＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part79＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

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・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1) 1/2aは (1/2)a あるいは 1/(2a) ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
　(例2) 数列の場合も、anよりも a(n) 、a[n]、a_n などと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
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　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
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数学記号の書き方
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前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part78＊＊＊
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華麗にﾆｹﾞﾄ

青チャの重要問題134の

「1辺の長さが5ｃｍの立方体の内部を、半径1ｃｍの球が動き回る。
このとき、立方体の内部で球が動き回ることのできる空間図形の体積Vと表面積Sを求めよ。」

という問題がよく分からないんですが誰か教えて下さい。

4Get（・∀・）∨

前スレへ

>>979
l(x)は接線の式として。
x^3-tx-l(x)=(x-a)^2(x-b)と因数分解でき(接する条件から重根)
2次の係数の比較から0=-2a-b i.e. b=-2a
と、ここまでは君も済んでるようで。
QにおけるCの接線の傾きは(3*(-2a)^2)-t=12a^2-t、Pにおける傾きは3a^2-t
直交するので(12a^2-t)(3a^2-t)=-1
[問題は、何らかの実数aに対して題意を満たすようなtを設定させることができる、
そんなtの範囲を調べよ、ということ。実数条件を反映させなければならない。]
a^2(=Aとおく)について整理してA^2-15tA+(t^2)+1=0
0以上の実数Aが存在するようなtの範囲を求めることに帰着される。
判別式D=15t^2-4*36(t^2+1)=9(25t^2-16(t^2+1))=9(9t^2-16)≧0 ⇔ 4/3≦|t|
更に、この条件のもとで2解が共に負の条件の余事象を調べる
2解が共に負なので軸が0より小さく、方程式の左辺でA=0としたときの値が0より大きい
15t/72<0 and (t^2)+1>0 ⇔ t<0 この余事象は0≦t
求める答えは4/3≦|t| and 0≦t ⇔ 4/3≦t
[
判別式D=3*((-3t^2)+4)≧0⇔|t|≦2/sqrt(3) (sqrtはルート)
軸15t/72≧0⇔0≦t
よって0≦t≦2/sqrt(3)
では不適。軸がマイナスにあっても+の解をもつことはありうる
]
この答、どうも確証がないな。

>>984
分かってもらえたようでよかった。難しい問題やってるんだね。

ab≠0　⇔　a≠0かつb≠0　⇒　a≠0
「かつ」は両方に属するからと考えていると、
a≠0かつb≠0　⇒　a≠0の部分が本当に正しいのか疑問に思うのですが、
どういうふうに考えれば、すんなり納得できるのでしょうか？
低レベルな質問ですみませんが、どなたかよろしくお願いします。

abが0でない、つまりaもbも0じゃない。このときaは0じゃない。

>>7
ありがとうございました。

前スレ
>>987
返答有り難うございます。

> で、赤玉が一度Ｎ＋１の箱以外に移動したら、Ｎ回までの操作では
もうＮ＋１の箱に戻らないのはわかる？
>（一度箱からでたらＮ＋１の箱には白が入るので、もう一度Ｎ＋１の箱が
選ばれたとしても、白同士を交換することになるのでＮ＋１の箱には赤は
戻らない。）
> なので、Ｎ回終了後１〜Ｎまでの箱に赤は必ずあるので、その確率は１
> で最後にＮ＋１回目の操作でＮ＋１にある白と１〜Ｎまでの赤の入っている
箱を交換すればよい。

この部分について、理解出来きていませんでしたが、一応理解出来たかと思います。
「k以外の番号のN個の箱から一個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身と交換する」
という操作をおのおののkに対して、
「kが小さい方から順番に一回ずつ行う」
が故に、
「赤玉は一度番号N+1の箱以外に移動すると、N回目までの操作では番号N+1の箱に戻ることはない。」
「戻る可能性があるのはk=N+1の場合(つまりN+1回目の操作時)のみである。」
ということを具体的に試行してみると、簡単に解けました。
(例えば、番号N+1の箱をk=1のとき選択した場合、kを1→2→3→…と進めて行くとN回目まではどう頑張っても番号N+1の箱に赤玉は戻りませんからね。)
今考えてみると、お恥ずかしい限りです。

どちらの方の解答も私にとってはわかりやすかったと思います。

ご指導有り難うございました。

すいません誰か教えてください。
ルーレットをまわして黒が出たら2倍で赤が出たら1/2となるとしたら
1回あたりの期待値って1.25倍で増えますよね？
これって何回もやれば必勝法じゃないんですか？
あんまり数学得意ではないのでわからなくて混乱してます；

4,5t＋1250�s−864600g（単位kg）
答えとやり方お願いします

直角二等辺三角形の斜辺に対する頂点からの斜辺への直線は斜辺を二等辺にする中点であることを証明できません！！
すごい初歩の初歩ですが教えてください！！

角Ｘ、Ｙ、ＺがＸ＋Ｙ＋Ｚ＝180゜、Ｘ≧０゜、Ｙ≧０゜、Ｚ≧０゜を満たすとき
cosＸ＋cosＹ＋cosＺ≧1を示せ
がわかりません
教えてください

I=∫√(1-x^2)
上限が１、下限０です。
よろしくお願いします。

>>11
前スレで解説されてましたよ。
>>12
問題文が意味不明です。
>>13
cosx+cosy+cosz-1
=cosx+cosy+cos(180゜-(x+y))-1
=cosx+cosy-cos(x+y)-1
=cosx+cosy-cosxcosy+sinxsiny-1
=sinxsiny-(1-cosx)(1-cosy)
=(2sin(x/2)cos(x/2))(2sin(y/2)cos(y/2))-{2(sin(x/2))^2}{2(sin(y/2))^2}
=4sin(x/2)sin(y/2){cos(x/2)cos(y/2)-sin(x/2)sin(y/2)}
=4sin(x/2)sin(y/2)cos((x+y)/2)
=4sin(x/2)sin(y/2)cos((180°-z)/2)
=4sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)
≧0
>>14
y=√(1-x^2)を描いてみるべし。求める値は半径1の円の面積の1/4。
もしくはx=sinθと置換。

すごい初歩な質問なんですが基本が分かってなくて質問させて下さい。

y=(x-1)^2のグラフはy=x^2のグラフをx軸方向に１だけ平行移動したものである

という事ですが

勝手な判断で(x-1)^2を展開し、y=x^2-x+1にしてから、xに1やら２やらを代入しグラフを書くものだと思っていたので、書いてみたら全く違う為にどうしたら良いか分かりません。

宜しくお願いします。

>>16
(x-1)^2の展開が違うからじゃない？

>>15
解説されてたんですけど学校で教えて貰った答えと違うんですよ

>>18
"グーグル電卓"と"学校で教えてもらった答え"、どっちが信用できる？
もしかして単位がkgかgか、とかの違いじゃないよなあ。

教科書レベルで申し訳ないのですが、
|2x-6|<x
を解くには、
(1) 2x-6の符号で場合分け
(2) -x<2x-6<x
のどちらでもよいのでしょうか？

授業では、a>0のとき
|x|<a ならば -a<x<a
と習ったのですが、どちらでも解けてしまうので・・・。

だとすると、場合分けしなければいけないのはどんなときなのでしょうか？

xの整式f(x)をx^2+1で割るとx+1余りx^2-1で割ればx+3余る

x^2で割り切れるf(x)のうちで、次数が最小であるものを求めよ。

よろしくお願いします。

a^2>2とa^2<2
を理由と一緒に教えて下さい

整式x＾n-nx+n-1が2次式x＾2+2x+3で割りきれような
nはただ一つであることを示しそのnを求めよ


これがわかりません。宜しくお願いします。

>>23
x^2+2x+3=0の解は
x=-1±i√2、これをα、βとおくと
x^2+2x+3=(x-α)(x-β)で｜α｜=√3…�@
f(x)=x^n-nx+n-1をx^2+2x+3で割った商をQ(x)とおくと
f(x)=(x-α)(x-β)Q(x)
ゆえにf(α)=0よりα^n-nα+n-1=0⇔α^n=nα-n+1
両辺の絶対値をとり、三角不等式を用いると
｜α^n｜=｜nα-n+1｜≦n｜α｜+n+1
�@を用いると
(√3)^n≦(√3+1)n+1･･･�Aであることが必要である。
n≧5で�Aが成立しないこと、つまりn≧5で(√3)^n＞(√3+1)n+1･･･�B
となることを帰納法で示す。
n=5のとき�Bの左辺-右辺=4√3-6＞0より確かに�Bが成立する。
n=kで�Bを仮定すると(√3)^k＞(√3+1)k+1･･･�C
より�Cでn=k+1とおいたときの左辺-右辺=(√3)^(k+1)-(√3+1)(k+1)-1
＞√3((√3+1)k+1)-(√3+1)(k+1)-1
=2k-2＞0よりn≧5で�Bは成立し、�Aであるためにはn≦4であることが必要。
f(x)がP(x)=x^2+2x+3で割り切れるからf(x)は2次式以上でn=2,3,4の3通りに絞られる。
n=2のときf(x)=x^2-2x+1=P(x)-4x-2でこれは割り切れない。
n=3のときf(x)=x^3-3x+2=(x-2)P(x)-2x+8でこれは割り切れない。
n=4のときf(x)=x^4-4x+3=(x-1)^2*P(x)よりP(x)で割り切れる。

以上よりf(x)がP(x)で割り切れるnはただ一つ存在し、n=4である。

>>21
f(x)=x^2g(x)とおくと
f(x)=x^2g(x)=(x^2+1)g(x)-g(x)
f(x)=x^2g(x)=(x^2-1)g(x)+g(x)
よりg(x)をx^2+1で割った余りは-x-1,x^2-1で割った余りはx+3となる。つまり
g(x)=(x^2+1)P(x)-x-1　…(*)
g(x)=(x^2-1)Q(x)+x+3　…(**)
とおける。(*),(**)を満たす次数最小のg(x)を求めれば良い。そこで(*)を変形していくと
g(x)=(x^2+1)P(x)-x-1
=(x^2-1)P(x)+2P(x)-x-1
=(x^2-1)P(x)+2{(x^2-1)R(x)+ax+b}-x-1　(P(x)をx^2-1で割った商をR(x),余りをax+bとおいた)
=(x^2-1){P(x)+2R(x)}+(2a-1)x+2b-1
ここで(**)と余りを比較すると
2a-1=1
2b-1=3
∴(a,b)=(1,2)
∴P(x)=(x^2-1)R(x)+x+2
よってR(x)=0のときP(x)の次数は最小で、g(x)の次数も最小になる。すなわち
g(x)=(x^2+1)P(x)-x-1
=(x^2+2)(x+2)-x-1
=x^3+2x^2+x+3
が求めるべきg(x)。よってf(x)=x^2(x^3+2x^2+x+3)

>>23
>>24
n=1と4のふたつで割り切れるんだが、なんか俺が間違ってたらごめん。

>>26
n=1だとx^n-nx+n-1が恒等的に0になって多項式として定義できない。
0次式でもない。

>>24
ありがとうございます
わかりました。

>>26
すみません。n≧2，n∈Νが抜けてました。

>>23
昔の いうおいおｒうぃじょｆ のスレにあった問題だね。懐かしい。

>>10
そのとおりです
普通のルーレットは
黒が出たら２倍で
赤が出たら０倍です

>>21
ごめんなさい。訂正です。>>25の終わり4行を↓と差し替えて読んでください。

g(x)=(x^2+1)P(x)-x-1
=(x^2+1)(x+2)-x-1
=x^3+2x^2+1
が求めるべきg(x)。よってf(x)=x^2(x^3+2x^2+1)

>>24
虚数の絶対値及び三角不等式は現行では範囲外。
範囲内で解ける。

>>13
直径1の円に内接する3角形を考えてその3つの内角と考えると各頂点と外心を結び延長した直径と外接円の交点と頂点を結ぶ線分が3つの内角の余弦の値なのでその3つの和（もしくは内角に鈍角がある場合は1つは差）が直径の1よりも大きくなるのは図より明かとも

>>20
どちらでもよい
場合分けした方が分かりやすいと思えば場合分けし
場合分けしなくても分かると思えば場合分けしない

媒介変数θを用いて表された曲線
x=θｰsinθ
y=1ｰcosθ
およびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ

この問題の解き方と答えを教えてください

>>27
0は多項式だよ

>>36
じゃ、何次式？

次数の定義によるけど普通は0次式

>>38
0次式は0を除く定数では？
例．2008=2008x^0

普通はdeg(0)=-∞と定義する。じゃないと
deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))
が成り立たない。

>>36
＞0 次の項 a0 のことを定数項（ていすうこう、constant term, constant）と呼ぶ。
＞ただの定数を、定数項しかない多項式と見なすことができる。
＞次数の定義から、0 でない定数項のみからなる多項式の次数は 0 である。
＞しかし、定数 0 を多項式と見なすとき、その次数は便宜的に ?∞ と定義される。
(Wikipedia　多項式より)

定数0は多項式とみなす流儀もあるみたい。でも普通は多項式と言わない。
多項式はf(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)･･･+a0(n≧0,an≠0)でnを次数と言う。
定数0はam≠0となるmが存在しないから次数が定義できない。
だから次数-∞

0は多項式と見るのが普通だよ
次数は定義によって0としたり-∞としたり未定義としたり
普通は0次とするんじゃないかな
>>39
>普通はdeg(0)=-∞と定義する。じゃないと
>deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))
>が成り立たない。
0の次数を0とする場合は成り立たなくてけっこうです
-∞とする場合は-∞というものは
n+(-∞)=-∞とか(-∞)+(-∞)=-∞を満たすあるものと定義するのですが数値じゃないものをあえて導入しなくてはいけないわけではないわけです

>>40
>多項式はf(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)･･･+a0(n≧0,an≠0)でnを次数と言う。
というnがあればそれを次数なければ0次という定義でも一向に構わないのです

>>32
これ以外の解法は思いつかない。
しかし現行課程で複素数の絶対値まで範囲外になってるとは
思わなかった。偏角や回転が無くなっただけじゃないのね。
大学の採点官は範囲外だからと厳密に減点するのか、興味がある。
意欲的な受験生には常識だろうし。

狭義では、整式＝単項式＋多項式 だが、
広義では、単項式＋多項式 を多項式という事もある。
どっちでもいい。

>>3は改訂前の青チャの�Tなんですがだれかお願いします。。
解き方が省略されていてわかりませんm(__)m

>>32
難しいなあ(x-1)^2(x^(n-2)+2x^(n-3)+…+(n-2)x+(n-1))となることを使う？

>>43>>46

α^n＝nα-n+1、β^n＝nβ-n+1 を片々かけて、3＾ｎ＝6ｎ＾2−4ｎ＋1 を得る。
あとは2項展開で ｎ≦6 が必要で 4ｎ−1≡0（mod 3） を使う。

>>47
うまいなあ

>>3,45　本質的には図が必要だが文字で書く。
平面バージョンの問題だと「1辺5cmの正方形の内部を半径1cmの
円が動き回る、このとき正方形の内部で(ry」となる。
円が入れない領域は四隅にある1/4円が4つ分。
これを立方体の一面からまっすぐに対面を見通した情況とイメージせよ。

あるいは、直方体や立方体の箱や水槽の辺に添ってボールを移動させた
ときボールが通れないところが辺の中央付近と頂点付近に〃現れてくるか、
をイメージせよ（あるいは実験せよ）。

結局、通れない部分は
・頂点近傍…1/8球*8つの頂点
・辺の近傍…この1/8球を除くと、1/4円柱×3組
（立方体の辺の数は12、これらは互いに平行な4本*3組からなる）

したがって「球が通れない」部分の体積の総計は
半径1cmの球+底面の半径1cm、高さ3cmの円柱×3本
5＾3からこれらの総計を引いておしまい。

y=1/√tanXを微分するとどうなるんですか？

>>50
合成関数の微分で
(-1/2）(tanx)^(-3/2) * (tanx)' として計算。

aが０≦a≦１の範囲で変わるとき、直線ｙ=2ax+１−a＾2が通過する領域を図示せよ。
という問題がとけません・・・どなたかお願いします！

>>52
普通に解くなら、「この式を満たす実数x,yと0≦a≦1の組が存在する」
⇔「aの2次方程式とみなしたときに、0≦a≦1に実数解が存在する」
と考えて、これを満たすx,yの条件を考える。

エスパーできるなら（かつ微分既習なら）、
与えられた直線の式はy=x^2+1 の（a,a^2+1) を通る接線になっている
ことを（先に見抜いて）証明した上で、 0≦a≦1の範囲でこの接線が
通過する領域を考える。

>>52
ヒマだったからレスします。

直線の式をaの関数であらわすと、f(a)=a^2-2ax+y-1となる。これのf(a)=0の解が
0<=a<=1となる条件を求めればよい。

(1) まず実数解をもつ条件から、x^2-y+1>=0. よってy<=x^2+1という条件がでる。

次に、f(a)のグラフは下に凸の二次曲線で、軸がxになっていることに注目する。
(2) x<=0のとき、f(0)<=0の条件から、y-1<=0となるので、y<=1
(3) x>=1のとき、f(1)<=0の条件から、1-2x+y-1<=0となるので、y<=2x

したがって、問題が意図する範囲は、(1)〜(3)で囲まれた領域。

>>54
ごめん、0<x<1のときの条件を忘れた。これは実数解の条件のみ。以上。

あーちゃうわ。実数解の条件で、かつf(0)>=0, f(1)>=0や。たびたびすまんな。

>>54-56
そもそも「囲まれた」がマズいのだが。たとえばa=0の時の直線y=1は
どこまでも伸びるから、この上の点はx座標に関わらず直線の通過領域に入るのよ?

aの方程式としてみたときの2解とも[0,1]の間に入るとき（重解含む）は
>>56に書かれた通りで、これはy≧1かつy≧2xかつy≦x^2+1かつ0≦x≦1
これが2直線と放物線で囲まれた領域。

2解の少なくとも一方が[0,1]の間に入るときは
>>54 のf(a)を使ってf(0)*f(1)≦0 ⇔ (y-1)(y-2x)≦0
これは2直線の右上と左下の領域。いずれも協会を含む。

よって求める領域はこれらを合わせたもの。後半の領域に加え、
2直線が交わる左上の領域は、放物線y=x^2+1より下の部分が追加される。

これらふたつの場合わけは排他になっていないが、それぞれを合わせたもの全体で
題意を満たす領域全体を作れるのは間違いないので、論理的には大丈夫。
排他に分けようとするとかなり瑣末に場合わけする必要が生じる。

ごめんね、答は閉領域じゃないから、「囲まれた」はまずいな。

>>52

ほうじゃぁ別解

xを定数、ｙをaの関数と見て0≦a≦1における値域(当然xを含む不等式になる)
を求めても答え出るよ。

>>51
ありがてうこざいます
ｰ乗でも逆三角関数の微分は使わないのでしょうか？

>>60
「逆三角関数」について誤解してない?

y=tan(^-1)(x) のように表記する関数
（誤解を避けるためと記述の簡便化のために以下arctan(x)）は、
tanの値を元に元の角を-π/2<y<π/2の範囲で与える関数で、
たとえばarctan(1)=π/4、arctan(-√3）=-π/3

表記から連想される1/tanx とはまったく別のもの。

センターの統計とコンピュータの過去問では、正規分布とか推定などの
後半の問題が出ていないのですが、範囲には入っているのでしょうか？
どこかに公式資料とかあればよいのですが見つからないので。

>>62
高等学校学習指導要領@文部科学省
http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301/03122603/005.htm

正規分布・推定は数C範囲。

あ、そうでしたか。サンクス

数学で使われる………の意味を教えてください

y=2sigx+√3sin2x
の最小値と
y=2x-sin2x/x^2
の最小値を求めよと言う問題なんですが途中でどうしても計算がつまってしまいます、誰か解いて下さい。お願いします

>>35を誰かお願いします…

>>67
θの範囲が書いてないから解けない

>>66
後者は最小値なし
（x→-∞のときy→-∞）

すみません
１が指定無しで
２が0<X<πです

{f(x)-f(y)}(x-y)=f'((x+y)/2)が任意の相異なるx,yについて成立するとき、
何回でも微分可能なf(x)をすべて求めよ。

>>35 単純に、原点から右で初めてｘ軸と交わるところ〜その次に初めてｘ軸と交わるまで、
と考える。この曲線は原点を通り、
θを増やしたとき次にy=0になるのはθ=2πのときでこのときx=2π
この間ｘは単調増加（dx/dθ=1-cosθ≧0）だから動点はθを増やせば
ｙ軸から遠ざかる一方。

だから単純に公式を適用した上、積分変数を変換すればおけ、で、
π∫[0,2π]y^2dx
=π∫[0,π/2](y^2）(dx/dθ)dθ でいーんでね?
（下、x:0→2π でθ:0→2πを適用している。為念）

>>71
マルチ　(モテない男性板の大学受験を控える喪男のスレ475）

>>71
定数関数のみ

２次関数なら成り立つ。

>>75
f(x)=x^2

(f(x)-f(y))(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x+y)(x-y)^2

f'((x+y)/2)=x+y

左辺が分数になっていると勘違いしているのだろう

>>77
そうだったおｒｚ

ｘ＝ｙ としたら終わりなんで、誤植じゃないの？
何回でも微分可能なんていらないし。

>>72
ありがとうごさいます

>>68
θの範囲は0≦θ≦2πです

('A`)

>>79
＞任意の相異なるx,yについて成立するとき

>>82
微分可能だから連続

>70
y=2x-sin2x/x^2
0<x<π

x→+0のときy→-∞
x→-0のときy→∞
x→±∞のとき漸近線y=2xに収束
やっぱり最小値はない。

>66
sigってなに？シグマ？

低脳ばかりが沸いて出る日って周期的にくるね

原点から曲線 y=x+1/x　二引いた法線の方程式を求めよ。
答えがカオスになってまう・・・

曲線 y=x+ 1/x だ。すまん

>>86-87
何も変わってねえ。どこからどこまでが分子か分からねえ

x+ （1/x）という式。

y=x+(1/x), dy/dx=1-(1/x^2)=((x^2)-1)/(x^2)
x=aでの法線の式は
y=-(a^2/(a^2-1))(x-a)+a+(1/a)=(-a^2/(a^2-1))x+(a^3/(a^2-1))+a+(1/a)
定数項が0になる。定数項にaとa^2-1を掛け
a^4+(a^2-1)(a^2+1)=0 ∴a^2=±1/sqrt(2) (sqrt: ルート)
法線の式の傾き-a^2/(a^2-1)に代入して整理して
y=(1/(sqrt(2)-1))x, y=(-1/(sqrt(2)+1))x

定数項が0になるのかわからない・・・。
答えはy=（1+√2）x　になってる

>>91
有理化すればそうなる。>>90はちょっとミスがあった
a^2=±1/sqrt(2)としたが、aは実数で考えてるのでa^2>0だった
すると法線の式はy=x/(sqrt(2)-1)の方だけだ
有理化すればその答え。ただ、定数項=0として計算すれば2a^4=1って出てくる。

横からだけど
a^2は正だからa^2=1/sqrt(2)だけじゃないかと。
原点関係なしで法線決めて、原点通るから定数項0だよ。

完全に理解した。ありがとう。

二次関数ですが

y=-1/2(x-1)^2+1/2

のグラフは、
y=-1/2x^2のグラフをx軸方向に1、y軸方向に1/2だけ平行移動したもので、頂点が(1、1/2)

というので、何故頂点のx軸が1なのか分かりません-1ならばそのままなのかな、と納得しますが…

頂点の出し方を詳しく教えていただけないでしょうか？

�@(x-1)^2と�Ax^2を比べてみると、�@は�Aより1だけ大きいxで�Aと
同じ値になる。グラフで言うとyが同じ値になるところは１右にずれるから
全体が１右に移動する。

