を中心とする半径２の円をAとする。また、円Bを円Aに外接しながら動く半径１の円、円Cを円Aに内接しながら動く半径１の円とし、円B、円C上の固定点P、Qの動きを考える。
円Bは円Aに接したまま、すべることなく回転しながら動き、その中心EはE0（３，０)を出発して、（０，３）を経由し（－３，０）までを動くものとし、点Pの最初の座標は（４，０）とする。
また、円Cは円Aに接したまま、すべることなく回転しながら動き、その中心FはF0（－１，０）を出発して（０，１）を経由し（１，０）までを動くものとし、点Qの最初の座標は（－２，０）とする。
なお、円Bと円Cは、つねに∠E0０E＝∠F0０Fを満たすように動くものとする。θ＝∠E0０Eとおき、０≦θ≦πとする。以下の問いに答えよ。
（１）点P、Qの座標を、それぞれθを用いて表せ。
（２）線分PQの長さをLとする。θの値が０≦θ≦πを変化するとき、L＾2の最大値とそのときのθの値、
およびL^2の最小値とそのときのθの値を求めよ。
すみませんが皆様のお力をお貸しください。昨日受けた某地方大学の後期入試問題です。
一応自分で解いたなりの指針を書きます。
①（１）（２）はxの値域からx^2+aの最大値、最小値を考える。
（３）は（１）の解におけるaの存在条件から求める。
②（１）からして自信ありません・・・
（２）は（１）からの誘導でL^2をθの関数として表すのはいいのですが、はたして微分は使うのでしょうか。
しかも求めるθの値がθの値域における端点になるだなんて・・・
もう後のない立場なんで試験中から不安を感じるわで、試験後は窓ガラスぶち破りたいほど自分に怒りを覚えました。
合ってたら発表までの時間もまだマシな気分になります。間違ってたら・・・・じゅ、樹海か・・・・
(１)この命題が真になるためにR、aがみたすべき必要十分条件を求めよ。
(２)どんなRに対しても、この命題が真とはならないaの値の範囲を求めよ。
(３)この命題が真となるようなaが存在するRの値の範囲を求めよ。
②xy平面上において原点０を中心とする半径２の円をAとする。また、円Bを円Aに外接しながら動く半径１の円、円Cを円Aに内接しながら動く半径１の円とし、円B、円C上の固定点P、Qの動きを考える。
円Bは円Aに接したまま、すべることなく回転しながら動き、その中心EはE0（３，０)を出発して、（０，３）を経由し（－３，０）までを動くものとし、点Pの最初の座標は（４，０）とする。
また、円Cは円Aに接したまま、すべることなく回転しながら動き、その中心FはF0（－１，０）を出発して（０，１）を経由し（１，０）までを動くものとし、点Qの最初の座標は（－２，０）とする。
なお、円Bと円Cは、つねに∠E0０E＝∠F0０Fを満たすように動くものとする。θ＝∠E0０Eとおき、０≦θ≦πとする。以下の問いに答えよ。
（１）点P、Qの座標を、それぞれθを用いて表せ。
（２）線分PQの長さをLとする。θの値が０≦θ≦πを変化するとき、L＾2の最大値とそのときのθの値、
およびL^2の最小値とそのときのθの値を求めよ。
すみませんが皆様のお力をお貸しください。昨日受けた某地方大学の後期入試問題です。
一応自分で解いたなりの指針を書きます。
①（１）（２）はxの値域からx^2+aの最大値、最小値を考える。
（３）は（１）の解におけるaの存在条件から求める。
②（１）からして自信ありません・・・
（２）は（１）からの誘導でL^2をθの関数として表すのはいいのですが、はたして微分は使うのでしょうか。
しかも求めるθの値がθの値域における端点になるだなんて・・・
もう後のない立場なんで試験中から不安を感じるわで、試験後は窓ガラスぶち破りたいほど自分に怒りを覚えました。
合ってたら発表までの時間もまだマシな気分になります。間違ってたら・・・・じゅ、樹海か・・・・
806 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 14:48:52 ID:PRCJIg+j0
>>804
①
(1)-R<a≦R-R^2
(2)a<-2, a>1/4
(3)R<2
②
(1)P(3cosθ+cos3θ, 3sinθ+sin3) Q(-2cosθ, 0)
(2)最大値36,θ=0,π
最小値4,θ=π/2
ってとこか？間違ってたらすまない
①
(1)-R<a≦R-R^2
(2)a<-2, a>1/4
(3)R<2
②
(1)P(3cosθ+cos3θ, 3sinθ+sin3) Q(-2cosθ, 0)
(2)最大値36,θ=0,π
最小値4,θ=π/2
ってとこか？間違ってたらすまない
807 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 15:00:37 ID:H72ToyWi0
>かえって高校生になじみのない用語で、 質問者を不安にしかねない。
このスレはそんなこと考えずに、知識自慢をするスレだったんじゃないのか？ｗ
「数学的には常識の範囲」とか「初学者でも互除法位知ってて当然」とか
このスレはそんなこと考えずに、知識自慢をするスレだったんじゃないのか？ｗ
「数学的には常識の範囲」とか「初学者でも互除法位知ってて当然」とか
809 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 15:30:57 ID:rx2+PAJW0
方程式ｘ^2+(a+2)x-a+1=0の二つの実数解のうち、少なくとも１つが
-2<x<0の範囲にあるような定数aの取りうる値の範囲を求めよ。
これの解答に
２つの解がともに-2<x<0にある条件は
Ｄ≧0とあるのですが
Ｄ＞0ではいけないのでしょうか？
＝が入ってしまうと重解になり、
元の式の実数解が二つではなくなってしまうと思うのですが。
-2<x<0の範囲にあるような定数aの取りうる値の範囲を求めよ。
これの解答に
２つの解がともに-2<x<0にある条件は
Ｄ≧0とあるのですが
Ｄ＞0ではいけないのでしょうか？
＝が入ってしまうと重解になり、
元の式の実数解が二つではなくなってしまうと思うのですが。
その解答では重解というのを同じ解が二つ重なって存在していると見てるのだろうな。
二つの「異なる」実数解(重解含まない)を持つ条件ならD＞0
二つの実数解(重解含む)を持つ条件ならD≧0
二つの「異なる」実数解(重解含まない)を持つ条件ならD＞0
二つの実数解(重解含む)を持つ条件ならD≧0
そんな説明で解答者は納得いくわけないだろ。
n次方程式なら根はn個あるが、解はn個以下。
厳密には解っていうのは、代入して成り立つ値のこと。
(x-1)^2=0の根は1,1の重根の2つだけど解は1のみ。
昔は根を使ってたのに今では解を使うようになったが立法"根"とかに名残がある。
今はそのせいもあって曖昧だから問題文に重解の扱いとか普通はつけるか
あえて触れないように出す。高校数学で曖昧な扱いを受けてるのは結構ある。
n次方程式なら根はn個あるが、解はn個以下。
厳密には解っていうのは、代入して成り立つ値のこと。
(x-1)^2=0の根は1,1の重根の2つだけど解は1のみ。
昔は根を使ってたのに今では解を使うようになったが立法"根"とかに名残がある。
今はそのせいもあって曖昧だから問題文に重解の扱いとか普通はつけるか
あえて触れないように出す。高校数学で曖昧な扱いを受けてるのは結構ある。
>>812
お前がバカなだけだ
お前がバカなだけだ
天に向かって唾を吐くってかｗ
>>814
何が言いたい？
何が言いたい？
816 ：大学への名無しさん：2009/03/13(金) 21:40:51 ID:ynHwalOo0
>>811
まさか２重解を2個の解と見るのをダメといってるんじゃあ・・・
まさか２重解を2個の解と見るのをダメといってるんじゃあ・・・
いいんだよ。
どうせここは自説の披露と知識自慢のスレなんだから。
ジジイが「根」と「解」の違いがあった昔を懐かしんで何が悪い！
どうせここは自説の披露と知識自慢のスレなんだから。
ジジイが「根」と「解」の違いがあった昔を懐かしんで何が悪い！
質問しにくる人だっているんだぞ。
答えられる人は分かりやすく教えてやるのがこのスレだ。
自慢したいならチラ裏にでも書いとけよ。
答えられる人は分かりやすく教えてやるのがこのスレだ。
自慢したいならチラ裏にでも書いとけよ。
質問者もロハで教えを乞うているのだから文句は言えまい。
難しく教えるのは簡単だからな
分かり易く教えるのは難しい
自分で理解するのと人に教えるのは別だから
分かり易く教えるのは難しい
自分で理解するのと人に教えるのは別だから
a/b=c/dのとき、等式a+b/a-b=c+d/c-dが成り立つことを証明せよ
模範解答
a/b=c/d=kとおくと、a=bk、c=dk
よって、a+b/a-b=bk+b/bk-b=b(k+1)/b(k-1)=k+1/k-1
c+d/c-d=dk+d/dk-d=d(k+1)/d(k-1)=k+1/k-1
ゆえに、a+b/a-b=c+d/c-dが成り立つ
質問
a=bのとき、a+b/a-bが成り立たなくなり、問題自体が成り立っていないと思うのですが、それについてお願いします
模範解答
a/b=c/d=kとおくと、a=bk、c=dk
よって、a+b/a-b=bk+b/bk-b=b(k+1)/b(k-1)=k+1/k-1
c+d/c-d=dk+d/dk-d=d(k+1)/d(k-1)=k+1/k-1
ゆえに、a+b/a-b=c+d/c-dが成り立つ
質問
a=bのとき、a+b/a-bが成り立たなくなり、問題自体が成り立っていないと思うのですが、それについてお願いします
>>822
問題文に分数式があるときは、分母≠0という条件があると考えてOKです。
問題文に分数式があるときは、分母≠0という条件があると考えてOKです。
>>816
ダメだよ。「代入して成り立つ値」が解。(x-1)^2=0はx=1の1つ。根は2次方程式なら常に2個。
>>814は言葉もろくに使えないだけの無能。
>>818
分かりやすく教えてやったけど何？俺はこういった説明で理解したんだけど
ダメだよ。「代入して成り立つ値」が解。(x-1)^2=0はx=1の1つ。根は2次方程式なら常に2個。
>>814は言葉もろくに使えないだけの無能。
>>818
分かりやすく教えてやったけど何？俺はこういった説明で理解したんだけど
825 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 14:37:20 ID:l1R0KC/t0
>>804
|x|<R → |x^2+a|<R
-R<x<R → -R<x^2+a<R
0≦x^2<R^2 → -R-a<x^2<R-a
-R-a<0, R^2≦R-a
-R<a≦R-R^2
あるRに対しこの命題が真となるaの範囲を求めると題意を満たすのはその補集合
あるRに対しこの命題が真となるならば-R<R-R^2が成立するので0<R<2
この範囲のRについてaの範囲-R<a≦R-R^2の合併集合が求める範囲である
よって-2<a≦1/4より題意を満たす範囲はa≦-2または1/4<a
上記より0<R<2
円A, Bの接点をIとすると∠IEP=弧IP=π-2θ
よってEPのx軸正の方向からの偏角は3θ
↑OP=↑OE+↑EP=(3cosθ, 3sinθ)+(cos3θ, sin3θ)=(3cosθ+cos3θ, 3sinθ+sin3θ)
円A, Cの接点をJとすると∠JFQ=弧JQ=2θ
よってFQのx軸正の方向からの偏角はπ+θ
↑OQ=↑OF+↑FQ=(-cosθ, sinθ)+(-cosθ, -sinθ)=(-2cosθ, 0)
Pのx座標は3cosθ+cos3θ=2cosθ+2cos^3θ
Qは常に(-2, 0)と(2, 0)を結ぶ線分上にありPとはy軸を挟んで反対の象限に存在する（あるいは共にy軸上）
線分PQと円Aの交点をRとすると
PQ=PR+RQ≧RQ≧RO=2
両等号はθ=π/2のときに成立するのでPQの最小値は2 (θ=π/2)
PRは円B内（周を含む）の線分だからその長さの最大値は直径である2
RQは円A内（周を含む）の線分だからその長さの最大値は直径である4
よってPQ=PR+RQ≦2+4=6
等号はθ=0, πのときに成立するのでPQの最大値は6 (θ=0, π)
|x|<R → |x^2+a|<R
-R<x<R → -R<x^2+a<R
0≦x^2<R^2 → -R-a<x^2<R-a
-R-a<0, R^2≦R-a
-R<a≦R-R^2
あるRに対しこの命題が真となるaの範囲を求めると題意を満たすのはその補集合
あるRに対しこの命題が真となるならば-R<R-R^2が成立するので0<R<2
この範囲のRについてaの範囲-R<a≦R-R^2の合併集合が求める範囲である
よって-2<a≦1/4より題意を満たす範囲はa≦-2または1/4<a
上記より0<R<2
円A, Bの接点をIとすると∠IEP=弧IP=π-2θ
よってEPのx軸正の方向からの偏角は3θ
↑OP=↑OE+↑EP=(3cosθ, 3sinθ)+(cos3θ, sin3θ)=(3cosθ+cos3θ, 3sinθ+sin3θ)
円A, Cの接点をJとすると∠JFQ=弧JQ=2θ
よってFQのx軸正の方向からの偏角はπ+θ
↑OQ=↑OF+↑FQ=(-cosθ, sinθ)+(-cosθ, -sinθ)=(-2cosθ, 0)
Pのx座標は3cosθ+cos3θ=2cosθ+2cos^3θ
Qは常に(-2, 0)と(2, 0)を結ぶ線分上にありPとはy軸を挟んで反対の象限に存在する（あるいは共にy軸上）
線分PQと円Aの交点をRとすると
PQ=PR+RQ≧RQ≧RO=2
両等号はθ=π/2のときに成立するのでPQの最小値は2 (θ=π/2)
PRは円B内（周を含む）の線分だからその長さの最大値は直径である2
RQは円A内（周を含む）の線分だからその長さの最大値は直径である4
よってPQ=PR+RQ≦2+4=6
等号はθ=0, πのときに成立するのでPQの最大値は6 (θ=0, π)
827 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 14:54:04 ID:l1R0KC/t0
828 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 15:05:28 ID:l1R0KC/t0
830 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 15:19:45 ID:9WoLpqHp0
832 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 15:36:35 ID:l1R0KC/t0
834 ：大学への名無しさん：2009/03/14(土) 23:49:26 ID:zg73JD7lO
全鯖規制を食らった
>>830
愚問
>>831
それはお前のこと
どこをどう読んだらそんなとんちんかんなレスをするんだ
今は根の概念を解が含むから解が両義性を持って当然だろ
本来通りに根と解の概念を区別して理解すべきだが今の高校数学はそうではない(解が重なるとか言うように)
重解とは1つなのか2つなのか曖昧なのでどう処理するかは問題文に書くべきだ
(例えば異なる2つの解をもつなど)
ということだが
>>830
愚問
>>831
それはお前のこと
どこをどう読んだらそんなとんちんかんなレスをするんだ
今は根の概念を解が含むから解が両義性を持って当然だろ
本来通りに根と解の概念を区別して理解すべきだが今の高校数学はそうではない(解が重なるとか言うように)
重解とは1つなのか2つなのか曖昧なのでどう処理するかは問題文に書くべきだ
(例えば異なる2つの解をもつなど)
ということだが
835 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 02:29:41 ID:CAZSWihW0
836 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 02:52:07 ID:svMRo5yq0
中心A(a.b)、半径rの円上の点P(p.q)における接線の方程式って
公式は無いんですか?
