【東京】マスタ・ーオブ整数　1冊目【出版】

マスタ・ー・オブ・整数（東京出版）大学への数学シリーズのスレッド

藤田には嫌われてるね

必要な大学はドコ？東大？一橋？

>>3　○○問題集やったら◇◇大学いけますか？と同じ系統の質問ですね

これ持ってる。
やる度に挫折するけど。

http://study.milkcafe.net/test/read.cgi/rikei/1064078678/l50
微積分／基礎の極意　大学への数学

一般の受験生には

　無　理　が　あ　り　ま　す　！

てかmodとかって答案に使っていいの？

整数問題って国公立、特に医学部しか見たことないお(＾ω＾)医学部受けない漏れには無縁だお⊂( ＾ω＾)⊃

慶應受ける俺には整数問題が必要だったり
まぁ京大以外はいらないんじゃね？

modは全然ＯＫだよ。
模試でも満点来たし。
東大の
「n^5−nが３０の倍数であることを示せ。」
とかmodで瞬殺。丁寧に書いても５分かからないし。
一橋でも同様のが出てるしね。
まあこの本やる前に細野で導入しておくと
スムーズにすすめると思うよ。

スレタイに1とか入ってるｽﾚは終わってる

阪大受ける人もしくは受けた人いますか？

>>12　何故？

たけすぃ慶応医うけるお？(＾ω＾)

この一冊でスレを立てる必要があるのかと

>>11の問題はどうやるんでしたっけ？

SFC受けるお

正直…ほとんどの大学は細野でOK
ただ医学部はよくわからないけど…オイラーとかがでないなら細野 この本はやりすぎってより的を得ない

たけすぃマスターオブ整数やったお(＾ω＾)？

模試の採点者と本番の採点者じゃ、観点が違うよ。

やってるお

>>17を

>>23
n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1),
(n-1)n(n+1)は6の倍数,n^2+1はnが5でわって余りが2か3のとき5の倍数,
0か1か4ならnかn-1かn+1が5の倍数。いずれにせよn^5-nは三十の倍数.

懐かしいなこの本世話になったよ
まあオイラーの定理なんか載せてる時点でオタクの本だな

>>25せやな

>>25
ペダンティックとオタクって同じ意味か？

>>24 なるほどね、ありがとう

ってか>>24は簡単だし典型やないんか？いろんな問題集でみた

>>29
典型だね。
去年の恐怖医の整数問題とかはちょっとおもろいね。

ごめん、俺がバカなのは重々承知してるけどmodって何でしょうか、偉い人おせーて下さい

でもチェビチェフとかユークリッドとか完全に理解するには
この本しかないっしょ。
まあ東大一橋ですらもう出ないと思われてるからな・・・

>>24
明らかにmodの方が早い。
っていうかその解法に応用性がない。
と思った。

>>29>>30の方は受験生?

たとえば

２１≡１ (mod 4)

２１を４で割ると１あまる
こういうこと

>>24 どなたかmodでの解き方を教えてください

>>32
チェビシェフってどれのことかな。
ユークリッドってなんのことかな。

＞modの方がはやい。
？？>>24を記号化しただけじゃんmodって。

>>33
>>29は>>10
僕は>>30だけど受験生じゃない。

受験生
>>32が解答だせば？正直modは使わない
同じやり方だけどmodと書かないかな…

>>36>>37 ですよね ありがとうございました

ページ数は少ないけど内容が濃すぎる
某網羅系とは魔逆やなｗｗｗ

316 ：大学への名無しさん ：2005/12/11(日) 06:57:18 ID:XHb0RVNU0
あっそじゃあ教科書ﾚﾍﾞﾙ

292 ：大学への名無しさん ：2005/12/09(金) 09:16:15 ID:ljw1Micd0
388 ： ◆ZlyYA.gziY ：2005/11/25(金) 05:23:16 ID:/mPWlNtiO
教科書ﾚﾍﾞﾙ 3^2005の下位5桁を求めよ


