旧課程赤チャートで大学受験：試錬２＋

センター祭りでスレが落ちました。
ということでとりあえず建てました。
皆様お疲れ様です。

東大生がクソスレ認定

さて、センターを以て消えるのも何か後味が悪いので、
長らく見守って頂いた皆さんに結果をお伝えして、
私は二次勉強へと去りたいと思います。

国語　１７５
数学�TＡ　１００
数学２Ｂ　７５←
化学　１００
生物　８６
英語　１９１
倫理　８４
小計　８１３/９００？ぐらい

>>2
俺もそう思います。マジ糞みたいな一年でした。

仮にも赤チャスレの主が２Ｂ７５点ってありえませんよね。面汚しですよ。
はっきり言ってこんな点数晒したくもない。
思考訓練やら赤チャートやらをダラダラと、一年遊んでたようなものですし、
当然と言えば当然の成績でした。これじゃ医学部はダメです。
過去問も解いてみましたが、数学が０点でしたorz
理科も高々２〜３ヶ月の勉強で二次で高得点が取れる程甘くは無かった。
英語も基礎があやふやなのがよくわかりました。
っていうか今になって過去問解き始めてる時点で終わってますよね。

と言う訳でセンター９割も全く自信にならず、絶望感は深まるばかり。
あんまり絶望してると本当に死にたくなるんで、
無心で二次対策をしたいと思います。残り一箇月、
琉球、宮崎、旭川、秋田、山形、信州、その辺の医大目指して死力を尽くして頑張ります。
皆様、数々の応援（嘲笑？）ありがとう。
皆さんも悲喜こもごもでしょう、ですがどうか栄光を手にして下さい。
それではまたお会いしましょう。と言いつつたまには戻ってくるかも。では。

スレ立てＺ
センター９割か。もしや来期も、思っていたが、３月には終了の公算大ＤＥＡＴＨね。

ていうかすごいじゃん。
志望校こだわるならわからないけど普通に国立医いけそう

>マゾ氏
やるじゃん。てゆーかこのスレもう終了すんの？
俺としてはまだ活用したいんだが。

>>6＝kunnys氏
＞もしや来期も、思っていたが、３月には終了の公算大ＤＥＡＴＨね。
そのようで。３月に残されているのが俺だけという可能性が…。
できることなら二次で数学頼みにするようなことはしたくなかった…。

↓過去の系譜
【旧課程】赤チャートに挑む俺達【タチムカウ】
http://ruku.qp.tc/dat2ch/0411/06/1081319587.html
【旧課程】赤チャートで大学受験【試錬2】
http://ruku.qp.tc/dat2ch/0501/18/1099178160.html

前スレで出した問題↓

[44]
（1）tan(45°/2)　の値を求めよ。
（2）tan25°の小数第一位の数は４であることを示せ。

[解答]
（1）{tan(45°/2)}^2＝（1-cos45°）/（1+cos45°）＝3-2√2＝（√2−1）^2.
　　tan(45°/2)＞0　なので　tan(45°/2)＝√2−1.■
（2）ｆ（ｘ）＝tanx　（　0＜ｘ＜π/2　）　とおくと
　　ｆ´（ｘ）＝1/(cosx)^2＝1+(tanx)^2（＞0）　
　　ｆ´´（ｘ）＝2tanx｛1+（tanx）^2｝＞0.
　　だから　ｙ＝ｆ（ｘ）　のグラフは　下に凸の増加関数。
　　∴tan(45°/2) ＝ √2-1 ＜tan25°＜ 2/3tan(45°/2)+1/3tan30°＝ (√3+6√2-6)/9 ＜0.47
　　∴0.4＜tan25°＜0.5
　　ゆえに題意は示された。■


[出題元　「東大」「才能」「全教科」ver2.0 ]
なお、原題は　「tan2005°の小数第一位の数を求めよ」 でした。

[45]
実数　a　、b　（0≦a＜π/4　、0≦b＜π/4　）に対し次の不等式の成り立つことを示せ。
√｛（tanａ)*(tanｂ）｝≦tan｛（ａ＋ｂ)/2｝≦（tanａ＋tanｂ）/2

[化学1]

2C(固)＋H2(気)＝C2H2(気)＋Q1 kJ
C(固)＋O2(気)＝CO2(気)＋Q2 kJ
C2H2(気)＋H2(気)＝C2H4(気)＋Q3 kJ
C2H4(気)＋H2(気)＝C2H6(気)＋Q4 kJ
C2H4(気)＋H2O(気)＝C2H5OH(気)＋Q5 kJ
H2(気)＝2H(気) -Q6 kJ
O2(気)＝2O(気) -Q7 kJ
H2O(気)＝2H(気)+O(気) -Q8 kJ
H2O(気)＝H2O(液) +Q9 kJ

(問) C2H5OH(気)の燃焼熱(kJ/mol)を求めよ。 ただし、生成した水は液体とする。

[化学2]


四酸化二窒素 N2O4 と二酸化窒素 NO2 との混合物があり、次の平衡状態にある。　
N2O4 ⇔　２NO2 　

問１．N2O4の解離度をα、平衡状態にある混合気体の全圧をP　とするとき
各成分の分圧p(N2O4), p(NO2) をαおよびPを用いて表せ。

問２．(i)圧平衡定数Kp をPおよびαを用いて表せ。
(ii)αを PおよびKpを用いて表せ。

問３．P(NO2)をKpとPを用いて表すと次のようになる。[ア][イ]にあてはまる数字を答えよ
P(NO2)=√Kp * ｛√(p+ Kp/[ア]) - (√Kp)/[イ] ｝

[46]
３次関数ｙ＝ｘ^3＋ａｘのグラフをCとし、
C上の異なる２点P,QにおけるCの接線が平行になるとする。
（ただし、Pのｘ座標＞Qのｘ座標）。
直線PQと、PにおけるCの接線とのなす角が４５°となるPが
１つしかないような実数ａの値を求めよ。

[出題元 2ch模試の問題をお借りました。&氏作]

みなさんお疲れ様でした。
突然ですが、
マゾヒストさん滋賀医大はいかがですか？
たしかセンター重視だったような。
私が受験生だった５年程ほど前の話ですが。
変わっていたらすみません。

やっぱ孤独に耐えかねて戻って参りました...orz

>>kunnys氏
そう思いたいです・・・しかし本当に二次力ゼロなんです。
必死こいてしこしこと知識を拾い集めてますけど、かな〜り厳しいです。
パニックも沸点に達しようかと言うところです。

>>7
二次はみんな取れないのかなぁと思って合格者の平均点とか見たら、
二次なのにかなり取ってるんだこれがorz　駅弁医でですよ？こんな難しい問題をですよ？
すいません。俺馬鹿にしてました。過去問も見ずに。自分の実力も直視せずに。

>>15
滋賀医大ですか。ちょっと調べてみます。
しかし我が地区にもいくつか医大がありまして、そこもセンター比率が１：１ぐらいと
かなりセンター重視なので、そこに受からなきゃ滋賀も無理だと思います。
あとは自分の二次力のみ、上げていくだけであります。

そして>>40氏
お疲れ様です。４０氏は後期狙いでつか？貴方は絶対に行けます。
今までに積み重ねてきた量も確実さも他人を凌駕していますから。
俺みたいにまぐれ当たりで下手に可能性が出てきてパニくってる輩とは違いますよ。
あとここに来る人がいる限りスレは存続しますよ。
ましてや活用したいとおっしゃってくれるなら続けなければなりますまい。
と言う事で質問：[44]の２番、
tan25°＜ 2/3tan(45°/2)+1/3tan30°＝ (√3+6√2-6)/9 ＜0.47
この数値は一体どこから出てきたんです？面食らってしまいました。

あと一箇月、英数理の二次力をつけるためには何をやるのが一番なんですか？
とりあえず過去問やってますが、他になにか即効性があるのがあったら教えて下さい。
お願いします。なめた質問だとは重々承知しています。

>>17
>あと一箇月、英数理の二次力をつけるためには何をやるのが一番なんですか？
できなかった問題を翌日解き直すと計算練習にもなっていいと思うよ。あと、暗記物は
覚えやすくなってるはず。
焦って何も手がつかないときは専ら復習をすること。

>17
tan25°＜ 2/3tan(45°/2)+1/3tan30°＝ (√3+6√2-6)/9 ＜0.47
この数値は一体どこから出てきたんです？


45°/2＝π/8
25°　 ＝5π/36
30°　 ＝π/6
だから、
ｆ（π/8）＜ｆ（5π/36）＜｛2ｆ（π/8）+ｆ（π/6）｝/（1+2）　　←（π/8、ｆ（π/8））と（π/6、ｆ（π/6））を結ぶ線分を1：2の比に内分する点のｙ座標。

訂正

45°/2＝π/8[ラジアン]
25°　 ＝5π/36[ラジアン]
30°　 ＝π/6[ラジアン]

>17
あと一箇月、英数理の二次力をつけるためには何をやるのが一番なんですか？
化学は　石川正明著「新理系の化学問題100選（駿台文庫）」がいいと思う。

>>kunnys氏
復習ね。俺も２週間前、復習の重要性に生まれて初めて気付きました。
わからなかった問題、英文、英作対策に和文英訳の修行の暗誦例文←これは気違い！、
全て暗記カードに書きまくって連日眺めてます。これって勉強だよなぁ・・・と感動しつつ。
>>21
化学百選！？なんとまぁ・・・それって伝説のあれでしょ？
うむ・・・熟考致します。示唆感謝します。しかし新演習もあやふやな俺ですぜorz

俺も焦って色々と医学部特攻作戦を練ってみた。
そして某医大の前期総合問題を解いてみた。
物化生三教科が絡んでいる総合問題なので、生化しか知らない俺は敬遠していたのだが・・・

メチャメチャ簡単じゃねーかよ！！ある意味センター以下だってこれ！
こんな俺が６〜７割取れてしまった。物理絡みの所は白紙だったにもかかわらずだ。
これってもしかしたら・・・もしかするかも！！！急に希望が見えてきたぞ！！
面接と調査書、あと物理の進み具合によっては行ける！勝機！！！！
と言う訳で明日速攻、２週間で完成物理シリーズを買ってこよう！（何かお勧めあったら教えて！）
マジで公式を運用出来れば１００文字記述以外は全部解けるかもです。
化学も生物も２ヶ月弱でモノにした俺だ、出来る！俺は出来る！！（マインドコントロール）
急に躁状態になったぞ。やる、俺はやるぞ！

＞＞２２
旭川目指してがんばってくれや

前スレで出した問題↓

[42]
長さ　L　の線分が、その両端を放物線　ｙ＝ｘ＾2　の上にのせて動く。
この線分の中点　M　が　ｘ　軸にもっとも近い場合の　M　の座標を求めよ。
ただし　L≧1　とする。

[解答]
Mの座標を（ｘ。,ｙ。）,　弦の両端のｘ座標を　α　,　β　とおくと、条件は
α　+　β　＝2ｘ。　,　α^2　+　β^2　＝2ｙ。　……………………………………………………………�@
（α　-　β）^2　+　（α^2　-　β＾2）^2　＝L^2　⇔　（α　-　β）^2*｛1　+　（α　+　β）^2｝＝L^2　………�A
�@より　（α　+　β）^2　−2αβ＝2ｙ。　∴−2αβ＝−4ｘ。^2　+2ｙ。
（α　-　β）^2　＝　α^2　+　β^2　-2αβ　＝　4（ｙ。−ｘ。^2）.
これらによって　�A　から　α　,　β　を消去すれば、
4（ｙ。−ｘ。^2）（1　＋4ｘ。^2）＝L^2　⇔　ｙ。＝｛4ｘ。^2　＋　L^2/（1　＋4ｘ。^2）｝/4.
ここで、相加平均と相乗平均の大小関係により、
（1　＋4ｘ。^2）　＋　L^2/（1　＋4ｘ。^2）≧2L　⇔　｛4ｘ。^2　＋　L^2/（1　＋4ｘ。^2）｝/4≧（2L−1）/4.
等号成立は　（1　＋4ｘ。^2）＝L^2/（1　＋4ｘ。^2）　⇔　ｘ。＝±｛√（L−1）｝/2.
のときであり、 L≧1　よりこれは可能である。
よって、　ｘ　軸にもっとも近い場合の　M　の座標は　（±｛√（L−1）｝/2　,　（2L−1）/4　）　である。■


[出題元　1974年東大]
難易度　C**

実数　a　、b　（0≦a＜π/4　、0≦b＜π/4　）に対し次の不等式の成り立つことを示せ。
√｛（tanａ)*(tanｂ）｝≦tan｛（ａ＋ｂ)/2｝≦（tanａ＋tanｂ）/2

tan｛（ａ＋ｂ)/2｝≦（tanａ＋tanｂ）/2
d/dx tanx = 1/cos^2 x
d^2/dx^2 tanx = sin2x/cos^4 x
これより区間[0,π/4]において下に凸だから以下略でtan｛（ａ＋ｂ)/2｝≦（tanａ＋tanｂ）/2
等号成立はa=bのとき

f(x)=log(tanx) とすると
d/dx f(x) = 1/(tanx・cos^2 x)
d^2/dx^2 f(x) = (2sinxcosxtanx-1)/(tan^2 x・cos^4 x)
　　　　　　　　　= (2sin^2 x-1)/(tan^2 x・cos^4 x)
よって、区間(0,π/4] において上に凸

√｛（tanａ)*(tanｂ）｝≦tan｛（ａ＋ｂ)/2｝　について
�@a=0またはb=0のとき
この時明らかに上式は成立、等号成立はa=b=0
�A0＜a＜π/4　、0＜b＜π/4のとき
上記f(x)は区間(0,π/4] において上に凸であるから、
{f(a)+f(b)}/2　≦　f{(a+b)/2}
すなわちlog[√｛（tanａ)*(tanｂ）｝]　≦　log[tan｛（ａ＋ｂ)/2｝]
底はe（＞1） だから
√｛（tanａ)*(tanｂ）｝　≦　tan｛（ａ＋ｂ)/2｝
等号成立はa=b
結局、実数　a　、b　（0≦a＜π/4　、0≦b＜π/4　）に対し√｛（tanａ)*(tanｂ）｝≦tan｛（ａ＋ｂ)/2｝が成立



がんばれ！マゾ氏他今年受験組の皆様。

高校内の試験の問題って著作権あるんだっけ？

>>23
いきなりばれました？
旭川か宮崎か秋田、そんなところぐらいしか狙えないので・・・。
でもやっぱダメポ。２週間で物理をモノに出来るとは到底思えない・・・。
これはもう物理を完全に棄てて化生で６割取るしか道はない。
物理重視の問題だったら完全にアウトだ。
あとは運のみか・・・あぁ〜どないしよ。

>>25
ありがとう。やるだけやります。

>>25
お見事です。
[45] [出題元　1991年京大前期]
難易度　D***

＞高校内の試験の問題って著作権あるんだっけ？
オリジナルな問題ならあるだろうけど、営利目的でない限りはまず大丈夫だと思う。

>25
あと、そういう応援はうれしいです。 (・∀・)
最後まで諦めず進むのみ。

スレが落ちて、ようやく見つけることが出来ました…。

センターは…一時はセンター足切り確定となって沈んでいたところですが…。
一応理2はレベルダウンだそうで足切りクリアの見込みとなっております。

英語135
数学(1)95
数学(2)84
国語97　←←←
物理88
化学97
生物76
地理68
現社89

東大型597、5-7理系685

東大前期1本勝負です。18年分の過去問を用意しております。
一生に1回の思い出だと思えば…。
落ちれば北海道薬科大に進学です。
こちらはセンター利用で十分合格可能の見込みです…。

>>29
おかえりなさい。待ってましたよ。お疲れ様。
しっかし完全に理系な点数ですねぇ〜。物理とかうらやましいです。その知識欲しい！！
とりあえず足切りはクリアしたと言う事でこちらもほっとしています。おめでとう！
東大はセンター比率が小さいので点はあまり気にする事もないでしょう。
あとはもう東大一直線！思い出などと言わず、夢を現実にするべくあと一箇月、お互い死ぬ気でやりましょう！
くれぐれも北海道には行かないように頑張りましょうや。（俺は旭川に行きたいですが）

うぅ〜胃に穴が空きそうだ・・・センター終わって以来吐き気と胃痛が全く止まない・・・。
これが受験病か・・・初めて味わってますこの苦しみ・・・。

もともとは誘導があってずいぶん楽だったので誘導問題消去してみた

xを自然数とし、x = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + a(n-2)*10^(n-2) + ・・・・・　+ a(1)*10 + a(0) とする。
ただし、a(n)、a(n-1)、・・・・、a(1)、a(0)はすべて0〜9の整数である
このときf(x) = a(n) + a(n-1) + a(n-2) +　・・・・・ + a(1) + a(0)^3 とする。
たとえば x = 347　ならば　a(2)=3、a(1)=4、a(0)=7　であり、f(x) = 3+4+7^3 = 350である。
このとき、f(x) = xの解をすべて求めよ。

>29
おひさ。

>31
考えてみます。

>>31
とりあえず、解だけ書いてみます。
ｘ＝1、518、739　でこれ以外ないことを論証しなきゃいけないんですよね？

はい、論証をお願いします。
※原題はこの点に関して誘導がありました。

答案として表現しにくいな…。
ニ〜三日以内に書きます。

保守age

>>31
[解答]
（ i ）
ｘが一桁のとき
ｆ（ｘ）＝ｘ^3　だから、
ｆ（ｘ）＝ｘ　⇔　ｘ^3＝ｘ　⇔　ｘ(ｘ+1)(x-1)＝0　⇔　ｘ＝-1　,　0　,　1
ｘは自然数だから　ｘ＝1.

（i i）
ｘがニ桁のとき
2^3＝8.　3^3＝27.　4^3＝64.　だから、
ｘの十の位を□とすると、次の三つの場合がありうるが、
一の位に注目するとそれぞれについて一通りしか可能でないので、一つずつ調べる。
ｘ＝□2　⇒　ｆ（ｘ）＝8　+　□　, □＝4　∴ｆ（ｘ）≠ｘ（不適）
ｘ＝□3　⇒　ｆ（ｘ）＝27 +　□　, □＝6　∴ｆ（ｘ）≠ｘ（不適）
ｘ＝□4　⇒　ｆ（ｘ）＝64 +　□　, □＝0　∴ｆ（ｘ）≠ｘ（不適）

（iii）
ｘが三桁のとき
5^3＝125.　6^3＝216.　7^3＝343.　8^3＝512.　9^3＝729.　だから、
次の五つの場合がありうるが、百の位と一の位に注目すると
それぞれについて一通りしか可能でないので、同様に一つずつ調べる。
ｘ＝1□5　⇒　ｆ（ｘ）＝125　+1　＋□　, □＝9　∴ｆ（ｘ）≠ｘ
（∵125に、任意の一桁の自然数を2つ加えたところで、繰り上がり計算は
起こり得ないため、百の位は1に決まる。以下同様の理由でそれぞれ百の位が決まる。）
ｘ＝2□6　⇒　ｆ（ｘ）＝216　+2　＋□　, □＝8　∴ｆ（ｘ）≠ｘ（不適）
ｘ＝3□7　⇒　ｆ（ｘ）＝343　+3　＋□　, □＝1　∴ｆ（ｘ）≠ｘ（不適）
ｘ＝5□8　⇒　ｆ（ｘ）＝512　+5　＋□　, □＝1　∴ｆ（ｘ）＝ｘ（適する）
ｘ＝7□9　⇒　ｆ（ｘ）＝729　+7　＋□　, □＝3　∴ｆ（ｘ）＝ｘ（適する）

（iｖ）
ｘが四桁のとき
ｘ＝□□□9　⇒　ｆ（ｘ）＝729　+□　＋□　+□　であるが
729に任意の一桁の自然数を3つ加えたところで、繰り上がり計算は起こり得ないため、
解ｘが四桁の値になることはない。
五桁以上のときも同様に不可能である。

（ i ）〜（iｖ）より　ｘ＝1、518、739　■

こんなんでいいのかな (;´Д`)？

40 (σ・∀・)σ ｹﾞｯﾂ !!

東大行く人は本当に凄いね!改めて思ったよ。赤茶は東大志望者にとって必要なのか??ってか東大志望者ならこれくらい解けないといけないのかぁ???

原題の誘導
(1)n≧3のとき次の式が成り立つことを数学的帰納法で示せ。
9^3 + 9n <　10^n
(2) (1)を用いて、x≧1000 のときf(x) ＜ x であることを証明せよ。



(1)は問題ないので省略
(2) x≧1000 より、xをk+1桁(k≧3)の自然数とすると
f(x) = a(k) + a(k-1) +　・・・・・　+ a(1) + a(0)^3 ≦ 9n + 9^3 <　10^n ≦ x
すなわちf(x) ＜ x

よって、(2)より、x=100a+10b+c (a,b,cは0から9までの整数)とおくと、f(x)=xのとき
100a+10b+c = a+b+c^3
9(11a+b) = c(c-1)(c+1)
c,c-1,c+1のいずれかが9の倍数になり、また二つ以上同時に9の倍数にはなりえない。
(i)c-1 が九の倍数のとき
cの条件よりc=1 このときa=b=0 x=1
(ii)cが九の倍数のとき cの条件よりc=0,9
c=0のときa=b=0 x=0 で不適
c=9のとき11a+b=80 a=7,b=3 x=739
(iii)c+1が九の倍数の時　cの条件よりc=8
この時11a+b=56 a=5,b=1 x=518
∴f(x) = x の解はx=1,518,739

化学の出来があまりよくなくむしゃくしゃしていた。
解いたときにおもしろいなと思って書きこんでみた。
今は反省している。

誘導がないと厳密にやるのは無理な気配が20ペソ。
(ii)のxが二桁の時、一応一の位が1でもf(x)が二桁になりうる点だけ少し気になります。（結局x=91のf(x)=10で不適）

>42-43
thx.
誘導がなくても　「x≧1000 のとき　f(x) ＜ x　」となることの証明は数式を用いて
ちゃんとやっておくべきだった気がします。（書き込んでから気付いた。）
「x≧1000 のとき　ｆ（ｘ）とｘのオーダーが違うから　f(x) ＜ x　は明らかである」
ということが頭にあったので上のように書いたんですが、その「明らかであること」
を厳密に示すことがこの問題では必要だったように思います。

＞(ii)のxが二桁の時、一応一の位が1でもf(x)が二桁になりうる点だけ少し気になります。
はい、その通りです。書き忘れました。


問題投下に感謝。よかったらまたいつでも来てください。

>41
ここより東大スレの方が遥かにレベルが高いです。（投下される問題が、という意味です。）
書き込んでいる人はもちろんですが、ROMってる人も、多分、おそろしく数学ができる人でしょう。
あそこにいる方々は頭良すぎです。

東大スレは知りませんが、このスレには約一名数学アレルギーがいます。
赤チャスレだと言うのに。
うぉぉぉぉ間にあわねぇ〜〜〜

一問投下してみる。

[47]
20^2000　で、一の位から数えて2001桁目の数を求めよ。

初めましてです。

>>47
６？ですか。

20^2000=(2^2000)*(10^2000)となるので
2000桁目までは０が続く。つまり2^2000の一桁目を求めればよい
ここで　2^k (kは自然数)　の一桁目の数は
�@) k=4m-3　(mは自然数) のとき　２
�A）k=4m-2 のとき　４
�B）k=4m-1 のとき　８
�C）k=4m のとき　６
となる。
2000=4*500　なので
2^2000の一桁目の数は６となる
以上より20~2000 の2001桁目の数は６

[47]
20^2000　で、一の位から数えて2001桁目の数を求めよ。

20^2000 = (2^2000)*(10^2000)
よって、20^2000の2001桁目の数は2^2000の一の位と同じである。
2^nの一の位について調べてみると
n→一の位
1→2
2→4
3→8
4→6
5→2
6→4
7→8
8→6
・・・・・
一の位が同じなら、2倍したあとの一の位も同じであるから、
nを４であった余りで一の位は決まる。
余りが1なら一の位は2
余りが2なら一の位は4
余りが3なら一の位は8
余りが0なら一の位は6
2000は4で割り切れるから、2^2000の一の位は6
よって20^2000の2001桁目の数は6

100!を一の位から数えて初めて0でない数がででくるのは何桁目か？（楽

更新して確かめるべきだったorn
ゆうやく振り切って確認すべきだった

>>48-49
初めまして！正解です。

>>50-51
かぶるのはよくあることですよね。


100!を一の位から数えて初めて0でない数がででくるのは何桁目か？
[解答]
P＝100！　とする。P が10（＝2*5）で何回割り切れるかを考えればよい。
100/5＝20　
100/5^2＝4　
5^3＝125＞100　だから、P　は　5　で20+4＝24（回）割り切れる。
また、2では明らかに　24回以上割り切れるから、P は10で24回割り切れる。
したがって一の位から数えて初めて0でない数がででくるのは　24+1＝25（桁目）.■

保守

[化学2]
四酸化二窒素 N2O4 と二酸化窒素 NO2 との混合物があり、次の平衡状態にある。　
N2O4 ⇔　２NO2 　
問１．N2O4の解離度をα、平衡状態にある混合気体の全圧をP　とするとき
各成分の分圧p(N2O4), p(NO2) をαおよびPを用いて表せ。
問２．(i)圧平衡定数Kp をPおよびαを用いて表せ。
(ii)αを PおよびKpを用いて表せ。
問３．P(NO2)をKpとPを用いて表すと次のようになる。[ア][イ]にあてはまる数字を答えよ
P(NO2)=√Kp * ｛√(p+ Kp/[ア]) - (√Kp)/[イ] ｝

初めN2O4がn(mol)あったとすると、平衡で解離度αの時
N2O4はn(1-α)(mol)
NO2は2nα(mol)存在する。
(1)p(N2O4)=P*n(1-α)/{n(1-α)+2nα} = P(1-α)/(1+α)
p(NO2)=P*2nα/{n(1-α)+2nα} = 2αP/(1+α)
(2)(i)Kp= {2αP/(1+α)}^2/{P(1-α)/(1+α)} = 4Pα^2/(1+α)(1-α)
(ii) (i)より、α^2 = Kp/(Kp+4P)
α=√Kp/√(Kp+4P)　（= √(Kp^2+4PKp)/Kp+4P ）
(3)p(NO2)= 2α(1-α)P/1-α^2 に(2)の(ii)を代入（計算略）
p(NO2)=√Kp * ｛√(p+ Kp/4) - (√Kp)/2 ｝
A. [ア]=4 [イ]=2

>>54
解いてくれてありがとう。すべて正解です。問３は計算がかなり大変だったかと思います。
この問３では「平衡式と物質収支の条件の関係式を用いる」という方針でやると計算が遥かに楽です。

問３[別解]
平衡式　Kp =p(NO2)^2 / p(N2O4) ………�@
物質収支　p(NO2) + p(N2O4) = 全圧P …�A
x= p(NO2)とする。
�A式より　p(N2O4)=P- x .これを�@に代入し、0<x<P　の条件の下でｘについての二次方程式を解く.
x^2 /(P-x) =Kp ⇔　x^2 + Kp*x -pKp=0 ⇔　ｘ=｛-Kp　+　√(Kp^2+4PKp)｝/2　⇔　ｘ=√Kp * ｛√(p+ Kp/4) - (√Kp)/2 ｝.■

[出題意図]
平衡問題では
(i)媒介変数を使う.　
(ii)平衡式と物質収支+電気的中性条件の関係式を用いる.
の２種の解き方があって、それぞれの特性を生かして、どちらの方法論を選択すべきか、ていうことを聞きたかった。
特に２種以上の平衡が成り立つときは絶対(ii)でやったほうがいい。　
今回の出題は平衡１つだが、混合物全体について考察するときは(i)を、ある成分だけ考えるときは(ii)を使うべし。

[出題元　2ｃｈ　孔雀氏作]
[出題意図]も引用させて頂きました。ｍ（＿　＿）ｍ

そんな解答なんて想像もつきませんでした。(iii)はチラシの裏でカリカリと。
何をやればそんな素敵な解法を考えられるようになるんだろう。まずは重問やるか・・・

[46]３次関数 がんばり中。

[46]
３次関数ｙ＝ｘ^3＋ａｘのグラフをCとし、
C上の異なる２点P,QにおけるCの接線が平行になるとする。
（ただし、Pのｘ座標＞Qのｘ座標）。
直線PQと、PにおけるCの接線とのなす角が４５°となるPが
１つしかないような実数ａの値を求めよ。

y'=3x^2 + a
Pのx座標をp、qのx座標をqと置くと平行だから紆余曲折の末p=±q
Pのｘ座標＞Qのｘ座標 より、p＞0として、q=-p
ここで、PQの傾きは紆余曲折の末p^2+a
また、PにおけるCの接線の傾きは3p^2+a
PQ(かその延長)がx軸の正の方向となす角をθ1
PにおけるCの接線(かその延長)がx軸の正の方向となす角をθ2とおく
（θ1、θ2ともに-90°より大きく、90°より小さいものをとる。）
p^2+a＜3p^2+aだから、θ1＜θ2
よって、直線PQと、PにおけるCの接線とのなす角が４５°だからθ1+４５°=θ2
tanθ2 = 3p^2+a だからtan(θ1+４５°)が定義されないものであることはない。
tan(θ1+４５°) = (p^2+a+1)/(1-p^2-a)、tanθ2 = 3p^2+aより
(p^2+a+1)/(1-p^2-a) = 3p^2+a
整理すると3p^4 +2(2a-1)p^2 +a^2 +1 = 0

3p^4 +2(2a-1)p^2 +a^2 +1 = 0
p^2=tとおくと(p＞0よりt＞0)
3t^2 +2(2a-1)t +a^2 +1 = 0
これがt＞0にただひとつの解をもてばよい。
f(t) = 3t^2 +2(2a-1)t +a^2 +1　とおくと、f(0)＞0なので、そのための条件は
(i)軸　t = -(2a-1)/3　＞0
(ii)D=0

(i)より、a＜ 1/2
(ii) D/4 = (2a-1)^2 -3(a^2+1)=0
a^2 -4a -2 =0
a=2±√6 a＜ 1/2よりa=2-√6

A.a=2-√6

不安要素：そもそも答えがあっているのか・・・
tanがらみの処理が十分に適切だったのかとか説明はもっとしたほうがいいのかとか。

ほしゅあげ

数�Vオリジナルで、y=e^(-x^2) に二重接線が引けないことを示そうと七転八倒中

gj

>>59
面白そうなのでちょっと考えてみた。現役受験生の物理の勉強の息抜きだというのは秘密。

y = e^(-x^2)に二重接線が引けないと仮定し、2つの接点を
(p,e^(-p^2)), (q,e^(-q^2)) とする（p,qは実数で、p≠q）

y' = -2xe^(-x^2)であることから、接線の傾きの式
-2pe^(-p^2) = -2qe^(-q^2)　から、
p/q = e^(p^2 - q^2) -�@

また、点(p,e^(-p^2))　における接線 y = -2pe^(-p^2)(x - p) + e^(-p^2) は
点(q,e^(-q^2))を通ることから、これを代入し、
e^(-q^2) = -2pe^(-p^2)(q - p) + e^(-p^2)
2pe^(-p^2)(p - q) = e^(-q^2) -　e^(-p^2)
2p(p - q) = e^(p^2 - q^2) - 1
�@より、
2p(p - q) = p/q - 1
2pq(p - q) = p - q
2pq = 1 (∵p≠q）
よって、q = 1/2p

2点(p,e^(-p^2)), (1/2p,e^(-1/4p^2))　を通る直線の傾きは、
(e^(-p^2) - e^(-1/4p^2)) / (p - 1/2p) = 2p(e^(-2p^2) - e^(-1/4p^2)) / (2p^2 -1)
これが接線の傾きなので、
2p(e^(-2p^2) - e^(-1/4p^2)) / (2p^2 -1) = -2pe^(-p^2)
e^(-p^2) - e^(-1/4p^2) = -e^(-p^2)(2p^2 - 1)
1 - e^(p^2 - 1/4p^2) = 1 - 2p^2
2p^2 = e^(p^2 - 1/4p^2)
この式を満たすpが存在しなければ（�A）、最初の仮定が間違っており、
ゆえにy = e^(-x^2)に二重接線はひけない。

となると思うんだけど、最後の証明（�A）ができない。それ以前もあまり自信がない。

×二重接線が引けないと仮定し
○二重接線が引けると仮定し

訂正、訂正…

よく考えたら(1/2)^(-1)代入したら�Aは成り立っちゃうなぁ。
だめだ。

もうちょっと考えてみよう…

間違った。(1/2)^(1/2)だ。
無駄レスごめん。

5連続投稿だ。
まずいなぁ…

2p^2 = e^(p^2 - 1/4p^2)
この式を満たすpは、±√(1/2)である。
しかしこのとき、p = 1/2p となり、p≠q に反する。
よって、この式を満たすpは存在しない。
これは最初の仮定が間違っているためである。
∴y=e^(-x^2) に二重接線は引けない。

こんな感じでどうだろう？不十分？

やっぱりそれしか手はないのかな・・？
ある区間で2回微分可能で変曲点が一つ以下なら二重接線は引けない　って言えればいいんだけどなあ。

>>3-4
おめでとう
大成功じゃないですか･･･。
そんな点数、受験を趣味にしても一生取れない気がする
というわけで消えるね

二次試験過去モンなんて一ヶ月もあれば十分ですよ（数学だけならたとえ医型であっても

>>57-58
大正解です。なかなかやりますね。
あなたの説明で特に不備はないと思います。

>59-66
保守感謝。俺も考えてみようかな。てゆーかもう寝なきゃいけない。

>67＝266
おっしゃるとおり、マゾ氏はやはりただものではありませんでしたね。
またいつでも来てください。

[48]
３桁の素数ｐの百の位の数字をa ,　十の位の数字をｂ　,　一の位の数字をｃ　とする。
このとき、２次方程式　ax^2　+ｂｘ　+ｃ＝0　は整数解をもたないことを証明せよ。

