【下克上】センター数学180点を目指す人専用part2
28 ：センター予想問題 数学I・A：
第1問
[1] 2次関数 f(x)=x^2 -2(a-1)x +2a-2 がある。ただし、aは定数とする。
（1） f(x)の最小値をmとすれば、mはaを用いて
m=-a^2 +【ア】a -【イ】
と表わされる。このとき、mの最大値は【ウ】であり、m≧0 となる aの値の範囲は
【エ】≦a≦【オ】
である。
（2） 放物線 y=f(x) は、aの値にかかわらず、定点（ 【カ】 , 【キ】 ） を通る。
このことを利用して、2次不等式 f(x)＜0 の解に、ちょうど2つの正の整数が
含まれるような aの値の範囲を求めると、
【クケ】 【サシ】
――― ＜a≦ ―――
【コ】 【ス】
である。
[1] 2次関数 f(x)=x^2 -2(a-1)x +2a-2 がある。ただし、aは定数とする。
（1） f(x)の最小値をmとすれば、mはaを用いて
m=-a^2 +【ア】a -【イ】
と表わされる。このとき、mの最大値は【ウ】であり、m≧0 となる aの値の範囲は
【エ】≦a≦【オ】
である。
（2） 放物線 y=f(x) は、aの値にかかわらず、定点（ 【カ】 , 【キ】 ） を通る。
このことを利用して、2次不等式 f(x)＜0 の解に、ちょうど2つの正の整数が
含まれるような aの値の範囲を求めると、
【クケ】 【サシ】
――― ＜a≦ ―――
【コ】 【ス】
である。
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29 ：センター予想問題 数学I・A：04/01/11 11:15 ID:7MpMDbOH
[2] 6枚のカードに、1から6までの数字をそれぞれ1つずつ記入し、箱の中に入れる。
この箱の中から、元に戻すことなく1枚ずつ3枚のカードを引き、引いた順に
カードの数字をA、B、Cとする。
【セ】
（1） AがBで割り切れる確率は ――― である。
【ソタ】
【チ】
（2） AをBで割ったときの余りが1となる確率は ――― である。
【ツ】
【テ】
（3） AをBで割ったときの余りがCと一致する確率は ―――― である。
【トナニ】
（4） AがBで割り切れる場合は6点、AをBで割ったときの余りがCと一致する場合は7点、
それ以外の場合は、AをBで割ったときの余りを得点とする。このときの得点の
【ヌネ】
期待値は ――― である。
【ノ】
この箱の中から、元に戻すことなく1枚ずつ3枚のカードを引き、引いた順に
カードの数字をA、B、Cとする。
【セ】
（1） AがBで割り切れる確率は ――― である。
【ソタ】
【チ】
（2） AをBで割ったときの余りが1となる確率は ――― である。
【ツ】
【テ】
（3） AをBで割ったときの余りがCと一致する確率は ―――― である。
【トナニ】
（4） AがBで割り切れる場合は6点、AをBで割ったときの余りがCと一致する場合は7点、
それ以外の場合は、AをBで割ったときの余りを得点とする。このときの得点の
【ヌネ】
期待値は ――― である。
【ノ】
30 ：センター予想問題 数学I・A：04/01/11 11:16 ID:7MpMDbOH
第2問
[1] a、b、cを整数とし、a＜b とする。また、xの整式A、Bを、
A＝x^3 +(a+b+4)x^2 +(ab+b+14)x +ab+c
B＝x^2 +4x +2
と定める。AをBで割ったときの余りをRとすると、
R＝(a-【ア】)(b-【イ】)x +(a-【ウ】)(b-【エ】) +c-【オ】
である。
(1) c＝4のとき、AがBで割り切れるようなa、bは、
a＝【カ】、b＝【キ】
である。