ﾊｱﾊｱ拾ってきますた。


ほれ拾いもんA**くらいのﾚﾍﾞﾙ

合同式、ユークリッドの互除法、チェビチェフ、イデアル
使えないで難関大受けるやついるのか？
特に合同式はマスターしないと整数問題で不安じゃね？

合同式なんてただの表記記号だし。
俺は知ってるがそんなの使わない。
そんなの使ってる受験生を嫌う採点者多いよ。

難関校だとやはり避けられないのかなあ・・？
数ページなの？今高二で「一週間に一問しっかり」とかのペースでもやってける？

>>43
やっていけません。

オタク向けとか書かれているけど、
この本に載ってることはどれも入試頻出事項ばかりだよ。

何はともあれ、チェビ'チ'ェフとかイデアルとか聞きかじりの知識で
知ったかぶっている>>41みたいなのが一番かっこ悪いが。

>>24で
0、1、4なら(n−1)n(n＋1)のとこが5の倍数になるって書いてるけど、
それなら6の倍数はどこにあるの？

いや、一問をじっくりやっていこう、と思っているのですが・・
それともさーっと全部見たほうがいいのですか？

>>45
ﾏｼﾞでいってんの？

絶対必要なんてことがあるわけない。
自分で考えれ

>>46
じっくり取り組むことで思考力を磨くための本って部類ではなくて、
チャートなどに詳しく載っていない有名事項の知識を身につけるための
本だから、1問1問腰をすえて取り組む、っていうのはちょっと違うと思う。
どっちかというと、さーっと全部見たほうが勉強になる。

>>49
わかりました！
とりあえず青茶の総合演習終わらせてからにしておきます
でも発破はかけたいから、買っておこうと思います！

>>11で東大のうんたらかんたらと書かれているけど、
東大ではそんなの出てないと思うけど。
ちなみに今年は弘前大で出た。
それから、modを使わなくても5分もかからない。

もれの学校では
合同式、チェビチェフ、ユークリッドも全部ヤッタお。
イデアルもやったけど、あれはムズ過ぎて理解できないお。
でも先生言ってたけど、過去東大でも出たことあるらしいお。
たぶん合同式だけ使えれば他のいらないお。

>>41
イデアルなんて、なんで知る必要があるんだ？受験生で。
この本には、そんなのの定義がのってるのか？
イデアルって、ZにおけるpZ={pn|n∈Z}以外の
一般的な環の一般的なイデアルがでてくるのか？
出てくるとしたら何につかうんだ？

正直合同式も評判の割にはそこまで絶対的な力は感じないなぁ…
まだ使い方に慣れてないんだろうな(´･ω･｀)

互除法なんてのはただのオナニーだろｗ

>>53
ちょっと聞きかじった単語を言って知ったかぶってみたかっただけだろうから
そっとしておいてあげなよ。
たぶん、剰余環がらみの問題かなんかで、
「この部分集合は数学的にはイデアルと呼ばれるものです」とかっていう
解説でもついてたんじゃないの。

>>54
互除法は入試によく出る。知っておいて損はない。

>>47
うん。教えて。

この本やったら○○大学行けますか？

>>56
(n-1)n(n+1)が5の倍数であると同時に6の倍数でもある、という状態になる。
5の倍数と6の倍数は両立するでしょ。30の倍数ってこと。

>>35
mod5で考える。n^5-nが奇関数であることに注意して
n≡0の時n^5-n≡0^5-0≡0
n≡±1の時n^5-n≡±(1^5-1)≡0
n≡±2の時n^5-n≡±(2^5-2)≡±30≡0
よってn^5-n≡0(mod5)
mod2, mod3はもっと簡単なので省略するが
n^5-n≡0(mod2), n^5-n≡0(mod3)も成り立つ
よってn^5-nは2,3,5の最小公倍数30の倍数でもある（終）

2^(13^100)を7で割った余りは？
今適当に作った問題だけどmodに慣れてる人なら暗算（頭の中でmod使う）で10秒で解ける。
計算皆無に近いし。

>>60
８かな？

なんかここって数学ばっかできて他教科ができない奴多そう…

>>61
釣りかよ。
7で割った余りが8って。

>>60
今まで考えたがわからん!!!!
解説頼みます!!!!