�@(x-1)と�Axだｽﾏｿ

正数qに対して、｜x-1｜＜pを満たすすべての実数xで｜x^2-1｜＜qが成り立つようなpの最大値を、qの関数とみてp（q）とする。
（1）p（q）をqで表せ
（2）lim［q→0］p(q)/qを求めよ
お願いします

まず、不等式 |x^2-1|<q を解いてみるか。

座標の問題です

f(x,y)=0　が座標平面を二つに分けるとき
(p,q)と(s,t)がこの直線のたがいに反対側にある条件は
f(p,q)・f(s,t)<0　というのがありますが

直線の方程式に、ある座標を代入して
f(p,q)<0　となるのは、その座標が直線の下にあるということだと解釈してよいのでしょうか？

感覚的にはわかるのですが・・・
できれば説明ないし証明をいただきたいです

感覚的に正しくないので分かってはいけない

>98
グラフを描くと�@｜x^2-1｜より右側に�A｜x-1｜があるから、�Aがｐを超えない
ｘの範囲をα〜βとすると�@がｑを超えないためにはβでｑを超えなければ良い。
と分かる。絶対値の中の正負で場合わけ要るけど割愛。
βはsqrt(q+1)、このとき�Aはsqrt(q+1)-1これがｐ。
p/q = {sqrt(q+1)-1}/q = 1/{sqrt(q+1)+1}。q→0で1/2

>>101
だからそれはなんで？ってことを聞きたいんだけど

適当な例を作ってみれば成り立たないことが分かる

>100
３次元で考える。z=f(x,y)は平面をあらわしている。f(x,y)=0はその平面と
z=0の平面が交差している事だから、線�@になり、その方程式ということ。
f(p,q)<0はz=0の平面より下にあるということ。下にあるからといって
先ほどの線�@に対してｘｙ平面に投影して上下は言えない。
f(p,q)・f(s,t)<0はz=0の平面に対して反対に位置するとは言えるけど
線�@に対して上下は言えない。と思うが・・どっかに書いてるのか？
y=f(x)なら言えるけど。

>>105
引用元は大数でしたが

すいません自己解決しました
不等式の基礎でしたね

ちなみにy=f(x)
移項するとf(x,y)=0になりますよ

>>105
>f(p,q)・f(s,t)<0はz=0の平面に対して反対に位置するとは言えるけど
>線�@に対して上下は言えない。と思うが・・どっかに書いてるのか？
言える
平面がf(x,y)<=>0で３つに分割されるから

f(x,y)の連続性から明らかとしていいだろう。
f(x,y)がx,yの整式からなる陰関数のとき、f(x,y)=0はxy平面を
いくつかの領域にわける。
境界線はf(x,y)=0だけだから、f(x,y)の連続性からそれぞれの領域で
f(x,y)の符号は一定。

M=[[9,4,1],[4,5,0],[3,10,0]]

逆行列を求めよという問題なんですが、さっぱりわかりません。
どなたか よろしくお願いします。

>>109
掃き出し法　でググれ

>>110
一応、掃き出し法でやったのですが、しっくりきません。
M=[[0,2/5,-1],[0,-3/25,0],[1,-78/25,13]]


これであっているのでしょうか？

0 　0.4　 -0.2
0 -0.12　0.16
1 -3.12　1.16

>>100はおかしくないか？
f(x,y)＝(x-y)^2 とすると f(x,y)＝0 ⇔ x＝y

>>111
合ってるかどうかは自分で確かめよう
もとの行列と書ければ単位行列になるのだから

三角関数なのですが
a,b,c,dを定数とする。ただしb>0,c>0,0≦d<2πとする。
関数f(x)=a＋bsin(cx＋d)が周期6πの周期関数で、x=πで最小値-2をとり、最大値が38であるとき、
a,b,c,dの値を求めよ。
と言う問題が分かりません
どなたか解答、解き方などをよろしくお願いします。

>>107
で、結局何が間違っていたんですか

>>113
それは(x-y)^2=0がy=xに一致するという意味だろうけど
だから何？としか言いようがないです、すいません
反例になっているとは思えません

>>115
周期6πはy=sin(x)の周期2πの3倍。したがってc=1/3
x=πを代入して sin(cx+d)=sin(π/3+d)
sinが最小値になるのは引数が3π/2 と等価になるとき。
よって与えられたdの範囲から、π/3+d=3π/2 d=7π/6

c+dx=tとすればf(x)=g(t)=a+bsin(t）と単純化できて
ｔが１周期分以上変化できるなら、
g(t)の最大値がa+b、最小値がa-b、最大値と最小値の平均がa。
（a,bに適当な値を入れて、a+bsin(t)のグラフを考えてみよ）
よってａ=(38-2)/2=18。b=38-18=20

>>112
答えでしょうか？
>>114
行列を理解していなんで、単位行列すらわかりません；


製品Aは7万円の利益、製品Bは12万円の利益が生まれる。
製品Aを作るには原料が9kg、電力が4kWh、労力が3人。
製品Bを作るには原料が4kg、電力が5kWh、労力が10人。
利用できるのは、原料が360kg、電力が200kWh、労力が300人。
利益が最大になる数値を求めよっていう問題です。

K＝7x＋12y･･･(1)

9x＋4y≦360･･･(2)
4x＋5y≦200･･･(3)
3x＋10y≦300･･･(4)
とおく。

シンプレックス･タブロー法により、(2)(3)(4)にスラック変数(u,v,w≧0)を代入すると
9x＋4y＋u≦360･･･(2)´
4x＋5y＋v≦200･･･(3)´
3x＋10y＋w≦300･･･(4)´

(x,y,u)を基底とすると
B=[[9,4,1],[4,5,0],[3,10,0]]
X=[[x],[y],[u]]
F=[[360],[200],[300]]
となり、BX=F･･･(5)を満たすXを求める。ここでBの逆行列B-1を求める。
ここまで、誘導にしたがってやったんですが、行列を理解していないので、ここからさっぱりわかりません。どなたか力貸して下さい。

3次の逆行列も公式があるからそれを覚えてもいい
�@�A�B
�C�D�E
�F�G�H
を
　 　 �G�H
　 �@�A�B�@
�E�C�D�E�C
�H�F�G�H
　 �@�A
と書いて

�@↓　�A↓　�B↓
�D�E　�G�H　�A�B
�G�H　�A�B　�D�E

�C↓　�D↓　�E↓
�E�C　�@�B　�B�@
�H�F　�F�H　�E�C

�F↓　�G↓　�H↓
�C�D　�F�G　�@�A
�F�G　�@�A　�C�D

とそれぞれのところをたすき掛けで計算して
�E�F�A＋�@�D�H＋�G�B�C−�G�@�E−�B�D�F−�C�H�A
で割る

>>116
直線の下、というのはあるx座標に固定したとき、その点のy座標が
直線のy座標より小さいということ？
そう解釈すると

反例:f(x,y)=x-yとおくと
ここで(p,q)=(1,2)とすると
f(p,q)=1-2=-1<0だけど
この点(p,q)は直線f(x,y)=0より上にある(点のy座標のほうが大きい)

>>118 単位行列が何か理解してないなら、行列の乗法も出来ないんじゃない？
もしそうなら、逆行列がどんな形になるか示しても、あなたは絶対に
この問題解けない。まじめに行列の基礎勉強しなおしてから数学板か
経済板行って聞くのが良い。

そもそも、何でその問題の解答聞きに受験板にくるのか、百万遍問い詰めたい。
3*3行列の逆行列は高校課程の範囲外だということも知らないんだろうな…

>>118
単位行列がわからないとは・・・？
E=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]

>>117
ありがとうございました

>>116
>>>107
>で、結局何が間違っていたんですか
>>107では君の書いた前半が間違っていないということを書いた

>>>113
>それは(x-y)^2=0がy=xに一致するという意味だろうけど
>だから何？としか言いようがないです、すいません
>反例になっているとは思えません
>>113は一般のf(x,y)で判例があることを言っている

私はf(x,y)=0が直線の方程式だと>>100に書かれているのを１次方程式だと鵜呑みにして考えていた

>>117
>sinが最小値になるのは引数が3π/2 と等価になるとき。
この引数というのは「引くと」と言う意味で考えてよいのでしょうか?

sin(x)ならx
関数に対して渡される（入力される）値のこと

>>126
ありがとうございます

>>120
上か下かって捉え方は良くなかったですね
x-y<0を満たす点の集合と、x-y>0を満たす点の集合にわけているって考え方で良いのでしょうか？

>>121
すれ違いだったようで、すいません。

自分なりにやってみたのですが、K=-1828じゃおかしいでしょうか。

>>128
それでいいよ
ちなみにf(x,y)>0を満たす領域を正領域、f(x,y)<0を満たす領域を負領域という

K=428

>>131

全然違いますね。。。
ありがとうございます。
x,y,uも教えてもらえないでしょうか。
お願いします。

>>130
あざす

ttp://miho.hiroshima-cmt.ac.jp/~labo03/nagai/taburo.html
このページから全部手順載ってます。まったく同じ問題です。

数列｛an｝について、S[n]＝Σ［k=1,n］a[k]（n=1,2,3…）,Sn＝0とおく
a[n]=S[n-1]＋n2^n（n=1,2,3…）
が成り立つとき次の問いに答えよ
（1）S[n]をnの式で表せ
（2）lim[n→∞]Σ[k=1]2^k/a[k]を求めよ
お願いします

>>134

ありがとうございます！！
めちゃくちゃ助かります。

>>135
両辺にS[n-1]を足すと
S[n]=2S[n-1]＋n*2^n
2^nで両辺割って
S[n]/2^n=S[n-1]/2^(n-1)＋n
ゆえにS[n]/2^n=1+2+･･･+ n=1/2*n(n+1)
S[n]=2^(n-1)*n(n+1)
(n=0でも正しい)

x≧sinxを示せ
微積を使ってしまう方法(移項して微分or円の面積)しか思いつきません…
よろしくお願いします

移項→微分で問題ない気が…
まぁy=xはx=0でのy=sinx(0≦x≦πでは上に凸)の接線だから明らかかな。
関連して2x/π≦sinx≦x(0≦x≦π/2)は覚えておいた方が良いよ

問題ないけどそれしか思いつかないのは問題。
初等的には、半径１の扇形描いて垂線下ろして長さ比較。

>>96>>97
解決しましたありがとうございます!!

n!+7が素数となるときの整数nをすべて求めよ

この問題の解き方と答えを教えてください

>>142
n≧7だとn!+7は7の倍数で、素数じゃないので
n≦6の範囲でn!+7が素数になるものを探す。

黄茶�Uの１４７なんですけど、


log2(X^2＋√2)のとりうる値の範囲が分かりません


どなたかお願いします

x は実数？　なら、偶関数だから、x≧0 を考えよう。
log(x) は x>0 で増加で、 x^2+√2>0 も x≧0 で増加だから、log(x^2+√2) も x≧0 で増加。

ｙ＝-２ｘ^２-ｘ-１の関数のグラフを書けという問題で

計算していくと

どうしても

-２(ｘ+１／４)^2-１の
頂点(-1/4､-1)
軸ｘ=-1/4
になってしまいます。
解答では
＝-2(ｘ+1/4)^2-7/8

の
頂点(-1/4､-7/8)

となっていました。

何が違うのか分かりません。

どなたか宜しくお願いします。

y=-2(x^2)-x-1=-2(x^2+(1/2))-1=-2((x+1/4)^2-(1/16))-1=-2(x+(1/4))^2+(1/8)-1

x,yが
y≧0
y≦x+1
2x+3y≧3
3x+y≦9
これらを満たすときx+3yの最大値を求めよ


領域は4点
(0,1),(3,0)〜　を頂点とする四角形の内部

この頂点ってどうやって求めたんですか？

xy平面に条件を図示して、2直線の交点を平凡に連立して解いただけ

>>149
それしかないんですか？
ものすっごい面倒ですね

こんなことくらいで面倒と思わない程の計算力はつけてもらいたい

>>151
切片？でしたっけ
中学さぼりだったんで関数はイマイチ解き方がわからないんです

「yが0のときxは3/2で〜」みたいにやって混乱して時間かかります
計算そのものは速いので解き方さえ頭に浮かべばわかるんですがね

>>152
一般に
x/a + y/b = 1なら
x切片がaでy切片がb　(それぞれy=0,x=0を代入して確認せよ)


2x+3y＝3 ⇔x/(3/2)+y＝1
この直線のx切片は3/2で、y切片は1

(x/a)+(y/b)=1は切片形だね。

>>153
2x-3y-6=0なら

2x-3y=6　　　切片は6/2と6/-3
　　　　　　　　=3と-2ってことですか？

なりますね。ありがとうございました。

nが自然数のとき次の不等式を証明せよ。ただしa＞0とする
（1）（a＋1）^n≧a^n＋na^(n-1)
（2）（n＋1）^n≧2n^n
お願いします

(1)二項定理
(2)(1)でa=nとおく

ドキュンな質問すまん。
相加・相乗平均って何？(笑)
数学二歳児並の俺にわかりやすく頼む。

>>158
相加平均：n個の数を、文字通り相（あい=相互に）加えた結果をｎで割った平均。
いわゆるふつうの平均。

相乗平均：ｎ個の数を、文字通り相乗じて（掛けて）その結果のn乗根を取った
平均。ｎ乗根が分からないなら流石に面倒見切れない。

たとえば、激しいインフレが進んで、3年間のそれぞれの物価上昇率が
1.5倍、2倍、2.5倍だったとき、3年間通じて1年あたりどれだけ物価が上がったかは
相乗平均を使って、12*1.4*1.6の3乗根=1.9757… 倍 ということになる。
相加平均で2倍と考えると、3年で8倍になったことを主張することになって
話がおかしくなる。

二歳児の俺にはやっぱ�_だったな(笑)
とりあえずどうもス

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ二次関数を求めよ

３点(１,１)(２,０)(４,４)

で、
1=a+b+c…�@
0=4a+2b+c…�A
4=16a+4b+c…�B

までは分かったのですが、ここからどういう計算の仕方で
a=1,b=-4,c=4となるのか分かりません…

どなたか宜しくお願いします。

>>156で(3）n!≦2(n/2）＾nをくわえたやつ
を教えてください

>>162 a_n=2(n/2)^(n)/n! とおく。a_(n+1)/a_n=(n+1)^(n)/(2n^n)≧1 (∵(2)).
然るに a_n≧a_(n-1)≧……≧a_1=1.

>>162
(m-k)(m+k)=m^2-k^2<m^2=(n/2)^2
(m-k+1)(m+k)=(m+1/2)^2-(k-1/2)^2<(m+1/2)^2=(n/2)^2
を使う

何を求めたらいいのかがわからない・・・
誰か解き方教えてください

次の関数の原点における微分を求めよ

f(x)= 3x^3 - 4x +1

このグラフは原点を通らないと思うんですが、原点における・・・の意味がわからないです。

誤解させてしまうと申し訳ないがその問題ではxy平面上でグラフを考えているのではない
変数xは実数を動くが実数全体を数直線（普通言うところのx軸）と見てその原点（x=0）のことを言っている
「関数y=f(x)=3x^3-4x+1の原点における微分（係数）」であればxy平面上のグラフを想定していることになるだろうから「原点における」は少し意味が通らなくなるがそれでも上記のように修正して考えることができよう

x=0のことを考えればいいってことですか？

>>162は帰納法で解けますか？？

(5l+6)/(8l+7)が既約分数でないような正の整数lを全てもとめよ

お願いします

x=5i+6
y=8i+7
の最大公約数をd>1とすると
8x-5y=13はdの倍数だからd=13
5i+6=13mと置くと
5・4+6=13・2より
5(i-4)=13(m-2)
よってi-4=13nとなるのでi=13n+4

以下の論理式に括弧を付けて、優先順位を明確にせよ。
p∨s→∧〜r

で、解答は、((p∨s)→(q∧(〜r)))　なんですけどなぜこうなる
んですか？

ちなみに参考書には、優先順位が高い順に
〜、∧、∨、→　とあります。

解説よろしくお願いします。

参考書に書いてるとおりだと思うぞ

放物線 C0 : y-x^2-ax+aについて、C0の頂点Pの座標をaで表せ。
また、aがすべての実数を動くとき、点Pの軌跡C1を求めよ。
がわかりません。
教えてください。

y＝x^2-ax+a　じゃないにょ？

α＝(3+√13)/2
αを次の式に代入
α+(1/α)
するのですが
簡単な計算方法はありませんか？

tan37ﾟ=0.7536
1/(tan37°)=?

の値の導き方がわかりません。
お願いします。

tan でググレカス

以下の論理式に括弧を付けて、優先順位を明確にせよ。
p∨s→∧〜r

で、解答は、((p∨s)→(q∧(〜r)))　なんですけどなぜこうなる
んですか？

お願いします。

間違えました

以下の論理式に括弧を付けて、優先順位を明確にせよ。
p∨s→q∧〜r

で、解答は、((p∨s)→(q∧(〜r)))　なんですけどなぜこうなる
んですか？

お願いします。

x<y<z,(x+y)^z=(y+z)^x=(z+x)^yを満たす自然数x,y,zを求めよ。という問題が全然分かりません。
どなたか解法を教えてください。

>>175
1/α=2/(3+√13)=2/(3+√13)*(3-√13)/(3-√13)=(-3+√13)/2

>>179
誰かがそういう風に定義したから。
この問題は、その定義を知っているかどうかを明確化するだけの問題

>>176
1/tanθ=1/0.7536を手で計算すればいいんじゃないにょ？

>>182
優先順位は〜、∧、∨、→
らしいです。お願いします。

>>180
存在しないというのが答？

微分の問題なんですが・・・この問題お願いします！
　
a,b>0とする。ｘｙ平面上の楕円ｘ＾２/a＾２＋ｙ＾２/b^２＝１上に異なる３点A,B,C
があり、Ａは（a,０）に固定されている。Ｂ、Ｃが楕円上を動くとき、△ＡＢＣの面積の
最大値を求めよ。
お願いします！！

>>186
(3√3/4)abかな？微分使わないで解いたけど間違ってたらごめん。
>>185
答えは知らないです。存在しなければその証明を教えてほしいです。

>>187さん！！
どのように解いたのでしょうか・・・？すいません答えもよく分からないんです・・・
何年か前の入試もんだいらしいですが・・・

>>187
a=x+y, b=y+z, c=z+xと置くといいみたいよ
>>188
楕円は円を圧縮したもので
内接三角形は圧縮しても内接三角形
面積比は一定
円の内接三角形は正三角形のとき面積最大

（ｘ＾２＋ｙ＾２−１）＋ｋ{（ｘ−１）＾２＋（ｙ−２）＾２−４}＝０
は2円を通る直線または円の方程式を表す
というのが良くわからないので、説明お願いします。

k=-1のときは1次式だから直線
k≠-1のときは2次式でｘｙの項はなくx^2とy^2の項が同じ係数なので円

>>180
数オリスレにあったやつじゃないか。>>189でいけるけど

>>190
f(x.y)=kg(x.y)・・・�@とおくときに
f(x.y)=0かつg(x.y)=0となる(x.y)の組aに対して、�@は成り立つ
つまり、x.yの式�@はaに関して成り立つ
つまり、�@のグラフはkによらずaを通る
あとはkの値によって円の方程式になったり直線の方程式になるっていうだけの話

>>192
数オリスレってどれ？

a,bが3で割り切れない整数のとき、a^3＋b^3が
（ｱ）3で割り切れない
（ｲ）3で割り切れるが9で割り切れない
（ｳ）9で割り切れる
条件をそれぞれa-bの条件として表せ
お願いします

以降法を3とする

a≡1のときa^3≡1
このときb≡1ならば
a^3+b^3≡2は3で割り切れない
b≡2ならばb^3≡8で
a^3+b^3≡9は3でも9でも割り切れる
a≡2のときa^3≡8
このときb≡1ならば（上と同様）
b≡2ならば
a^3+b^3≡16≡1は3で割り切れない

以上から
a-b≡0のとき3で割り切れない
a-b≡1のとき9で割り切れる

数列の初項を、よくaで表しますが

ただ単にアルファベットの一番先頭の文字だからというぐらいの理由でしょうか

ｄとｒも何かあるのかな？

＞＞１９８
志村、イニシャル
＞＞１９７は　しらない

>>199
kwsk

difference, ratio

>>180
a=x+y<b=z+x<c=y+zと置くと
a^(-a+b+c)=b^(a-b+c)=c^(a+b-c)となるので
a=d^p, b=d^q, c=d^rと置ける（素因数分解の指数についての考察を要す）
2x=a+b-c>0よりa+b>c
2d^q>d^p+d^q>d^r≧d^(q+1)より矛盾

ふと思ったのですが、次の条件(i)〜(iii)を満たす三角形は存在するのでしょうか？

(i)各辺の長さは互いに異なる自然数
(ii)面積は√3の有理数倍
(iii)いずれの角も30°の整数倍ではない

存在するならば一例を、存在しないならばその証明を教えてください。

>>180
(x+y)^z=(y+z)^x⇔log(x+y)/x=log(z+y)/z
f(t)=log(t+y)/tとおくとf(t)が単調減少であることからも出来ます。

正数qに対して、|x-1|<pを満たすすべての実数xで|x^2-1|<qが成り立つようなpの最大値をqの関数としてp(q)したとき、p(q)をqで表せ

>>205です
全くわかりません。お願いします

デジャビュ

フレキシブルの問題なのですが
●三角形の性質
1st 123 ∠90゜である直角三角形ABCにおいて、辺BC、CA、ABと内接円との接点を
それぞれD,E,Fとする。BD=7,CE=2とするとAF=□□,外接円の半径は□□となる。
↑□□は穴埋めです。
●円の性質
130 AB=３,BC=4,CD=7である四角形ABCDがあり、４辺AB,BC,CD,DAは円Ｏに接している
このときDA=□□である。

>>208
マルチ

ｘに関する方程式　
４ｘ＾３−（a-2)ｘ−（ａ＋４）＝０（aは整数）が整数でない正の有理数を解として持つとき、この解を求めよ
　お願いします。

>>210
x=p/2 （pは正の整数）

>>211さん　どうしてそのような答えになるのでしょうか・・・教えてください！！お願いします！！

ｘ＝ｐ/ｑ （ｐ、ｑは既約）とおいて代入して、ｑをかける

>>205です
pを固定すればいいんですか？誰か教えていただけませんか？

>>98

ありがとうございます

>>205
|x-1|<p⇔1-p<x<1+p
|x^2-1|<q⇔1-q<x^2<1+q
q<1なら-√(1+q)<x<-√(1-q)または√(1-q)<x<√(1+q)
q≧1なら-√(1+q)<x<√(1+q)
これらの包含関係を調べる
q<1のとき√(1-q)≦1-p, 1+p≦√(1+q)よりp≦-1+√(1+q)≦1-√(1-q)で
pの最大は-1+√(1+q)
q≧1のとき1+p≦√(1+q)よりp≦-1+√(1+q)
いずれにせよpの最大は-1+√(1+q)

a≧0,b≧0,c＞0とする。方程式ｘ＾３−ａｘ＾２−ｂｘ−ｃ＝０は、
必ず正の解をもち、かつ正の解はただ一つであることを示せ。

という問題で

（１）ｂ＝０のとき
　　(�@)ａ＝０のとき・・・
　　(�A)ａ＝０でないとき・・・
（２）ｂ＞０のとき
　　　・・・

というように場合分けするのはなぜですか？
教えてください。

>>211
pに条件は？たとえばp=1だと4(1/2)^3-(a-2)/2-(a+4)=0よりa=-3/5で題意を満たさない

p^3-(a-2)p-2(a+4)=0
p(p^2-a+2)=2(a+4)
pは奇数なのでa+4はpの倍数a+4=npと置くと
p^2-a+2=2nよりp(p-n)=2(n-3)再びn-3=mp
p-n=2mよりm=1-5/(p+2)よってp+2=±1,±5
p=-3,-1,-7,3
m=6,-4,2,0
n=-15,7,-11,3
a=41,-11,73,5