>>66
う〜ん、難しい…

>>69
早速解いてみた。
また背理法。

ax^2　+ bx　+ ｃ = 0 が整数解を持つと仮定し、2つの解をm,n（ともに整数）とおく。
すると、この方程式は
a(x - m)(x - n) = 0
ax^2 - a(m + n)x + amn = 0
となる。
ここで、aは1以上9以下の整数、b,cは0以上9以下の整数であるから、
-a(m + n),amnがともに0以上9以下の整数であるという条件を満たしている時、
係数比較により、b = -a(m + n), c = amn　となる。

以下、m,nが条件を満たす整数であるとして考える。

(i)a≠1のとき、
p = 100a - 10a(m + n) + amn = a{100 - 10(m + n) + mn}
となり、このpはaで割り切れ、pは素数ではない。
(ii)a=1のとき、
p = 100 - 10(m + n) + mn
mかnのいずれかが偶数の場合、pも偶数になり、不適。
そこで、m≧nであり、どちらも奇数である場合について考える。
m=-1,n=-1の時、p=121=11*11
m=-1,n=-3の時、p=143=11*13
m=-1,n=-5の時、p=165=11*15
m=-1,n=-7の時、p=187=11*17
m=-3,n=-3の時、p=169=13*13
これ以外の場合はmnが10以上となり、不適。
いずれにせよ、pは素数ではない。

(i)(ii)より、条件を満たすm,nは存在しないことがわかる。
これは最初の仮定が間違っていることを示す。
よって、題意は示された。


どうだろう？
最後はどうせ組み合わせが少ないので列挙してみましたが、
m=-1の場合はどうにかすればまとめられそうな雰囲気も。

最初でm≧nと定義すべきだったかな、と投稿してから思う。

英語もやらないとね。

>>69
�@100a+10b+c=pである。
また、与式が整数解ｋを持つとすると、
�Aak^2+bk+c=0
a,b,c≧0より-10<k<10
�@と�Aの辺々を引いて、
(100-k^2)a+(10-k)b=p
�B(10-k){(10+k)a+b}=p
(�@)k=9
(10+k)a+b=19a+b<100a+10b+c=p　矛盾
(�A)otherwise
10-kが素数となるのは、k=-9,-7,-3,-1,3,5,7,8
その時p=19,17,13,11,7,5,3,2
いずれの場合も�Bに矛盾する。

横から失礼して、当ってるか自信はないですが一応解いてみました。
強引でかつ恐ろしくいい加減な解答です。ｗ

結局寝ないで化学と数学をやってた。
最近よくレスがついてる(・∀・)ｲｲ!!
他人の解答（答案）を読むのは面白いのだ。

>>70-72
(ii)a=1のとき、 がちょっと説明不足な気がします。
「m、nが正の数をとるときは　p<100　となって不適」
くらいのことは説明or軽い証明があったほうがよいかと思います。
あとは問題ないです。

>>73
いいですね。正解です。�@〜�Bの式をよく眺めて少し工夫すると、場合分けなしで矛盾が示せます。
k<0 と�Bより　(10-k)　は素数ｐの10以上の約数である。
よって、(10-k)=ｐ　,　(10+k)a+b=1.
この二式からkを消去すると、　b=a(p-20)+1＞81.　（∵p>100　,　a≧1.　）
となって　0≦b≦9　に矛盾。　よって題意は示された。■

俺も英語やらねば

[化学3]
0.1[mol/l]のHCLaq　を10^6倍にうすめたときの[H+]を求めよ。

>>74
m,nが正の数の場合を軽く説明しないと駄目か。
うっかりしてました。
ためになります。

>>76
英語の次は化学。

10^6倍に薄めた時、HCl → H+ + Cl- の電離によって生じるH+の濃度は1.0*10^(-7)[mol/l]
これが著しく小さい値のため、水の電離の影響を考慮しなければならない。
H2O ⇔ H+ + OH- の電離によって生じるH+とOH-の濃度をともにx[mol/l]とおくと、
Kw = [H+][OH-] = 1.0*10^(-14)[(mol/l)^2]より、
x(x + 1.0*10^(-7)) = 1.0*10^(-14)
x^2 + 1.0*10^(-7)x - 1.0*10^(-14) = 0
この2次方程式を解くと、x = (-1.0*10^(-7)±(√5)*10^(-7))/2
x > 0 よりプラスの方の値をとり、求める値は
[H+] = 1.0*10^(-7) + ((√5 - 1)*10^(-7))/2
　　　= ((√5 + 1)*10^(-7))/2
　　　≒1.6*10^(-7)[mol/l]

これでどうかな？

いろいろ出してもらったので、何か問題を投下できるといいんだけれどね。
特に出せそうな問題は今無い。
問題を練るような時間の余裕も無いし…

何か思いついたら書きましょうかねぇ。

電離前［HCl］ =　10^(-7) (mol/l)なので、水の電離は無視できない。
［OH-］ =x (mol/l) とすると
［H+］ = x+10^(-7) (mol/l)
Kw = 10^(-14) (mol/l)^2 より
x^2 + 10^(-7)x - 10^(-14) =0
(10^14)*x^2 + (10^7)*x - 1 =0
x=［5*10^6 ±√{25*(10^12) + 10^14}］/10^14
=(5*10^6 ±10^6*5√5) /10^14
≒5*10^(-8) ±5*2.2*10^(-8) x＞0だから
=5*10^(-8) + 11*10^(-8) = 1.6 * 10^(-7) (mol/l)

［H+］= 1.6*10^(-7) +10^(-7) =2.2*10^(-7) = 3*10^(-7) (mol/l)

結構解答回数増えてきたなあ。

あ、マイナス忘れた。

ありゃ？
思いっきり間違えたかな…

見直そう。

答えは
［H+］= 1.6*10＾(-7) [mol/l]　です。
眠いのでレスは起きてからします。(つД｀)

仮眠をとります。おやすみ。

ありゃ？合ってた？

>>82
おやすみなさい。

私が解の公式間違えただけです。
あと、有効数字一桁じゃないの？

>>74
a=0の時は二桁の数字とみなしてました。
a≧1と仮定しちゃっていいんですね。
それにしたって(�A)の場合分けは投げ槍ですが。

もしかして>>57はθ1+１３５°=θ2 の場合も考えなきゃいけないんじゃ？とか後になって思ったり。
そうするとa=-2-√6　って答えも出てきたんだけど・・・・

>>86
その場合は考えなくてもいいでしょう。
θ1＜θ2 　ということが分かっているので、0°＜θ1、θ2＜90°として
tanθ　と　θ　を一対一対応にしているので、わざわざそれを崩すことはないと思います。
0°＜θ1＜θ2＜90°で直線と直線のなす角が45°となるときは　θ1+４５°=θ2 の場合しかないし。

なお、参考のために出題者&氏の解答を貼っておきます。
>>57
[46] [解答]
P(ｐ，ｐ^3＋ａｐ)、Q（ｑ，ｑ^3＋ａｑ）における
C の接線ｌ、ｌ’の傾きはそれぞれ ３ｐ^2＋ａ、３ｑ^2＋ａ
であるから、これらが一致する条件は
３ｐ^2＋ａ＝３ｑ^2＋ａ　∴ｐ^2＝ｑ^2。
ｑ＜ｐ、ｑ＝−ｐ(ｐ＞０)である。
このとき、直線PQの傾きは、
｛ｐ^3＋ａｐ−（（−ｐ）^3＋ａ（−ｐ））｝/(２ｐ)＝ｐ^2＋ａ
ｘ軸からｌ、PQへの回転角（左回りが正）をそれぞれ
α、βとすると、α−βはPQからｌへの回転角で、
tanα＝３ｐ^2＋ａ、tanβ＝ｐ^2＋ａだから、
ｌとPQのなす角が４５°⇔tan(α−β)＝±１⇔｛３ｐ^2＋ａ−（ｐ^2＋ａ）｝/｛１＋（３ｐ^2＋ａ）（ｐ^2＋ａ）｝＝±１、
分母を払い、ｐ^2＝ｔ　とおくと
３ｔ^2＋２（２ａ−１）ｔ＋ａ^2＋１＝０・・・�@
３ｔ^2＋２（２ａ＋１）ｔ＋ａ^2＋１＝０・・・�A
ｔ（＞０）とｐ（＞０）は１対１の対応だから、
題意の条件は、�@または�Aを満たすｔ（＞０）が合わせて１個あること。
�@の２解の積＝（ａ^2＋１）/３＞0だから、�@が異なる２実解をもつとき、それらの符号は同じで、
�Aも同様だから、�@、�Aの少なくとも一方は正の重解をもつことが必要。

�@について、D/４≧０⇔（２ａ−１）^2−３（ａ^2＋１）≧０より
ａ≦２−√６、２＋√６≦ａ
�Aについて、D/４≧０⇔
（２ａ＋１）^2−３（ａ^2＋１）≧０より
ａ≦−２−√６、−２＋√６≦ａ
ａ＝２−√６のとき、
�@の重解＝−(２ａ−１)/３＝（−３＋２√６）/３＞０
で�Aは実数解を持たないから適する。
ａ＝２＋√６のとき�Aは重解を持たず、
�@の重解＝（−３−２√６）/３＜０なので不適、
ａ＝−２−√６のとき、�@が異なる２実解を持ち、
その和が−２(２ａ−１)/３＝２（５＋２√６）/３＞０なので、
�@が異なる２個の正の解を持つから不適。
ａ＝−２＋√６のとき、�@は重解をもたず、
�Aの重解＝−(２ａ＋１)/３＝（３−２√６）/３＜０なので不適
以上より求める値はａ＝２−√６■

>>84
＞あと、有効数字一桁じゃないの？
スマソ(;´Д`)　0.10[mol/l]と書くべきでした。

>>85＝73
＞a=0の時は二桁の数字とみなしてました。
pは三桁の数なので、
100a+10b+c=p,　　1≦a≦9　,　0≦b≦9　,　0≦c≦9　とおくのが普通だと思います。

[49]
(1)αが　0＜α＜1　をみたす有理数ならば、区間　0≦ｘ≦1　の上で不等式　1　+　αｘ/2　≦（1+ｘ）^α　が成り立つことを示せ。
(2)2^200　の桁数はいくつか。またその最上位の数は何か。その理由を述べよ。但し、　log2≒0.3010　の数値を証明に用いてはならない。
(3)0.300<log2<0.302　であることを示せ。

あと、>>12はまだ誰も解いてません。書くときは答えのみで　Q1〜Q9　の順番に書いてください。
例　5Q1+7Q2−Q3−2Q6−Q7+Q8+Q9(kJ/mol)

数学すくないーーーーーーーーーーーーーーーーっ！

ちょっと簡単すぎかもしれないけど。有名問題かな？

(11,13),(17,19)のように、その差が2である素数の組の事を双子素数という。
これを応用して、差が2ずつの素数n個（nはn≧3の自然数）の組を、nつ子素数と呼ぶことにする。

(1)3つ子素数は(3,5,7)以外に存在しないことを証明せよ。
(2)n≧4の場合、nつ子素数は存在しないことを証明せよ。

(1)は調べてみたところ、同様の問題が'04早稲田にあるようです。
(2)はすぐわかるとは思いますが一応。

>>12
-Q1+2Q2-Q3-Q5-2Q6-Q7+Q8+3Q9(kJ/mol)
やってるうちに混乱してきた。

あっ、Q8じゃなくて2Q8かな。

>>95-96
正解です。出題元はS台東大実戦の問題らしいです、かなり昔の。
（化学スレで拾った。）

>94
nつ子素数…
やったことないので考えてみます。

3の倍数が入ってくるからダメ、っていうことだな。

(1)n ,n+2 ,n+4　がすべて素数となるのはn=1 のときだけになることを示せばよい。
kを1以上の整数とすると
n=3k のとき、n　が3の倍数.
n=3k+1　のときn+2=3k+1+2=3(k+1)　∴n+2 が3の倍数.
n=3k+2　のときn+4=3k+2+4=3(k+2)　∴n+4 が3の倍数.
よってn ,n+2 ,n+4　がすべて素数となるのはn=1 のときの(3,5,7)だけ。■

(2)(1)の議論より　n ,n+2 ,n+4 には必ず3の倍数があるので、n≧4の場合、nつ子素数は存在しない。■

間違えた。n=3　ね。

>>77＝月影ﾀﾝ
＞いろいろ出してもらったので、何か問題を投下できるといいんだけれどね。
＞特に出せそうな問題は今無い。
＞問題を練るような時間の余裕も無いし…
＞何か思いついたら書きましょうかねぇ。
来ていただけるだけで十分(・∀・)ｲｲ!! でつよ。
このスレは基本的に人が少ないですから。

>>91
(1)f(x) = (1 + x)^α - αx/2 - 1 とおくと、
f'(x) = α(1 + x)^(α - 1) - α/2

-1<α - 1<0, 1≦1 + x≦2　であり、
f'(1) = α*2^(α - 1) - α/2 > 0　であるから、
0≦x≦1において、f'(x) > 0
よって、f(x)は0≦x≦1において単調増加。
さらに、f(0) = 1 - 1 = 0 であるから、f(x)≧0

以上より、1 + αx/2 ≦ (1 + x)^α （等号成立はx=0のとき）

(2)2^200 = (2^10)^20
= (1.024 * 10^3)^20
= 1.024^20 * 10^60
= (1 + 0.024)^20 * 10^60

(1)より、1 + 0.024 = 1 + (0.048 * 1)/2 ≦ (1 + 1)^0.048 であるから、
両辺を20乗すると、(1 + 0.024)^20 ≦ 2^0.96 < 2
また、(1 + 0.024)^20 > 1

以上より、2^200は最上位の数が1の61桁の数である。

(3) (2)より、
10^60 < 2^200
10^0.300 < 2
0.300 < log2

また、10^60.4 = 10^0.4 * 10^60
(2)より、2^200 = (1 + 0.024)^20 * 10^60
　　　　　　　 = {(1 + 0.024)^50}^0.4 * 10^60
1 + 0.024 ≦ 2^0.048
(1 + 0.024)^50 ≦ 2^2.4 < 2^3 = 8 < 10
よって、2^200 < 10^60.4
2 < 10^0.302
log2 < 0.302

以上より、0.300 < log2 < 0.302


かなり時間がかかりました。合ってるものやら…
まだまだ力不足ですね。

>>98-99
正解です。ただ、問題文でnを使ってるから、別の文字を使った方がいいかも。

この種の問題で、
(1)素数は無限に存在することを証明せよ。
(2)双子素数は無限に存在することを証明せよ。
という有名問題もあります。
(1)は知っていれば解けるかもしれません。(2)は未だ未解決問題だったと思います。

>>100
そうですか。
でも、何か他にも問題があれば書いてみますね。

しかし、1問解くのにこんなに時間かかったら、試験本番の時まずいな。
…頑張ろう。

>102
thx.

>>101-103
(1)では　「f´(x)　は単調減少である」ということに言及しておくべきだと思います。
読んでいて説明不足というか、やや論理の飛躍を感じました。
(2)(3)は問題ないです。優秀ですね。

[49][出題元 1968年東大]
難易度　C***

>>104
f''(x) = α(α - 1)(1 + x)^(α - 2) < 0
（∵0≦x≦1でα(1 + x)^(α - 2) > 0, α - 1 < 0）
よって、f'(x)は単調減少。

これを加えればいいのかな？
確かにそうですね。説明不足だったかもしれません。


'01京大、後半3問難しい…

基本問題
[50]
次の方程式を解け。
sinｘ＝sin(ｘ/3)　,　（0≦ｘ≦4π）


次にくるのは明朝7〜10時頃の予定。もう寝ますおやすみ。

一番最初からつまづくおれって・・・・

>>107
3倍角の公式より、
sin3x = 3sinx - 4sin^3 x であるから、
sinx = 3sin(x/3) - 4sin^3 (x/3)
これを与式から引くと、
0 = -2sin(x/3) + 4sin^3 (x/3)
2sin(x/3)(2sin^2 (x/3) - 1) = 0
2sin(x/3)(√2 sin(x/3) + 1)(√2 sin(x/3) - 1) = 0

(i)2sin(x/3) = 0
x = 0, 3π
(ii)√2 sin(x/3) + 1 = 0
sin(x/3) = -1/√2
x = 15π/4
(iii)√2 sin(x/3) - 1 = 0
sin(x/3) = 1/√2
x = 3π/4, 9π/4

(i)(ii)(iii)より、
x = 0, 3π/4, 9π/4, 3π, 15π/4

という感じかな…

最近来たので、既出かどうかがわからない…

ちょうど今'01京大理系を解いてるので、そこから1つ。(既に解いた人も結構いるのでは？)

xyz空間内の正八面体の頂点P(1),P(2),…,P(6)とベクトルv↑に対し、
k≠mのとき P(k)P(m)↑・v↑≠0 が成り立っているとする。
このとき、kと異なる全てのmに対し、P(k)P(m)↑・v↑ < 0 が成り立つような
点P(k)が存在することを示せ。
['01 京大理系　C***]

大数の軌跡のこの問題の解法、はたして試験場で思いつくものなのか？

>108
welcome.

>>109
正解です。参考までに別解を挙げておきます。
[別解]
nを整数として,
　 sinｘ＝sin(ｘ/3)
⇔ｘ＝2ｎπ　+　ｘ/3.　or　ｘ＝2ｎπ　+　（π　-ｘ/3）.
⇔ｘ＝3ｎπ. or　3（2n +1)π/4

0≦ｘ≦4π　だから　x ＝ 0, 3π/4, 9π/4, 3π, 15π/4　■


（コメント）
このやり方の方が応用が効くのでお勧めです。月影ﾀﾝ のやり方では、例えば
sinｘ＝（-1+√5）/4　のような値をとったとき処理が少し面倒です。

投下された問題はあとで書かせていただきます。

数学�Tの展開公式を覚えるのめんどいのですが大学受験に問題ありますか？

大数の2月号を買ってきた。


(1)素数は無限に存在することを証明せよ。
(2)双子素数は無限に存在することを証明せよ。

とりあえず(1)だけ。もちろん背理法ですね。
「ユークリッドの方法」というのを読んだことがあります。
[証明]
素数の数が有限個しかないと仮定する。任意の素数をpとし、
p以下のすべての素数　2 , 3 , 5 , 7 ,…,p　の積に1を加えた数Qを考える。
Q＝2*3*5*7…*p +1　（明らかにQ>p>1 である。）
i)もしQが素数ならば、pより大きい素数が存在することになって矛盾。
ii)Qが合成数ならば、Qはある素数q をもつが、Qは　2 , 3 , 5 , 7 ,…,p　のいずれの素数でわっても1余るので、
q はこれら2 , 3 , 5 , 7 ,…,p　のなかにはない。∴q>p となって矛盾。
i)ii)より素数は無限に存在することが示された。■

訂正　下から三行目
Qはある素数q を「因数に」もつが、

xyz空間内の正八面体の頂点P(1),P(2),…,P(6)とベクトルv↑に対し、
k≠mのとき P(k)P(m)↑・v↑≠0 が成り立っているとする。
このとき、kと異なる全てのmに対し、P(k)P(m)↑・v↑ < 0 が成り立つような
点P(k)が存在することを示せ。
['01 京大理系　C***]

[解答]
v↑の方向をx軸方向になるようにxyz座標をきめる。
x座標が最大の点の一つをP(k)とする。(x座標a)
するとk≠mであるすべての点P(m)は平面x=a　の片側にある。
(∵平面x=a　上なら P(k)P(m)↑・v↑ =0　となり題意の仮定に矛盾.)
よって、P(k)P(m)↑ とv↑　のなす角は必ず鈍角になるので、P(k)P(m)↑・v↑ < 0.
ゆえに題意は示された。■


この解法は大数の特集で取り扱われていた。2004年4月号

大数って？
大学の数学？？

>113
2項展開ならその場でやればいいんじゃないですかね。
n=6 , 7 あたりまでならパスカルの三角形を書いた方が速いかな。
3乗の公式も覚えれるなら覚えた方がいいと思う。俺はやってるうちに勝手に覚えた。

下がりすぎなので上げ

>117＝266
違います。「大学への数学」という東京出版の月刊誌です。

>119
thx.

>>120
おぉ、あれまだあるんだね。

>122
かなり昔からあるらしいですね。昔はサイズが違ってたとか。


次は19時頃来る予定。英語やってきます。

>>114-115
有名な方法ですね。
これが紀元前に解かれていたとは驚きです。うん、すごい。

(2)は前述の通り未解決問題。解ければ世界初です。

関連
双子素数 - wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3
ついに解かれたと騒がれた時の（結局証明は失敗だったんだけど）/.（本家）の記事
http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/05/28/2012209
↑に関する2ch数学板のスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/

入試にはあまり関係ないのでこの辺で。

>>116
軌跡に載ってない解法です（フォローの方にも無い）。大数は読んでないからなぁ…
すっきり解けてていいですね。勉強になりました。
京大入試の軌跡の方では1つずつ背理法的に詰めていっています。

P(1)P(m)↑・v↑> 0　となるmが存在したとして、m=2だとしても一般性を失わず、
P(1)P(2)↑・v↑> 0　より、P(2)P(1)↑・v↑< 0
そこで、P(2)P(n)↑・v↑> 0 となるnが存在したとすると、ｎ=3だとしても一般性を失わず、
……以降繰り返し。

数学板にも行かれているんですね。俺、あそこはなんか馴染めなくて…。
スレは暇になったら読んでみます。

[51]
Nは正整数全体の集合とし　f:N→N　は以下の条件(1)(2)(3)をみたす関数とする。
(1)f(xy)=f(x) +f(y) -1.　が任意の正整数 x , y について成り立つ。
(2)f(x)=1.　をみたすx は有限個しか存在しない。
(3)f(30)=4.　である。
このとき　f(14400)　の値を求めよ。

眠いのでもう寝ますおやすみ。
次に来るのは明朝7〜8時の予定。

>>125
真相は、検索で引っ掛かったというだけだったり。
何度か行ったことがありますが、やはり大学の一般教養程度の最低限の知識さえないので、
なかなか辛いものがあります。
大学で学んでから色々見てみたいものです。

今日はこれから理科をやります。

なんだぁ〜っ！？
俺が留守にした間に随分延びてるな。複雑な心境だ。
先ず月影氏、ようこそ。あんた何か天才の臭いがする。４０氏と同じ臭いが。
俺はもう目の前の対策に必死で、ここで解答したり雑談する余裕は無くなってしまった。
どうか４０氏とここでハイレベルな討論を存分にして下さい。俺はこの活気に感謝しています。
次に２６６氏、ありがとう。しかし本当にこれは勘が当たりまくった末のミラクルです。
実際俺は本当に二次力皆無なのです。
しかしもう二度と取れないであろうこの奇蹟をみすみす無駄にはしたくない。
この機を逃すと俺は衰弱しきって二度と志気が高まらない、そんな気さえする。
これは俺にとって突然降って湧いた、最初で最後の医学部への挑戦なのだ。

つうことで今更某予備校の医系対策受けてみたり、
駿台文庫の医学部への英数を買ってきてやってみたりしてる。
はっきり言って英語は絶望的。センター英文が赤子の戯言の様に思えるよ。
何より語彙が絶望的。思考訓練で鍛えた和訳も語彙力が無いと試験場で力を発揮しない。
と言う事で毎日二百個を自分に課している。かなりの突貫工事だ。
数学も実際かなりひどい。とは言えこのスレにはやはり感謝をしている。
去年の今頃、俺は計算力が皆無だった。遙か昔に予備校の数学の授業を受けた事があるが、
その時ははっきり言って何を言っているのかすらわかんなかった。
無限にぶっ飛ばすとか挟み撃ちとか、なんの事かまっっったく理解出来なかった。
しかし今回の医系対策、我流のアラに目をつぶれば予習の段階でほぼ完答、講義も万事理解出来た。
これは本当に驚くべき事だ。これは全て４０氏、kunnys氏、他、みなさんのおかげです。
本当に感謝している。未だに数学は得点源どころか穴だらけではある、公式は全く頭に入ってない。
しかしとりあえずどんな解法を出されても瞬時に理解して納得することが可能になった。
やっと受験勉強が出来るまでになったのだな・・・と感無量であります。
残りあと僅か、感動の大逆転サヨナラ満塁ホームランは飛び出すのでしょうか。新庄、俺に力を！
と言う事で、スレの進行には一切関わりませんで去ることをお許し下さい。ではまた。

>>129-130
初めまして。

僕から天才の臭いがするというのはありえない話ですよ。
実際40氏の方が少なくとも二枚は上手だと思われます。
僕は今まで人一倍努力をしてきたというわけでもなく、それで京大を受けようという不届き者です。
実際そんな甘いものではなく、あっさりと返り討ちに遭うのではとかなり不安な今日この頃。

医学部頑張って下さい。自信を持って挑んでください。
今までそれだけ努力をしてきたのですから、きっと大丈夫…

>>126
少し考えてみました。
f(x)=1 となるxは1しかないことを示し、
f(14400)=4f(2)+3 になったところで、f(2)の値が求められずつまずく。
ここからどうするのだろうか？
何か根本的に間違っているのだろうか？

というわけで、再び理科へ。

ユーグリッドが行った素数の個数が無限であることの証明方法は
実はその背理法ではない。と、素数研究で有名なある大学の先生から聞いた気が。

高二東大レベル模試　英語と国語だめぽ。

>>126
11になりました。
今から記述作ってきます。

・・・はっきり言って自信なし。

[51]
Nは正整数全体の集合とし　f:N→N　は以下の条件(1)(2)(3)をみたす関数とする。
(1)f(xy)=f(x) +f(y) -1.　が任意の正整数 x , y について成り立つ。
(2)f(x)=1.　をみたすx は有限個しか存在しない。
(3)f(30)=4.　である。
このとき　f(14400)　の値を求めよ。

(1)、(3)式より
f(14400)=2f(120)-1=2{f(30)+f(4)-1}-1=2{2f(2)+4}-1=4f(2)+3・・・(4)

また（１）式においてx=1のときを考えると
f(1*y)=f(1)+f(y)-1
f(1)=1
ここでxy≠1のときf(xy)=1と仮定すると
f(x)+f(y)=2
題意よりf(x)≧１　f(y)≧１なので
f(x)=f(y)=1
これは任意のx yについて成り立つことになるので(2)に矛盾する。
よってf(x)=1 となるのは x=1のときだけである　・・・＠

(3)式を変形すると
f(30)=f(10)+f(3)-1=f(5)+f(3)+f(2)-2=４
f(5)+f(3)+f(2)=６
＠と題意よりf(5)、f(3)、f(2)≧２なので
f(5)=f(3)=f(2)=２となる　
この値を(4)式に代入すると
f(14400)=4*2+3=１１

おしまい

>>134
> ここでxy≠1のときf(xy)=1と仮定すると
> f(x)+f(y)=2
> 題意よりf(x)≧１　f(y)≧１なので
> f(x)=f(y)=1
> これは任意のx yについて成り立つことになるので(2)に矛盾する。

↑この部分が、誤り。f(xy)=1と仮定しているので、任意のx yについて、ではないです。
f(a)=1を仮定すると、f(a^2)は・・・

蛇足だけど、g(x)=f(x)-1について考えると解きやすいと思う。

ここの１９番と同じ問題だけど出典は何でしょうか？
http://rex.liis.lv/liis/prog/macmat.nsf/0/d5c1aaacbbe45f0ac22569df00432dc3?OpenDocument

過去すれ見て、ちょっと気づいたこと。代数学の基本定理って言うのは、解の存在を保証する定理です。
解の個数だけなら、高校の範囲でできますよ。

問題
n次多項式の相異なる根の数はn個以下であることを示せ。

あとそれから、9manのスレってなくなったんですか？

寝すぎた。

>マゾ氏
おひさ。

>>132
マジですか？暇がつくれたら調べてみます。

>>135-136
本物の天才が来てくださってありがたいです。
出典は　第6回日本数学オリンピック予選1996　です。あと、
9manのスレはまだありますよ。俺はついていけないのでほとんど行ってないですが… (;´Д`)
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1104673433/l50

それと、過去スレまで見ていただいて感謝。
＞代数学の基本定理って言うのは、解の存在を保証する定理です。
＞解の個数だけなら、高校の範囲でできますよ。
問題
n次多項式の相異なる根の数はn個以下であることを示せ。

考えてみます。

同じく寝すぎた

>>136
本物の天才の方がいらしてくれたもようですね。
東大数学のスレに以前いらっしゃった方ですよね…?

さてこの問題の解答でも…。
n次多項式f(x)がn+1個の根を持つ。
すなわちn+1個以上の値に対してf(x)=0
が成り立つとする。

ここでf(x)=Σk=0,n(a_nx^n)とすると、
n+1個以上の値に対してすべてf(x)=0となる。
これはn+1本以上の相異なるn元1次連立方程式が成立しているので
a_n=0でなければ成り立たない。
よって、n次多項式の相異なる根の数はn個以下である。

ってどうなんでしょうか…。
やっぱりこれだと説明してなさすぎかなぁ…。

今日は最後の登校日でした…。

3年登校日なので、満員バスに揺られて行って来た。
はっきり言って疲れた。

>>134
＞f(5)、f(3)、f(2)≧２なので
これが気が付かなかった。
f(2) + f(3) + f(5) = 6 まではわかっていたのだけれど。
なるほど。言われてみれば確かにそうだ。

・f(x)=1 となるxは1しかないことの証明。
xがf(x)=1を満たす正整数であるとする。
x=1のとき、
f(1) = f(1*1) = 2f(1) - 1 = 1 となり、条件を満たす。
x≠1のとき、nを2以上の整数とすると、
f(x^n) = f(x) + f(x^(n-1)) - 1 = f(x^(n-1)) = f(x^(n-2)) = … = f(x) = 1
これは、f(x)=1となるxが無限に存在することを示し、不適。
よって、f(x)=1 となるのは x=1のときだけである。

みたいに考えた。不十分かな？
……写像の問題をほとんどやったことがなくて、復習してからやったのは秘密。

>>132
へぇ。
本見ても、検索かけてもユークリッドの方法として載っているから、信じていました。
じゃあどんな方法で解いたんだろう？

>>136
何だかよくわからないけどすごい人みたい。
初めまして。

>>137
数学オリンピックですか。
あの大会はレベルが高すぎるなぁ…

東大スレの方もレベルが高いみたい。
僕はこのスレのレベルでさえ危ういような気がする。

>>139
初めまして。察するに3年生でしょうか。
最後ということは、あとは卒業式だけですね。
僕も卒業式前日の登校と卒業式当日の2日だけとなりました。
嬉しいような寂しいような、複雑な気分。

n次多項式の問題は少し考えてみましょうか。

問題
n次多項式の相異なる根の数はn個以下であることを示せ。

因数定理で矛盾を導く。
[解答]
背理法を用いて示す。n次多項式f(x)がn+1個以上の相異なる根を持つ、
すなわちn+1個以上の相異なる値　a_1 , a_2 ,……,a_n+1,a_n+2 ,…　
に対してf(x)=0 が成り立つと仮定する。 f(x)=n次多項式 (但し、x^n　の係数≠0）とすると、
f(a_1)=0　であるから、因数定理によって、f(x)=(x-a_1)f_1(x)　（但し、f_1(x)はn-1次以下の整式）
次にf(a_2)=0 であるから、(a_2-a_1)f_1(a_2)=0　となるが、a_2≠a_1　であるから
f_1(a_2)=0.　したがって、因数定理を用いて　f_1(x)=(x-a_2)f_2(x)　（但し、f_2(x)はn-2次以下の整式）
ゆえに　f(x)=(x-a_1)(x-a_2)f_2(x)
これを　x=a_3 , a_4 ,…　,a_n に繰り返し用いて、
f(x)=c(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_n)　（但し、cは定数）とかける。
さらに、f(a_n+1)=0　より
c(a_n+1−a_1)(a_n+1−a_2)…(a_n+1−a_n)=0
a_n+1 は　a_1 , a_2 ,……,a_n　とすべて異なるから　c=0 となって矛盾。
したがって、n次多項式の相異なる根の数はn個以下であることが示された。■

>140
それで合っています。解答もそのやり方で証明してましたし。

私も数学板にはなじめずここに居座っております・・
あそこで馴染めるのは高校生の質問スレくらいでした。（最近読んでません〜〜。

>>142で良さそうかな？
>>139は、
＞これはn+1本以上の相異なるn元1次連立方程式が成立しているので
のあたりにもう少し説明があるといいような気がする。

>>143
そうですか。わかりました。

今日も理科。あと英文和訳。

まちがった。和文英訳だ（英文和訳もやるけど）
どうでもいい訂正御免。

[52]
n個（n≧3）の実数　a_1 , a_2 ,……,a_n　があり、各a_i は他のn-1個の相加平均より
大きくはないという。このような　a_1 , a_2 ,……,a_n　の組をすべて求めよ。

[53]
つぼの中に(2n-3)個（n≧2）の白球と3個の赤球が入っている。AとBの2人がAから始めて
交互に球を1球ずつ取り出していく。ただし、取り出した球はもとに戻さないものとする。
(1)A　, B 2人の取り出した球の個数の合計がk個になったとき、はじめてつぼの中が白球
　 だけになる確率p(k)を求めよ。ただし、3≦k≦2n　とする。
(2)最後の赤球を取り出した人を勝者とするとき、Aが勝者となる確率p_A　とBが勝者となる
　 確率P_B のどちらが大きいか比較せよ。