>>58
あ、そうだった（￣▽￣；）
互いに素だったね。

>>60
2でしょ？
暗算でできたけど5分くらいかかった…
計算の仕方がまずかったかな。

>>60
８秒かかった。
２が答え。
１３≡−１だから（１３の１００乗）≡１
よってあまり２。

イデアルって中央法でもでてる。昨日みっけた。
でも受験生誰も出来ないよな。
互助法は必須でしょ。ってかホント整数は奥が深い。

10秒。
2^3≡1 mod.7。
また
13^100≡1^100＝1 mod.3より、
2^(13^100)≡2 mod.7

なるほどね 暗算でできた人は受験生？

>>68
わては高２だす。

>>66
mod7が入ってないorz
答案でこのミス犯したら点数半額だろうなｗ

その前に根本から間違えてない？
2*13^100じゃなくて2^(13^100)だよ。

学校で一通り整数やってくれた学校の予備校掛け持ちの教師に感謝。
その分野はこれで演習したな。
……これ導入無しで極められるのは個人的に凄いと思うんだが……

>>71
そでした。出直してきますorz

>>72俺の学校はまぁまぁ進学高なのに全く触れないから苦労してる。俺は塾で習ってる
>>69 一緒だ！どうやって出来るようになったの?やっぱ予備校とか？

>>66は違うの…!? >>67はなんで2^3とかmod3を使っているのか分かりませんorz

2＾3 = 8 ≡ 1 mod.7
2＾13=2*(2＾3)＾4≡ 2
2＾13＾100≡ 2＾100≡ 2*2＾33≡ 2*1

>>76
俺もそんな漢字。もっと下手だけどorz
てか志望大学に整数出なかったらやる必要ないよね。
文系で俺が知ってる範囲では東大京大一橋早稲田政経かな。

素数からなる有限等差数列でいくらでも長いものが存在することを証明せよ。

>>66
互除法って要るのか…
とりあえず互除法自体はできるけど、まだG.C.M.を求める問題でしか使ったことなひ(;´Д`)

>>79
入試で出るとしたら、あとは文字の互除くらいしかないと思うよ。

>>78
いくらでも長いものがある時点で無限なんじゃないの？

>>81
「有限数列」で、いくらでも長いもの。
p_1, p_2, ・・・, p_(100)が全部素数で等差数列となる並びがある。
p_1, p_2, ・・・, p_(10000)が全部素数で等差数列となる並びがある。
p_1, p_2, ・・・, p_(11530343208)が全部素数で等差数列となる並びがある。
っていう風に、いくらでも長い有限数列を素数だけで作れるってことじゃない？

つまりは、任意の自然数nに対して、m>nなる自然数mがあって、
p_1, p_2, ・・・, p_m
の項がすべて素数であるような有限等差数列{p_i}(i=1, 2, ・・・, m)が存在する。
ってことでは。

このあたりに解説を発見した。
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat61.htm

上の記事は1993年のものらしいのでちょっと古い。
2004年に正しいことが証明されたらしい。
ttp://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html

>>75
以下mod7とすると
2^3≡1より
2^(3n+k)≡2^k・(2^3)^n≡2^k・1^n≡2^k
つまり2の累乗を7で割ったあまりは指数を３で割った余りで決まる。
あとは13^100を3で割った余りを調べれば終了
13^100の7で割った余りを調べてる>>66や
(2^13)^100を7で割った余りを求めてる>>76は誤り。
(2^13)^100なら(2^13)^100≡2^1300≡2^1≡2です。

いや>>76は誤りではないでしょ？あなたの解法は難しすぎる。そんな発想受験生は思いうかばないよ。

いや、誤りだし、極めて自然な発想。

あ、ごめん。７６だけど
>>75にmod３の理由を説明しようとしたが、問題ちゃんと見てなかった

>>86
>>85の解答が正しい。
しかも発想としては一番当たり前。
下手にmodとかの公式を頑張って使おうとするのではなくて、
2^nを7で割った余りが3個周期で2, 4, 1, 2, 4, 1, ・・・と繰り返すことを発見するのが第一手。
それを簡単に証明し、あとは13^100を3で割っていくら余るかを調べる。