(2) AをBで割ったときの商をQとする。R＝-Q が成り立つとき、
a＝【ク】、b＝【ケ】、c＝【コサ】
である。
[1] a、b、cを整数とし、a＜b とする。また、xの整式A、Bを、
A＝x^3 +(a+b+4)x^2 +(ab+b+14)x +ab+c
B＝x^2 +4x +2
と定める。AをBで割ったときの余りをRとすると、
R＝(a-【ア】)(b-【イ】)x +(a-【ウ】)(b-【エ】) +c-【オ】
である。
(1) c＝4のとき、AがBで割り切れるようなa、bは、
a＝【カ】、b＝【キ】
である。
(2) AをBで割ったときの商をQとする。R＝-Q が成り立つとき、
a＝【ク】、b＝【ケ】、c＝【コサ】
である。
31 ：センター予想問題 数学I・A：04/01/11 11:17 ID:7MpMDbOH
[2] 三角形ABCにおいて、AB＝5、AC＝3、cos∠BAC＝4/5 とする。
＿＿＿
(1) 辺BCの長さは、√【シス】 である。
(2) 辺AB上に点Dをとり、∠ADC＝θとする。三角形ACD、三角形BCDの
外接円の半径をそれぞれR、R' とするとき、
＿＿＿
【セ】 √【ソタ】
2R＝――― 、 2R’＝――――
sinθ sinθ
である。また、三角形ACD、三角形BCDの外接円の面積の和をSとすると、
【チツ】 【トナ】
Sの最小値は ―――π であり、Sが最小になるとき、――― である。
【テ】 【ニヌ】
＿＿＿
(1) 辺BCの長さは、√【シス】 である。
(2) 辺AB上に点Dをとり、∠ADC＝θとする。三角形ACD、三角形BCDの
外接円の半径をそれぞれR、R' とするとき、
＿＿＿
【セ】 √【ソタ】
2R＝――― 、 2R’＝――――
sinθ sinθ
である。また、三角形ACD、三角形BCDの外接円の面積の和をSとすると、
【チツ】 【トナ】
Sの最小値は ―――π であり、Sが最小になるとき、――― である。
【テ】 【ニヌ】
32 ：センター予想問題 数学I・A：04/01/11 11:18 ID:7MpMDbOH
第3問
4点A（1,1) 、B(10,1) 、C(10,10) 、D(1,10) を頂点とする正方形の内部および
周上の点 (a,b) （ただしa、bは整数）の上に積ab がおかれている。
(1) 対角線AC上に置かれている整数の和は 【アイウ】 であり、
正方形ABCDの周上におかれている整数の和は 【エオカキ】 である。
また、正方形ABCDの内部および周上におかれている整数の和は 【クケコサ】 であり、
三角形ABCの内部および周上におかれている整数の和は 【シスセソ】 である。
(2) 三角形ABDの内部および周上におかれている整数の和は 【タチツ】 である。
4点A（1,1) 、B(10,1) 、C(10,10) 、D(1,10) を頂点とする正方形の内部および
周上の点 (a,b) （ただしa、bは整数）の上に積ab がおかれている。
(1) 対角線AC上に置かれている整数の和は 【アイウ】 であり、
正方形ABCDの周上におかれている整数の和は 【エオカキ】 である。
また、正方形ABCDの内部および周上におかれている整数の和は 【クケコサ】 であり、
三角形ABCの内部および周上におかれている整数の和は 【シスセソ】 である。
(2) 三角形ABDの内部および周上におかれている整数の和は 【タチツ】 である。
33 ：センター予想問題 数学II・B：04/01/11 11:18 ID:7MpMDbOH
第1問
[1] 0゜≦θ≦α（αは0゜＜α≦180゜の範囲の角）の範囲で、関数
f(θ)＝ -2cosθ +cos2θ
を考える。
t＝cosθとおくと、f(θ)は ｔを用いて
【イ】 【エ】