公式は無いんですか?
837 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 02:53:54 ID:LsYjEMXsO
因みにその説明がないときは解は根を意味している場合が多い
だから質問者は昔なら正しかった
解に両義性を持たせると不便だが高校数学での解の定義が本来の根
(根と言うべきとこを解と言うし)なので仕方がない
(それでも重解の話は曖昧になってる気がする)
だから質問者は昔なら正しかった
解に両義性を持たせると不便だが高校数学での解の定義が本来の根
(根と言うべきとこを解と言うし)なので仕方がない
(それでも重解の話は曖昧になってる気がする)
>>836
求める接線は点P(p.q)を通って
直線の方向ベクトルがAP↑=(p-a.q-b)だから
そこから必要に応じて導出する形になってる。
綺麗な形にならないから公式化されないだけ。
特に中心が原点のときは方向ベクトルが(p.q)になるから
p(x-p)+q(y-q)=0 (ただしp^2+q^2=r^2)でこちらは綺麗だから
公式として紹介される
求める接線は点P(p.q)を通って
直線の方向ベクトルがAP↑=(p-a.q-b)だから
そこから必要に応じて導出する形になってる。
綺麗な形にならないから公式化されないだけ。
特に中心が原点のときは方向ベクトルが(p.q)になるから
p(x-p)+q(y-q)=0 (ただしp^2+q^2=r^2)でこちらは綺麗だから
公式として紹介される
839 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 03:07:22 ID:eXLDmRgU0
x^2+px+q=0の2つの実数解α,βが、|α|+|β|=2
を満たすとき、実数p,qの条件を求めよ
という問題を教えてください。
まず2つの実数解を持つので
D=(p-2q)(p+2q)>0
次に
解と係数の関係より
α+β=-p、αβ=q
条件より|α|+|β|=2≧|α+β=-p|なので
-2≦p≦2
というところまではいけたんですが・・・
を満たすとき、実数p,qの条件を求めよ
という問題を教えてください。
まず2つの実数解を持つので
D=(p-2q)(p+2q)>0
次に
解と係数の関係より
α+β=-p、αβ=q
条件より|α|+|β|=2≧|α+β=-p|なので
-2≦p≦2
というところまではいけたんですが・・・
840 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 03:46:55 ID:LsYjEMXsO
両辺が非負なので2乗しても同値性は保たれる
あとは実数解条件
あとは実数解条件
行列はとりあえず削除される予定だ。
賛否両論は確かにあるが
現課程でのあの内容なら、ばっさりと削除してしまったほうが良い
という賛成派の意見もある。
ただの四則演算（足し算・引き算・掛け算・割り算）で遊んでいるレヴェルだと
あとプログラミング側の主張もあったようだが
あまり声は通らなかったのか？
しかし（行列みたいに）削除されるよりはましかもしれない
賛否両論は確かにあるが
現課程でのあの内容なら、ばっさりと削除してしまったほうが良い
という賛成派の意見もある。
ただの四則演算（足し算・引き算・掛け算・割り算）で遊んでいるレヴェルだと
あとプログラミング側の主張もあったようだが
あまり声は通らなかったのか？
しかし（行列みたいに）削除されるよりはましかもしれない
842 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 07:39:01 ID:pnlTJu400
843 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 08:20:01 ID:pnlTJu400
>>839
α=βの重解の場合も考慮します
D=p^2-4q≧0すなわち4q≦p^2
x=(-p±√D)/2
-p+√D≦0のとき
すなわち√D≦p ⇔ D=p^2-4q≦p^2, p≧0 ⇔ p, q≧0のとき
α, β≦0なので2=|α|+|β|=-α-β=p
4q≦p^2=4よりq≦1
-p-√D≧0のとき
すなわち-p≧√D ⇔ p^2≧D=p^2-4q, -p≧0 ⇔ -p, q≧0のとき
α, β≧0なので2=|α|+|β|=α+β=-p
4q≦p^2=4よりq≦1
-p-√D<0<-p+√Dのとき
すなわち-√D<-p<√D ⇔ |-p|<√D ⇔ p^2<D=p^2-4q ⇔ q<0のとき
2=|α|+|β|=|(-p+√D)/2|+|(-p-√D)/2|=(-p+√D)/2+(p+√D)/2=√D
4=D=p^2-4q
以上をまとめると
p=±2, 0≦q≦1またはp^2-4q=4, q<0
y=x^2+px+qのグラフを考えy切片qの符号で場合分けすることもできます
q>0のとき
D=p^2-4q≧0
2解は同符号なので2=|α|+|β|=|α+β|=|p|
4q≦p^2=4よりq≦1
q=0のとき
解はx=0, 2もしくはx=0, -2
すなわちp=±2
q<0のとき
2解は異符号なので2=|α|+|β|=|α-β| ⇔ 4=(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ ⇔ 4=p^2-4q
以上をまとめると
p=±2, 0≦q≦1またはp^2-4q=4, q<0
α=βの重解の場合も考慮します
D=p^2-4q≧0すなわち4q≦p^2
x=(-p±√D)/2
-p+√D≦0のとき
すなわち√D≦p ⇔ D=p^2-4q≦p^2, p≧0 ⇔ p, q≧0のとき
α, β≦0なので2=|α|+|β|=-α-β=p
4q≦p^2=4よりq≦1
-p-√D≧0のとき
すなわち-p≧√D ⇔ p^2≧D=p^2-4q, -p≧0 ⇔ -p, q≧0のとき
α, β≧0なので2=|α|+|β|=α+β=-p
4q≦p^2=4よりq≦1
-p-√D<0<-p+√Dのとき
すなわち-√D<-p<√D ⇔ |-p|<√D ⇔ p^2<D=p^2-4q ⇔ q<0のとき
2=|α|+|β|=|(-p+√D)/2|+|(-p-√D)/2|=(-p+√D)/2+(p+√D)/2=√D
4=D=p^2-4q
以上をまとめると
p=±2, 0≦q≦1またはp^2-4q=4, q<0
y=x^2+px+qのグラフを考えy切片qの符号で場合分けすることもできます
q>0のとき
D=p^2-4q≧0
2解は同符号なので2=|α|+|β|=|α+β|=|p|
4q≦p^2=4よりq≦1
q=0のとき
解はx=0, 2もしくはx=0, -2
すなわちp=±2
q<0のとき
2解は異符号なので2=|α|+|β|=|α-β| ⇔ 4=(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ ⇔ 4=p^2-4q
以上をまとめると
p=±2, 0≦q≦1またはp^2-4q=4, q<0
844 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 08:26:17 ID:pnlTJu400
>>840
これがスマートですね
D=p^2-4q≧0
|α|+|β|=2
4=(|α|+|β|)^2=α^2+2|αβ|+β^2=(α+β)^2-2αβ+2|αβ|=p^2-2q+2|q|
q≧0のときp^2=4よりp=±2
4q≦p^2=4よりq≦1
q<0のときp^2-4q=4
これがスマートですね
D=p^2-4q≧0
|α|+|β|=2
4=(|α|+|β|)^2=α^2+2|αβ|+β^2=(α+β)^2-2αβ+2|αβ|=p^2-2q+2|q|
q≧0のときp^2=4よりp=±2
4q≦p^2=4よりq≦1
q<0のときp^2-4q=4
845 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 18:58:58 ID:0uV++0vy0
青チャート?｡CのP.299の行列Aについての問題なんですが
A^n=(HC定理で得られる等式)B+aA+bE
x^n=(xの2次式)Q(x)+ax+b
これらを結びつけてA^nを求める解法で、n≧2として最後にn=1を確かめるのはなぜですか？
最初からnをすべての自然数としてはいけないんですか？
A^n=(HC定理で得られる等式)B+aA+bE
x^n=(xの2次式)Q(x)+ax+b
これらを結びつけてA^nを求める解法で、n≧2として最後にn=1を確かめるのはなぜですか？
最初からnをすべての自然数としてはいけないんですか？
846 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 19:05:55 ID:0uV++0vy0
あともう１つ。
同じくP.300
A=√2X-Y , XY=YXが成り立つとき
A^n=(√2X-Y)^nとなり二項定理を用いる解法で、ここでもn≧2とn=1をわけて考えるのはなぜか教えてください。
同じような質問ですみません…
同じくP.300
A=√2X-Y , XY=YXが成り立つとき
A^n=(√2X-Y)^nとなり二項定理を用いる解法で、ここでもn≧2とn=1をわけて考えるのはなぜか教えてください。
同じような質問ですみません…
847 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 19:23:05 ID:pnlTJu400
848 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 19:41:18 ID:0uV++0vy0
>>847
>>846の方は二項定理を用いるとA^(n-1)が現れるのでn=1のときにA^0となって定義されていないもの(行列の場合はA^0=Eは成り立ちませんよね？)が出てくるせいかな、とか考えたんですが…
>>845の方は私が見る限りでは特にわける必要がなさそうなのですが、解答ではわけてあったので質問しました。
>>846の方は二項定理を用いるとA^(n-1)が現れるのでn=1のときにA^0となって定義されていないもの(行列の場合はA^0=Eは成り立ちませんよね？)が出てくるせいかな、とか考えたんですが…
>>845の方は私が見る限りでは特にわける必要がなさそうなのですが、解答ではわけてあったので質問しました。
849 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 19:51:57 ID:pnlTJu400
>>848
行列ではA^0=Eと定義します
行列ではA^0=Eと定義します
850 ：大学への名無しさん：2009/03/15(日) 20:15:17 ID:0uV++0vy0
ウソ教えるなよ
素数の概念を完全に忘れてしまいました
どなたか教えてくださると助かります
どなたか教えてくださると助かります
853 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 03:28:35 ID:3DTbJ7ruO
正の約数が自身と1の2つ。
だから1は素数でない。
だから1は素数でない。
854 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 04:27:22 ID:OxfMuV1aO
初歩的かも知れないのですが
『x→＋∞のとき(logx)÷x＝0』の証明の仕方教えてくだしあ
手持ちの参考書には載ってない臭いが…はさみうち使うのか…？
『x→＋∞のとき(logx)÷x＝0』の証明の仕方教えてくだしあ
手持ちの参考書には載ってない臭いが…はさみうち使うのか…？
855 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 05:13:43 ID:KL2lFYmBO
x→+∞のときlogx→∞、1/x→0
856 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 05:14:37 ID:KL2lFYmBO
はい、ミスしたースルーしてね
857 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 05:54:28 ID:Zzs4DtC10
>>854
