◆超難問◆

どの教科でもいいからＳ級に手ごわい問題を探してくるor自分で作るスレ

１辺１の長さの正方形ＡＢＣＤに内接する円Ｃがある。
円上に動点Ｘ，Ｙがある。
三角形ＡＸＹの最大値を求めよ。

知っている人もいるだろうけど。激ムズ。
かなり前に解いたときに３時間はかけた覚えが。

>>1
何の最大値か書いて下さい。

あ、スマン。面積の最大値。

ﾊﾟﾝﾃｨｰ

一橋の社会

>>1
いや・・それ『超』難問ってほどでもないよ・・。

絶対だれかゴルゴバッハの予想とフェルマーの最終定理だすだろうな

スワヒリ語訳せよ。

最近オナニーにはまっちゃってやめられないんだ。
俺もだよ。あの快感はたまんないよな。

>>6
かなりの難問だと思うんだけど。
大数でいうとＤがつく程度かな。
>>7
出題は大学の試験にでる範囲で。

２角形が作れることを証明せよ。

>>9
C***くらいだと思う。

>>1
普通に座標で考えて、AXとAYの長さかける∠XAYじゃ駄目なん？

a=(sinπ/5)^2, b=(sin2π/5)^2とおく。任意の自然数nに対して
{a^(-n)+b^(-n)}(a+b)^n
は整数であることを示せ。（東京大学X科）

[化学]
２種類の価数をもつことが出来る（単原子）イオンを知っているだけ挙げよ。
できれば１０個。

世界史の問題で、自分が出会った中でも泣きそうになった問題。

・8世紀前半にイスラム世界から西欧に伝わり、荘園制の発達を促した軍事技術は何か。（河合東大OP）
・オスマントルコの進出に伴う東西キリスト教世界の交流と、それが15世紀イタリア社会に与えた影響について400字以内で論じよ（一橋）

角度だと面倒だから、ヘロンの公式とか。

超難問

次の空欄に適当な語句を入れよ



本学は、本日開催の文学部臨時教授会において、下記の者を学則第４７条に基づき、本日付けで退学処分にしました。

　第二（　　　）学部（　　　）年　（　　　　　　　　）郎



２００３年７月1日　　（　　　　　　）大学

>>15ｺﾝｽﾀﾝﾁﾇｽ１１世が、ローマ教会による対トルコ十字軍を期待して、西側協会に
歩みより、統一ミサが実現するなど、歩みよりもみられた。そｇ

ってわかんねぇよ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

原点を中心とする半径r(≠0)の円Oの周上に定点(a, 0)と動点Pをとる。
(1)円Oの周上の点B、CでPA^2+PB^2+PC^2がPの位置によらず一定であるものを求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（作問）

>>1
(1/2){3^(1/2)+3/2}^(1/2)？

>>18
まあ、それ以外にも1ポイントは出る。
が、400字を埋めるとなると絶望するしかない……。

訂正(1/2){3^(1/2)+(3/2)}^(1/2)？

　第二（文学　　　）学部（　1　　）年　（　　　　　　和田しんいち　　）郎



２００３年７月1日　　（　　　早稲田　　　）大学

>>19
以下に訂正：

原点を中心とする半径r(≠0)の円Oの周上に定点A(a, 0)と動点Pをとる。
(1)円Oの周上の点B、CでPA^2+PB^2+PC^2がPの位置によらず一定であるものを求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（作問）
難問

>>24
(2)
点B、Cが(1)の条件を満たすとき　PA+PB+PCの最大値と最小値を求めよ。

悪問？

違うな
3*3^(1/2)/2
だった　つーか落ちよ

>>21ハプスブルク家が東をオスマントルコ、西をフランスに包囲されたことによって
一番締め付けの弱いイタリアに突破口を見出そうとして、、、、、、、

ってのがあといっこ？ってかむ図化しすぎ

>>24 がなかなか解けないので休憩代わりに出題。

３つの十分長い円柱を互いに垂直に「重ね合わせた」とき、
共通部分の体積を求めよ。円柱の半径は１とする。

Ｓ級ってほどでもないけどね。

もちろん、それぞれの円柱の中心軸が１点で交わるように重ね合わせる。

>>27
本当に解く気なら、問題文を省略しないで載せておくよ。

・15世紀イタリア社会の動向は、オスマントルコの小アジア、バルカン地方への進出と深く関係していた。
トルコ勢力の攻勢の前に領土縮小を余儀なくされたビザンツ皇帝が自ら西欧に赴き、援軍の要請を行なってイタリア社会に大きな影響を与えたし、この時期多数のギリシャ人が到来して、この地の文化活動にも影響を与えたからである。
オスマントルコの進出に伴うこの東西キリスト教世界の交流と、それが15世紀イタリア社会に与えた影響について論じなさい。

