数学の質問スレ【大学受験板】part48

>>774
二乗してるからどっちにしても整数になるんじゃないんですか？

>>772
誰かお願いします。

775です。整数を正の数にして読んで下さい。

√（√2−√3）^2 でもいいと思う。2重根号をはずすときには負にならないようにする必要があるから、
√（√2−√3）^2 =|√2−√3|=√3-√2

すみません質問いいですか？(;-_-)
鋭角三角形ＡＢＣにおいて、点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＨとし、ＢＨ＝ａ、ＢＣ＝ｂ、三角形ＡＢＣの面積をＳ0とする。
線分ＢＨ上(両端を除く)に点Ｐをとり、ＢＰ＝ｘとおく。
点Ｐを通り辺ＢＣに垂直な直線と辺ＡＢとの交点をＤ、点Ｄを通り辺ＢＣに平行な直線と辺ＡＣとの交点をＥ、点Ｅを通り辺ＢＣに垂直な直線と辺ＢＣとの交点をＱとする。
このとき、長方形ＰＤＥＱの面積の最大値を求めよ。
まったくわからなくて｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
皆様にとっては簡単な問題かもしれませんがよろしくお願いしますm(__)m

√（√2−√3）^2
は√2−√3にはならないのですか？

根号の規約で√●≧0(もちろん2重根号でも同じ)、だから √（√2−√3）^2は√2−√3にはならない。
√2−√3 = -√（√2−√3）^2 になる。

>>772
頼む

（√2−√3）^2≧0
にはなぜならないのですか？

すいません、解決しました！

>>772
左辺-右辺
=1-1/(1+|x|)-1/(1+|y|)+1/(1+|x+y|)
=(1-1/(1+|x|))(1-1/(1+|y|))-1/{(1+|x|)(1+|y|)}+1/(1+|x+y|)
で、
(1+|x|)(1+|y|)=1+|x|+|y|+|xy|≧1+|x+y|
に注意すればいい。
もっとスマートなやり方もあるかもしれんが。

>>785
ありがとうございます

>>779
何をすればいいのかは分かる？
長方形ＰＤＥＱの面積をa,b,S0を定数、xを変数と見て表せばいいの。それは出来た？
出来てないなら最初から説明するけど、結構長くなりそうだ

787
なんとかDPとPQを求めるとこまではできました。このあとどうしたらいいのかわからなくなってしまって(;-_-)

>>788
遅くなってゴメンな

DP=(2S0/ab)x、PQ=-｛(a+b)/a｝x+a+bだから
（長方形ＰＤＥＱ）＝(2S0/ab)x　×　｛-｛(a+b)/a｝x+a+b｝
=-(2S0/ab)×(a+b)/a ×｛x^2-ax｝
=-(2S0/ab)×(a+b)/a ×｛(x-a/2)^2-(a^2/4)｝
=-(2S0/ab)×(a+b)/a ×(x-a/2)^2+S0(a+b)/(2b)
よって、x=a/2のとき　最大値S0(a+b)/(2b)

要はxの関数と見て普通にやればいいってこと！

log(x+2) の積分どうやるんだっけ？

789
遅くなってなんてとんでもないです。教えていただけるだけでありがたいですm(__)m
なんとか今解決できました。本当にありがとうございました。

x+2=tとおくと、 ∫log(t) dt=t*log(t) - t + C = (x+2)*log(x+2) - x + C

xの３次方程式

x^3-(a/2+1)+(a-4)x-(a/2-4)=0

の3つの解がすべて整数になるようなaの値を求めよ。

根と係数の関係つかってみても求まりません

具体的な解法お願いします

問題は正確に書くように、

>>772
この問題をＡやＢなどに置き換えて計算する方法を教えて下さい。お願いします。

x^3-(a/2+1)x^2+(a-4)x-(a/2-4)=0


でした。　　すみません

>>793>>796
まず明らかに x=1 は解だから、因数定理で因数分解して2次方程式の整数解問題に帰着できる。

>>795置き換えより部分積分だよ。

>>79
解と係数の関係より、αβγ=a/2-4=整数よりaも整数。
x^3-(a/2+1)x^2+(a-4)x-(a/2-4)=0をaについて整理すると、
⇔a(x-1)^2=(x-1)(2x^2+2x-8)よりx=1が解だが重解ではない。よってx=１以外の解は
a=(2x^2+2x-8)/(x-1)=2x+2+6/(1-x)の中にある。
a,xが整数なので、6/(1-x)も整数、∴１-x=±1,±2,±3,±6
あとはy=aとy=2x+2+6/(1-x)の2交点が同時に整数になるものを求めて終わり。