これが奇抜な発想だと思うようではまったく勉強不足。
>>76は「（2の13乗）の100乗」をしているのが間違い。
正しくは「2の（13の100乗）乗」

７５です、>>85と>>89の方の解説で完璧に分かりました。どうもありがとうございました

(１)Ｓn=1^n+2^n+3^n+4^n(ｎは自然数)
が６の倍数になる条件を合同式を用いた上で示してください。

(２)Ｓnが12の倍数とならないことを示してください。

(３)x,yがx>yを満たす自然数であるとき
x^3･y−x･y^3が６で割り切れることを合同式を用いて示してください。


(1)(2)…奈良県立医科大･改題
(3)有名題

(1)
1^n+2^n+3^n+4^n≡1+1≡0(mod2)（常に成り立つ）
1^n+2^n+3^n+4^n≡(-1)^n+2≡0(mod3) ∴n≡0(mod2)
(2)
n=2mとおくと
1^n+2^n+3^n+4^n≡1^(2m)+2^(2m)+3^(2m)+4^(2m)≡1+4^m+9^m+4^(2m)≡1+1≡2(mod4)
よって6の倍数の時4の倍数にならないので、12の倍数にならない
(3)
1^3≡1, 0^3≡0, (-1)^3≡-1(mod3)より
x^3 y - x y^3≡xy-xy≡0(mod3)
同様にして
x^3 y - x y^3≡xy-xy≡0(mod2)
∴x^3 y - x y^3≡0(mod6)

>>92
採点者の立場から見て論述不足。

(1)
ｓｎは明らかに偶数なのでｓｎ≡0(mod3)である条件を求めればよい。
ｓｎ≡1^n+(-1)^n+0^n+1^nなので
n=奇数のときｓｎ≡１
n=偶数のときｓｎ≡0
よって求める条件は　ｎ＝偶数。

（２）
（１）よりn=偶数のときｓｎが４の倍数で無ければおｋ
sn≡1＾n + 0^n + (-1)＾n + 0＾n≡2　(mod4)
よって題意は示された。

（３）
YOSHIKI＝ｘｙ(x + y)(x - y)
よりYOSHIKIは明らかに偶数なので以下mod３な
x or y≡0 のときは xy≡0 なので YOSHIKI≡0
x and y≡0以外 のときは x,y≡1 or -1なので xy or x+y or x-y≡0
よって YOSHIKI≡0
以上より題意は示された。

あ、みすった。
sn≡1＾n + 0^n + (-1)＾n + 0＾n≡2　(mod4)
↓
sn≡1＾n + 2^n + (-1)＾n + 0＾n　(mod4)
≡1 +0 + 1 + 0　（∵n=偶数）
≡2

さすがだな。
じゃあ次はﾏｽﾀｰﾍﾞｰｼｮﾝｵﾌﾞ整数からの出題だ。

(1)26y+111y=1となるような整数の組を今のスレの流れに逆らうことなく２組示せ。

(2)26tを111で割ったときにあまりが３となるような自然数をくれぐれもスレの流れに逆らうことなく２つ求めよ。

(1)(2)…ﾏｽﾀｰｵﾌﾞ整数§７-4･改題

26y+111y=137y
137y=1⇔y=1/137　よってそんな整数は無い

ま、一応な

訂正

26y+111y=1
↓
26x+111y=1

謹んでお詫び申し上げます

>>93
数式の入力は面倒だから細かい式変形は省いてるが、
それ以外に重要な欠落でもあった？具体的に指摘してください

93じゃないけど
とりあえず、証明問題で
＞1^n+2^n+3^n+4^n≡(-1)^n+2≡0(mod3)
これはマズイでしょ。
変形は変形。条件は条件でわけないと
試験なら一発でアウトになりかねないよ

>>100
1^n+2^n+3^n+4^n≡(-1)^n+2(mod3)
よって条件は(-1)^n+2≡0(mod3)∴n≡(mod2)
って書けってこと？
今後気をつける

↑(mod2)の前に0忘れた

合同式最強過ぎ。
シュワルツに並ぶ伝家の宝刀の一つだな。

拾いの問題

Σ([1/100*k^2]＋[10√k])(k＝1,2,･･,100)
の値を求めよ。

答えはトリップ。

>>96
(1)
26x+111y≡y≡1(mod2)
∴y=2n+1とおくと
26x+111(2n+1)≡n+7≡1(mod13)
∴n≡7(mod13)
∴y=2(13m+7)+1=26m+15
∴26x+111(26m+15)=1
∴x=-111m-64, y=26m+15
m=0,1として(x,y)=(-64,15),(-175,41)