君のハプスブルク云々ってのはイタリア戦争のことでも言ってるのかな？
そうだとしたら少し的外れ。

分かった。ＰがＡ，Ｂ，Ｃにきたときにf(x)≡ＰＡ^2＋ＰＢ^2＋ＰＣ^2がそれぞれ
同じ大きさになることから、ちょっと考えれば正三角形である必要があることが分かる。
じっさい正三角形とすると、f'(x)=0となることがわかる。

円周率が３．０５以上であることを証明せよ
　　　　　　　　　　　　　〈東京大〉

↑最後の行、f ' (x)ね。見にくくてｽﾝﾏｿ.

>>32
今年の問題なんだね。知らなかった。
テーラー展開をつかって長大な計算して求めてもいいのかなｗ

>>34
内接正n角形の一辺の長さをn倍すればいいと思われｗ

安田亨曰く、
数学過去最強問題は東大後期の数学で
よくおぼえてないけど、なんかをつないでいく問題だった。
「大学の数学科の生徒に一ヶ月の期間を与えてもいいほどの問題」だと。

>>36
98年後期の3番だったような。
この年は前期ともども激ムズだったらしい。

これ最強


ｎを２以上の正整数とする。初期位置において、左右に延びた直線上にｎ匹のノミがいる。
ただし、ｎ匹全部が同じ点にいるわけではない

正の実数λに対して、操作を次のように定義する。
異なる２点にいる２匹のノミを選び、左側のノミがいる点をA、右側のノミがいる点をＢとする
；Aにいるノミを、Ｂの右側にありBC/AB=λを満たす直線上の点Ｃにジャンプさせる

次の条件を満たすλの値をすべて決定せよ：「直線上の任意の点Ｍとｎ匹のノミの任意の初期配置に対して、
有限回の操作によりすべてのノミがＭの右側にくるようにできる。」

1.砲術
2.やはり15世紀前後のイタリアといえばルネサンスははずせない。ここら辺の要素が入るはず。

正三角形の内部に、各頂点からの距離がそれぞれ３，４，５，
の点が存在するとき、三角形の面積を求めなさい。

>>40
それ、知ってるわ。中学生の方法で解かなきゃ駄目なんでしょ？
漏れが解いたときは４時間かかりますた・・・

>>39
1は不正解。
火砲技術が伝わってくるのは、ずっと後世のこと。実戦で使用されるのは百年戦争が最初。
ヒント：荘園制の主体を考えるといいかも

2はその通り。

・ビザンツ帝国滅亡に伴う学者の亡命によって、ギリシア・ローマの古典研究の成果がもたらされて、ルネサンスが活性化したこと。

ここだけは普通に指摘できるところ。

三角形の一辺を１として長さの比が3k,4k,5kになる条件を考える。
まず、３：４になる条件はアポロニウスの円を式で表せばよい。
その円と残った三角形の頂点との距離も考慮してkの値を求める。
あとは三角形の面積を１ ／ ｋ^2 倍して求めることができる・・のかな？
具体的な計算はやってないけど。