f(θ)＝【ア】（t- ―― ）^2 - ――
【ウ】 【オ】
と表わされる。したがって、f(θ)は、
(1) 0゜＜α≦【カキ】゜のとき、θ＝【ク】゜で最大値【ケコ】をとり、θ＝αで最小値をとる。
【スセ】
(2) 【カキ】゜≦α≦180゜のとき、θ＝【サシ】゜ で最小値 ――― をとる。
【ソ】
(3) α＝【タチ】゜のとき、θ＝【ツ】゜、【テト】゜で最大値をとる。
(4) 【タチ】゜＜α≦180゜のとき、θ＝αで最大値をとる。
[2] x＝2^a、y＝4^b とする。このとき、
log[2](x^2 y)＝【ナ】(a+b)
である。
a+b＝1 のとき、x^2+y の最小値は【ニ】 である。また、このとき、
【ヌ】 【ノ】
a＝――、b＝――
【ネ】 【ハ】
である。
[1] 0゜≦θ≦α（αは0゜＜α≦180゜の範囲の角）の範囲で、関数
f(θ)＝ -2cosθ +cos2θ
を考える。
t＝cosθとおくと、f(θ)は ｔを用いて
【イ】 【エ】
f(θ)＝【ア】（t- ―― ）^2 - ――
【ウ】 【オ】
と表わされる。したがって、f(θ)は、
(1) 0゜＜α≦【カキ】゜のとき、θ＝【ク】゜で最大値【ケコ】をとり、θ＝αで最小値をとる。
【スセ】
(2) 【カキ】゜≦α≦180゜のとき、θ＝【サシ】゜ で最小値 ――― をとる。
【ソ】
(3) α＝【タチ】゜のとき、θ＝【ツ】゜、【テト】゜で最大値をとる。
(4) 【タチ】゜＜α≦180゜のとき、θ＝αで最大値をとる。
[2] x＝2^a、y＝4^b とする。このとき、
log[2](x^2 y)＝【ナ】(a+b)
である。
a+b＝1 のとき、x^2+y の最小値は【ニ】 である。また、このとき、
【ヌ】 【ノ】
a＝――、b＝――
【ネ】 【ハ】
である。
34 ：センター予想問題 数学II・B：04/01/11 11:20 ID:7MpMDbOH
第2問
曲線 y＝x^3 -7x^2 +12x をC1、放物線 y＝x^2 をC2とする。
C1とC2の交点の座標は、
(0,0) 、(【ア】 ,【イ】) 、( 【ウ】 ,【エオ】)
である。C1上に点P（t , t^3 -7t^2 +12) をとると、点Pにおける
C1の接線Lの方程式は、
y＝(【カ】t^2 - 【キク】t +【ケコ】t)x -【サ】t^3 +【シ】t^2
である。0≦ｔ≦【ア】 のとき、C2とL、および2直線 x=0、x＝【ア】で
囲まれた図形の面積Sは
【ツテ】
S＝−【ス】t^3 +【セソ】t^2 -【タチ】t + ―――
【ト】
【ニヌ】
となり、Sは、ｔ＝【ナ】のとき、最小値 ――― をとる。
【ネ】
曲線 y＝x^3 -7x^2 +12x をC1、放物線 y＝x^2 をC2とする。
C1とC2の交点の座標は、
(0,0) 、(【ア】 ,【イ】) 、( 【ウ】 ,【エオ】)
である。C1上に点P（t , t^3 -7t^2 +12) をとると、点Pにおける
C1の接線Lの方程式は、
y＝(【カ】t^2 - 【キク】t +【ケコ】t)x -【サ】t^3 +【シ】t^2
である。0≦ｔ≦【ア】 のとき、C2とL、および2直線 x=0、x＝【ア】で
囲まれた図形の面積Sは
【ツテ】
S＝−【ス】t^3 +【セソ】t^2 -【タチ】t + ―――
【ト】
【ニヌ】
となり、Sは、ｔ＝【ナ】のとき、最小値 ――― をとる。
【ネ】
35 ：センター予想問題 数学II・B：04/01/11 11:20 ID:7MpMDbOH
第3問
AD//BCである台形ABCDがあって、AD＝4、BC＝８、∠ABC＝∠DCB、
直線ADと直線BCとの距離が h である。この台形の辺CDを、1：2に内分
する点をN、辺ADの中点をMとし、MB↑＝b↑、MC↑＝c↑とするとき、