>>218
その場合分け必要かな？
f(x)=x^3-ax^2-bx-cはf(0)=-c<0なので正の実数解を1つまたは3つ持つ
f'(x)=3x^2-2ax-bはf'(0)=-b≦0なのでf(x)に極大極小はないかまたは正の実数の範囲には1つしかないのでf(x)=0に正の実数解が3つあることはあり得ない

>>219
整数でない正の有理数を解として持つ(>210)とx=p/2 p=-3,-1,-7
って矛盾してない？他に正の有理数解あればいいのかな？

>>221
正を見落としていた
p=3,a=5のみですか

>>220
>正の実数解を1つまたは3つ持つ
重解を含めると2つもあり得るが以下の考察に影響なし

(p+2)(p^2-2p-a+6)=20

1から10までの10個の整数から異なる5個をとってその積をAとし、残りの5個の積をBとする。A≠Bであること示せ。
さりにのうち√（10！）より大きいものの個数をM、√（10！）より小さいものの個数をNとする。M＝Nとなることを示せ
お願いします

>>225
「さりのうち」ってなに？

A,Bのどちらか一方のみが7の倍数なのでA≠B

1から10までの10個の整数から異なる5個をとってその積をAとし、残りの5個の積をBとする。A≠Bであること示せ。
さらにそのうち√（10！）より大きいものの個数をM、√（10！）より小さいものの個数をNとする。M＝Nとなることを示せ
お願いします

>>218
数III的にすれば

c＞0 より x^3-ax^2-bx-c＝0 ⇔ 1＝a/x+b/(x^2)+c/(x^3)
f(x)＝a/x+b/(x^2)+c/(x^3) は ｘ＞0 で単調減少

>>227
後半のみ

10個の数字を5個ずつの2組に分ければ、自動的に一方の積が√（10！）より大きくなり、他方の積は√（10！）より小さくなる
ので当然M=N

どなたか>>203お願いします。

不等式ax>bが以下の場合にどうしてそのようになるのか教えてください。
a=0かつb<0の場合→任意の実数。
a=0かつb≠0の場合→存在しない。

>>229
前半をお願いします

礼も書かずに再要求か？
そんなんじゃ誰も答えてくれんぞ

もしA=Bならば
　A=√(10!)
　しかし10!は素因数7をひとつしかもたないので√(10!)は整数ではない
ゆえに仮定は間違っている

よってＡ≠B

質問厨に余り期待をしてはいけないと思う。
全部書くとシカトだから、俺はﾋﾝﾄしか書かない。

∫［-1/2,2］1/(x^2+1)dxの計算なんだが…x=tanθと置いてとけない…どうすればいいんですか？？

∫［-1/2,2］1/(x^2+1)dx=arctan(2)-arctan(-1/2)
積分区間本当に合ってるのか

>>237
合ってます…

そうか、90ﾟ(=pi.2)が答えだ。傾き2, 傾き-1/2の2直線のなす角のことだからな。
うまく説明できないな。

>>236
x=tanθと置いて解ける
>>239に従って図を描くこと

>>240
すいません…よくわかりません

代ゼミの明日までの添削問題がちらほらあるな…

x = tanθとして
dx/dθ=tanθ^2 + 1
これで積分できるだろ？出来たら>>239,240の意味も分かる。
xの-1/2〜2に対応するθを単位円上に描いてみようぜ。

関数y=ax-a+3(0≦x≦2)の値域が1≦y≦bであるとき、定数a、bの値を求めよ
って問題で、
a=0のときの場合分けで、値域y=3が1≦y≦bにはなりえないって意味がよく理解できません
どういう意味でしょうか？
教えて下さい

>>203は数学板で聞くことにしました。
考えていた方、ありがとうございます。

>>244
a=0のときy=3となって定数になっちゃうでしょ？
だけど条件の値域としては1≦y≦bって言ってるからおかしいじゃん。（y=3ならば値域はy=3って言わなきゃいけないから）
だからa<0とa>0で場合わけしないといけない。

>>246
ならもし、3≦y≦bならおかしくないんでしょうか？

>>247
おかしくないよ

f(x)は三次式でありf(x)をf'(x)で割った時の余りが定数であったとする。
この時f(x)=0をみたす実数解は一つであることを示せ

お願いします

Ｓが偶数であれば、Ｓは36で割り切れることを示せ。

ｎ！を10進法で表示したとき、
下3桁に0が3個並ぶような自然数ｎの中で最小のものを求めよ。

お願いします

sin(-θ)=-sinθ　と　cos(-θ)=cosθ
を詳しく正しく証明してください。

>>250
2が36で割り切れるとは知らなかった

下3桁に0が3個並ぶ→素因数分解したとき2^3*5^3を含む ∴15

>>249 f(x) を f'(x) で割った商を g(x), 余りを a とすると、f(x)-a を考えることで、最初から a=0 としていい。
このとき、f(x)=g(x)f'(x). g'(x)=1/3 に注意して、両辺繰り返し微分すると、
(2/3)f'(x)=g(x)f''(x), (1/3)f''(x)=g(x)f'''(x). f'''(x) は定数だから、結局、k を定数として、f(x)=k(g(x))^3 となる。
g(x) は一次関数だから、f(x)=0 は、唯一つの実数解を持つ。
>>251 単位円でも描いたら？

>>256が証明できたとして、単位円ではなく半径rの円でも同様のことが言えるのを
証明するにはどうすればいいですか？

>>253
＞f(x)-a を考えることで、最初から a=0 としていい。
なんで？

>>255 余りが 0 のとき：f(x)=(ax+b)^3 になる。
一般に、余りを c とすると、h(x)=f(x)-c と置くと、h(x) を h'(x) で割った余りは 0 だから……とすべきだったか。

でもそれなら、余り 0 からやらなくても、f(x)=g(x)f'(x)+c からやってっても変わらないな……／(^o^)＼

>>256
(1/3)f''(x)=g(x)f'''(x)⇒f(x)=k(g(x))^3
はどうして？積分してるってことか？積分定数は？
例えばf(x)=k(g(x))^3+Cでもよくね？

＞一般に、余りを c とすると、h(x)=f(x)-c と置くと、h(x) を h'(x) で割った余りは 0
でもh(x)が実数解ひとつなのとf(x)=h(x)+cが実数解ひとつなのって関係なくね？



俺が間違ってたらスマン

>>258 前半：f''(x)=3f'''(x)g(x) を (2/3)f'(x)=g(x)f''(x) に代入、で、f'(x)=ほげほげを f(x)=g(x)f'(x) に代入して得られる。
後半：(ax+b)^3+c=0 の実数解は一つ。

もっと推敲してから投稿すべきでした、ごめんなさい。

∫１／ｓｉｎχ ｄχ
って どうやるの？

もう ３０分くらい悩んでる・・
基礎なのに独学だときつい

1 / sin x
= sin x / sin^{2} x
= sin x / (1 - cos^{2} x)
cos x = t とおくと -sin x dx = dt

そのあとが分からないんだ↓

部分分数分解やったんだけど答えが合わなくて・・

範囲は π／３→π／２
で答えが1/2log3なんだけど・・

>>259
完璧に理解した。俺がアホだったスマン。



一応泥臭く解いてみた
>>249
係数は実数とする。以下、f'(x)が2次式であることに注意する。
(�@)f'(x)＝0が実数解を持たないとき
f'(x)は常に正、または常に負でf(x)は単調だから実数解を一つしか持たない。

(�A)f'(x)=0が重解x=αを持つとき
f'(x)はx=α以外で常に正または常に負で、実数解を一つしか持たない。

(�B)f'(x)=0が2つの異なる実数解α、βをもつとき、
f(x)は極値をもつ。kを定数として
f'(x)=k(x-α)(x-β)とおけ、題意の割り算よりaを実定数,Q(x)を整式として
f(x)=k(x-α)(x-β)*Q(x)+a
ゆえにf(α)=f(β)=a
∴f(α)*f(β)=a^2≧0
よって極値の値の積が非負なので、実数解を一つしか持たない。

>>230
I　a^2+3=b^2を満たす自然数(a,b)は(1,2)しかない。
なぜならば(x+y)^2-x^2≧(x+1)^2-x^2≧3 (x,y∈N)。

II　 i, iiを満たす三角形は、相似比整数倍に拡大して高さをちょうど√3、三辺を自然数とできる。
高さ√３の線分に沿って、三角形を二つの直角三角形に分ける。
どちらの直角三角形についても、三平方の定理および I より、内角が30・60・90度の三角形となる。
これはiiiと矛盾する。
以上より、i,ii,iiiを同時に満たす三角形は存在しない。

>>262
たぶん最初の積分区間は[0,1/2]かな？

∫[π/3,π/2]1/sinx*dx
=∫[π/3,π/2]sinx/(1-(cosx)^2)*dx
=∫[1/2,0]-1/(1-t^2)*dt
=∫[0.1/2]1/(1-t^2)*dt
=∫[0,1/2](1/(1-t)(1+t))*dt
=1/2*∫[0,1/2](1/(1-t)+1/(1+t))*dt
=1/2*[-log(1-t)+log(1+t)][0.1/2]
=1/2*[(-log(1/2)+log(3/2))-(-log1+log1)]
=1/2*log3


>>264
うーん、ある点から垂線を下ろしてその垂線の足が
底辺を整数に分けるとは限らない気がするんだが・・・

=1/2*∫[0,1/2](1/(1-t)+1/(1+t))*dt
=1/2*[-log(1-t)+log(1+t)][0.1/2]
の

1/(1-t)→-log(1-t)
となるときのなぜマイナスが付くのか教えて下さい

>>266
log(1-t)はlogxとx=1-tの合成関数だから

全くきずかなかったorz

∫1/f(χ)＝log|f(χ)|
としか 考えてなかった
ありがとうございました

なぜ積分すると面積が求まるのか、良くわかりません。
解説お願いします。

>>269
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/teisekibun-to-menseki.html

>>263
最後の1行はおかしい。

>>251が証明できたとして、
単位円ではなくて半径がrの円の場合も同様だということを証明してください。

>>251
教科書読んだほうが早い

教科書には正確なものはのっていませんでした。
お願いします。

>>274その教科書、文科省に通報した方がいいな。
下記URL見て>>251分からなかったら>>272も分からないよ。半径なんて関係ない。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html#1

>>265
>うーん、ある点から垂線を下ろしてその垂線の足が
>底辺を整数に分けるとは限らない気がするんだが・・・
√a+√b=cのときa,bは平方数
>>264
>相似比整数倍に拡大して高さをちょうど√3、三辺を自然数とできる。
高さはn√3では？

14,15,19？

>>203
7、10､13 は反例にならないか？

関数をf(x)＝e^(-x^2)とおく
自然数nに対し
I[n]＝∫［0,1］x^(2n-1)f(x)dx
とおく。I[n+1]をI[n]を用いて表せ
お願いします

>>277
ほんとだ！ありがとうございます。

部活も終わり受験まっしぐらなんですけど、数学に関しては、中途半端に理解して、何をやっていいかわかりません。６月14日に模試があります。 完璧は無理だと思いますが半分くらいを目指し、数学�TA�Uの基礎からできる参考書を教えて下さい。

>>278
I [ n + 1 ]/I [ n ] = ( 1 - n )/( 2 - n )
あってる？

半径6の円周上に、AB=6√3 , BC=6 をみたす点A,B,Cがある。
ただし、点Cは弧ABのうち短い方の上にあるものとする。さらに、2点A、Bとは異なる点Pを
弧ABのうち長い方の上にとり、∠PAB=θとするとき、各問に答えよ。

(1) ∠APBの大きさを求めよ。また、θのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 線分AP,CPの長さをそれぞれsinθ,cosθの式で表せ。
(3) △ABP、△BCPの面積をそれぞれ S1 , S2 とするとき、S1 , S2 をそれぞれsinθ, cosθの式で表せ。
　　また、S1-2(S2)の最大値、最小値とそのときのθの値をそれぞれ求めよ。

(1)はあってると思うのですが(2)からはさっぱりです・・・。
一応(1)は∠APB=π/3 , とり得る範囲が0<θ<2π/3　と出ました。
(2)のAPは12sin((2π/3)-θ)と出たのですが合ってますか？

>>282
S1=18sqrt(3)*{sqrt(3)cosθ+sinθ}
S2=18　　　　*{sqrt(3)sinθ+cosθ}
S=S1-2*S2=36sin(θ+5/6π)
Smax=18,Smax=-36
かな。前は一緒になった。S=1/2absinθの公式でやったけど、あってる？>all

aは実数の定数とする。無限級数　　　
　
　　�農[n=1,∞]a^n・sin(2nπ/3)

の収束、発散を調べよ。
　　
sin(2nπ/3)が
√3/2→(-√3/2)→0→√3/2・・・
を繰り返してることは分かったんですけど、
そこからどうすればいいのか分からないです。

nを3で割った余りで場合分け。n=3m+k(k=0, 1, -1 or 2)
収束するというのは、nがどんな余りのときも同じ値に収束して初めて言える

最後に教えて下さい
>>244 >>246 >>247 >>248

もし値域の条件が1≦y≦5でも大丈夫何でしょうか？

ダメ
噛み砕いて説明すると、xの定義域X全体をyに反映させたとき、
そのy全体が値域f(X)。だからa=0のとき、値域は3

円周率が3.141592…であることを示せ。

数学がわかってない馬鹿のせいでこのスレ過疎ったな。
３．１○○より小さいことは示せるが、
３．１４１５９２・・・・であることは示せない。

誰か写像について詳しく載ってる本教えて下さい<(_ _)>なんか腑に落ちないとこがある…恒等変換とかは解るんですが、行列との絡みとかしりたい…

AとBが互いに素であるとはどのような場合のことを言うのですか？

AとBの公約数が1だけ。

質問させてください。

青チャ数�VＣ　P.69　基本例題41

【解答】で、

「 ここで sin∠OPｎA＝sin∠OPnB 」

となる理由がわかりません。

教えてください。お願いいたします。

どうしても解けないのでお願いします。
３けたの自然数のうち、条件｢３で割ると２余りかつ4で割ると３余る｣を満足するすべての自然数の和として、正しいのはどれか。


1. 41285
2. 41295
3. 41305
4. 41315
5. 41325

余りがそれぞれ違うとやり方が解らないんです。

>>294
3と4の最小公倍数12で割った余りで考えると11余る場合にあたる
100÷12=8...4
1000÷12=83...4
より公差12の107〜995の総和を考えることになる

>>283
ありがとうございます！でもなぜそうなったか解説が聞きたい・・・
あとCPの大きさはどうなるんですか？

ABCは30°,30°,120°の二等辺三角形
円周上の3点で三角形作るから正弦定理で処理
CP=2R*sin∠PAC(=θ+30°)
S1=△ABP=1/2*AP*AB*sinθ
S2=△BCP=1/2*CP*CB*sinθ（円周角）
S1-2*S2計算して、sin１つに合成して
0<θ<60°でmax,min調べた。
計算適当だから確認してね。

関数f(x)= sinx + |cosx| (0°≦x≦360°）がある．
(1)f(x)のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)区間a≦x≦a+45°におけるf(x)の最大値M(a)をaを用いて表せ．
ただし、aは0°≦a≦315°を満たす定数である

一通り解いたのですがグラフが違うと言われ、行き詰まりました。
よろしくお願いします。

>>297
0<θ<120°だｽﾏｿ

>>295
まだよくわからないんです。詳しく教えてもらえると助かります。

>>297

投稿ミス
>>297
詳しくありがとうございます！でもcosθの式でも表さないといけないのですがそれはどうしたら・・
基本的な事かもしれませんが度々すみません。

>>289
3.141592<π<3.141593を示せってことでは？
正多角形で挟むときついが他に精度のよい初等的なやり方はある
ま、こんなのふっかけてくるのは半端もんだしレスもつかない
過疎ってるのも事実かもね

とりあえずcos(90°-θ) = sinθで。
「cosθの式でも表さないといけない」・・着眼点が違う気がしてきたぜ。
大はずれでも恨みっこなしで。

>>303
>他に精度のよい初等的なやり方はある

たとえばどういうものですか？

あぁそうか、sinθ,cosθの式で表せっていうのはどちらかを使えって事なのか。
ずっとそれに縛られてた・・。多分こっちの勘違いです。何から何まで有難うございました！

>>300 横から
｢３で割ると２余りかつ4で割ると３余る｣自然数Nに1足したら
３，４で割り切れるようになる。だからN+1は3,4の公倍数。
だからN+1は12の倍数で、Nを12で割ったら11余ることになる。

ttp://www2.ranobe.com/test/src/up24868.jpg
この上の公式っぽいものは成り立つと考えてよろしいでしょうか(下は例）
また、成り立つならば、入試等で使っても大丈夫でしょうか

チャートやってて、これ使えれば早いんじゃないかな、と思ったところがあったので・・・

宮廷あたり目指してます、逆関数、合成関数は勉強しないとダメですかね？

>>308
平行移動だな。
結構便利だからどんどん使え！
てかなぜこれが参考書にのらないのか？

ただの置換積分じゃん

>>309
とりあえず国語やっとけ

ｙ＝sinｘの０≦ｘ≦π/２とｙ＝√２/２とｙ軸で囲まれた部分をｙ軸回りに回転させるのですが、その囲まれた部分が分かりません。
π/４≦ｘ≦π/２の部分に囲まれた部分ってありますか？

整数a.b.cは
a^2+b^2=c^2
を満たしている
�@a.bは一方は偶数でもう一方は奇数であることを示せ
�A一方は４の倍数であることを示せ
お願いします

おねがいします。

三角形abcにおいて、点

pはabを
qはbcを
rはcaを

それぞれ2:1に内分する点とする。さらに三角形abcの重心をgとする。
また、↑pg=↑bc/3, ↑qg=↑ca/3, ↑rg=↑ab/3が成り立つとする。

>>このとき、三角形gpqと三角形abcにおいて、
>>↑gp=↑cb/3, ↑gq=↑ac/3 であるから、
>>△gpq=(1/3)~2△abc である。

>>の三行はなんでこうなるんでしょうか？

>>314
�@a=6 b=8 c=10のとき
a,bはともに偶数だがa^2+b^2=c^2が成立する。
よって命題は偽

>>315
相似比が1/3なら面積比は(1/3)^2

>>316
すいません、問題間違えてました
>>314訂正
整数a.b.cは
a^2+b^2=c^2
を満たしており、a.bの最大公約数は１である
�@a.bは一方は偶数でもう一方は奇数であることを示せ
�A一方は４の倍数であることを示せ

>>318
一般に
nが奇数のとき、n^2を4で割ったあまりは1
nが偶数のとき、n^2を4で割ったあまりは0
である。
�@a,bがともに奇数だと仮定すると左辺のa^2+b^2を4で割ったあまりは2だが、
右辺のc^2を4で割ったあまりは0または1なのでこれは矛盾。
よってa,bの少なくとも一方は偶数だが、a,bは互いに素だからともに偶数ではない。
よって一方は偶数、一方は奇数。
�A�@より一般性を失わずa=2A,b=2B-1(A,Bは整数)とおける。
このときc^2=a^2+b^2は奇数だからcも奇数で、c=2C-1(Cは整数)とおける。
すべて代入すると
4A^2+(2B-1)^2=(2C-1)^2
⇔A^2=C(C-1)-B(B-1)
C(C-1),B(B-1)はそれぞれ連続2整数の積だからともに偶数である。
よってA^2も偶数⇔Aは偶数
ゆえにa=2Aは4の倍数であることが示された。

>>308
大学への数学では時々見るし、x-aをxに置換する要領の置換積分については、
こうして頭の中でできるようになるといいよ

(x-1)x(x+1)(x+2)-15
の因数分解を仮定も込みでお願いします

(x-1)x(x+1)(x+2)-15=(x-1)(x+2)x(x+1)-15=(x^2+x)(x^2+x-2)-15
=(x^2+x)^2-2(x^2+x)-15=((x^2+x)-5)(x^2+x+3)=(x^2+x-5)(x^2+x+3)
x^2+xがカタマリになりうるとこを見ればそれに着目してみようという気にもなる

>>322
どうもです

続けてすいません(汗
最近数�TＡ勉強始めたばっかりで…

1)x^4+x^2+1

2)x^4+4x^2+16

3)x^4+4

協力お願いします

y＝log(x^2+3)-log(x+1)の最大値と最小値を求めよ
この問題で最大値がないということを表す時、lim[x→∞]y＝∞はわかるんですが、lim[x→-1+0]y＝∞も表す意味がよくわかりません。どなたかお願いします

-∞にいってたら最小値がないわな

aが0以上の全ての実数を動くとき、
円(x-a)＾2+(y-a)＾2=a＾2+1が動く範囲を求めたいんですが

解答には与式より
　a＾2-2(x+y)a+x＾2+y＾2-1=0　…�@
aが0以上のすべての実数を動くとき、
aについての二次方程式�@が少なくとも１つ0以上の解をもてばよいから

とあるんですが
なんで少なくとも1つなのかが分かりませんorz
aは2つとも0以上としか考えられないんですが…

おねがいします

自力で出来ました
迷惑かけました(__)

1辺の長さがaの正方形A[1]に対して、A[1]の1辺とA[2]の1辺のなす角がθ（0＜θ≦π／4）となるように正方形A[2]をA[1]に内接させる。またA[2]の辺とA[3]の辺のなす角がθとなるように正方形A[3]をA[2]に内接
させる。

以下同様にA[4]A[5]…を定める。また正方形A[i]の面積S[i]（i=1,2,…）とおく。
（1）S[n]をa,n,θを用いて表せ。
（2）S＝Σ[n＝1,∞]S[n]とするときSは収束することを示し、lim[θ→+0]θSを求めよ
お願いします

1から1000までの整数で，３の倍数または３がつく数字は何個ありますか。
解法の詳細きぼんぬ。

3の倍数と3のつく数を数えて3の倍数で3のつく数の数を引く

辺の縮小率が1/(sinθ+cosθ)を使う

>>327
例えばa=0の円�@(a=0)とa=-1円�@(a=-1)の交点(x,y)を
�@に代入したらa=0,-1になるだろうけどa=0を採用すれば
題意と矛盾しない。
正のaしか駄目としたら、x^2+y^2=1(a=0)は題意を満たすけど
-1<a<0の円と重なる部分は駄目となる。

>>326
lim[x→-1+0]y＝∞は最小値があるということを示してるということでいいのでしょうか？何度もすんません

>>333

>>333
辺の縮小率が1/(sinθ+cosθ)になるのはなぜですか？？

縮小した正方形の1辺を1とすると元の正方形の1辺がsinθ+cosθだから

>>310
>>320
どうもです

サイコロを3回投げ、出る目の数を順にa,b,cとする
a<b<c となる確率
a<bかつb≧cとなる確率

それぞれ回答お願いしますorz
問題集の問題ではないので答えや解説がありません
解き方の指導お願いします。

>>340
すべての場合の数は6^3=216通りでこれらは同様に確からしい。

(1)a<b<cとなる場合の数は、1〜6から異なる3数をとり、
それを小さい順にa,b,cとする場合の数に一対一対応するから
6C3=20通り

よって求める確率は20/216=5/54

(2)b=kとするとb>a≧1より2≦k≦6であることが必要である。
このとき
a<b=kよりaの候補は1,2,,,,(k-1)のk-1通り
c≦b=kよりcの候補は1,2,,,kのk通り
合計すればk(k-1)通りである。
よって
k=2〜6で和を取れば
Σk(k-1)=2*1+3*2+4*3+5*4+6*5
=70通り

よって求める確率は70/216=35/108

今年の早慶偏差値比較(駿台版)では僅かに0.014差で早稲田の勝利という結果に終わった。
近年の慶応優勢のデータを覆す結果となった。今後のこの２校の動向が気になるところだ。

公正に比較するため
�@各学部の平均値をとり算出。
�A同一学部のみでの比較。
（早稲田教育・文化構想、慶応環境情報・看護等、他方にない学部は除く）

https://www.i-sum.jp/sum/sum_page/topics/unvrank_satt/rankf.cfm

大学／／　法　　 文　　 経　　 商　　 理工 　　総合
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−

早稲田大　67.5　　65.5　67.67　 64.5　 61.45　　65.324
慶應義塾　68.25　 66　　65.5　　65　　　61.8　　65.310

>>341
さっき時間かけて樹形図書いて出した答えと同じだ
こんなに簡単に片付けれるとは･･･ありがとう。

a_1=2/3
a_k=a_k-1*(2k-3/2k+1) (k=2,3,4...)

