数学の質問スレ【大学受験板】part54

二つの二次方程式ax^2-3x+a=0とx^2-ax+a^2+3a=0について、次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
(赤チャート�T　例題91)
の�@　両方とも実数解を持つ

について質問なんですが、解答では0≦a≦3/2　となっていますが、
二次方程式ですからax^2-3x+a=0についてa≠0であり、正解は0＜a≦3/2　ではないのですか？

>>567
問題文中に｢二次方程式｣と明記されていれば
お前の言うとおり、a≠0を考慮しなければならない。

まあ、印刷物には誤植もつきもんだがな。

>>566
鋭角三角形なので、Ｄは線分ＡＢの内部にある。

ＡＤとＢＤの長さの比を、a:bとすると、
ＣＤ↑=(b*ＣＡ↑+a*ＣＢ↑)/(a+b)

ＡＤとＢＤの長さの比は、△ＣＡＤと△ＣＢＤの面積の比なので、
a:b=(1/2)*ＣＡ*ＣＤ*sin(90-β):(1/2)*ＣＢ*ＣＤ*sin(90-α)
=ＣＡ*cosβ:ＣＢ*cosα=(ＣＡ/ＣＢ)*cosβ:cosα

正弦定理から
ＣＡ/ＣＢ=sinβ/sinα

よって
ＣＤ↑=(b*ＣＡ↑+a*ＣＢ↑)/(a+b)
=(sinαcosα*ＣＡ↑+sinβcosβ*ＣＢ↑)/(sinαcosα+sinβcosβ)

スマン
sin^3θ(サインθの３乗)を積分せよ
ってどうすればいい？
二乗とsinに分割→sin^2を(1−cos^2二乗)に変形→カッコ外し→までは分かるんだが
そこで出てくるcos^2θsinθを部分積分してもうまくいかないんだ

>>570
いや、普通に積分すれば良いだろ。

ヒント

∫(tanθ)^5/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^5/d(tanθ)

∫(tanθ)^5/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^5*d(tanθ)
だった。

>>570

>>572でもいいが、別解を載せておく。

三倍角の公式を使う。

sin3θ=-4(sinθ)^3+3sin3θだから、
(sinθ)^3=(3sinθ-sin3θ)/4

こうすりゃ簡単に積分できる

>>570
部分積分って・・・。置換積分だろ。
慣れないうちはちゃんと　t=cosθ　とでも置けよ。

サイン、コサイン、ログ、などの基本的なものを微分・積分した結果の載っているサイト
ないでしょうか？「微分、積分、数学、基礎、サイン、コサイン、sin、cos・・・」
という検索ワードだとそれらしいの出てこないです。教科書は持っていません。
検索ワードのヒントでも良いので教えてください。

微分公式とか積分公式でぐぐれ

悪いことは言わないから参考書買え

>>575
微分の定義から自分で作れ。

自分で作るのが一番いいと思う

>>575
"微分公式""積分公式"でそれぞれ検索したら、それらしきものが大量に出てきたわけだが。
検索の絞り込み方を身に付けろ

2次の近似式の証明を詳しく教えていただけないでしょうか？
教科書には式しか載っておらず、どうも青チャートにのっている説明では
良くわからなくて、いきなり

a<b f(x) f'(x) f''(x)は[a,b]で連続であるとする・・・の後
f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+k(b-a)*(b-a)とすると

という式が出てきてよくわからないんです。
いや、自分が唐突に変な式が出てきたと感じるだけで
普通なのかもしれないんですけど・・・。

どうかよろしくお願いします。
初歩的なものですので、詳しいサイトなどでも構いません。
2次の近似式ググって見たのですが、どうもうまくいかなくて・・・。
できればロピタルの定理とか使わずにお願いします・・・。

kとか定義されてないものをいきなり出すな。

すいません。

f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+k(b-a)*(b-a）・・・丸Ａ(kは定数)とすると

と書いてあります。青茶には

…まぁいいや。
f'(x)とはなにかわかってるか？
f(a+�凅)-f(a)=f'(x)�凅+o(�凅)
o(x)=xg(x)
lim[x→0]g(x)=0
つまり、o(�凅)は�凅の二次以上の項。
故に
f(a+�凅)-f(a)=f'(x)�凅+o(�凅)
を�凅で割って極限で0に持っていったとき、f'(x)の極限値が存在すれば、
変位�凅が微小の時、つまりdxの係数が出る。
dy=f'(x)dx

