数学の公式とその証明を書き連ねるスレ

乗法公式　
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
証明　展開して計算しただけ。

このように公式と証明をひたすら書き連ねるスレです。

1+1=2get

1+2=3 get

http://www.gazo-box.com/sozai/img-box/img20030812175742.jpg
http://www.gazo-box.com/sozai/img-box/img20030812180458.jpg


↑これらの公式だけ覚えておけば間違いない！
ちなみにブラクラでもないしグロでもないぞ！

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

こすってこすって死んだ死んだ♪

>>4
もっとくれ！
下のは普通だが、上のはいったい何？
女なの？何の手術？

age

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
コスコス氏ね氏ね

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

コスモスコスモス咲いた咲いた〜

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
コスコスシュッシュ

コスモスみたいに語呂で覚える公式教えろや！！

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

　　　　　　

3倍角の公式きぼん

>>14
低偏差値（ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ 市ね

　

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ ...(*)
cos(α±β)＝cosαcosβ-+sinαsinβ ....(**)
は証明はもちろんだけど結果も要暗記でないの？
三倍角とかも(*)(**)でβ＝2αとかにすりゃ出るしね〜〜

>>18
そういやそれの証明ってどうやるの？

教科書に載ってる？

>>18
3倍角は
sin3α=Im{(cosα+i sinα)^3}=3cos^2αsinα-sin^3α=3sinα-4sin^3α
って出すのが安全確実迅速。
でも覚えきればもっと確実迅速。

単位円上のベクトルを用いて証明するのが1番無難かな？
回転行列使ってもよさそうだけど・・・

>>20
ああ複素数から復元ってのは確実そうだね
でも和積変換や積和変換の時はかえって複雑になるかもなので
(*)(**)はやっぱ覚えるでしょ

sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α
……･
=3sinα-4sin^3α

ってやるの？

>>22
うん。(*)と(**)は覚えなきゃ話にならんと思う。
まあ、友達の大学講師が十年ほど前予備校で教えてたとき
(*)も(**)も覚えてなくていちいちEuler fomulaから出しとったけどね。黒板上で!

>>23
３倍角は２倍角も必要になるから>>20みたいにReZやImZから復元した方がいいかも

去年のセンター頃にこの板で見かけた覚え方（ただしヲタ限定）
cos(3x)
=4cos^3(x)-3cos(x)
しいこさまさいこう！

とりあえず途中式書いてみた

＝sinα(2cos^2α-1)+cosα2sinαcosα

＝4sinαcos＾2α-sinα

＝4sinα(1-sin＾2α)-sinα

=3sinα-4sin^3α

しいこさまひくさいこう

>>25
ReZやImZってなんですか？？

あげ

じっすうきょすう

コスコス　シコシコ　スコスコ　

しいこ＝4cos(x)
さ＝3乗
ま＝マイナス
さいこう＝3cos(x)

10 KOS-MOS コスコスsage New! 03/08/19 16:34 ID:UZZVwHzF
マサヤ(*´д｀*)ﾊｧﾊｧ

なんだこいつホモか・・・

>>29
それぞれ、Zの実部、虚部。

まが
まいなすかｗ

>>31
実部と虚部だよ。
a, bを実数、iを虚数単位、Z=a+ibとするとき
ReZ=a, ImZ=b
だよ。

>>20
ってどういう意味の式なんですか？

>>34
ぇ

>>29
複素数 Z＝cos3α＋isin3α の実部をReZ, 虚部をImZと呼ぶわけ
>>20氏のやり方は、
cos3α＋isin3α＝(cosα＋isinα)^3 という把握が巧妙で
これだと３倍角の公式出すのに２倍角の公式は不要なんだよネ

>>40は解説としては省略し過ぎたかも
cos3α＋isin3α＝(cosα＋isinα)(cosα＋isinα)(cosα＋isinα)
＝(cosα＋isinα)^3 ならわかるかな？

複素数平面とベクトルを使って加法定理って証明するんですか？
そういうのってどうやって知ったんですか？

なるほどみなさんありがとう(`･ω･´)

>>42
加法定理の証明そのものは複素数からやっちゃダメ
循環論法になるからね

>>41
ド・モアブルの定理があるじゃないか。

>>44
じゃあベクトルの内積使うのは？
教科書には加法定理使ってなかったけど

>>45
同じことだよｗ

cos3α＋isin3α＝(cosα＋isinα)^3

ってド・モアブルの定理のことですよね？

実部をReZ, 虚部をImZと呼ぶ。→これがわかりませんでした。

>>46
それが一番いいでしょ
回転行列の証明するとその結果使って加法定理の証明できそうだけど
これもたぶんセーフ

>>47
ドモワブルの低利があるから>>40は省略ではない、>>41は不要ってことでは。

>>49
それがセーフなら複素数の積から加法定理ってのもよさそうだけどなあ。

sin3αってなんで　　{(cosα+i sinα)^3}　　の虚部になるんですか？

なんで複素数がダメでベクトルはいいんだ？

>>52
de Moivre より
(cosα+i sinα)^3=cos3α+i sin3α

>>49
ヤパーリそうか
>>51>>53
複素数は教科書では加法定理使ってた
ベクトルは使ってなかった
この違いだと思う
少なくとも受験数学では教科書に載ってることが全てだから・・・
どうしても複素数使いたかったらド・モアブルを加法定理抜きで証明してからじゃないとイクナイと思われ