問)第k項a_kを求めよ

k=2から代入して調べてみると例えばa_4はa_3*(5/9)
ということで
a_kは(2/3)*(1/5)*(3/7)*(5/9)*......(2k-5)/(2k-1)*(2k-3)/(2k+1)
となり(1/5)〜(2k-5)/(2k-1)までは階差になっているので
ここの一般項を出して2/3*階差*(2k-3)/(2k+1)で求まるはずが
何回やっても答えの2/(2k+1)(2k-1)にならないのですが
どこが間違ってるのでしょうか、よろしくお願いします。

>>344
約分

すいません、今やったらできました。昨日の夜から何でこんなのに
悩んでいたのか…。足し算じゃなくて掛け算でどんどん打ち消しあって
いきますね…。
>>345
ありがとうございます、お恥ずかしい限りです。

∫ｆ（ｘ）ｄｘ
和　縦　横

って考えておｋ？

面積のつもり？それなら正確には

∫｜f(x)｜dx

これなら、和、縦、横と考えておっｋ

>>334
あざっす！！

nが整数のとき、n^5-nは30で割り切れることを示せ。

解答　n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1).
pを整数として、
(1) n=2p, 2p+1のとき、(n-1)nは2の倍数.
(2) n=3p, 3p-1, 3p+1のとき、(n-1)n(n+1)は3の倍数.
(3) n=5p, 5p-1, 5p+1のとき、(n-1)n(n+1)は5の倍数.
n=5p+2, 5p-2のとき、n^2+1=25p^2+20p+5, n^2+1=25p^2-20p+5は5の倍数.

また、2,3,5は互いに素であるから、示せた。


カッコ１，２，３、のそれぞれは理解できるんですが、それらによって、なんで割り切れる
ことが示せたことになるのかわかりません。えらいヒトお願いします。

>>350
30=2*3*5

>>351
それは分かるんですが、んーなんていえばいいんだろ・・・

(1) n=2p, (2p+1)のときということは、
2,(3),4,(5),6,(7),8,(9).....全整数のときいつでも
　　n^5-nは2の倍数ということ
(2) n=3p, (3p-1), <3p+1>のときということは、
3,<4>,(5),6,<7>,(8),9,<10>,(11),<12>....全整数のときいつでも
　　n^5-nは3の倍数ということ
(3) n=5p, (5p-1), <5p+1><<5p+2>>, ((5p-2))のときということは、
5,<6>,<<7>>,((8)),(9),10,<11>,<<12>>,((13)),(14),15.....全整数.のときいつでも
　　n^5-nは5の倍数ということ

∴n^5-nは2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数ということ→2*3*5=30の倍数

>>350
2の倍数かつ3の倍数かつ5倍数、つまり30の倍数
30の倍数は30で割り切れる

公倍数は最小公倍数の倍数であることを証明せよ
公約数は最大公約数の約数であることを証明せよ

氷解、氷解。納得できました。
教えてくれたエロいひと、サンクスです。

>>338
それをどうやって求めるのですか？？

縮小した正方形の1辺を斜辺とする直角三角形の２辺（元の正方形の辺の一部）が
sinθ、cosθになってる。絵を描けば分かる。
以上、横がお送りしました。

数学1A2Bで重要公式TOP5に入る公式(or定理)教えてください。
いや、特に深い意味はないですけど。なんか、気になったもんで。
足し算や掛け算の交換法則とか、そういう当たり前すぎるのは除いて。
なんか、「数学を勉強してるんだな」って実感がわくような公式の中からお願いします。

やっぱ、2次方程式の判別式、加法定理、点と直線の距離、底の変換公式あたり？

間抜けな質問だな

a.b.cを定数とする
f(x)=acosx＋bcos2x＋ccos3x
とする時
∫[0_π]{f(x)-x}^2dx
を最小にするa.b.cを求めよ

教えてください

次の連立方程式を解け。
sinX＋√3sinY＝０
√3cosX＋cosY＝０

どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。

青玉が1個、白球が3個、赤球が4個ある
このとき、これらをつなげてつくれるネックレスは何通りあるか

お願いします

>>363 円順列（ひっくり返せる場合）の考え方と、
重複順列の考え方の合わせ技でいーんじゃね?

１９通り

積分の置換なんだけど
χ＝sinθ＋1
χ：0→1
の時って
θ：3/2π→0
じゃなくて
θ：3/2π→2π
にするの？
それとももっと簡単に表せるのかとかを教えて下さい

→は∫の下→上ってことです

θ：3/2π→2π
にする

ありがと-

xy平面上に2点A(-1/2,1) B(2,7/2)があり、点P(x,y)は直線y=(1/2)x上を動く。

このとき(PA)^2+(PB)^2を最小にする点Pの座標を求めよ。
という問題なのですが、どうやって求めるのですか？

>>369
頭の中でやったから不安だけどww
点Pの座標をx＝tと置いてyをtで表して
点と点の距離を出して
あとは 全部tの式になってるから ()^2の形を作って終わり

>>370
求めることができました。どうもありがとうございました。

>>361お願いします

>>372

∫[0_π]cosmxcosnxdxをmノットイコールｎとm=nで場合分けしてとく。

∫[0_π]xcosmxdxをとく。

あとはその結果を利用すればかんたんにとける。

>>369

ABの中点をMとすると
中線定理から
AP^2+BP^2＝2(PM^2+AM^2)
AMは定数だから、PMが最小になればよく、そのときのPMはPの通る直線上だから、点と直線の距離の公式から・・・

あとは自分でやってくれ。

×PMが直線上だから
○PMが直線と垂直なときだから

悪い、眠くて適当なこと書いた。

>>369
よく読んでないが、どうせどっちかの点を直線に関して対称移動させればいいんだろ

>>376

残念ながら、二乗がついている場合、それは使えるとは限らない。

>>363 >>364じゃダメなに気づいたので改めて。
1個だけある青(B)で残りの7つの位置の相対的な位置関係が決められる。
この7つの位置に白(W)を入れていくやりかたを考える。図示すると
　 (1a)　(2a)　(3a)
B　　　　　　　　　　　(4)
(1b)　(2b)　(3b)
この(1a)〜(4)に3つのWを入れていく（※)。
ここで、先に2つのWを入れ、残り1個が何通り入れられるかを考える方針でいく。
ただし、ここでダブりをなくす為に「最後の1個の白は既存の白よりも
右または下に入れなければならない」という条件をつける。

・最初の2個のWが1a,1bに入るとき …3個目は2列、3列、4列のいずれか
　（ひっくり返せば同じになるので2aに入る場合と2bに入る場合は区別しない)
で、3通り。以下これを「1a-1b：3(通り)」のように書く。
・1a-2a：4 （1b-2bはひっくり返せばこれと同じ。上下非対称だから3aと3bは区別）
・1a-2b：3　　・1a-3a；2　　・1a-3b；1　
・2a-2b：2　　・2a-3a：2　　・2a-3b：1　・3a-3b：1
で、合計すると>>365の言うとおり19通り。

※から後の別解（略解）として、
・(4)に入れて残り2箇所を選ぶ…上下対称になる3通り以外がダブるから、
(C[6,2] + 3) /2 =18/2=9通り
・(4)に入れずに残り3箇所を選ぶ…必ずダブるから、
C[6,3]/2=20/2=10通り
計19通り、でもよさげ。

>>363
青玉の位置を固定して考えた場合残り７つの玉の配置は7C3=35通りそのうち裏返しても同じになるのは白玉が３つ（奇数）なのでそのうち１つが対称軸にありあとの２つが対称になる状態でそれは((7-1)/2)C1=3通り
よって(35-3)/2+3=(35+3)/2=19通り

過去レスににた問題があったんですがわかりません
abcが整数で
a^2＋b^2＝c^2
を満たす時a.bの少なくとも一方は4の倍数であることを示せ

>>380
>>319に答えあるじゃん

>>377
そうなのか？対称移動させれば、例えばPB=PB´となって、これが使えると思うのだが
もちろん(AP)^2+(PB´)^2と、線分AB´を分割でもしなきゃならないが。

>>381
abは互いに素じゃないです

>>383
a,bの最大公約数をdとすると
cもdの倍数。
よってa=dA,b=dB,c=dC(A,Bは互いに素)とおける。
a^2+b^2=c^2に代入すると
d^2(A^2+B^2)=d^2*C^2
⇔A^2+B^2=C^2
A,Bは互いの素だから>>319の場合に帰着され
AまたはBは4の倍数だからa=dA,またはb=dBは4の倍数

平方数を4で割った余りは0か1だから、少なくとも1つは偶数。
奇数の和と差の積は4の倍数。
以上2点から証明可能

間違っちった！

三角形OAB があり，OA=OB=2 角ＯＡＢイコールΘとする。，0 ＜ Θ ＜ πとする．AB の中点をM として，OA
を直径とする半円とOB を直径とする半円をいずれもM をとおるように描く．半円の周と内部か
らなる図形を半円板ということにする．この二つの半円板の面積をS とする．
(1) ２/π＜Θ＜π のとき，S をΘ を用いて表せ．
(2)０＜Θ＜２/π のときS をΘ を用いて表せ．

お願いします。

>>387
＞角OAB
角AOBの間違いじゃね？

>>382

AP+BPの場合、△ABPを見たときに三角不等式からAP+BP≧ABとわかる。
しかし、今回の場合、ABと直線の交点をMとして、△AMPと△BMPをそれぞれ見ても
AP≧AM、BP≧BM
となる根拠はどこにもない。

正解は交点ではなく、正射影の中点。従って、反転で偶然答えが合う場合は、ABが直線と平行なときだけだ。

((x-2)^2-1) のxの最小値と最大値を教えて下さいっっ；

>>388 そうです。間違えでした。すいません。

>>387
>>390

どっちも何がききたいのか全くわからんのはオレだけか？

>>390 は最近では出色

ベクトルの問題が解けないのでお願いしますm(_ _)m

「平面上の2定点A、Bに対し、|2AP+3BP|=15を満たすような点Pの軌跡を求めよ。」

>>394 式変形して、|(2/5)PA↑+(3/5)PB↑|=3. 左辺絶対値の中はどのようなベクトルか。

三角関数で、
たとえばsin330°のときって、-1/6πと11/6πて書くのはどちらの方がいいんですか？
第４象限はマイナス使ってかくとかが決まってるんですか・・?
ものすごく低レベルですみません・・・・・

その二つは等価です、よってどちらでもよい。-を使う場合が多いのは推せばわかるでしょう

330°＝11/6πラジアン

>>396
設問により与えられた範囲内で記述する
0≦θ＜2πならば11/6πだし
-π≦θ＜πならば-1/6π

指定なしで、単純にディグリー→ラジアンの書き換えだけなら>>398に同意
習い始めなら、特に330°と-30°の区別等はつけておきたい
動径の位置が同じだからといって混用していると、いずれ痛い目にあう

数列の漸化式の逆数を取るタイプの問題の回答に

-1/2･Anー5/Anー3＝-1/2＋1/Anー3

という式変形があるのですが
どういう手順で変形したのでしょうか？

式では全てAnから数を引いております

出典:青チャート数�UＢ
基本例題１０６(Ｂの範囲)

写真(見えなかったらすみません)
http://imepita.jp/20080531/856030

>>400
カッコを正しく使って、一意に定まる式にしてくれ
質問者の意を汲むために、いちいち解読するのﾏﾝﾄﾞｸｾ

>>395
絶対値の中はABを3:2に内分する点Pを通るベクトルですよね？
そこまではできたんですが答えをどう書けばいいかわかりません

>>400
その式と画像の式とはとは違うだろうに。
画像の式変形は数式の割り算してるだけよん。
同じ式書いたつもりなら、数式の理解に穴があるね。

>>402
答え　内分点中心の半径３の円

lim[x→a]f(x)-f(a)/x-a=f'(a)
は点aでのtanを求めてるのだろうと自分では解釈してるんですが

lim[x→0]f(a+x)-f(a)/x=f'(a)
がなぜ成り立つのかわかりません；
どなたかお願い致します


チャート式黄色
例題49に公式として書いてありました。

>>400
なにも不思議なことはない普通の変形。たとえば1 + (1/a) = (a+1)/aとかやるときもあるでしょ
ここでは-5=-3-2ってことに注目して・・
(1/2)(An -5)/(An -3) = (1/2)(An - 3 -2)/(An -3) = (1/2)(1 - 2/(An -3)) = 1/2 - 1/(An -3)

>>405
なぜｗ

X=x-aとおけばx→aのときX→0となり、式を変形してx=X+aとなるから
lim[x->a](f(x)-f(a))/(x-a)=f'(a)
⇔
lim[X->0](f(X+a)-f(a))/X=f'(a)

>>405
2番目の式lim[X→0]f(a+X)-f(a)/X=f'(a)で
X=x-aと変換したら最初の式になる。

空間ベクトルの問題です。

（2）

2直線
ｘ＋4＝（1−ｙ）/2＝（ｚ−5）/2とｘ/3＝（ｙ−3）/4＝（2−ｚ）/5
のなす角（鋭角）を求めよ。

という問題です。
ちなみに（1）の問題で交点は（−3、−1、7）と出せたのですが・・・
正直どこから手を付けていいか分かりません。。。

分かる方がいましたら、お願いします。

>>407
>>408

どうもありがとうございます！

>>409
直線の式=0となるx,y,z,を考えると１つは(-4,1,5)だからこの直線は空間内のこの点を通り、もう一方も同様に考えると(0,3,2)を通る。
交点はどちらも通るから、これらの点から直線の方向ベクトルがかそれぞれ作れるでしょう
方向ベクトルだせば
cosθ=a・b/2|a||b|

>>389
よく分からないがそうなのか、正射影の中点というのは面白い。
AB^2+BP^2=AB^2+B´P^2=(AP+PB´)^2-2AP*PB´として、
AP+PB´が最少になるからといって、(AP+PB´)^2-2AP*PB´が
最少になるとは言えないということを言っているのかな。
もっとも、この問題なら単純にPの座標をおいてやれば平凡な計算で済みそうだけど

>>409
旧課程の問題集でもやってるの？
（それともホソノの売れ残り本をつかまされたか。現行課程では直線をこうは表さない）

直線の式の分母がそのまま直線の方向ベクトルになる
よって(1,2,2)と(3,4,5)のなす角またはその補角を求めればよい。
具体的には>>411の式の右辺に絶対値を付けたものがcosθ

スマン
１本目の直線の方向ベクトルは(1,-2,2)に
２本目の直線の方向ベクトルは(3,4,-5)に訂正

分子のx,y,zの符号を見るのを忘れていたorz

お詫びの印

x+4=(1-y)/2=(z-5)/2=tとおけば
(x,y,z)=(-4,1,5)+t(1,-2,2)　←この書き方は現行課程の直線のベクトル方程式として教科書に載っている
となる。よって方向ベクトルは(1,-2,2)

>>411
>>413
見たこと無い形だったので焦りました。
有難うございます、助かりました<m(__)m>

タンジェントが90度を取れない理由を教えて下さい。

417ですが、解決しました。すみません。

面積のつもり
∫｜f(x)｜dx
和、縦、横と考えておｋ

ならば
∫｜f(ｙ)｜dｙ
和、横、縦と考えておｋ ？

おｋじゃない。

>>419

おk

>>397,398,399
範囲指定に注意してやってみます
ありがとうございました

419だが
どっちなんだ？

どなたかcos22､5度の値を教えてください

>>424
cos^2(22,5°)=（1+cos45°）/2
=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4
∴cos22,5°=√((2+√2)/4)
=(√(2+√2))/2

2点A（1、−1、2）、B（−1、−3、3）を結ぶ直線と、xy平面のなす角をθとするとき
cosθの値を求めよという問題なのですが答えは2√2/3となったのですが答えのプリントを
見たら1/3でした。これは答えが間違ってるきがするのですが

>>426
AB↑=(-2,-2,1)とn↑(-2,-2,0)のなす角を求めればいい。
cosθ=(4+4)/(3*2√2)=2√2/3
1/3なのはsinだね

　　＿＿＿
　√12χ+1
――――――――――
　＿＿＿　　＿＿＿
√12χ+1−√1-12χ

はχ＝a/4a^2+9
(ただし a≧3/2)

のときこの式の値を求めよ


計算が出来ないのでやり方を教えて下さい

遅れてすいません。やっぱり1/3はsinですね。
プリントが間違ってるようです。回答ありがとうございました

度々すいません>>429は>>427宛てです。

誰かこれ教えてください。y＝9＾（x＋1）＋3＾（x＋1）　＋1。最後のたす１は３の上にのってないやつです。（1）xが実数全体をかわるときyの値域を求めよ。（2）xが正の実数全体をかわるときyの値域を求めよ。
誰か頼みます。

ｔ＝3＾x とでもおいて２次間数の問題に帰着

ﾙｰﾄの2+√2×ﾙｰﾄの2-√2って√2になりますか？

√(2+√2)*√(2-√2)=√(4-2)=√2
じゃまいか

pを素数とする
xの方程式
x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=0
が整数解をもつとき、pの値を求めよ

誰かお願いします

>>435 その解を t(整数) とすると、p=t(t^2+(p^2+1)t-(7p-4)). t, t^2+(p^2+1)t-(7p-4) は整数で、p は素数だから……。

｜a1+a2+…+an｜≦|a1|+|a2|+…+|an|
ですが、どなたかお願い致します。

｜a1+a2+…+an｜=|Σ[k=1〜n]ak|
|a1|+|a2|+…+|an|=Σ[k=1〜n]|ak|
ということと認識して宜しいのでしょうか？
このように変形して解くかどうかも定かでなく、さっぱりな状態です。
どのような解法でも構わないので宜しくお願いします。
A≧0,B≧0ならばA^2≧B^2→A≧B
が使えるのならこの解法をご教示戴くと幸いです。

申し訳ありません。説明不足でした。
｜a1+a2+…+an｜≦|a1|+|a2|+…+|an|
を証明せよという問題で、条件等はございません。
解答もなく、困惑しております。

>>438
n=2の場合証明して
あとは帰納法

>>439
なるほど！
|a+b|≦|a|+|b|というのが有りましたね・・・
帰納法というのもすっかり忘れていました。
どうもありがとうございます！！

レベルの低い質問なんですが3＾x＝−1/6って解けませんよね？

3^x＞0より解なし

悪い、間違えた。
複素数解がある。

ｹｰﾘｰﾊﾐﾙﾄﾝを使う時、与式との係数比較は駄目なのに、次数下げのための代入は何故許されるのですか？ｹｰﾘｰの逆が成り立たない事はわかってるのですが。後者も十分性に問題があると思うのです。

字数下げのときのAとケーリーハミルトンでのAって同じものでしょ

>>444
具体的に書いて

辺の長さが１の正四面体OABCにおいて､
辺ABを２：１にない分する点をP､
辺OCを５：１に内分する点をQとする。
a↑=OA↑､b↑=OB↑､c↑=OC↑とおくとき､次の問いに答えよ。
(1)OP↑をa↑とb↑で表し､線分OPの長さを求めよ。
(2)∠POQ=θとするとき､cosθの値を求めよ。
(3)線分PQの長さを求めよ。

（答え…(1)OP↑=1/3a↑＋2/3b↑、OP=√7/3
　　　　(2)cosθ=3√7/14 (3)PQ=√23/6）

OPを↑をa↑とb↑で求めるのしかできません
解説お願いします＞＜

あの、抽象的な質問ですいませんが、受験問題で相加相乗平均の関係を使わなければとけない問題ってのはあるのでしょうか。

ない

>>447
(2) 内積 a・b=cosθ*|a|*|b| にP(2/3,1),Q(5/6,0),OP=√7/3,OQ=5/6放り込む
(3) 余弦定理

>>444
>ｹｰﾘｰﾊﾐﾙﾄﾝを使う時、与式との係数比較は駄目なのに、次数下げのための代入は何故許されるのですか？
↑「なのに」ってどういう文脈で言ってる？
あと「十分性」って言ってる内容を具体的に紙に書いてみればいい。
単に異なる問題を混同してるだけ

>>445ありがとうございます。与式のAとｹｰﾘｰのAが一致するとは限らないから係数比較は駄目なんですね
てか、Aの2乗がAの実数倍かもだし？

>>452
すまない、ちょっと誤解させた。詳述する。
問題: A^2-xA+yE=Oを満たすa+d(=tr(A)), ad-bc(det(A))を求めよ
というので、tr(A)=x, tr(A)=yという様な行列はもちろん満たす。
しかし、別にtr(A)=X, tr(A)=yというのを満たしていない行列の中にも、
A^2-xA+yE=Oを満たすものが存在するかもしれない(それはスカラー行列に限るが)。
"存在するかもしれないことについて考慮してない"から、
係数比較だけでは十分性がない。必要性はある。

>>451,>>453
ナルホドです。ありがとうございました。

>>454
具体的な問題を書かないと推測で指摘することになります

この手の疑問はよくあるので十分に察しがつく

いずれにしても推測です

だから「十分に」と書いたんだ

それから>>444の次数下げのための代入とはどういうことでしょうか？
>>445
>字数下げのときのAとケーリーハミルトンでのAって同じものでしょ
これについてももう少し事情を説明願いたいところです

>>458
つまり問題を作ってそれに答えているということですね

>>459
多項式f(A)を、A^2=g(A)といった式を使って変形して次数を下げていくこと。
このときどちらの式のAも一致してると書いたが、これでは全然説明になってないと
思ったから、改めて質問者の疑問が解決するような答え方をしたまで。
>>460
質問者の頭の中にある問題が十分に想定できたからね。

>>461
>改めて質問者の疑問が解決するような答え方をしたまで。
>>453は質問者が最初から理解していると言っていた”係数比較が正しいとは限らないこと”の説明ではありませんか？

>>462
"係数比較が正しいとは限らない"という事実を知ってはいるのと、理解しているのとは
違うからね。それを説明すれば分かってもらえるんじゃないかなって思ったんだ。

言葉が足りなかったな。
>>462の">>453は質問者が最初から理解していると"とは僕は思わなかったからね。
質問者も理解しているとまでは書いてないしさ。

問題：A^2=A-Eとなる必要十分条件は、a+d=1かつad-bc=1であることを示せ

において、
a+d=1かつad-bc=1→A^2=A-Eを示す時、
ｹｰﾘｰに代入しては駄目ですか？
解答はA^2を計算していってるのですが

宜しくお願いします

ΣnCkの計算の仕方を教えてくれ

二項定理使う

レスの流れよくよんでないけど
次数下げってこの場合ｺｳﾄｳ式作って、あるAを一つ定めた時のf(A)の値を容易に求めようとするものだよね？要はｾｲｼｷの割り算みたくさ
例えばx^3を(x-2)(x-1)、(x-2)(x-3)で割った形のｺｳﾄｳ式はそれぞれ余りの部分は違うけどxに特定の値を代入した際のoutputは当たり前だけど同じだ
行列の場合あるAが定まればKHより、f(A)=(KHの式)･g(A)+(pA+qE)=pA+qEとできるがこのAは一般のAではなく与えられた特定のAだ。
つまり何かしらAが与えられた時、それに対するf(A)とpA+qEは全く同じものの別表現にすぎない。
質問者の言う十分性とやらの出番はどこにもないと思うのだが…眠すぎてよく読んでないから見当違いだたら悪い、あと冗長でｽﾏｿｵﾔｽﾐ