>>43
実は恐るべき解答が！！

>>40
9+(25√3/4)かな？
面白いね、この問題。
1:2:√3の三角形の特性を既知とすれば中学の範囲で解けましたよ。

あげてみよう。

>>44 六角形使うんですよね？
　　　ああ、あとへんの長さの比が3:4:5の三角形の特性。
どこかの高校の入試問題なのかな？いい問題。12,3分で解けた。

>>46
なるほどやっと分かった！
これで安眠できます。

どうやって解くの？>>40

砲術＝あぼーん＝1

オスマントルコの台頭により、レパント貿易の衰退、黒海方面との穀物の貿易も、
トルコが交通税をとったために減少、また新航路の発見により、地中海の重要性が薄れた云々

（a＋bi)^pが実数でないことを示せ。a、b:実数　p:素数
２、３年前の京大前期の問題

二項係数を計算すればよさげ。難問には見えないけど。

>>52
そのあとの議論が難しい

前言撤回。a, bが自然数だと思い込んでた。
いったんa, bに関する複素係数の多項式だと思って、虚部を取り出すのか？

ん？？何か変だ。>>51は正しいの？

a=b=0 p=2 のとき実数 ﾌﾟ

これか
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho00/kyoto/zenki/ri_sugaku/mon4.html

ごめん。a、bは互いに素な自然数だった

（a＋bi)^pを展開してa^p+ ・・・ + (bi)^p
よって虚数。

うわっ　俺馬鹿だー

>>59
むちゃくちゃ

問題は正確に書こうよ･･

C(p,k)≡0 mod p (k=1,..,p-1)を知っていれば難問ではないと思う。
実数であるとして虚部を取り出すとb≡0 mod p がいえるので、もう少しがんばれば、
a≡0 mod p が示されて矛盾すると思われ。たぶん。。ねむい。。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/jaz08.html

1辺3R[Ω]の抵抗を格子状に接続した無限に広い綱がある。
このとき隣り合う二点間の抵抗を求めよ。綱目が正方形ではなく、正三角形
のときはどうなるか？また正六角形のときはどうなるか？

>>46
六角形って？
漏れが知ってるのは点を中心に三角形を60度回転移動する方法だけど

>>65
とりあえず開放うｐきぼんぬ

>>66
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgiにうｐしました。

>>62
大数ではＤだったよ。
それ知ってる奴はほとんどいないでしょ。

>>67
なんで２で割るものになるの？

なんで６つの三角形の面積合計が、求める面積の２倍になるんだー！

>>38が解ける香具師はいないのか？

λ≧1/(n-1)

それ>>38の答え？正解ならBJ ◆tLGj6yfJqI が最強なのか？

やったー
やっと点列の収束のお話にはったー

２ちゃんねらーなどの間で、人気のある御尊像が有ります。
これらの御尊像を手に入れて、金運向上等を祈願しましょう。(爆)
http://www.butsuzou.com/jiten/sanmen.html
http://www.butsuzou.com/list1/sanmen2.html
http://www.butsuzou.com/list1/sanmen3.html
http://www.butsuzou.com/keitai/sanmen-kz.html

nを自然数、P(x)をn次の多項式とする。P(0),P(1),･･････,P(n)が整数ならば、全ての整数kに対しP(k)は整数であることを証明せよ。

age

１＋１＝２　の証明の仕方知ってる人教えてください。

１→０の次の数
２→０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
＋→＋の左側の数を「右側の数と０の間の距離」だけ進める作業を記号化したもの
＝→左側の内容と右側の内容が等しいことを意味する

以上を定義すると、
１＋１→「１」を「０と１の距離」だけ進める
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
ここで、２は０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
１＋１＝

>>1
正方形の頂点をx、y軸上に設定したら5分でとけますた。
張り合いネーヨ。なにが難問だ

>>14
Fe(2+,3+) Cu(1+,2+) Sn(2+,4+) Zn(2+,4+) Hg(1+.2+)
こんなもんしかｼﾗﾈ Hg1+は［Hg=Hg]2+だったっけ

>>51の問題b≠0の条件付で証明してみた。
【問い】（a＋bi)^pが実数でないことを示せ。a、b(≠0):実数　p:素数

a+bi=r(cosθ+isinθ)　(r>0,θ≠0,π,2π・・・)とおく

(a+bi)^p=r^p{cos(pθ)+isin(pθ)}
Im{(a+bi)^p }= r^p・sin(pθ)≠0⇔sin(pθ)≠0(∵ r≠0)であることを示せばよい。
sin(pθ)=0として矛盾を示す。このとき、sin(pθ)=0⇔pθ=mπ(m=0,1,2・・・・)
θが無理数(πの整数倍を除く)の場合pθ=(整数)×(無理数)=(無理数)となり、mπには
なりえない。θが有理数の場合を考える。θ=sπ/t(sとtは自然数で、かつ互いに素)
とおく。t=1のときはθ=sπとなり、θ≠0,π,2π・・であることに反する。
よってs≠1としてよい。このときpθ=psπ/t=mπとなるには、sとtが互いに素であるため
pがtで割り切れる必要があるが、pは素数であるために割り切れることはない。
つまり、pθ=mπとなることはないため、θ≠0,π,2π・・となる任意のθに対して
sin(pθ)≠0である。以上より題意は示された。