t>1で考える
2t=t+t>t+1よりt/(t+1)>1/2
(e^(t+1)/(t+1))/(e^t/t)=e・t/(t+1)>e/2>1
nをn+1≦tn+2となる整数とすると
e^t/t>(e/2)^n・e^(t-n)/(t-n)≧(e/2)^n・e
（∵(e^t/t)'=e^t(t-1)/t^2>0よりt≧1で単調増加）
t→+∞とするとn→+∞なので
lim((e/2)^n・e)=+∞よりlim(e^t/t)=+∞
x→+∞においてt=log xとするとt→+∞
lim((log x)/x)=lim(t/e^t)=0
(log x)'=1/x→0
任意の自然数nに対し
log x-x/n
<log x-(x-1)/n
=∫[1,x](1/t-1/n)dt
=∫[1,n+1](1/t-1/n)dt+∫[n+1,x](1/t-1/n)dt
≦∫[1,n+1](1/t-1/n)dt+∫[n+1,x](1/(n+1)-1/n)dt
1/(n+1)-1/n=-1/(n(n+1))<0より
lim[x→+∞]∫[n+1,x](1/(n+1)-1/n)dt=-∞
よって
lim[x→+∞](log x-x/n)=-∞
これより十分大きなaにおいて
a<xではlog x-x/n<-1が成立する
(log x)/x-1/n<-1/x<0
(log x)/x<1/n
すなわち任意の自然数nに対し
十分大きなxでは常に0<(log x)/x<1/nとなるので
lim[x→+∞](log x)/x=0
t>1で考える
2t=t+t>t+1よりt/(t+1)>1/2
(e^(t+1)/(t+1))/(e^t/t)=e・t/(t+1)>e/2>1
nをn+1≦tn+2となる整数とすると
e^t/t>(e/2)^n・e^(t-n)/(t-n)≧(e/2)^n・e
（∵(e^t/t)'=e^t(t-1)/t^2>0よりt≧1で単調増加）
t→+∞とするとn→+∞なので
lim((e/2)^n・e)=+∞よりlim(e^t/t)=+∞
x→+∞においてt=log xとするとt→+∞
lim((log x)/x)=lim(t/e^t)=0
(log x)'=1/x→0
任意の自然数nに対し
log x-x/n
<log x-(x-1)/n
=∫[1,x](1/t-1/n)dt
=∫[1,n+1](1/t-1/n)dt+∫[n+1,x](1/t-1/n)dt
≦∫[1,n+1](1/t-1/n)dt+∫[n+1,x](1/(n+1)-1/n)dt
1/(n+1)-1/n=-1/(n(n+1))<0より
lim[x→+∞]∫[n+1,x](1/(n+1)-1/n)dt=-∞
よって
lim[x→+∞](log x-x/n)=-∞
これより十分大きなaにおいて
a<xではlog x-x/n<-1が成立する
(log x)/x-1/n<-1/x<0
(log x)/x<1/n
すなわち任意の自然数nに対し
十分大きなxでは常に0<(log x)/x<1/nとなるので
lim[x→+∞](log x)/x=0
858 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 06:11:01 ID:Zzs4DtC10
>>854
t>0において
(e^t-t)'=e^t-1>0より単調増加
e^t-t>e^0-0>0
e^t>t
e^(2t)=(e^t)^2>t^2
e^t>(t/2)^2
e^t/t>t/4より
lim[t→+∞]e^t/t=+∞
以下同様
t>0において
(e^t-t)'=e^t-1>0より単調増加
e^t-t>e^0-0>0
e^t>t
e^(2t)=(e^t)^2>t^2
e^t>(t/2)^2
e^t/t>t/4より
lim[t→+∞]e^t/t=+∞
以下同様
859 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 06:19:13 ID:Zzs4DtC10
>>854
(x-log x)'=1-1/x=0となるのはx=1
(x-log x)''=1/x^2>0よりx=1で極小
x-log x≧1-log1=1>0
x>log x
2x>log x^2
2√x>log x
2/√x>(log x)/x>0
lim[x→+∞](log x)/x=0
(x-log x)'=1-1/x=0となるのはx=1
(x-log x)''=1/x^2>0よりx=1で極小
x-log x≧1-log1=1>0
x>log x
2x>log x^2
2√x>log x
2/√x>(log x)/x>0
lim[x→+∞](log x)/x=0
860 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 06:26:34 ID:Zzs4DtC10
>>850
問題と解答を見ていませんがその問題でもおそらく成り立っているのでは？
問題と解答を見ていませんがその問題でもおそらく成り立っているのでは？
861 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 07:01:38 ID:kQuQFyL6O
ロピタればおｋ
862 ：大学への名無しさん：2009/03/16(月) 13:14:40 ID:OxfMuV1aO
863 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 05:55:06 ID:132YdTbTO
状態遷移図を使った確率の問題の解き方を詳しく解説している参考書を教えて下さい
気になって夜も眠れません
気になって夜も眠れません
864 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 11:53:07 ID:QSauHEIc0
一辺１０の正方形に半径１０の四分円と半径５の円がすっぽり納まっている。
このとき曲線で囲まれた小さいほうの面積を求めよ。
この問題の解き方を教えてください
このとき曲線で囲まれた小さいほうの面積を求めよ。
この問題の解き方を教えてください
865 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 11:56:12 ID:b4KMyt/a0
>>864
どう納まってますか？
どう納まってますか？
866 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 12:07:29 ID:QSauHEIc0
座標で表すとx>0,y>0,x=10,y=10,x^2+y^2=100,(x-5)^2+(y-5)^2=25に成ります
868 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 12:10:59 ID:QSauHEIc0
869 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 15:33:44 ID:NzDPUVlyO
とあるﾊﾞｲﾄの入社試験
同じ文字を３つ以上続けて並べてはいけない
Ａが３つ Ｂが３つ
なら何通り並べれるか？
Ａが４つ Ｂが４つ
なら何通り並べれるか？
14と51じゃ間違い？
同じ文字を３つ以上続けて並べてはいけない
Ａが３つ Ｂが３つ
なら何通り並べれるか？
Ａが４つ Ｂが４つ
なら何通り並べれるか？
14と51じゃ間違い？
870 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 18:31:18 ID:b4KMyt/a0
ものすごいレベルの低い質問でごめん。
高校卒業から勉強なんて何年もしてなくて
参考書も家に残ってないから、ここが最後の希望なんだ･･････
二次関数y=-x^2-4x+5の最大値・最小値と、x軸の交点のx座標を求める問題なんだけど
因数分解して、(-x+1)(x+5)にするところまでは覚えてるんだけど
このあとの計算方法がさっぱりわからない･･････
高校卒業から勉強なんて何年もしてなくて
参考書も家に残ってないから、ここが最後の希望なんだ･･････
二次関数y=-x^2-4x+5の最大値・最小値と、x軸の交点のx座標を求める問題なんだけど
因数分解して、(-x+1)(x+5)にするところまでは覚えてるんだけど
このあとの計算方法がさっぱりわからない･･････
>>871
参考書くらい買えよな。
お前さんには必要なものだろ？
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6I_%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0
参考書くらい買えよな。
お前さんには必要なものだろ？
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6I_%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0
873 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 18:53:08 ID:b4KMyt/a0
>>871
因数分解はしない平方式を作る。
因数分解はしない平方式を作る。
ごめん、「しない」と「平方式」の間に「。」を入れて読んでくれ。
「差」ということばについて質問なんですが
（大きいほうの数）－（小さいほうの数）＝差
なんですか？
例えば２と５の差といったら
２－５ではなく、５－２じゃないとだめですか？
ｘとｙの二数の大小がわかっていない場合、差は求められませんか？
差は二数間でなくとも求められますか？
１と２と３の和は６ですが
１と２と３の差はどうなんでしょうか。
よろしくおねがいします。
（大きいほうの数）－（小さいほうの数）＝差
なんですか？
例えば２と５の差といったら
２－５ではなく、５－２じゃないとだめですか？
ｘとｙの二数の大小がわかっていない場合、差は求められませんか？
差は二数間でなくとも求められますか？
１と２と３の和は６ですが
１と２と３の差はどうなんでしょうか。
よろしくおねがいします。
>>876
数学板とマルチ
数学板とマルチ
>>874
平方式ってたしか(x+a)^2みたいな形にするやつだよね？
最初に式全体に-を掛けて-y=x^2+4x-5
これを平方式にすると、-y=(x+2)-9になるのかな？
･･････とか考えながら>>872見たら、予想外に複雑な式が書いてあって絶望した。
明日の試験に間に合うだろうかorz
平方式ってたしか(x+a)^2みたいな形にするやつだよね？
最初に式全体に-を掛けて-y=x^2+4x-5
これを平方式にすると、-y=(x+2)-9になるのかな？
･･････とか考えながら>>872見たら、予想外に複雑な式が書いてあって絶望した。
明日の試験に間に合うだろうかorz
質問です。
よろしくお願いします。
[問題]
０≦ｘ≦πのとき、次の方程式を解け。
sinｘ＋sin２ｘ＋sin３ｘ＝cosｘ＋cos２ｘ＋cos３ｘ
よろしくお願いします。
[問題]
０≦ｘ≦πのとき、次の方程式を解け。
sinｘ＋sin２ｘ＋sin３ｘ＝cosｘ＋cos２ｘ＋cos３ｘ
881 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 19:58:29 ID:W83hVGJZ0
>>876
「差｣とは「2つの数または式」を引き算した結果の事。
よって｢1と2と3の差｣のように複数のものについては「差」は定義されない。
また「差」とはあくまでも引き算の結果なので、2数の大小関係は問わない。
例に出されてるように、
「2と5の差」と言ったら「2－5｣で得られる「－3」と、｢5－2」で得られる「3｣
の2つの「差」が存在することになる。
どちらの「差」を言いたいのか誤解されないように、
「2から5を引いた差」という様に表現した方がよい。このように表現した場合は「－3」の方を指す。
また、2数の大小関係が分からない場合は、場合分けを行う必要があるが、
2つの「差」のうち、大きい方から小さい方を引いた「差」だけが欲しい時は、
｜ｘ－ｙ｜のように絶対値記号を用いて表現すればよい。
「差｣とは「2つの数または式」を引き算した結果の事。
よって｢1と2と3の差｣のように複数のものについては「差」は定義されない。