ああ、見当違いだな。ちなみにHK定理は何語だろうか。名前はArthur Cayleyと書くそうだが。

何語って言われてもイギリス人の数学者の名前としか・・・。
ケイリーさんとハミルトンさんは有名じゃないのかい

アメリカ人じゃなかったっけ。
はどこの言語でHC定理でなくHK定理と書くかききたかったんだけどさ

>>465

残念だが、それではいけない。

a＝tr(A)、b＝det(A)
⇒A^2−aA＋bE＝0

は真だが

A^2−aA＋bE＝0
⇒a＝tr(A)、b＝det(A)

は偽だ。
従って、ケーリーに代入しただけでは、同値関係は示せない。

>>465
>a+d=1かつad-bc=1→A^2=A-Eを示す時、
>ｹｰﾘｰに代入しては駄目ですか？
いいよ

数学仙人さん、
同値関係ではなく、a+d=1かつad-bc=1⇒A^2=A-Eを示す時の話しなんですが。ｹｰﾘｰの逆が偽まではわかります

>>468
ｹｰﾘｰの逆が成り立たない、という意味の十分性なのですが。そもそも逆が成立しない定理の使い方について僕はアヤフヤな気がします。皆さんすいません
>>473
やっぱり、いいんですよね？

>>465は成分が実数であるという条件が抜けてないか？
問題はちゃんと書くように。

>>475
”次数下げ”にハミルトン＝ケーレーの公式を”逆に”使いたくなる問題を思いつかないのですが具体的にはどんな問題ですか？

>>447
いい加減にしなさい
あなただって分かってるでしょう

質問の読み不足スマソ。
だが、この問題で使う機会がわからん・・・


A^2＝A−E

⇔a^2＋bc＝a−1…�@
b(a＋d−1)＝0…�A
c(a＋d−1)＝0…�B
bc＋d^2＝d−1…�C

bかcが0のとき、�@から実数aが存在せず、不適。
よって、b,cは0ではないから

�@〜�C

⇔a＋d＝1
　bc＝−a^2＋a−1
bc＝−d^2＋d−1

⇔a＋d＝1
ad−bc＝1


ってやりゃ終了だろ？

>>479
使って解答すると

A^2=(a+d)A-(ad-bc)Eより
(a+d-1)A=(ad-bc-1)E
a+d-1≠0のとき
A=kEと置けるから
(2k-1)k=k^2-1
k^2-k+1=0を満たす実数kは存在しないので不適
よってa+d-1=0このときad-bc-1=0

>>480

THANKS
なるほど、そうアプローチすれば、逆も示さなきゃならんな。
漏れのよりスマートだし。
漏れのは無勉で試験場いったやつの解答ってとこか(苦笑)

その逆について知りたいのですが…
僕言ってる事合ってますよね…？

ホントすみませんが
宜しくお願いします

>>483
もう一度疑問を整理してどんな問題を考えているのかを書いて
たとえばハミルトン＝ケーレーの公式で示される等式の一意性が成立するのはどのような行列の場合かなど
（これは”次数を下げる”問題ではないのでそちらについても書いてほしい）

四面体OABCにおいて、Pは辺OAを1：2の比に内分する点、Qは辺OBを2：1の比に内分する点、
Rは辺BCの中点とする。3点P、Q、R を通る平面と辺ACとの交点をSとする。
(→a)=(→OA)、(→b)=(→OB)、(→c)=(→OC)とするとき

(1)(→QP)、(→QR)を(→a)、(→b)、(→c)で表せ。

(2)(→OS)を(→a)、(→c)で表せ。


↑QPは求まりましたが、それ以降が分かりません。

ベクトルって↑で表すんですね。→にしてしまってすみません。
どなたかヒントをお願いします。

→→ＡＢ同時押しで生けるお

空間座標(原点0)において三点A(5.-1.3).B(1.3.1).C(3.2.1)を含む面をαとする
α上にAを中心とする半径2の円が存在し、点Pはこの円周上を動く
このとき、0P^2の最小値を求めよ

お願いします
もし、∠0APのとりうる範囲を求めて解けるなら、その求め方をよければ教えてください

数列{a(n)}を　a(1)=1

a(n)=1+a(n-1)^2/n^2　　(n=2,3,4,…)

で定める。　lim_[n→∞]a(n)を求めよ。

a(n)<2を示せば求められるらしいのですが、
a(n)<2の示し方が分からないです。よろしくお願いします。

>>482

漏れのヤツでいけば、同値変形だから逆なんか示さなくていい。
だけど>>480の解答でいくと、逆を示さないといけないが、そのさいケーリーを使う分には構わない。

ありがとうございました

行列ありがとうございました

行列の問題：

C.H.の定理よりA^2=(a+d)A-(ad-bc)Eが成り立つから
A^2=A-E　⇔　(a+d-1)A=(ad-bc-1)E

逆の確認とか十分性の確認とか必要なわけない

>>492

そういわれればそうか。

適当なことばっかり言ってマジ御免

ここ最近ﾚﾍﾞﾙ低い連中しか書き込んでないようだな
>>488
とりあえず帰納法。あすこの過去問かな
>>487
αに対する法線ﾍﾞｸﾄﾙ一個もってくりゃあとは煮るなり焼くなり。ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽでも十分

>>485
SはAC上にあり平面PQR上にもある。2通りで表して係数比較

2x+y=2のとき1/x+1/yの最小値を求めよ

相加相乗で2*sqrt(1/xy)が最小値
この値はxyが最大になるとき最小
2x+y=2をxyに代入して2x(1-x)の最大値1/2より
1/x+1/y≧2*sqrt(1/xy)=2*sqrt(2)

としたんですが正解は(2*sqrt(2) + 3)/2でした。
上記の解法はどこがおかしいですか？

よくやる間違いだね。
等号が同時に成立しない。
その問題は、1/x+1/y＝(2/x+2/y)/2 として 2＝2x+y を使い相加相乗。
もしくはｺｰｼｰ･ｼｭﾜﾙﾂ。

なるほど。
ルートの中に変数残すのが使えないんですね。
すっきりしました。m(_ _)m

原点を通る直線で、直線(x−1)/2＝y−2＝(z＋5)/3と交わり、かつ平面x−y＋3z＝5
に平行な直線を求めよ。この問題で直線(x−1)/2＝y−2＝(z＋5)/3と交わる条件を
どのように使えばいいのでしょうか？

求める直線を （as, bs, cs） とﾊﾟﾗﾒｰﾀ表示し、
直線との交点を （2t+1, t+2, 3t-5） とおく。
後は平面の法線ﾍﾞｸﾄﾙとの内積を使えばできるのでは。

>>500ありがとうございます。
その方法で試してみます。

1/sinθcosθ＝49/16
これがsinθcosθ＝16/49になると解答に書いてあるんですが
両辺の分母と分子はひっくり返してイコールに出来ると決まっているんでしょうか？
くだらない質問でスミマセン

>>502
0じゃないならできる

定積分で面積が求められることを
私の先生は「きゅうりの千切りを集める」と例えていましたが
もっとわかりやすい例えはありませんか？

>>504
ニンジンの千切りを集める

千切り系は・・・・

J A P A N E S Eの8個の文字を使ってできる順列
異なる並べ方は何通りか

AとEが2個ずつふくまれているから
8!を2!2!で割る

なんで2!2!で割るんですか？

>>507
8！というのは８つの文字をすべて区別した場合の並べ方の数
でも実際にはA２つ、E２つは同じものだから。
例えばAにA1,A2と名前をつけてみると

J A1 P A2 N E S E

J A2 P A1 N E S E

はAを区別すると異なる並べ方だけど、実際には区別がないから同じもの。
だからA1,A2を並べる順列の2!で割る。Eについても同様

>>508
その2!になる理由がわからないんですよね
区別するときは2!をかけるから逆って考えればいいですか？

>>509
２！になる理由
単なる順列やで
Aがn個あったら区別した場合それぞれでn！個同じものがある

>>510
まあ何となくで覚えておきます
ありがとうございました

(a-2)x^+(4-a)x-2=0
これをどういう風に因数分解すればいいかわからないです
誰か教えてください

>>512
たすきがけ
(a-2)　　　2
　　　　×
1　　　　　-1
──────
-(a-2)+2=(4-a)
と見て

(a-2)x^+(4-a)x-2={(a-2)x+2}(x-1)

もしくは方程式がx=1を解に持つことから因数定理よりx-1で割り切れることを
用いてもいい

>>513
ありがとうございます

面積って文字使うときなんでSなんですか？

>>515
Surfaceの頭文字。

足し合わせるという意味でSumやSummationの頭文字ともとれる。

sinθ＋cosθ＋｜sinθ−cosθ｜
この式についてお聞きします
0°＜θ≦45°のとき
sinθ＋cosθ−（si
nθ−cosθ）＝2cosθ
45°＜θ＜90°のとき
sinθ＋cosθ＋（sinθ−cosθ）＝2sinθ
こんな風に解答には書いてあるのですが、θ＝45のときはsinとcosは両方とも同じ値で大小関係は等しくなると思うのですが、何で解答ではこういう場合分けになるのでしょうか？

別にどっちに＝をつけてもいい

三個のさいころを振って出た目の数を大小の順にx,y,z(x≧y≧z)とするとき、x-zを得点とする。
(1)得点が0,1,2となる確率をそれぞれ求めよ。
(2)得点の期待値を求めよ。

aは0でない実数の定数とし、xの関数
f(x)=2x3乗-3ax2乗-a2乗+2aを考える。
(1)f(x)の極小値m(a)を求めよ。
(2)3次方程式f(x)=0が0<x<2の範囲に少なくとも１つ解を持つようなaの値の範囲を求めよ。
　
二問もですがお願いします。

>>519
>>1を読んで来い

質問です。

複素数として、｜ｚ１｜を共役複素数とする時、
｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜と｜ｚ１・ｚ２｜＝｜ｚ１｜・｜ｚ２｜
の証明と、二次方程式の一解をαとすると他解はβになる事を証明
せよと言う問題をやってるのですが、どの様にしてとけばいいでしょうか？

自分文系なんですが、この問題習った事ないので意味がさっぱり。

>>521
＞｜ｚ１｜を共役複素数とする時

問題文が意味不明

絶対値記号がまずかったね。
ｚ１の共役複素数をｚ１~と
するととか読みかえてみて。

あと、
＞二次方程式の一解をαとすると他解はβになる事を証明

の部分は、「実数係数の二次方程式の一解をαとすると他解はα~になる事を証明」だろうね。

8ビット符号全体の集合をＸとする時、Ｘ上の関係Ｒをｘ、ｙ∈Ｘに対してｘＲｙ⇔ｘとｙの下位５ビットが一致する
によって定義する
１、関係ＲがＸ上の同値関係であることを示せ
２、符号00010110を代表元とする同値類00010110を具体的に示せ
３、ＸのＲによる商集合Ｘ／Ｒの要素数はいくらか
４、8ビット符号を非負の2進数とみなしたとき、関係Ｒの定義を2進数の除算の余りという観点から再定義せよ
以上4問の解答または説明お願いします
1問だけでもかまいません

>>523
あ、そういう意味やったんか
そういう表記があるとは知りませんでした。ごめん。

>>521
z1=a+bi,
z2=c+di(a,b,c,d実数)
とでも成分おいてシコシコ計算すればおｋ

>>520すいません。私ができたのは確率の（１）ですべて同じ数が出るとき　
6/216+書き出しでx=2 y=2 z=1・・とやっていき10通りで10/216で2/27となりました。
(2)はよくわからないのですが得点が3,4,5となる確率を求めていくのでしょうか？

f(x)=2x^3-3ax^2-a^2+2aです。乗の記号がどこか分らなかったんです・・
(1)は微分して平方完成でx=a/2のとき最少値-5/2a^2+2aで合ってますか？
(2)は全くわかりませんでした><

>>518
もう少し質問させて欲しいのですが
一般に｜a｜はa≧0
の時はaで、a＜0の時は−aだと習ったのですが、>>517の式に当てはめるとa≦0の時−aで、a＞0の時aになると思うのですが、こんな風に変えても問題は無いのでしょうか？

>>527
問題ないよ

>>526
具体的に計算してないけど、（２）の方針としては

x-z=3,4のときの確率を求めてx-z=5の確率は余事象で求めて
期待値の定義から求める。

または期待値の線形性から
E(x-z)=E(x)-E(z)として求める。

の2つかな。どっちが楽かはわからんが誘導に乗ったほうがいいと思われ。


3次関数の問題は
f'(x)=8x^2-6ax=2x*(4x-3a)だから
aの値で場合分けが必要かと

>>528 aの値で場合分けというのはどういうことでしょうか・・？
すいません、全くわからなくて・・

>>529
x=0,3/4*aでf（ｘ）は極値をとる。

0と3/4*aの大小関係によって、どっちでｆが極小値を取るかが変わってくる。
増減表を書いてみればいい

>>530
携帯からしかも横から口挟んですまんが
微分後のx^2の係数は6だからもうちょい楽になる

>>530　大体方針はわかりました！ありがとうございました＞＜

>>529>>531
すまん計算ミスってた

f'(x)=6x^2-6ax=6x*(x-a)

x=0,aで極値

でした

a,を実数とする。
放物線 y=2x^2+2ax+2a＾2 のaを変化させた時、放物線が通り得る領域を図示せよ。

aについての二次方程式として考えるのですかねぇ？

どなたか解答解説をお願いします

>>534
aの存在条件として求めればいい
あなたの言うとおりaについての2次方程式とみて
2a^2+2xa+2x^2-y=0
これを満たすaが存在する条件は判別式が(以下ｒｙ

でもなんでaについての二次方程式とみて判別式をつかうんですか？

あと判別式≧0の後はどうすればいいんですか？

>>536
例えば点(1,1)をこの放物線が通過するかどうかを調べるとき
y=2x^2+2ax+2a＾2
にx=1,y=1を代入して
2a^2+2a+1=0
これを満たす実数aが存在すれば(1,1)を通過することになる。
ということは一般に(x,y)をこの放物線が通過するかどうかも
y=2x^2+2ax+2a＾2
を満たす実数aが存在するかどうか調べればいいことになる。

判別式≧0の後はそのまんま。それが求める条件

Aが正方行列でA^2-4A+3EならばA=EまたはA=3Eである
正しいかどうか証明または反例をあげて答えよ
お願いします。

>>538
2次正方行列でA^2-4A+3E=O
として解釈すると偽

反例
A=[[0,-1][3.4]]

わからないので教えてください。
連立一次方程式
（α＋１）xー２ｙ＝０
３x＋（αー４）ｙ＝０
が自明でない解をもつためのαの条件を求めよ。
やり方も含めお願いします。

A=[[a+1,3][3,a-4]]とし、v=[x,y](列ベクトル）
とすると
Av=0　なる自明でない解を求める
自明解とはv=0のこと
で、A^(-1)が存在するとすればv=0となってしまうので、
A^(-1)が存在しないようなAとなるαをもとめてやればよい

帰納法の仮定をｎ≦ｋにするのってどんな時に使うのですか？

0 1 2 3 4 のうち異なる３個の数字を選んで３桁の整数を作る。
全部で48個　偶数は30個

４の倍数は何個ですか？？

あるいはハミルトン＝ケーレーの公式がちょうどA^2-4A+3E=OとなるようなAとしてa+d=4, ad-bc=3, b≠0となるようなA=((a,b),(c,d))を考えれば反例になる

素因数分解が可能だということの証明とか

4の倍数は下2桁が4の倍数

logf(x)=x-3+2∫[0,π/2]f(t)costdt,f(0)＜1を満たす関数f(x)が二つ存在することを示せ

お願いします

抽象的な質問ですみません。
分数関数の最小が相加・相乗平均で求められるのは何故ですか？

ありがとうございました！

>>542
おおざっぱに言うと、n+1番目について証明したいって時に、n番目だけの情報（仮定）だけじゃなくて1〜n番目まで全ての情報を使わないと証明できないという場合。

>>547
最後の定積分を定数と置く⇒f(x)=e^(x-3+c)
定積分を実行してcを求める。

>>532
(1)f'(x)=6x(x-a)よりa<0と0<aで場合分けしてそれぞれについて増減表かくと
a<0の時x=0で,0<aの時x=aで極小値をとる。
∴m(a)=-a^2+2a(a<0のとき),-a^3-a^2+2a(0<aのとき)
(2)a<0の時「f(0)<0かつf(2)>0」であればよいから-5-√41<a<0…�@
0<aの時,さらに0<a<2ならばf(0)>0だからf(a)<0であればよいから1<a<2…�A
2≦aならばf(0)≦0だから0<x<2に実数解はもちえない。
よって�@,�Aより-5-√41<a<0,1<a<2

(i,j)成分が１でそのほかの成分が０のｎ次正方行列をE[ij]とする。
ここでi,j=1,2,3,....,nのとき
E[ij]E[kl]
を計算せよ。　k,l=1,2,3,.....,nとする
やり方を含め誰かお願い。

>>540
その２つの方程式を直線の方程式と考えると
二つは
１．互いに平行
２．１点で交わる
のどちらかになるのはいいよね？
自明な解ってのはx=y=0のこと、つまり１点で交わるときのことで
自明でない解を持つときは二つの直線が一致するとき
だからα+1=3とα-4=-2の両方を満たすαを求めればいい
答えα=2で解は無限個ある

>>553
α＝１は？

>>552
ほとんどの場合零行列になる。

ただしj=kの時のみE[il]となる。
これは理由こそ自分で考えるべき問題。行列の積の定義を思い出せばおけ。
i,j,k,lになんか具体的か数字入れてみたらよくわかるんじゃないかな？

>>554
そうだね忘れてた。
α^2-3α+2=0の解が答え。だからα=1,2

>>550
>cを求める

問題解いてから書いてる？

すまん解いてなかった。
今やってみたらけど解析解は出ないのね。まぁでも結局cについての条件式から、それを満たすcが２つあること言えばおけじゃん？
もちろんc<3で。

自然数ａとｂが互いに素であるとき、
数列{Xn}を
　　Ｘ1=Ｘ2=１
　　Ｘn+1=aＸn + bＸn-1（n≧2）
で定める。このとき全ての自然数nに対して、
Ｘn+1とＸnが互いに素であることを示せ。

√3が無理数を証明するにはどうしたらいいですか？

>>560
√3を有理数であると仮定して，√3=b/a（a,bは自然数かつ互いに素）とおく．
√3=b/a　⇔　a√3=b
両辺二乗して
(a^2)*3=b^2
これは自然数の素因数分解の一意性に反する．
よって，√3は無理数（終）

>>559
n≧2において
x[n+2],x[n+1]が共通因数を持つならば、x[n+1],x[n]も共通因数を持つこと・・・�@
を示す。
x[n+2]とx[n+1]がともに素因数pで割り切れたと仮定すると、
bx[n]=x[n+2]-ax[n+1]より、
bx[n]はpの倍数。
(�@)bがpの倍数でないとき
x[n]はpの倍数である
(�A)bがpの倍数であるとき
ax[n]=x[n+1]-bx[n-1]であり、x[n+1],bx[n-1]はともにpの倍数だから
ax[n]もpの倍数である。ところがaとbは互いに素なので、aとpも互いに素、
ゆえにx[n]はpの倍数である

いずれにしてもx[n]はx[n+1],x[n+2]の共通の素因数pの倍数だから�@が言える。
�@の対偶を取ればn≧2において
x[n]とx[n+1]が互いに素ならば、x[n+1]とx[n+2]も互いに素・・・�A
が言える。
ここでx[2]=1とx[3]=a+bは互いに素だから�Aと合わせて、数学的帰納法より
n≧2においてx[n]とx[n+1]は互いに素である。

n=1のときもx[1]=1とx[2]=1は互いに素であるから、題意は示された。

>>558
その部分を聞く問題だと思う
cや条件が微妙な値

この問題解いてみろ！！
１辺の長さ２の正三角形の内部に任意の点を５つ取るとする、この時２点間の距離が１より小さくなる組み合わせは少なくとも何通りあるのか？

>>563
あー…まぁ確かにcについての条件式をg(c)=2c+なんたらってして調べようとしたときの、この関数の極大値が0<c<3の領域で現れて、かつ正になるってことを示すのは多少めんどくさいなぁ。

ごめん嘘だ。微妙だねこれ。e>2.7とか知ってなきゃg(3)<0示せないし。申し訳ない。自重する。

いろいろな要素の入ったなかなかの良問かな

logf(x)=x-3+C
C=2∫[0,π/2]f(t)cos t dt
f(0)<1

f(x)=e^(x-3+C)
C=2∫[0,π/2]e^(t-3+C)cos t dt
C/(2e^C)=∫[0,π/2]e^(t-3)cos t dt=[e^(t-3)cos t][0,π/2]+∫[0,π/2]e^(t-3)sin t dt
=[e^(t-3)(cos t+sin t)][0,π/2]-∫[0,π/2]e^(t-3)cos t dt=e^(π/2-3)-e^(-3)-C/(2e^C)
∴C/e^C=(e^(π/2)-1)/e^3

g(C)=C/e^Cと置くと
g'(C)=(1-C)/e^Cより
C<1で単調増加、C=1で極大値g(1)=1/e、C>1で単調減少

f(0)=e^(C-3)<1よりC<3
e^π>2.7^3>19.6>16より
e^(π/2)>4
e^(π/2)-1>3
(e^(π/2)-1)/e^3>3/e^3=g(3)

g(0)=0<g(3)<(e^(π/2)-1)/e^3<e^(π/2)/e^3<e^(4/2-3)=1/e=g(1)より
g(C)=(e^(π/2)-1)/e^3となるCは
0<C<1の範囲と1<C<3の範囲に1つずつ存在する
（∵中間値の定理および単調性）

>>564
１通り、１００万通り、好きな方選べ。ふっるい問題だな

αを正の定数とする。
不等式
ｘ^2≦y≦1／4（x-α）^2によって定義される領域において、x+2yの最大値、最小値を求めよ

がわかりません教えて下さい

e^π＞16 の評価がﾎﾟｲﾝﾄだと思うが、これはさほと難しくない。

東大1999年前期で e^π＞21を問う問題が出た。
これは１次近似を使わないと上手くいかない。
東大はこういう評価が好きみたいだが、手続きの知識の有無が左右されるので
個人的にはあまり面白い問題だとは思わない。

>>569
線形計画法

>>571ほ〜う。難しい言葉をしってるでないか。感心したぞ若者よ。
by大学教授

n桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ
お願いします

2x+y=2,x>0,y>0のとき
1/x +1/yの最小値とそのx,yの値を求めよ

という問題で、相加相乗平均より
1/x+ 1/y≧2/√(xy)
として等号成立条件はx=y,2x+y=2からx=y=2/3で
上式に代入して答えは3

どこが間違えていますか？教えて下さい

１,１,９,９ を＋,−,×,÷を使って１０にしてください。

（式も）お願いします

(1+1/9)*9=10

>>573
2種類の数字に0を含まない場合
2種類の数字の選び方はC[9,2]通り

そのそれぞれについて
1桁目の数の選び方は2通り
2桁目の数の選び方は2通り
3桁目の数の選び方は2通り
・・・
n桁目の数の選び方は2通り
ただし、すべての桁の数が同じ場合は除かなければならない
∴C[9,2]*(2^n-2)

2種類の数字に0を含む場合についてはn桁目に0が来ないことに注意

>>574
1/x+ 1/y≧2/√(xy)は成り立つけど
2/√(xy)≧3は成り立たない
よって1/x+ 1/y≧3は成り立たない

>>574
参考資料
http://www.geocities.jp/ikemath/pdf_file/ho_pdf/204hozyu.pdf

直リンミスったすまん

ｎ＾2-20n+91の値が素数となる整数ｎはアとイである。

　因数分解をして、（n-7)(n-13)になり、n-7かn-13のどちらか一方は１となるのはいいのですが
解法によると、n-7=±1または、n-13=±1となっていて、何故、−１の場合も考えられるのでしょうか？