で、�凅が極小で無いときはその二次以上の項の効果が出るので、それを考えるために
その係数をkと置いてk(�凅)^2と書いている。
だから、実際には、その式は
f(x+�凅)-f(x)=f'(x)�凅+k(�凅)^2+o'(�凅)�凅と書くのが正しい。
�凅の三次以上の項を無視すればその式になる。

うう、わからないです・・・。
f(a+�凅)-f(a)=f'(x)�凅この式は普通の微分するときの式ですよね？

それに追加されているo(�凅)　o(x)=xg(x)・・・　これってまずどこから出てくるんでしょう？

x^2を考えてみろ。

x^2+2�凅x+(�凅)^2-x^2=2x�凅+「(�凅)^2」

>576-580
ありがとうございます。キーワードは”公式”だったんですね。

>>586
（x+�凅)*（x+�凅)ですね。
わかりました。

ですがどうしても
＞を�凅で割って極限で0に持っていったとき、f'(x)の極限値が存在すれば
＞変位�凅が微小の時、つまりdxの係数が出る。
以降がわかりません。dxの係数とはなんでしょう？
また�凾�じゃなくｘを０に持っていくんですよね？
f'(ｘ)のｘが限りなく0に近づいた時に極限値が存在するなら・・・うう・・・
なんだかよくわからないっす。

青茶は演習ガンガンやる系の参考書だから、公式の証明などは手薄
別の参考書を本屋で立ち読みするのが手っ取り早いと思うよ

f(a+�凅)-f(a)=f'(x)�凅+o(�凅)
を�凅で割って極限で0に持っていったとき、f'(x)の極限値が存在すれば、変位�凅が微小の時、つまりdxの係数が出る。


dy/dxの高校の定義を思い出せ。

dy/dx=lim[�凅→0]{(f(x+�凅)-f(x))/�凅}

この極限値が存在するとき、dy/dx=f'(x)つまりdy=f'(x)dx
dxは�凅をすっごい小さくしたものと思えば良い。

>>581
やってることは大学で習うテイラー展開そのものだから
ttp://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/taylorexp/taylor1.htm
この辺を読んでみるといいと思う。

>>589
みたいですね・・・。
表紙を開いたカバーの部分には青チャート（基礎からの）
日常学習と、入試対策への必須問題を漏れなく衆力。解説も充実し、
日常学習から大学受験まで完全に対応できる信頼の一冊。
って基礎ってかいてあるし、日常学習って二回言ってるんですよね・・・。

>>590
＞を�凅で割って極限で0に持っていったとき
�凅割る・・・割ると
{f(a+�凅)-f(a)｝/�凅=f'(x)+o(�凅) /�凅・・・？
そして極限で0に持っていったとき・・・�凅を0にですよね？
左辺f'(a)？右辺はf'(x)は�凅を含まないので変化なし、o(�凅)は�凅の
二次以上の項なので０、で・・・ありゃ・・・・・・・どうしたらdxの係数の話に
繋がるのか、そこにすら到達できない・・・。

駄目だ俺の脳みそは・・・

>>591
ありがとうございます、読んでみます・・・。

その前にちと昼食を取ってきます・・・。

{f(a+�凅)-f(a)｝/�凅=f'(x)+o(�凅) /�凅
これを�凅→0にすると、微分の定義から
dy/dx=lim[�凅→0]{(f(x+�凅)-f(x))/�凅}=f'(x)
となるのはわかるよな？
両辺にdxを掛けてdy=f'(x)dxだ。
dxてのは簡単に言えば�凅をすごい小さくしたものと考えてほしい。
つまり、
f(a+�凅)-f(a)=f'(x)�凅+o(�凅)
を�凅→0にしたものと、
dy=f'(x)dx
てのは同じ意味なんだ。