(2)
26t≡3(mod111)より
26t≡2t≡0(mod3)　∴t≡0(mod3)
t=3nとおくと
26t≡78n≡4n≡3(mod37)
∴n≡10(mod37)
∴t=3(37m+10)=111m+30
よってm=0,1として30,141

>>96
合同式でやると、
26x＋111y＝1をmod13で考えて、
111y≡7y≡1(mod13)より
y≡2(mod13)で、偶奇を考慮して、y＝ｰ11,15とすれば、x＝47,ｰ64。

後半は、例えば26x＋111y＝3の解を考えればよく、前半と同様にして、
7y≡3(mod13)、y≡6(mod13)。
y＝ｰ7,ｰ33とすれば、x＝30,141を得る。

>>104
Σ[k^2/100], Σ[10√k]はそれぞれ
y=x^2/100, x軸, x=100に囲まれる領域の格子点の数（x軸を含まない）と
y=10√x, x軸, x=100に囲まれる領域の格子点の数（x軸を含まない）だが、
y=x^2/100とy=10√xはy=xに関して対称なので
結局求める値は1≦x≦10,　1≦y≦10にある格子点の数に
その領域内のy=x^2/100上の格子点の数を足したもの
x座標が10の倍数のとき放物線上の点は格子点になるので
放物線上の格子点は10,20,…,100の10個
よって求める値は100*100+10=10010

>>106
(2)は、ほぼ(1)の1が3に変わっただけなんですね。気付かなかった。

>>107
正解。意外と気付きにくい問題と思ったけど、お見事。

>>107
5行目　1≦x≦100,　1≦y≦100に訂正
>>109
こうゆう問題は気付いた時気持ちいいね

>>96を拡張して、
互いに素な整数a,bに対して、
ax＋by＝1の整数解(x,y)が存在する。
という重要定理が得られるね。

おまいら神だな。

>>105
>>106
どうもありがとうございました

一応証明。
まず、mod.aで考えたとき、
by≡1となるyがあることを示す。
{b,2b,･･･,(a-1)b}をaで割った余りの集合が
A＝{1,2,･･･,a-1}の並べ替えであることを示せばよく、即ち相異なることを示せばよい。
今、Aの異なる要素i,jが存在して、ib≡jb(mod.a)となると仮定すると、
(i−j)b≡0(mod.a)。
aとbが互いに素なので、
i−j≡0(mod.a)つまりi＝jとなるがこれは仮定に反する。
よって示された。
以上よりby≡1(mod.a)となるyが存在するので、
by＝ｰaN＋1(Nは整数)と書け、上式を移項してN＝xとすれば、ax＋by＝1を得る。
よってax＋by＝1の整数解(x,y)が存在することが示された■

>>114
受験生ですか？
もしそうならよかったらどのあたりを目指してるか教えていただきたいですm(. . ;)m

えー。宣伝。

オイラーの定理とかフェルマーの小定理なんかに興味が
おありの皆さんなら
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000056344/503-9919346-1555113
の第一章はいかがでしょう。

この本を題材にしたスレをだいぶ前に
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/
↑ここにつくったのですが、
第一章だけ書いて放置してあります。

本を持ってない人にもわかる説明を心がけたつもりです。
演習はおもに(当時の)受験生諸君によって解かれていたように思います。
解かれずにのこっている問題も残っておりますので
挑戦は歓迎します。

まあこの本はオイラーの小定理とかやりすぎだけど，一応受験でも使える場面はあるからなあ。
例えば>>11で　n^5≡n(mod 5)　示すのに
「オイラーの小定理より　n^4≡1　∴n^5≡n(mod 5)　」とか。
でもこんな解答で受験で点くれるのかなあ。