θが無理数(πの整数倍を除く)の場合pθ=(整数)×(無理数)=(無理数)
　↓
θ=(無理数)×πの場合pθ=(整数)×(無理数)π=(無理数)π

>>82 t=p のときは？

やばい、忘れてた・・・
t=pのときは確かにpsπ/t=sπとなりますね
このときθ=sπ/pだけど、sがpの倍数でなければθ≠0,π,2π,・・の条件を満たしますね。
（というよりsがpの倍数ならs,tが互いに素であることに矛盾するため,必然的に
　条件を満たすか）
ってことはθ=sπ/pの形をしてれば必然的にいいって事になるのか・・・・
じゃぁa+biの偏角がθ=sπ/pのときのみ(a+bi)^pは実数になることになりますね・・・
はぁ・・・・・

ともかく、>>82の問題意識は正しいと思う。>>51の正しい出題の仕方は

（a＋bi)^n が実数となる、実数a,b 自然数n をすべて求めよ。

>>51は、勝手に解法を想定してその都合に合わせて問題を矮小化した、ぬるい問題という気がする。
まあ、入試だからｼｮｳｶﾞﾅｲｶ･･

じゃぁa,bが自然数のときはどうなるんだろ
sinθ=b/(a^2+b^2)　⇒　sin(mπ/p)=b/(a^2+b^2)　m∈N/{p,2p・・}
となるような素数p(>3)が存在しないことを示さなければならない・・・

・・・・・ダメですね　a,bが互いに素の条件も生かせなさそうだし・・・

>>86
サンクス
そういってもらえると報われた気がします・・・

>>87
sin(qπ）が有理数となる有理数qはよく知られた値しかないので、この方針で自然数の場合も示せる。
互いに素の条件は不要。

（a＋bi)^n が虚数となる、実数a,b 自然数n をすべて求めよ

を考えてみる。>>82の時と同様に進めるとθ=sπ/t(s,tは互いに素　t:nの１以外の因数)
つまりｎを固定すると、
cosθ=a/√(a^2+b^2), sinθ=b/√(a^2+b^2)
を満たすようにa,bを取れば題意がみたされる。

すいません。>>90はうそです

>>80
いろいろやってみたけど５分で解けるような方法はなかったよ。
２変数関数の２つの導関数がそれぞれ０になる条件を使うんだと思うけど
ｆ_x（ｘ、ｙ）もｆ_y（ｘ、ｙ）もsinやcosの混じった式で連立させて解くのは
困難だった。まさか、やり方が違ってる？

それより>>38が解けないんだけど。
たしかに「最強」なのかもしれない。

>>92
まぁ数オリのもんだいだいし・・・

いつの数降り？
A(-1/√2.0） B(0.-1/√2) C(1/√2.0) D(0.1/√2)
　X(1/2*cosθ.1/2*sinθ) Y(1/2*cosθ.-1/2*sinθ) っておけば
S=1/2(√2+1/2*cosθ)2*1/2*sinθ
で表されるから、微分するとcosの2次式になって・・・だめですか？

数オリは>>38だろ。誰かできるやついないのか？

簡単かつ有名だけど。

次の計算の誤りは何行目にあるか。 (1)〜(5)から選べ。
a=bとおく。
a=bの両辺にaをかけると、 --- (1)
　a^2 = ab
両辺から2abを引くと --- (2)
　a^2 - 2ab = -ab
両辺にa^2を加えて --- (3)
　2a^2 - 2ab = a^2 - ab
まとめると、 --- (4)
　2(a^2 - ab) = a^2 - ab
両辺を a^2 - abで割って --- (5)
2 = 1
　

スレ違いだ。(5)

>>96
それ昔中学生相手の塾で教えた問題だ。

>>96
小３の頃習わなかったの？プッ
正解は（4）じゃん。くだらいね。

>>99
おいおい、出題者に向かって習わなかったの？はないだろ。
おまえの言い分なら、センター試験作成者に「高校時代習わなかったの？プッ」って言わないといけない。

>>96
(5)だね
０で割っちゃってるもん

>>１５
１は重装騎兵？

erebetanomaekararorinokoegasuru.