7=(-7)(-1)だから

n(n-1)(n-2)...(n-k-1)≦{n-(k-1/2)}^k
この式を数学的帰納法を用いて証明せよ
ヒントとしてk+1のとき右辺を{n-k/2}^kの形にもっていく
絶対使用するのかどうかはわかりませんが二項定理を使用する可能性が高いです
kのとき成り立つと仮定したあとのk+1の場合の式の変形がうまくいきません
どなたかお願いします

>>568
１通りだと思うけどどうやって解く？

1だろーが100万だろーがいーの、ﾃﾞｨﾘｸﾚ先生に頼らずとも自明だ
携帯からかくきになれんほどふるされた問題

>>584ディリクレの引き出し論法

-2≦x≦２の範囲で関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾＋２x−２
g(x)=−x^＋２x＋a＋１について
次の命題が成り立つようなaの値の範囲を求めよ
（1）すべてのxに対してｆ（ｘ）＜g(x)
（2）あるｘに対してｆ（ｘ）＜g(x)
この問題について教えてください

問題.
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする四面体Ｔがあり
ＡＤ＞１　かつ　(ＡＤ以外の辺)≦１
を満たしている
Ｔの体積Ｖの最大値を求めよ

こうかな？
3頂点それぞれから半径1の円の切り取る扇形A,B,Cおよびその残りの部分をDとするとそれぞれの中に1点ずつおよびDにもう1点を上手く配置して1組だけにできる実例を示す
次に0組になる例がないことを示すため4点でお互い1以上離れている配置を考えた場合D内に1点も存在しないならばA,B,Cのどこかが2点を含むことになるから必ずD内に1点存在しD内の1点を中心とする半径1の円は必ずDを含むことを示す
これによりお互い1以上離れた4点の配置はA,B,C,Dにそれぞれ1つずつと確定するがA（同様にB,C)内にある点を中心とする半径1の円は必ずA（同様にB,C）を含むことを示す
よってこれら4点を中心とする半径1の円は正三角形を覆い尽くすので5点目は必ずどれかの点との間の距離が1以下になるので0組になることはない

考えてみると扇形でなくて正3角形を４等分してやればいいのかそれぞれの小正3角形の中の点を中心とする半径1の円はそれぞれの小正3角形を内部に含むから
このスレ引き出し論法の好きな人がいるみたいね

1辺の長さが2の正方形の場合お互いの距離が1以上離れた点を内部に置ける最大個数が8であることを示せ

>>588
1/8

>>578-579
亀レスですがｔｈｘ！

半径1の円の内部にお互いの距離が1より大きな点を置ける最大個数が5であることを示せ

>>587
h(x)=g(x)-f(x)=-2x^2+a+3とおく
(1)h(x)のｸﾞﾗﾌが-2≦x≦2でつねにx軸より上にあればよいからh(-2)=h(2)>0よりa>5
(2)h(x)のｸﾞﾗﾌが-2≦x≦2でx軸より上になる部分があればよいからh(0)>0よりa>-3

要は(1)はh(x)の-2≦x≦2での最小値>0､(2)はh(x)の-2≦x≦2での最大値>0ってこった

>>592
どうやって解くんですか？？
円を使って解くんでしょうか

>>595
ありがとうございます
でも(2）のあるxに対してという条件がよくわからないのですが

>>596AD以外の辺の長さをα、ADの辺の長さをβとする

βが何度も出てくると面倒だと先読み、△BCDを底辺とした三角錘の面積の最大値を求める
この時三角錘の高さは(α√3)/2が最大となる(∵点Aから下ろした垂線の足をEとするとき、△AEDより明らか)
α≦1より求める最大値は1/8

>>598垂線下ろすのは辺BCね

(5/9)^nの小数第5位に初めて0でない数字が現れるような、最小の自然数nを求めよ
お願いします

>>599
ありがとうございます！

質問なんですが、一辺を固定し、両端の点を中心とした半径１の2円を作って考えていくってことはできますか？

>>595
あるxに対してf<g⇔あるxに対してh>0⇔h>0となるようなxが存在する
この問題では「h>0となるようなx(-2≦x≦2)が存在する」ための条件をｸﾞﾗﾌで考える
(1)ではつねに上、(2)ではつねに上にある必要はないが上にある部分がないといけない
もしくは、「-2≦x≦2でつねにf≧g」の否定といえばわかるかな。この場合は(1)と同じ考え方で進んで最後否定をとれば答となる

>>602
なるほど
やっと納得できました
親切にありがとうございます

　一個のサイコロを三回投げるとき、次の確率を求めよ。

　出た目の最大値をM,最小値をｍとするとき、M-ｍ＜2となる確率。

M-m＜2⇔M-m=0または1より、この二つの場合わけになるのですが、M-m＝1となるとき、三回の目の出方は
　kが一回出て、k+1が二回出る、ｋが二回出て、ｋ+1が一回でる（ただし、k=1,2,3,4,5)
のいずれかで、そのときの起こる確率は3C1(1/6)(1/6)^2＝1/72となるのはわかるのですが、
解答では、したがって、M-m＝１となる確率は、1/72*5*2＝5/36となっていて、この1/72にかけた5と2は何を示しているのかわかりません。
お願いします。

>>494
亀レスですいません。何とか解けました。

k=1,2,3,4,5で5通り
k,k,k+1かk.,k+1,k+1かで2通り

>>604
*5はkが1〜5のいずれかで５通り、*2はkが一回でるか二回でるかで２通りの意味

>>598
>AD以外の辺の長さをα、ADの辺の長さをβとする
AD以外の辺の長さは同じ値？
AD以外の辺の長さが与えられたとき△ABCと△BCDが垂直になるときが体積最大
垂直になるときAD以外の辺の長さがすべて1であるときが最大

>>600
10^(-5)≦(5/9)^n＜10^(-4)⇔-5≦n･log[_10](5/9)＜-4
log[_10](5/9)=1-log[_10](2)-2log[_10](3)=-0.2552より4/0.2552＜n≦5/0.2552
∴n=16

>>606>>607 わかりました。ありがとう。

センターレベルの質問なんですが、

y=x^2-x+aの-3≦x≦2における最大値をＭ、最小値をｍとするとき、
ｍ＝５ならa=□、M=□

って問題なんですが、1通りじゃないですよね？？
苦手なので教えてください。

>>611
1通りじゃないですよね？というのはaによって場合分けする必要がある問題と思ったから？
あるxの範囲内で2次関数の最大最小を考える時に場合分けが必要なのは
�@x^2の係数が正か負か（問題よっては0か）が変化する場合
�A頂点のx座標が変化し、考えるべき領域内にあるかないかが変化する場合

平方完成したらわかるがこの問題では頂点のx座標は1/2で固定されているのでaに依存するのはy方向のみ。上に凸か下に凸かも変化しないので解となる関数は一つに定まる。

>>612
なるほど
いつも場合分けをするのかと思ってました
x=1/2
で固定されてるから関係ないですね！

ありがとうございます

小学生みたいな質問で申し訳無いのですが、16/49は4/7に約分出来ますか？

>>614
できない
16/49=(4/7)^2
ではある

それ以上約分できません
√(16/49)=4/7ですが

x^2＝16/49 を解くと言う事を、約分すると思ってる気もするな

>>615>>616
大変助かりました
ありがとう御座いました

p,qを0<p<q･･･�@を満たす実数とする
（1）log(q+1)-log(p+1)<q-pを示せ。
（2）不等式K:log(q+1)-log(p+1)<k(q-p)
について実数の定数kを
（ｱ）�@のいかなるp,qでもKが成り立つ
（ｲ）�@のp,qにはKが成り立つものと成り立たないものがある
（ｳ）�@のいかなるp,qでもKは成り立たない
のいずれかに分類せよ
お願いします

>>619

log(q+1)-log(p+1)<q-p⇔p-log(p+1)<q-log(q+1)
ここでf(x)=x-log(x+1)を考える。
すると、x>=0でf'(x)>0（単調増加）であるとわかる。今0<p<qなので与えられた不等式は成り立つ

後半戦もやることは一緒
g(x)=kx-log(x+1)として、これがx>0で
�@常に単調増加
�Aどこかで増減が変化する
�B常に単調減少
のどれに分類されるかをkについて調べれば良い。

何通りかやり方ありますね、数�V使うなら
(1)f(x)=log(x+1)として平均値の定理よりc(0＜p＜c＜q)が存在して{f(q)-f(p})/(q-p)=f'(c)
単調減少性からf'(c)＜1よりOK
(2)f'(q)＜f'(c)＜f'(p)より{f(q)-f(p})/(q-p)の値域がわかるから〜

n:正の整数,0≦x≦πで連続な関数f(x)について,
(1)k(k=1,2,…,n)に対して
{∫[(k-1)π,kπ]f(y/n)･|sin(y)|dy}/{∫[(k-1)π,kπ]|sin(y)|dy}=f(t_k),{(k-1)π}/n≦t_k≦(kπ)/n
をみたす実数t_kが存在することを示せ。
(2)lim_[n→∞]∫[0,π]f(x)･|sin(nx)|dx=(2/π)∫[0,π]f(t)dtを示せ。

動点Pはx^2+y^2+z^2≧1をみたす領域にあり,
x^2+y^2+z^2＞1では速さ2,x^2+y^2+z^2＝1では速さ√5で動く。
A(0,0,2)からB(0,0,-1)に至る動点Pの経路のうち,所要時間が最小のもの全体からなる曲面が囲む立体の体積を求めよ。

ﾏﾝ独裁んで脳内計算。

（１）は置換＋積分の平均値の定理
（２）は（１）＋区分求積、挟み撃ち

>>623

xy平面内でPを動かす場合を考える⇒一回転させる
が方針かな？

同一平面内だけの移動が（時間的）最短経路なのかって疑問もあるが、おそらくそれは自明として良い…と思う。

円周に沿う経路が距離としても最短、かつ円周上のが速度速い⇒考えるべき経路は円周上を通る（円周外では直線的に動くことが解として適切であることも使用して良いだろう）

経路をz>0の部分とz<0の部分に分ける⇒それぞれについて円周からくっつく（離れる）瞬間のx座標をx_1,x_2とすればそれぞれの経路についてかかる時間がx_1,x_2の関数になる⇒微分して最小値調べる

後は積分するなりして体積求めてくれ。円錐+球の一部みたいな感じになるはずだから。

あーz<0の方は離れないのか…ならx_1だけの関数になるや…

zx平面で考えると
A(2,0)から円周上(z^2+x^2=1)のある点に直線的にぶつかる。
この点をP(cosθ,sinθ)とすると0≦θ≦π/3
そこからは円弧に沿ってB(-1,0)まで行くのが最短。
AP^2=(2-cos)^2+sin^2=5-4cosθ
PB=π-θ

所要時間は
f(θ)=√5AP+2PB=√5*√(5-4cosθ)+2(π-θ)(0≦θ≦π/3)に比例する。
f'=√5*4sinθ/[2*√(5-4cosθ)]-2
≡√5sinθ-√(5-4cosθ)
≡5sin^2(θ)-(5-4cosθ)
=5-5c^2-5+4c
=c(4-5c)
cosθ=4/5 sinθ=3/5で最短とわかる。

回転体は円錐＋球の一部と見て
1/3*pi*(3/5)^2*(2-4/5)+∫[-1,4/5]pi*(1-z^2)dz
=1/3*pi*9/25*6/5+pi*[z-1/3*z^3][-1,4/5]
=18/125*pi+pi*(4/5-1/3*64/125-(-1+1/3))
=18/125*pi+2/3*pi+(300-64)/375*pi
=(54+250+236)/375*pi=540/375*pi=36/25*π

別解さがしてます

一辺がａで残りの二辺の和ｍ(ｍ＞ａ)の三角形の面積最大はどのようなときであるのかを答え、それを証明せよ

楕円を考える

>>629
一瞬で素晴らしい
でも自分もそうしました

やっぱりそれ以外エレガントな解法はないのでしょうかね？

対数で底が１でないという条件はなぜですか？

高校では対数は指数関数の逆関数として定義されてる。
つまり指数関数y=a^x（a>0）の逆関数が対数関数
この逆関数が存在する条件は？というとa≠1としなきゃならんわけです。
もちろん高校の定義など無視して勝手にlog[1]x=1などと自分で定義してもいいわけだが
そんなのは糞の役にも立たん程度の価値しかないわけです。むしろ邪魔なわけです。
だから底はa>0,a≠1と決めている。

a[1]=2 , a[2]=4 , 2a[n+1]=a[n]+3 (n:正整数)
はなぜ偶奇で場合分けするのですか？

(x-1)^2＋y^2=4（x≧0）とy軸で囲まれた部分をy軸を軸として回転させた体積を求めよ


x軸について対称だからy≧0の部分を回転し、その体積を2倍すれば解けると思うのですがそれの計算方法がわかりません。

x=1±√(4-y^2)と出しましたがここから動けません。よろしくお願いします

実数の定数a,b,cが-1≦x≦1を満たすすべての実数xについて
-1≦ax^+bx+c≦1･･･(A)
を満たすとき-1≦x≦1を満たすすべての実数xについて
-4≦2ax+b≦4･･･(B)
が成り立つことを示せ。
お願いします

a,b,c を1と異なる正の数とする。
(1)log[a]b+log[b]c+log[c]a=log[b]a+log[c]b+log[a]c が成り立つ時、a,b,cの間の関係式を求めよ。

(2) (1)の等式が成り立つ、さらに等式 log[a]b+log[b]c+log[c]a=3 が成り立つ時、a,b,cの間の関係式を求めよ。

低の変換公式使うのは分かるんですが 全然解けません。 解答解説お願いします。

どなたか>>583の解き方教えてもらえませんか？

(2*(1-(2-√3)^n))/(√3-1) + (2-√3)^(n-1) - (2-√3)^n
これって
2/(√3 - 1)
であっていますか？
答えがないのでわからないのですが、nの項が残らないとおかしいはずなんです・・・

>>637
問題文をそのまんま書け

>>638
それであってる

>>638
おｋ。
文字が入ってる式だからといって、
式変形した後に文字が残るとは限らないぞ。

>>635
論述テストはちゃんと自分で考えないとあかんで。

>>640-641
そうですか・・・ありがとうございます。

>>636
a=b or b=c or c=a
a=b=c
底をaでそろえてlog[a]b=u,log[a]c=vとおく。uについてまとめて因数分解
(v-1)(u-v)(u-1)=0より
(2)も同様

>>636みたいにa, b, cが対等なら、その対等性を崩さないよう底を2でも10でもeにでも
変換した方がよい。

>>645
a,b,c以外から底を持ってくる意味は？
逆に対等だからこそa,b,cから任意にaを底としてよいという判断が生まれるわけだし、実際それで対等性は崩れないのだが

>>646
対等性じゃなくて対称性と書くべきだった。対称性なら君も納得するでしょ。
勿論a, b, cの対等性は崩れようがない

対称性のこと言ってるのはわかてたよ
んで対称性崩れないじゃん任意にa,b,cから底選んだって
2,10,eから持ってくるてのは第二選択じゃね？質問者の状況にもよるがね。

底をa, (bでもcでも)にしてしまったら対等性は崩れちゃうよ(対称性か？)。
loga[b]、log[a]c、log[b]a、log[b]c、log[c]a、log[c]b
これらをどれもバランスよく保つのに、底をaに変換したら(log[a]b=B, log[a]c=C)
B, C, 1/B, C/B, 1/C, B/C
もし底を別の何かにしたら、これも(loga=A, logb=B, logc=Cとおけば)
B/A, C/A, A/B, C/B, A/C, B/C
2つを比べたら、後者の方が整然としてるとは思わない？

対称性とは部分ではなく全体から定まるものである
おれは対数の基礎からの接続を重視しただけだからどっちでもいーってことにしまひょ

うん、よく分からないけどそれでいいや
因みにこのバランスのため底を10に、とかいうのは1対1に載ってあったんだ

>>635
x=0で(A)が成立することが必要だから
-1≦c≦1⇔-1≦-c≦1
これと(A)を辺々足して
-1≦x≦1のすべての実数において
-2≦ax^2+bx≦2が成立し、特にx=1,-1でも成立するから
-2≦a+b≦2・・・�@
-2≦a-b≦2・・・�A
が成立。
ここで2ax+bは一次関数、または定数関数だから
最大最小は閉区間の端点の値のいずれかだから
-1≦x≦1において
min(-2a+b,2a+b)≦2ax+b≦Max(-2a+b,2a+b)・・・�B
となる。
�@*3/2+�A*1/2より-4≦2a+b≦4
�@*(-1/2)+�A*(-3/2)より-4≦-2a+b≦4
これらよりmin(-2a+b,2a+b)≧-4,Max(-2a+b,2a+b)≦4
よって�Bと合わせて
-1≦x≦1において-4≦2ax+b≦4

y=n-x^2(nは自然数)とx軸に囲まれる領域と、境界線上にある格子点の数を求めよ

√nとかの扱いがわからなくなります…よろしくお願いします

>>653
yを基準にして考えると良い。xを基準にしようとするとx軸との交点がnによって格子点と重なったりずれたりするから。どうすれば数えやすいかは自分で考えるしかない。
各yについて格子点の数はy=nの時１つ…y=n-1〜y=n-3の時は３つ…y=n-4〜y=n-8の時5つ…(以下略)となる（わからなかったら正確にグラフ書いてみれ）。そうすりゃ格子点の数が上手いこと書けるような数列になってくれるから、後はy=0まで数えれば良い。

∫x√(1-x^2)dxと∫1/x√(1-x^2)dxが解けません。
置換や部分積分など試してみましたが、無理でした。
誰かお願いします。

どんな置換してみたの。

服の上からそっと触るような

あ……ん

>>656
x=sinθ
x=cosθ
x=√(1-x^2)
x=1-x^2
です。
これくらいしか思いつきませんでした。

>>652
どうしてx＝0の時が必要なんですか？？

>>655
一つ目はx√(1-x^2)=1/2*(2x)√(1-x^2)=1/2*(x^2)'*√(1-x^2)
と見れば置換するまでもない

二つ目は1/(x√(1-x^2))という解釈でいいなら
√(1-x^2)=t
と置換すればやりやすい

>>660
-1≦x≦1という区間の中にx=0は含まれてるから

-1≦x≦1を満たすすべての実数xについて(A)が成立
⇒x=0でも(A)が成立

個数の処理の問題で例えば１〜９の数学を並べて〜桁の整数をつくる

このとき２の倍数となるのは何通りか
とかこんな感じの問題あるじゃないですか ２の倍数とか５の倍数は簡単なんですけど
例えば４の倍数の場合 下２桁が４の倍数のときにその整数は４の倍数になるってことをこないだ初めて知ったんです

こういう〜の倍数っていうのは何か規則性があるのですか？それとも、４の倍数になるのは〜のときみたくひとつひとつ覚えていくのですか？

>>524だけど1問も分からない？

ｽﾚ違いの板違いの腹違い。
他所へいけ。

>>663
３の倍数は知ってる？

３の倍数は確か全てたして３の倍数になるときだっけな

でも６とか７とかは分かんないです

７がわからんでも６はわかるだろ！
３の倍数の偶数は絶対６の倍数なんだから。

>>634お願いします

>>668
図描いてみれば見当がつくと思うけど
円の1≦x≦2の部分を回転させたも(V1)から
円の0≦x≦1の部分を回転させたもの(V2)を引けばいい

V1はx=1±√(4-y^2)のx座標が大きいほう、つまり√の前がプラスのほうだから
x=1+√(4-y^2)を回転させたもの
V2は逆にx=1-√(4-y^2)を回転させたもの

あとはy軸にそって積分するだけ

>>662
4の倍数になるのは例えば3456=3400+56のようにちょっと考えればわかる
3の倍数は各桁の数の和が3の倍数になるときで小学生でも知ってる
6の倍数はﾍﾞﾝ図でわかる
9の倍数も3の倍数と同様だっけな…
7,8は思い出せん…一回mod勉強してみれば？

7の倍数・・・整数を三桁ごとに区切って偶数区間目の総和と
奇数区間目の総和の差が7の倍数

例　1234567　{(5+6+7)+1}-(2+3+4)=10より1234567は7の倍数でない


11の倍数・・・奇数桁目の総和と偶数桁目の総和の差が11の倍数

13の倍数・・・整数を三桁ごとに区切って偶数区間目の総和と
奇数区間目の総和の差が13の倍数

誰か教えてください。2sinx＋4cosx＝3のときtanxを求めよ。お願いします

>>669
そういうことか…
いろいろとアホなことを考えてて答えが合わなかった。ありがとう

>>672
3√11‐20

解答全部書いてもらえませんか？お願いします

>>675
その式をcosxで割る…�@

その式を二乗して(cosx)^2で割る…式�A

tanxがcosxであらわされた式が2個でるから連立

tanx/2=ｔのほうがいいかも

吉木⇔2tanx+4=3/cosx
⇒4(tanx)^2+16tanx+16=9/(cosx)^2=9((tanx)^2 + 1)
⇔5(tanx)^2-16tanx-7=0
⇔tanx=8±3√11 / 5
だな。

7,8,13は3桁の数の割り算は必要になるから面倒
もっと良い方法はないものか

スマン　>>671間違えてたわ
1234567なら
1│234│567
と見て
(1+567)-234=334=7*47+5
だから1234567は7の倍数ではない。
が正しい。

ちなみに7の倍数の判定法は別に
「十の位を含めて十の位より上の数から、一の位の数の2倍を引いた数が
7の倍数であること」
があるみたい。
例　357⇒35-2*7=21=7*3　より357は7の倍数

これなら機械的に一桁まで持ってける。
ただ証明は見てへんけど。

いちよう（←なぜか変換できない）証明してみた

x=an*10^n+a[n-1]*10^n-1+･･･+a2*10^2+a1*10+a0
(a[i]は1〜9までの整数,a0は0〜9)
とおくと
判別法の操作をした後の整数yは
y=(an*10^(n-1)+a[n-1]*10^(n-2)+･･･+a2*10+a1)-2a0
これが7の倍数のとき
an*10^(n-1)+a[n-1]*10^(n-2)+･･･+a2*10+a1≡2a0(mod7)
∴an*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+･･･+a2*10^2+a1*10≡20a0(mod7)

∴x=(an*10^n+a[n-1]*10^n-1+･･･+a2*10^2+a1*10)+a0
≡20a0+a0=21a0≡0(mod7)

逆も明らかだからxが7の倍数⇔yが7の倍数

`いちおう'(=一応)ね。
釣られとくよ。

>>636で(1)は解けたんですが(2)が解けません どなたか簡単に途中式お願いします！

りんご８個とみかん１２個の代金合計は１５６０円です
また、りんご２個の値段はみかん５個の値段より１０円安いです
りんご１個とみかん１個の値段はいくらですか？


スレ違いですが
どーしても分かりません。分かりやすく
教えて下さい　お願いします

りんご1個、みかん1個の値段をx〔yen〕, y〔yen〕とする。
8x+12y=1560, -2x+5y=10
∴2x+3y=390, -2x+5y=10
辺辺足して8y=400 i.e. y=50 ∴-2x+5*50=10 ∴ x=120

>>685 ありがとうございます
助かりました

（�@）二次方程式　X＾�A−2X＋2＝0の二つの解をα、βとするとき、
（1/α＋β）（1/β＋α）＝？？
α＾�A/β＋β＾�A/α＝？？


（�A）二次方程式 X＾�A−3X＋7＝0の二つの解をα、βとするとき、α＋2、β＋2を解に持つ二次方程式の一つは？？

お願いします！！

>>683
(1)から少なくともどれか2つが一致する。
一致するものをS, 残りの一つをTとおく
(log(b)/log(a))+(log(c)/log(b))+(log(a)/log(c))=3から
(S/S)+(T/S)+(S/T)=3
T/S=xとでもおけば (x-1)^2=0となる
よってT=Sつまりa=b=c
端折り過ぎたかな