[52]
n個（n≧3）の実数　a_1 , a_2 ,……,a_n　があり、各a_i は他のn-1個の相加平均より
大きくはないという。このような　a_1 , a_2 ,……,a_n　の組をすべて求めよ。

a_1≦a_2≦……≦a_nとして問題はない。(a_nがこれを満たすよう並べ替えればよい)
条件よりa_n≦Σ［i=1,n-1］a_i /n-1
また、a_1≦a_2≦……≦a_nよりΣ［i=1,n-1］a_i ≦(n-1)*a_(n-1)
よって、Σ［i=1,n-1］a_i /n-1　≦a_(n-1)
すなわち、a_n≦a_(n-1) よってa_(n-1) = a_n
同様にして繰り返すと、a_1 = a_2 =　…… =a_n
また、この時実数a_1 , a_2 ,……,a_nは与えられた条件を満たす。
よって与えられた条件を満たすa_1 , a_2 ,……,a_n　の組は
a_1 = a_2 =　…… =a_n=k（kは任意の実数）である。

なんで神が増殖しているのでしょう。
名無しはもう用済みでしょうか。

>>149
正解です。名無しの方々ももちろん大歓迎です。
[52][出題元　1989年京大前期]
難易度　C***

次に来るのは明朝7〜10時の予定。
一旦age

>>149
お見事です。

>>148
とりあえず正解だけ。あまり自信なし。
(1) p(k) = 3(2n - k)(k - 1)(k - 2)/2n(2n - 1)(2n - 2)
(2) P_A < P_B

記述は長いのでこれから。
合ってるものやら…

(1) p(k)は、k-1回目までに赤球を2個取り、k回目に3個目の赤球を取り出す確率と等しい。
ただし、k=2nのときは白球が残らないのでp(2n)=0 となる。

k-1回目までに赤球を2個、白球をk-3個取り出す組み合わせはC[k-1, 2]通りあるから、
p(k) = (C[k-1, 2]・P[2n-3, k-3]・3・2/P[2n, k-1])(1/(2n - k + 1))
= (k - 1)(k - 2)・(2n - 3)(2n - 4)…(2n - k)・3・2/2・2n(2n - 1)…(2n - k + 1)
= 3(2n - k)(k - 1)(k - 2)/2n(2n - 1)(2n - 2)

(2) Aは奇数回目、Bは偶数回目に球を取り出すことから、3≦k≦2nより
P_A = p(3)p(5)…p(2n - 3)p(2n - 1)
P_B = p(4)p(6)…p(2n - 2){1 - p(2n - 1)
（∵(1)で述べた通り、p(2n)=0 である。そのため、2n回目にBが赤球を取り出す確率は
2n-1回目で3個目の赤球が取り出されない確率、すなわち 1 - p(2n - 1) と表される）

P_A、P_Bをそれぞれ{2n(2n - 1)(2n - 2)}^(n-1)倍したものをQ_A、Q_Bとして大きさを比較すると、
Q_A = 3^(n-1) (3-2)(3-1)(5-2)(5-3)…(2n-1-2)(2n-1-1)・(2n-3)(2n-5)…(2n-2n+1)
　　　= 3^(n-1) 2・3…(2n-3)(2n-2)・3・5…(2n-5)(2n-3)
Q_B = 3^(n-1) (4-2)(4-1)(6-2)(6-1)…(2n-2-2)(2n-2-1)・(2n-4)(2n-6)…4・2・{2n(2n-1)(2n-2)-3(2n-2)(2n-3)}
　　　= 3^(n-1) 2・3…(2n-3)(2n-2)・2・4…(2n-6)(2n-4)(4n^2 - 8n + 9)
Q_A/Q_B = 1・3…(2n - 5)(2n - 3)/2・4…(2n - 4)(4n^2 - 8n + 9)
　　　　　　< 2・4…(2n - 4)(2n - 2)/2・4…(2n - 4)(4n^2 - 8n + 9)
　　　　　　= 2(n - 1)/(4(n - 1)^2 + 5)
　　　　　　= 2/(4(n - 1) + 5/(n - 1))　（∵n≧2より、n-1 > 0）
相加平均・相乗平均の関係より、
4(n - 1) + 5/(n - 1)≧4√5 > 2
∴Q_A/Q_B < 2/(4(n - 1) + 5/(n - 1)) < 1 , Q_A < Q_B ⇔ P_A < P_B

どうだろうか？

あら？(2)でどうして掛け算に…

これは恥ずかしい。吊って来ます
(´-`).｡ｏO(何で今まで気付かないんだろう…)

何かもう無茶苦茶…

(2) Aは奇数回目、Bは偶数回目に球を取り出すことから、3≦k≦2nより
P_A = p(3) + p(5) + … + p(2n - 3) + p(2n - 1)
P_B = p(4) + p(6) +… + p(2n - 2) + {1 - p(2n - 1)
（∵(1)で述べた通り、p(2n)=0 である。そのため、2n回目にBが赤球を取り出す確率は
2n-1回目で3個目の赤球が取り出されない確率、すなわち 1 - p(2n - 1) と表される）

したがって、
P_A = 3{1・2(2n-3) + 3・4(2n-5) + … + (2n-3)(2n-2)・1}/2n(2n-1)(2n-2)
P_B = (3{2・3(2n-4) + 4・5(2n-6) + … + (2n-4)(2n-3)・2} + 2n(2n-1)(2n-2) - 3(2n-3)(2n-2))/2n(2n-1)(2n-2)
2n(2n-1)(2n-2)(P_B - P_A) = 3{2・3(2n-4) + 4・5(2n-6) + … + (2n-4)(2n-3)・2} - 3{1・2(2n-3) + 3・4(2n-5) + … + (2n-3)(2n-2)・1}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + 2n(2n-1)(2n-2) - 3(2n-3)(2n-2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 > 3{2・3(2n-4) + 4・5(2n-6) + … + (2n-4)(2n-3)・2} - 3{2・3(2n-3) + 4・5(2n-5) + … + (2n-2)(2n-1)・1}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + 2n(2n-1)(2n-2) - 3(2n-3)(2n-2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 2n(2n-1)(2n-2) - 3(2n-3)(2n-2) - 3{2・3 + 4・5 + … + (2n-2)(2n-1)}
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = (2n-2)(4n^2 - 8n + 9) - 3Σ[k=1,n-1](2n(2n+1))
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 8n^3 - 22n^2 + 34n -18 -4n^3 + 3n^2 + n
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 4n^3 - 19n^2 + 35n -18
ここで、f(n) = 4n^3 - 19n^2 + 35n -18 とおくと、
f'(n) = 12n^2 - 38n + 35
　　　= 12(n - 19/12)^2 + (420 - 361)/12
　　　= 12(n - 19/12)^2 + 59/12 > 0
よって、f(n)は単調増加関数。
n≧2であり、f(2) = 32 - 76 + 70 -18 = 8 > 0 であるから、f(n) > 0

したがって、2n(2n-1)(2n-2)(P_B - P_A) > 4n^3 - 19n^2 + 35n -18 > 0
n≧2で2n(2n-1)(2n-2) > 0 より、P_B - P_A > 0
∴P_A < P_B

>>153で混乱しちゃって、何か間違っているかもしれない(´д⊂

×{1 - p(2n - 1)
○{1 - p(2n - 1)}

×Σ[k=1,n-1](2n(2n+1))
○Σ[k=1,n-1](2k(2k+1))

おや長助降臨かい。これは縁起がよいのう。。

>>147
京大の有名問題ですね
良問として・・

おはようございます。

>152-156
惜しい。(1)は計算ミスです。
p(k) = (C[k-1, 2]・P[2n-3, k-3]・3・2/P[2n, k-1])(1/(2n - k + 1)) = 3(k - 1)(k - 2)/2n(2n - 1)(2n - 2) . 　（3≦k≦2n-1)
p(2n) =0.
(2)ではp(k)= 3(k - 1)(k - 2)/2n(2n - 1)(2n - 2) . （3≦k≦2n)　として、
P_A = p(3) + p(5) + … + p(2n - 3) + p(2n - 1)
P_B = p(4) + p(6) +… + p(2n - 2) + p(2n)
です。ここからは、p(k)が（3≦k≦2n)で単調増加することを考えれば計算しなくて済みます。
すなわち、 p(3)<p(4) ,p(5)<P(6) ,…,p(2n - 1) <p(2n)
よって、P_A < P_B　■

(ﾉ∀`)ｱﾁｬｰ こりゃ散々だね…

問題を拾ってきてみました。

a > bである正整数a, b について、x_n = a^2 n^2 + 2bn とおく。
実数xに対して、記号 { x } は、xの小数部分(0≦{ x } < 1) とする。
このとき、lim[n→∞]{√x_n} を求めよ。

>160
とりあえず　x_n を評価したいから…
　 a^2 n^2 < x_n=a^2 n^2 + 2bn < a^2 n^2 + 2an +1= (an+1)^2.　（∵ b<a ）
∴an < √x_n < an+1.
∴{√x_n}=√(a^2 n^2 + 2bn) -an =2bn/{√ (a^2 n^2 + 2bn) +an}=2b/{√(a^2 + 2b/n) +a}→2b/(a+a)=b/a.（n→∞）■

[53]
点O を中心とする半径1の円周上に異なる3点A , B , C　がある。次を示せ。
　△ABCが直角三角形　⇔　｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜＝1.

間違った、上の問題番号は[54]です。

三角形ABCは直角三角形より三辺のうち一辺は半径1の円の直径である。よって今かりにABが直径であるとすると、
｜OA↑＋OB↑＋OC↑｜
＝｜2{(OA↑＋OB↑)/2}＋OC↑｜
＝｜2OM↑＋OC↑｜
[ABの中点をMとする]
＝｜3{(2OM↑＋OC↑)/3}｜＝3｜ON↑｜
[CMを2:1に内分する点をNとする] よって直角三角形において、AM＝BM＝CM＝1より
3｜ON↑｜＝1　■

↑初めてこのスレに来たものです。ここは他と違ってなかなかのインテリ軍団がそろってますね。ただ携帯からなので答案打つのだるいですorz

↑↑MはO結局一致するからわざわざMと書かなくてもよかったですねorz

俺だけインテリではない圏について

>>161
正解です。
[出題元　日本数学オリンピック1994年予選] らしいです。

同じ記号を用いた問題。

負でない実数a に対し、0≦r<1で、a - r が整数となる実数r を{ a } で表す。
すなわち、{ a }は、a の小数部分を表す。
(1) { nlog2 } < 0.02 となる正の整数n を1つ求めよ。
(2) 10進法による表示で2^n の最高位の数字が7となる正の整数n を1つ求めよ。
ただし、0.3010 < log2 < 0.3011, 0.8450 < log7 < 0.8451 である。

>164-166
初めまして。逆もやってみてください。

>168
(1)n=10
(2)(;´Д`)？　わかんない。

(2)n=46. 当てずっぽうｗ

>>169-170
数字は合ってます。
記述の方どうぞ。

(´-`).｡ｏO(記述も何もないような気もするのだが…)
n=46のとき、2^n の最高位の数字が7となることを示す程度でOK、だと思う。

(2)13.8460 <log2^46=46log2 <13.856
∴13<log2^46<14　⇔　10^13<2^46<10^14
よって　2^46　は14桁の数。
2^46=b*10^13　とおくと　
logb*10^13=log2^46
13+logb=46log2
log7 < 0.8451< 0.8460 <logb={46log2}<0.856<0.903< log8
∴[b]=7
∴2^46　は最高位が7の14桁の数。■

(i)7<=2^n<8
(ii)70<=2^n<=79

(i)
底を１０にとる。底は１より大きいので、対数をとると
log7<=nlog2<log8
log7<=nlog2<3log2

(ii)
同様にして考える。ちょっと考えてみただけだけど一般化できないかなぁ・・ｚ

やり方も一応書いておきまつ。
0.8450 <log7 < {nlog2}< log8 < 0.9033 をみたす自然数n を求めて調べた。

>>172,174
正解です。

log(7*10^k)≦ nlog2 < log(8*10^k) を考えると、
k + log7 ≦ nlog2 < k +log8
0 < log7 < 1, 0 < log8 < 1 だから、結局
log7 < {nlog2} < log8

さて、ここから先ですが、一応(1)がヒントになってます。
0.010 < {10log2} < 0.011
さらに、2^6=64 と最上位の数が6になる。
1.8060 < 6log2 < 1.8066
0.8060 < {6log2} < 0.8066
0.8160 < {16log2} < 0.8176
…
0.8460 < {46log2} < 0.8506
0.8450 < log7 < {46log2} < log8 < 0.9033
∴n=46

……本当に本番ですぐにこれを思いつくのかと聞かれると、ちょっと疑問。
あてずっぽうでいったら時間がなくなりそうだし。

大数の受験報告にはこれを思いついた人は1人だけ。あとはみんな(1)○(2)×
僕も当然のように(2)は思いつかず。

[出題元　'01京大後期理系　C***]

>>173
全然関係ないけど、 <= って、なんかプログラミングみたいですね。

>175
thx.　時間内には無理そうですね。調べてみたところ、
青チャートに一応類題がありましたが、明らかにそれよりムズイです。
京大後期（　ﾟдﾟ）

一問投下して眠ります。次に来るのは明朝7時〜10時の予定。
今日は寒かった(((( ；ﾟДﾟ)))　


[55]
3つの数 z , z^2 , z^5 の虚部が一致するような虚数 z をすべて求めよ。
但し、0　は虚数に含めないものとする。

>>177
なかなかうまくいかない。

もう眠いので寝よう。

僕も一問投下。
1 または -1 からなる数列 a_1, a_2, …, a_n において、そのうちのm個が 1 で、(n - m)個は -1 とする。
k = 1, 2, …, n に対し、b_k = (1/2)(k a_k + Σ[j=1, k] a_j ) とおく。集合{ b_k | 1≦k≦n } を求めよ。

b_k の取りうる値を列挙せよということですね。

z = 1/2 + (√11/2)i

まだある？それともこれも間違い？
全然頭が冴えない…

ここは京大志望者が多いんですか？
それとも京大の過去モンが良問多いからかなー。
#>>173は途中まで自己解決しました

おはようございます。

>179
一つは　z = 1/2 + (√11/2)i. で合ってますが、まだあります。

>178
むずい。物理やりながら考えます。
今日中にはなんとか解答を書き上げたいと思いまつ。

>>180
僕が京大志望なだけかも。

>>181
まだあるんですか。
もうちょっと考えてみようかな…

±(√11/2)i にすればいいのかな？

z = a(cosx + isinx) とおく (aは正の実数, 0 < x < 2π, x≠π)
ド・モアブルの定理より、
z^2 = a^2 (cos2x + isin2x)
z^5 = a^5 (cos5x + isin5x)

これらの虚部が一致するから、
asinx = a^2 sin2x = a^5 sin5x
⇔ sinx = asin2x = a^4 sin5x
これは、sinx = asin2x と sinx = a^4 sin5x の連立方程式となる。

sinx = asin2x = 2asinxcosx
cosx = 1/2a (∵sinx≠0)
aは正の数だから、cosxも正の数。よって、0 < x < π/2, 3π/2 < x < 2π
(x=π/2, 3π/2 の時は2乗するとzが実数となるため、不適となることは自明)
0 < x < π/2 のとき、sinx = √(1 - 1/4a^2)
3π/2 < x < 2πのとき、sinx = -√(1 - 1/4a^2)

ここで、
sin5x = sin2xcos3x + sin3xcos2x
　　　 = 2sinxcosx(4cos^3 x - 3cosx) + (3sinx - 4sin^3 x)(2cos^2 x - 1)
　　　 = 8sinxcos^4 x - 6sinxcos^2 x - 6sinxcos^2 x - 3sinx - 8sin^3 x cos^2 x + 4sin^3 x
　　　 = sinx(8cos^4 x - 8sin^2 x cos^2 x + 4sin^2 x - 3)
sinx = a^4 sin5x より、
sinx = a^4 sinx(8cos^4 x - 8sin^2 x cos^2 x + 4sin^2 x - 3)
⇔ a^4 (8cos^4 x - 8sin^2 x cos^2 x + 4sin^2 x - 3) - 1 = 0

以下、cosx, sinx を代入した計算を省略…

0 < x < π/2 のとき、
a^4 - 3a^2 + 1 - 1 = 0
a^2(a^2 - 3) = 0
a > 0 より、a = √3
cosx = √3/6, sinx = √33/6
z = √3(√3/6 + (√33/6)i)
　= 1/2 + (√11/2)i

3π/2 < x < 2πのときも、
a^2(a^2 - 3) = 0, a = √3
cosx = √3/6, sinx = -√33/6
z = 1/2 - (√11/2)i

以上より、z = 1/2 ±(√11/2)i

これでどうでしょう？まだ不足かなぁ…

理論化学の標準問題の誘導を消してみると…

ともに1価のカルボン酸である酢酸と酪酸の電離定数をK_AC, K_BUとすると、
それらの値は K_AC = 1.75 * 10^(-5) mol/l, K_BU = 1.51 * 10^(-5) mol/l である。
いま酢酸0.20mol/l と酪酸0.10mol/l とをともに含む水溶液があるものとする。
この溶液のpHを求めよ。
必要なら、log2 = 0.3010, log3 = 0.4771, log7 = 0.8451 を用いよ。

これだけだと難しいだろうか？


さて、勉強に戻るか。

>>183-184
乙。正解です。別解は後ほど紹介する予定。
[出題元　Ｔ大ＯＰ過去問]　平均得点率　52.5％

>185
やってみます！

[化学4]
ZnS は水に溶けるとき Zn(2+) と S(2-) に分かれて溶けるが、純水にはほとんど溶
けない。しかし、水中の H+ 濃度を上げていくと溶解度が増加していく。 ZnS
の溶解度が 10^(-2)mol/l になるのは、 H+ 濃度(mol/l)がいくらになったときか。
有効数字1桁で求めよ。ただし、このとき、水溶液中では、各種イオン、分子の
濃度について、以下の関係式が成り立っている。
[Zn(2+)][S(2-)]=10^-22 (mol/l)^2
[H+][HS-]/[H2S]=10^-7 (mol/l)
[H+][S2-]/[HS-]=10^-13 (mol/l)

>>185
水溶液中の酢酸(HA1)と酪酸(HA2) の電離度、濃度をそれぞれ、a , b , C1[mol/l] ,C2[mol/l]　とする。
K_AC=[H+][A1-]/[HA1]=(C1a +C2b)*C1a/C1(1-a)=(C1a +C2b)*a/(1-a)≒(C1a +C2b)*a　（←　(1-a)≒1　と近似した。）
K_BU=[H+][A2-]/[HA2]=(C1a +C2b)*C2b/C2(1-b)=(C1a +C2b)*b/(1-b)≒(C1a +C2b)*b　（←　(1-b)≒1　と近似した。）
この二式より
C1K_AC +C2K_BU =(C1a +C2b)^2=[H+]^2
∴[H+]=√(C1K_AC +C2K_BU)=√(0.2*1.75*10^-5 +0.1*1.51*10^-5)=(√5.01)*10^-3≒(√5)*10^-3[mol/l].
∴pH=3-1/2*(1-log2)=2.5+1/2*0.3010=2.5+0.1505=2.6505≒2.65. ■


注）log5=log(10/2)=1-log2 の関係を用いた。

>>178
とりあえず m=0 のとき、と　m=n のとき　だけ調べました。

m=0 のとき、a_n=-1 なので、
b_k = (1/2)(k a_k + Σ[j=1, k] a_j )=(1/2)(-k-k)=-k.
∴{ b_k | 1≦k≦n }={-n ,-(n-1) , …, -1}.

m=n のとき、a_n=1 なので、
b_k = (1/2)(k a_k + Σ[j=1, k] a_j )=(1/2)(k+k)=k.
∴{ b_k | 1≦k≦n }={1 ,2 , …, n}.


残りはあとで。問題を投下したので、一旦age

今日なんか数学から遠ざかってませんかw化学の方向に。。。

>>190
ここの人は数学がデキるからかも・・
とコテハンを捨てた人が言ってみる

>>188
正解、だと思う。

[H+] ≒ 2.24 * 10^(-3)
pH = 5 - log224
　　= 5 - 5log2 - log7
　　= 5 - 1.5050 - 0.8451
　　= 5 - 2.3501
　　= 2.6499 ≒ 2.6 (有効桁数2桁)
誤差の範囲で大丈夫…、たぶん。

[出題元 '98慶應・医]
なお、誘導は>>188の過程をいくつかに分けただけ。

>>189
そこまではOKです。

>>187
ZnSが10^-2mol/l溶解する時、電離により
[Zn(2+)] = [S(2-)] = 10^-2(mol/l) のイオンが溶液中に存在。
しかし、H2S ⇔ 2H+ + S(2-) の平衡反応により、H2Sが発生するため、
反応後には [Zn(2+)] > [S(2-)] となる。
[Zn(2+)][S(2-)] = 10^-22(mol/l)^2 だから、[S(2-)] = 10^-20(mol/l) となっていると考えられる。
最初のH+濃度がx(mol/l)であったとすると、平衡時には
[S(2-)] = 10^-2 - (10^-2 - 10^-20) = 10^-20 (mol/l) となるから、
[H+] = x - 2(10^-2 - 10^-20) (mol/l)
[H2S] = 10^-2 - 10^-20 (mol/l)

[H+][HS-]/[H2S]=10^-7 (mol/l)
[H+][S2-]/[HS-]=10^-13 (mol/l) より、
[H+]^2 [S(2-)]/[H2S] = (x - 2(10^-2 - 10^-20))^2 * 10^-20/(10^-2 - 10^-20) = 10^-20
10^-2 >> 10^-20 であるから、10^-2 - 10^-20≒10^-2 と近似し、
(x - 2*10^-2)^2 * 10^-20/10^-2 = 10^-20
x^2 - 4*10^-2 x + 4*10^-4 = 10^-2
x^2 - 4*10^-2 x - 9.6*10^-3 = 0
x = 2*10^-2 ±√(4*10^-4 + 3.84*10^-4)
　= 2*10^-2 ±√7.84 * 10^-2
　= 2*10^-2 ± 2.8 * 10^-2
x > 0 より、x = 4.8*10^-2
[H+] = 4.8*10^-2 - 2(10^-2 - 10^-20) ≒ 3*10^-2(mol/l)

どうだろう？　(・∀・)ﾄﾞｷﾄﾞｷ

x = 2*10^-2 ±√(4*10^-4 + 9.6*10^-3)
　= 2*10^-2 ± 10^-1
x > 0 より、x = 0.12
[H+] = 0.12 - 2(10^-2 - 10^-20) ≒ 0.1(mol/l)

解の公式を間違えていた。

>190
平衡定数のあたりは数学っぽい気がします。

>192
さんくす。
書き込んでから「有効数字3桁」だとちょっとマズイかも、と思ったが、許容範囲内かな。
俺の頭はつねに有効数字2桁です。

>>193-194
正解です。

寝る前に1〜2問投下する予定。

[56]
x の方程式　x^4 + (2p)x^3 + (p^2)x^2 - (2p)x -(2p^2) -1 = 0 に関する次の問いに答えよ。ただし、p は与えられた正の数とする。
(1)正の解は1つしかないことを示せ。
(2)(1)の解を　α(p)　とするとき、lim[p→∞]α(p)　を求めよ。


[出題元　質問スレ]

>>162
[53]
△ABCが直角三角形　⇒　｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜＝1.
（証明）
∠Aが90°として一般性を失わない。このとき、辺BC　は円の直径となるから、
OB↑　+　OC↑=0↑.　また、3点 A , B ,C は点Oを中心とする円周上にあるから、
|0A↑|=|OB↑|=|OC↑|=1.
∴｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜=|OA↑|=1.■


逆の証明はまだ誰もやってないので、どなたかどうぞ。

>>178
（続き）
m≠0 , n のとき
b_k = (1/2)(k a_k + Σ[j=1, k] a_j ) =(a_1+a_k)/2 +(a_2+a_k)/2 + …　+(a_k+a_k)/2.
a_k=1 のとき、b_k は　{ a_k | 1≦k≦n } の中の1の個数.
a_k=-1 のとき、b_k=-{(-a_1 +1)/2 +(-a_2 +1)/2 +…　+(-a_k +1)/2} と考えると、同様に、
b_k は　{ a_k | 1≦k≦n } の中の-1の個数を-1倍したもの.
∴{ b_k | 1≦k≦n }={-(n-m) ,-(n-m-1) , …, -1 ,1 ,2 ,…,m}. ■

今日はここまで。次に来るのは明朝8：50〜10：30　の予定。
問題を投下したので、一旦age

赤茶って神の領域なんじゃ・・・

>>199
おぉ、すごい。
しかし、この問題良くできてるなぁ。

[出題元　'01京大後期文系 D***]
文系にこれを出すのは鬼としか…

>>201
実は告白すると僕は赤茶をやったことがない。
なんとなくスレを開いてみたら、面白そうな問題があって書いてみただけなので。
やったのは4STEPと、青茶を少しと、ハイ理を1周とちょっとぐらい。学校教材でプラチカI・A・II・Bもやった。
ハイ理は未だに理解できていない（= その程度のレベル）
40氏との演習量の差は明らか。

現在は京大の過去問を演習中。加えてここの問題。
浪人したら新数学演習でもやってみようか…
って、今から浪人を考えてどうするんだろう。

旧赤茶は近くの本屋でII・B・III・Cが売ってますが、どうも買う気にはならない。（I・Aはもう在庫僅少？）


京都へ出発20日前（雪の影響を考え早めに出る）。ラストスパートですね。
物理･英語のあと時間があれば上の問題をやってみましょうか。
長文失礼。

>>198
[53]
｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜＝1 ⇒ △ABCが直角三角形 を示す。

｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜^2 = 1
｜OA↑｜=｜OB↑｜=｜OC↑｜= 1 より、
3 + 2(OA↑・OB↑ + OB↑・OC↑ + OC↑・OA↑) = 1
OA↑・OB↑ + OB↑・OC↑ + OC↑・OA↑ = -1
∠AOB = α, ∠BOC = β, ∠COA = γ とおくと、
cosα + cosβ + cosγ = -1
α+β+γ = 2π だから、 γ = 2π - (α+β)
また、三角関数の和積の公式を利用し、
2cos((α+β)/2) cos((α-β)/2) + cos(α+β) = -1
2cos((α+β)/2) cos((α-β)/2) + 2cos^2 ((α+β)/2) - 1 = -1
2cos((α+β)/2) (cos((α+β)/2) + cos((α-β)/2)) = 0
4cos((α+β)/2) cos(α/2) cos(β/2) = 0
よって、(α+β)/2 = π/2, α+β = π, γ = π
or α/2 = π/2, α = π
or β/2 = π/2, β = π

したがって、α, β, γ のうち、どれかはπであることがわかる。
これは、△ABCの3辺のうち、どれか1辺は外接円の中心を通ることを示す。
⇔△ABCは直角三角形。
以上より、命題は証明された。

>>197
[56]
(1) f(x) = x^4 + 2px^3 + p^2 x^2 - 2px - 2p^2 -1 とおくと、
f'(x) = 4x^3 + 6px^2 + 2p^2 x - 2p
f''(x) = 12x^2 + 12px + 2p^2
　　　= 2(6x^2 + 6px + p^2) = 0
x = (-3p ± √(9p^2 - 6p^2))/6 = (-3 ± √3)p/6 < 0 (∵p > 0)
f''(x)は下に凸だから、f''(x)=0 の解が0より小さいことより、x > 0 において f''(x) > 0
⇔ x > 0 で、f'(x)は単調増加。
f'(0) = -2p < 0 より、f'(x)=0 は x > 0 で解を1つもつ。
この解をβとすると、f(x)は、
0 < x < β で単調減少 (∵f'(x) < 0)
β < x < 0 で単調増加 (∵f'(x) > 0)
f(0) = -1 < 0 だから、f(x)=0 は、x > β > 0 で正の解を一つだけもつ。
∴題意は示された。

(2)x = α(p) を代入すると、
{α(p)}^4 + 2p{α(p)}^3 + p^2 {α(p)}^2 - 2pα(p) - 1 = 0
{α(p)}^4/p^2 + 2{α(p)}^3/p + {α(p)}^2 - 2α(p)/p - 1/p^2 = 0
lim[p→∞]({α(p)}^4/p^2 + 2{α(p)}^3/p + {α(p)}^2 - 2α(p)/p - 1/p^2) = lim[p→∞]{α(p)}^2 = 0
∴lim[p→∞]α(p) = 0

(2)は全く自信無し。何か違う気がする。

訂正。
×f''(x)=0 の解が0より小さい
○f''(x)=0 の2つの解が0より小さい

×β < x < 0 で単調増加
○β < x で単調増加

×x > β > 0 で正の解を一つだけもつ
○x > β > 0 で解を一つだけもつ。

では寝ます。

>>203
昨日寝る直前で気付いた訂正。

｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜＝1 ⇒ △ABCが直角三角形 を示す。

△ABCが鈍角三角形のとき、点A, B, C は全て点Oに対して同じ側にあるので、
｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜ > 1
よって、以下では△ABCは鈍角三角形ではないとして考える。

…以降同じ。


これがないと、α+β+γ = 2πとは限らないので不適だと思う。
しかし、僕訂正が多いな。まずいかも。

おはようございます。

とりあえず、すぐレスできるものを。
>>204
(2)やり方は合ってますが、計算ミスです。定数項は　- 2p^2α(p) - 1 です。
x = α(p) を代入すると、
{α(p)}^4 + 2p{α(p)}^3 + p^2 {α(p)}^2 - 2pα(p)- 2p^2α(p) - 1 = 0
{α(p)}^4/p^2 + 2{α(p)}^3/p + {α(p)}^2 - {2α(p)/p} -2- 1/p^2 = 0
lim[p→∞]({α(p)}^4/p^2 + 2{α(p)}^3/p + {α(p)}^2 - {2α(p)/p} -2 - 1/p^2) = lim[p→∞][{α(p)}^2 -2] = 0
∴lim[p→∞]α(p) = √2. (∵α(p)>0) ■

「今日の1題」(2/25まであと22日)
f(x)を実数全体で定義された連続関数で、x > 0 で 0 < f(x) < 1 を満たすものとする。
a_1 = 1 とし、順に、a_m = ∫[0, a_(m-1)]f(x)dx (m = 2, 3, 4, …) により数列{a_m}を定める。
(1) m≧2 に対し、a_m > 0 であり、かつa_1 > a_2> … > a_(m-1) > a_m > … となることを示せ。
(2) 1/2002 > a_m となるm が存在することを背理法を用いて示せ。

>>207
やっぱり間違ってる…
もうだめぽ。

今日は図書館にいく日。問題を投下してから出かけます。レスは家に帰ってからします。


■合同式の定義■
2つの整数a，bがあり、a-bが自然数cで割り切れるときに、
aとbはcを法(ほう)として合同であるといい、a≡b (mod c)と書く。
例えば、12≡5≡-2(mod7) となる。


[57]
3以上の奇数a と自然数 x ,y に対して　2^x =a^y +1 が成り立つとき、次の問に答えよ。
(1)m　を奇数、n を自然数とするとき m^n を4で割った余りを求めよ。また、y は奇数であることを示せ。
(2)y=1 であることを示せ。

>208
考えてみます。

>>208
(1)
(i)与えられた漸化式より、
a_2 = ∫[0, a_1]f(x)dx = ∫[0, 1]f(x)dx > ∫[0, 1]0dx =0. (∵x>0 でf(x)>0)
a_m>0 (m≧2) と仮定すると、与えられた漸化式より
a_m+1 = ∫[0, a_m)]f(x)dx >∫[0, a_m]0dx >0.(∵x>0 でf(x)>0)
∴2以上のすべての自然数 m について　a_m>0 が成り立つ。■
(ii)
与えられた漸化式より、
a_m = ∫[0, a_(m-1)]f(x)dx <∫[0, a_(m-1)]1dx = a_(m-1) （∵x>0 で　f(x)<1 )
a_1=1>0. であるから、m≧2 で成立する。
∴a_1 > a_2> … > a_(m-1) > a_m > … となることが示された。■

(2)
2以上のすべての自然数 m について a_m≧1/2002　が成立すると仮定する。
(1)より{a_m}　は単調減少数列で、下に有界であるから収束する。極限値をαとすると
a_m→ α.（m→∞)　, α≧1/2002　.与えられた漸化式
a_m = ∫[0, a_(m-1)]f(x)dx で m →∞　とすると、
α= ∫[0, α]f(x)dx < ∫[0, α]1dx = α. (∵ x>0 でf(x)<1) となって矛盾。
よって　1/2002 > a_m となるm が存在することが示された。■

(2)では「単調で有界な数列は収束する」という定理を用いた。
大数　微積分基礎の極意　に、

『(上の定理は)教科書にはないが、感覚的に明らかなので
　入試で使っても減点されないだろう』

と書いてあったので使わせてもらった。赤茶�Vの主題25の右のページにも書いてあるし。

>>204-205
(1)正解です。が、少し回り道をしていますね。
x > 0 において f''(x)=12x^2 + 12px + 2p^2 > 0 は自明かと。（∵p>0)

俺も最初は月影ﾀﾝと同じやりかたで示しました。が、あとで考えてみるともう少し簡潔に表現できました。それを書いておきます。
f(x) = x^4 + 2px^3 + p^2 x^2 - 2px - 2p^2 -1 とおくと、
f'(x) = 4x^3 + 6px^2 + 2p^2 x - 2p
f''(x) = 12x^2 + 12px + 2p^2>0 (x>0)
∴f(x) は下に凸.　また、
f(0)=- 2p^2 -1 <0 (∵p>0) , lim[x→∞]f(x)=∞.
ゆえにf(x)=0 の正の解は1つしかないことが示された。■


