【下克上】センター数学180点を目指す人専用part2
28 :
センター予想問題 数学I・A:
第1問
[1] 2次関数 f(x)=x^2 -2(a-1)x +2a-2 がある。ただし、aは定数とする。
(1) f(x)の最小値をmとすれば、mはaを用いて
m=-a^2 +【ア】a -【イ】
と表わされる。このとき、mの最大値は【ウ】であり、m≧0 となる aの値の範囲は
【エ】≦a≦【オ】
である。
(2) 放物線 y=f(x) は、aの値にかかわらず、定点( 【カ】 , 【キ】 ) を通る。
このことを利用して、2次不等式 f(x)<0 の解に、ちょうど2つの正の整数が
含まれるような aの値の範囲を求めると、
【クケ】 【サシ】
――― <a≦ ―――
【コ】 【ス】
である。
29 :
センター予想問題 数学I・A:04/01/11 11:15 ID:7MpMDbOH
[2] 6枚のカードに、1から6までの数字をそれぞれ1つずつ記入し、箱の中に入れる。
この箱の中から、元に戻すことなく1枚ずつ3枚のカードを引き、引いた順に
カードの数字をA、B、Cとする。
【セ】
(1) AがBで割り切れる確率は ――― である。
【ソタ】
【チ】
(2) AをBで割ったときの余りが1となる確率は ――― である。
【ツ】
【テ】
(3) AをBで割ったときの余りがCと一致する確率は ―――― である。
【トナニ】
(4) AがBで割り切れる場合は6点、AをBで割ったときの余りがCと一致する場合は7点、
それ以外の場合は、AをBで割ったときの余りを得点とする。このときの得点の
【ヌネ】
期待値は ――― である。
【ノ】
30 :
センター予想問題 数学I・A:04/01/11 11:16 ID:7MpMDbOH
第2問
[1] a、b、cを整数とし、a<b とする。また、xの整式A、Bを、
A=x^3 +(a+b+4)x^2 +(ab+b+14)x +ab+c
B=x^2 +4x +2
と定める。AをBで割ったときの余りをRとすると、
R=(a-【ア】)(b-【イ】)x +(a-【ウ】)(b-【エ】) +c-【オ】
である。
(1) c=4のとき、AがBで割り切れるようなa、bは、
a=【カ】、b=【キ】
である。
(2) AをBで割ったときの商をQとする。R=-Q が成り立つとき、
a=【ク】、b=【ケ】、c=【コサ】
である。
31 :
センター予想問題 数学I・A:04/01/11 11:17 ID:7MpMDbOH
[2] 三角形ABCにおいて、AB=5、AC=3、cos∠BAC=4/5 とする。
___
(1) 辺BCの長さは、√【シス】 である。
(2) 辺AB上に点Dをとり、∠ADC=θとする。三角形ACD、三角形BCDの
外接円の半径をそれぞれR、R' とするとき、
___
【セ】 √【ソタ】
2R=――― 、 2R’=――――
sinθ sinθ
である。また、三角形ACD、三角形BCDの外接円の面積の和をSとすると、
【チツ】 【トナ】
Sの最小値は ―――π であり、Sが最小になるとき、――― である。
【テ】 【ニヌ】
32 :
センター予想問題 数学I・A:04/01/11 11:18 ID:7MpMDbOH
第3問
4点A(1,1) 、B(10,1) 、C(10,10) 、D(1,10) を頂点とする正方形の内部および
周上の点 (a,b) (ただしa、bは整数)の上に積ab がおかれている。
(1) 対角線AC上に置かれている整数の和は 【アイウ】 であり、
正方形ABCDの周上におかれている整数の和は 【エオカキ】 である。
また、正方形ABCDの内部および周上におかれている整数の和は 【クケコサ】 であり、
三角形ABCの内部および周上におかれている整数の和は 【シスセソ】 である。
(2) 三角形ABDの内部および周上におかれている整数の和は 【タチツ】 である。
33 :
センター予想問題 数学II・B:04/01/11 11:18 ID:7MpMDbOH
第1問