>>796でした

>>798
できれば書いてくれると嬉しいのですがお願いします。

>>799さらに間違いが
二回出てくる2x^2+2x-8は2x^2-8が正しいです

(与式)=∫(x)'*log(x+2)dx=x*log(x+2)ｰ∫x*{log(x+2)}'dx=x*log(x+2)ｰ1／x+2+c
cは積分定数

>>802
計算してて合わなかったので少し焦りましたよｗ
しかし、解法を丁寧に示していただいたお蔭で解答を求めることができました。

ありがとうございました。

>>772　を
f(x) = |x| / (1+|x|)
として
f(x) + f(y) ≧ f(x+y)
として解けないかなぁとか考えてるけど…　出てこない
この下の式の形　どこかで見たような気がするんだけどなー

絶対値を外すと、
f(x)=
x/(1+x)　(x≧0)
-x/(1-x)　(x＜0)

f'(x)=
1/(1+x)^2　(x≧0)
-1/(1-x)^2　(x＜0)

f(0)=0
f'(0)→1(x→+0)
f'(0)→-1(x→-0)

こういうの使ったりするのかなぁ

三角関数って何が三角なんですか

三角比を使った関数　を略したんじゃないの？

>>807
ﾜﾛﾀ

『白球が５個と赤球が５個ある。そして、赤箱が５個と白箱が５個ある。１０個の球を
ひと箱に１球ずつ入れて１０個すべてどれかの箱に入れるものとする。このとき
球の色と箱の色が一致している個数の期待値を求めよ。』という問題で、自分は
真面目に０,２，４，６，８，１０個それぞれ一致するときの確率をもとめて、期待値５を
得たのですが、友人が二項分布B(１０,１/２）に従うから１０×１/２で５って出せば
いいんじゃないかと言うんですが。ちょっと不思議です。二項分布って反復試行のときに
使うものだと思っているからです。どなたか、説明をお願いいたします。

>>810
君の友人は半分間違ってて半分正しい。
二項分布B(１０,１/２）に従うから、は間違いだけど、
１０×１/２で５って出せばいい、っていうのは正しい。

箱に1〜10の番号をつけて、それぞれの箱の色と玉の色が一致しているときに1、一致していないとき0を取るような確率変数をX_i（i=1,…,10)としよう。

一致している個数Zは、Z=X_1+…+X_10と書ける。
各X_iは単独で見ると、二項分布B(1,1/2)に従う。（ベルヌーイ分布ともいう）
よって、各X_iの期待値は、E[X_i]=1/2だ。
よって、E[Z]=E[X_1+…+X_10]=10*(1/2)=5としていい。
これは、各X_iが独立であろうがなかろうがこう計算してかまわない。
E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]は常に成り立つ。

ちなみに、今各X_iは独立ではないので、ZはB(10,1/2)には従わない。
あなたのいうように反復試行、独立試行ならB(10,1/2)になる。

８１１さん、答えていただいてありがとうございます。どうしてそんな簡単な計算で
いいのかわかりません。よろしかったら教えてください。

８１１さんへ。書き込み順番おかしくなってすみませんでした。８１２の解説
ありがとうございました。そういうふうに考えるのですね。勉強になりました。
自分はまだまだです。友人にも負けずに勉強してがんばります。本当にありがとう
ございました。

>>814
1〜nの番号のついた箱に1〜nの番号の書かれた玉をそれぞれ1個ずつ無作為に入れるとき、箱と玉の番号が一致する個数の期待値を求めよ、

なんて問題もこの方法なら簡単に求まる。例題としてやってみな。

導関数を用いてx≧0のときx^3+4≧3x^2が成り立つことを証明しろという問題なのですが、
なんで導関数を使って不等式が証明できるんでしょうか。
この問題の着眼点を教えて下さい

>>816
左辺-右辺を作って
x≧0　における三次関数の
増減表から常に正を示す。

>>816
つまりx^3-3x^2+4≧0が示せればいいわけだ
となれば(左辺)がどのような挙動を示すか分かればいい
(左辺)はこのままじゃよく分からないが、
３次関数であることからf(x)=(左辺)とおいて>>817というわけ

導関数を使わないで証明できるならそれでもいい
でもこういった問題は微分して増減表書いて、とやった方が楽だと思われます

>>818
まぁこの問題に限れば
x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2
だから、微分しなくても示せるんだけどな。
わざわざ｢導関数を用いて｣とあるってことは
>>817の解法の練習問題だろうからいいんだけど。

>>819
因数分解には気づかなかった
精進せねば…
つかそんな因数分解できる問題なんてあるんだな

様々なﾚｽをありがとうございました!!
おかげさまできちんと理解できました。

たびたび質問すみません。
(1) aを定数とする。y=x(x-a)^2の極値を求めよ。

(2)f(x)=-x^3+3ax (01≦)

a>0とする。f(x)=x^3-3x^2+2 の0≦x≦aにおける最大値、最小値を求めよ

という問題で、場合分けは何を基準に考えたらいいのでしょうか…

すみません訂正です。
(2)f(x)=-x^3+3ax (0≦x≦1)

(1) y=f(x)=x(x-a)^2、f'(x)=(x-a)(3x-a)から、a≠a/3 → a≠0 のとき、f(a), f(a/3)で極値をとる。