また、質問スレの方は次のような痛快な変形をして直ちに結論を導いていました。
x^4 + (2p)x^3 + (p^2)x^2 - (2p)x -(2p^2) -1 = 0 ⇔　x^2(x+p)^2＝2px+2p^2+1 .
左右のグラフを考えれば自明。　蛇足ながら説明をしますと、
y=x^2(x+p)^2 は x=0 ,p で x 軸に接する4次関数だから、増減表を書くまでもなくグラフの形が分かる。
一方　y=2px+2p^2+1 は傾きが正の直線だから、y=x^2(x+p)^2　と　x>0 で　一点で交わる。
よって結論が言える。

訂正
x=0 ,-p で x 軸に接する4次関数だから、

残りはあとでレスします。
問題を投下しているので一旦age

>>211-213
問題なしですね。
よくある西暦にちなんだ問題（この場合数字はあんまり関係ないけど）
[出題元 '02名大前期理系]

「単調で有界な数列は収束する」 覚えておこう。

>>214
＞x > 0 において f''(x)=12x^2 + 12px + 2p^2 > 0 は自明
言われてみれば当たり前だ。気付かないとは…。
もう少し注意深く書かないとね。

質問スレの別解は綺麗だ。思いつかないよ、普通。

>>203 , 206
△ABCが鈍角三角形のとき、「点A, B, C は全て点Oに対して同じ側にあるので」、
｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜ > 1

これは自明ではない気がするのですが。理由を以下に述べます。
今、単位円 x^2 + y^2= 1 を考えます。
例えば、極端な場合を考えて、
A(sin1°, cos1°)
C(sin178°, cos178°)
とすれば、点A, B, C を全て点O(0 , 0)に対して同じ側にあるようにして、
｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜ = 1 とするような点B がとれる可能性があるのでは？
（ベクトル和を作図してみて下さい。）
だから、鈍角三角形の場合も鋭角三角形と同じように、議論の対象となるように思います。
これに関してご意見いただけたらと。（俺の考えに絶対的な確信はないので。）

なお、>>209の [57]　はまだ誰も解いていないようなので、今日は問題投下なしの予定。
寝る前にまた来ます。

>217
thx.
数学に関しては、どこまでも上に人がいるように感じます、大学受験の数学の範囲に限っても。
「そんなの、どうやったら思いつくんだ？」っていうのがしばしばありますからね。(;´Д`)

>>218
ある点について点A, B, C が同じ側にある
⇔ある点を通る直線が平面を2つに分ける時、点A, B, C が同じ平面上にある

ということでいいですよね？
この定義からいけば、△ABCが鈍角三角形となる場合は
点A, B, C は全て点Oについて同じ側にあるとしてもよいはずです。

では、以下40氏の疑問点について述べます。
点A, B, Cは原点Oを中心とする単位円上にある点とする。
まず、点A, Bを原点Oについて同じ側にとる。
そして、∠AOBを二等分するようにy軸をとり、原点でy軸と直交するようにx軸をとる。
このとき、点A, B のy座標はともに正となるようにする。
(この場合、点Oを通り平面を2つに分ける直線はx軸であることがわかるかと思います。)
すると、ベクトル OA↑ + OB↑ はx軸に垂直な、つまりy軸方向のベクトルになる。
よって、点C を原点Oについて点A, B と同じ側にとるとすると、点Cのy座標も当然正であるから、
原点Oを始点とした時、ベクトル OA↑　+　OB↑　+　OC↑ の指す点は必ず単位円の外側の点になる。
すなわち、｜OA↑　+　OB↑　+　OC↑｜ > 1

だと思うのですが…
もしこれがあっていたとしても、自明とするのはまずいのだろうか？

(； ´Д｀）ﾄﾞｳﾅﾝﾀﾞﾛｳ…

>>209
[57]は(1)まで解いてみたけど、今日はこのあと別の勉強をするので保留。
誰か解いてみたい人は是非どうぞ。
(´-`).｡ｏO( (1)で合同式を使ってないのだが…。今まで、合同式の存在を知ってても全く使ったことがないというのもあるけど…)

今から読んで考えます。
なお、合同式を使うか使わないかは趣味の問題だと思うので、使わなくてもO.Kです。
>>203 , 206 ,221 については明日レスします。おやすみ。

「今日の1題」(2/25まであと21日)
2次関数 f(x) = -(3/2)x^2 + (5/2)x +1 は、f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a （a, b, cは整数）を満たしている。
次の各問いに答えよ。
(1)a≠b, b≠c, c≠aを示せ。
(2){ x｜f(x) > x }∩{a, b, c}≠φを示せ。
(3)a, b, c を求めよ。

濃い問題だなー

>>221
なるほど。理解しました。
ただ、やはり説明は必要な気がします。
その文章と、図を書いておくといいと思う。

>>209
(2)がわからないので、(1)だけ。

[57]
(1) k, X を0以上の整数、l を自然数とする。

(i) m = 4k+1 のとき、
常に m^n≡1(mod4) であると予想し、数学的帰納法で証明する。

n=1 のとき、4k+1≡1(mod4) なので、予想は成り立つ。
n=l のとき、予想が成り立つと仮定すると、
(4k+1)^l = 4X+1 と表すことができる。
このとき、(4k+1)^(l+1) = (4X+1)(4k+1)
　　　　　　　　　　　　　　= 16kX + 4X + 4k + 1
　　　　　　　　　　　　　　= 4(4kX + X + k) + 1≡1(mod4)
よって、n=l+1 のときも予想は成り立つ。
これは全てのnに対して予想が成り立つことを示す。
∴m = 4k+1 のとき、m^n≡1(mod4)

(ii) m = 4k+3 のとき、
(4k+3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1≡1(mod4)
よって、(i)より (4k+3)^(2l)≡1(mod4)
また、(4X+1)(4k+3) = 16kX + 4X + 4k + 3
　　　　　　　　　　　　= 4(4kX + X + k) + 3 ≡3(mod4) であり、
4k+3≡3(mod4) であるから、
(4k+3)^(2l-1)≡3(mod4) であることがわかる。

以上より、
m = 4k+1 のとき、m^n を4で割ると1余る。
m = 4k+3 かつ n = 2l-1 のとき、m^n を4で割ると3余る。
m = 4k+3 かつ n = 2l のとき、m^n を4で割ると1余る。

この結果から、yが偶数のとき、
a^y = 4X+1 の形で表すことができるが、これを 2^x =a^y +1 に代入すると、
2^x = 4X + 2 両辺を2で割って
2^(x-1) = 2X + 1 となり、右辺が奇数となってしまう。
左辺が奇数となるのはx=1 の時だけだが、
1 = 2X + 1 であり、x=1 は不適であることがわかる。(∵X=0となるのはa=1の時だが、a≠1)
よって、yは偶数ではなく奇数である。


試しに合同式を使ってみましたが…

>>223
(1)
f(a)= -(3/2)a^2 + (5/2)a +1 =b …�@
f(b)= -(3/2)b^2 + (5/2)b +1 =c …�A
f(c)= -(3/2)c^2 + (5/2)c +1 =a …�B

�@-�Aより -(3/2)(a^2-b^2) + (5/2)(a-b) =b-c …�C
�A-�Bより -(3/2)(b^2-c^2) + (5/2)(b-c) =c-a …�D
�B-�@より -(3/2)(c^2-a^2) + (5/2)(c-a) =a-b …�E

a=b≠c と仮定すると�C式より　0=b-c ⇔ b=c となって矛盾。
a≠b=c と仮定すると�D式より　0=c-a ⇔ a=c となって矛盾。
a=c≠b と仮定すると�E式より　0=a-b ⇔ a=b となって矛盾。
a=b=c　と仮定すると�@式より　-(3/2)a^2 + (5/2)a +1 =a ⇔ a=(3±√33)/6.
となって a が整数であることに矛盾。
以上より、a≠b, b≠c, c≠a　であることが示された。■

(2)以降が分かんない。
f(x) > x　⇔　 -(3/2)x^2 + (5/2)x +1 >x. ⇔　(3-√33)/6<x<(3+√33)/6.…�F
で、f(0)=1 ,f(1)=2 , f(2)=0 だから {a , b , c} の要素に　0, 1 , 2 がある。
{ x｜f(x) > x }={ x｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}={0 , 1} となった。
どこか間違ってる？(;´Д`)？

>>226-227
正解です。

>>229
あってますよ。
{ x｜f(x) > x }={ x｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}={0 , 1} ⇔ { x｜f(x) > x }∩{a, b, c}≠φ だし。

(3)の方をどうぞ。
{a , b , c} の要素に　0, 1, 2 があることがわかっているので簡単だと思います。

>>231
{ x｜f(x) > x }∩{a, b, c} = {0, 1} ⇒ { x｜f(x) > x }∩{a, b, c}≠φ
だな…

皆さん大変恐れ入ります。
水を差すのも恐縮ですが、数学の質問お願いします。
更に恐縮してしまうぐらい低レベルの質問ですけど、どうかお願いします。

次の２つの不等式を証明せよ。
(1)sinπx≧πx(1-x) ただし0≦x≦1
(2)∫（０→１まで）cos(πx^p/2)dx＞pπ/2(2p+1)

です。(1)は普通にf(x)でおいてf''(x)まで求めればよいだけです。
問題は(2)、これもcosをsinに変換して(1)の結果を利用すれば良いのですが、
さて。何故結論が≧でなくて＞なのでしょう。悩んでいます。
そう言うところは厳密にしないと行けないのでは・・・と思いつつ、
なぜ＝が消えたのか理解に苦しんでいます。どうか助言お願いします。

更に同じような話しでもう一問、
f(x)=sinx +cosx (0≦x≦π/2)について、以下を証明せよ。

(1)方程式x=f(x)は、ただ一つの解を持つ。
(2)、(1)の解をx0とすると、1＜x0＜√2が成立する。
(3)ｓ、ｔが1≦s＜t≦√2を満たす時、
｜f(s)-f(t)｜≦｜f'(√2)｜・｜s-t｜
が成立する。

これも同じような問題で、特に（１）（２）については問題ないと思います。
問題は（３）、これは平均値の定理ですが、
これまたどうして＜でなくて≦になってしまったんでしょう？
どうかんがえても＝にはならないのでは・・・と頭を抱えています。
どうかみなさん、お知恵を貸して下さい。お願いします。
ちなみに一問目は和歌山医大、２問目は筑波大の問題です。

>>231-232
(2)は問題文を読み違えていた。>>229　で合ってたのね。

(3)は
{a , b , c} =　{0, 1, 2} 以外になさそうなんですが、証明が分からん。
give up.

>>235
示されている解答例を以下に貼っておきます。

[出題元　第17回北海道高等学校数学コンテスト]
http://www.nikonet.or.jp/spring/contest/contest_17/kaitou_4.htm

何かお悩みのようなので、この解答で疑問があれば僕も考えてみます。

>>236
ありがとう。なんか余計なことばかり考えてたみたい。
お尋ねしたいのですが、(2)と(3)まとめて >>229の解答 でいいのではないでしょうか？
もう一度下に書きます。↓

[解答]
f(x) > x　⇔　 -(3/2)x^2 + (5/2)x +1 >x. ⇔　(3-√33)/6<x<(3+√33)/6.…�F
で、f(0)=1 ,f(1)=2 , f(2)=0 だから {a , b , c} の要素に　0, 1 , 2 がある。さらに、a , b ,c は整数だから、
{ x｜f(x) > x }={ x｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}={0 , 1} ≠φ. ■　←(2)の証明
(ａ，ｂ，ｃ)＝(0，1，2)，(1，2，0)，(2，0，1) .■　←(3)の答え.

>マゾ氏
模範解答があったら（できれば全部）晒してほしい。

>>233
低レベルではないと思いますよ
医大の数学ですし
ＨＮは捨てましたが共に勉強を頑張りましょう！

>>237
(2)が証明された時点で、{a, b, c}の要素として必ず0と1が存在することがわかるから

という1文が(3)の初めにあるともっと良いような気がします。
(2)では{a , b , c} = {0, 1, 2} があることを利用して証明しているだけなので、
この1文で {a , b , c} = {0, 1, 2} 以外にはないことがはっきりする。(>>235の悩みが解消される)


何か1日が過ぎるのが速いな、最近。

あれ？自分でもなんか言っていることがおかしいような気がしてきた。
いいのかな…

f(0)=1 ,f(1)=2 , f(2)=0
これはf(a)=b, f(b)=c, f(c)=a の関係を満たしている。
よって、{a, b, c}={0, 1, 2}
としても、これ以外にf(a)=b, f(b)=c, f(c)=a の関係を満たすものが存在するとして、
その{a, b, c} の要素の中に0, 1 が含まれていなければ、
{ x｜f(x) > x }∩{a, b, c} = φ
になるような気が…

う〜ん…
模範解答のようにいかないと駄目なのかな？

いや、いいのか。
仮にあったとして、その3数がp, q, r(整数で、0,1,2ではない)だとしても、
{a, b, c}={0, 1, 2, p, q, r}
{ x｜f(x) > x }∩{a, b, c} = {0, 1} ≠φ
かな？
でも、そうなると(3)が…

何だかよくわからなくなってきた（おそらく基本がおろそかなせい）
誰か>>240-242のどこが間違っているのか指摘してください。

仮に関係を満たす3数が合ったとして

です。

×合った
○あった

何故変換が…
すいません。

>240-244
ちょっと他のところでも聞いてきます。
数日以内にその結果を書きます。
現段階ではやはり　>>237　の解答でいいと思ってるのですが。
以下の説明を　>>237　の解答に付け足して。↓


　{ x｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}
={x ,但しｘは整数｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}
={ 0 , 1 }∩{a, b, c}

待てよ。{a , b , c } の要素の中にかならず　{ x｜f(x) > x }　を満たすものが少なくとも一つあることを
言わなければ、(3)のa,b,c の組だけであることが言えないな。とすると、やはり


ａ，ｂ，ｃは異なる３つの整数だから、今、ａが最大の数ならば、ｆ(ｃ)＝ａより
ｆ(ｃ)＞ｃとなり、｛ｘ|ｆ(ｘ)＞ｘ｝にｃは属する。
他も同様に、最大数に対して、ｆ(ｘ)＞ｘを満たすものが存在する。


っていうことは言う必要があるな。これを(3)に書けばO.K.なのかな？　　

多分、そうだ。納得がいった気がする。
もう一度整理して書いてみよう。

>>223
(1)省略
(2)f(x) > x　⇔　 -(3/2)x^2 + (5/2)x +1 >x. ⇔　(3-√33)/6<x<(3+√33)/6.
これを満たす整数はx=0 ,1 に限る。
ここで、f(0)=1 ,f(1)=2 , f(2)=0 だから {a , b , c} の要素に　0, 1 , 2 がある。
∴{ x｜f(x) > x }∩{a, b, c}
={ x｜(3-√33)/6<x<(3+√33)/6}∩{a, b, c}
={0 , 1} ≠φ. ■

(3)ａ，ｂ，ｃは異なる３つの整数だから、今、ａが最大の数ならば、ｆ(ｃ)＝ａより
ｆ(ｃ)＞ｃとなり、｛ｘ|ｆ(ｘ)＞ｘ｝にｃは属する。
他も同様に、最大数に対して、ｆ(ｘ)＞ｘを満たすものが存在する。
このことと、(2)と　f(0)=1 ,f(1)=2 , f(2)=0　より、
(ａ，ｂ，ｃ)＝(0，1，2)，(1，2，0)，(2，0，1) .■　


これでどうだ。

>>247
それなら問題なさそうですね。

北海道高等学校数学コンテストは、おそらく数学オリンピックをかなり意識しています。
数学オリンピックほどではなくても、かなり難しい問題もありますので、
入試が終わって暇があれば挑戦してみては。
制限時間は5問で3時間半です。
http://www.nikonet.or.jp/spring/contest/contest.htm

僕が第22回に出場した（と言うよりも担任に半強制的に（ｒｙ）というのは秘密。

担任「こんなのあるんだけど参加してみない？…えっ、参加しないの？いや、ちょっと冬休み中に来るだけでいいんだよ。
勉強の息抜きになるからさ。どう？参加してみない？えっ？なんｄ（ｒｙ」


あとはマゾ氏の質問でしょうか。

>>248
おお、すごい。そんな大会に出場しておられたとは！
どうりでよくできるわけですね。北海道高等学校数学コンテストについては
大学への数学2004年5月号で問題と講評、生徒のコメントなどが紹介されてました。
以前、検索で引っかかったときに「このサイトは素晴らしいなあ」と思っておりました。

マゾ氏の質問については少し遅くなるかもしれない。今日は物理、英語、化学をやる予定だから。

>>249
その割には上の方で間違いまくっているわけですが。　orz

そういえば「大数に載せる」とかいうアンケートに答えた気が。
現物見てないからわからないけど、たぶん僕のは載ってないとは思うのだけれど。
(´-`).｡ｏO(何て書いたか覚えてないや。かなり適当に書いた気が…)

東大スレの人たちは第22回の問題でも満点とか取って来るのだろうか？
1位の人でも160とちょっとしか取れてないのですが。
3番とか結構難しいですし。


基本問題ですが、どうぞ。

aを 0 < a < π/2 を満たす定数とし、
F(x) = ∫[0, x](t-a)sintdt (0≦x≦3π/2) とおく。
(1) F(x)の0≦x≦3π/2 における最大値と最小値をそれぞれaを用いて表せ。
(2) (1)で求めた最大値と最小値の積を最小にするaを求めよ。
[出題元 '05 関西大・工A]

私大の一般はもう始まってるんですね…

刻々と時間は過ぎていく…

「今日の1題」(2/25まであと20日)
双曲線 x^2 - y^2 = a^2 (a > 0) 上の点P(s, t) (s > 0, t > 0) における法線mが、
双曲線 y^2 - x^2 = b^2 (b > 0) に点Qで接するとする。
(1) s^2, t^2 をa, b で表せ。
(2) OQ/OP をa, b で表せ。また∠POQを求めよ。ただしOはxy平面の原点とする。

>>209の(2)、誰か解かないんでしょうか？（(1)は>>226-227）
僕はもうギブアップかな。いい方法が思いつかない。

おはようございます。>>209の(2)の解答を書いておきます。
これは難問です。[出題元　学コンの過去問]

>>209の(2)
[解答]
(1)よりyは奇数なので、
a^y +1 =(a+1){a^(y-1) -a^(y-2)+ … +a^2 -a +1}　と書ける。
{ }の中の各項は奇数で(∵aは奇数)、それらを y (奇数)個加えたものも奇数である。
一方、a^y + 1 =2^x なので、　{a^(y-1) -a^(y-2)+ … +a^2 -a +1}　は
2^x の奇数の約数であるが、それは1しかない。以上により、
a + 1 =2^x =a^y + 1 ⇔　a +1　= a^y +1 ⇔ a=a^y ⇔　y=1.
ゆえに題意は示された。■

>>252
これは難しい…

レス開始。

>>234
やってみた。

(1)F(x)= f(x)-x =sinx +cosx -x (0≦x≦π/2)　とおくと、
F'(x)=cosx - sinx -1 . (0≦x≦π/2)
F''(x)=sinx - cosx < 0. (0≦x≦π/2)
F'(x) は単調減少.　F'(0) = 0 より、F'(x)≦0. (0≦x≦π/2)
F(x) は単調減少連続関数　で、F(0)= 1>0 , F(π/2)=1-π/2<0.
よって、中間値の定理より方程式　F(x)=f(x) -x =0 は 0<x<π/2 にただ一つの解をもつ。
ゆえに題意は示された。■

>>234
(2)
F(x)=√2sin(x+π/4) -x . (0≦x≦π/2)
F(1)=√2sin(1+π/4) -1 > √2sin(π/2+π/4) -1 =0 .
F(√2)=√2sin(√2+π/4) -√2　< √2sin(π/4+π/4) -√2 =0.
よって、中間値の定理よりF(x)= f(x)-x =0 の解 x_0 は　1<x_0<√2　にある。■

>>234
(3)
f(x) は微分可能関数だから、平均値の定理より
{f(t)-f(s)}/(t-s)≦f'(c). (1≦s<c<t≦√2) なる c がある。よって、
|f(t)-f(s)｜≦|f'(c)||t-s|.
f(x)= sinx +cosx=√2sin(x+π/4). (0≦x≦π/2)
f'(x)=cosx -sinx=√2(cosx+π/4).　(0≦x≦π/2)
∴y=|f(x)| のグラフを書くことにより(省略)
|f'(c)|≦|f'(√2)| だから、|f(t)-f(s)｜≦|f'(c)||t-s|≦|f'(√2)||t-s|. ⇔　|f(s)-f(t)｜≦|f'(√2)||s-t|. ■

>マゾ氏
　「A≦B」⇔「A<B or A=B」　（←これが　≦ の意味！）
∴「A<B」⇒「A≦B」■

投下された問題は一応できたので、あとで書きます。
>>253
ですね。難易度はD# くらいだと思います。
理�V志望の人でも「(2)を解くのに10時間以上もかかった」とのことです。

もう問題がないようなので、一問投下。


[58]
関数f(x)がすべての実数上で連続かつ微分可能とする。
いま、|f'(x)|≦f(x) かつ　f(0)=0 が成り立つとする。このとき次の問に答えよ。
(1)|f(x)| の区間　[0 ,1/2 ] における最大値を求めよ。
(2)f(x) を求めよ。

gjgj

>>259
両方0のような気がするが、うまく表現ができない…

>261
値は合ってます。ヒントを。
(1)方針1：平均値の定理を使って|f(x)| を評価する。f(x_n) として極限を考えるといいです。
方針2：|f(x)| の　[0 ,1/2 ]　での最大値をMとして、f'(x) を　0からx まで積分して、条件を用いてMについての不等式を導く。
（問題文にはf'(x)の積分可能性が直接書いていませんが、「f'(x)　は積分可能として解答しても受験生なら大目にみてもらえるだろう」と解説に書いていました。）

(2)は(1)の結果を用いて、f(x)=0 (1/2≦x≦1)を示せば十分。（∵あとはそれを繰り返せば定義域を拡大していける。）

>>259
[58]
(1)平均値の定理より、
(f(x_n) - f(0))/(x_n - 0) = f'(c) (0 < c < x_n, 0≦x_n≦1/2) を満たすcが存在する。
|f'(x)|≦f(x) より、|f'(c)|≦f(c) であるから、
|f(x_n)/x_n|≦|f(c)|
|f(x_n)|≦|x_n||f(c)|
ここで、0≦x_n≦1/2 であるから、
|f(x_n)|≦|x_n||f(c)|≦|f(c)|
しかし、0 < c < x_n であるから、x_nよりも小さいx座標において、
|f(x)|は|f(x_n)|以上の値を取らなければならない。
初めにx_n = 1/2 から考え、これを繰り返していくと、結局
|f(1/2)|≦|f(1/2 - �凅)|≦…≦|f(0)|=0 だから、
|f(1/2)|=|f(1/2 - �凅)|=…=|f(0)|=0
よって、区間[0, 1/2] における|f(x)|の最大値は0。

(2)上のような考えを実数全体で考えていけば、
全てのxに対して、f(x)=0


こんなのじゃ駄目だろうか？

>>251
[解答]
(1)
P　における接線をｌとすると、ｌ： st-ty=a^2.
P　における法線は t(x-s) +s(y-t)=0 …�@
また、Q(u ,v) として、Qにおける　y^2 - x^2 = b^2　の接線ｍは
ｍ : -ux +vy = b^2 …�A
�@ ⇔ (1/2s)x +(1/2t)y =1. (∵st≠0)
�A ⇔ -(u/b^2)x +(v/b^2)y = 1.　(∵b^2≠0)
�@と�Aは一致する　⇔ (1/2ｓ)=-(u/b^2) かつ (1/2t)=(v/b^2)　⇔　u=-b^2/2s かつ v=b^2/2t .…�B
これらを　-u^2 +v^2 =b^2 に代入して
　 -b^4/4s^2 +b^4/4t^2 =b^2
⇔ b^2(-t^2 +s^2)=4s^2t^2. (∵s^2t^2≠0)
また、s^2-t^2=a^2 より、a^2b^2=4s^2t^2
t^2=s^2 -a^2 を代入して　4s^2(s^2 -a^2)=a^2b^2
⇔(2s^2)^2 -2a^2(2s^2) -a^2b^2 =0
⇔s^2={a^2 +√(a^4 +a^2b^2)}/2. (∵s^2>0)
t^2=s^2 -a^2 より
t^2={-a^2 +√(a^4 +a^2b^2)}/2.■

割り込むかもしれないけど…

>>263
＞初めにx_n = 1/2 から考え
x_n = 0+�凅 から始めていって、広げていったほうが良いかな？

(2)
�Bより OQ^2=b^4/4s^2 + b^4/4t^2 =b^4(s^2+t^2)/4s^2t^2.
また、s^2+t^2=OP^2 , 4s^2t^2=a^2b^2. より、
OQ^2=b^4*OP^2/a^2b^2
∴OQ/OP=a/b.
また、ｌ⊥ｍ　より、
s(-u)+(-t)v=0 ⇔ su +tv=0
OP↑・OQ↑=(s , t )・(u ,v )=su +tv =0.
∴∠POQ=90°■

13秒ぐらい待てばよかったか…

>>264,266
たぶん打ち間違いだと思いますが、OQ/OP=b/a　です。
あとはたぶん問題無し。

[出題元　'04阪大後期]

>>263 ,265
模範解答を書いておきます。
|f'(x)|≦|f(x)| …(イ）
f(0)=0 …(ロ)

(1)
f(x) は　[0 ,1/2 ]　で連続、(0 , 1/2) で微分可能だから、0<x≦1/2　において
平均値の定理より、{f(x)-f(0)}/(x-0)=f'(x_1)　　(0<x_1<x≦1/2) なるx_1が存在する。
(イ）,(ロ) より
|f(x)|=x|f'(x_1)|≦x|f(x_1)|　　(0<x_1<x) …�@
再び平均値の定理より、
{f(x_1)-f(0)}/(x_1-0)=f'(x_2)　　(0<x_2<x_1) なるx_1が存在する。
上と同様に
|f(x_1)|=x_1*|f'(x_1)|≦x_1|f(x_1)|　　(0<x_1<x) …�A
以下同様にして
|f(x_n-1)|≦x_n-1*|f(x_n)|　　(0<x_n<x_n-1) …�B
�@〜�Bより、
|f(x)|≦x*x_1*x_2*…*x_n-1*|f(x_n)| <(1/2)^n *|f(x_n)|
ここでf(x_n)は、f(x)　が[0 , 1/2] で連続だから、有界値をもつ。よって、
(1/2)^n *|f(x_n)| →0.　（n→∞)
∴|f(x)|=0 (0≦x≦1/2) ■

(2)
(1)の結果f(x)=0 (0≦x≦1/2) を利用して、更にf(x)=0 (1/2≦x≦1)を示せば十分である。
x-1/2=t とおくと、�@より|f'(t+1/2)|≦|f(t+1/2)|
f(t+1/2)=g(t) とおくと、
|g'(t)|≦|g(t)|
g(0)=f(1/2)=0. (∵(1)　)
これらと(1)の結果より、g(t)=0 (0≦t≦1/2)
∴f(t +1/2)=g(t)=0 (0≦t≦1/2) ⇔　f(x)=0 (1/2≦x≦1)
この操作を繰り返すことにより、f(x)=0 (-∞<x<∞)　■

>267
あ、ほんとだ。タイプミスです。さんくす。
あと、残りのレスは明日になります。
次に来るのは　朝8：40〜10：50頃　の予定。

>>268
どうやらx_nの意味を理解できていなかったようだ。
ダメダメですね。

「今日の1題」(2/25まであと19日)
1番から7番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる。
客が順に到着して次のように着席していくとする。
（イ） 両端の席及び先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率は、全て等しい。
（ロ） 両隣が空席の席に着席する確率は、隣の席に既に先客が着席している席または端の席に着席する確率に比べて2倍である。
このとき、
(1) 3人目の客が到着したときに、すでに1番と3番の席に先客が着席している確率を求めよ。
(2) 4人目の客が到着した時に、既に2番、4番、6番の席に先客が着席している確率を求めよ。

問題文が多少ややこしいですが、このスレ的には易問ということになるかと思います。

おはようございます。8：50 起床。
>270
両方とも 1/36 になったが、激しく自信なし。
おそらく俺には解けない気がする。 (;´Д`)
すいませんが、解答お願いします。

[化学5]
鎖状のテトラペプチドAに塩酸を作用させて加水分解すると、グリシン、グルタミン酸、リシン、
の3種のアミノ酸の塩酸塩の混合物が生成し、これ以外のアミノ酸の塩酸塩は生成しなかった。
また、鎖状のテトラペプチドA 1mol 中の炭素をすべて二酸化炭素にしたところ、15mol　の
二酸化炭素が生成した。鎖状のテトラペプチドAには、光学異性体も含めて何種類の構造が考えられるか。
ただし、アミノ酸の側鎖の部分は、アミノ酸分子間の結合に使われていないものとする。

確率は苦手ですかね？

>>270
(1)条件より、1人目が1番,7番に座る確率をそれぞれxとおくと、
2〜6番に座る確率はそれぞれ2xである。
これらの事象は互いに背反であるから、
2x + 5*2x = 12x = 1
x = 1/12
よって、1人目が1番の席に座る確率は1/12、3番の席に座る確率は1/6。

(i)1人目が1番の席に座った場合　●○○○○○○
2人目が2番,7番に座る確率をそれぞれyとおくと、
3〜6番に座る確率はそれぞれ2ｙである。
これらの事象は互いに背反であるから、
2y + 4*2y = 10y = 1
y = 1/10
よって、2人目が3番に座る確率は1/5。
(ii)1人目が3番の席に座った場合　○○●○○○○
2人目が1番,2番,4番,7番に座る確率をそれぞれzとおくと、
5番,6番に座る確率は2zである。
これらの事象は互いに背反であるから、
4z + 2*2z = 8z = 1
z = 1/8
よって、2人目が1番に座る確率は1/8。

以上より、求める確率は
(1/12)(1/5) + (1/6)(1/8) = 1/60 + 1/48 = 9/240 = 3/80

(2) (1)と同様に丁寧に場合分けをしていって求めます。
1人目が2番に座る場合と6番に座る場合は対称性より同じことだとわかるので、うまく利用すると計算を省けます。

過程は省略しますが、答えは25/324 となります。

[出題元　'95京大前期　B***]

40氏がこれを解けないというのは意外な気がしましたが…
まあ、僕も簡単なはずなのに解けないとかよく（と言うよりも頻繁に）ありますからね…。

>>272
[化学5]
グリシン、グルタミン酸、リシンの炭素数はそれぞれ2, 5, 6 である。
3つのアミノ酸の炭素数の合計は13であり、テトラペプチドAの炭素数は15であるから、
もう一つのアミノ酸はグリシンであることがわかる。

側鎖は結合に使われていないから、アミノ酸の並びとN末端、C末端だけを考えればよい。
グルタミン酸とリシンはそれぞれ1つの不斉炭素原子をもつことから、このテトラペプチドは2つの不斉炭素原子をもち、
それぞれの構造異性体に対して4個の光学異性体を持つ。

1.N-Gly-Gly-Glu*-Lys*-C　2.C-Gly-Gly-Glu*-Lys*-N
3.N-Gly-Gly-Lys*-Glu*-C　4.C-Gly-Gly-Lys*-Glu*-N
5.N-Gly-Glu*-Gly-Lys*-C　6.C-Gly-Glu*-Gly-Lys*-N
7.N-Gly-Glu*-Lys*-Gly-C　8.C-Gly-Glu*-Lys*-Gly-N
9.N-Gly-Lys*-Gly-Glu*-C　10.C-Gly-Lys*-Gly-Glu*-N
8.N-Gly-Lys*-Glu*-Gly-C　7.C-Gly-Lys*-Glu*-Gly-N
11.N-Glu*-Gly-Gly-Lys*-C　12.C-Glu*-Gly-Gly-Lys*-N
注）7,8は180度回転すると同一のもの

よって、12*4=48種類。


ややこしいなぁ。
これでもし側鎖の結合も考慮せよとか言われたら　((((((；ﾟДﾟ))))))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

質問しておいて陰鬱のために数日姿を見せませんでした。本当にすいませんでした。
>>40氏　本当にありがとう。>>257、クリティカルヒットです。
これが全ての元凶でした。本当に感謝。

>>239氏
本当にありがとう。血を吐いて頑張ります。

今まで微妙に避け続けてきた受験戦争についにまともに巻き込まれてしまった。
凄い。本当に凄い。精神が崩壊寸前だ。覚悟が足りない。実力も足りない。
ふとした瞬間に『あぁ・・・もうどうでもいいや・・・誰か殺して・・・』
という方向に・・・ガクブル・・・
しかし。俺はやるぞ。最後の一秒まで糸を切らさない。大逆転勝利へ向けて。

>273-274
かたじけない。

>275
正解です。[出題元　T大プレ過去問]

>276
( ´∀｀)b

次の２つの不等式を証明せよ。
(1)sinπx≧πx(1-x) ただし0≦x≦1
(2)∫（０→１まで）cos(πx^p/2)dx＞pπ/2(2p+1)

間違って書き込んでしまった。
「せっかくだから、マゾ氏のもってきた問題もやってみましょうか」と書きたかったのだ。


次の２つの不等式を証明せよ。
(1)sinπx≧πx(1-x) (ただし　0≦x≦1 )
(2)∫[0 , 1]cos{1/2*πx^p}dx＞pπ/2(2p+1) 　(ただし、p>0)