上の式でf'(x)は�凅の係数。
したの式でf'(x)はdxの係数となっている。

それよりも大事な事は、

�凅が極小でないときはその二次以上の項の効果が出るので、それを考えるために
その係数をkと置いてk(�凅)^2と書いている。
だから、実際には、その式は
f(x+�凅)-f(x)=f'(x)�凅+k(�凅)^2+o'(�凅)�凅と書くのが正しい。
�凅の三次以上の項を無視すればその式になる。

ここだろ。

>>594
＞{f(a+�凅)-f(a)｝/�凅=f'(x)+o(�凅) /�凅
＞これを�凅→0にすると、微分の定義から
＞dy/dx=lim[�凅→0]{(f(x+�凅)-f(x))/�凅}=f'(x)
＞となるのはわかるよな？

ここがわからないです・・・。
aとｘが違ってもいいんでしょうか？
lim[�凅→0]{f(a+�凅)-f(a)｝/�凅ってa点での微分した値ですよね？
dy/dxとdy/dxにaを代入した値って違わないんでしょうか・・・。

あと
＞で、�凅が極小で無いときはその二次以上の項の効果が出るので、それを考えるために
＞その係数をkと置いてk(�凅)^2と書いている。
極小の時と近似でいう十分小さい時っていうのは程度が違うんでしょうか？

正しく訂正すると

{f(a+�凅)-f(a)｝/�凅=f'(a)+o(�凅) /�凅
これを�凅→0にすると、微分の定義から
dy/dx=lim[�凅→0]{(f(x+�凅)-f(x))/�凅}=f'(x)
となるのはわかるよな？
両辺にdxを掛けてdy=f'(x)dxだ。
dxてのは簡単に言えば�凅をすごい小さくしたものと考えてほしい。
つまり、
f(a+�凅)-f(a)=f'(a)�凅+o(�凅)
を�凅→0にしたものと、
dy=f'(x)dx
てのは同じ意味なんだ。

だな。別にaはxでも良い。

極小の時はo(�凅)の効果が消えるわけだから0。でも近似では�凅→0ではなく�凅≒0だからその効果が出てくる。

ｆ(Χ)＝ａΧ~2 ＋ ３(ａ＋２)Χ ＋３ａ＋６
の値が常に正であるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。
Χ~２は、Χの二乗のこと。 誰か教えてください。。。

>>597
教科書ぐらい見ろよ。

答えだけ教えてください

何で答えクレクレ厨にわざわざ答えやらないといけないんだ。
答えは3秒ぐらいで出せたけど。

>>596
わかりました。
とりあえず584の最後までわかったと思います。
あと583のｂをa+�凅にすれば>>584の説明と同じですよね。
o'(�凅)�凅はo(�凅)の近似でしょうか？
o(�凅)を微分した際の不明な係数が583のｋに当たるという
ことですね。

さて青茶はここが証明のスタートラインだったり・・・。
最終的にo'(�凅)�凅がf''(a)h*h/2という値になっている・・・。
読み進めてみます。

ずいぶん長く丁寧に解説してくださって、本当にありがとうございました。

>>600
15秒くらいかかった。

三秒で出した技を教えてください。

数学は教科書の公式の定義と例題くらいは見ようね

>>601
はo(x)と同じもので書きたくなかったから別の、同じ性質(�凅の高次の項)の関数という意味で書いた。

大体言いたいことは伝わったと思う。

>>603
技もクソも計算するだけだし。

>>603
こんな3行で終わる様な、簡単な計算が出来ないはずはない。さっさと教科書を読め。

答えはわかってるんだけど…なんで『＞,＜と≧,≦』どっちの不等号なのかわかりません…教えてください

>>607
日本語を勉強して教科書を読め、と。

日本語に関しては質問してない。言いたいことわかる人教えてください

>なんで『＞,＜と≧,≦』どっちの不等号なのかわかりません…教えてください

日本語がおかしい。

少なくとも＝付きか＝なしかは簡単に判断できる筈だが。
問題文を読み取る「国語力」があれば判断できる。
つまり、国語力も乏しいって事。　>>609

>>609
>>608がせっかく、
最低限の日本語くらい扱えないと、数学云々より、文章を理解する段階でつまづくから、先に日本語の勉強した方がいいよ。
ちゃんと伝わる日本語で書けないと、あなたが問題を分かってても、採点者は理解してくれないよ。
ってアドバイスしてくれてるのに、そういう言い方はないと思うな。