理解出来ました。 ありがとうございました

三角関数の問題なんですがsin＾2x＋2sinxcosx−cos＾2x＝0のときtanxを求めよ。です。お願いします

二項定理の問題で
2nＣn＝Σ(nＣk)^2
(K=1〜n)
が解けません。どうすればいいのですか？

>>691
ちなみに証明問題です

>>690
cos(x)=0とすると式が成立しない。両辺をcos^2(x)で割って
tan^2(x)+2tan(x)-1=0
>>691
よく意味分かんない

>>693さん
言葉足らずですいません。左辺＝右辺が成り立つことを示す証明問題です

>>691
>(K=1〜n)
0〜n？

>>695さん
0からnでした。
すいません

一般に(n+m)Ck=Σ[i+j=k]nCi・mCj
(a+b)^(n+m)=(a+b)^n(a+b)^mから出るよ

C(n, r)=C(n-1, r-1)+C(n-1, r)の公式ではつじつまを合わせるため
r=nのときのC(n-1, n)もr=0のときのC(r, -1)は0と定義されうる。

>>697さん
もしよろしければ略解を教えてくれませんか？

>>699
別人ですまん。
>>697の式の意味を完全に理解しているのなら、nC(n-k)=nCkを使うだけなんだが…
>>697のΣ(i+j=k)ってどういう和を取っているか掴めてる？
解答としては>>697について
m=n,k=n,i=k,j=n-kと起き直してやってみれ。

>>700さん
式の意味も解答も一応出来ました。しかし疑問に残る所があるのですが697さんが教えてくれた一般に成り立つ等式は自明のものとして答案では扱っていいのですか？

これ簡単にして下さい。
出来れば途中式(過程の計算方法だけでも良いです)もお願いします。

http://imepita.jp/20080608/570510

３~n−２~nになるはずなんですが・・・

>>697の後半は自明で構わない。前半も自明と言えば自明のはずだが…
心配なら一言

n+m個の中からk個取り出す時の場合の数はn個の中からi個(0≦i≦k)，m個の中から残りj=k-i個取り出す時の場合の数の(iについての)和に等しいので
と添えておけば問題無い。

サイコロをn回ふり、出た目の積をＸとする

�@Ｘが４の倍数である確率を求めよ
�AＸが12の倍数である確率を求めよ

お願いします

>>702
(３~n−２~n)/(4^2)にしかならない。

>>702
a_{n}か解答のどちらかが間違ってる。

>>704
1-(4の倍数でない確率)
1-(12の倍数でない確率)

素因数分解を考える。
で良いと思う。違ったらすまん。

(３~n−２~n)/{4^(n-1)}だた。

707と同じ。
分母分子に2^(nｰ1)
をかければおk

みんな優しいなｗ

違う解法だと３~n−２~nになったんだが・・・

http://imepita.jp/20080608/584630

俺途中計算ミスってる？
小さくてごめんm(_ _)m

もしこれで大学落ちたら泣くに泣けないなww
１番最後の変形でミスってる
両辺に2^(n-1)かけるんだろ？

やってしまったｗ
かなりケアレスミスだね・・・ｗ
まじごめんｗ

みんなありがと！

正弦定理についてお聞きします
△ＡＢＣの辺ＡＢが外接円の外心０を通るように移動すると角Ｃ＝９０°となり、△ＡＢＣは直角三角形となって三角比より公式が導けると参考書に書いてあるのですが
sinＣに関しては辺ＡＣが外心０を通るように移動して別に考えれば良いのでしょうか？
じゃ無いとｓｉｎＣはｓｉｎ９０°＝１となって他の辺の比とかが訳が分から無くなるのですが

ニューステージ（改訂版）数学演習�T･Ａ＋�U・Ｂの52ページの136番お願いします！！

>>712
a/a or b/b　で良いんでは？

>>712
すまん、質問の意図がよくわからん。辺ABがその外接円の中心を通るのなら三角形ABCは直角三角形。
その時2R=ABなのはいいよな？ならsinC=1なんだから2R=AB/sinCだ。
そして今角C=90ﾟ⇔BC=ABsinAであり、かつAC=ABsinBだ。
後はちょろい変形で正弦定理の形になるが…

>>713
テンプレに問題文書けって書いてなかったか？

Aと書かれたカード、Bと書かれたカード、Cと書かれたカード、Dと書かれたカードが
それぞれ2枚ずつ、合計8枚のカードがある。これら8枚のカードを4人に2枚ずつ配るとき、
次の問いに答えよ。

（1）同じ英字に書かれた2枚のカードが配られる人の数が、ちょうど2人であるような配り方は
　　何通りあるか。
（2）全部で配り方は何通りあるか。

誰かこの問題の解説お願いします。

（１）
(誰と誰が同じ英字の書かれたカードを手にするか)*(その英字はどれとどれが選ばれるのか)

（２）
同じ英字を受け取る人が
�@一人もいない
�A一人だけいる
�B全員同じ英字を受け取る

の各々の場合の数を調べてこれらと（１）の和を求めればおけ。

つーか場合の数と確率ってヒントがそのまま答になったりするからやりにくいなー。

1/cosx−1/sinx＝√2のときsin＾3x−cosx＾3xを求めよ。誰か教えてください。

>>715
それだとＡＢ＝２Ｒ＝２，ＢＣ＝√３，ＡＣ＝１になりますよね
ｓｉｎＣがｓｉｎ９０°＝１の場合には辺の比が合わ無いような気がするんですが、ｓｉｎ９０°＝１はどの辺の比から求まるのでしょうか？
正弦定理が成り立つのは理解出来ます
ですが三角比が合わ無いですよね？
そもそも三角比は０°＜θ＜９０°より小さいと決まってますし

展開公式についてお聞きします。
(a-b)(a^n-1+a^n-2*b+a^n-3*b^2+・・・+a^2*b^n-3+a*b^n-2+b^n-1)=a^n-b^n
という公式でn=1を式に代入すると左辺が
a^0=1,b^0=1なので
(a-b)(a^0+b^0)=2(a-b)
になってしまうように思うのですが
それだと公式が成り立たないので僕の考えのどこが間違っているのか
教えてください。よろしくお願いします。

>>719 ｓｉｎＣ＝a/a or b/b＝１になるが…？

Ｘiは正。
(1/Ｘ1+･････1/Ｘn)(Ｘ1+･････Ｘn)＝？
なんですが、
どう表せばいいですか？相加相乗平均の不等式で
ｎ＋○○
の○○の部分がどう表せばいいのかと…

>>721
知識が乏しいもので教えて欲しいのですが、そのような式になるのは公式か何かで決まっているのでしょうか？
ｓｉｎの値が１になる時は同じ辺どうしで割るって決まってるんですか？

x,y,z,wが正の整数で、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝ｗ＾２のとき、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも２つ
は偶数であることを証明せよ
どのようにすればよいのでしょうか・・・？

>718
とりま三乗をけしとけ

>>723
θが90度以上になったときの三角関数の定義を知らないのかな
0°<θ<90°なら確かに三角形の辺の比でも定義できるけど。
一般角θには単位円(x^2+y^2=1)の(1,0)から反時計回りにθ回転させたときの
x座標をcosθ、y座標をsinθと定義される。
その定義でいけば90°は(0,1)に対応するからsin90°=1

>>724
4で割ったあまりを考える

>>723
A,B,Cの正面の辺をa,b,cとして
ｓｉｎA = a/c,ｓｉｎB = b/c だから a/ｓｉｎA = c ,b/ｓｉｎB = c
ここまでは納得なんだよね。
んで、c/ｓｉｎC = cが欲しいけどｓｉｎC = 1ってどゆこと？
と考えている、と判断して
ｓｉｎθ＝対辺／斜辺だろ？例えばCを80°位から90°に
変化させたら斜辺が対辺に一致するだろ？
以上。重複だけどせっかくなので書き込んどく。

>718
√2/2
じゃないか？

>>722
おねがいします

>>730
スマン、質問の意味が分からん

>718

sinxのxは省略させてくれ。

まず求めるsin^3 - cos^3　を変形する。
＝ (sin - cos)(sin^2 + cos^2 + sincos)

んで公式：sin^2 - cos^2＝１
より、

＝ (sin - cos)(1 + sincos)…(1)

次に条件式をいじる。

両辺×sincosをすると、

→ sin - cos ＝ √2sincos…(2)

さらに両辺２乗して、

→ 1 - 2sincos ＝ 2sin^2cos^2

移項＆√2/2をかけて、

→ √2sin^2cos^ + √2sincos ＝ √2/2…(3)

これで下ごしらえ終了。

(2)を(1)に代入。

(1) ＝ √2sincos(1 + sincos)
　　＝ √2sincos + √2sin^2cos^2


んでこれは(3)と同じだから、

答：√2/2

ごめ、>732の公式んとこうち間違い。

×：sin^2 - cos^2＝１

◎：sin^2 ＋ cos^2＝１

>>637さん
式の変形がうまくいきません
どうか教えていただけませんでしょうか？

>>728
非常に分かり易い解説をありがとう御座います
でも少し分から無い事があるのですが、斜辺と対辺が一致しているからｃ辺の比でｓｉｎＣは表せるのに、何で>>721のように関係の無いａとｂが出てくるのでしょうか？
もう少しで納得出来るので、すみませんが解説を宜しくお願いします

>>737
ｓｉｎＣ＝対辺／斜辺＝a/a or b/b
aで言うと
Cが80°位のとき、Bからbに垂線を下ろしてa'とする
ｓｉｎＣ＝対辺／斜辺＝a'/aだろ？
Cが90°になった時a'がaになるだろ？
これでどうだ。

誰か>>716をさらっと解いてくれませんか？

>>722
(1/Ｘ1+･････1/Ｘn)+(Ｘ1+･････Ｘn)＝2√{(1/Ｘ1+･････1/Ｘn)(Ｘ1+･････Ｘn)}
の右辺が綺麗になる筈だけどなんないや、という質問と超推理すると
(1/Ｘ1+･････1/Ｘn)(Ｘ1+･････Ｘn)
=Ｘ1/Ｘ1+･････Ｘn/Ｘn −�@
　　 　　　　+Ｘ2/Ｘ1+Ｘ3/Ｘ1+･････Ｘn/Ｘ1
+ Ｘ1/Ｘ2　　　　　　+Ｘ3/Ｘ1+･････Ｘn/Ｘ1
　　　　　　　・・・
+ Ｘ2/Ｘn+Ｘ3/Ｘn+･･････Ｘn-1/Ｘn
となって�@行以外は分母分子が逆のペアが必ずある。
その数は(n*n - n) /2
最小値は相加相乗で１ペアにつき2
だから最初の右辺は
≧2√{ n + 2*(n*n - n) /2 } = 2√{ n*n } = 2n
合ってんのか俺？

あ、最初の＝も≧だた。

あぁ、いろいろ変だ。めんどくさいから、よきにはからえ。

>>738
分かり易い解説なので非常に良く理解出来ました
あなたは頭が良いですね
出来れば、あなたの数学の勉強方法や使用した参考書などを教えて欲しいです
わざわざ時間を掛けて解説して頂きありがとう御座いました

すいません、わかりにくかったようで。。

(1/Ｘ1+･････1/Ｘn)(Ｘ1+･････Ｘn)≧n^2（Ｘi>0）
を示せという問題なんです。

>>744
創価相乗平均の不等式より、
1/x[1]+1/x[2]+･･･+1/x[n]≧n/[(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)]

x[1]+x[2]+･･･+x[n]≧n*(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)

二つの不等式を辺々かけて

(1/x[1]+1/x[2]+･･･+1/x[n])(x[1]+x[2]+･･･+x[n])
≧n/[(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)]*n*(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)=n^2

等号成立はx[1]=x[2]=･･･=x[n]のとき

>>744 Schwarzの不等式は知っているか。

5√5＋5/√5＋√5/5＋1/5√5

みにくくてすみません
このような式はどのように計算すればよいのですか？ゆうりかしてもいまいちよくわからないんです(;_;)

>>743
ヒ・ミ・ツ

曲線　y=x^4+ax^3+3ax^2+1が変曲点をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
　答えは、a<0,8<a

>>747
156/5√5？

二階微分すりゃ二次式になるやろ？
あとは判別式＞０

>>745ありがとうございます
>>746しりません。。

>>750答えそれでした！！！！どうやって計算したんですか？

>>745
1/x[1]+1/x[2]+･･･+1/x[n]≧n/[(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)]

x[1]+x[2]+･･･+x[n]≧n*(x[1]*x[2]*･･･x[n])^(1/n)

この2式は証明なしでいいんですか？？

>>753
いや普通に計算したけど…
5√5＋5/√5＋√5/5＋1/5√5
=5√5+√5+6/5√5
=・・・・
みたいな。
どこか勘違いしてたんじゃない？？

>>751
判別式が D>0　の理由がわからない・・・

この時間賑わってるなー。放置しちゃった正弦定理の質問者ごめんね。

>>756
変曲点ってのは関数の凹凸が変化する点⇒２階導関数（２階微分）の正負が変化する点
と教科書探せば書いてあるんじゃないか？
２階導関数が２次式になってるんなら、正負が変化するためにはその判別式＞０でなきゃならんってわけだ

(2回以上微分可能な)fが変曲点を持つ⇔f''が符号変化する
今回の場合f''が２次関数だから相違なる２実数解を持てばいい

先越されてた・・・

>>757>>758
理解しました。ありがとうございました。

>>754
多分一般の相加相乗平均は自明として使うと減点くらうと思われ。昔大数かなんかで証明問題見たことあるし。

与式左辺=Σ_(i=1)^(n)[(x_{1}+…x_{n})/x_{i}]
=Σ_(i=1)^(n)[1+(x_{1}+…x_{i-1}+x_{i+1}+…x_{n})/x_{i}]
=n+Σ_(i<j)[x_{i}/x_{j}+x_{i}/x_{j}]

ここでi<jについて和を取るというのは異なる２つのxの組を全て考えることを指す。(x_1とx_2,x_1とx_3,x_1とx_4…x_n-1とx_n)

この組み合わせは全て合わせてn(n-1)/2通りある。
そしてその各々の組み合わせについて
x_{i}/x_{j}+x_{j}/x_{i}>=2
が成り立つ（相加相乗平均）

よって
与式左辺>=n+2*n(n-1)/2=n^2

>>720をお願いします。

nが2以上ってことじゃダメなの？
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^1-b^1=(a-b)(　 ? 　)

>>763
レスありがとうございます。
n=2の場合
a^2-b^2=(a-b)(a+a^0*b+a*b^0+b)=(a-b)(a+b+a+b)=(a-b)(2a+2b)
になってしまいます。

ps:下記にこの公式は載っています。
初等数学公式集/展開公式（Wikibooks）
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86/%E5%B1%95%E9%96%8B%E5%85%AC%E5%BC%8F

a^0=0
b^0=0
だと全てうまくいくのですが
指数の定義では
a^0=1
b^0=1
となっています。

>>765
a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)*b^0+ a^(n-2)*b + + … +a^0* b^(n-1))
の後ろの
a^(n-1)*b^0 + a^(n-2)*b^1 + + … +a^0* b^(n-1)
の意味の解釈を間違えてる。
この多項式がいくつの項からなっているか数えてみると
n項(bの指数が0からn-1まですべての値をとっていくことから)
だからn=1のときは1項から成っていると考えるのが普通。

つまりa^(n-1)*b^0もa^0*b^(n-1)もn=1では1となって同じ値だから
n=1のときa^(n-1)*b^0の時点でこの式は終結している。
n=1のときa^(n-1)*b^0+ a^(n-2)*b + + … +a^0* b^(n-1)=a^0*b^0=1なので
a^n-b^n=a-b=(a-b)*1
となって公式と何も矛盾しない。

公式では･･･を使って表現しているせいであたかも
(a^(n-1)*b^0+ a^(n-2)*b + + … +a^0* b^(n-1)) が必ず2項以上あるように
見えて惑わされるだけ。

a^n-b^n=(a-b)*Σ[k=0,n-1]a^(n-1-k)*b^k
とかけばこのような誤解はうまれない。

>>766
とても分かりやすい説明ありがとうございました。勉強になりました。

簡単な問題で申し訳ないですがわからないんで教えてください…
区別できない４個のサイコロを４回なげてちょうど２種類の目がでるときは何通りか。という問題で
(２種類の目が何か)×(それらが四つのサイコロにいくつずつでるか)でだそうと思い、前者は６Ｃ３で１５通りになり、後者が３通りで４５通りが答えです。
僕は後者をまずサイコロを区別し2^4-2として最後にサイコロの区別をなすため4!で割ってみたんですが、これの落ち度はどこにありますか？答えが分数になってしまいました…

>>768
4!の4ってサイコロの個数?
たとえば二つの目が1,2だとして1,1,1,2の順列が24通りあるってこと?
んで1,1,2,2の順列も24通りあるって計算だよね?
2^4-2って詳細は(4!/3!)+{4!/(2!2!)}+(4!/3!)だけど区別をなくすってことは
1,1,1,2の順列4通りが単なる組合せ1通りに、1,1,2,2の順列6通りも1通りと数える…
んで結局2が1回,2回,3回でる3通りになる。
わかってると思うけどそもそも難しく考えてサイコロを区別したのがあれですか
区別したら14通りの中に順列数の違う2数の目の組合せが混在してるからまとめて扱えなくなる

�@(２種類の目が何か)が考慮されていない。
�A4!で割る、というのは出た目が全てばらばらでないと正しくない。
例えばサイコロの区別ができない状態で、出た目が１が２つ、２が２つだった場合を考えてみるといい。

ぬーっsageがageてもた.エレガントな別解求めてます↓
p,qを自然数とするとき,[(√3)p]と[(√3)q/(√3-1)]によってすべての自然数を表せることを示せ。
ただし,[x]はxをこえない最大の整数とする.

によって、というのは「線形和で」と解釈すれば良いの？
いや、そもそもエレガント以前に正攻法の解すら思いつかないわけなんだけど。

違うな。pqを変化させるだけか。死ぬしかないな…

もう授業だから携帯で
線形和でという意味ではないです、p,qにいくつか代入してもらえばわかるかと

>>635の問題で
f(x)=ax^+bx+cとおいて関数とみて微分…みたいな感じでは解けないんでしょうか？？

（議論の順序としてどうかとは思うが）aの正負、軸のx座標の変化を考慮して、全ての場合についてf'(x)の最大最小を与えるxを図から考えてみるといい（式からは端点で最大最小が与えられることは自明だから）。必ず端点で最大最小が与えられる。

777

∫1→2(logχ/χ^2)dχ
の最後までの計算の仕方を教えて下さい

ln(x)を微分する様に部分積分

1/x^2=(-1/x)'

e^-log2＝1/2
ってのにきずかなかっただけでしたw

1時間悩んでたのがアホらしい

t＝logχとしてやったんですが

>>779-780の方が早いですか？
っていうか>>779-780の意味が分かりません↓
独学なんですいません

>>771
難しいです
(√3)(p+1)-(√3)p=√3<2,>1より
[(√3)p]+1=[(√3)p+1]≦[(√3)(p+1)]≦[(√3)p+2]=[(√3)p]+2
よってn=[(√3)p]とすると[(√3)(p+1)]=n+1, n+2
証明すべき事柄は
n=[(√3)p], n+2=[(√3)(p+1)]のとき必ずn+1=[(√3)q/(√3-1)]となるqが存在すること
1つnをずらして
n-1=[(√3)p], n+1=[(√3)(p+1)]のとき必ずn=[(√3)q/(√3-1)]となるqが存在すること
これを[]を使わずに書くと
n-1<(√3)p<n, n+1<(√3)(p+1)<n+2のとき必ずn<(√3)q/(√3-1)<n+1となるqが存在すること（注：[]を外したとき等号が成立することはあり得ない）
(√3)pと(√3)(p+1)の差が2未満なので
n-1<(√3)p<n, n+1<(√3)(p+1)<n+2 ⇔ (√3)p<n, n+1<(√3)(p+1)
よって証明すべき事柄は
(√3)p<n, n+1<(√3)(p+1)のとき必ずn<(√3)q/(√3-1)<n+1となるqが存在すること
となる
(√3)p<n, n+1<(√3)(p+1) ⇔ (√3-1)p<(√3-1)n/√3, (√3-1)(n+1)/√3<(√3-1)(p+1)
n<(√3)q/(√3-1)<n+1 ⇔ (√3-1)n/√3<q<(√3-1)(n+1)/√3
より
(√3-1)p<q<(√3-1)(p+1)
となればよいのではないかと当たりをつけると
(√3-1)p<q<(√3-1)(p+1) ⇔ (√3)p<p+q, p+q+1<(√3)(p+1)
なのでp+q=nであればよさそうだと見えてくる

（ここからが証明）
(√3)(p+1)-(√3)p=√3<2,>1より
[(√3)p]+1=[(√3)p+1]≦[(√3)(p+1)]≦[(√3)p+2]=[(√3)p]+2
よってn-1=[(√3)p]とすると[(√3)(p+1)]=n, n+1
ここで[(√3)(p+1)]=n+1のときq=n-pと置くと
(√3)p<n, n+1<(√3)(p+1)であるから
(√3)q/(√3-1)-n=((√3)(n-p)-(√3-1)n)/(√3-1)=(n-√3p)/(√3-1)>0より
n<(√3)q/(√3-1)が成立し
n+1-(√3)q/(√3-1)=((√3-1)(n+1)-(√3)(n-p))/(√3-1)=((√3)(p+1)-(n+1))/(√3-1)>0より
(√3)q/(√3-1)<n+1が成立する
すなわち
n-1=[(√3)p]のとき[(√3)(p+1)]=nであるかまたは[(√3)q/(√3-1)]=nかつ[(√3)(p+1)]=n+1であるので
すべての整数を[(√3)p]もしくは[(√3)q/(√3-1)]と表すことができる

>>781
置換積分の次に部分積分を学習するだろう

nを整数としS=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3とする。
(1)Ｓが偶数であればｎが偶数であることを示せ
(２)S偶数であれば、Ｓは３６で割り切れると示せ

お願いします

２ｃｈ用語辞典　２ぺディアより
http://www.geocities.jp/the2pedhia/

Ａ級トップテン　東大京都北大東北名大阪大一橋九大慶応早大 　



------------------薄汚いB級----------------------------------------------

Ｂ級トップテン　神戸筑波千葉首都金沢阪市広島上智ICU東京理科

メジアン？関大00年

そうです、解説読んでも全く理解出来ません。

関数ｆ(X)がＸ軸と交点をもつ必要十分条件はこれの導関数ｆ^(X)<0または>0でいいのですか？

>>785 (1) n が奇数なら S は (偶数)+(奇数)+(偶数) で奇数。
(2) S が偶数なら S=3n(n+1)(n+2)-9n^2 で、(1) から n は奇数だから、S は 36 で割り切れる。
>>789 よくない。

>>790 n は偶数だからだった！

>>790
それは０に近付くことを考慮してないからですか？

何が？

>>793
F(X)が

>>789
反例　f(x) = 2^x

0≦x≦1における関数y=x|x-a|の最大値をf(a)とする。f(a)をaの式で表せ。って問題です。

優しい解答お願いしますm(_ _)m

a = 1 を境に場合分け

>>796
�@a>2
�A2>a>1
�B1>a>0
�Ca<0
で場合分け。
�@→x=1
�A→x=a/2
�B→x=1orx=a/2
�C→x=1
で最大。理由は図書いて考えてみれ。�Bは２つのうち大きい方選べ。

平行な縦の３本の直線に、それぞれ傾きの違う２本の直線を交差させるとしますよね
３本の縦の直線に区分された横の直線の比は、２本とも同じになりますか？
例えば区分された片方の直線の比をａ：ｂ、もう片方の比をｄ：ｆとしたなら、ａ：ｂ＝ｄ：ｆになるんですかね
どんな傾きでも平行な直線に交差する直線の比は同じになるのでしょうか？