俺は一応できたので、どなたかどうぞ。

gj

多少てこずってしまった。
結構難しいですよ、これ。

>>279
(1)
f(x) = sinπx - πx(1 - x)
f'(x) = πcosπx + 2πx - π
f''(x) = -π^2 sinπx + 2π = 0
sinπx = 2/π < 1
0≦x≦1 で、0≦sinπx≦1 であるから、
この方程式は2つの解をもち、その解をα, β (0 < α < 1/2 < β < 1) とすると、
sinπα = sinπβ = 2/π
cosπα = cosπβ = √(1 - 4/π^2)
f''(x) は下に凸であるから、f'(x) の0≦x≦1 における最小値は f'(0) or f'(β)
f'(0) = 0
f'(β) = πcosπβ + 2πβ - π
1/2 < β < 1 より、2πβ - π > 0, πcosπβ = π√(1 - 4/π^2) > 0
∴f'(β) > 0
これより、f'(x)≧0 であることがわかり、f(x)は0≦x≦1 で単調増加。
f(0) = 0 より、f(x)≧0
⇔sinπx≧πx(1 - x) (0≦x≦1)

>>279
(2)
(1)より、
cos((πx^p)/2) = sin(π(x^p + 1)/2)
　　　　　　　　　≧ (π(x^p + 1)/2)(1 - (x^p + 1)/2)
　　　　　　　　　= π(-x^(2p) + 1)/4
∴∫[0, 1]cos((πx^p)/2)dx ≧∫[0, 1]π(-x^(2p) + 1)dx/4
　　　　　　　　　　　　　　　　　= [π(-x^(2p + 1)/(2p + 1) + x)/4]_[0, 1]
　　　　　　　　　　　　　　　　　= π(-1/(2p + 1) + 1)/4
　　　　　　　　　　　　　　　　　= π(-1 + 2p + 1)/4(2p + 1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　= pπ/2(2p+1)
題意は示された。

>>282の最後の行

⇒∫[0, 1]cos((πx^p)/2)dx > pπ/2(2p+1)
題意は示された。

に訂正。（大して変わらないけど）

…って、(1)よく見たらおかしいし。

直そう。

cosπα = √(1 - 4/π^2)
cosπβ = -√(1 - 4/π^2)

f'(β) = πcosπβ + 2πβ - π
　　　= π(2β - √(1 - 4/π^2) - 1)
…？

もうちょっと考えてきます。

書き直し。

>>279
(1)
f(x) = sinπx - πx(1 - x) とおくと、
f(1 - x) = sinπ(1 - x) - πx(1 - x)
　　　　　= f(x)
よって、f(x)は、x=1/2について線対称。…�@

以下、0≦x≦1/2 について考える。
f'(x) = πcosπx + 2πx - π
f''(x) = -π^2 sinπx + 2π = 0
sinπx = 2/π < 1
0≦x≦1/2 で、0≦sinπx≦1 であるから、
この方程式は 0 < x < 1/2 において解をもつ。
f''(x) は0≦x≦1/2 において単調減少であり、f''(0) = 2π > 0 から、f'(x) の0≦x≦1 における最小値は f'(0) of f'(1/2)
f'(0) = 0
f'(1/2) = 0
これより、f'(x)≧0 であることがわかり、f(x)は0≦x≦1/2 で単調増加。
f(0) = 0 より、f(x)≧0 (0≦x≦1/2)
�@より、f(x)≧0 (0≦x≦1)
⇔sinπx≧πx(1 - x) (0≦x≦1)


これならどうだろう？

×f'(x) の0≦x≦1 における最小値は f'(0) of f'(1/2)
○f'(x) の0≦x≦1/2 における最小値は f'(0) of f'(1/2)

of じゃなくて or ね。
訂正多すぎ。御免。

さて、理科をやります。

お見事です。

ご無沙汰しています。化学の得意な人が多そうなので質問です。
塩水で、鉄などの金属がさびやすくなるのはなぜでしょうか？当方数学専攻のため
まわりの人に尋ねても誰一人分かりませんでした。よろしくお願いします。

今日から明日にかけて化学or物理の問題の投下を予定。
今日は23：00〜23：50頃までにまた来る予定。

aはある正の数であり、bはその小数部分（すなわち、b=a-［a］ ）とする。
a+b=√2 * a のとき、aの値を求めよ。

>>288
ありがとう。

>>291
b = a - [a] を代入すると、
2a - [a] = √2 * a
(2 - √2)a = [a]
a = [a] * (1/(2 - √2))
ここで、1.4^2 = 1.96, 1.5^2 = 2.25 より、
1.4 < √2 < 1.5
⇔0.5 < 2 - √2 < 0.6
⇔1.6 < 1/(2 - √2) < 2
なので、[a] = 1 のとき、1.6 < a < 2 であり適するが、
[a]≧2 のときは、1.6[a] < a < 2[a] となり、成り立たないことが明らかである。
よって、a = 1/(2 - √2)


適当でごめんなさい。

>>289
局部電池が関係あった気がしつつ、よくわからないので化学の新研究で調べてみた。

が、難しくてまとめられそうにない。

色々書いては見たけれど、出来が悪いのでばっさり削除し…

赤さびができる反応というのは、鉄と水、水中の酸素の間で、一種の小規模な電池が形成されることで起こります。
この電池のことを局部電池と呼びます。
湿った空気中ですぐに鉄が錆びてしまうのはこのためです。
で、この局部電池の反応は、水中にいくらかの電解質が存在する方が反応速度が速くなるようです。
（電離したイオンが攻撃を仕掛けて、とかなんだろうけど僕にはよくわかりません）
食塩水の場合は濃度が3%のときに反応速度が最大で、
これより濃度が大きくなると、酸素の溶解度が減少し、反応速度が低下していくらしいです。


結論：よくわからない（化学板の質問スレなどで詳しい人に聞いてみよう！）
40氏、わかるでしょうか？

「今日の1題」(2/25まであと18日)
-1 < x < 1 で定義された微分可能な関数f(x) は、
f(0)=0, f'(x) = 1/√(1 - x^2)
を満たすものとする。
(1) f(1/√2) を求めよ。
(2) 0≦x≦1/√2 における y=f(x) のグラフとx軸および直線 x=1/√2 で
囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

おはようございます。昨日はそのまま眠ってしまった。
今日は用事があるので問題投下はできないかもしれません。

>294
(1)∫[0 ,　1/√2]f'(x)dx=[f(x)]_[0 , 1/√2]=f(1/√2)-f(0)=f(1/√2).　(∵f(0)=0)
また、∫[0 ,　1/√2]f'(x)dx=∫[0 ,　1/√2]1/√(1 - x^2) dx=∫[0 ,π/4]dθ=π/4.
(x=sinθ (-π/2<θ<π/2) と置換した。dx=cosθdθ　, √(1 - x^2)= √(1-sin^2θ)=|cosθ|)
∴ f(1/√2)=π/4.■
(2)がわかんない。 (;´Д`)？


あとのレスは後ほど。とは言っても、>>293以上の説明が俺にできるかどうか…
鉄のさびについては1994年センター試験にも出題されてますね。
あと、横浜国大(精選に載ってた)。

>>259>>268
[58]
(1)[別解]　方針2
|f(x)| の　[0 ,1/2 ]　での最大値をMとすると、|f(x)|≦M. (0≦x≦1/2)
|f(x)|=|∫[0 , x]f'(t)dt| (∵f(0)=0)
≦∫[0 , x]|f'(t)|dt
≦∫[0 , x]|f(t)|dt　(∵|f'(x)|≦|f(x)|)
≦Mx≦M/2. (∵0≦x≦1/2)

∴0≦|f(x)|≦M≦M/2.
∴M=0
ゆえに、|f(x)|の最大値 0 ■　　　　

>>295
(1)は正解です。

解答は後で。
わかった方がいればどうぞ。

>>187
[化学4] (別解)
ZnS　の溶解度　10^-2 (mol/l) ………�@
[H+][HS-]/[H2S]=10^-7 (mol/l) ………�A
[H+][S(2-)]/[HS-]=10^-13 (mol/l) ………�B
[Zn(2+)][S(2-)]=10^-22 (mol/l)^2 ………�C

ZnS は水に溶けるとき Zn(2+) と S(2-) に分かれて溶け、S(2-) はさらに HS- ,H2S にも変化している。
今、ZnS は 10^(-2)mol/l 溶けている。よって、次式が成り立つ。
10^-2=[Zn(2+)]　…�@’
10^-2=[S(2-)] +[HS-] +[H2S]　(← S の物質量の保存関係) …�@’’
�@’を�Cへ代入すると、
[S(2-)]=10^-20　…�C’
これを、�Bへ代入して
[HS-]=10^-7*[H+]　…�B’
これを�Aへ代入して
[H2S]=[H+]^2　…�A’
以上の�C’�B’�A’を�@’’に代入して、[H+]>0 の条件のもとで以下の二次方程式を解く。
　 10^-2=10^-20 +10-7*[H+] +[H+]^2
⇔[H+]^2 +10-7*[H+] +10^-20 -10^-2=0
⇔[H+]=[-10^-7 +√{10^-14 -4(10-20 -10^-2)}]/2≒{-10^-7 +√(4*10^-2)}/2 (∵10^-2>>10^-20)
　　　 ≒{-10^-7 +2*10^-1)}/2 ≒1*10^-1. (∵10^-1>>10^-7)

よって、[H+]=1*10^-1(mol/l).■

>>234>>254-256
探してみたらやっぱり(4)もあった。

(4) a が 0≦a≦π/2 を満たすとき、a_1=a , a_n+1=f(a_n). (n=1 , 2 , 3 ,…) で
数列 {a_n} を定めると、lim[n→∞]a_n = x_0 が成立する（ことを示せ）。

[解答]
ある a_n について　a_n=x_0 となるなら、与えられた漸化式より、
a_n+1=f(a_n)=f(x_0)=x_0
a_n+2=f(a_n+1)=f(x_0)=x_0
……………………………………
となり、lim[n→∞]a_n = x_0 　となるから、
a_n≠x_0 (n=1 , 2 , 3 ,…)の場合を考えればよい。
0≦a_1=a≦π/2　, a_2=f(a_1)=f(a) ,これらと
f(x)=√2sin(x+π/4). (0≦x≦π/2) のグラフを考えることにより、
帰納的に　1≦a_n≦√2 (n≧2).　(←グラフを書けばすぐ分かる。)
次に、(3) から
|a_n+1 -x_0|=|f(a_n)-f(x_0)|≦|f'(√2)||a_n-x_0|.　(n≧2) ………★
|f'(√2)|=|cos√2-sin√2|
|f'(√2)|^2=1-sin2√2 <1 (∵π/2<2√2<π より sin2√2>0 )
よって、|f'(√2)|<1 .
このことと★より
0≦|a_n -x_0|≦|f'(√2)|^n-2*|a_2-x_0|→0　(n→∞)　
はさみうちの原理より、
lim[n→∞]a_n = x_0 が成立する。■

>>294
(2)が分かった。
今から書きます

>>294
(2)
求める体積(V とする)は、「x=π/4 と, y=1/√2とx軸とy軸で囲まれた部分
をy軸周りに回転した時に得られる体積(=半径π/4、高さ1/√2の円柱の体積)」から、
「y=sinx とx=π/4　とx 軸で囲まれた部分を、y 軸のまわりに回転したときに得られる体積」を引いたものである。
V=π(π/4)^2*1/√2　-∫[0 , π/4]2πxsinxdx.
∫[0 , π/4]2πxsinxdx =2π[-xcosx +sinx]_[0 ,π/4]=　-π^2/2√2　+√2π だから、
∴V=π^3/16√2　+　π^2/2√2　-√2π　.

>>301
答えはあっていますが、
＞求める体積(V とする)は、「x=π/4 と, y=1/√2とx軸とy軸で囲まれた部分
＞をy軸周りに回転した時に得られる体積(=半径π/4、高さ1/√2の円柱の体積)」から、
＞「y=sinx とx=π/4　とx 軸で囲まれた部分を、y 軸のまわりに回転したときに得られる体積」を引いたものである。
の根拠がはっきりしていません。
それが示せれば正解でしょうか。

>>294-295
>302
勝手に座標を変えちゃったところが説明不足かなあ、やっぱり。
いや、別に変えることなかったのか。
え〜と、(1)の置換積分で、置換する文字をθじゃなくてy にします。とすると、
x=siny がでるから、…。あとは>>301
これでいいでつか？

>>303
それを書いてグラフを横にでも書いておけば大丈夫そうです。
[出題元　'04京大OP]

グラフから求める方法のほかに、
強引に部分積分で通す方法もあります。
しかし、これは多少面倒くさいですし、あまりすっきりしません。
なので、僕は当時3つ目の方法で解きました。
解答解説の方には別解として載っています。

このセットのときに、この問題で唯一満点の35点をもらいました。
言い換えると、あとは全部部分点だったわけで…

というわけで今から別解を書きます。

>>294
(1)
f(0) = 0 より、
f(x) = f(x)
　　 = f(x) - f(0)
　　 = ∫[0, x]f'(t)dx
　　 = ∫[0, x]dt/√(1 - t^2)
ここで、-1 < x < 1 であるxに対し、x = sinθ (-π/2 < θ < π/2) とおくと、dx = cosθdθ…�@
また、t = sin u と置換すると、dt = cos u du となるから、
f(x) = ∫[0, θ]cos u du/cos u　（∵√(1 - sin^2 u = |cos u|,　-π/2 < θ < π/2 で |cos u| = cos u）
　　 = ∫[0, θ]du
　　 = θ
�@より、f(sinθ) = θ
sinθ=1/√2 のとき、θ=π/4
よって、f(1/√2) = π/4

(2)
(1)の�@より、求める体積をVとすると、
V = π∫[0, 1/√2]{f(x)}^2 dx
　 = π∫[0, π/4]θ^2 cosθdθ
　 = π[θ^2 sinθ + 2θcosθ - 2sinθ]_[0, π/4]
　 = (√2/32)π^3 + (√2/4)π^2 - √2 π

f(x) = f(x) - f(0)
　　 = ∫[0, x]f'(t)dt です。

お分かりの通り、f(x) = arcsinx 、sinxの逆関数です。
なぜか授業でarcsinxに一度軽く触れてて（名前だけだけど）、模試を受けたときにニヤリとしました。
なかなか面白い問題です。

>>304-305
ありがと。なるほど〜。 （　´д｀）
あと、今日は問題投下できそうにないです…。

まだ誰も解いていない問題が一つありましたね。月影ﾀﾝの投下した>>250ですか。
このスレに初参加の人などどうでしょうか。

では、俺は化学、物理、英語　の続きをやってきます。一旦age

「今日の1題」(2/25まであと17日)
p を素数、a, b を互いに素な正の素数とするとき、(a + bi)^p は実数ではないことを示せ。
ただし i は虚数単位を示す。


難しいです。　(´･ω･｀)ｼｮﾎﾞｰﾝ

×正の素数
○正の整数
「互いに素な正の素数」って、当たり前だ…

>>292　正解

aを 0 < a < π/2 を満たす定数とし、
F(x) = ∫[0, x](t-a)sintdt (0≦x≦3π/2) とおく。
(1) F(x)の0≦x≦3π/2 における最大値と最小値をそれぞれaを用いて表せ。
(2) (1)で求めた最大値と最小値の積を最小にするaを求めよ。

(1)d/dx F(x) = xsinx - asinx = (x-a)sinx　　　( d/dt∫［a,x］f(t)dt = f(x) )
よってF(x)は0〜aで減少、a〜πで増加、π〜3π/2で減少
F(0)=0,F(a) =sina -a ,F(π)=π-2a,F(3π/2)= -a-1
0＜sina＜1だから、F(a)＞F(3π/2)
最大値はF(π)=π-2a,最小値はF(3π/2)= -a-1

(2)F(π)*F(3π/2)= (-a-1)(π-2a)
=(a+1)(2a-π)
=2a^2 +(2-π)a -π
=2{a-(π-2)/4}^2 -(π-2)^2/8 -π

0＜(π-2)/4＜π/2なので、F(π)*F(3π/2)を最小にするaは(π-2)/4
(このときF(π)*F(3π/2)=-(π-2)^2/8 -π )

初参加じゃないですけど。

おはようございます。
>309
考えてみます。

>>311
正解です。問題ないですね。

>>309-310
p=2 のとき、(a + bi)^p =(a + bi)^2=a^2-b^2 +2abi.
ab≠0 だから、(a + bi)^p は実数ではない。
p≧3　のとき、pは奇数である。
a=b=1 のとき、(a + bi)^p=(1+i)^p={√2(cosπ/4 +isinπ/4)}^p=(√2)^p*(cosπp/4 +isinπp/4)　（∵ド・モアブルの定理)
p　は奇数だから πp/4 は πの整数倍になることはない、すなわち虚部が0になることがないので、(a + bi)^p は実数ではない。


とりあえず、ここまではできた。

p=3 の場合は3の素因数の個数に着目してできた。
(虚部=0 と仮定すると素因数分解の一意性に矛盾。)
この問題は二項定理がいいみたいね。
あとはもっと実験して…
明日ちゃんと書きます。　(；´Д｀)

[化学6]
1kg の水に　0.200mol　のブドウ糖を溶かした液を　-1℃にしたとき、
氷は何g 生じているか。ただし、水のモル凝固点降下は1.86℃　である。


おそらく今日はもう来れません。次に来るのは明朝8：50〜10：50　の予定。

新課程の赤チャート�TA解いてるのですが、全部終わるのにどれくらいかかりますか？

[化学6]
1kg の水に　0.200mol　のブドウ糖を溶かした液を　-1℃にしたとき、
氷は何g 生じているか。ただし、水のモル凝固点降下は1.86℃　である。

x(g)の氷が生じるとすると
0.2*1000/(1000-x)*1.86=1
1000-x=372
x=628(g)

>>317
わからないとしか答えようがありません。
全てはあなた次第です。

ある参考書を1冊終わらせるのにどの程度時間がかかるのかということは、
それまでの理解度、勉強のスタイル、1ページを理解するのに要する時間、やる気、字を書く速度、
などなど、様々な要素によって決まります。
赤チャートを3日で完璧にすることができる、超人的な人がいる（かもしれない）かと思えば、
何年かかけてやっと完璧になるという人もいます。

あなたが今1年生なら2年間、2年生なら1年間、入試まで時間はあります。
とにかくこつこつ、先を気にせず頑張ってみてください。

ああ、「何年かかけて」と言う表現は極端な例だから、あんまり気にしないでね。

昨日は重すぎだったので、今日は軽めのを。

「今日の1題」(2/25まであと16日)
(1) 自然数mに対して、76^m ≡ 76 (mod 100) を証明せよ。
(2) 2^n ≡ 76 (mod 100) を満たす最小の自然数nを求めよ。
(3) 2^1001 を 100で割った余りを求めよ。

原題では中途半端に合同式を使っていたので、多少書き直しました。
合同式については>>209参照。


時間がどんどん過ぎていく…

おはようございます。
>>318
正解です。

p≧3 のときも、素因数分解の一意性から結論できた。

>>309-310
>>314-315 の続き
p≧3 のとき、
二項定理より、(a+bi)^p の虚部は、a の偶数乗の項を i で割ったものだから、
{pa^(p-1)*b +C[p.3]a^(p-3)*b^3*i^2 + … +C[p.p-2]a^2*b^(p-2)i^(p-3)}　+b^p*i^(p-1)　…�@
a≧2 のとき、{ }内は a の倍数だが、b^p*i^(p-1) は a の倍数ではない(∵ a と b は互いに素)。
∴�@は　0　にならず、したがって、(a+bi)^p　は実数ではない。
a=1 かつ b≧2　のとき、(a+bi)^p の虚部は
pb +{C[p.3]b^3*i^2 + … +C[p.p-2]b^(p-2)i^(p-3)　+b^p*i^(p-1)}　…�@’
となり、{ }内は b^3 の倍数だが、 pb は b^3 の倍数ではない。(∵p は素数なので b^2 を約数にもつことはない)
∴�@’は　0　にならず、したがって、(a+bi)^p　は実数ではない。
ゆえに題意は示された。■

>>314,323
お見事です。
[出題元　'00京大前期理系 D***]

>324
ありがとう。

[59]
数列 {a_n} は　a_1=2 , a_n+1 = 2a_n +4^n -p . (n=1 , 2 , 3 , …) を満たすものとする。
a_n の最小値を与える n の値が 10 のみになるような実数の定数 p の値の範囲を求めよ。

>>326

[59]
a_n+1 = 2a_n +4^n -p
両辺を2^(n+1) で割ると、
a_n+1/2^(n+1) = a_n/2^n + 2^(n-1) - p/2^(n+1)
a_n/2^n = b_n とおくと、
b_n+1 = b_n + 2^(n-1) - p/2^(n+1)
b_n = b_1 + Σ[k=1, n-1](2^(k-1) - (p/4)(1/2)^(n-1))
　　 = a_1/2 + (2^(n-1) - 1)/(2 - 1) - (p/4)(1 - (1/2)^(n-1))/(1 - 1/2)
　　 = 1 + 2^(n-1) - 1 - (p/2)(1 - (1/2)^(n-1))
a_n/2^n = 2^(n-1) - (p/2)(1 - (1/2)^(n-1))
a_n = 2^(2n-1) - p(2^(n-1) - 1)

隣接2項間の差をとると
a_n+1 - a_n = 2^(2n+1) - p(2^n - 1) - 2^(2n-1) + p(2^(n-1) - 1)
　　　　　　　 = (4 - 1) 2^(2n-1) - (2 - 1)p*2^(n-1)
　　　　　　　 = 3*2^(2n-1) - p*2^(n-1)
　　　　　　　 = (3*2^n - p) 2^(n-1)
a_n の最小値を与える n の値が 10 のみになるための条件は、
a_10 - a_9 = (3*2^9 - p) 2^8 < 0
a_11 - a_10 = (3*2^10 - p) 2^9 > 0
2^8, 2^9 はそれぞれ正であることから、
3*2^9 = 1536 < p
3*2^10 = 3072 > p
∴1536 < p < 3072

b_n = b_1 + Σ[k=1, n-1](2^(k-1) - (p/4)(1/2)^(k-1))

いい加減訂正0に出来ないのかと…

なぜか京大の過去問ばっか＾＾；
たまにプレとかオープンとか実践が入るのか〜？

京大の整数問題をすらすら解くなんてあなたたちは鬼ですか？
といいつつ、夜明けのマゾに代わってあげ

>>327-328
正解です。ただ、
「　a_n+1 - a_n=(3*2^n - p) 2^(n-1) の符号変化は高々1回で、
p>3*2^n　のとき a_n+1<a_n , p<3*2^n のとき a_n+1>a_n」というようなことを
書いておいたほうがいいかも。[出題元 学コン過去問]

>329
結構多いですね、確かに。

>330
thx .

>>309-310
これなんて京大数学（整数分野）の中でも相当難しい部類に入ってたはずだし。
こういうのが解けない私は逝って、赤チャートでもやってきます

>>329
東大関係とか、その他大学とか、数学オリンピック予選とか、学コンとかもたまにあるようです。

>>331
説明が少なすぎたでしょうか。
反省。

>>332
あれが解けたのは確かにすごいです。
ちょうどあれを書く直前に京大スレの方で同じ問題の話題が出てまして、
「解けない」と言う声がいくつかありました。
かく言う僕も解けません。
二項展開まではいけても、そこから先に進めないのですよ。

というわけで、40氏はすごいです。

そう言われて光栄ですが、確率ができなかったわけで…　(；´Д｀)
今、確率と場合の数の復習をやってます。

なお、>>321　はまだ誰も解いていないようです。
どなたかどうぞ。（誰もやらないようなら俺が解答してみようと思います。寝る前or明朝にでも。）

(1) 自然数mに対して、76^m ≡ 76 (mod 100) を証明せよ。
(2) 2^n ≡ 76 (mod 100) を満たす最小の自然数nを求めよ。
(3) 2^1001 を 100で割った余りを求めよ。

(1)m=1の時成り立つ
m=k(≧1)で成立すると仮定すると
76^(m+1) ≡ 76*76 = 75*4*19+76 ≡ 76(mod 100)
(2)2^nは順に
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288,1048576
最小のnは20
(3)2^1001 = (2^20)^50*2
(2^20)^50 ≡ 76(mod 100)だから
2^1001 = (2^20)^50*2　≡ 76*2 ≡ 52(mod 100)
よって100で割った余りは52

あってんのかな？2^nはちょうど2^20までは覚えてたのでちゃんとやるにはどうすればいいのかさっぱり。

>>335
正解です。

2^10=1024までは覚えてますが、まさか2^20まで覚えてるとは。
(2)は普通は100で割った余りは下2桁であることに着目し、
下2桁を順に計算していけば十分です。

[出題元　'00名大後期]

「今日の1題」(2/25まであと15日)
複素数の数列 {z_n} が次の条件で定められている。
z_1 = 0, z_2 = 1, z_n+2 = (2+i)z_n+1 - (1+i)z_n　(n = 1, 2, 3, …)
(1) α = 1+i とする。z_nをαを用いて表せ。
(2) |z_n| ≦ 4 であるような最大のnを求めよ。

[60]
p を 3 以上の素数、α , β , を2次方程式 x^2 +ax +b = 0 の2解とする。
任意の自然数 n に対して α^n +β^n が p^n で割り切れるための整数 a , b に関する必要十分条件を求めよ。

>>338
色々試行錯誤してみましたが、よくわかりません。

k, l を整数として、
a = kp, b = lp^2, ただし、k^2 - 4l > 0

という予想を立ててみたけれど、証明できない…

>>309の時みたいに二項展開すると根号が消えて、あとはp^nの係数が整数になることを示す、
とかそんな感じでいけるのだろうか？

他の勉強との兼ね合いもあるので、今日はこの辺にしておこうと思う。
解けた方がいればどうぞ。
>>337,338

今日は出かけてました。

>339-440
n=1 , 2 くらいで必要条件を導き、それが十分条件でもあることを示す、
という方針でいけると思います。少しヒントを。

k, l を整数として、
a = kp, b = lp^2, ただし、k^2 - 4l > 0

という予想を立てておられますが、後半の条件は不要です。つまり、k, l を整数として、
a = kp, b = lp^2,　が十分条件でもあることを示せばよいです。
この問題は多少意地悪で、二項展開する方針でいくとおそらく解けません。
別のやり方でやってみて下さい。おそらく、上の予想が立っていれば、あとは
そんなに難しくないと思うのですが…。

いや、言い回しが正確ではなかった。

α+β=-a ,(α+β)^2=a^2 -2b
がそれぞれ p , p^2 で割り切れる条件は、
「a は p で割り切れ、b は p^2 で割り切れる」です。

どっちでも同じことか。妙なことを書いてしまった。

「k, l を整数として、 a = kp, b = lp^2　と書ける」と
「a は p で割り切れ、b は p^2 で割り切れる」　は同じ内容だわ。


>>337はおそらく明日になります。

一旦age

意味もなく上げる
だがそれがいい。

みなさん、新課程赤茶についてどう思いますか？

新課程赤チャ＝旧課程青チャ

新過程赤チヤ≦旧課程青チヤ
（あえて↑誤字にしてみた）

>>337
(1)与えられた漸化式より、
z_n+2 -z_n+1 = (1+i)(z_n+1 -z_n) = α(z_n+1 -z_n) . (n = 1, 2, 3, …)
ゆえに、
(z_n+1 -z_n) = α(z_n -z_n-1) = α^2(z_n-1 -z_n-2) = … = α^(n-1)(z_2 -z_1) = α^(n-1) . (∵z_1 = 0, z_2 = 1)
n≧2 のとき、
z_n = z_1 + Σ[k=1 ,n-1](z_k+1 -z_k) = 0 + Σ[k=1 ,n-1]α^(k-1) ={a^(n-1)-1}/(a-1) .
これは n=1 のときも成立する。したがって、z_n = {a^(n-1)-1}/(a-1) . ■

打ち間違えた。a を α にして読んで下さい。

>>337
(2)
|z_n|=|α^(n-1)-1|/|α-1| =|α^(n-1)-1| .(∵|α-1|=|i|=1)
ここで、三角不等式より、
|z_n|=|α^(n-1)-1|≧||α^(n-1)|-|1||≧ (√2)^(n-1) -1 .(∵α=1+i=√2(cosπ/4 +isinπ/4) )
n≧6 のとき、
|z_n|≧(√2)^5 -1 =4√2 -1 > 4*1.4 -1 = 4.6 > 4 .
n=5 のとき
|z_n|=|{√2(cosπ/4 +isinπ/4)}^4 -1| =|-4 -1|=5 > 4
n=4 のとき
|z_n|=|{√2(cosπ/4 +isinπ/4)}^3 -1|=|2√2{(-1/√2) +i/√2}-1|=|-2+2i-1|=|-3+2i|=√13<4=√16
∴|z_n| ≦ 4 であるような最大のn は　4. ■

もう一度考え直してみたら数分でわかった。
昨日のはなんだったんだ…


>>338
[60]
x^2 + ax + b = 0　の解は、
x = (-a ±√(a^2 - 4b))/2 であるから、
α = (-a + √(a^2 - 4b))/2, β = (-a - √(a^2 - 4b))/2 とおくことが出来る。

n = 1 のとき、
α + β = -a　これがpで割り切れるための必要条件はa = kp （kは整数）
α^2 + β^2 = k^2 p^2 - 2b これがp^2で割り切れるための必要条件はb = lp^2 （lは整数）
このとき、α^3 + β^3 = (k^3 + 3kl)p^3 となり、p^3で割りきれることから、
必要条件は、「aがpで割り切れ、かつbがp^2で割り切れる」であると予想される。

a = kp, b = lp^2 とおくと、
α = (-k + √(k^2 - 4l))p/2, β = (-k - √(k^2 - 4l))p/2 となる。
このとき、α^n も β^n も因数にp^nをもつから、
α^n + β^n　は当然p^nで割り切れる。
よって、これは十分条件でもあることがわかる。

以上より、求める必要十分条件は、「aがpで割り切れ、かつbがp^2で割り切れる」である。

>>349-350
正解です。

>>351
「n=2のとき」「n=3のとき」と書くのを忘れた。
まあいいか。

>>337
[出題元 '01一橋大・後]


「今日の1題」(2/25まであと14日)
A =
[[a, b],
[c, d]]
は実数を成分とする行列であり、実数s, 正の実数t, および2次の正方行列Bがあって、
次を満たすとする。
A = sE + tB, B^2 = -E
ここで、Eは2次の単位行列である。
(1) 不等式 (a - d)^2 + 4bc < 0 が成り立つことを示せ。また、sおよびtをa, b, c, d を用いてそれぞれ表せ。
(2) 複素数 s + it を解にもつ実数係数の2次方程式
x^2 + px + q = 0
を考える。pおよびqをa, b, c, d を用いてそれぞれ表せ。

たまには行列の練習です。

>>351
解答の後半部分
＞a = kp, b = lp^2 とおくと、
＞α = (-k + √(k^2 - 4l))p/2, β = (-k - √(k^2 - 4l))p/2 となる。
＞このとき、α^n も β^n も因数にp^nをもつから、

この部分をもう少し説明して頂けませんか？
αやβは整数とは限らないので「α^n も β^n も因数にp^nをもつ」とは
言えない気がするのですが…

>>354
…もしかしてものすごく馬鹿な発言をしちゃった？　（・∀・ ；）

そうだよ、昨日そこで悩んでたんだよ。
どうも考えているうちにおかしくなったらしい。

書き直し。十分条件の部分のみ。これでも不十分かな？

[60]
a = kp, b = lp^2 とおくと、
α = (-k + √(k^2 - 4l))p/2, β = (-k - √(k^2 - 4l))p/2 となる。
解と係数の関係より、α+β = -a = -kp, αβ = lp^2
このとき、nが偶数であれば、
α^n + β^n = (α + β)^n - (C[n, 1]α^n-1 β + C[n, 2]α^n-2 β^2 + … + C[n, n-1]αβ^n-1)
　　　　　　　　= (-k)^n p^n - (C[n, 1]αβ・α^n-2 + C[n, 2](αβ)^2 α^n-4 + … + C[n, 1]αβ・β^n-2)
　　　　　　　　= (-k)^n p^n - C[n,1]lp^2 (α^n-2 + β^n-2) + C[n, 2]l^2 p^4 (α^n-4 + β^n-4) + … + C[n, (n-2)/2]l^((n-2)/2) p^(n-2) (α^2 + β^2) + C[n, n/2]l^(n/2) p^n
同様に、nが奇数であれば、
α^n + β^n = (-k)^n p^n - C[n,1]lp^2 (α^n-2 + β^n-2) + C[n, 2]l^2 p^4 (α^n-4 + β^n-4) + … + C[n, (n-1)/2]l^((n-1)/2) p^(n-1) (α + β)

これより、α + β, α^2 + β^2 がそれぞれp, p^2 を因数としてもてば、全てのnに対してα^n + β^nがp^nを因数としてもつ、
すなわちα^n + β^nがp^nで割り切れるということが帰納的に示される。

α + β = -kp であるから、pを因数としてもつ。
k^2 - 4l ≧ 0 のとき、
α^2 + β^2 = (k^2 - 2l)p^2
k^2 - 4l < 0 のとき、
α^2 + β^2 = 2lp^2
いずれにしても、p^2 を因数としてもつ。

よって、a = kp, b = lp^2のとき、全てのnに対してα^n + β^n はp^nを因数としてもつ。
以上より、求める必要十分条件は、「aがpで割り切れ、かつbがp^2で割り切れる」である。

符号を間違えた。

偶数の時、
α^n + β^n = (-k)^n p^n - C[n,1]lp^2 (α^n-2 + β^n-2) - C[n, 2]l^2 p^4 (α^n-4 + β^n-4) - … - C[n, (n-2)/2]l^((n-2)/2) p^(n-2) (α^2 + β^2) - C[n, n/2]l^(n/2) p^n
奇数の時、
α^n + β^n = (-k)^n p^n - C[n,1]lp^2 (α^n-2 + β^n-2) - C[n, 2]l^2 p^4 (α^n-4 + β^n-4) - … - C[n, (n-1)/2]l^((n-1)/2) p^(n-1) (α + β)

あとは、組み合わせ数は当然のことながら整数であることを明記しておくべきか。

>>355-356
多分O.K だと思います。気になった点をいくつか。
＞α + β = -kp であるから、pを因数としてもつ。
＞k^2 - 4l ≧ 0 のとき、
＞α^2 + β^2 = (k^2 - 2l)p^2
＞k^2 - 4l < 0 のとき、
＞α^2 + β^2 = 2lp^2
＞いずれにしても、p^2 を因数としてもつ。
k^2 - 4l の正負で場合分けをしておられますが、これは不要かと。
(場合わけをおられる意味がよく分かりませんでした。)
単に、次のようにすればいいのでは？

解と係数の関係より、
α+β = -a = -kp, αβ =b= lp^2 　であるから、
α^2 +β^2　=(α+β)^2 -2αβ= k^2p^2 -2lp^2= (k^2 - 2l)p^2 .