また「差」とはあくまでも引き算の結果なので、2数の大小関係は問わない。
例に出されてるように、
「2と5の差」と言ったら「2－5｣で得られる「－3」と、｢5－2」で得られる「3｣
の2つの「差」が存在することになる。
どちらの「差」を言いたいのか誤解されないように、
「2から5を引いた差」という様に表現した方がよい。このように表現した場合は「－3」の方を指す。
また、2数の大小関係が分からない場合は、場合分けを行う必要があるが、
2つの「差」のうち、大きい方から小さい方を引いた「差」だけが欲しい時は、
｜ｘ－ｙ｜のように絶対値記号を用いて表現すればよい。
882 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 21:11:06 ID:hkFKpX7YO
>>881
詳しくありがとうございます。
だいたいわかりました。
問題集で、
連続する３つの整数があり、真ん中の数の平方は、他の２つの平方の差より５大きい。
この連続する３つの数はなんですか？
という問題があり、解説解答で、大きいほうから小さいほうを引いていたので、
特に記されていない限り、大きいほうから小さいほうを引けばいいのですよね。
>>877
数学板ではスルーされて次の質問に答えられていたので
不快に思ったらすみません
詳しくありがとうございます。
だいたいわかりました。
問題集で、
連続する３つの整数があり、真ん中の数の平方は、他の２つの平方の差より５大きい。
この連続する３つの数はなんですか？
という問題があり、解説解答で、大きいほうから小さいほうを引いていたので、
特に記されていない限り、大きいほうから小さいほうを引けばいいのですよね。
>>877
数学板ではスルーされて次の質問に答えられていたので
不快に思ったらすみません
883 ：大学への名無しさん：2009/03/17(火) 21:11:11 ID:b4KMyt/a0
>>879
sin x+sin2x+sin3x=cos x+cos2x+cos3x
sin(2x-x)+sin2x+sin(2x+x)=cos(2x-x)+cos2x+cos(2x+x)
sin2xcos x-cos2xsin x+sin2x+sin2xcos x+cos2xsin x=cos2xcos x+sin2xsin x+cos2x+cos2xcos x-sin2xsin x
sin2x(2cos x+1)=cos2x(2cos x+1)
(sin2x-cos2x)(2cos x+1)=0
sin2x=cos2x
2x=π/4, 5π/4
x=π/8, 5π/8
2cos x+1=0
x=2π/3
sin x+sin2x+sin3x=cos x+cos2x+cos3x
sin(2x-x)+sin2x+sin(2x+x)=cos(2x-x)+cos2x+cos(2x+x)
sin2xcos x-cos2xsin x+sin2x+sin2xcos x+cos2xsin x=cos2xcos x+sin2xsin x+cos2x+cos2xcos x-sin2xsin x
sin2x(2cos x+1)=cos2x(2cos x+1)
(sin2x-cos2x)(2cos x+1)=0
sin2x=cos2x
2x=π/4, 5π/4
x=π/8, 5π/8
2cos x+1=0
x=2π/3
>>880
ありがとう。
最後にもうちょっとだけこのスレに甘えさせて欲しいんだけど
-(x+2)^2+9の場合って
頂点は(-2.9)でいいの？
それとも最初の-も掛けて(2.9)？
それと最大値は9で良いのかな？
ありがとう。
最後にもうちょっとだけこのスレに甘えさせて欲しいんだけど
-(x+2)^2+9の場合って
頂点は(-2.9)でいいの？
それとも最初の-も掛けて(2.9)？
それと最大値は9で良いのかな？
>>884
x＝-2のときのyを出す
x＝-1.5のときのyを出す
x＝-1のときのyを出す
…
x＝2のときのyを出す
0.5刻みでy出してグラフにプロットしてみれ。
グラフを描いたことないから式の意味が取れんのだと思う。
x＝-2のときのyを出す
x＝-1.5のときのyを出す
x＝-1のときのyを出す
…
x＝2のときのyを出す
0.5刻みでy出してグラフにプロットしてみれ。
グラフを描いたことないから式の意味が取れんのだと思う。
何度もありがとうございました。
今、試験から帰ってきましたが、二次関数は一切出ませんでした･･････
こりゃ落ちたなorz
今、試験から帰ってきましたが、二次関数は一切出ませんでした･･････
こりゃ落ちたなorz
888 ：866：2009/03/18(水) 13:09:29 ID:TxrkaEs80
889 ：大学への名無しさん：2009/03/18(水) 14:47:20 ID:UVA+zbNE0
－6a２乗 b２乗 c ＋ 2a３乗 b c ＋ 4a２乗 b c２乗
次数の高い方に整理って書いてあって上記のように書いてあったんですが、なんで上のようになるんですか？次数はどれも同じじゃないんですか？
次数の高い方に整理って書いてあって上記のように書いてあったんですが、なんで上のようになるんですか？次数はどれも同じじゃないんですか？
891 ：大学への名無しさん：2009/03/18(水) 16:03:58 ID:QXBU/nfEO
相異なる実数x,y,zが
x(1-y)＝y(1-z)＝z(1-x)を満たしている
この式の値を求めよ
という問題で(与式)＝kとおいて立式したんですが、その後につまってます
宜しくお願いします
x(1-y)＝y(1-z)＝z(1-x)を満たしている
この式の値を求めよ
という問題で(与式)＝kとおいて立式したんですが、その後につまってます
宜しくお願いします
すいませんm(__)m
2a３乗bcと 4a２乗bc２乗が次数は同じじゃないんですかってことですm(__)m
2a３乗bcと 4a２乗bc２乗が次数は同じじゃないんですかってことですm(__)m
xのn次関数y=f(x)が（ただしn>1）点(t,f(t))で接線y=ax+bをもつ(aは0ではない)⇔f(t)-(ax+b)=g(x)(x-α)^m (ただし、g(x)はn-2次以下の関数、m>1)
となるのはなぜか、お願いします
となるのはなぜか、お願いします
>>893
y=h(x)とy=0がx=tで接する
⇔xの方程式h(x)＝0がx＝tを2重解に持つ
⇔h(x)＝0が(x-t)^2を因数にもつ
⇔h(x)＝I(x)(x-t)^2となるI(x)が存在する
一般に
y=f(x)が（ただしn>1なるn次関数）点(t,f(t))で接線y=ax+bをもつ
⇔xの方程式f(x)-(ax+b)=0がx=tでm重解を持つ
⇔f(x)-(ax+b)=0が(x－t)^mを因数に持つ
⇔f(x)-(ax+b)=g(x)(x－t)^mとなるb-2次以下の関数g(x)が存在する。
>f(t)-(ax+b)=g(x)(x-α)^m
tがf(x)だけに入っていたりなにかおかしい。
y=h(x)とy=0がx=tで接する
⇔xの方程式h(x)＝0がx＝tを2重解に持つ
⇔h(x)＝0が(x-t)^2を因数にもつ
⇔h(x)＝I(x)(x-t)^2となるI(x)が存在する
一般に
y=f(x)が（ただしn>1なるn次関数）点(t,f(t))で接線y=ax+bをもつ
⇔xの方程式f(x)-(ax+b)=0がx=tでm重解を持つ
⇔f(x)-(ax+b)=0が(x－t)^mを因数に持つ
⇔f(x)-(ax+b)=g(x)(x－t)^mとなるb-2次以下の関数g(x)が存在する。
>f(t)-(ax+b)=g(x)(x-α)^m
tがf(x)だけに入っていたりなにかおかしい。
>>894
y=f(x)が（ただしn>1なるn次関数）点(t,f(t))で接線y=ax+bをもつ
⇔xの方程式f(x)-(ax+b)=0がx=tでm重解を持つ
なぜ重解を持つとわかるのでしょうか？
あとf(t)-(ax+b)=g(x)(x-t)^mはf(x)-(ax+b)=g(x)(x-t)^mの間違いです
y=f(x)が（ただしn>1なるn次関数）点(t,f(t))で接線y=ax+bをもつ
⇔xの方程式f(x)-(ax+b)=0がx=tでm重解を持つ
なぜ重解を持つとわかるのでしょうか？
あとf(t)-(ax+b)=g(x)(x-t)^mはf(x)-(ax+b)=g(x)(x-t)^mの間違いです
接しているから。
897 ：大学への名無しさん：2009/03/18(水) 19:14:04 ID:UVA+zbNE0
>>893
n次関数y=f(x)がx=aでx軸に接する
⇔f(a)=0, f'(a)=0
f(a)=0⇔f(x)=g(x)(x-a)
f'(x)=g'(x)(x-a)+g(x)より
f'(a)=0⇔g(a)=0⇔g(x)=h(x)(x-a)
よって
n次関数y=f(x)がx=aでx軸に接する
⇔f(x)=h(x)(x-a)^2
h(x)が(x-a)でさらに割り切れる可能性があるので
f(x)=k(x)(x-a)^m, m≧2と表せる
n次関数y=f(x)がx=aでx軸に接する
⇔f(a)=0, f'(a)=0
f(a)=0⇔f(x)=g(x)(x-a)
f'(x)=g'(x)(x-a)+g(x)より
f'(a)=0⇔g(a)=0⇔g(x)=h(x)(x-a)
よって
n次関数y=f(x)がx=aでx軸に接する
⇔f(x)=h(x)(x-a)^2
h(x)が(x-a)でさらに割り切れる可能性があるので
f(x)=k(x)(x-a)^m, m≧2と表せる
898 ：大学への名無しさん：2009/03/18(水) 19:21:35 ID:UVA+zbNE0
>>892
a, b, cの重みを同じとするとa^3bc, a^2b^2c, a^2bc^2はいずれも5次で同じです
a, b, cの重みに差を付けて辞書式順序で考えるとaaabc>aabbc>aabccとなりますので
高い順に整理するとするなら2a^3bc-6a^2b^2c+4a^2bc^2でしょう
a, b, cの重みを同じとするとa^3bc, a^2b^2c, a^2bc^2はいずれも5次で同じです
a, b, cの重みに差を付けて辞書式順序で考えるとaaabc>aabbc>aabccとなりますので
高い順に整理するとするなら2a^3bc-6a^2b^2c+4a^2bc^2でしょう
899 ：大学への名無しさん：2009/03/18(水) 19:36:46 ID:UVA+zbNE0
>>891
x(1-y)=y(1-z)=z(1-x)=k
k=0のとき
x=0とするとz=0, y=0でx=y=z=0となり不適
y=1とするとz=1, x=1でx=y=z=1となり不適
k≠0ならば
x, y, z≠0, 1
1-y=k/x, z=k/(1-x)
(1-k/x)(1-k/(1-x))=k
(x-k)(1-x-k)=kx(1-x)
kx^2-x^2-kx+x+k^2-k=0
(k-1)(x^2-x+k)=0
k=1, x(1-x)
k=1のときx=2, y=1/2, z=-1で成立
k=x(1-x)のときy=x=zとなり不適
x(1-y)=y(1-z)=z(1-x)=k
k=0のとき
x=0とするとz=0, y=0でx=y=z=0となり不適
y=1とするとz=1, x=1でx=y=z=1となり不適
k≠0ならば
x, y, z≠0, 1
1-y=k/x, z=k/(1-x)
(1-k/x)(1-k/(1-x))=k
(x-k)(1-x-k)=kx(1-x)
kx^2-x^2-kx+x+k^2-k=0
(k-1)(x^2-x+k)=0
k=1, x(1-x)
k=1のときx=2, y=1/2, z=-1で成立
k=x(1-x)のときy=x=zとなり不適
Σ(n=1→∞) {(1/2)^n}sin(nπ/3)の値を求めよ
という問題はどう解けばよいでしょうか?
解答は√3/3になっています。解説は省略されてます・・・
という問題はどう解けばよいでしょうか?
解答は√3/3になっています。解説は省略されてます・・・
>>903
実験してみるとsin(nπ/3)の値はnの値によって-√3/2.0.√3/2と巡回していて
{(1/2)^n}sin(nπ/3)=anとでもすれば
a_n+3=(-1/8)a_nという関係式が見つかるはず。
そこで第n部分和をSnとして
Sn=(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...)