>>102 惜しい。が、そこまでなら、そんなにも難しくない。正解は「重装騎兵を出現たらしめた」軍事技術。

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

だれも>>38はできないのれすか

>>106
誰も書かないようだから書いてみる。
どの2つの異なる3点にいるノミを左から順にA_1,A_2,A_3とすると
問題の言う「操作」はA_1A_2をABと解釈するのかA_1A_3をABと解釈するのかが不明でしょう。
A_1A_2をABとみてA_1をA_2の右側に移動させてから移動したノミとA_3のうち左側にあるノミを移動させて「操作」二回なのですか。「操作」の定義が十全ではないが一応次のように考えることはできるでしょう。
(誰も書かなかったのはこのため?)

ｎ匹全部が同じ点にいるわけではないので異なる2点A,Bにいる2匹のノミは存在する。
もしλ<1であるなら
最初AにいたノミがAから右にAB(1-λ^n)/(1-λ)の位置に移動しているようなn回の「操作(?)」が存在する。
これは有限回の「操作(?)｣ではAから右にAB/(1-λ)の距離以上の位置にはいけないノミが存在することを示している。
λ≧1ならば最初Aにいたノミは有限回の「操作(?)｣でAからいくらでも右に離れた位置に移動させることができる。

以上より「直線上の任意の点Ｍとｎ匹のノミの任意の初期配置に対して、
有限回の操作によりすべてのノミがＭの右側にくるようにできる。」 ようなλは1以上のすべての実数。

コピペ乙

>>107 不正解

>>109
じゃあ「操作｣のwell-definedness について lecture をお願いする。

http://homepage.mac.com/yamazaki8

>>110 ノミを2匹選ぶ事も操作の一部。
>>107はここが誤り。
>これは有限回の「操作(?)｣ではAから右にAB/(1-λ)の距離以上の位置にはいけないノミが存在することを示している。

誰も解けないみたいだけど、>>38は難しいのか？

>>113
数学オリンピックの問題。
普通の人が容易に解けるレベルではない。

age

数学板で聞いてみれば？

>>99 （５）だろ　わかって書くな！

>>116 この板に解ける香具師はいないのか？

>>107
哀れｗ

検索したけど
>>38の問題はIMO第3問で
IMO第3問と第6問は
世界的にみても解けるやつは100人ぐらい切ると思うし20人以下というのもあるというレベルだから
解けなくてもいいと思うが
数学者になりたいのなら解けるべき

この問題チョウスケは解いてたよ。

東大って80年後半から90年代前半のときが一番難問揃いだったそうだけど
そんときの問題載ってる参考書か何か知ってる？(東大の軌跡以外で)

>>122
東大の43年の過去問のCD買えばいいじゃん。

>>120
世界的に数学者は100人以下ってことですか。

age

>>123
IMO出場選手だよ
アホか

age

>>38の解答まだ〜？

>>127
あるよ。

>>38の解答が、大数２０００年９月号に掲載されている。
取り敢えず答えを。
λ≧1/(ｎ-1)

講評：今年の最難問。結果だけを見れば基本操作だけを考えればよいが、
それを直接証明するのは非常に困難。（中略）全選手中、解けた（６点以上）のは
わずか１６人。日本チームでは●●君のみ。

以前長助が解いたときのコピペ。俺が読んだすう折の本の解答より簡単だし、
実際、彼（彼女だっけ？）も難しいとは思ってない風だった。

C=1/λ-(n-1) とおく。
問題中の操作によって、右端のノミが変更されないときにこの操作をα、変更されるときにβと呼ぶ。
ノミの配置に関する関数Sを右端のノミとその他のノミとの各距離の和として定める。
とくに、初期配置に対するSの値をS_0とする。
操作βによって右端のノミの位置がdだけ右に変更されたとする。この時、Sの増加量は、
(n-1)d-d/λ=-Cd