【アイ】 【オ】
MN↑＝――― b↑+ ――― c↑
【ウエ】 【カ】
である。さらに、辺AB上に点L、辺BC上に点Kをとり、四角形KLMNが
平行四辺形になるようにするとき、
AL：LB＝【キ】：【ク】、 BK：KC＝【ケ】：【コ】
（ただし、【キ】：【ク】、【ケ】：【コ】は最も簡単な整数比で答えよ）であるから、
【サ】 【ス】
ML↑＝――― b↑ - ――― c↑
【シ】 【セ】
である。一方、
|b↑- c↑|＝【ソ】
であることから、b↑とc↑の内積 b↑・c↑ の値を h を用いて表わすと
b↑・c↑＝h^2 -【タチ】
となる。したがって、平行四辺形KLMNが長方形になるのは
＿＿＿
h＝【ツ】√【テト】
のときである。
AD//BCである台形ABCDがあって、AD＝4、BC＝８、∠ABC＝∠DCB、
直線ADと直線BCとの距離が h である。この台形の辺CDを、1：2に内分
する点をN、辺ADの中点をMとし、MB↑＝b↑、MC↑＝c↑とするとき、
【アイ】 【オ】
MN↑＝――― b↑+ ――― c↑
【ウエ】 【カ】
である。さらに、辺AB上に点L、辺BC上に点Kをとり、四角形KLMNが
平行四辺形になるようにするとき、
AL：LB＝【キ】：【ク】、 BK：KC＝【ケ】：【コ】
（ただし、【キ】：【ク】、【ケ】：【コ】は最も簡単な整数比で答えよ）であるから、
【サ】 【ス】
ML↑＝――― b↑ - ――― c↑
【シ】 【セ】
である。一方、
|b↑- c↑|＝【ソ】
であることから、b↑とc↑の内積 b↑・c↑ の値を h を用いて表わすと
b↑・c↑＝h^2 -【タチ】
となる。したがって、平行四辺形KLMNが長方形になるのは
＿＿＿
h＝【ツ】√【テト】
のときである。
36 ：センター予想問題 数学II・B：04/01/11 11:21 ID:7MpMDbOH
第4問
複素数平面上に、原点Oを1つの頂点とする三角形OABがあり、
次の条件 i)、ii)を満たしている。
i) 点A、Bの表わす複素数をそれぞれα、βとするとき、
3α^2 -2αβ +4β^2＝0
ii) AB＝1
条件 i)により、β/α は実数係数の2次方程式
【ア】 【ウ】
x^2 - ――― x +―――＝0
【イ】 【エ】
の解であるから、 ＿＿＿
【オ】±√【カキ】 i
β/α ＝ ――――――――
【ク】
である。よって、∠ＡＯＢの大きさをθ（0゜＜θ＜180゜）とすると、
＿＿ ＿＿＿
√【ケ】 √【サシ】
cosθ＝――― 、sinθ＝――――
【コ】 【ス】
である。さらに、条件 ii）を考慮すると、＿＿
【セ】√【ソ】 √【チツ】
OA＝――――― 、OB＝―――――
【タ】 【テ】＿＿
√【トナ】
が得られるから、三角形OABの面積は ―――― となる。
【ニヌ】
複素数平面上に、原点Oを1つの頂点とする三角形OABがあり、
次の条件 i)、ii)を満たしている。
i) 点A、Bの表わす複素数をそれぞれα、βとするとき、
3α^2 -2αβ +4β^2＝0
ii) AB＝1
条件 i)により、β/α は実数係数の2次方程式
【ア】 【ウ】
x^2 - ――― x +―――＝0
【イ】 【エ】
の解であるから、 ＿＿＿
【オ】±√【カキ】 i
β/α ＝ ――――――――
【ク】
である。よって、∠ＡＯＢの大きさをθ（0゜＜θ＜180゜）とすると、
＿＿ ＿＿＿
√【ケ】 √【サシ】
cosθ＝――― 、sinθ＝――――
【コ】 【ス】
である。さらに、条件 ii）を考慮すると、＿＿
【セ】√【ソ】 √【チツ】
OA＝――――― 、OB＝―――――
【タ】 【テ】＿＿
√【トナ】
が得られるから、三角形OABの面積は ―――― となる。
【ニヌ】