と計算するのが筋が良いわけだけど
(a1+a4+a7+...a_n)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...)
(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...a_n)+(a3+a6+a9+...)
(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...a_n)
というようにnがどこにいるのかわからないので分類がいる。
n=3mのとき、n=3m+1のとき、n=3m+2のときの部分和を計算して
それが√3/3に全部収束することが言えればそれが答え。
3項ごと加えるのが見通しが良いということがわかれば
Σ(n=1 to ∞)a_n
=Σ(m=0 to ∞){a_3m+1+a_3m+2+a_3m+3}
あとは、Σa_3m+1.Σa_3m+2.Σa_3m+3.が和を持つことを示して
級数の線形性からばらしてやってもいい
Σ(n=1 to ∞)a_n
=Σ(m=0 to ∞){a_3m+1+a_3m+2+a_3m+3}
=Σ(m=0 to ∞)a_3m+1+Σ(m=0 to ∞)a_3m+2+Σ(m=0 to ∞)a_3m+3
を計算するという方針も取れる。
sin和ということでド・モアブルの定理で虚部に着目という手もあるかな
実験してみるとsin(nπ/3)の値はnの値によって-√3/2.0.√3/2と巡回していて
{(1/2)^n}sin(nπ/3)=anとでもすれば
a_n+3=(-1/8)a_nという関係式が見つかるはず。
そこで第n部分和をSnとして
Sn=(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...)
と計算するのが筋が良いわけだけど
(a1+a4+a7+...a_n)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...)
(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...a_n)+(a3+a6+a9+...)
(a1+a4+a7+...)+(a2+a5+a8+...)+(a3+a6+a9+...a_n)
というようにnがどこにいるのかわからないので分類がいる。
n=3mのとき、n=3m+1のとき、n=3m+2のときの部分和を計算して
それが√3/3に全部収束することが言えればそれが答え。
3項ごと加えるのが見通しが良いということがわかれば
Σ(n=1 to ∞)a_n
=Σ(m=0 to ∞){a_3m+1+a_3m+2+a_3m+3}
あとは、Σa_3m+1.Σa_3m+2.Σa_3m+3.が和を持つことを示して
級数の線形性からばらしてやってもいい
Σ(n=1 to ∞)a_n
=Σ(m=0 to ∞){a_3m+1+a_3m+2+a_3m+3}
=Σ(m=0 to ∞)a_3m+1+Σ(m=0 to ∞)a_3m+2+Σ(m=0 to ∞)a_3m+3
を計算するという方針も取れる。
sin和ということでド・モアブルの定理で虚部に着目という手もあるかな
906 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 09:23:37 ID:jDERaX+r0
>>905
接点が同じで接線の傾きが同じということです
接点が同じで接線の傾きが同じということです
a[n+1]=(2a[n]+1)/(a[n]+2)、a[1]=3
この漸化式の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。
この漸化式の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。
909 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 20:29:44 ID:Ljb+DkCC0
910 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 22:13:54 ID:lN4s6EDx0
お願いします
[問題]
(1) u ＝ {(e^t)－(e^-1)}／2 とおくとき、tをuの式であらわし、不定積分∫(u^2 + 1)^(1/2)du を求めよ。
(2) a>0 のとき、曲線 x=a(cosθ)^4 、 y=a(sinθ)^4 （0≦θ≦π/2）の長さを求めよ。
(1)は ｔ ＝ log { u +(u^2 + 1)^(1/2)}、
∫{ (u^2 + 1)^(1/2)}du ＝ (1/2)u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + (1/2)log{ u + (u^2 + 1)^(1/2)} + C
ここまではわかるのですが
(2)において、長さの公式ｌ ＝ ∫{(dx/dθ)^2 + (dy/dx)^2}^(1/2) dθ (積分区間 0 → π/2)に
(dx/dθ)＝-a*(1+cos2θ*)sin2θ、(dy/dθ)＝a*(1 - cos2θ*)sin2θを代入して
u ＝ cos2θとおくと、
ｌ ＝ ∫{-(1/2)*(2 a^2)^(1/2)}*(u^2 + 1)^(1/2) du (積分区間 1 → -1)
＝ ∫a{( 2)^(1/2)}*(u^2 + 1)^(1/2) du (積分区間 0 → 1) ← ★
ここの式の変形がわかりません
積分区間が0→1と-1→0とでは値が変わってしまうのですが、区間を半分にして２倍してしまってもよいものなのでしょうか？
[問題]
(1) u ＝ {(e^t)－(e^-1)}／2 とおくとき、tをuの式であらわし、不定積分∫(u^2 + 1)^(1/2)du を求めよ。
(2) a>0 のとき、曲線 x=a(cosθ)^4 、 y=a(sinθ)^4 （0≦θ≦π/2）の長さを求めよ。
(1)は ｔ ＝ log { u +(u^2 + 1)^(1/2)}、
∫{ (u^2 + 1)^(1/2)}du ＝ (1/2)u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + (1/2)log{ u + (u^2 + 1)^(1/2)} + C
ここまではわかるのですが
(2)において、長さの公式ｌ ＝ ∫{(dx/dθ)^2 + (dy/dx)^2}^(1/2) dθ (積分区間 0 → π/2)に
(dx/dθ)＝-a*(1+cos2θ*)sin2θ、(dy/dθ)＝a*(1 - cos2θ*)sin2θを代入して
u ＝ cos2θとおくと、
ｌ ＝ ∫{-(1/2)*(2 a^2)^(1/2)}*(u^2 + 1)^(1/2) du (積分区間 1 → -1)
＝ ∫a{( 2)^(1/2)}*(u^2 + 1)^(1/2) du (積分区間 0 → 1) ← ★
ここの式の変形がわかりません
積分区間が0→1と-1→0とでは値が変わってしまうのですが、区間を半分にして２倍してしまってもよいものなのでしょうか？
>>891
数学板でほぼ同じ質問が上がっていたが、そっちでは「そのときの
x,y,zの条件を求めよ」もくっついてるので>>899だと完結してないことになる。
「式の値を求めよ」だけなら必要条件で攻めて、実際にｋ=1で成立する
値を一つ見つければOKなのでそれがなされている。一方、条件まで
求められているなら、一般論で示してやる必要があることになるが、
実はx,y,zは一意には定まらない。たとえば(x,y,z)=(3,2/3,-1/2)でも成立する。
与えられた式の値が1になるとき、
x(1-y)=1になるので 1-y=1/x、同様に1-z=1/y、1-x=1/z
ここでx=p(ただしpは1,0以外の実数）とおいてやると
1-y=1/p より y=1-1/p = (p-1)/p
z=1/(1-x)= 1/(1-p)
の形で問題なく表せたことになる。
このとき確かに
1-z= 1-(1/(1-p)) = -p/(1-p) = p/(p-1) = 1/y
になっている。上記の(x,y,z)の組はp=3とした場合の値。
数学板でほぼ同じ質問が上がっていたが、そっちでは「そのときの
x,y,zの条件を求めよ」もくっついてるので>>899だと完結してないことになる。
「式の値を求めよ」だけなら必要条件で攻めて、実際にｋ=1で成立する
値を一つ見つければOKなのでそれがなされている。一方、条件まで
求められているなら、一般論で示してやる必要があることになるが、
実はx,y,zは一意には定まらない。たとえば(x,y,z)=(3,2/3,-1/2)でも成立する。
与えられた式の値が1になるとき、
x(1-y)=1になるので 1-y=1/x、同様に1-z=1/y、1-x=1/z
ここでx=p(ただしpは1,0以外の実数）とおいてやると
1-y=1/p より y=1-1/p = (p-1)/p
z=1/(1-x)= 1/(1-p)
の形で問題なく表せたことになる。
このとき確かに
1-z= 1-(1/(1-p)) = -p/(1-p) = p/(p-1) = 1/y
になっている。上記の(x,y,z)の組はp=3とした場合の値。
数Ａ白チャの質問なんですが、
２桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる数はいくつあるか？
って題問なんですが、｢２桁の自然数｣なので10～99までで全体が99-10=89
奇数を求めて25
89-25=64って求めたんですが、解説みると99-10に+1が加えられてるんです
なので、正しくは(99-10+1)-25=65なんですが、この+1ってなんですか？どこから出てきた1ですか？
２桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる数はいくつあるか？
って題問なんですが、｢２桁の自然数｣なので10～99までで全体が99-10=89
奇数を求めて25
89-25=64って求めたんですが、解説みると99-10に+1が加えられてるんです
なので、正しくは(99-10+1)-25=65なんですが、この+1ってなんですか？どこから出てきた1ですか？
913 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 23:22:49 ID:X250haAM0
914 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 23:27:02 ID:pQd6njD8O
10から99までちょっと自分で数えてみなされ
まあ小さくして5から9でもいいや
全部で何個あった？下の5から9は9-5で4個しかなかったか？
んなことはないだろう
5個あったはずだ
実際自分で数えてみれば1の存在に気づくよ
数学は何も見える数字ばかり見ていちゃ上達しないよ
参考1～9
。。。。・・・・
。=1～4
・=5～9
まあ小さくして5から9でもいいや
全部で何個あった？下の5から9は9-5で4個しかなかったか？
んなことはないだろう
5個あったはずだ
実際自分で数えてみれば1の存在に気づくよ
数学は何も見える数字ばかり見ていちゃ上達しないよ
参考1～9
。。。。・・・・
。=1～4
・=5～9
915 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 23:28:01 ID:pQd6njD8O
というかこれは数学でもなんでもない
国語だなちょっと考えれば小学生でもわかるよ
国語だなちょっと考えれば小学生でもわかるよ
917 ：大学への名無しさん：2009/03/19(木) 23:29:50 ID:Ljb+DkCC0
>>910
偶関数にしか見えんが
偶関数にしか見えんが
919 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 00:09:45 ID:kjQ3dojm0
>>907
行列A=(2,1;1,2)を対角化すると
P=(1,-1;1,1)によってP^(-1)AP=(3,0;0,1) なので
b[n]=(a[n]-1)/(a[n]+1)とすると
b[n+1]=(a[n+1]-1)/(a[n+1]+1)=((2a[n]+1)-(a[n]+2))/((2a[n]+1)+(a[n]+2))=(a[n]-1)/(3a[n]+3)=(1/3)(a[n]-1)/(a[n]+1)=(1/3)b[n]
よって
b[n]=(1/3)^(n-1)b[1]=(1/3)^(n-1)(3-1)/(3+1)=(1/2)(1/3)^(n-1)
P^(-1)=(1/2)(1,1;-1,1)より
a[n]=(b[n]+1)/(-b[n]+1)=(2・3^(n-1)+1)/(2・3^(n-1)-1)
行列A=(2,1;1,2)を対角化すると
P=(1,-1;1,1)によってP^(-1)AP=(3,0;0,1) なので
b[n]=(a[n]-1)/(a[n]+1)とすると
b[n+1]=(a[n+1]-1)/(a[n+1]+1)=((2a[n]+1)-(a[n]+2))/((2a[n]+1)+(a[n]+2))=(a[n]-1)/(3a[n]+3)=(1/3)(a[n]-1)/(a[n]+1)=(1/3)b[n]
よって
b[n]=(1/3)^(n-1)b[1]=(1/3)^(n-1)(3-1)/(3+1)=(1/2)(1/3)^(n-1)
P^(-1)=(1/2)(1,1;-1,1)より
a[n]=(b[n]+1)/(-b[n]+1)=(2・3^(n-1)+1)/(2・3^(n-1)-1)
920 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 00:16:57 ID:IhN51IWR0
921 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 00:34:23 ID:TXazdsnEO
>>920
普通にってのがわかんないから聞いてるんだろ
つかやってみ。たぶんできないから。たぶん簡単なパターンと勘違いしてるよ。
言っとくけど>>909のやり方じゃできないよ
>>919のやり方も回りくどいけど
普通にってのがわかんないから聞いてるんだろ
つかやってみ。たぶんできないから。たぶん簡単なパターンと勘違いしてるよ。
言っとくけど>>909のやり方じゃできないよ
>>919のやり方も回りくどいけど
922 ：910：2009/03/20(金) 00:46:18 ID:d8toVCPc0
>>917
(1/4)*{a*2^(1/2)}*[ u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + log { u + (u^2 + 1)^(1/2)} } ]（区間-1 → 1）
↑これと ↓これを比較した場合
(1/2)*{a*2^(1/2)}*[ u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + log { u + (u^2 + 1)^(1/2)} } ]（区間 0 → 1）
logの{ }内は、
u=-1 の場合、log{-1+2^(1/2)}
u= 0 の場合、log{1}