[1] 0゜≦θ≦α(αは0゜<α≦180゜の範囲の角)の範囲で、関数
f(θ)= -2cosθ +cos2θ
を考える。
t=cosθとおくと、f(θ)は tを用いて
【イ】 【エ】
f(θ)=【ア】(t- ―― )^2 - ――
【ウ】 【オ】
と表わされる。したがって、f(θ)は、
(1) 0゜<α≦【カキ】゜のとき、θ=【ク】゜で最大値【ケコ】をとり、θ=αで最小値をとる。
【スセ】
(2) 【カキ】゜≦α≦180゜のとき、θ=【サシ】゜ で最小値 ――― をとる。
【ソ】
(3) α=【タチ】゜のとき、θ=【ツ】゜、【テト】゜で最大値をとる。
(4) 【タチ】゜<α≦180゜のとき、θ=αで最大値をとる。
[2] x=2^a、y=4^b とする。このとき、
log[2](x^2 y)=【ナ】(a+b)
である。
a+b=1 のとき、x^2+y の最小値は【ニ】 である。また、このとき、
【ヌ】 【ノ】
a=――、b=――
【ネ】 【ハ】
である。
34 :
センター予想問題 数学II・B:04/01/11 11:20 ID:7MpMDbOH
第2問
曲線 y=x^3 -7x^2 +12x をC1、放物線 y=x^2 をC2とする。
C1とC2の交点の座標は、
(0,0) 、(【ア】 ,【イ】) 、( 【ウ】 ,【エオ】)
である。C1上に点P(t , t^3 -7t^2 +12) をとると、点Pにおける
C1の接線Lの方程式は、
y=(【カ】t^2 - 【キク】t +【ケコ】t)x -【サ】t^3 +【シ】t^2
である。0≦t≦【ア】 のとき、C2とL、および2直線 x=0、x=【ア】で
囲まれた図形の面積Sは
【ツテ】
S=−【ス】t^3 +【セソ】t^2 -【タチ】t + ―――
【ト】
【ニヌ】
となり、Sは、t=【ナ】のとき、最小値 ――― をとる。
【ネ】
35 :
センター予想問題 数学II・B:04/01/11 11:20 ID:7MpMDbOH
第3問
AD//BCである台形ABCDがあって、AD=4、BC=8、∠ABC=∠DCB、
直線ADと直線BCとの距離が h である。この台形の辺CDを、1:2に内分
する点をN、辺ADの中点をMとし、MB↑=b↑、MC↑=c↑とするとき、
【アイ】 【オ】
MN↑=――― b↑+ ――― c↑
【ウエ】 【カ】
である。さらに、辺AB上に点L、辺BC上に点Kをとり、四角形KLMNが
平行四辺形になるようにするとき、
AL:LB=【キ】:【ク】、 BK:KC=【ケ】:【コ】
(ただし、【キ】:【ク】、【ケ】:【コ】は最も簡単な整数比で答えよ)であるから、
【サ】 【ス】
ML↑=――― b↑ - ――― c↑
【シ】 【セ】
である。一方、
|b↑- c↑|=【ソ】
であることから、b↑とc↑の内積 b↑・c↑ の値を h を用いて表わすと
b↑・c↑=h^2 -【タチ】
となる。したがって、平行四辺形KLMNが長方形になるのは
___
h=【ツ】√【テト】
のときである。
36 :
センター予想問題 数学II・B:04/01/11 11:21 ID:7MpMDbOH
第4問
複素数平面上に、原点Oを1つの頂点とする三角形OABがあり、
次の条件 i)、ii)を満たしている。
i) 点A、Bの表わす複素数をそれぞれα、βとするとき、
3α^2 -2αβ +4β^2=0
ii) AB=1
条件 i)により、β/α は実数係数の2次方程式
【ア】 【ウ】
x^2 - ――― x +―――=0
【イ】 【エ】
の解であるから、 ___
【オ】±√【カキ】 i
β/α = ――――――――
【ク】
である。よって、∠AOBの大きさをθ(0゜<θ<180゜)とすると、
__ ___
√【ケ】 √【サシ】
cosθ=――― 、sinθ=――――
【コ】 【ス】
である。さらに、条件 ii)を考慮すると、__
【セ】√【ソ】 √【チツ】
OA=――――― 、OB=―――――
【タ】 【テ】__
√【トナ】
が得られるから、三角形OABの面積は ―――― となる。
【ニヌ】