旧課程赤チャートで大学受験：試錬２＋

age

[119]
数列 x_1 , x_2 , …　をつぎのように定義する。x_1 = 2 , x_(n+1) = {(x_n)^2 + 5}/2x_n .(n=1,2,…)
このとき、0<x_n -√5<1/2^n .(n=2,3,…) を示せ。

[117]

二項定理より，
(1+x)^n=Σ[k=0,n]nCk*x^k……�@この両辺をxで微分し，
n(1+x)^n-1=Σ[k=0,n]k*nCk*x^k-1……�Aこの両辺をxで微分し，
n(n-1)(1+x)^n-2=Σ[k=0,n]k(k-1)*nCk*x^k-2……�Bこの両辺をxで微分し，
n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3=Σ[k=0,n]k(k-1)(k-2)*nCk*x^k-3……�C

�@〜�Cの両辺にx=1を代入して，
2^n=Σ[k=0,n]nCk……�@’
n2^n-1=Σ[k=0,n]k*nCk*……�A’
n(n-1)2^n-2=Σ[k=0,n]k(k-1)*nCk……�B’
n(n-1)(n-2)2^n-3=Σ[k=0,n]k(k-1)(k-2)*nCk……�C’
を得る．

(1)
�A’+�B’より，
Σ[k=0,n]k^2=n(n+1)2^n-2

(2)
�A’+3*�B’+�Cより，
Σ[k=0,n]k^3=n(n-1)(n-2)2^n-3+3n(n-1)2^n-2+n2^n-1
={(n-1)(n-2)+6(n-1)+4}n2^n-3
=n^2(n+3)2^n-3

[119]

x_2=9/4=2.25より，
x_2-√5=0.013…
であり0<x_2-√5<1/2^2……☆

まず，0<x_n-√5を示す．
　☆よりn=2のとき確かに成り立つ．
　n=kのとき成り立つと仮定すると，
　n=k+1のとき，
　　x_k>0であることから相加平均と相乗平均の関係を使って，
　　x_k+1=x_k/+5/2x_k≧2√5/4=√5
　　ここで，等号が成り立つのはx_k=±√5の時であるが，
　　仮定よりx_k>√5．よって等号は成り立たない．
　　∴x_k+1>√5
　数学的帰納法により示された．

次にx_n<1/2^nを示す．
　☆よりn=2のとき確かに成り立つ．
　n=kのとき成り立つと仮定すると，
　n=k+1のとき，
　　x_k+1-√5=(x_k+5/x_k-2√5)/2
　　であるが，上で示したことから√5<x_k⇒5/x_k<√5
　　よって，
　　x_k+1-√5=(x_k+5/x_k-2√5)/2<(x_k-√5)/2<1/2^k+1
　　となって成り立つ．
　数学的帰納法により示された．

以上より題意は示された．

こんばんは、皆様お久しぶりです♪
と言っても、ずっとROMっては居たのですが……


[117]の答案がなかなか上がらないみたいなので、
ついでに[119]の答案も一緒に作って書き込みしました。

両答案とも数式が見にくくなってしまい、すみません。


[119]はまだ別解がありそうですね。なんとなく。

[114]も未解決っぽいので上げます。
一応解けたのですが解答が複雑過ぎ＆見にくすぎになってしまいました（苦笑

[114]
n=1のときは明らかに成り立つ．
n=2のときx^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)より成り立つ．
n=3のときx^3+y^3+z^3=(x+y+z){x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)}-3xyzより成り立つ

nが1から2k-1（ただしkはk>1を満たす整数）のまでのとき題意が成り立つと仮定すると，
　n=2kのとき，x^2k+y^2k+z^2k=(x^k+y^k+z^k)^2-2(x^k*y^k+y^k*z^k+z^k*x^k)であるが，
　　仮定より(xy)^k+(yz)^k+(zx)^kは基本対称式によって表すことができる．
　　（xy=X,yz=Y,zx=Zとおくことにより）
　　ゆえにn=2kのとき題意が成り立つ．
　n=2k+1のとき，x^2k+1+y^2k+1+z^2k+1=(x^k+y^k+z^k)(x^k+1+y^k+1+z^k+1)-
　　{x^ky^(k+1)+y^kz^(k+1)+z^k(x^k+1)+x^(k+1)y^k+y^(k+1)z^k+z^(k+1)x^k}
　　ここで，
　　右辺の第二項=(x+y+z)(x^ky^k+y^kz^k+z^kx^k)-xyz{x^(k-1)y^(k-1)+y^(k-1)z^(k-1)+z^(k-1)x^(k-1)}
　　仮定より(xy)^k-1+(yz)^k-1+(zx)^k-1は基本対称式によって表すことができる．
　　（xy=X,yz=Y,zx=Zとおくことにより）
　　ゆえにn=2k+1のとき題意が成り立つ．

∴数学的帰納法により題意が示された．

[114]
n=3のときx^3+y^3+z^3=(x+y+z){x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)}-3xyz
→x^3+y^3+z^3=(x+y+z){x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)}+3xyz

[117]
�A’+�B’より，
Σ[k=0,n]k^2=n(n+1)2^n-2 → Σ[k=0,n]｛k^2×C[n, k]｝=n(n+1)2^n-2

�A’+3*�B’+�Cより，
Σ[k=0,n]k^3= …… → Σ[k=0,n]｛k^3×C[n, k]｝= ……

の細かい書き間違いは有りますが正解g.j.

[117]は法政大改題（微分使うと激速っ）
[114]はブルーバックスの数学本で文字が２つの場合の有名な証明が載っていて(おととい帰納法)
３つの場合の証明は【無い】(！)などと書いてあったので書き込んでみました.
一般の場合の証明は高校数学の範囲を越えてしまうようです.
Newtonも予想はしていたが証明はできなかったそうで……群論という数学の分野を用いるようです.
（知ったかスマソ）

これは高校の範囲内で証明できる.