u= 1 の場合、log{ 1+2^(1/2)}
となって(-1→1)の場合と(0→1)*2の場合とでは結果が変わってしまうんです
(1/4)*{a*2^(1/2)}*[ u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + log { u + (u^2 + 1)^(1/2)} } ]（区間-1 → 1）
↑これと ↓これを比較した場合
(1/2)*{a*2^(1/2)}*[ u{ (u^2 + 1)^(1/2)} + log { u + (u^2 + 1)^(1/2)} } ]（区間 0 → 1）
logの{ }内は、
u=-1 の場合、log{-1+2^(1/2)}
u= 0 の場合、log{1}
u= 1 の場合、log{ 1+2^(1/2)}
となって(-1→1)の場合と(0→1)*2の場合とでは結果が変わってしまうんです
923 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 00:48:09 ID:IhN51IWR0
924 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 01:00:09 ID:kjQ3dojm0
>>910
2ue^t=(e^t)^2-1
(e^t)^2-2ue^t-1=0
e^t=u±√(u^2+1)>0
t=loge^t=log(u+√(u^2+1))
√(u^2+1)=e^t-u=(e^t+e^(-t))/2
du=(e^t+e^(-t))/2dt
∫√(u^2+1)du=∫(e^t+e^(-t))^2/4dt=(1/4)((1/2)e^(2t)+2t-(1/2)e^(-2t))=(1/8)((e^t-e^(-t))(e^t+e^(-t))+4t)=(1/8)(2u・2√(u^2+1)+4log(u+√(u^2+1)))=(1/2)(u√(u^2+1)+log(u+√(u^2+1)))
∫[0,π/2]√((-4cos^3θsinθ)^2+(4sin^3θcosθ)^2)dθ
=∫[0,π/2]4sinθcosθ√(cos^4θ+sin^4θ)dθ
=∫[0,π/2]4sinθcosθ√(((cos^2θ+sin^2θ)^2+(cos^2θ-sin^2θ)^2)/2)dθ
=∫[0,π/2](√2)sin2θ√(1+cos^2(2θ))dθ
=∫[1,-1](-1/√2)√(1+u^2)du
=∫[-1,1](1/√2)√(1+u^2)du
=2∫[0,1](1/√2)√(1+u^2)du （∵√(1+u^2)は偶関数）
=√2∫[0,1]√(1+u^2)du
=√2[(1/2)(u√(u^2+1)+log(u+√(u^2+1)))][0,1]
=(1/√2)(√2+log(1+√2))
2ue^t=(e^t)^2-1
(e^t)^2-2ue^t-1=0
e^t=u±√(u^2+1)>0
t=loge^t=log(u+√(u^2+1))
√(u^2+1)=e^t-u=(e^t+e^(-t))/2
du=(e^t+e^(-t))/2dt
∫√(u^2+1)du=∫(e^t+e^(-t))^2/4dt=(1/4)((1/2)e^(2t)+2t-(1/2)e^(-2t))=(1/8)((e^t-e^(-t))(e^t+e^(-t))+4t)=(1/8)(2u・2√(u^2+1)+4log(u+√(u^2+1)))=(1/2)(u√(u^2+1)+log(u+√(u^2+1)))
∫[0,π/2]√((-4cos^3θsinθ)^2+(4sin^3θcosθ)^2)dθ
=∫[0,π/2]4sinθcosθ√(cos^4θ+sin^4θ)dθ
=∫[0,π/2]4sinθcosθ√(((cos^2θ+sin^2θ)^2+(cos^2θ-sin^2θ)^2)/2)dθ
=∫[0,π/2](√2)sin2θ√(1+cos^2(2θ))dθ
=∫[1,-1](-1/√2)√(1+u^2)du
=∫[-1,1](1/√2)√(1+u^2)du
=2∫[0,1](1/√2)√(1+u^2)du （∵√(1+u^2)は偶関数）
=√2∫[0,1]√(1+u^2)du
=√2[(1/2)(u√(u^2+1)+log(u+√(u^2+1)))][0,1]
=(1/√2)(√2+log(1+√2))
925 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 01:18:10 ID:kjQ3dojm0
>>919
>P=(1,-1;1,1)によってP^(-1)AP=(3,0;0,1) なので
>b[n]=(a[n]-1)/(a[n]+1)とすると
P^(-1)=(1/2)(1,1;-1,1)より
b[n]=(a[n]+1)/(-a[n]+1)とすると
b[n]=…=3b[n-1]=3^(n-1)b[1]=-2・3^(n-1)
a[n]=(b[n]-1)/(b[n]+1)=(-2・3^(n-1)-1)/(-2・3^(n-1)+1)=(2・3^(n-1)+1)/(2・3^(n-1)-1)
>P=(1,-1;1,1)によってP^(-1)AP=(3,0;0,1) なので
>b[n]=(a[n]-1)/(a[n]+1)とすると
P^(-1)=(1/2)(1,1;-1,1)より
b[n]=(a[n]+1)/(-a[n]+1)とすると
b[n]=…=3b[n-1]=3^(n-1)b[1]=-2・3^(n-1)
a[n]=(b[n]-1)/(b[n]+1)=(-2・3^(n-1)-1)/(-2・3^(n-1)+1)=(2・3^(n-1)+1)/(2・3^(n-1)-1)
926 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 01:20:45 ID:kjQ3dojm0
927 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 01:24:11 ID:kjQ3dojm0
>>922
-u+√(u^2+1)=(-u+√(u^2+1))(u+√(u^2+1))/(u+√(u^2+1))=1/(u+√(u^2+1))
log(-u+√(u^2+1)=-log(u+√(u^2+1))
-u+√(u^2+1)=(-u+√(u^2+1))(u+√(u^2+1))/(u+√(u^2+1))=1/(u+√(u^2+1))
log(-u+√(u^2+1)=-log(u+√(u^2+1))
928 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 01:25:26 ID:nD+kCpwB0
なぜ１＋１＝２になるか分かれば、数学なんかもう勉強する必要はない。
929 ：910：2009/03/20(金) 01:39:46 ID:d8toVCPc0
>>924
∫[-1,1](1/√2)√(1+u^2)du
隅関数っぽいのですが、これが隅関数なのだとしたら
∫[-1,0](1/√2)√(1+u^2)du ＝ ∫[0,1](1/√2)√(1+u^2)du
となりますよね？
実際にそれぞれを計算してみたら
∫[-1,0](1/√2)√(1+u^2)du
＝(1/√2) [{√(1+u^2)}+log{u + √(1+u^2)}][-1,0]
＝(1/√2) [{√2 + log{1 + √(2)}
∫[ 0,1](1/√2)√(1+u^2)du
＝(1/√2) [{√(1+u^2)}+log{u + √(1+u^2)}][ 0,1]
＝(1/√2) [{√2 - log{-1 + √(2)}
・・・・・・と書こうとしたら>>927が指摘してくれました
2*log( 1 + √2) ＝ log( 3 + √2) でした orz
ありがとうございました
∫[-1,1](1/√2)√(1+u^2)du
隅関数っぽいのですが、これが隅関数なのだとしたら
∫[-1,0](1/√2)√(1+u^2)du ＝ ∫[0,1](1/√2)√(1+u^2)du
となりますよね？
実際にそれぞれを計算してみたら
∫[-1,0](1/√2)√(1+u^2)du
＝(1/√2) [{√(1+u^2)}+log{u + √(1+u^2)}][-1,0]
＝(1/√2) [{√2 + log{1 + √(2)}
∫[ 0,1](1/√2)√(1+u^2)du
＝(1/√2) [{√(1+u^2)}+log{u + √(1+u^2)}][ 0,1]
＝(1/√2) [{√2 - log{-1 + √(2)}
・・・・・・と書こうとしたら>>927が指摘してくれました
2*log( 1 + √2) ＝ log( 3 + √2) でした orz
ありがとうございました
930 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 02:36:02 ID:Tfx+djJwO
きらと申しますが東大落ちました
このスレにはお世話になったので報告させてもらいました
このスレにはお世話になったので報告させてもらいました
>こんなの大学入試の典型問題だろ
>特性方程式解いて変形しろ
こんなバカがまだ生息してたのか。。。
>特性方程式解いて変形しろ
こんなバカがまだ生息してたのか。。。
932 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 10:52:03 ID:L2bUChM8O
√(n^2+97)が整数になるような自然数nって何でしょうか？
質問わかりにくくてすいません…。
質問わかりにくくてすいません…。
934 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 12:12:22 ID:L2bUChM8O
935 ：909は見なかったことに：2009/03/20(金) 13:15:46 ID:KjyosZPi0
>>907
『b(n)=(a(n)+p)/(a(n)+q)と置き
{b(n)}が等比数列となるようにp.qを1つ決める。』
そしてb(n)が等比数列であることから(b(n))^nが定まり
最終的にa(n)が求まるという流れが高校数学の典型的な流れ。
受験的には>>936の通りで特性方程式
α=(2α+1)/(α+2)を解いて、
a(n+1)-α={(2a[n]+1)/(a[n]+2)}-α
={(2-α)a[n]+1-2α)}/(a[n]+2)
これをa(n)≠αであることを保障して逆数を取り
体の一部をb[n]とでも置いてb[n]の漸化式を解き
最終的にa[n]をもめとる。
『b(n)=(a(n)+p)/(a(n)+q)と置き
{b(n)}が等比数列となるようにp.qを1つ決める。』
そしてb(n)が等比数列であることから(b(n))^nが定まり
最終的にa(n)が求まるという流れが高校数学の典型的な流れ。
受験的には>>936の通りで特性方程式
α=(2α+1)/(α+2)を解いて、
a(n+1)-α={(2a[n]+1)/(a[n]+2)}-α
={(2-α)a[n]+1-2α)}/(a[n]+2)
これをa(n)≠αであることを保障して逆数を取り
体の一部をb[n]とでも置いてb[n]の漸化式を解き
最終的にa[n]をもめとる。
938 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 15:41:09 ID:IhN51IWR0
青チャートP20基本問題10(2)についてお願いします
～の定義域は実数全体であるから
(x-1)^2+2≧2
というのはどういった思考回路でくるものなんですか？
～の定義域は実数全体であるから
(x-1)^2+2≧2
というのはどういった思考回路でくるものなんですか？
940 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 18:12:41 ID:kjQ3dojm0
>>939
問題書いて
問題書いて
うｐは大丈夫ですかね？
(実数)の2乗はどんなにがんばっても0より下の値をとれない
という実数の基本性質から出ている。
二次式を評価をしたいときには必ずといっていいほど
出てくる有名な手法でもある。
整数問題といていても一度や二度は必ず経験するはず。
という実数の基本性質から出ている。
二次式を評価をしたいときには必ずといっていいほど
出てくる有名な手法でもある。
整数問題といていても一度や二度は必ず経験するはず。
>>943
(x-1)^2≧0ではダメなんですか？
(x-1)^2≧0ではダメなんですか？
(x-1)^2だけだったら≧0でいいけど
+2がくっついている以上
(x-1)^2+2≧0+2=2
じゃなければおかしい。
+2がくっついている以上
(x-1)^2+2≧0+2=2
じゃなければおかしい。
946 ：大学への名無しさん：2009/03/20(金) 18:58:48 ID:E8kN9zpF0
>>944
よい。求めるのが(x-1)^2+2なので(x-1)^2≧0を省略して直接出しただけ。
よい。求めるのが(x-1)^2+2なので(x-1)^2≧0を省略して直接出しただけ。
多分何か勘違いして混乱しているんだよ
1/(x-1)^2+2の値域が知りたいんだから
(x-1)^2+2の最大最小がわかればいい。
まず(x-1)^2+2の最大値は存在しない。
定義域が実数全体である以上いくらでも大きくなる
次に(x-1)^2+2の最小値を考える
グラフ的に考えるとy=(x-1)^2+2のグラフは
頂点の値(1.2)なので最小値は2
単なる不等式として考えると
(x-1)^2+2≧0+2=2
いずれにしても最小値は2
したがって
2≦(x-1)^2+2<∞
これの逆数を取って
0=1/∞<1/(x-1)^2+2 ≦1/2
っていうイメージ
1/(x-1)^2+2の値域が知りたいんだから
(x-1)^2+2の最大最小がわかればいい。
まず(x-1)^2+2の最大値は存在しない。
定義域が実数全体である以上いくらでも大きくなる
次に(x-1)^2+2の最小値を考える
グラフ的に考えるとy=(x-1)^2+2のグラフは
頂点の値(1.2)なので最小値は2
単なる不等式として考えると
(x-1)^2+2≧0+2=2
いずれにしても最小値は2
したがって
2≦(x-1)^2+2<∞
これの逆数を取って
0=1/∞<1/(x-1)^2+2 ≦1/2
っていうイメージ
答えて下さった方、ありがとうございます。
a(n)={3^(n-1)+1/2}/{3^(n-1)-1/2}に辿り着けました。
>>937さんも仰ってますが、逆数を出す際に{a(n)-α}≠0である事が明らかでなければなりませんよね。
a(n)≠-1は分かりますが、a(n)≠1はどのように証明すれば良いのでしょうか？
最終的にn→∞のときにa(n)→1となる事は理解しています。
a(n)={3^(n-1)+1/2}/{3^(n-1)-1/2}に辿り着けました。
>>937さんも仰ってますが、逆数を出す際に{a(n)-α}≠0である事が明らかでなければなりませんよね。
a(n)≠-1は分かりますが、a(n)≠1はどのように証明すれば良いのでしょうか？
最終的にn→∞のときにa(n)→1となる事は理解しています。
失礼しました。
最初の漸化式にa(n)=1を代入して気付きました。
a(1)≠1だからですね。
まだまだ勉強不足なのを痛感しました。
