数学の質問スレ　part21

>>491　こんなもんかな？　計算ミスがあったら許せ。

P(x,x^2) (-1/2<x<1) とおけて、AP↑=(x-1,x^2-1)、BP↑=(x+1/2,x^2-1/4)
△ABPの面積をSとすると
S=(1/2)|(x-1)(x^2-1/4)-(x^2-1)(x+1/2)|=(3/4)|(x-1)(x+1/2)|=-(3/4){(x-1/4)^2-9/16}
Sが最大となるのは、x=1/4 つまり P(1/4,1/16) のときである。
∠APB=θ (0<θ<π) とすると、cosθ=(AP↑･BP↑)/(|AP↑||BP↑|)
AP↑･BP↑=(x-1)(x+1/2)+(x^2-1)(x^2-1/4)=(x-1)(x+1/2){1+(x+1)(x-1/2)}
(|AP↑||BP↑|)^2={(x-1)^2+(x^2-1)^2}{(x+1/2)^2+(x^2-1/4)^2}=(x-1)^2(x+1/2)^2{1+(x+1)^2}{1+(x-1/2)^2}
∴　cosθ=-{1+(x+1)(x-1/2)}/√[{1+(x+1)^2}{1+(x-1/2)^2}]
ここで x+1/4=t とおくと、x+1=t+3/4、x-1/2=t-3/4、-1/4<t<5/4 だから
cosθ=-(t^2+7/16)/√[{1+(t+3/4)^2}{1+(t-3/4)^2}]=-(t^2+7/16)/√{(t^2-9/16)^2+2t^2+17/16}
=-(t^2+7/16)/√(t^4+7t^2/8+353/256)=-(t^2+7/16)/√{(t^2+7/16)^2+19/16}=-1/√[1+19/{16(t^2+7/16)^2}]
cosθは 0<θ<π では減少関数なので、θが最小となるのは t=0 つまり x=-1/4、P(-1/4,1/16) のときである。