次に、模範解答を書きます。

文章が変だった。
(場合わけを「して」おられる意味がよく分かりませんでした。) です。

ああ、虚数のことを考えていました。
冷静に考えてみたら全く意味がないですね。
根号の中が正だろうが負だろうが2乗すれば関係ない。

>>339の変な条件も同じ理由です。
関連部分を訂正、ということで。

(´-`).｡ｏO(最初に試行錯誤をした段階で、根号の中が負の場合とか色々考えていたせいだな…)

>>338
[60][解答]
任意の自然数n に対して
「α^n +β^n が p^n で割り切れる」……�@
とき、α+β = -a は p で割り切れるので、a は p の倍数である。また、
2b=2αβ=(α+β)^2 -(α^2+β^2 ) において、右辺は p^2 で割り切れるから、
p が3以上の素数であることから、b は　p^2 の倍数である。したがって、
「a は p で割り切れ、b は p^2 で割り切れる」……�A
ことが必要。
逆に、�Aが成り立つとき任意の自然数 n に対して�@が成り立つことを数学的帰納法で示す。
�Aが成り立つとき、
α+β=-a は p で割り切れ、
α^2 +β^2 =(α+β)^2 -2αβ=a^2 -2b は p^2 で割り切れるから、�@は n=1 , 2 で成り立つ。
そこで、ある n ,n+1 で�@が成り立つ、つまり
α^n +β^n が p^n で割り切れ、
α^n+1 +β^n+1 が p^n+1 で割り切れる、
と仮定すれば、
α^n+2 +β^n+2 = (α+β)(α^n+1 +β^n+1) -αβ(α^n +β^n) =-a(α^n+1 +β^n+1) -b(α^n +β^n)
により、α^n+2 +β^n+2　は p^n+2 で割り切れ、�@は次の番号 n+2 でも成り立つ。
よって、数学的帰納法より、任意の自然数 n で�@は成り立つ。
以上により、求める必要十分条件は「a は p で割り切れ、b は p^2 で割り切れる」ことである。■

[出題元　京大プレ過去問]

>>353
一応できました。とりあえず答えだけ
(1)s=(a+d)/2 , t=√[{(a-d)^2}/4 +bc]
(2)p=-a-d , q=ad -bc/4.

合ってますか？

>>360
ふむふむ。
最初に数学的帰納法でやろうとした時、n=1 を示し nで仮定してn+1 でつまったのですが、
n=1, 2 を示し、n と n+1 で仮定して n+2 といかないと駄目なのですね。
言われてみれば>>355も同じですね。

う〜ん、色々と弱点を痛感した…

>>362
tがちょっとだけ違います。
そのせいかqも違います。
sとpは合っています。

tは正の実数です。
(1)の条件の前半をもう一度見ると…

旧旧課程＋旧課程の赤チャで新課程の範囲は網羅できるのでしょうか？

>363
どうやら符号を反対にしていたようです。今度はちゃんとできたハズなので、
今夜か明日の夕方頃までに書きます。

>364
旧旧課程だけで網羅できるよ。

>365

ありがとうございます。
すると旧課程の複素数平面以外は旧旧課程の範囲内なのですね。
確率とかも旧旧課程の確率・統計（青チャ）でいいんですよね。
参考までにもう少し教えていただきたいのですが、旧旧課程のうち新課程では範囲外の単元ってどれなんでしょう？
ってか、京大理系受験するなら旧旧課程でやってた方がいいのでしょうか？

http://www.kyoto-u.ac.jp/nyusi/H16/general/news/HP18kyouka.html
＞�B上記�Aの発展的内容，「数学�U」の微分・積分で出題範囲とする一般の多項式や体積の内容，「数学�V」で出題範
＞囲とする微分方程式と曲線の長さの内容，及び「数学Ｂ」のベクトルで出題範囲とする直線・平面の方程式の内容
＞に関しては，旧指導要領及び過去の指導要領（昭和57年度から平成5年度）の内容が目安となります。
ですよね。大変だなぁ（自分もどうなるかわからないけど）

「京大の数学25ヵ年」（僕は立ち読みしただけだけど）を既に持っているなら、
確かその辺の問題も最後の方に載っていたと思うので、参考に。
大数の軌跡のCD-ROM版なんかも、40年前の問題に触れたり出来て面白いのではないかと。
（こちらも僕は触れた事がない）

または有名なこことか（解答ないけど）
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/

旧旧課程についてはよく知らないので、その辺は40氏に。


私見ですが、旧旧課程でも新課程でもそんなに問題はないのではないかな、と。
京大が出題すると言えば、その辺を扱う参考書もこれから増えてくるでしょうし。

国立2次まで2週間を切った。ラストスパート！

「今日の1題」(2/25まであと13日)
N個(N≧2)の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れてゆく。
玉が2つ入った箱が出来たら、そこでその手続きを中止する。
ちょうどk回目で玉が2つ入った箱が出来る確率をP(N, k)とする。
(1) 2≦k≦N+1 のとき、P(N, k)を求めよ。
(2)lim[N→∞](1/N)logP(2N, N+1) を求めよ。

注) (2)のヒントを削除。無くても察しがつくでしょう。

N個(N≧2)の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れてゆく。
玉が2つ入った箱が出来たら、そこでその手続きを中止する。
ちょうどk回目で玉が2つ入った箱が出来る確率をP(N, k)とする。
(1) 2≦k≦N+1 のとき、P(N, k)を求めよ。
(2)lim[N→∞](1/N)logP(2N, N+1) を求めよ。

(1)P(N,k)とはk-1回の間同じ箱に二個入れることなく、k回目で玉がすでに入っているものに入れる確率だから
P(N,k)=N!/{(N-k+1)!*N^(k-1)} *(k-1)/N = (k-1)*N!/{(N-k+1)!*N^k}
(2)lim[N→∞](1/N)logP(2N, N+1)=lim[N→∞](1/N)log{N*2N!/N!*(2N)^(N+1)}
=lim[N→∞](1/N)［Σ(k=1,N){log(1+k/N)}-(N+1)log2］
=∫［1,2］logxdx -log2
=2log2 -2 -log1 +1 -log2 =log2 -1

>>369
正解です。

なお、
P(N,k) = (k-1)*N!/{(N-k+1)!*N^k} = {N(N-1)(N-2)…(N-k+2)(k-1)}/N^k
と約分出来ます。

[出題元 '99名大・前]
(2)は、原題では「lim[N→∞](1/N)logP(2N, N+1) を区分求積法を用いて求めよ。」でした。

>>353
(1)ケイリー・ハミルトンの定理より、
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E =O.
これに　A = sE + tB　を代入し、 B^2 = -E を用いて整理すると、
t{(a+d)-2s}B={ad-bc-t^2-s^2-(a+d)s}E
⇔gB=hE (t{(a+d)-2s}=g , {ad-bc-t^2-s^2-(a+d)s}=h とおいた)
(i)g=0 かつh≠0　と仮定すると
O=hE ⇒ E=O となり、矛盾。
(ii)g≠0　かつh=0 と仮定すると
gB=O ⇒B=O ⇒B^2=O　となりB^2 = -E に矛盾。
(iii)g≠0　かつh≠0　と仮定すると
B=(h/g)E ⇒ B^2=(h/g)B=-E ⇒ B=-(g/h)E
ゆえに、B=(h/g)E=-(g/h)E　⇒　(h/g)=-(g/h) ⇒h^2+g^2=0⇒h=g=0 (∵h ,g は実数) となり矛盾。

以上より、g=h=0 である。
t>0 なので a+d=2s ⇔ s=(a+d)/2 ……(答)
{ad-bc-t^2-s^2-(a+d)s}=0 に上の式を代入して s を消去し、整理すると
4t^2= -{(a - d)^2 + 4bc} > 0 ∴ (a - d)^2 + 4bc < 0.
t=√[-{(a-d)^2 +4bc}/4] ……(答)

(2)実数係数の2次方程式がs + it を解にもつならば、s-it も解にもつ。
x^2 + px + q = 0 において、
解と係数の関係より
2解の和=(s+it)+(s-it)=-p . ∴p=2s=-a-d ……(答)
2解の積=(s+it)(s-it)=s^2+t^2=q
{ad-bc-t^2+s^2-(a+d)s}=0 に　a+d=2s　を代入すると
ad-bc=t^2 +s^2 . ∴q=ad-bc ……(答)

訂正
(1)h={ad-bc-t^2+s^2-(a+d)s} です。
ここの部分のs^2 の係数をすべて+にして読んで下さい。

>>371-373
正解です。
[出題元　'04東北大・後]

[61]
∠AOB=∠BOC=∠COA=90° , OA=a ,OB=b ,OC=c であるような四面体OABC がある。
Oから平面ABC に下した垂線の足をH とするとき、定数 p ,q , r に対して、
pHA↑ +qHB↑ +rHC↑ =0↑　が成立した。このとき、p：q：r の比を、a , b , c を用いて表せ。
但し、(p , q ,r )≠(0 , 0 , 0) とする。

>374
thx .

京大の受験票が届きました。頑張るぞ。

>>375
[61]
∠AOB=∠BOC=∠COA=90°⇔ OA↑・OB↑ = OB↑・OC↑ = OC↑・OA↑ = 0　…☆

pHA↑ + qHB↑ + rHC↑ =0↑　を変形すると、
(p+q+r)OH↑ = pOA↑ + qOB↑ + rOC↑ =0
OH↑ = (pOA↑ + qOB↑ + rOC↑)/(p+q+r)
|OH↑|^2 = {(pa)^2 + (qb)^2 + (rc)^2}/(p+q+r)^2　（∵☆）
|OH↑| = √{(pa)^2 + (qb)^2 + (rc)^2} /(p+q+r)　…�@

ここで、四面体OABCの体積を求めると、
1/3 * ab/2 * c = abc/6　…�A　（∵∠AOB=∠BOC=∠COA=90°）
一方、△ABCの面積は、
1/2 √{|AB↑|^2 ・|BC↑|^2 - (AB↑・BC↑)^2}
= 1/2 √{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) - b^4}　　（∵☆）
= 1/2 √{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}　…�B

△ABCを底面としたとき、四面体OABCの高さはOHとなる。
よって、�@〜�Bより、四面体OABCの体積に関する式
{1/(6(p+q+r))} √{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} √{(pa)^2 + (qb)^2 + (rc)^2} = abc/6
が成り立つ。
この式を変形していくと、
abc√[{(pa)^2 + (qb)^2 + (rc)^2}(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)] = abc(p+q+r)
{(pa)^2 + (qb)^2 + (rc)^2}(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = (p+q+r)^2

この式に p=1/a^2, q=1/b^2, r=1/c^2 を代入すると、両辺が等しくなることがわかる。
∴ p ： q ： r = 1/a^2 ： 1/b^2 ： 1/c^2

(p+q+r)OH↑ = pOA↑ + qOB↑ + rOC↑

「=0」を消し忘れました。

>377-378
正解です。[出題元 学コン過去問]
別解はのちほど。

>>259
>>326

できれば出展を教えて。

>>259も>>326もハァハァできる問題みたいです。
パソコンが得意ならここに解答を書いて参加したい・・・。
あぁ、僕は夜明けマゾ氏よりなんて馬鹿なんだろう！　記：元266

>>259 は九州歯大
>>326 は学コンの過去問です。

[62]
数列 a_1 , a_2 , a_3 , … が　
a_1=c , (2-a_n)a_n+1 =1 (n=1 , 2 , 3 , … ) によって定義されるとき、
lim[n→∞]a_n = 1 を証明せよ。ただし、 0<c<1 とする。

>>382
どうも
九州歯大って・・・聞いたこともないやw

[62]
数列 a_1 , a_2 , a_3 , … が　
a_1=c , (2-a_n)a_n+1 =1 (n=1 , 2 , 3 , … ) によって定義されるとき、
lim[n→∞]a_n = 1 を証明せよ。ただし、 0<c<1 とする。

a_2 = 1/(2-c) = (2+c)/(4-c^2) ＞1/2
a_3 = 1/(2-a_1) = (2+a_1)/{4-(a_1)^2}　＞ 2/3
これより、(n-1)/n < a_n < 1であることが推測できる。
これを数学的帰納法によって示す。
a_n≠2のもとで、a_n+1 = 1/(2-a_n) =(2+a_n)/{4-(a_n)^2}..........A
n=1のとき、0<a_n<1なので、漸化式Aから　1/2 < a_n <1で確かに成立。
(∵(2+0)/{4-0^2}＜(2+a_n)/{4-(a_n)^2}＜(2+1)/{4-1^2})
n=k（≧1）で成立したと仮定すると
(k-1)/k < a_k < 1
ここで、漸化式Aからn=1と同様の論法で
［2+{(k-1)/k}］/［4-{(k-1)/k}^2］＜a_k+1 ＜(2+1)/{4-1^2}
［2+{(k-1)/k}］/［4-{(k-1)/k}^2］ = k/(k+1)なので
k/(k+1) < a_k+1 < 1 よってn=k（≧1）で成立したと仮定するとn=k+1でも成立。
よってすべてのnに対し(n-1)/n < a_n < 1
ここで、lim[n→∞]{(n-1)/n}　=1なので、はさみうちの定理から
lim[n→∞]a_n = 1

>>385
正解です。[出題元 1982年東京女大]
難易度　C**

「今日の1題」(2/25まであと12日)
関数f(x)をf(x)=∫[0, x](1/(1+t^2))dt で定める。
(1) y=f(x)のx=1における法線の方程式を求めよ。
(2) (1)で求めた法線とx軸およびy=f(x)のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

>>139
その方針でも出来ますね。もう少し厳密に示すなら、線形代数が必要ですが。
定数項も含めると、n+1元1次連立方程式なんですが、方程式系の行列式が、
ヴァンデルモンドの行列式というのになって議論が上手く行くはずです。
>>142
高校の範囲なら、このやり方が無難かな。


>>259は以前「東大」スレでも取り上げられていました。
↓の2004/07/12 の問題です。
http://f23.aaa.livedoor.jp/~musou/math/new-2004-07.html

別解を挙げると、
x≧0のとき、g(x)=f(x)/e^x とおく。g ' (x) <0, g(0)=0 より、g(x)≦0.
したがって、f(x)≧0であるためには、f(x)=0が必要。
x≦0のときには、h(x)=f(x)e^x とおくと、同様に示される。

神降臨！

>387
考えてみます。arctan ですかね。
>388
ありがとう。とても参考になります。

[63]
xy 平面上の2曲線

C　: x^2 +y^2 = 1
P_k : y = x^2 +k

が接するような k の条件を求めよ。

関数f(x)をf(x)=∫[0, x](1/(1+t^2))dt で定める。
(1) y=f(x)のx=1における法線の方程式を求めよ。
(2) (1)で求めた法線とx軸およびy=f(x)のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

(1)f(1)=∫[0, 1](1/(1+t^2))dt =π/4(計算略・t=tanθと置換)
dy/dx = 1/(1+x^2)なので、x=1における接線の傾きは1/2、よって法線の傾きは-2
法線の方程式はy-π/4 = -2(x-1)
y = -2x+2+π/4
(2)f(0)=0,d^2y/dx^2 =-2x/(1+x^2)^2で、x≧0でy=f(x)は上に凸なので
グラフ及び(1)の法線、囲まれる図形のおおよその形は
http://msibasho.hp.infoseek.co.jp/arctanx.png（水色部分が求めるべき図形）
よって、この面積は法線とx軸、y軸及びy=π/4で囲まれる台形の面積から
y軸、y=π/4及びy=f(x)で囲まれる図形の面積を引けばよいので
(1+1+π/8)*π/4*1/2 -∫［0,π/4］xdy
=π/4 + π^2/64 - ∫［0,1］x*(dy/dx)*dx
=π/4 + π^2/64 - ∫［0,1］{x/(1+x^2)}dx
ここで、∫［0,1］{x/(1+x^2)}dx　= 1/2 *∫［1,2］(1/t)dt　(1+x^2 =tと置換)
=log2 /2なので、
図形の面積はπ/4 + π^2/64 - log2 /2

ペイントでグラフを書いてみた。

>>387
(1)
「y=arctanx ⇔ x = tany , -π/2 < y < π/2 .」 とする。
このとき、dx/dy = 1/(cosy)^2 = 1 + (tany)^2 = 1+ x^2 より、
(arctanx)’= dy/dx =1/(1+ x^2) .
よって、f(x)=∫[0, x](1/(1+t^2))dt = arctanx .(∵f(0)=0=arctan0 )
f’(1)=1/2　.(∵f’(x)=1/(1+ x^2)　) より、法線の傾きは -2 .
f(1)=π/4 .　よって、法線の方程式は y-π/4 = -2(x-1) ⇔ y = -2x+2+π/4. ■

(2)
y=f(x)=arctanx のグラフは　y=tanx ( -π/2 < x < π/2 ) のグラフを y=x について
対称に折りかえしたものである。このことと前問より、求める面積(Sとする)は法線とx軸、y軸及びy=π/4で
囲まれる台形の面積から y軸、y=π/4及びx = tany(⇔ y=f(x)=arctanx )で囲まれる図形の面積を引いたものであるから、
S=(1+1+π/8)*π/4*1/2 -∫［0,π/4]tanydy
ここで -∫［0,π/4]tanydy =log(cosy)_[0 , π/4] = log(√2/2) = -1/2*log2 だから、
S=π/4 + π^2/64 - 1/2*log2 ■

>>391-392
どちらも正解です。>>294はこれの類題という位置付けでしょうか。
[出題元　'00京大・後　C***]

>>391さん、わざわざグラフまでどうも。


>>390はこのあと時間があれば解いてみます。

>>390
Cは、点(0, ±1)で傾き0
P_kも頂点で傾き0であるから、
k=±1のとき、2曲線は点(0, ±1)で接する（複合同順）。

また、P_k を変形すると、x^2 = y - k
これをCに代入すると、y^2 + y - k - 1 = 0
接するための条件は、D = 1 + 4k + 4 = 4k + 5 = 0
k = -5/4
このとき、2曲線は2点(±√3/2, -1/2)で接する。

∴k = ±1, -5/4


何か不安…

>394
おそらく正解になると思います。
この種の問題に対するその解法については、
少し説明したいことがあるので、明日またレスします。

「今日の1題」(2/25まであと11日)
nを2以上の偶数とする。2つの曲線C_1: y=x^n と C_2: y=n^x について、次の問いに答えよ。
(1) C_1 と C_2 は x < 0 において、ただ1つの点P_n で交わることを示せ。
(2) C_1 と C_2 の交点の個数を求めよ。
(3) P_n のn→∞のときの極限の位置を求めよ。


(3)は、予想はすぐ立つんだけど、示すのが面倒くさい。

説明の代わりにもう一題。
これができたら俺が説明することはないと思いますから。

[64]
円　x^2 +y^2 = 4　と放物線 y = ax^2 -b
が2点で接するための条件を求めよ。

下がりすぎですた

>>396
(2)3個(x<0 に1個　, x>0 に2個)
(3)(? , 0)　x 座標がどこになるのかわからない　(；´Д｀)？

>>397
[64]
放物線の頂点は(0, -b) で表される。
円と2点で接するためには、頂点が円外にあることが必要であるから、
|b| > 2

円上にある2曲線の接点を(s, t)とおく。
ただし、t=0のとき、接線の傾きは∞となるが、
放物線上で傾きが∞となる点はないため、t≠0
このとき、s^2 + t^2 = 4 が成り立つ。

円の方程式を微分すると、
2x + 2yy' = 0
y' = -x/y
よって、接点における接線の傾きは-s/t

一方、x座標がsの点における放物線の傾きは、
y' = 2ax より、2as となる。
放物線は(s, t) を通るため、t = as^2 - b

以上より、
s^2 + t^2 = 4　…(1)
-s/t = 2as　…(2)
t = as^2 - b　…(3)
の連立方程式が成り立つ。

(2)の式より、t = -1/2a
これと(3)の式より、s = ±√(b/a - 1/2a^2)
sが実数であるためには、根号の中は正であるから、b/a - 1/2a^2 ≧ 0
2a^2 > 0 より、両辺を2a^2 倍して、
2ab - 1 ≧ 0
|a| ≧ |1/2b|

求めたsとtの値を(1)に代入すると、
b/a - 1/2a^2 + 1/4a^2 = b/a - 1/4a^2 = 4
4ab - 1 = 16a^2
16a^2 - 4ba + 1 = 0
a = {2b ± √(4b^2 - 16)}/16
　= {b ± √(b^2 - 4)}/8

--------------------
b > 2 のとき、
|{b + √(b^2 - 4)}/8| > |1/2b|, |{b - √(b^2 - 4)}/8| < |1/2b|
b < -2 のとき、
|{b + √(b^2 - 4)}/8| < |1/2b|, |{b - √(b^2 - 4)}/8| > |1/2b|
--------------------

以上より、
b > 2 かつ a = {b + √(b^2 - 4)}/8　または
b < 2 かつ a = {b - √(b^2 - 4)}/8


----で囲んだところが不十分だと思われ。
証明するのは何だか面倒くさそう。
もっと楽な方法がある予感。

>>399
(2)は正解。
(3)は、n→∞のとき、
C_1 はx=-1 でy=1、-1 < x < 0 で y→0、C_2 はx=0でy=1、 x < 0 で y→0 になります。
ということは、グラフを描いてみると交点は…

>>400-401
ほとんど合ってます。
(1)(2)(3)を満たす実数s(≠0), t ,　が存在するような
a , b の条件を求めればいいわけです。
s=0 の場合は不適なので、b/a - 1/2a^2 > 0
つまり、2ab - 1 > 0……�@ です。
これと求めたsとtの値を(1)に代入した式
16a^2 - 4ba + 1 = 0 ………�A
この二つが答えになります。
あとは不要です。

>402
(1/2 , 0 )？
やり方もよくわかんないな…

マイナスつけるの忘れた。
(-1/2 , 0 )？

(-1, 0)です。

（例）
n = 100 の場合
http://202.208.157.152/Fb/1_1045.jpg

>406
ありがとう。とりあえず、
できたところまで今から書きます。

>>396
(1)
x=0 のとき、2つの曲線は交点をもたないので、以下 x ≠0　で考える。
x^n , n^x は x ≠0　で 共に正なので、
x^n = n^x において、両辺の対数をとると
nlog|x|=xlogn .
y=nlog|x| と　y=xlogn ……�@ のグラフを考える。
y=nlog|x| は、x>0 で y=nlogx　…�A . x<0 で y=nlogx と y軸に関して対称なグラフ…�B　になる。
よって、傾きが正である直線�@と 、�Bは　-1<x<0 で交点をただ一つもつ。

(2)
x>0 において、�@と�Aは 点(n , nlogn) を通る。
また、この点での�Aにおける接線の傾きは1(≠logn)であり、(∵(nlogx)'=n/x )
�Aは下に凸であることから、�@と�Aはx>0 で二つの交点をもつ。これと(1) より、
C_1 と C_2 の交点の個数は3個。

こんな感じの類題が作れそう。

2つの曲線C_1: y=x^e と C_2: y=e^x について、次の問いに答えよ。
(i)2<e<3を示せ。
(ii)C_1 と C_2 の交点の個数を求めよ。

(3)
(1)の解をαとすると、-1<α<0 である。設問(1)より、
P_n(α , α^n ).したがって、α^n →0　(n →∞)


give up

>>408-409
(2)まではOKですね。

(3)
P_n はx < 0 の範囲に存在する点であるから、以下x < 0 について考える。

y = 1/n とC_1の交点のx座標は-(1/n)^(1/n)
x = -(1/n)^(1/n) とC_2の交点のy座標はn^-(1/n)^(1/n)
グラフより、P_n(x_n, y_n)とすると、位置関係から
-1 < x_n < -(1/n)^(1/n), 1/n < y_n < n^-(1/n)^(1/n)

lim[x→0]xlogx = 0 ⇔ lim[x→∞](1/x)log(1/x) = 0 であることを利用し、
lim[n→∞]-log(1/n)^(1/n) = 0 ⇔ lim[n→∞]-(1/n)^(1/n) = -1
lim[n→∞]1/n = 0
lim[n→∞]n^-(1/n)^(1/n) = 0
よって、はさみうちの原理より、
n→∞のとき、x_n→-1, y_n→0
求める極限は P_n(-1, 0)

グラフがあると説明がしやすいので、以下グラフ。
http://202.208.157.152/Fb/1_1046.jpg

>>396
[出題元　'04東工大・後]

>>412-413
thx. 東工大の問題か…
大数の受験報告を見ると、(3)は


nlog|x|=xlogn より、
log|x|/x=logn/n　だが、 右辺=logn/n →0 (n →∞).
仮定より x<0 だから log|x|<0 ⇒ -1<x<0 .
これから、左辺=log|x|/x が収束するためには log|x| →　0　が必要。
x → -1 , y=n^x=e^(xlogn) → 0


と書いてあった。挟み撃ちを使うまでもなく、この解法をとったとのこと。このやり方は
新数学演習にも書いてるし、このスレでもやった(>>197[56] )じゃねーか、くやしい〜　｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

>>397
[64][出題元　2001年帝京大理工]
難易度　B***

「今日の1題」(2/25まであと10日)
無限数列{a_n}を
a_1 = c
a_n+1 = {(a_n)^2 - 1}/n　(n≧1)
で定める。ここでcは定数とする。
(1) c=2のとき、一般項a_nを求めよ。
(2) c≧2ならば、lim[n→∞]a_n = ∞ となることを示せ。
(3) c=√2 のとき、lim[n→∞]a_n の値を求めよ。


僕の問題投下は今日までにしておこうかな。
2次前期の10日前だし。

40氏の問題投下は、あればまだまだ解きますよ。

ここをよんでいるけれど、月影と40の馴れ合いスレになってきてるね？

>>417
40氏は最初のスレからいる方なので、おそらく僕の責任でしょう。
というわけで、スレ改善のために1つお選び下さい。
(1) 月影は名無しになるべきだ。
(2) 月影はこのスレからいなくなるべきだ。
(3) 月影は地獄の火の中に投げ込まれるべきだ。

どうぞ。

(4)他の名無しは参加しないほうがよい。

>>416
(1)
a_n=n+1 であることを数学的帰納法で示す。
n=1 のとき　a_1=c=2 で成立。
a_n=n+1　と仮定すると、与えられた漸化式より、
a_n+1 = {(a_n)^2 - 1}/n = {(n+1)^2 -1}/n =(n^2 +2n)/n=n+2 .
でn+1 のときも成立。よって、すべての自然数n に対して、a_n=n+1　が成り立つ。■

(2)
a_1 = c ≧2
a_2 = (c^2 -1)/1 ≧ 3 (∵c^2≧4 )
………………………………
a_n ≧n+1 →∞ (n→∞)
よって、追い出しの原理より、lim[n→∞]a_n = ∞　.

(3)多分、a_n→0 (n→∞)　なんだろうけど、うまく示せない…

>417
名無しの方々を拒んでいるわけでは全然ないです。
過去スレを見ていただけるとわかると思うんですが…。

とりあえず名無し。

>>422
a_n→0 は合っています。
適当にa_nの範囲を推定→証明→はさみうち
でいけます。

>424
コテでいいと思いますよ。
っていうか、俺が判別できない可能性があるので、
コテを名乗ってもらう方がいいです。
このスレには他にもコテさんがいらっしゃるし、
(†kunnys†氏や綾乃さん、266氏、それにスレ主であるマゾ氏)、
名無しの方からもレスをいただくこともあるし、特に問題はないと思います。


極限の方はさっきから考えてるんですがうまくいかない…

[65]
関数 f(x) は閉区間[a , b] を含む区間で微分可能である。(a<b とする.)
(1)この f(x) と a , b を用いて、平均値の定理を述べよ。(証明は不要)
(2)f’(x) < 0　であるような区間では、f(x) は減少することを、平均値の定理を用いて証明せよ。

>>416
(3)ができた。
今から書きます。

>>425
馴れ合いを嫌がる人もいるようなので、しばらく名無しでいきます。
特に困ることもないでしょうし。
判別が必要な際はつけるということで。
(´-`).｡ｏO(慣れ合いしてるつもりはないのだが、ちょっと読み返したらそんな雰囲気もあるから仕方がないか…）

>>426
[65]
(1)
f(x) は閉区間[a , b] を含む区間で微分可能
⇔f(x) は閉区間[a , b] で連続であり、開区間(a, b) で微分可能であるため、
{f(b) - f(a)}/(b - a) = f'(c) (a < c < b) を満たすcが存在する。

(2)
いま、閉区間[a , b] でf'(x) < 0 が成り立っているとすると、(1)より、
{f(b) - f(a)}/(b - a) = f'(c) < 0 (a < c < b) を満たすcが存在する。
b > a より、b - a > 0 だから、
f(b) - f(a) < 0
f(a) > f(b)
∴このような区間ではf(x) は減少する。

>428
正解です。

>>416
(3)ができたと思ったらまだ不十分だった…
(i)1<a_n< 0　と
(ii)a_n < a_n+1 を示せたら　{a_n} は収束するから極限値をαとおいて、
a_n+1 = {(a_n)^2 - 1}/n　において　n →∞　で
α=(α^2 -1)/n →0　とできるんだが、(ii) が示せない、、、

(i)-1<a_n< 0　ね。

あ、(i)だけでいいのか。

(3)
n→∞ を考えるのだから、n≧4 としてよい。
1<a_n< 0 を示す。(n≧4)
-1<a_4=-1/3 < 0 .
n(≧4) で -1<a_n< 0 と仮定すると、
-1 < -1/n < a_n+1={(a_n)^2 - 1}/n < {(-1)^2 -1}n =0 .
よって　n+1 のときも　成り立つので、4 以上のすべての自然数n について
-1<a_n< 0　が成立する。
よって、(0-1)/n<{(a_n)^2 -1}/n< (1-1)/n
ゆえに-1/n < a_n+1 < 0
-1/n →0　(n →∞) だから、挟み撃ちの原理より
a_n →0 (n →∞) ■

また間違った。


-1<a_n< 0 を示す。(n≧4)


です

>>420-421,431-432
正解です。
[出題元　'02千葉大]

>433
thx.

