数学の質問スレ【大学受験版】part34

>>916
残りの4人が自分の指定席以外に座る場合の数が9だから。

男子４人女子３人がいる時、
女子が隣り合わないような座り方は何通りか？

この問題で自分は、女子３人並ぶときと、女子二人が並ぶ時の数
を7人全体の数から引いたら答えが出ると思ったのですが、うまくいきませんでした。
この考えの何が間違ってるのでしょうか教えて下さい？

>>918
その９はどうやって求めるのでしょうか？

>>919
そこまでは問題ない、けど、そっから先でどこか間違えてるんだろうね。
おそらくは、｢女子2人が並ぶとき｣を数えるとき、その2人の隣に女子が来るのを排除していなくて、
｢女子3人並ぶとき｣と重複して引いてしまってるんじゃないかと。

>>919
女子二人が並ぶと考えた時、その女子二人の隣にさらに女子が並んでいるというケースを重複して数えているんじゃないかな？
すなわち

男　女　女女　男　男　男

のような状況。
これは女子三人の時にすでに数えているからはぶかなければならないよ。


この問題の場合は…

○　男　○　男　○　男　○　男　○

とならべて○五つのなかから女子が入る三つを選ぶという数え方がセオリーだね

かぶった…

吊ってきます

>>919
別にいいんじゃない？
考え方自体は間違ってないと思う。
ただ、女子２人が隣り合う時の計算がややこしいから、
そこで間違ってるんだと思う。

素直に、男子の間に女子を１人ずつ入れていくのが吉。

Σ (ﾟДﾟ;）

レスする前に、更新すればよかった・・・・。　　　orz

>>921-925
ワロタw

>>922 >>921 >>924
二人並んでいる時にさらにもう1人ならぶことなんか考えてませんでした。教えて下さってありがとうございます

>>915
AP・PH=2sinθ(cosθ)^2
=-2(sinθ)^3+2sinθ

この計算方法はどうやったらでるのかご教授願えませんか？

ｾﾝﾀｰ2Bで自信を持って8割以上取れる人っておる？

sinα＋sinβ＋sinγの最大値を求めよ
なおα＋β＋γ＝πとする

そんなん正三角形じゃんとかそういう答えは無しで
求め方みたいの分かる人いますか？

うん

>>930
二変数関数だから
かたっぽ固定してかたっぽうごかす
という定石をageてみるﾃｽﾄ

>>928
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
cosθがいらないからこの式を使う。三角関数のときは常に頭に入れておくべし。

関数ｆ（ｘ）＝ax^2＋bx＋ｃ
が
二点（0,3）(-2,-5)を通る
頂点は直線y＝x＋3上にある

この条件を満たすように係数a,b,cを求めよ。ただしa≠０、ｂ≠０,ｃ≠０とする

という問題の解答きぼん。
どうも途中で文字が消せなくなってしまうのですが。
aが消えないです。

>>933
ありがとうございます。
では、AP・PH=2sinθ(cosθ)^2になるのでしょうか？
こんな積の公式はあるのでしょうか？

>>935
ごめん、>>915の5行目以降2倍しといて。
AP・PH=2cosθ*sin2θ
sin2θ=2sinθcosθだから
AP・PH=4sinθ(cosθ)^2

>>934
頂点を(p,p+3)とおいて、放物線の式を
y=a(x-p)^2+p+3
にしてから２点を代入するといいよ。

>>936
ありがとうございます。
よろしければ、なぜ
AP=2cosθ
PH=APsinθ
になるのでしょうか？
画像をUPしてますので図を参考にご教授願います。
ttp://cgi.f6.aaacafe.ne.jp/~kirin/up/arc/302.jpg

>>934
2点（0,3）(-2,-5)を通ることより
c=3,4a-2b+c=-5
頂点の座標は(-b/2a,c-(b^2)/4a)
これがy=x+3を通るので
c-(b^2)/4a=-b/2a+3
これらを連立して
(a,b,c)=(-1,2,3),(-2,0,3)
b≠0より、後者は不適
よって(a,b,c)=(-1,2,3)

>>937
そっちの方が楽だね。

>>938
三角形ABPは直角三角形でAB=2
よってAP=2cosθ

三角形APHは直角三角形で
sinθ=PH/AP
よってPH=APsinθ

>>938
ΔABPが直角三角形だから、cosθ=AP/AB,AB=2
ΔAPHも直角三角形だから、sinθ=PH/AP

[イ]に入れる数を求めるんだから、
中心角=円周角*2より角POB=2θ
∴PO=1よりsin2θ=PH/PO=PH よって[イ]は2

の方がよいと思う。

>>940-941
ありがとうございます。
PH＝APsinθですよね？
AP＝2cosθを代入するんですよね？
となると、PH=2cosθsinθになりますよね？
なぜPHの解答はsin2θになるんですか？

>>943
２倍角の公式、というのがあるから
百回くらい唱えてみるといいよ

>>943
>>936の二倍角の公式

>>942 >>944-945
ありがとうございます。
2倍角の公式　sin2θ＝2sinθcosθですね。
100回ほど唱えます。

これで、この問題を解くことができました。
高３ですが、予備校にも行っており塾行っておらず誰にも質問することができませんでした。
本当に助かりました。　

>>937
すまそ。そこまでは分かるんですが
そこから先計算していくと詰まってしまいました。
比較して自分の計算の悪い面を発見したいので暇な方解答きぼん。

答えはa=-1 b=2 c=3

>>939
�dクス。別解として頭に入れておきます。
（０，３）からいきなりｃ＝３と出すなんで思いつかなんだ。

>>939の部分的別解でも。

c=3, 4a-2b+c=-5 より
c=3, b=2a+4
これを代入して、b,cを消去
y=ax^2+(2a+4)x+3
=a(x+(a+2)/a)-(((a+2)^2/a)+3
得られる頂点(-(a+2)/a, -(((a+2)^2/a)+3)がy=x+3にのっているので
-(((a+2)^2/a)+3=(-(a+2)/a)+3　これを解くと
-(((a+2)^2/a)=-(a+2)/a
(a+2)^2/a=(a+2)/a
(a+2)^2=a+2
(a+2)(a+1)=0