[120]
Cebysevの不等式
x_1≦x_2≦x_3≦…≦x_(n−1)≦x_n , y_1≦y_2≦y_3≦…≦y_(n−1)≦y_n
→{Σ[k=1,n]x_k}{Σ[k=1,n]y_k}≦n{Σ[k=1,n]x_k×y_k}

（１）n=1, n=2のとき上の式を証明せよ.
（２）任意の自然数nについて上の式が成り立つことを証明せよ.

>>938
正解です。
二箇所ほど書きミスがありますが、問題ないでしょう。
（このスレを読んでいる人も若干いるようなので、一応直して書いておきます。）

＞x_k+1=x_k/2+5/2x_k≧2√5/4=√5 　

＞次にx_n-√5<1/2^nを示す．


[出題元　1986年阪大]　頻出問題
別解はあとで書きます。

[121]
a^3 - b^3 = 65 を満たす整数の組(a,b) をすべて求めよ。

[122]
点P(1,1,1)を通り、方向ベクトル a↑=(3t,3t+10,6t-5)　の直線をl(t)とする。
ここに、tは実数の定数である。いかなるtに対しても、l(t)はある特定の平面α上に
あることを示せ。また、αの方程式を求めよ。

5x-y-2z-2=0

>>946
正解です。

福素数平面とか旧課程でも宮廷とかふつうにでるよな？

>>948
過去の傾向から言うと、事実上、新旧両課程の共通部分からの出題になる可能性が高いかと。
大学によっては選択制になるかもしれんが。

ふーん

hosyu

ほっゆ

>>802
　?B　　１辺１の立方体ABCD-EFGHにおいて, Aから出発してBまですべての面を
　　　　　通過するように進むときの最短経路の長さを求めよ.


これの答え合わせを誰かお願いします。

>>848
√13+√2

一見高校入試レベルに見えるが自信なし。

age忘れました。

ほしゅ

ｄａｔ落ちはさせんよ

>>1
お〜ぃ。夜明けのマゾヒストさん、こんにちは！
今何しているのかな？
カキコ希望！

[121]
a^3 - b^3 = 65 を満たす整数の組(a,b) をすべて求めよ。

a^3 - b^3 = (a−b)×{(a＋b/2)^2＋3/4×b^2}
{(a＋b/2)^2＋3/4×b^2} >０よりa > b
a^3 - b^3 = (a−b)×{(a−b)^2＋3ab} = 65
よりa > bおよびa−b , abは共に整数であることから
(a−b , ab) = (1 , 64/3)（不適）or(5 , −4)or(13 , −164/3)（不適）or(65 , (1−65^2)/3)
(a＋b)^2 = (a−b)^2＋4ab = (平方数)より
(a−b , ab) = (5 , −4)のとき(a＋b)^2 = 9 ∴a＋b = ±3 よって(a , b) = (4 , −1)または(1 , −4)
(a−b , ab) =(65 , (1−65^2)/3)のとき (1−65^2)/3 = (1＋65)(1−65)/3 = 22×(−64)
(a＋b)^2 = 65^2−4×22×64 < 0（不適）
よって(a , b) = (4 , −1)または(1 , −4)

ってか旧課程のやっとけばよくね？？新課程の赤茶とかｸｿ
旧課程の赤茶あれば東大楽勝 やってない奴は赤茶批判するんだろな

>>40
正解です。
記述部分はあとで読ませていただきます。
時間が無いので…
では。

age

>>958
O.K.です。
対称式を使って見通しよく解いていてよいと思います。

[出題元 2005年京大文系前期]
難易度 B**

ageてくれてる人thx.

みんなで難関大数学を攻略しよう！
http://study.milkcafe.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=1124032692
こっちにも目を通しとけよ
こんな良スレは珍しい

赤茶レベルを超えている・・・・・・・

すごすぎる

　　＜⌒／ヽ-、_＿_ 保守
／＜_/＿＿＿＿／

一夜限りのマゾ降臨！

４０氏！お久しぶりでごんす！！
去る３月以来ずっと潜っていました。
あの糞スレが４０氏や綾乃氏のおかげで未だに残っているのを見つけ、
更にこの道化の降臨を待つ人々がいることにも心付けられ、
居ても立ってもいられなくなりついに決心してカキコした次第です。

　と言っても近況などは訳あって話せないのですが。マゾは元気でやっています。
そして今も益々熱心に勉強しております。日々充実そのものです。
来年、もしも皆さんが元気でいられるなら、年末か年度末のあたりには近況など話せると思います。
４０氏、あんたについて精進した日々が今の俺の財産になってるよ。本当に感謝してる。
あんたがいてくれたお陰で俺は・・・。おっといけねぇや。涙で明日が見えなくなっちまうぜ！
それじゃみなさん御機嫌よう！！また顔出します！

　　＜⌒／ヽ-、_＿_ 保守
／＜_/＿＿＿＿／

マゾは合格するまで書き込まない方が良い
１回書き込むごとに偏差値が１づつ下がるぞ

>>968
超おひさ。

>>968
良い報告待っています。
現在私は細々と数学を続けております…。

マゾはいま何歳なんですか

>>マゾはいま何歳なんですか

うぜェ

>>972
ohisa.

hosyu.

[122]
（１）lim[n→∞]C[n, r](1/n)^r×(1-1/n)^(n-r)を求めよ。
（２）Σ[r = 0 , ∞](1/r!)=eを証明せよ。

1000

1000

age

1000

1000

1000

1000

1000