>>53
複素数の積の公式やドモアブルの定理の証明そのものに加法定理を使うから

Real part[実数部分]
Imaginary part[虚数部分]
それぞれの頭文字を採って、
Re( )
Im( )
と表すんじゃなかったかな？

z=r(cosθ+i*sinθ)=Re(z)+i*Im(z)

なんでみんなそんな証明知ってるの？
どういう参考書にそんなこと書いてあるんですか？

>>52
Z＝cos3α＋isin3α として、ImZ＝sin3α
Z'＝cosα＋isinα とすると、
sin3α＝ImZ＝Im(Z')^3＝・・・

>>55,56
どうも

>>56
旧旧課程から旧課程に変わるとき、一次変換がなくなって複素数平面がはいったよね。
その理念は、平面上の回転という変換を高校でまったく扱わないわけにはいかんだろうってとこにあるんじゃないの?
そしたら回転の行列から加法定理ってながれと絶対値1の複素数の積から加法定理って流れは一緒じゃん。

>>59
＿|￣|○やっとわかった

>>58
ちょっと失礼ないい方になるかも知れんけど、馬鹿にしてるわけじゃないから聞いてね。
あなたのまねしていうと
なんでみんな参考書にばっかり頼ろうとするの?
ってことになるんだけど、こんなのはどこかに載ってるのを探すんじゃなくって、
頭のアンテナを全開にして天空からつかむのです。

(cosα+i*sinα)*z

zを正の方向に角度αだけ回転させる。

{(cosα+isinα)^3}*z={(cosα+isinα)^2}*{(cosα+isinα)z}
=…
=(cos3α+isin3α)z

こんなイメージ

ここは証明を書くスレか
今気づいた。
失礼した。

>>65
別にいいよ。イメージなしの証明なんてそれこそガメ暗記だよ。

点P(X, Y)を原点O(0, 0)の廻りにθ回転した座標をP'(X', Y')とすると、
(X, Y)＝X(1, 0)＋Y(0, 1),
(X', Y')＝X(cosθ, sinθ)＋Y(−sinθ, cosθ)
＝(Xcosθ−Ysinθ, Xsinθ＋Ycosθ)
＝[(cosθ −sinθ) (sinθ cosθ)](X, Y) ...(*)
ここまではセーフだから(*)使って加法定理証明できそうだな

>>61
三角関数のうざい諸公式のド忘れをカバーするのに複素数から復元するのは
いい方法だと思うです
でも加法定理の証明をそれでやると入試的にはアウトかもっていう趣旨ですよ

内積＝スクリーン･正射影

>>69
具体的にはどーゆうこと？

1≠0・・・証明わかんね

１＝０なら
１＋１＋１＋…＝０＋０＋０＋…













証明わかんね

いいスレだなぁ…
>>70
>>69はおそらく内積の図形的意味をいいたかったんだろう。

結局　　内積ってなんなのさ？　
　　　　

>>72
1=0であるとすると
0・1=0・0=1・1=1
となって
0・a=1
をみたすaが存在してしまう。
これは不合理。

>>74
物理でいうと仕事
Fcosθ=Wって式あっただろ？

三倍角は
ｓｉｎがサンシャイン

>>74
i) 半直線OAとOBを考える。簡単のために∠AOBは鋭角としておく.。
AからOBに下ろした垂線の足をHとする。
このときOA↑・OB↑=OA・OH

ii) 半直線OAとOBを考える。
このときOA↑・OB↑=OA・OB・cos∠AOB

iii) 余弦定理の別名。
つまりOA↑・OB↑=(OA^2+OB^2-AB^2)/2

iv) 中線定理の別名。
つまり平行四辺形OABCがあるとすると
OA↑・OB↑=(OC^2-AB^2)/4

v) OA↑=(a, b), OB↑=(c, ｄ)のとき
OA↑・OB↑=ac+bd

ｖi) OA↑=(a, b), α=a+ib, OB↑=(c, ｄ), β=c+id(a,b,c,dは実数)のとき
OA↑・OB↑=Re(α・￣β)

>20
すごい。ありがとう

内積＝スクリーン･正射影
これは何？

ここの人は一体どういう勉強をしてたんだろう。唖然です。

加法定理の証明には exp(iθ)=cosθ+isinθを使えばよい。

文系なので､あまり詳しくはないですが・・・。
内積は､
Ａcosθ+Ｂsinθ=(A,B)*(cosθ,sinθ)
の形もあると教わった。
>>79
正射影は､けっこう必須手法ですぜ。
東京出版「解法の探求Ｉ」に載ってあると思いますんで､参考にしてください。