以下略でいいよね？

>>947
>>937のつづき

y=a(x-p)^2+p+3に与えられた２点の座標を代入
3=ap^2+p+3 (1)
-5=a(-2-p)^2+p+3 (2)

式(1)よりap^2+p=0
p(ap+1)=0
よってp=0またはap=-1

p=0を(2)に代入してa=-2、これはb=0となり不適
a=-1/pを(2)に代入すると、
-5=-(1/p)*(-2-p)^2+p+3、両辺にpをかけて
-5p=-(p^2+4p+4)+p^2+3p
これよりp=-1が得られる。

>>932
３つの角はすべて正（三角形の内角）ってことでいいんだよね？

まずγを固定すると、
sinα+sinβ
=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
=2sin((π-γ)/2)cos((α-β)/2)
=2cos(γ/2)cos((α-β)/2)
ここで、cos(γ/2)は正なので
この項が最大になるのはcos((α-β)/2)=1、すなわちα=βのとき
よってα=β=(π-γ)/2のとき最大となる。

このとき与式は
sinα+sinβ+sinγ
=2cos(γ/2)+sinγ、ここでγ=2θ(0<θ<π/2)とおいて
=2cosθ+sin2θ
これをθの関数f(θ)とおく。
f'(θ)=-2sinθ+2cos2θ
　　　=-2sinθ+2(1-2sin^2θ)
　　　=-4sin^2θ-2sinθ+2
　　　=-2(sinθ+1)(2sinθ-1)
あとは増減表書いて、θ=π/6のとき最大
もっと簡単にいけそうな気もするけど…

x^3-6x^2+9x-4=0
↓
(x-1)^2(x-4)=0


この因数分解の手順教えてください。

>>950
円の中に三角形書いて面積最大から考えれば初頭幾何だけですむかもね。

>>951
整数を代入していく。

ありがトン

放物線y=x^2の上の点A(a,a^2)における接線をl,点Aでlと、角θ、３θで交わる２直線l_1,l_2
と放物線とのA以外の交点のｘ座標をx_1,x_2とするとき、次の極限値を求めよ。
lim[θ→0](x_1-a)/(x_2-a)

この問題の解答が理解出来ません。教えて下さい。
l,l_1の傾きをそれぞれm,m_1とおくと、
y=x^2,y'=2xよりm=2a
m_1=((x_1)^2-a^2)/(x_1-a)=x_1+a
tanθ=|(m_1-m)/(1+mm_1)|
ここで何故tanθをこう置けるのかが分かりません。

tanの加法定理、二直線のなす角、をキーワードに三角関数のところを
教科書で確認汁

>>955
tanの加法定理
tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)

>>955の場合
直線lの傾き=m=tanα
直線l_1の傾き=m_1=tanβ
lとl_1の成す角=θ=|β-α|

tanθ=tan|β-α|
=|(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)|
=|(m_1-m)/(1+m*m_1)|

>>952
問題にα,β,γ>0って書いてないから、いきなり三角形で考えるのは危険じゃない?

>>958
そうだなw

円の中にある三角形で最大なのって初等幾何でできるの？

2回直角２等分線引けば良い

>>961
すみませんどういうことですか？

大体どういうことかわかりますが、僕と違う方法でしたらお願いします。
有名な誤った方法
一辺を固定する。このとき弧上を動く一点が最大なのは二等辺三角形。
他の辺についても同様にすれば正三角形のとき最大。

反復試行についてなんですが、nCr*p^r*(1-P)^(n-r)
というのが一般的な公式ですよね｡
nCr*p^r*q^m*(1-p-q)^(n-r-m)っていう使い方は可能ですか？

C1:x^2-y^2=1
C2:x^2-y^2=-1
点PはC1上を、点QはC2上を動くとする。
直線PQがC1またはC2の接線となるような任意のP,Qに対して
三角形OPQの面積は一定であることを示せ。

どうかよろしくおねがいします

>>964
mは何の回数？

>>965
P(t,u)とおくと、点PにおけるC1の接線の式は
l:tx-uy=1
であらわされる。また、PはC1上の点なので
t^2-u^2=1
が成立。
ｌの式を変形して x=(uy+1)/t
これをC2に代入すると
(uy+1)^2/t^2-y^2=-1 両辺にt^2をかけて
(uy+1)^2-t^2*y^2=-t^2
(u^2-t^2)y^2+2uy+(1+t^2)=0 t^2=1+u^2を代入
-y^2+2uy+(2+u^2)=0 これを解いて
y=u±√(2+2u^2)=u±t√2
よって、lとC2との交点Q1,Q2の座標は
(t±u√2,u±t√2)となる。（複号同順）
三角形OPQの面積は
(1/2)|t(u±t√2)-(t±u√2)u|=(1/2)√2となり、この値はPの位置によらず一定。
点Qにおける接線とC1との交点から進めても同様なので題意成立（証明終わり）

三角関数で置換とかしたら鮮やかな解ができそうな予感…思っただけ。