また質問させていただく事があると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。
最初の漸化式にa(n)=1を代入して気付きました。
a(1)≠1だからですね。
まだまだ勉強不足なのを痛感しました。
また質問させていただく事があると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。
952 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 06:15:45 ID:Bma0XJ25O
｢3枚のコインがあり、はじめはすべて表を向いている。この中から無作為に1枚のコインを選びひっくり返す。
この操作をn回繰り返したとき、すべてのコインが表になっている確率をP_nとする。
P_2nをnの式で表せ。｣
という問題です。漸化式をたてるのだろうとは思うのですがそれができません。
どなたかお教えください。
この操作をn回繰り返したとき、すべてのコインが表になっている確率をP_nとする。
P_2nをnの式で表せ。｣
という問題です。漸化式をたてるのだろうとは思うのですがそれができません。
どなたかお教えください。
953 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 07:18:15 ID:sLexOfgo0
>>952
p[n], q[n], r[n], s[n]を3, 2, 1, 0枚表を向いている確率とすると
p[1]=r[1]=s[1]=0, q[1]=1
p[n]+q[n]+r[n]+s[n]=1
p[n]=(1/3)q[n-1]
q[n]=p[n-1]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+s[n-1]
s[n]=(1/3)r[n-1]
q[n]=(1/3)q[n-2]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+(1/3)r{n-2]
r[n-1]=(3/2)q[n]-(1/2)q[n-2]
(3/2)q[n+1]-(1/2)q[n-1]=(2/3)q[n-1]+(1/3)((3/2)q[n-1]-(1/2)q[n-3])
(3/2)q[n+1]-(5/3)q[n-1]+(1/6)q[n-3]=0
q[n+1]-(10/9)q[n-1]+(1/9)q[n-3]=0
t^2-(10/9)t+(1/9)=0
t=1,1/9
q[n+1]-q[n-1]=(1/9)(q[n-1]-q[n-3])
q[n+1]-(1/9)q[n-1]=q[n-1]-(1/9)q[n-3]
q[2n-1]-q[2n-3]=(1/9)(q[2n-3]-q[2n-5])=(1/9)^(n-2)(q[3]-q[1])=(-2)(1/9)^(n-1)
q[2n-1]-(1/9)q[2n-3]=q[2n-3]-(1/9)q[2n-5]=q[3]-(1/9)q[1]=(2/3)
8q[2n-1]=6+2(1/9)^(n-1)
q[2n-1]=3/4+(1/4)(1/9)^(n-1) （n=1を含む）
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))
p[n], q[n], r[n], s[n]を3, 2, 1, 0枚表を向いている確率とすると
p[1]=r[1]=s[1]=0, q[1]=1
p[n]+q[n]+r[n]+s[n]=1
p[n]=(1/3)q[n-1]
q[n]=p[n-1]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+s[n-1]
s[n]=(1/3)r[n-1]
q[n]=(1/3)q[n-2]+(2/3)r[n-1]
r[n]=(2/3)q[n-1]+(1/3)r{n-2]
r[n-1]=(3/2)q[n]-(1/2)q[n-2]
(3/2)q[n+1]-(1/2)q[n-1]=(2/3)q[n-1]+(1/3)((3/2)q[n-1]-(1/2)q[n-3])
(3/2)q[n+1]-(5/3)q[n-1]+(1/6)q[n-3]=0
q[n+1]-(10/9)q[n-1]+(1/9)q[n-3]=0
t^2-(10/9)t+(1/9)=0
t=1,1/9
q[n+1]-q[n-1]=(1/9)(q[n-1]-q[n-3])
q[n+1]-(1/9)q[n-1]=q[n-1]-(1/9)q[n-3]
q[2n-1]-q[2n-3]=(1/9)(q[2n-3]-q[2n-5])=(1/9)^(n-2)(q[3]-q[1])=(-2)(1/9)^(n-1)
q[2n-1]-(1/9)q[2n-3]=q[2n-3]-(1/9)q[2n-5]=q[3]-(1/9)q[1]=(2/3)
8q[2n-1]=6+2(1/9)^(n-1)
q[2n-1]=3/4+(1/4)(1/9)^(n-1) （n=1を含む）
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))
954 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 07:21:02 ID:254ye3ql0
955 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 07:27:48 ID:sLexOfgo0
1回ごとに表の枚数は±1となるので
初めに奇数枚表であるから
2n回目にも表は奇数枚（(2n-1)回目には偶数枚）
p[2n]=(1/3)p[2n-2]+(1/3)(2/3)(1-p[2n-2])=(1/9)p[2n-2]+2/9
p[2n]-1/4=(1/9)(p[2n-2]-1/4)=(1/9)^n(p[0]-1/4)=(3/4)(1/9)n=(1/4)(1/3)^(2n-1)
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))
初めに奇数枚表であるから
2n回目にも表は奇数枚（(2n-1)回目には偶数枚）
p[2n]=(1/3)p[2n-2]+(1/3)(2/3)(1-p[2n-2])=(1/9)p[2n-2]+2/9
p[2n]-1/4=(1/9)(p[2n-2]-1/4)=(1/9)^n(p[0]-1/4)=(3/4)(1/9)n=(1/4)(1/3)^(2n-1)
p[2n]=(1/4)(1+(1/3)^(2n-1))
956 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 07:30:47 ID:254ye3ql0
957 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 16:46:46 ID:wqtesjRL0
参考書に書いてある解法のことで質問があります
今年の赤チャートの63ページで紹介されている二つの二次方程式の共通解を
求める問題について、
元式のxをいったんαに置き換えてから計算するのはなぜなのでしょうか？
xのまま計算するとどんな不都合が発生するのでしょうか？
今年の赤チャートの63ページで紹介されている二つの二次方程式の共通解を
求める問題について、
元式のxをいったんαに置き換えてから計算するのはなぜなのでしょうか？
xのまま計算するとどんな不都合が発生するのでしょうか？
958 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 16:48:20 ID:HwfkvIiL0
>>957
だから問題を書いて
だから問題を書いて
各式のＸにはどんな値を入れてもＯＫ、もちろん2式の結果は違ってくる
ただし共通解だと同じ結果、あたりまえだけど
何でもありのＸ、共通解のαという区別
と思う。もってないし。
と書くのは、スレルール違反？
ただし共通解だと同じ結果、あたりまえだけど
何でもありのＸ、共通解のαという区別
と思う。もってないし。
と書くのは、スレルール違反？
960 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 16:53:23 ID:wqtesjRL0
>>958
すみません いま問題を書きます
すみません いま問題を書きます
961 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 16:54:53 ID:wqtesjRL0
問題は↓です
「２つの２次方程式 2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と ｘ2 + x + k
「２つの２次方程式 2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と ｘ2 + x + k
962 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 16:56:20 ID:wqtesjRL0
かさねがさねすみません
問題は↓です
「２つの２次方程式 2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と ｘ^2 + x + k = 0 が共通の実数解をもつように
定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ」
問題は↓です
「２つの２次方程式 2ｘ^2 + kx + 4 = 0 と ｘ^2 + x + k = 0 が共通の実数解をもつように
定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ」
963 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 17:05:35 ID:wqtesjRL0
>>959
つまり変数のｘと定数のαという区別なんですね
つまり変数のｘと定数のαという区別なんですね
964 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 17:12:00 ID:Y6P4Ik3qO
共通解を文字で置かないとね。
965 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 17:14:23 ID:wqtesjRL0
わかりました ありがとうございます
一銭にならんくだらんスレやのう。貴様らもよくまともに答えてるな。笑えるぜ。
質問です。
・問題文
t^2-2t+a=0(t≧1/2)…(*)
(*)が実数解を持つとき、aの範囲を求めよ
・質問
問題集ではaを分離して共有点の存在条件から求めていました。
解き方自体は解るんですが、こういった問題ではどうして定石としてaを分離するんでしょうか？
そのまま(*)のグラフを書いてそれがt軸と接する条件からも求めても良いですよね？それだとややこしいからですか？
またこういう問題を見ると私はついつい判別式を立てたくなります。しかし解けませんよね。
これはtに範囲がある場合は判別式を立てても意味がない、ということで良いんですかね？
どちらも細かいことですが、宜しくお願いします。
・問題文
t^2-2t+a=0(t≧1/2)…(*)
(*)が実数解を持つとき、aの範囲を求めよ
・質問
問題集ではaを分離して共有点の存在条件から求めていました。
解き方自体は解るんですが、こういった問題ではどうして定石としてaを分離するんでしょうか？
そのまま(*)のグラフを書いてそれがt軸と接する条件からも求めても良いですよね？それだとややこしいからですか？
またこういう問題を見ると私はついつい判別式を立てたくなります。しかし解けませんよね。
これはtに範囲がある場合は判別式を立てても意味がない、ということで良いんですかね？
どちらも細かいことですが、宜しくお願いします。
>>967
グラフ全体を上下させるか、
x軸に平行な直線を上下させるかの違い。
前者だと場合分けによってグラフをたくさん書くことになったりする。
後者ならx軸に平行な直線を何本か引けば良い。
判別式は、実数の範囲内に解があるかどうかを判別するもので、
t≧1/2の範囲に解があるかどうかは判別できない。
グラフ全体を上下させるか、
x軸に平行な直線を上下させるかの違い。
前者だと場合分けによってグラフをたくさん書くことになったりする。
後者ならx軸に平行な直線を何本か引けば良い。
判別式は、実数の範囲内に解があるかどうかを判別するもので、
t≧1/2の範囲に解があるかどうかは判別できない。
>968
早くて簡潔な解説ありがとうございました。ずっと気になっていたので、これでやっとすっきり定数分離出来ます。
早くて簡潔な解説ありがとうございました。ずっと気になっていたので、これでやっとすっきり定数分離出来ます。
970 ：次スレテンプレです。：2009/03/21(土) 20:01:49 ID:/suNhMMnP
数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part86＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1233930857/
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part86＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1233930857/
971 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 22:39:35 ID:sLexOfgo0
972 ：大学への名無しさん：2009/03/21(土) 23:10:33 ID:hJrTSdCh0
どなたかよろしくお願いしますm(_ _)m
自然数1、2‥‥nを並べ替えたものをａ1、ａ2、‥‥ａnとする
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥＋n・ａn
が最大となるとき｛ａn｝はどのような数列か
方針すら立たないので、考え方みたいなのも付け加えてくれると嬉しいです。
自然数1、2‥‥nを並べ替えたものをａ1、ａ2、‥‥ａnとする
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥＋n・ａn
が最大となるとき｛ａn｝はどのような数列か
方針すら立たないので、考え方みたいなのも付け加えてくれると嬉しいです。
974 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 00:22:12 ID:4I9Zpxhj0
>>973
(1・a[1]+2・a[2]+…+n・a[n])^2≦(1^2+2^2+…+n^2)(a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2)=(1^2+2^2+…+n^2)^2
a[i]=iのときが最大
(1・a[1]+2・a[2]+…+n・a[n])^2≦(1^2+2^2+…+n^2)(a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2)=(1^2+2^2+…+n^2)^2