ところでチェビシェフってこの本に出てきたっけ？

すみませんオイラーの小定理じゃなくてフェルマーの小定理でした。

>>117
チェビチェフは出てないっしょ。
でも東大でも一橋でも過去問見れば出題されてるんだよね。
丁寧な誘導付きでｗ

偶然
全ての整数ｎで一桁目がn^5≡nになることを示せ
って東大で出てるしね。まあこれはmod使わずにとくのは無理じゃない？

問題へんだね。訂正
ｎ（０から９まで）になおしてくだせい。

>>114の(ちょっとした)拡張で、
ax＋by＝k(k:整数)�Aが整数解を持つ
という定理。

ax＋by＝1の解(X,Y)について、(kX,kY)を考えることで直ぐに確かめられる。
または、by≡t(mod.a)を満たすyが存在するから(t＝0,1,･･･,a-1)、
by＝ap＋t＝aq＋kとなる整数p,qが存在することが言える。よって、x＝ｰqとして整理すると、
ax＋by＝kが得られる、と直接示してもよい。

また、�Aの解の一つを改めて(X,Y)とすれば、
(X+sb,Y-sa)(sは整数)も解。
さらに、�Aをxｰy平面上の直線と考えたとき、この上にある格子点の間隔が√(a^2＋b^2)であることを示す。
(�Aの上で)(X,Y)と(X+b,Y-a)の間に格子点がないことを示せばよい。

もし、0＜|a_0|＜|a|、0＜|b_0|＜|b|をみたし、(X+b_0,y-a_0)が格子点となるような整数a_0,b_0が存在したとすると、
a(X＋b_0)＋b(Y−a_0)＝k。これと、aX＋bY＝kとより、
ab_0−ba_0＝0。ここで、aとbは互いに素なので、b_0はbで、a_0はaで割り切れなければならないが、これは条件に反する。
故に、そのようなa_0,b_0は存在しない。
以上より、�A上の格子点の間隔は、√(a^2＋b^2)であることが示された。

>>117
フェルマーの小定理は高校の範囲で証明出来るから問題ないはず。
証明出来ないのもロピタル以外は多分いける

>>117
フェルマー(小)が使えるのは、nが5で割り切れないときだけだけどね。

過疎だけど拾い１問。

mを正の整数とする。
m^3＋3m^2＋2m＋6はある整数の3乗である。mを求めよ。

>>124
m^3と(m＋1)^3ではさんでおわり。

>>124
みすった。
（m＋2）^2とではさむ。

質問させてください。modって受験で使って良いですよね？
○を法としてと書いたら模試で？と書かれたのですが。

>>127
絶対に大丈夫。
模試だと採点基準にないから採点不可になっちゃうことはあるけど
本番では全く問題ない。

>>128
早いレスありがとうございました。

使わずに解けるようにした方が受験生としてかわいげがあるよ。

>>126
遅くなってスマソ。
合ってる。
でも(m+1)^3で挟んでもできるけどね

他スレで拾った問題
x^y＋y^x＝zを満たし、x,y,zが素数となるような自然数(x,y,z)の組を全て求めよ。

>でも(m+1)^3で挟んでもできるけどね

ここを詳しく。
あと問題は、はい、おてあげです。

>>132
本人ではないが・・・

5<mのとき、
m^3<m^3+3m^2+2m+6<m^3+3m^2+3m+1=(m+1)^3
だから、m^3+3m^2+2m+6は、ある整数の3乗ではない。
後は、m≦5のときを具体的に調べればよい。

>>131
x,yがともに奇素数だとするとzは偶数すなわち2。これは、8=2^2+2^2≦z
より矛盾。また、x,yがともに偶数だとしても同様に矛盾。
したがって、x=2,yは奇素数またはxは奇素数,y=2。
前者の場合を考える。
2^y+y^2=z
yは奇素数だから、2^y≡(-1)^y≡-1(mod 3)。
y≡1のとき、y^2≡1だから2^y+y^2≡-1+1≡0すなわちz=3。これは矛盾。
y≡2のとき、y^2≡1だから2^y+y^2≡-1+1≡0すなわちz=3。これは矛盾。
よってy=3。このとき2^3+3^2=17で(x,y,z)=(2,3,17)。
同様に、(x,y,z)=(3,2,17)。

>>133
お、説明�dクス。
後半も正解。
恐らくmod.3で考えるところが一番の難関。

>>133
わかりやすい説明ありがとうございます。
整数ってなんか知ってるか否か、思いつくかどうかって部分が
凄く大きいですよね・・・

こんなレベルの問題が解けるなんて東大志望ですか？