[66]
(1)cos3θ　, cos4θ　をそれぞれ cosθ　の多項式で表せ。
(2)α=cos(π/7) としたとき、F(α)=0 を満たす有理数係数の多項式　F(x) のうち、
次数が最小で最高次の係数が 1 であるものを f(x) として、f(x) を求めよ。
なお、α が無理数であることは前提としてよい。

[化学7]
200gの水に塩化バリウム0.01molを溶かした溶液と、200gの水に硫酸ナトリウム0.01molを
溶かした溶液とを混合した後、-0.46℃まで冷却した。このとき、氷は何g生じるか。
ただし、水のモル凝固点降下は1.86℃　である。

一旦age

>>433
千葉なんて貼るなー
レベル低いよ？

>>434
[66]
(1)
cos3θ = 4cos^3θ - 3cosθ
cos4θ = 2cos^2 2θ - 1
　　　　　= 2(2cos^2θ - 1)^2 - 1
　　　　　= 8cos^4θ - 8cos^2θ + 1
(2)
三角関数の和積の公式を利用し、
cos(3π/7) + cos(4π/7) = 2cos(π/2)cos(π/14) = 0
また、(1)より、
cos(3π/7) + cos(4π/7) = 8cos^4 (π/7) + 4cos^3 (π/7) - 8cos^2 (π/7) - 3cos(π/7) + 1
と変形できるため、
8cos^4 (π/7) + 4cos^3 (π/7) - 8cos^2 (π/7) - 3cos(π/7) + 1 = 0
cos^4 (π/7) + (1/2)cos^3 (π/7) - cos^2 (π/7) - (3/8)cos(π/7) + 1/8 = 0

以上より、
F(x) = x^4 + (1/2)x^3 - x^2 - (3/8)x + 1/8 とおくと条件を満たす。


あとは次数が3以下のF(x)は存在しないことを示せればいいわけですが…

>>438
8cos^4 (π/7) + 4cos^3 (π/7) - 8cos^2 (π/7) - 3cos(π/7) + 1 = 0
は因数分解できますよ。

この問題はかなり難しいので、ヒントを。
まず、 f(x) は一次式ではないことを示して…

>>439
ありゃりゃ、気付かなかった。書いてみたけど、なにやら指摘される予感。

8cos^4 (π/7) + 4cos^3 (π/7) - 8cos^2 (π/7) - 3cos(π/7) + 1 = 0
(cos(π/7) + 1)(8cos^3 (π/7) - 4cos^2 (π/7) - 4cos(π/7) + 1) = 0
cos(π/7) + 1≠0 より、8cos^3 (π/7) - 4cos^2 (π/7) - 4cos(π/7) + 1 = 0
cos^3 (π/7) - (1/2)cos^2 (π/7) - (1/2)cos(π/7) + 1/8 = 0
よって、F(x) = x^3 - (1/2)x^2 - (1/2)x + 1/8 は条件を満たす。

ここで、f(x)が1次式であったとすると、aを有理数として
f(x) = x + a　とおけ、 f(α) = α + a = 0
しかし、αは無理数なのでこの式は成り立たず不適。
f(x)は1次式ではない。
次に、f(x)が2次式であったとすると、a, bを有理数として、
f(x) = x^2 + ax + b とおける。
f(α) = 0 であるから、kをもう一つの解とすると、
f(x) = (x - α)(x - k)
　　　= x^2 - (α+k)x + αk
となる。
よって、α+k, αkがともに有理数でなければならない。
α+kが有理数であったとすると、αが無理数であることから、m, nを整数として
k = m/n - α (n≠0)
と表される。
このとき、
αk = α(m/n - α)
m/nは有理数であり、αは無理数であるから、(m/n - α)は無理数。
無理数どうしで掛け合わせて有理数となるのは、
いずれかが0の場合か、ともに同じ値の平方根を因数に持つ場合であるが、
この場合はどちらでもないので、αkは無理数となり矛盾。
f(x)は2次式ではない。

よって、f(x) = x^3 - (1/2)x^2 - (1/2)x + 1/8

αkが有理数の場合も必要かな。
書いたところで、たぶん>>441ではだめだろうとは思うのだが。

>>435
[化学7]
塩化バリウム0.01molが電離すると、イオンが0.03mol生成。
同様に硫酸ナトリウム0.01molからもイオンが0.03mol生成。
合計0.06mol
水は全部で400g

氷がx(g)生じるとすると、
0.06*1000*1.86/(400 - x) = 0.46
11160 = 18400 - 46x
46x = 7240
x≒157(g)

>>441-442
読んでみます。

>>443
イオンにわかれたあと、BaSO4 は沈殿しますよ。

>>437
大学名だけでは問題のレベルは一概に決まらないような気がします。

というわけで、もう投下しない予定でしたが1題投下。
時間のある方、どうぞ。


関数f(x)はすべての実数xに対して定義され、全ての実数xで微分可能であるとする。
このとき、以下の命題について、正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ。

(1) x_1 < x_2 を満たすすべての実数x_1, x_2に対してf(x_1) < f(x_2) が成り立つとする。
　　このとき、すべての実数xに対して f'(x) > 0 である。
(2) f(0) = 0 かつ、すべての実数xに対してf'(x) > 0 ならば、lim[x→+∞] = +∞ である。
(3) f(0) = 0 かつ、すべての実数xに対してf'(x) > 0 ならば、lim[x→+∞]∫[0, x]f(t)dt = +∞ である。

>>444
ありゃ…
出直してきます。

>>435
[化学7]
BaCl2 + Na2SO4 → BaSO4↓ + 2NaCl
NaCl → Na+ + Cl-
なので、生じるイオンは 2*2*0.01 = 0.04mol

氷がx(g)生じるとすると、
0.04*1000*1.86/(400 - x) = 0.46
7440 = 18400 - 46x
46x = 10960
x≒238(g)

いろいろ考えないといけないのね。
注意深くならないと。

>>441-442
k=-α　であったときには
f(x) が有理数係数の２次式になる可能性があるのでは？

>>447
正解です。[出題元　東工大]

>>448
α^2が無理数であることを証明しなければならないわけですか。
>>441の論だと、αがm√nの形で表せたらα^2は有理数になってしまう。

α^2 = cos^2 (π/7)
　　　 = {1 + cos(2π/7)}/2
cos(2π/7)は無理数だから…

とかじゃだめなのかな？


とりあえず、
(； ´Д｀）＜ 解答プリーズ

>>434
[66] [解答]
(1)cos3θ = 4cos^3θ - 3cosθ .
cos4θ = 8cos^4θ - 8cos^2θ + 1 .

(2)θ=π/7　とおく。
cos3θ=cos(π-4θ)=-cos4θ　に(1) を代入して、α=cosθ　を用いて書くと
8α^4 +4α^3 -8α^2 -3α +1 =0
(α+1)(8α^3 -4α^2 -4α　+1)=0
α≠1　より、G(x)=x^3 - (1/2)x^2 - (1/2)x + 1/8 とおくと、G(α)=0 を満たす。
i) αは無理数だから、f(x)は1次式ではない。
ii)f(α)=0 を満たす2次の有理数係数多項式f(x)が存在したと仮定する。各項の係数を2次の係数(≠0)
で割ることにより、2次の係数が1であるとしてよい。

G(x)をf(x)で割った商をx-m , 余りをr(x) とおくと、m は有理数、r(x)は1次以下の有理数係数の多項式で、
G(x)=(x-m)f(x) +r(x) . と書ける。これに x=α　を代入すると、
G(α)=(α-m)f(α) +r(α) . ∴r(α)=0 となり、(i) より、r(x)は多項式として0.
これより、　G(x)=(x-m)f(x) が得られ、G(x)=0 は有理数解x=m をもつことを意味する。
しかし、G(x)=0 の有理数解になり得る±1, ±1/2 ,±1/4 ,±1/8 はいずれも解にならないから矛盾である。

以上より、求めるf(x) の一つがG(x)であることが示された。次に、題意を満たすf(x)が
2つ存在したと仮定して、それをf_1(x) ,f_2(x) とする。
h(x)=f_1(x) -f_2(x) とおくと、h(x) は2次以下の0でない有理数係数多項式で、
h(α)=0 を満たすから矛盾が生じ、求めるf(x) はG(x)のみである。したがって
f(x)=x^3 - (1/2)x^2 - (1/2)x + 1/8 .■

[出題元 学コンの過去問]

>>445
(1)正しい。
(証明)
平均値の定理より、
{f(x_2) - f(x_1)}/(x_2 - x_1) = f'(c) (x_1 < c < x_2) を満たすcが存在する。……�@
x_1 < x_2 を満たすすべての実数x_1, x_2に対してf(x_1) < f(x_2) が成り立ち、
�@の左辺は正であるから 、右辺=f'(c) > 0 が成り立つ。したがって、f'(x) > 0　.


自信なし

>>445
(2)正しくない。
反例　f(x)=arctanx , これはf(0)=0 , f'(x)=1/(1+x^2)>0 だが、
arctanx →π/2 (x→∞) となるから。

(3)正しそう。

関数f(x)はすべての実数xに対して定義され、全ての実数xで微分可能であるとする。
このとき、以下の命題について、正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ。

(1) x_1 < x_2 を満たすすべての実数x_1, x_2に対してf(x_1) < f(x_2) が成り立つとする。
　　このとき、すべての実数xに対して f'(x) > 0 である。
(2) f(0) = 0 かつ、すべての実数xに対してf'(x) > 0 ならば、lim[x→+∞]f(x) = +∞ である。
(3) f(0) = 0 かつ、すべての実数xに対してf'(x) > 0 ならば、lim[x→+∞]∫[0, x]f(t)dt = +∞ である。

(1)正しい。
証明:f'(x)=lim[h→0] = f(x+h)-f(x)/h
ここで、lim[h→+0] = f(x+h)-f(x)/h このときx+h＞xなのでf(x+h)-f(x)＞0、またh＞0なのでlim[h→+0] = f(x+h)-f(x)/h ＞0
lim[h→-0] = f(x+h)-f(x)/h このときx+h＜xなのでf(x+h)-f(x)＜0、またh＜0なのでlim[h→-0] = f(x+h)-f(x)/h ＜0
結局、lim[h→0] = f(x+h)-f(x)/h＞0であり、f'(x)＞0
(2)偽である。反例：y=-e^(-x) +1　f'(x)=e^(-x)>0であるが、lim[x→+∞]f(x) = 1
(3)正しい。
証明:∫[0, x]f(t)dt =F(x)とおく。f(0) = 0 かつ、すべての実数xに対してf'(x) > 0なので、x >0においてf(x)>0である。
ここで、f(1)=aとする。この時a>0　また、x>1に対してf(x) >a
このとき、x>1に対しF(x) >a(x-1)
lim[x→+∞]a(x-1) =+∞なので、im[x→+∞]∫[0, x]f(t)dt = +∞

(2)の問題は勝手にこうだったのだろうと解釈。
今まで何度も名無しで投稿しとったけど名無しは参加しないほうがよいと言われたのでコテ付けたほうが良いのか･･･

>>451-453
ありがとう。
難しいなぁ…

>>457
＞名無しは参加しないほうがよい
あまり気になさらずに。
名無しの参加も歓迎するスレです（>>423)


さて、>>445について。
>>456では(2)でf(x)=arctanxとしましたが、出題者の意図としては
おそらく高校範囲内の>>457 f(x)=-e^(-x) +1の方でしょう。
(3)は>>457でOK。

残るは(1)です。
一見正しそうに見えますが…
条件では早い話が、すべての実数xに対してf(x)は単調増加だということなのですが、
このような場合でも f'(x) > 0 以外になることがなかったでしょうか？

(1)正しくない
y=x^3 はすべての実数xに対してf(x)は単調増加だが、
f'(0)=0 となるから。

これでいいのかな？

書いてからf(x)=x^3に気づいた。時すでに遅し。
極限だと≧になるんだっけ。ロルの定理の証明とか考えてみればそうだもんなあ。

>>459
正解です。盲点ですよね。
[出題元　'03千葉大]

[67]
a , b , c は実数とする。3次方程式
f(x)=x^3 +ax^2 +bx +c=0　において、
1つの解が1で他の2つの解はその絶対値が
いずれも1であるための必要十分条件を求めよ。

[68]
2つの複素数 α　, β　が等式
α　+β　= |α|　+|β| .
を満たせば、α と β　はいずれも負でない実数であることを示せ。

>>462-463
いずれも良質な問題ですね〜
センスがいいと思います

[67]
a , b , c は実数とする。3次方程式
f(x)=x^3 +ax^2 +bx +c=0　において、
1つの解が1で他の2つの解はその絶対値が
いずれも1であるための必要十分条件を求めよ。

f(1)=0なのでa+b+c+1=0が必要。
このとき、f(x)=(x-1){x^2 +(a+1)x +a+b+1}
これより、x^2 +(a+1)x +a+b+1=0の二解の絶対値が1であることが必要。
(i)D＞0のとき
このとき、二解は異なる実数なので、どちらも絶対値が1とするとどちらかの解は1になる。
x=1が重解になり不敵
(ii)D=0のとき
重解を持つから不適
(iii)D＜0のとき
このとき二解は互いに共役な二虚数である。よって、それらの絶対値が1となるには
その解の一つ　-(a+1)/2 +√{4(a+b+1) -(a+1)^2}i/2の絶対値が1であればよい。
すなわち、(a+1)^2/4 + {4(a+b+1) -(a+1)^2}/4 =1
a+b+1=1 a+b=0
このもとでD＜0となるには、(a+1)^2-4(a+b+1)＜0
(a+1)^2＜4すなわち-3＜a＜1
また、このときc=-1

逆に、-3＜a＜1,b=-a,c=-1とすると、逆にたとればx=1を解に持ち
その他の二解も互いに異なり、どちらも絶対値が1であることは容易に調べられる。

よって、-3＜a＜1,b=-a,c=-1

[68]
2つの複素数 α　, β　が等式
α　+β　= |α|　+|β|.
を満たせば、α と β　はいずれも負でない実数であることを示せ。

α　+β　= |α|　+|β|が成立する以上、|α+β|　= |(|α|　+|β|)|が成立する。
|(|α|　+|β|)| = |α|　+|β|だから、|α+β|　= |α|　+|β|
ここで、任意の複素数Z1,Z2について|Z1 +Z2|　≦ |Z1|　+|Z2|が成立し
等号成立はその二つの複素数の偏角が等しいときであるから、
α、βの偏角は等しい。また、この偏角をθとするとα　+β=( |α|　+|β| )(cosθ +isinθ)
ここで、 α　+β　= |α|　+|β|が成立するから
cosθ +isinθ=1 すなわちθ=0
これよりα、βはいずれも負でない実数。

任意の複素数Z1,Z2について|Z1 +Z2|　≦ |Z1|　+|Z2|が成立することの証明
|Z1| =a,|Z2|=b、arg Z1=θ、arg Z2 =φとおくと、
（ |Z1|　+|Z2|）^2 - |Z1 +Z2|^2 =a^2 +2ab +b^2 - | acosθ+bcosφ +i(asinθ +bsinφ)|^2
=a^2 +2ab +b^2 - (acosθ+bcosφ)^2 -(asinθ +bsinφ)^2
=2ab{1-cos(θ-φ) }≧0
等号成立はcos(θ-φ)=1、すなわちφ=θ+2nπ

［67］の題意って三解がそれぞれ互いに異なるでよかったのかな？
そうでないとしたら-3≦a≦1になって、それとは別に解が-1,1(重解)の場合がある。

>465
題意より、次の場合が考えられます。
3解が
(1)1 ,1 , 1
(2)1 ,-1 , -1
(3)1 , 1 , -1
(4)1 , 絶対値1の共役虚数

(1)〜(3)も題意を満たすことに注意してください。

>>466
正解です。
[出題元　1973年お茶の水女子大]

明日18：00頃までに問題投下する予定。
解きたい人はどうぞ。

部分的に修正

(i)D＞0のとき
このとき、二解は異なる実数なので、二解は-1及び1。
このとき、解と係数の関係からa+1=0,a+b+1=-1
よってa=-1,b=-1(このときc=1)
(ii)D=0のとき
重解を持つから 、その重解が1か-1
解と係数の関係からa+b+1=1 a+b=0
a+1=±2 a=1,-3
(a,b,c)=(1,-1,-1),(-3,3,-1)

(i)(ii)(iii)をあわせると
(a,b,c)=(-1,-1,1) もしくはkを-3≦k≦1なる任意の数として(a,b,c)=(k,-k,1)
であることが必要かつ十分

PC消してから解が1,1,-1でない時に
三解を1,cosθ+isinθ,cosθ-isinθと置いたら楽なんじゃないかと気付いた。

>>470
正解です。

>>471
そうですね。f(x)=(x-1)(x-cosθ-isinθ)(x-cosθ+isinθ) とおいて、
展開して係数を比べて、-1≦cosθ≦1　から答えがでますね。

[69]
次の極限値を求めよ。
lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)

>>473
[69]
順列は自然数に対して定義されているから、
0 < n < n+1 < n+2 < … < 2n
として問題ない。

相加平均・相乗平均の関係より
{2n + (2n - 1) + … + (n + 1)}/n ≧ {2n(2n - 1)…(n + 1)}^(1/n)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = (P[2n ,n])^(1/n) > 0
0 < (1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) ≦ {2n + (2n - 1) + … + (n + 1)}/(n^2)
　　　　　　　　　　　　　　　　 = 2/n + (2/n - 1/n^2) + … + (1/n + 1/n^2) → 0 (n→∞)
∴はさみうちの原理により、lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) = 0


これでいいのやら…
どうも試験日が近づくと自信が無くなってくる。

>474
一見すると正しそうですが、相加平均・相乗平均の関係の左辺に問題があります。
{2n + (2n - 1) + … + (n + 1)}=(n + 1)+(n + 2)+…+(n + n) = n*n + 1/2*n(n+1) ……�@
なので、そのやり方だと、
0 < (1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) ≦ {n*n + 1/2*n(n+1)}/n^2 → 3/2 (n→∞) となるはずです。

つまり、�@を n^2 で割る操作のところでミスってます。

今気付いたんだけど、
>>428 (2) では不十分な気がするので模範解答を書いておきます。
>>426
[65]
(2)[解答]
閉区間[a , b] を含む区間の任意の2点を x_1 , x_2 (x_1 < x_2) とすると、平均値の定理から
{f(x_2) - f(x_1)}/(x_2 - x_1) = f'(c) (x_1 < c < x_2) を満たすcが存在する。この区間で
f'(x) < 0 だから、{f(x_2) - f(x_1)}/(x_2 - x_1) < 0
x_2 - x_1 >0 だから f(x_2) - f(x_1) < 0 .
よって、x_1 < x_2　である任意の2点でf(x_1) > f(x_2) .
ゆえに、f(x) は減少関数である。■


[出題元　大分医大]

>>475
やはり一筋縄にはいかないのですね。

どうやら他科目の勉強をもっとやらないとやばそうなので、
誰か他の方、お願いします。
すいません。

　凸５角形の面積をS,対角線でつくられる小５角形の面積をS'とするとき、
　S'/S の最大値 きぼんぬ。

次の連立方程式を解け。

x+y+z=100, x^2+y^2=z^2, xy=300.
　　　　　　　　　　　　　　　　　（京都大）

次の連立方程式を解け。


u+v=1, uv+vy=2, ux^2+vy^2=6, ux^3+vy^3=22.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪歯大）

x^2-yz=1, y^2-zx=2, z^2-xy=3.
　　　　　　　　　　　　　　　　（東京医大）

平地に3本のテレビ塔がある。ひとりの老人がこの平地の異なる3地点、A,B,Cに立って、
その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうちの二つの先端が重なって見えた。
このときA,B,Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ。
（京都大）

A地とその西1260kmにあるB地との間に旅客機が往復している。ある日毎時60kmの西風をついて
A地を出発したが、帰り道には無風のときの速さに比べて17kmだけ遅かったという。もし風がなかったら、
A, B, 両地を何時間で旅行できるか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（慶応大）

毎分一定の水量が湧き出る池を、満水のときから、いったん全部排水するのに、甲、乙2本の管がある。
甲管だけで排出すると、乙管だけの場合より、10分早く排水する。また10分間甲管を使用してから、甲
管を閉じ、直ちに乙管を使用すれば、その後15分で排水できる。ただし、各管の排水速度はそれぞれ
一定とする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪大）

二次以下の実数係数多項式
f(x)=a+bx+cx^2
全体で作る線形空間をＶと定義する

（１）
Ｖの変換
Ｔ：f(x)→∫[-1,1](t-x)^2f(t)dt
はＶの線形変換であることをしめせ
（２）
基底{1,x,x^2}に関してこの線形変換Ｔ
をあらわす行列をもとめよ

「名工大」

1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)であり、nが奇数であるときは
(1/a^n)+(1/b^n)+(1/c^n)=((1/a)+(1/b)+(1/c))^nが成り立つことを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（関西学院大）


a≧2, b≧2, c≧2, d≧2のとき、次の不等式を証明せよ。

abcd>a+b+c+d.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（名古屋大）

正三角形ABCの頂点Aから辺ABとなす角がθ
の方向に正三角形の内部に向かって出発した
光線を考える。この光線は正三角形の
各辺で入射角と反射角が等しくなるように
反射し、頂点に達するとそこで止まるものとする
。また三角形の内部では直進するものとする
（１）
tanθ=√3/4のとき光線はどの頂点にとまるか？
（２）
tanθ=√3/(6k+2)　のときこの光線はが
到達する頂点をもとめまたそこにいたるまでの
反射の回数をもとめよ

log2=0.3010, log3=04771から次の値を計算せよ。
（ただしlogは常用対数を表しているとする。）

(1) log125.
(2) log cos30°.
(3) log (0.2)^(1/3).　　（原題では「3乗根0.2」という表記だった。）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（東京大）

二次方程式x(x-a)+m(x-b)(x-c)=0がmのすべての正の値に対して実根をもつための必要十分条件を
a, b, cの大小関係によって表せ。ただしa, b, cは相異なる正数とする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（京都大）

4点A, B, C, Dがこの順に1直線上にあるとき
AB・CD+AD・BC=AC･BDであることを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（岐阜大）

(1)平行四辺形ＡＢＣＤが与えられている。この中に最大面積の三角形ＰＱＲがはいっている。三角形ＰＱＲの位置について、次のことを証明せよ。
(イ)頂点Ｐ，Ｑ，Ｒは平行四辺形ＡＢＣＤの周上にある。
(ロ)三角形ＰＱＲの少なくとも一辺は、平行四辺形ＡＢＣＤの一辺と一致する。
(2)面積が１の三角形は、面積が２より小さい平行四辺形の中には、はいらないことを証明せよ。
（京都大）

[69]
次の極限値を求めよ。
lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)

(P[2n ,n])^(1/n) は正なので自然対数をとると
log｛(P[2n ,n])^(1/n)｝=(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk
logxは単調増加なので、Σ［k=n+1,2n］logk＜∫［n+1,2n+1］logxdx＜∫［n+1,2n+2］logxdx
∫［n+1,2n+2］logxdx =2(n+1)log(2n+2) -2(n+1) -(n+1)log(n+1) +(n+1)
=(n+1)log(n+1) +2(n+1)log2 -(n+1)＜2nlog(2n) +2nlog2 =2nlogn +4nlog2
よって、(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk＜2logn +4log2
すなわち、(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) ＜2logn/n +4log2/n
ここで、0＜(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)は明らか
また、lim［n→∞］(2logn/n +4log2/n) =0
∵lim［n→∞］(logn/n)=0(これはn＞0のとき√n ＞lognから証明可能)
よってはさみうちの定理より、lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) =0

東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
�@与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
�A1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

次の連立方程式を解け。
x+y+z=100, x^2+y^2=z^2, xy=300.

z=100 -(x+y)より
x^2+y^2=10000 -200(x+y) +(x+y)^2
整理すると
200(x+y) =10000 +2xy これにxy=300を代入して
200(x+y)=10600
x+y=53
よって、x,yはt^2 -53t +300=0の二解
どちらにせよz=47
x,y=53/2 ±√(1609)/2

平地に3本のテレビ塔がある。ひとりの老人がこの平地の異なる3地点、A,B,Cに立って、
その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうちの二つの先端が重なって見えた。
このときA,B,Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ。
（京都大）

3本のテレビ塔の先端をそれぞれX,Y,Zとすると、条件からA,B,Cは平面XYZ上にある。
また、平地を平面Gとすると、A,B,Cは平面G上にある。平面Gと平面XYZは異なる。
また、平面Gと平面XYZが交わる部分はある一直線である。
よって、平面G及び平面XYZにあるA,B,Cはこの直線上にある。

［問い］
（1）　cos4θを cosθ の整式で表わせ。
（2）　cos11°＞0.98 を証明せよ。

ｘｙ平面上の 円C: x^2+y^2=1　の周上または内部を通る直線ｌを考える。
ｌを軸としてCを回転させてできる立体をKlとするとき、Klとして考えられ
る全ての立体の共通部分の体積を求めよ。

a≧2, b≧2, c≧2, d≧2のとき、次の不等式を証明せよ。
abcd>a+b+c+d. 　　　　　　　　　　　　　（名古屋大）

a≧2, b≧2のとき、ab≧a+bを示す。
ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1
a≧2, b≧2より(a-1)≧1, (b-1)≧1
よって(a-1)(b-1)≧1なので(a-1)(b-1)-1≧0
よってab≧a+b　等号成立はa=b=2

これを用いると
abcd ≧(a+b)(c+d) ≧a+b+c+d (a+b≧2かつc+d≧2は明白、また各項は正)
等号成立はa=b=c=d=2かつa+b=c+d=2　すなわち等号成立はない。
よってabcd>a+b+c+d

座標平面上の単位円Cの内部は鏡になっているものとする。
いま、C上の点P_1からC上の点P_2にむかって光線を発射した。
P_1を出た光線はP_2で反射し、さらにC上の点A_1, A_2, A_3, …で反射しながら進む。
A_1, A_2, A_3, …がすべて有理点（各座標がいずれも有理数であるような点）となるための必要十分条件は
P_1, P_2が共に有理点であることを証明せよ。

[69]
次の極限値を求めよ。
lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)

今見てみたら全く意味不明の解答になってた。何じゃコリャ。減点-100。やり直し。

>>492
(1)
cos4θ = 2(cos2θ)^2 -1 = 2{2(cosθ)^2 -1}^2 -1 = 8(cosθ)^4 -8(cosθ)^2 +1 .

(2)
cos44°=cos4*11°> cos45°=√2/2
ここで、(1)において θ=11°　とし、cos11°=x とおいて上の式に代入すると、
8x^4 -8x^2 +1-√2/2 > 0
x^2 < {4 - √(8 + 4√2)}/8 , x^2 > {4 + √(8 + 4√2)}/8

　　2 > 1.99996164 = (1.4142)^2　
⇒√2 > 1.4142
⇒4√2 > 5.6568
⇒8 + 4√2 > 13.6568 > 13.56596224 = (3.6832)^2
⇒√(8 + 4√2) > 3.6832
⇒{4 - √(8 + 4√2)}/8 < 0.0396

　x=cos11°> cos30°=√3/2
∴x^2 > 3/4 = 0.75 だから、
x^2 > {4 + √(8 + 4√2)}/8 の方だけを考えればよい。

　　√(8 + 4√2) > 3.6832
⇒{4 + √(8 + 4√2)} > 7.6832
⇒{4 + √(8 + 4√2)}/8 > 0.9604 = (0.98)^2

∴x = cos11° > √[{4 + √(8 + 4√2)}/8] > 0.98 ■


2乗計算が死ぬほど面倒だった。別のもっとうまいやり方がきっとあると思うんですが、わかんなかった。

上の方に問題がたくさんあるようなので、age

>>492 の(2) うまい方法があったら誰か教えてください。

>>483
(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)であり、nが奇数であるときは
(1/a^n)+(1/b^n)+(1/c^n)={(1/a)+(1/b)+(1/c)}^n が成り立つことを証明せよ。

[解答]
　　(1/a)+(1/b)+(1/c)= 1/(a+b+c)
⇔(ab + bc + ca)/abc = 1/(a+b+c)
⇒(a + b + c)(ab + bc + ca) = abc　(←両辺に abc(a + b + c) を掛けた)
⇒(b + c)a^2 +(b + c)^2*a + bc(b + c) = 0
⇒(b + c){a^2 +(b + c)a + bc} = 0
⇒(b + c)(a + b)(a + c) = 0
⇒b + c = 0 or a + b = 0 or c + a = 0

b + c = 0 のとき、c = -b ⇒ c^n = -b^n . (∵n は奇数)　このとき、
左辺 = (1/a^n)+(1/b^n)+(1/c^n) = (1/a^n)+(1/b^n)-(1/b^n) = 1/a^n
右辺 = {(1/a)+(1/b)+(1/c)}^n = {(1/a)+(1/b)-(1/b)}^n = (1/a)^n = 1/a^n
したがって、(1/a^n)+(1/b^n)+(1/c^n)={(1/a)+(1/b)+(1/c)}^n　が成り立つ。
同様に、a + b = 0 のときは、両辺は 1/c^n , c + a = 0 のときは両辺は 1/b^n になり、
いずれの場合においても等式は成り立つ。■


[出題元　関西学院大]

(2)
θ＝11°とおくと
cos44°＝8(cos11°)^4-8(cos11°)^2+1＞１/√2
整理して
8√2(cos11°)^4-8√2(cos11°)^2+√2-1＞０
解の公式を用いてとくと
(cos11°)^2=(2±√(2+√2))/4≒0.961（プラスのほう）
よって
cos11°≒0.9803＞0.98　　　　

>>499
これはどう？

[69]
次の極限値を求めよ。
lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)

(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) は正なので自然対数をとると
log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝=(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk -logn
logxは単調増加なので、Σ［k=n+1,2n］logk＜∫［n+1,2n+1］logxdx＜∫［n+1,2n+2］logxdx
∫［n+1,2n+2］logxdx =2(n+1)log(2n+2) -2(n+1) -(n+1)log(n+1) +(n+1)
=(n+1)log(n+1) +2(n+1)log2 -(n+1)=nlog(4n+4) +log(4n+4) -(n+1)＜nlog(4n+4) +log5n -(n+1) (n≧1とした。)

また、Σ［k=n+1,2n］logk＜∫［n,2n］logxdx =2nlog2n -nlogn -n =nlog4n -n
これよりlog4n -1＜(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk＜log(4n+4) +(1/n)*log5n -(1+1/n)
よって、log4 -1/logn＜log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝＜log(4+4/n) +(1/n)*log5n -(1/logn +1/nlogn)
ここで、lim[n→∞](log4 -1/logn)=lim[n→∞]log(4+4/n) +(1/n)*log5n -(1/logn +1/nlogn) =log4なので
lim[n→∞]log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝=log4
logxは連続関数なので、lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) =e^(log4) =4

こんどこそ。

>>502
約分できたのね。気付かなかった.さんくす。
それでやってみると、2乗計算は一桁減らせた。
それでも、4桁*4桁　は面倒だなあ。


>503
惜しいですね。最初に相加相乗平均の不等式を用いて、直接値は求まらなかったとはいえ、( >>475 )
正しい評価は得られているので、(下の不等式ね)

0 < (1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) ≦ {n*n + 1/2*n(n+1)}/n^2 → 3/2 (n→∞) 　

極限値が　3/2 以下であることが分かりますね。
したがって、求める極限値は 4 とはなりません。

ここの人等は受験組じゃないのかな？直前になってもまったく流れがかわってないし。

ひでぶ。計算ミスってる。

(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) は正なので自然対数をとると
log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝=(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk -logn
logxは単調増加なので、Σ［k=n+1,2n］logk＜∫［n+1,2n+1］logxdx＜∫［n+1,2n+2］logxdx
∫［n+1,2n+2］logxdx =2(n+1)log(2n+2) -2(n+1) -(n+1)log(n+1) +(n+1)
=(n+1)log(n+1) +2(n+1)log2 -(n+1)=nlog(4n+4) +log(4n+4) -(n+1)＜nlog(4n+4) +log5n -(n+1) (n≧1とした。)
また、Σ［k=n+1,2n］logk＞∫［n,2n］logxdx =2nlog2n -nlogn -n =nlog4n -n

これよりlog4n -1＜(1/n)*Σ［k=n+1,2n］logk＜log(4n+4) +(1/n)*log5n -(1+1/n)
よって、log4 -1＜log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝＜log(4+4/n) +(1/n)*log5n -(1 +1/n)
ここで、lim[n→∞](logn)/n=0なので、lim[n→∞]{log(4+4/n) +(1/n)*log5n -(1 +1/n)}=log4 -1
よってはさみうちの定理より
lim[n→∞]log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝=log4 -1
logxは連続関数なので、lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) =e^(log4 -1) = 4/e

三度目の正直。4/eは3/2より小さいからきっと大丈夫。

>>505 自分は来年。

>506
正解です。
[出題元　1968年東工大]

>>505
夜明けのマゾ氏（と月影さん）は受験組ですよ。
その証拠に来てませんし

グッドタイミングで現れましたよ〜。
お医者さんになろう☆医学部への数学をこの半月、
２００時間かけてしゃぶり尽くし（３周）ました。余りの難しさに発狂寸前でした。
って訳でアマゾンで今度は河合の二次対策シリーズでも買って引き続き解きまくるつもりっす。
英語もお医者さんになろう☆医学部への英語を終えました。
しかし依然駄目。数学は全く苦手意識が抜けないし、
公式は未だ一つも暗記したとは言えない。解法もまだ少なくとも数百習得する必要があると痛感する。
自由英作は壊滅（これは恐らく俺自身中身のない人間だって事ッスね）だし、
空欄穴埋め問題は見事に外しまくりだし、単語は覚えたそばから忘れるし、駄目だこりゃぁ〜。

あ〜あ。来月の今頃にはあれですかね。
『夜マゾ、東北花巻港の缶詰工場に就職内定！春から工員！』と言うエンディングを迎えそうな気が・・・orz
否、缶詰工場にすら拾ってもらえなさそう・・・もうホームレス一直線か・・・
あぁぁぁぁ厭だぁぁぁそんなのいやぁぁぁぁ　さ〜勉強しよ。

ところで４０氏、貴方は受験されるのですかい？
何故にそこまで余裕でいられるんですか？俺は本当に発狂の一歩手前だと言うのに・・・
うらやましいよ・・・その自信・・・その実力。堅実な人生設計の成せる業ですね。

俺もフリーターだからなぁ
偉そうな事言えない。ごめん>>509
今年受験でないから・・・。

もう一度考え直してみたらもっと単純であることに気づいた。
[69]
次の極限値を求めよ。
lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)

(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) は正なので自然対数をとると
log｛(1/n)*(P[2n ,n])^(1/n)｝=log［{P[2n ,n]/(n^n)}^(1/n)］
=(1/n)*Σ［k=1,n］log(1+k/n)
ここで、lim［n→∞］(1/n)*Σ［k=1,n］log(1+k/n)=∫［1,2］logxdx=2log2 -2 +log1 +1 =log4 -1
logxは連続なので、lim[n→∞](1/n)*(P[2n ,n])^(1/n) =e^(log4 -1) = 4/e

>>481
阪大の問題なにを聴きたいの？

>>511
乙。[類題　2004年東北大前期�B]
なお、区分求積法を用いるときは、「区分求積より…」の一言を明記しておいた方がいいようです。
東北大の教授によると、この問題の減点ポイントの一つらしいですから。
(もう一つのポイントは 「logx の連続性　」でこれは457氏はクリアしてます。)

>>509
もちろん受けるよ。

>>512
俺も思った。

>>484-487 までできた。


未解決は >>478 >>480 >>481(慶応大) >>482 (線形変換ってのが分かんない。)
>>489 >>493 >>495

[70]
自然数 n = 1 , 2 , 3 , …　に対して、(2 - √3)^n という形の数を考える。
これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数 m が存在して √m -√(m-1)
という表示をもつことを示せ。

[70]
自然数 n = 1 , 2 , 3 , …　に対して、(2 - √3)^n という形の数を考える。
これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数 m が存在して √m -√(m-1)
という表示をもつことを示せ。