なるよ

f(x)≦g(x)⇒∫f(x)dx＜∫g(x)dxとなるのはなぜですか？
なぜ＝は消えるんですか？？

＝消えないよ。

え…
場合によるんですかね…
この問題では消えちゃってます解説見たら

f,g が連続で、ある一点で f(c)<g(c) となっていたら、等号は成り立たない。

まぁ=が消えない為の条件が「考えている積分区間で常にf(x)=g(x)が成り立つ…(*)」であるからあまりにも特殊な条件すぎる、と言えば特殊すぎるんだけどな…

(*)…無限小の区間で有限値だけずれてたりf(x)とg(x)の差が0ではないが無限に小さかったりするのであれば問題ないわけだが、おそらくこの議論は高校範囲を出る

みなさん高校生ですか

俺は浪人

おいら大学生

積分で、インテグラル０〜１Ａ二乗dx の場合、Ａ二乗で、
インテグラル０〜２の場合、２Ａ二乗、になるんですよね？
定数だと単に長方形の面積として求めればいいんですよね？
初歩的すぎる質問で申し訳ありません…。
よろしくお願いします。

ゲーム途中で
　　ソリッド・スネークはＦＯＸＤＩＥで死亡
保管してあったビッグボスこと
　　ネイキッド・スネークの遺体の損傷を補い、
　　欠けた目にソリッド・スネークの眼球を移植
ＦＯＸＤＩＥによる死と
　　蛇の最強の遺伝子を引き金として
　　リキッド・オセロットの要領で復活
　　クローンとオリジナルという関係のため
　　意識の奪い合いにはならず
　　ソリッドとネイキッドの
　　二人の記憶、戦闘技術を併せ持つ
　　『オールド・スネーク』の誕生
　死体を無理やり動かしているため
　定期的に薬を体に打ち込まないといけない

　ＳＯＬＩＤからＩＳ(存在)が欠け、
　ＯＬＤとなるという発言から
　一度死に、新たな老いた姿になる

意味不明

>>809
間違ってないがテンプレ読むなりして数式の書き方をなんとかしよう

コサイン７２度ってどうやって求めれますか？

α=36°とすると
2α+3α=180°より
cos2α=-cos3α
⇔2c^2-1=-(4c^3-3c) (c=cosα)
⇔4c^3+2c^2-3c-1=0
⇔(c+1)(4c^2-2c-1)=0
0<c<1より
cos36°=c=(1+√5)/4
cos72°=2c^2-1=(3+√5)/4-1=(√5-1)/4

>>813
こっちのが楽だった
β=72°とくと
2β=360°-3βより
cos2β=cos3β
⇔2c^2-1=4c^3-3c
⇔4c^3-2c^2-3c+1=0
⇔(c-1)(4c^2+2c-1)=0
0<c<1より
cosβ=c=(-1+√5)/4

>>814
ありがとう。助かった。

>>815
すぐ思いつくなんてすごいですね。重ね重ねありがとう。

図形的な解き方もどうぞ

一辺の長さ2の正五角形ABCDEにおいて、ACとBEの交点をFとする。
∠ACD＝72ﾟなので、cos72ﾟはACの逆数。よって、これを求めればよい。
CF＝BC＝2
また、△ABC∽△BFAなので
CA:AB＝CB:AF
よって
AF＋2:2＝2:AF
なので
これを解いて
AC＝AF＋FC
とすれば・・・

もう一つ、二等辺三角形を使う手も・・・

一次変換fは任意の直交する2直線を直交する2直線に写し、点(√3,1)を点(2,2√3)にうつす。fを表す行列を求めよ

>>782-783
まだ十分検討していませんがすばらしいですね
解答への最短ルートだと思います、ありがとうございました。
ちなみにこちらはn以下の元からなる２つの集合がdisjoint unionになることの証明をやってました。

数列{a(n)},{b(n)}について,
a(1)=1,b(n)=a(n)+2n
で,{a(n)},{b(n)}は自然数を項とする単調増加数列である.
どの自然数も{a(n)},{b(n)}を併せた数の集まりの中に1回だけ現れるときa(100)の値を求めよ.

>>818
ありがとうございます。
実は自分は正５角形使ったんでよね。
でもどうしても式で出せなくて質問しました。

二等辺三角形でもできるんですか…

コサイン７２っていろいろな方法で求めれるんですね。ありがとうございます。

>>819
脳内だと[[0,2],[2,0]]

mが実数全体を動くとき
mx-y=0とx+my-m-2=0の２直線の交点Ｐはどんな図形を描くか。
という問題で質問です。
答えは(0,1)を除いてて確かに結果を見ると除く必要がある事は分かるんですがどのような過程で導かれるのですか？

>>823
mをどんなに変化させても
mx-y=(定数)
では絶対に表せないグラフがある。それはx=(定数)となるような関数。
同様にmy+x=(定数)
ではy=(定数)のようなグラフは絶対に表せない。それが効いてきてる。

>>824
詳しくありがとうございます。
その絶対に表せないグラフのx=定数の定数はどのように求めればいいんですか？

>>823
青チャートの問題か。俺も初めは解説読んでもよく分からなかったなあ。
mx-y=0からm=y/x(for x≠0)と得られる
x≠0においては、これにより2式からmを消去すればf(x, y)=0が得られる。
そして、x=0のときは別途に求めなければならない。
すなわち、m*0-y=0からy=0(∴-m-2=0)

>>825
この問題ではmをどんなに変化させてもx=0,y=1が表せないわけだが…極限を習っていれば簡単に説明できるんだけどなぁ…
例えば
mx-y=0⇔m=m_(1)/m_(2)としてm_(1)x-m_(2)y=0(但しm_(2)≠0)
なんだが、このm_(2)=0となるような関数が表せないグラフに対応する…と言えば伝わるかな？
誰か易しい日本語にしてくれ…orz

>>827
全体的に、意味不明だが、m=m_1/m_2となるのが決定的に意味不明だな

全体的にダメか…
m_(1)x+m_(2)y+c=0も任意の一次関数を表せる
ことと対応させて書きたかったんだが、そのためにはどうしたらいいんだ…？

>>819をお願いします

関数Y=２sin（aθ-b）のグラフでa＞0、0＜b＜２πのとき、
aとbの値を求めるにはどうすれば良いんですか？

>>831
2sin[a{θ-(b/a)}]よりｸﾞﾗﾌの周期=2π/aでy=2sin(aθ)のｸﾞﾗﾌをθ軸方向にb/a平行移動したもの
図からそれぞれ読み取るべし

ｂ＾2＋ｃ＾2＝9の乗根を外す方法で、両辺に2ｂｃを足して（ｂ＋ｃ）＾2＝9
＋2ｂｃの形にして乗根を外す方法はあまり好ましく無いですか？
解答には違う方法が載ってるもので

じょうこんをはずすってなんですか？
単なる等式の変形としては間違ってないですが問題がないと誰も何も言えないかと

>>825
お願いします。

>>835
2式ともmについてまとめな
その問題なら一つ目のはそのまんまでもいーけど
そしたらmの係数とみえるもの=0とおけばx=0,y=1がでるべ
求めた円の上にその2直線ひいたら(0,1)がかぶるからそこが除かれる点
つかmについてまとめりゃそれぞれmに関係なく(0,0)(2,1)通って円周角定理から求める軌跡はその2点を直径の両端とする円
ただしx=0,y=1はもとの2式においてmをどうおいても表せない直線、則ち(0,1)には対応するmがないから(0,1)は除く。
すでにでた解答がわかんねーならこっちでもいい

>>835
ねえ、何で>>826を無視するの？

>>819をお願いします

方程式x^3+3ax+3=1/x…(*)
が異なる実数解を求めよ。
定数aの値と(*)の解を求めよ。

これ教えてください

>>839訂正します
方程式x^2+3ax+3=1/x…(*)
が異なる実数解を求めよ。
定数aの値と(*)の解を求めよ。

こうでした

＞が異なる実数解を求めよ。
の異なる2実数解を求めよ。ってこと？
aが変われば解も変わるから出ないと思うけど・・

質問失礼します

ABCDEの5人が自分の名刺を持っている。
この名刺を1度回収し、無作為に5人に渡す。
このときただ1人だけが自分の名刺を得るのは何通りか


っていう問題なんですが、樹系図使う以外にとき方ってあるでしょうか

-(π/2)＜x＜πの範囲で、関数f(x)=(a/2)sin2x+(a^2-2)sinxを考える。ただしa＞とする
f(x)=0が異なる解を2つ以上もつように定数aの範囲を求めよ
お願いします

>>842
自分の名刺を得るのが誰かで５通り

残り４人が自分以外の名刺をもらう方法は‥

完全順列でググれ

>>843
sin2xに倍角の公式使ってsinxでまとめる
f(x)=0⇔sinx=0 or acosx+a^2 -2=0
後は2つめの条件式いじればおけ。
自分の計算が間違ってなきゃ1<a<2になる。

1＜a≦√2?どっちでもいーや

>>845
acosx+a^2 -2=0の計算がわかりません…

>>847
cosx=-a+2/aと変形
y=cosx,y=-a+2/aがx=0以外の点で交点を持てばいい
今xの動く範囲を考えると-1<cosx<=1
後は自分で考えれ

>>842
1人以上自分の名刺を受け取る場合の数−2人以上自分の名刺を受け取る場合の数

>>848
その場合のa範囲において、f(x)はちょうど3つの極値をもつことを示せ
教えてください

>>842
どの一人が自分の名刺を取るか・・・5通り

その場合、ほかの4人全員が他人の名刺を受取る
・・・第4次完全順列と考えられる・・・9通り

（D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2])
D[1]=0,D[2]=1より
D[3]=2(0+1)=2,D[4]=3(2+1)=9）

よって5*9=45通り

>>850
f'(x)=…=(2cosx+a)(acosx-1)
何回符号変化起こすよ

関数を微分する問題で、

y=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)

を微分すると

y'=4/{(e^x+e^-x)^2}

になるそうなのですが、式をいろいろいじったりしても
どうしても答えと同じになりません。
よろしくお願いします。

>>853
y=f(x)/g(x)⇒y'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2
分母はまんま答の形
(分子)=(e^x+e^-x)^2-(e^x-e^-x)
=e^2x+2+e^-2x-(e^2x-2+e^-2x)=4

>>840
お願します

>>855
問題文がｲﾐﾌなんだが・・

10円硬貨6枚、100円硬貨4枚、500円硬貨2枚の全部または一部を使って支払える金額は何通りか。

という問で、硬貨を使うか、使わないかの二通りの重複と見なして、
2~6*2~4*2~2-1
としたのですが何が間違いなのかを教えてください。

それぞれの硬貨を区別できるものとして扱っているのが間違い。

xy平面に、中心が原点、半径がrの円がある
円の外部の点Ｐ(a.b)から接線を引き、接点をそれぞれＱ.Ｒとし、直線ＱＲをlとする

�@lの方程式はax+by=r^2であることを示せ

�A円の外部にあるl上の点Ｐ'から円に引いた二本の接線と円の２つの接点を通る直線はＰを通ることを示せ

お願いします

>>858

ですよね！ということで、区別をなくそうにもできないから別のやり方を考えようという思考でいいでしょうか？

n=1,2･･･,r＞1とする
a[1]r+a[2]r^2+･･･a[n]r^n=(-1)^nをみたす｛a[n]｝について
（1）a[n]をrを用いて表せ
（2)a[1]+a[2]+･･･を求めよ
お願いします

>>856
もうなんか寝ぼけてました

方程式x^2+3ax+3=1/x・・・(*)
が異なる実数解を2つ持つとき
定数aの値と(*)の解を求めよ。

こうでした、すみません。お願します。

f(x)=x*(x^2+3ax+3)-1=0 (x≠0)が異なる実数解を2つもつ、かな

�蚤[n]r^nでnをn, n-1としたもので辺辺ひく、かな

>>862
(*)
⇔3a=-x-3/x+1/x^2
右辺をf(x)とおくと
f'(x)=-1+3/x^2-2/x^3=-1/x^3*(x^3-3x+2)
=-1/x^3*(x-1)^2*(x+2)
これからf(x)のグラフがわかる。

ちょうと2つ、異なる実数解をもつのは
y=f(x)とy=3aが2つの共有点をもつときで
3a=15/4⇔a=5/4

このとき(*)⇔(x+2)^2*(4x-1)=0⇔x=-2,1/4

よってa=5/4,そのときの2解はx=-2,1/4

N(2-αr)exp(-αr/2)　をrに関して一回微分、二回微分するんですが、何回やっても
答えが違います･･。どなたか解き方お願いします。

>>861をお願いします

>>863
で書いてくれてるじゃん・・・普通にa[n-1]r^(n-1)までの和を引けば求まるでしょ

�@）縦、横、高さを加えると９ｍになる。
�A）表面積は４８ｍ＾２である。
を満たす直方体の体積のうちで最大のものを
もとめなさい。
x+y+Z=9,2xy+2yz+2zx=48とやってみたんですが、
次が進みません。解説お願いします。

>>868
ﾏﾙﾁなうえに解答済み

Ｖ＝xyz

t^3-9t^2+24t-Ｖ＝０で変数分離かな

>>859
�@接点を(x1,y1),(x2,y2)とおくと接線はそれぞれ(x1)x+(y1)y=r^2,(x2)x+(y2)y=r^2
ともにP(a,b)通るから代入した式より直線lはax+by=r^2
�AP'(x3,y3),接点をS,Tとおくと�@より直線STは(x3)x+(y3)y=r^2
P'はl上にあるからa(x3)+b(y3)=r^2よってPはST上にある

>>859
直線QR上の点を(x､y)とすると(x､y)と(a､b)の内積はr^2に等しい
よってax+by=r^2
またP'(a'､b')とおくと上の式に代入してaa'+bb'=r^2で
P'の時の接点を通る式はa'x+b'y=r^2だからこれはP(a､b)を通る

>>865
{N(2-αr)}'exp(-αr/2)+N(2-αr){exp(-αr/2)}'=-Nαexp(-αr/2)+N(2-αr)(-α/2)exp(-αr/2)=(-Nα/2)(4-αr)exp(-αr/2)
やっぱｻｶｰもEUROだな

>>820
これも難しいです
{a(n)}の単調増加性よりa(n+1)-a(n)≧1よりa(n)≧nよってb(n)≧3n
しかもb(n+1)-b(n)=a(n+1)+2(n+1)-a(n)-2n≧a(n+1)-a(n)+2≧1+2=3
{b(n)}の階差が3以上なので{a(n)}=N-{b(n)}であることより
{a(n)}の階差は1もしくは2
（∵あるnでa(n+1)-a(n)≧3であるとすると{a(n)}の単調増加性よりa(i)=a(n)+1,a(n)+2となるiは存在しないので{a(n)}∪{b(n)}=Nよりb(p)=a(n)+1,b(q)=a(n)+2となるp,qが存在するが
p-q≧2ならば{b(n)}の単調増加性よりa(n)+1=b(p)<b(p+1)<b(q)=a(n)+2となりb(p+1)が自然数であることに矛盾する）
よって{b(n)}の階差は3もしくは4

（{b(n)}の階差が3もしくは4なので{b(n)}の抜けた穴を{a(n)}が塞いでいくように定義されていくという状況であることが分かる
そこで{b(n)}の階差が4となる状況がどんな頻度で起こるか調べてみると）

b(n+1)-b(n)=4であるのはa(n+1)-a(n)=2である状況でありそれはb(m)=a(n)+1となるb(m)が存在する場合なのでb(m+1)=b(m)+3,4であることからa(n+2)-a(n+1)=1
（∵a(n+2)-a(n+1)=2とするとb(m+1)=a(n+1)+1=a(n)+2+1=a(n)+1+2=b(m)+2となる）
よってb(n+2)-b(n+1)=3
ここでb(n+3)-b(n+2)=3とするとa(n+3)-a(n+2)=1となりb(m+1)-b(m)=4
（∵b(m+1)-b(m)=3とするとa(n),b(m)=a(n)+1,a(n+1)=a(n)+2,a(n+2)=a(n+1)+1=a(n)+3,a(n+3)=a(n+2)+1=a(n)+4=b(m)+3=b(m+1)となるので同じa(n)+4をa(n+3),b(m+1)と2通りに表せてしまうため矛盾）
よってa(n+4)=a(n+3)+2すなわちb(n+4)=b(n+3)+4
つまり{b(n)}の階差が4になるとその次の階差は3でありさらにその次が3ならそのまた次は4になるすなわち{b(n)}の階差が4になるパターンは
4,3,4または4,3,3,4であることが分かる

（このあたりまでは実験でおおよそ正しそうな予想を立てられる事柄を証明したに過ぎないがここから先へ進むためのアイデアを思いつかない）

>>871-872
ありがとうございます
>>872
どうして内積はr^2なんですか？

>>864
ありがとうございます
ちなみに
�@両辺にｘをかけて3次方程式にする
�A2つの解をα、βとおいて式を表現する
この方法でも出来ませんか？

>>875
内積の幾何的な定義から
↑OA・↑OP=OA・OP・cosθ
△OAPは∠OAP=π/2の直角三角形だから
OP・cosθ=OA=r

>>876
(*)⇔x^3+3ax^2+3x-1=0
この3次方程式が異なる実数解をちょうど二つもつ時、一方は重解である。
よって2解をp,q(重解)とおくと(ただしp≠q)
解と係数の関係より
p+2q=-3a・・・�@
2pq+q^2=3・・・�A
pq^2=1・・・�B

�Aにqをかけて�Bを代入すると
2+q^3=3q
⇔q^3-3q+2=0 (q-1)^2*(q+2)=0⇔q=1,-2

q=1とおくと�Bよりp=1となってp≠qに矛盾する。

よってq=-2となるしかなく、�Bよりp=1/4
このとき�@よりa=5/4

以上よりa=5/4、そのときの2解はx=-2,1/4

方程式x^2+3ax+3=1/x　が異なる2つの実数解を持つ時、定数aの値と、方程式の解を求めよ。

という問題です。
3次方程式にして、解と係数を使う所までは分かりましたが、そこから解けなくなりました。
よろしくお願いします

グラフ書いてみたら？

と思ったら、同じ問題集使ってる人が直前にいたとは・・・：
すみません。ありがとうございます

別人かよｗ

>>878
本当にありがとうございました。

すみません、お願いします。
x^2+kx+k^2=4…�@が整数解のみをもつとき、kの値を求めよ。

という問題で解答に(すみません、少し省略します)
�@を解くとx=-k±√16-k^2/2(√はk^2までです)

これが実数でなければならないから√の中身≧0である。よって16-3k^2≧0
∴k^2≦16/3

となってこれを満たすkを求めて終わりなんですが何故√の中身が実数でなければいけないんでしょうか？
整数解をもつのならば√の中身は整数^2になると自分は考えたのですがどうでしょうか？

長々とすみません。よろしくお願いしますm(_ _)m

>>884
良く分からないけど、k^2≦16/3だけならkの値じゃなく範囲が答えになってる？
k = ±2なら解説を省略されてるだけじゃないかと・・

どなたか>>583を解いていただけないでしょうか？

>>875
内積がスクリーン×影ということを知っているなら簡単
OPがスクリーンとするとOとl上の点との影はすべて等しい
だったらOQで代表できる｡つまり↑OQと↑OPの内積である
またOQがスクリーンとするとOPの影はOQだからr^2となる

>>583
>n(n-1)(n-2)...(n-k-1)≦{n-(k-1/2)}^k
n(n-1)(n-2)...(n-k-1)(n-k-2)≦{n-(k-1/2)}^k(n-k-2)
(n-((k+1)-1/2))^(k+1)/({n-(k-1/2)}^k(n-k-2))
=(n-k-1/2)^(k+1)/(n-k+1/2)^k(n-k-2)
=((m-1/2)/(m+1/2))^k・(m-1/2)/(m-2)→0 (k→+∞)？

>>884
>これが実数でなければならないから√の中身≧0である。よって16-3k^2≧0

それはすなわちD≧0,実数解条件でしょ。整数解てことは少なくとも実数てことだから
それよか
>∴k^2≦16/3 となってこれを満たすkを求めて終わり〜

これをみたすkって何をみたしてんだ？ひょっとしてkは整数とかいう条件あんじゃねーだろな

わりぃk:整数は自明だorz
>整数解をもつのならば√の中身は整数^2になると自分は考えたのですが〜

それでももちろんおけ

何度もスマソ
だからk=-2,-1,0,1,2に絞られる。そのうち�@が整数解をもつのはk=-2,0,2のとき
「整数解をもつ条件」でかつかつやるのもいーがそれより緩い「実数解をもつ条件」
でとりあえずkの範囲を絞る。その中でどれが整数解になるか調べればよい。

次の行列式を計算しなさい(直接計算、余因子展開禁止)
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20

お願いします

普通に。

>>892
ﾏﾙﾁ

X＾2＋14X−392＝0
これを足して14、掛けて−392になるような2つの数を見つけたいのですが、何か良い簡単な見つけ方ってありますか？

もう解の公式でも使っちゃったら

ｿｲﾝｽｳ分解

（Ｘ+7）＾2-49-392＝ｎ＾2
（Ｘ+7）＾2−ｎ＾2＝441
（Ｘ+7−ｎ）（Ｘ+7+ｎ）＝441

すいません！
誰か教えて下さい。
三角ABCにおいて、角ABC=120°の時、角ABCの二等分線とACとの交点をＰとする。
このときの長さBPをa,cを用いて表せ。
ちなみに数�TAの問題です。

Ｓ＝1/2*a*c*sin120°
Ｓ＝1/2*ＢＰ*a*sin60°+1/2*ＢＰ*c*sin60°

>>899
三角形ABCの面積＝三角形BAPの面積＋三角形BCPの面積

>>900,901
ありがとうございます。

>>898だけど
（Ｘ+7）＾2-441＝0だわ
n^2でやるとだめだ
なんでだろ？誰か頼む

>>897
文系なので久しぶりだったけど何とか素因数分解のやり方を思い出して試してみたら、簡単に答えが導けました
ありがとう御座いました

>>903
そもそもn^2って何から出てきたんだｗ

>>903
まあもちつけ浪人生
(x+7+21)(x+7-21)=0でおわりじゃまいか

マスターオブ整数の1部§4の3の(2)なんですけど、
これって三十九通りじゃないですか？

1^4-1、2^4-1、3^4-1・・・98^4-1、99^4-1、100^4-1の中に十の倍数はいくつあるか
っていう問題なんですけど、解答には
一の位は一桁目に依存し、
100÷10で十周期分あって、一周期に4つ(1、3、7、9)
あるから10*4＝40ってなってるんですけど、どうなんでしょうか？お願いします！

>>907
何で39通りと考えたの？

なんで39通りだと思うの？

かぶったｗ　失礼

すまん、理由書いてなかった。
1＾4-1は0だからそれ抜いて
10*4-1で39だと思ったんだよね。

>>911
0も10の倍数だよ

整数xがmの倍数であるとは
x=kmとなる整数kが存在すること。だから0でも負の数でもいい。

>>912ありがとう、完璧に倍数の定義を勘違いしてました。
助かった！恩に着る！

不等式log_{x}(y)-log_{y}(x^3)-2＜0をみたす点（x,y）が存在する範囲を図示せよ。

お願いします

底を適当に変換して
(log(y)/log(x))-3*(log(x)/log(y)-2)<0
両辺に(log(x)*log(y))^2 (>0)を掛けて
log(x)*log(y)*( (log(y))^2 - 3log(x)^2 - 2log(x)log(y) ) <0
⇔log(x)*log(y)*( log(y)+log(x) )*( log(y)-3log(x) ) <0
あとはこれを図示するだけ。といってもこっから先が面倒臭そうなんだが。