a[i]=iのときが最大
975 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 00:26:44 ID:+33s/G9a0
>>973
内積と見る
内積と見る
知識自慢したいんなら数学板でやれよ。
指導要領を読めとは言わんが、４次元以上のベクトルの内積を当然のように書き捨てるのはやめろや。
指導要領を読めとは言わんが、４次元以上のベクトルの内積を当然のように書き捨てるのはやめろや。
使ったらだめなんだろうか？採点者次第かもしれないけど
高校のベクトルの定義から外れるかどうか教えてくれるとうれしい。
空間座標と考えると投影できるのか？駄目なような気もするけどどうなんだろ？
高校のベクトルの定義から外れるかどうか教えてくれるとうれしい。
空間座標と考えると投影できるのか？駄目なような気もするけどどうなんだろ？
>>973
数列的に考えるとこんな感じ。
a1=1, a2=2, ,,,,an=n が最大になることは直感的に明らかなんで
(明らかじゃなければn=4程度で実験してみると良い)
帰納法でそれを示すか、背理法を用いるかで解法が分かれる
a(n)≠nかつa(m)=n・・・・(*)
(ただしn>m)と仮定して
ma(m)+na(n)の値を考える。
このときa(m)=n>a(n)よりna(m)+ma(n)＞na(n)+ma(m)
が成立する。よって
『a(m)とa(n)の値を入れ替える』・・・(**)
と1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値は大きくなる。
(*)(**)より
a(m)≠nかつa(n)=nのとき、
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値が大きくなる
同様に議論を繰り返せば、
a(k)=kのとき、1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥k・ak＋・・・・n・ａnの値は最大となる。
数列的に考えるとこんな感じ。
a1=1, a2=2, ,,,,an=n が最大になることは直感的に明らかなんで
(明らかじゃなければn=4程度で実験してみると良い)
帰納法でそれを示すか、背理法を用いるかで解法が分かれる
a(n)≠nかつa(m)=n・・・・(*)
(ただしn>m)と仮定して
ma(m)+na(n)の値を考える。
このときa(m)=n>a(n)よりna(m)+ma(n)＞na(n)+ma(m)
が成立する。よって
『a(m)とa(n)の値を入れ替える』・・・(**)
と1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値は大きくなる。
(*)(**)より
a(m)≠nかつa(n)=nのとき、
1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥m・am＋・・・・n・ａnの値が大きくなる
同様に議論を繰り返せば、
a(k)=kのとき、1・ａ1＋2・ａ2＋‥‥k・ak＋・・・・n・ａnの値は最大となる。
979 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 09:14:30 ID:4I9Zpxhj0
(Σa[i]^2)(Σb[i]^2)-(Σa[i]b[i])^2
=(Σa[i]^2)(Σb[j]^2)-(Σa[i]b[i])(Σa[j]b[j])
=Σ(a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i=j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i>j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+0
+Σ[i<j](a[j]^2b[i]^2-a[j]b[j]a[i]b[i])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2+a[j]^2b[i]^2-2a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]b[j]-a[j]b[i])^2≧0
等号成立は
a[i]:a[j]=b[i]:b[j] for all i<j
すなわち
a[1]:a[2]:…:a[n]=b[1]:b[2]:…:b[n]
=(Σa[i]^2)(Σb[j]^2)-(Σa[i]b[i])(Σa[j]b[j])
=Σ(a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i=j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+Σ[i>j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2-a[i]b[i]a[j]b[j])
+0
+Σ[i<j](a[j]^2b[i]^2-a[j]b[j]a[i]b[i])
=Σ[i<j](a[i]^2b[j]^2+a[j]^2b[i]^2-2a[i]b[i]a[j]b[j])
=Σ[i<j](a[i]b[j]-a[j]b[i])^2≧0
等号成立は
a[i]:a[j]=b[i]:b[j] for all i<j
すなわち
a[1]:a[2]:…:a[n]=b[1]:b[2]:…:b[n]
980 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 11:42:09 ID:AfrzDGEV0
a.b.c>0の元で
(√a)cos^2θ+(√b)sin^2θ<√cであることは
acos^2θ+bsin^2θ<cであるための
必要条件であることを示せ
この問題の方針だけで結構ですのでお願いします。
<指針>という欄には丁寧に場合わけと書いてありまけど
それだけしか書いてないのでよくわかりません
(√a)cos^2θ+(√b)sin^2θ<√cであることは
acos^2θ+bsin^2θ<cであるための
必要条件であることを示せ
この問題の方針だけで結構ですのでお願いします。
<指針>という欄には丁寧に場合わけと書いてありまけど
それだけしか書いてないのでよくわかりません
a.b.c>0だから√{a(cosθ)^2+b(sinθ)^2}<√cが成立するんで
(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2<√{a(cosθ)^2+b(sinθ)^2}・・・(*)
が成立することを示せばいい
その捉え方は色々あると思うけど思いついた限りでは
『方針1』
(√acosθ)cosθ+(√bsinθ)sinθとみてシュワルツの不等式
『方針2』
cos.sinの2乗は0～1の間しか取らないので
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2を点(a.0).点(b.0)について
(sinθ)^2:(cosθ)^2に内分する分点と解釈して
y=√xの凸性を利用した凸不等式として処理する
『方針3』
相加相乗平均の不等式:2√x√y≦x+yとして利用するため
{(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2}^2を考える
っていうどちらかというとおまけ的な解法
『方針4』
(cosθ)^2=xとしてxの1次関数と見る
xの係数にa.bが出てくるからa.bの大小で排反に分類する
力技的な答案
という感じだと思う。その本の<指針>とやらに書いてある
場合分けっていうのは『方針4』の話だと思う。
(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2<√{a(cosθ)^2+b(sinθ)^2}・・・(*)
が成立することを示せばいい
その捉え方は色々あると思うけど思いついた限りでは
『方針1』
(√acosθ)cosθ+(√bsinθ)sinθとみてシュワルツの不等式
『方針2』
cos.sinの2乗は0～1の間しか取らないので
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2を点(a.0).点(b.0)について
(sinθ)^2:(cosθ)^2に内分する分点と解釈して
y=√xの凸性を利用した凸不等式として処理する
『方針3』
相加相乗平均の不等式:2√x√y≦x+yとして利用するため
{(√a)(cosθ)^2+(√b)(sinθ)^2}^2を考える
っていうどちらかというとおまけ的な解法
『方針4』
(cosθ)^2=xとしてxの1次関数と見る
xの係数にa.bが出てくるからa.bの大小で排反に分類する
力技的な答案
という感じだと思う。その本の<指針>とやらに書いてある
場合分けっていうのは『方針4』の話だと思う。
982 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 12:20:52 ID:+33s/G9a0
>>976
考え方を示せって注文だろ、ヴォケ
考え方を示せって注文だろ、ヴォケ
983 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 12:31:32 ID:do+Ij+R90
お前頭大丈夫か？ｗ
質問者が理解できない考え方を説明無しに書くな
これなら自分のバカさが理解できるか？ｗｗ
質問者が理解できない考え方を説明無しに書くな
これなら自分のバカさが理解できるか？ｗｗ
984 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 12:43:30 ID:+33s/G9a0
理解できないって、さすがアレを知識自慢とのたまう低脳は言うことが違うな。
985 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 14:25:25 ID:do+Ij+R90
お前ずっと居座ってるいつものアホウか？
数学板ではバカにされるだけだから、ここで受験生相手に偉そうにしてたいのは分かるが、
ジャマだからどっか逝って。
もう一度言うぞ。ここは「受験板」の質問スレだ。
まともに高校出てる奴なら、高校生が４次元以上を知らないのは分かるはずだ。
お前ひょっとして、中退？登校拒否？
数学板ではバカにされるだけだから、ここで受験生相手に偉そうにしてたいのは分かるが、
ジャマだからどっか逝って。
もう一度言うぞ。ここは「受験板」の質問スレだ。
まともに高校出てる奴なら、高校生が４次元以上を知らないのは分かるはずだ。
お前ひょっとして、中退？登校拒否？
986 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 14:27:38 ID:aLU44qOU0
数学的帰納法って自然数相手にしか使えないの？
>>986 整数全般で言えるが、ちょい方法が違う。
n=kを仮定→n=k±1を示せれば正負どちらもおk
n=kを仮定→n=k±1を示せれば正負どちらもおk
988 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 14:43:09 ID:aLU44qOU0
989 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 15:50:33 ID:+33s/G9a0
990 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 16:06:57 ID:QlZ3M5k40
991 ：大学への名無しさん：2009/03/22(日) 16:29:56 ID:wBQ2S3UCO
慶応ボーイのきらです
数学の質問があったら遠慮なく言ってください
数学の質問があったら遠慮なく言ってください
x.y.zをxyz=1をみたす正の実数とする。このとき
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
を示せ
不等式難しいです
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
を示せ
不等式難しいです
かぶったなｗ
乙
乙
997
998
999
>>992
x=s/t.y=t/u.z=u/sとおくと条件よりs.t.u>0
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
⇔{(s/t)+(u/t)-1}{(t/u)+(s/u)-1}{(u/s)+(t/s)-1}≦1
⇔{(s+u-t)/t}{(t+s-u)/u}{(u+t-s)/s}≦1
⇔(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦stu ・・・・(*)
となる
ここで
(s+u-t)+(t+s-u)=2s>0
(s+u-t)+(u+t-s)=2u>0
(t+s-u)+(u+t-s)=2t>0
なので(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)の中で負であるものは高々1つ
(1)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)の中で負であるものが1つの時
(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦0<stuより(*)は成立する
(2)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)が全部正の時
相加相乗平均の不等式より
√{(s-t+u)(s+t-u)} ≦ s,
同様に考えた式を辺辺乗じて(*)は示される
x=s/t.y=t/u.z=u/sとおくと条件よりs.t.u>0
(x+1/y -1)(y+1/z -1)(z+1/x -1)≦1
⇔{(s/t)+(u/t)-1}{(t/u)+(s/u)-1}{(u/s)+(t/s)-1}≦1
⇔{(s+u-t)/t}{(t+s-u)/u}{(u+t-s)/s}≦1
⇔(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦stu ・・・・(*)
となる
ここで
(s+u-t)+(t+s-u)=2s>0
(s+u-t)+(u+t-s)=2u>0
(t+s-u)+(u+t-s)=2t>0
なので(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)の中で負であるものは高々1つ
(1)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)の中で負であるものが1つの時
(s+u-t)(t+s-u)(u+t-s)≦0<stuより(*)は成立する
(2)(s+u-t).(t+s-u).(u+t-s)が全部正の時
相加相乗平均の不等式より
√{(s-t+u)(s+t-u)} ≦ s,
同様に考えた式を辺辺乗じて(*)は示される
1001 ：１００１：
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。