(2-√3)^n　はa_ｎ,b_nを自然数としてa_n -b_n√3という形になる。（これは二項定理から容易に示せる。）
よって、これは√a_n^2 -√(3b_n^2)とかける。
よってすべてのnに対し、a_n^2 =3b_n^2 +1......�@を示せば十分である。
これを数学的帰納法により示す。
a_(n+1) - b_(n+1)√3 =(a_n -b_n√3)(2-√3)=(2a_n+3b_n) -(a_n +2b_n)√3
a_(n+1),b_(n+1),a_n,b_nは自然数なので、a_(n+1)=2a_n+3b_n　　b_(n+1)=a_n +2b_n
n=1のとき、�@は確かに成立している。
n=k(k≧1)で�@が成立すると仮定すると、a_k^2 =3b_k^2 +1
ここで、a_(k+1)^2=(2a_k+3b_k)^2 =4a_k^2 +12a_k*b_k +9b_k^2
3b_(k+1)^2 +1 =3(a_k +2b_k)^2 +1=3a_k^2 +12a_k*b_k +12b_k^2 +1
これらより、a_(k+1)^2 -(3b_k^2 +1)=a_k^2 -3b_k^2 -1=0
すなわち、a_(k+1)^2 =3b_(k+1)^2 +1
よって、n=k(k≧1)で�@が成立すると仮定すると、n=k+1でも�@が成立する。
すなわち、すべての自然数nに対し�@が成立。

よって、(2-√3)^n=a_n -b_n√3に対し、ある自然数m=a_n^2が存在し、√m -√(m-1)という表示を持つ。

おお。なんか上手くいった。この問題はおもしろいですね。

>>516
正解です。[出題元　1994年東工大後期�A]
難易度 C***
元ネタは「ペル方程式」というやつの特別な場合です。


なお、次のようにやれば帰納法を用いずに示せます。
[別解]
(2 +√3)^n = a + b√3　(a , b は自然数) とおけ、このとき、
(2 -√3)^n = a - b√3　. これらを辺々掛けると
1 = a^2 - 3b^2 . よって、
(2 -√3)^n = a - b√3 = √(a^2) - √(3b^2) = √(a^2) - √(a^2 -1) .
ゆえに題意は示された。■

>>480
u+v=1, uv+vy=2, ux^2+vy^2=6, ux^3+vy^3=22. （大阪歯大）
は

u+v=1, ux+vy=2, ux^2+vy^2=6, ux^3+vy^3=22. （大阪歯大）
　の間違いと思われる。

u+v=1とux^2+vy^2=6の積からux+vy=2の二乗を引いて
uv(x-y)^2=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

u+v=1とux^3+vy^3=22の積からux+vy=2とux^2+vy^2=6の積を引いて
uv(x+y)(x-y)^2=10

uv(x-y)^2=0とすると矛盾が生ずるのでx+y=5

以下はv, yの消去によりux^2+(1-u)(5-x)^2=6
ux+(1-u)(5-x)=2
これら2式からuを消去してx^2-5x+4=0 以下略
(x,y,u,v)=(1,4,2/3,1/3)or(4,1,1/3,2/3)

x^2-yz=1, y^2-zx=2, z^2-xy=3. （東京医大）

それぞれの式を辺辺引いて
(x-y)(x+y+z)=-1 , (y-z)(x+y+z)=-1 , (z-x)(x+y+z)=2

1, 2番目の式より　　　　　　　　　　　　　　　　
(x+z-2y)(x+y+z)=0 ∴x+z=2y

以下yを消去して
x^2-z(x+z)/2=1 , z^2-x(x+z)/2=3

定数項を消去して(x-z)(7x+5z)=0を得る

x=zとするとx=y=zとなり最初の式を満たさない
∴(x,y,z)=(5√2/6,-√2/6,-7√2/6)または(-5√2/6,√2/6,7√2/6)
>>481
慶応大の問題は設定が少なすぎて解けないと思う。
西風(偏西風？)なのに帰りも向かい風というのもなんだか?

gj

[71]
(1)2次関数 f(x) に対して　{f(t) - f(s)}/(t - s) = f’{(t + s)/2}　………(★)　が成立することを示せ。
　　ただし、t , s は t ≠ s なる任意の実数とする。
(2)t ≠ s なる任意の実数　t , s に対して　(★)　が成立するような関数 f(x) をすべて求めよ。

>>463
[別解]
α = p + qi , β = r + si (p , q , r , s は実数)　とおけて、題意の等式は
(p + r) + (q + s)i = √(p^2 + q^2) + √(r^2 + s^2) . …………�@
左辺の虚部は 0 で、 q + s = 0 . ∴　s = -q .
よって、　α = p + qi , β = r - qi .
�@は　p + r = √(p^2 + q^2) + √(r^2 + q^2) . …………�A
となる。ここで、
√(p^2 + q^2) ≧ | p | ≧ p , √(r^2 + q^2) ≧ | r | ≧ r ……�B　に着目して、
∴ √(p^2 + q^2) + √(r^2 + q^2)　≧ p + r ……………�C
今は�Cの等号が成り立つ場合であるから、�Bの等号が成り立ち、
q = 0 , p ≧ 0 , r ≧ 0 .
よって、α = p ≧ 0 , β = r ≧ 0
ゆえに題意は示された。■

保守？

そんなとこです。

>>524どこ大受けるの？

医学部かな？、失礼！そうならば大学名は結構です

ほしゅあげ

[71] は(2)お手上げ。平均値の定理？なんとなくf'(x)=ax+bになりそう。

>525-526
すいません。

>527
今から(2)の解答を書きます。
f(x)’’’　が存在することを示して、次にそれが　0　になることを示すと
f(x) が決定できます。(そのために(1)がある！)

>>521
[解答]
(2)　まず、f(x)’’’　が存在することを示します。
{f(t) - f(s)}/(t - s) = f’{(t + s)/2}　………(★)　において
t = x + h , s = x - h とおくと、
f’(x) = {f(x + h) - f(x - h)}/2h . となる。
この式は f’(x) が存在することを前提としているので、
右辺は x に関して微分できる。よって、左辺のf’(x) はx に関して微分可能である。
同様の議論を繰り返すと f’’(x) も微分可能である。したがって、f(x)’’’　が存在する。

次に、f(x)’’’　= 0 となることを示す。
(★)の分母を払うと、
f(t) - f(s) = (t - s)f’{(t + s)/2}
s を定数と見て、t に関して両辺を微分すると
f’(t) = f’{(t + s)/2} + (t - s)f’’{(t + s)/2}*1/2
さらに t を定数と見て、s に関して両辺を微分すると、
0 = f’’{(t + s)/2}*1/2　- f’’{(t + s)/2}*1/2 + (t - s)f’’’{(t + s)/2}*1/4
∴　(t - s)f’’’{(t + s)/2}　= 0 .
(t + s)/2 は全実数値をとり得るから、任意の実数 x に対して f(x)’’’= 0 を得る。
よって、 f(x) はたかだか2次関数である。逆にたかだか2次関数は　(★) を満たすので、
f(x) = ax^2 + bx + c . (a , b , c は任意の定数) ■

[出題元　昔のｔ大実戦模試]

なんとそんな方法が。見た目の形にとらわれて
他のアプローチを考えることができなくなっていたか。

ところで今年のが終わったらこのスレはどうするのでしょう？
単純廃棄？勿体無い気もする。

京大受けてきました。
さて、肝心の数学ですが…


易化したくせに撃沈しました。
ありえないミスを連発し、もうだめぽな予感。
おそらくこれが実力なのでしょう。

英語と化学は出来たけど、物理で大失敗しました。
いくら工学部といえども、合格は厳しい気がします。

とりあえず祈りつつ後期に向け勉強します。

>533
乙。俺も後期に向けて勉強です。中期も一応受けますが…。


>532
そう言ってくれる人がいるのなら、続けていってもいいかなと思う。
前期は多分落ちているので、このスレはとりあえず続けます。
自分は来期に突入する可能性が大です。　(；´Д｀)
さしあたって、（今までどおり）一日一問くらいのペースで問題投下する予定。
今日は投下できるかどうかは分かんないけど。



以下どうでもいい独り言
英語にもっと時間をかけなきゃいけない。
英語の勉強に毎日3時間はあてたい。

[72]
関数 f(x) に対し F(x) = ∫[0 , x]f(t)dt とおく。ある定数 a , b , c が存在して
F(x) = x^2 + ax|x - b| + cx . が常に成立し、さらに3つの条件
(i) f(x) は連続　
(ii) F(1) = 0　
(iii) f(0) = 1
がみたされているとする。このとき f(x) を求めよ。

[72]
関数 f(x) に対し F(x) = ∫[0 , x]f(t)dt とおく。ある定数 a , b , c が存在して
F(x) = x^2 + ax|x - b| + cx . が常に成立し、さらに3つの条件
(i) f(x) は連続　
(ii) F(1) = 0　
(iii) f(0) = 1
がみたされているとする。このとき f(x) を求めよ。

F(x)=x^2 + ax^2 - abx + cx(x≧b)
　　　 x^2 - ax^2 + abx + cx(x＜b)
よって、f(x)= 2x + 2ax - ab + c(x＞b)
　　　　　　　　 2x - 2ax + ab + c(x＜b)
f(x) は連続なので、x=bにおいても連続でなければならないから
2b +2ab -ab +c = 2b - 2ab + ab + c すなわちab=0
このときF(x)=x^2 + ax^2 + cx(x≧b)
　　　　　　　　 x^2 - ax^2 + cx(x＜b)
f(x)= 2x + 2ax + c(x≧b)
　　　 2x - 2ax + c(x＜b)
このもとで、f(0)=1より、bの値にかかわらずc=1
よってF(x)=x^2 + ax^2 + x(x≧b)
　　　　　　　x^2 - ax^2 + x(x＜b)
f(x)= 2x + 2ax + 1(x≧b)
　　　 2x - 2ax + 1(x＜b)

(i)b＞1のとき
F(1)= -2a+3 よって、a=3/2 このときb=0これはb＞1に反する。
(ii)b≦1のとき
F(1)=2a+3 =0 よってa=-3/2 このときb=0これはb≦1を満たしている。

よって、a=-3/2、b=0、c=1
これより
f(x)= -x +1(x≧0)
　　　 5x+1(x＜0)

>>536-537
一番最後でミスってます。
F(x)=x^2 + ax^2 + x(x≧b)
F(x)=x^2 - ax^2 + x(x＜b)
だから、
(i)b＞1のとき
F(1) = -a + 2 = 0 より　a = 2 このときb=0これはb＞1に反する。
(ii)b≦1のとき
F(1) = a + 2 = 0　より　a=-2 このときb=0これはb≦1を満たしている。
よって、a=-2、b=0、c=1
これより
f(x)= -2x + 1(x≧0)
f(x)= 6x + 1(x＜0)

　
となります。

[出題元　1994年東工大後期]
難易度　C***

gj

[73]
方程式　√(x^2 - p) = x - √(1 - x^2)　　が実数解をもつための p の条件を求めよ。

一応保守

>542
thanks.


>>487
(1)
(イ)
一つの頂点、たとえば P が平行四辺形の内部にあるとすると、QP を P のほうに延長し、周と交わる点を P’ とすれば、
△PQR < △P’QR
となり、△PQR が最大であることに反する。ゆえに、三頂点は平行四辺形の周上にある。■
(ロ)
三頂点がすべて平行四辺形の頂点と一致すれば、三角形の二辺が平行四辺形の辺と一致する。
つぎに、一つの頂点たとえば P が辺AB の A と B のあいだにある場合、対辺QR は辺CD と一致することを示す。
P から辺AD に平行な直線をひき、CD との交点を S とする。
△PQR ≦ 四角形PQRS = △PQS + △PRS = △PCS + △PDS = △PCD
∴ △PQR ≦ △PCD
△PQR は最大であるから、等号がなりたち、 Q , S , R は一直線上にある。
すなわち QR は辺CD と一致する。ゆえに題意は示された。■

(2) (1)により、平行四辺形にはいる最大面積の三角形では、その一辺が平行四辺形の一辺と一致し、
これに対する頂点は平行四辺形の対辺上にある。よって、最大三角形の面積は平行四辺形の面積の 1/2 に等しい。
ゆえに、面積が 1 の三角形は、面積が 2 より小さい平行四辺形にははいらない。■

>>40氏

あんたが来期に突入！？なんじゃそりゃぁ！？
日本のトップ医学部三傑でも受けたんですかい？
勿論俺も撃沈でごわすorzこのまま消えてしまいたいっす。死んじゃいたい。
４０氏でもう１年かかるなら・・・俺はあと３年・・・激鬱。絶対無理。

>>544
TO大を受けた模様

いろいろ考えてもこんな汚い解法しか思いつかなかった。

[73]
方程式　√(x^2 - p) = x - √(1 - x^2)　　が実数解をもつための p の条件を求めよ。

まず、(左辺)=(右辺)=ある虚数　となることはない（右辺が虚数のとき|x|＞1 このとき左辺は純虚数、右辺はそうでない）
左辺が実数であるxについて左辺は0以上なので、右辺も0以上
右辺が0以上となるのは1/√2≦x≦1であることは容易に確かめられる。
1/√2≦x≦1 で左辺が実数となるのは p≦1/2ならば範囲すべて、1/2＜p≦1ならば√p＜x≦1、1＜pならば実数とならない。
よってまずp≦1
x=sinθ（π/4≦θ≦π/2 かつ1/2＜p≦1ならば√p＜sinθ≦1）とおくと
√(sin^2 θ -p) = sinθ -cosθ　両辺正なので二乗して
sin^2 θ -p = 1 -2sinθcosθ　半角の公式などを用い整理すると
2sin2θ -cos2θ = 2p+1
√5 sin(2θ+α)　= 2p+1(ただし、αはcosα=2/√5、sinα= -1/√5なる角)
sin(2θ+α) =2p/√5 +1/√5
よって、左辺の取りうる値の図を描くとhttp://msibasho.hp.infoseek.co.jp/sin.png
これより、1/√5≦2p/√5 +1/√5≦1ならばsin(2θ+α) =2p/√5 +1/√5は解を持つ。
整理すると、0≦p ≦(√5-1)/2

これじゃ1/2＜p≦1ならば√p＜x≦1の条件の検討ができないよ。うう・・・
微分じゃないよねきっと。二次に持ち込めるのかね？

>>546
答えは合ってます。√内が正かどうか場合分けで悩んでおられるようですが、一般に次のことが成り立ちます。
(以下は実数のみを考えることにし、√A は2乗して A になる 0 以上の実数とする。)

√A = B ⇔ A = B^2 かつ B ≧ 0 ………�@

(説明)
√A = B ⇔ A = B^2 かつ A ≧ 0 かつ B ≧ 0 .
これはすぐ分かると思います。ここで、 A = B^2　があれば、 B が実数である限り A = B^2 ≧ 0 が成り立つので、
A ≧ 0 は不要になり、�@が成り立つことになります。この機会に覚えておかれるとよいかと。

この問題では、
　　√(x^2 - p) = x - √(1 - x^2)　
⇔ x^2 - p = 1 - 2x√(1 - x^2)　かつ　x - √(1 - x^2) ≧ 0

となることから答えがでます。この同値変形を確認するための問題でした。
[出題元　1997年東京理科大・理工]

[74]
三角形ABC において、BC = 32 , CA = 36 , AB = 25 とする。この三角形の二辺の上に両端を持つ線分PQ によって、
この三角形の面積を二等分する。そのようなPQ の長さが最短となる場合の、P と Q の位置を求めよ。

>>485
(1) log125 = log5^3 = 3log5 = 3log(10/2) = 3(1 - log2) =3(1 - 0.3010) =3*0.699 = 2.097 .
(2) log cos30°= log(√3/2) = log√3 -log2 =1/2*log3 -log2 = 1/2*0.4771 -0.3010 = -0.06245 .
(3) log (0.2)^(1/3) =1/3*log0.2 = 1/3*log2/10 = 1/3*(log2 - log10) = 1/3*(0.3010 - 1) = 1/3*(-0.699) = -0.233.

[74]
三角形ABC において、BC = 32 , CA = 36 , AB = 25 とする。この三角形の二辺の上に両端を持つ線分PQ によって、
この三角形の面積を二等分する。そのようなPQ の長さが最短となる場合の、P と Q の位置を求めよ。

AB上にP、CA上にQがあるとし、AB→　= b、AC→ = cとおく。
このときAB上にP、CA上にQがあるので、p,qを0以上1以下の実数として
AP→　=pb、AQ→　=qcとおける。△APQ=1/2 △ABCより、pq=1/2（これより、p,qはともに1/2以上である）
ここで、PQ=|pb-qc|
PQ^2 = p^2 |b|^2 + q^2|c|^2 -b・c/2 ≧2√{(pq|b||c|)^2}　-b・c/2 =|b||c| - b・c/2
等号成立はp^2 |b|^2 = q^2|c|^2すなわちp= q*|c|/|b|
これよりq^2=|b|/2|c| これが1/4 以上1以下であれば等号は成立

これはP、QがそれぞれAB、BC上のとき、及びP、QがそれぞれBC、CA上のときにも同様である。
最小値が存在する条件はすべての辺同士の組み合わせが満たしている。
（∵どの辺も他の辺の二倍よりは小さいのでq^2=|b|/2|c| 　が1/4 以上1以下が成立している）
よって、AB上にP、CA上にQ があるときのPQ^2 の最小値は
25*36 - 897/2 =903/2
これをP、QがそれぞれAB、BC上のとき、及びP、QがそれぞれBC、CA上のときにも同様にすると
P、QがそれぞれAB、BC上のときのPQ^2の最小値は
25*32 - 353/2 =1247/2
P、QがそれぞれBC、CA上のときのPQ^2の最小値は
36*32 - 1695/2 =609/2

このうち、もっとも小さいのは609/2なので、PQ^2の最小値は609/2
このとき、PQも最小値をとりPQ=√1218 /2
CP→ =p*CB→ 、CQ→ =q*CA→とおくと、
このとき、q^2= |CB→|/2|CA→| = 32/2*36 =4/9 q=2/3 p=3/4
すなわち、PはCBを3:1に内分する点、QはCAを2:1に内分する点

>>550
正解です。解答の5行目に３箇所タイプミスがありますが、問題ないでしょう。
b・c の係数は 1/2 ではなく 1 ですね。正しくは↓　

PQ^2 = p^2 |b|^2 + q^2|c|^2 -b・c ≧2√{(pq|b||c|)^2}　-b・c =|b||c| - b・c


[出題元　1975年東大、他類題多数]

難易度　B**

[75]
辺の長さがAB=3、AC=4、BC=5、AD=6、BD=7、CD=8　である四面体ABCDの体積を求めよ。

[問題]


　　　　　　一辺ａの正四面体の各辺に接する球の半径を求めよ

>554
√6a/12 .

[75]
辺の長さがAB=3、AC=4、BC=5、AD=6、BD=7、CD=8　である四面体ABCDの体積を求めよ。

三角形ABCは∠BACが90°の直角三角形なので、
Aを原点、AからBの方向をx軸正の方向、AからCの方向をy軸正の方向とする座標を考える。
ここで、z軸は点Dのz座標が正になるものをとる。
点D(x,y,z)とおくと、
x^2 +y^2 +z^2 = 36
(x-3)^2 +y^2 +z^2 = 49
x^2 +(y-4)^2 +z^2 = 64
これより、(x-3)^2 -x^2 =13, (y-4)^2 -y^2=15
これらを解くと、x= -2/3, y=1/8
これより、z^2 = 36 -4/9 -1/64 = 20471/576
z=√20471 /24
体積は　3*4*1/2*(√20471 /24)*1/3= √20471/12

>>556
惜しい！
解答8行目は
(y-4)^2 -y^2 = 28 になりますから、y = -3/2 で
答えは　√1199/3　. 　です。

[出題元　2003年京大後期(文系)]
難易度　B***

しかし、この座標設定ができるのは流石ですね。
(なお、この問題は「東大」「才能」「数学」スレで投下されていました。)

[76]
(1) 1/x + 1/y + 1/z = 3/2 . をみたす自然数 x , y , z の組 (x , y , z) をすべて求めよ。
(2) n を自然数、r を正の有理数とする。このとき　Σ[k=1 , n]1/x_k = r . をみたす自然数 x_k の組
　　(x_1 , … , x_n) の個数は有限であることを示せ。

>>553
ベクトルでﾔﾙのは？
第一観ベクトルだと思った。

>>559
俺も最初はベクトルでやりました。>>556 のような座標設定は思いつかず。　(；´Д｀)
ベクトルを用いた解答は、時間があれば書きます。

[76]
(1) 1/x + 1/y + 1/z = 3/2 . をみたす自然数 x , y , z の組 (x , y , z) をすべて求めよ。
(2) n を自然数、r を正の有理数とする。このとき　Σ[k=1 , n]1/x_k = r . をみたす自然数 x_k の組
　　(x_1 , … , x_n) の個数は有限であることを示せ。

(1)まず、x≦y≦zとする。
このとき、3/2 = 1/x + 1/y + 1/z ≦3/xであるから、x=1,2
x=1とすると、1/y + 1/z = 1/2 このとき、 1/2≦ 2/yであるから、y=1,2,3,4
このうちzが自然数になるのはy=3,4 このとき、(x,y,z)=(1,3,6)(1,4,4)
x=2とすると 1/y + 1/z = 1 このとき、1≦ 2/y であるから、y≧xよりy=2、このときz=2
よって、これらの組み合わせとその並べ替えが条件を満たし、
(x,y,z)=(1,3,6)(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)(1,4,4)(4,1,4)(4,4,1)(2,2,2)
(2)まず、x_1≦x_2≦… ≦x_nとすると、
Σ[k=1 , n]1/x_k ≦ n/x_1 であるから
x_1 ≦ r/nであり、x_1は有限個の値しかとりえない。
同様にして、x_1の値それぞれに対して、x_2にも同様にすることにより、x_2も有限個の値となり、
x_3,x_4・・・・と繰り返すことによりすべてのx_k(k=1,2,・・・・,n)は有限個の値しか取り得ない。
よって、x_1≦x_2≦… ≦x_nとしたとき自然数 x_k の組 (x_1 , … , x_n) の個数も有限である。
これを並べかえたものの個数は当然有限であるから、
条件を満たす自然数 x_k の組 (x_1 , … , x_n) の個数は無論有限である。

>561
お見事です。
[出題元　1997年東工大前期�B(改)　(1)だけ2変数だったのを3変数にしました。]
原題の難易度 C***

[77]
x についての不等式 (5x - 3)/3 ≦ m ≦ (5x - 3)/2 . を満たす整数の解が
ただ1つになるような整数 m の最大値を求めよ。

[77]
x についての不等式 (5x - 3)/3 ≦ m ≦ (5x - 3)/2 . を満たす整数の解が
ただ1つになるような整数 m の最大値を求めよ。

(5x - 3)/3 ≦ m より　5x-3≦3m
x≦(3m+3)/5
また、m ≦ (5x - 3)/2より、 (2m+3)/5 ≦x
よって、(2m+3)/5 ≦x≦(3m+3)/5
これを満たす整数xがただひとつなので、少なくとも(3m+3)/5 - (2m+3)/5 が2より小さい。
(2以上のとき、ある整数解xがあるとして、x±1のうちどちらかは少なくとも解である。また、ひとつは解があることは明らか。)
すなわち、m/5 ＜2これよりm＜10
ところで、m=9について、21/5 ≦ x ≦ 30/5 =6で、x=5,6の二つの解がある
m=8について、19/5 ≦x ≦ 27/5 、x=4,5 の二つの解がある
m=7について、17/5 ≦x ≦ 24/5 、解はx=4 のみ
よって、mの最大値はm=7

[75]は逆にベクトルでやる方法が思いつかない・・・。

>564
正解です。

今日は投下なしです。

投下されたのを解いてばかりで申し訳ないので、問題を自力で作って投下。

nは自然数とする。
曲線C_n:y=x^3/n とx軸、及び直線x=nによって囲まれる領域の面積をSn
この領域の内部及び境界に存在する格子点の数をLnとするとき、
lim[n→∞]Ln/Sn を求めよ。

たぶん0か+∞発散以外になってるはず。

>567
thanks.

>>495の光の反射の問題を考え中。
円周内での反射だったら折り返しても意味なさそうだし、どうしたらいいんだろう？


未解決は >>410>>478 >>482 >>489 >>493

一旦age

>>567
f(x) = x^3/n　とおく。
S_n = ∫[0 , n]x^3/n dx = n^3/4 .
x = k 上の格子点数を l_k とおくと、 l_k = [f(k)] + 1
ここで、f(k) - 1 < [f(k)] ≦ f(k)
∴　f(k) < l_k = [f(k)] + 1 ≦ f(k) + 1
∴　Σ[k=0 , n]f(k) < Σ[k=0 , n]l_k = L_k ≦ Σ[k=0 , n]{f(k) + 1}　. ………�@
(i) Σ[k=0 , n]f(k) = f(0) + Σ[k=1 , n]k^3/n = 1/n*{1/2*n(n+1)}^2 = 1/4*n(n+1)^2　. (∵f(0) = 0 )
(ii) Σ[k=0 , n]{f(k) + 1} = 1/4*n(n+1)^2 + (n+1)
これらを�@に代入して、S_n = n^3/4 で割ると、
n(n+1)^2/n^3 < L_n/S_n ≦ n(n+1)^2/n^3 + 4(n+1)/n^3 .
(左辺) = n(n+1)^2/n^3 = (1 + 1/n)(1 + 1/n) → 1*1 = 1 . (n→∞)
(右辺) = n(n+1)^2/n^3 + 4(n+1)/n^3 = (1 + 1/n)(1 + 1/n) + 4(1 + 1/n)/n^2 → 1 + 0 = 1 .(n→∞)
よって、挟み撃ちの原理より、lim[n→∞]L_n/S_n = 1 .

[78]
n は 0 以上の整数とする。整数 x , y , z の方程式
x^2 + y^2 + z^2 = 2^n ………(★)　がある。
(1) n ≧ 2 のとき、(★) をみたす整数 x , y , z はいずれも偶数であることを示せ。
(2) n ≧ 0 のとき、(★) をみたす整数 x , y , z の組 (x , y , z) で、x ≧ y ≧ z ≧ 0 であるものが
　　ただ1組存在することを示し、この x , y , z を n を用いて表せ。

格子点の問題ってなにかコツがあるのかな〜？
苦手なんだよね。

>>569 正解です。

[78]
n は 0 以上の整数とする。整数 x , y , z の方程式
x^2 + y^2 + z^2 = 2^n ………(★)　がある。
(1) n ≧ 2 のとき、(★) をみたす整数 x , y , z はいずれも偶数であることを示せ。
(2) n ≧ 0 のとき、(★) をみたす整数 x , y , z の組 (x , y , z) で、x ≧ y ≧ z ≧ 0 であるものが
　　ただ1組存在することを示し、この x , y , z を n を用いて表せ。

(1)n≧2のとき、左辺は4の倍数である。
(a)x,y,zのうち奇数が1個か3個のとき　このとき左辺は奇数になり不適
(b)x,y,zのうち二つが奇数のとき
x=2k+1,y=2l+1,z=2m (k,l,m∈Z)とすると、
(左辺)=4(k^2 +l^2 +m^2 +k+l) +2であり、左辺は四の倍数でなく不適
よってx,y,zはすべて偶数。

(2)n≧2のとき、(1)よりx,y,zはすべて偶数なので、(★)の両辺を4で割ると
(x/2)^2 +(y/2)^2 +(z/2)^2 = 2^(n-2)
よってこれを繰り返し用いると、n≧2の(★)の解はn=0,1の解に対しx,y,zを二倍し
nに2を加えるという動作を繰り返すことですべて得ることができるのがわかる。ここで、
(i)n=0のとき　このとき右辺は1、明らかに解は (x , y , z) =(1,0,0)のみである。
(ii)n=1のとき　このとき右辺は2、明らかに解は(x , y , z) =(1,1,0)のみである。

よって、一般のnに対し
n=2k-1(k∈N)のとき、(x,y,z) = ( 2^{(n-1)/2} ,0,0)
n=2k(k∈N)のとき、(x,y,z) = ( 2^(n/2 -1) , 2^(n/2 -1),0)

>>572
(1)○
(2)
＞よってこれを繰り返し用いると、n≧2の(★)の解はn=0,1の解に対しx,y,zを二倍し
＞nに2を加えるという動作を繰り返すことですべて得ることができるのがわかる。

ここの部分をもう少し詳しく書いて頂けませんか。
あと、答えは

n=2k　(k∈N)のとき、(x,y,z) = ( 2^(n/2) ,0,0)
n=2k-1(k∈N)のとき、(x,y,z) = ( 2^{(n-1)/2} , 2^{(n-1)/2},0)

です。

追加でもう一つ

>>572 では　『(★) をみたす整数 x , y , z の組が「ただ1組であること」』　が言えていないと思います。

あれ、いいのかな。
574はスルーして下さい。

n≧2のとき、(1)よりx,y,zはすべて偶数なので、(★)の両辺を4で割ると
(x/2)^2 +(y/2)^2 +(z/2)^2 = 2^(n-2)
よって、n=k(k≧2)に対しある解(l,m,n)があったとすると、l,m,nはすべて偶数で、
n=k-2　に対しても解(l/2,m/2,n/2)が存在する。
また、任意のn=k'(k'≧0)に対して解(x,y,z)があったとすると
n=k'+2に対し解(2x,2y,2z)が存在する。
すなわち、n=m(m≧0)に対し
n=mの解とn=m+2の解は一対一に対応している。
よって、nが奇数の時の解はすべてn=1に対する解と一対一に対応し
nが偶数の時の解はすべてn=0に対する解と一対一に対応する。

う〜ん、なかなか上手く言うのは難しい。

下がってきたのでage

>>576
やっぱり分かってましたね。
その説明があれば完璧かと。

寝るまでに問題投下する予定。

[78]
[出題元　K大OP過去問]
正答率　41.7％


[79]
(1) n が正の整数のとき
　　√(n+1) - √n < 1/(2√n) < √n - √(n - 1)　.　が成り立つことを示せ。
(2) n = 10^4 のとき
　　1 + 1/√2　+ 1/√3 + …　+ 1/√n 　の整数部分を求めよ。

[79]
(1) n が正の整数のとき
　　√(n+1) - √n < 1/(2√n) < √n - √(n - 1)　.　が成り立つことを示せ。
(2) n = 10^4 のとき
　　1 + 1/√2　+ 1/√3 + …　+ 1/√n 　の整数部分を求めよ。

(1)f(x)=1/2√x とおくと、x>0においてf(x)は単調現象
よって、任意の自然数nに対しf(n) >∫[n,n+1]f(x)dx
すなわち、√(n+1) - √n < 1/(2√n)が成立
また、2以上の自然数nに対しf(n) <∫[n-1,n]f(x)dx
すなわち、(2√n) < √n - √(n - 1) が成立。これはn=1に対しても成り立っている。
よってn が正の整数のとき √(n+1) - √n < 1/(2√n) < √n - √(n - 1)　が成り立つ。
(2) (1)の結果から2√(n+1) - 2√n < 1/√n　これの各辺をn=1からn=10000まで加えると
2√10001 -2 < 1 + 1/√2　+ 1/√3 + …　+ 1/√n
また、1/√n < 2√n - 2√(n - 1) の各辺をn=2から10000まで加え、そのうえで両辺に1をくわえると
1 + 1/√2　+ 1/√3 + …　+ 1/√n　< 199
ここで、2√10001 >200より
198< 2√10001 -2 であるから、
198<1 + 1/√2　+ 1/√3 + …　+ 1/√10000　< 199
よって整数部分は198

>>579
(1)では「 y = f(x) のグラフは下に凸である 」という一言が欲しいですね。
これがないと、論理的に不十分であると思います。
あとは全く問題ないです。

[出題元　1994年早大政経]

[物理]
水平な板の上方 H[m] のところから、小さい球を静かに落とすとする。
板で2回はねかえった後の最高点の位置は、水平板から h[m] のところであった。
(1)板と球との間のはねかえり係数はいくらか。
(2)はじめに落としたときから、球が板の上で静止するまでにどれだけ時間がかかるか。
(3)球が静止するまでに、球の上下した距離の和はどれだけか。ただし重力の加速度を g[m/s^2] とする。

別に下に凸でなくても狭義単調減少なら十分では？

[物理]
水平な板の上方 H[m] のところから、小さい球を静かに落とすとする。
板で2回はねかえった後の最高点の位置は、水平板から h[m] のところであった。
(1)板と球との間のはねかえり係数はいくらか。
(2)はじめに落としたときから、球が板の上で静止するまでにどれだけ時間がかかるか。
(3)球が静止するまでに、球の上下した距離の和はどれだけか。ただし重力の加速度を g[m/s^2] とする。

(1)小球の質量をm(kg)、はねかえり係数をeとおくと
一回目の衝突の直前の速度はv=√(2gH) （下向き）なので、
二回目の衝突の直後の速度はe^2 √(2gH) （上向き）
エネルギー保存則から
1/2*me^4*2gH = mgh
よって、e^4 = h/Hすなわちe=(h/H)^1/4
(2)はじめの衝突までにかかる時間は√(2H/g) (H=1/2 *gt^2)
n回目の衝突から(n+1)回目の衝突までにかかる時間をnであらわす。
n回目の衝突直後の速度はe^n*√(2gH) なので、この時間は
2e^n*√(2gH) /g =2e^n*√(2H/g) とあらわされる。(v=v0 -gt)
よって静止までの時間は
t=√(2H/g) +Σ[n=1,∞]{2e^n*√(2H/g)}
=√(2H/g) +2e√(2H/g) /(1-e)
=(3+e)/(1-e) *√(2H/g)

(2)つづき
={3+(h/H)^(1/4)}/{1-(h/H)^(1/4) } *√(2H/g)

(3)n回目の衝突から(n+1)回目の衝突までにかかる時間をnであらわす。
まず、n回目の衝突から(n+1)回目の衝突までの最高点の高さを求めると
力学的エネルギー保存則より(最高点をh_nとした。)
1/2*me^(2n)*2gH = mgh_n
e^(2n)H = h_n
h_n = e^(2n)H
よって総移動距離は
L = H + Σ[n=1,∞]2h_n
= H +2He^2/(1-e^2)
= H*(1+e^2)/(1-e^2)
= H*{1+(h/H)^(1/2)}/{1-(h/H)^(1/2)}

端折り過ぎたかも。