数学の質問スレpart23

[問題]大きさが1のﾍﾞｸﾄﾙを『単位ﾍﾞｸﾄﾙ』という．a↑=(4,3)と同じ向きの単位ﾍﾞｸﾄﾙe↑を求めよ．
[解説]
a↑=(4,3)と向きが同じ単位ﾍﾞｸﾄﾙe↑を求める．
すなわち，
ka↑=e↑=k4i↑+k3j↑=(4k,3k)
このとき，
(e↑)^2={(4k)^2}+{(3k)^2}
|e↑|=√{(16k^2)+(9k^2)}
|e↑|=√(25k^2)
|e↑|=5k
5k=1 ∴k=(1/5)
よって，
e↑={(4/5),(3/5)}

＜疑問＞
どうしてe↑を（a↑のk倍）という形で表すのかがいまいち解りません。
未知数kをa↑に掛けているけど，これは割る，つまり『a↑/(未知数k)』という形で表し
たりはできないんでしょうか。とにかくなぜ掛けるのかがわからない。
加減法では表せない，ということは感覚的には理解できるんですが、なぜ乗法するの
かがとにかくわからないんです。助けてください。