(i) C > 0 であるとき不可能である事の証明。
全体の操作からβのみを抜き出したとき、右端のノミの位置が、d_1, d_2, d_3, ... d_m と動いたとする。
Sのとる値は正であるから、
S_0 +｛αによる増加量｝+｛βによる増加量｝＞０
｛αによる増加量｝＜０であるので、
S_0 +｛βによる増加量｝＞０
S_0 - C(d_1+d_2+d_3+ ... +d_m) >0
d_1+d_2+d_3+ ... +d_m < S_0/C
よって不可能。

(ii) C≦0 であるとき可能である事の証明。
右端のノミと左端のノミに関してβをｍ回繰り返したときの、右端のノミの移動をd_1, d_2, d_3, ... d_m とする。
｛２匹のノミの距離｝＞S/(n-1)、であるので、d_k > λS/(n-1), ( k=1, 2, ..., m )
βに関してSは単調に増加するので、S≧S_0，d_k > λS_0/(n-1)
d_1+d_2+d_3+ ... +d_m > m{ λS_0/(n-1) }
となるので、ｍを十分に大きくとれば、右端のノミはMよりも右に移動する。
さらに、その他のノミと右端のノミに関して操作を施す事によりすべてのノミがMの右側に移動する。

したがって、C≦0 ⇔ λ≧1/(n+1) が答え。

こういうのを見ると理系には生涯頭の出来が及ばないのだなあとｵﾓｳ。

次の語句をわかりやすく説明せよ。

蓋然性(がいぜんせい)
無辜（むこ）
感興（かんきょう）
思弁（しべん）
耄碌（もうろく）
高尚（こうしょう）
犬儒主義（けんじゅしゅぎ）
真砂（まさご）
哀調（あいちょう）
一蓮托生（いちれんたくしょう）
宗主（そうしゅ）

>132
蓋然性＝可能性みたいなニュアンス？
無辜＝わかんね
感興＝わからん
思弁＝よくわからんけど、頭の中で物事を考え組み立てること？
耄碌＝歳を取って能力が衰えること
高尚＝気高いとかそんな感じ
犬儒主義≒シニシズム
真砂＝細かい砂のことだったかな
哀調＝そのまんま、悲しい感じ、では
一蓮托生＝運命を共にすること
宗主＝よくわからんが指導者とか代表者とかそんなイメージ

すっげい適当

無辜って「性質が悪ではない」とかそんな意味じゃない？

>>64の答え教えて下さい。

俺も知りたい

>>134
罪がない
だと思ってた

ポーランドの行政参加権をもつ貴族をなんと言うか？

>>132
意味プー

>>132
耄碌、高尚、一蓮托生
だけ知ってた。

>>64の答教えて

以下の文章の【】に適切な数式を入れよ。
　高校数学では、「積分は微分の逆の操作」として定義してきた。つまり、
「F(x)を、f(x)の原始関数、すなわち F'(x) = f(x) とするとき、∫[a, b] f(x)dx = F(b)-F(a)」　…（☆）　
と定義としている。
しかし、本来積分とは、ある閉区間で y=f(x)のグラフ と x軸とではさまれた部分の面積を求めるために
考案されたものである。だから積分が考えられた当初は、「積分と微分はまったく関係がない」
とされてきた。すなわち、高校数学での積分の定義とは、実は、あとで導き出されたことなのである。
よって、積分の「面積」という定義から、積分の「微分の逆操作」という（☆）の事柄を導き出してみよう。
　f(x)は、閉区間[a, b]で正とする。[a, b]で、y=f(x)のグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、
∫[a_b] f(x)dx　で定義する。この定義に基づくと、あるxについて、
閉区間[a, x]で、y=f(t)のグラフとt軸ではさまれた部分の面積は
　　　　【　１　】　…（＊１）
と表わせる。ここでxは色々な実数値をとるから、（＊１）はxの関数となり、これをF(x)とおく。
このとき、h>0として、「閉区間[x, x+h]で、y=f(t)のグラフとｔ軸ではさまれた部分D」の面積は、（＊）を用いて、Fの関数として
　　　　【　２　】　−　【　３　】　　…（＊２）
と表わせる。ここで、「−」はマイナスである。

ここで、[x, x+h]におけるf(t)の最大値をM、最小値をmとするとき、幅hの閉区間[x, x+h]で
　　　　mを高さとする長方形の面積　≦　Dの面積　≦　Mを高さとする長方形の面積　…（＊３）
となっている。hとm、Mを用いると、
　　　　mを高さとする長方形の面積　＝　【　４　】　…（＊４）
　　　　Mを高さとする長方形の面積　＝　【　５　】　…（＊５）
だから、（＊２）と（＊４）、（＊５）を用いると（＊３）は
　　　　【　６　】　…（＊６）
と表わせる。（＊６）の辺々をh(≠0）で割ると
　　　　【　７　】　…（＊７）
となる。ここでh→0としてみると、（＊４）と（＊５）は【　８　】に収束するので、挟み撃ちの原理から
（＊７）の真ん中の式も【　８　】に収束する。よく見ると、この極限はF(x)の導関数の定義式となっている。
すなわち、最初に定義したF(x)という関数の導関数は実は、f(x)になるということが分かる。
これが「微分積分学の基本定理」と呼ばれる大変重要な定理である。
よって、（＊）において、x=bとおくと、
　　　　F(b) = 【　９　】　　…（＊８）
また、　F(a) = 【　１０　】　　…（＊９）　
だから、（＊８）−（＊９）より（☆）が得られる。

>>142-143　
>（＊）を用いて
>　よって、（＊）において、x=bとおくと、

（＊）ってﾅﾆ？

>>144
（＊）⇒（＊１）のことです。
ゴメンナサイ。

>>143の訂正
　×　（＊４）と（＊５）は【　８　】に収束するので、
　○　（＊７）の両端の式は【　８　】に収束するので、

またまた言い忘れ。
多分分かってるとは思いますが、
f(x)は与えられる各閉区間で連続であるとする。
ってことを付け加えてください。
何度もすいません。

完全に出題ミスだねｗｗ

《再発見？笑えるアナザーワールドへのご招待 》

「エセ保守監視小屋」
http://esehoshuwatch.hp.infoseek.co.jp/

とにかくここの管理人は超ド級の電波で、小林西部などの反米言論人となると
途端に発狂するようで、その姿は正にパブロフの犬です（ｗ
その批判のレベルは基地外ｻﾖｸと同等であるが、稀にしか見れない
ホットで香ばしいこのページを末永く、そしてどこまでもハート・
ウォーミングな気持ちでウォッチしましょう。

・笑える例
(4)慶応大教授の金子勝と早稲田大客員教授の高野孟を
「金子君」「高野君」呼ばわりする西部邁
ここから音声ファイルをダウンロード
（18.7KB、6秒）

君呼びしたから・・・だから何なんだ？（ｗｗ

※ちなみに朝生等の小林西部の発言が意図的編集により
　常にうｐされ、批判されてます。まるで三国人発言問題における
　共同通信のような言葉狩りです（ｗ 　
　というかあの記者本人か？？

最強の超難問求む

>>150
[ ]はガウス記号。

φ(x,y)=x/y - [x/y]
でと定義するとき、x,yが実数ならば、
あるyに対して、φ(x,y)が有限個の値しか持たないことを証明せよ。

>>151 ｙ＝０のとき。

>>151を改題。
[ ]はガウス記号。
任意の実数xと,0でない任意の実数yについて、
φ(x,y)=x/y - [x/y]
と定義する。
全ての実数t(≠0)に対して、適当にsを選べば、φ(s,t)は0以上1未満の任意の実数をとりうることを証明せよ。

>>153 難問ではないと思われ。

>>152
y=0のとき、φ(x,y)は定義されません。
y≠0とすべきでした。
不正解です。
すべてのyに対して、それぞれ有限個しか持たないことを証明せよという問題です。

反例:y=1のとき
0<s<1なるsを適当に決めれば、
φ(x,y)=sだから、φ(x,y)の値は0より大きく1より小さい
全ての実数をとりうる
このような実数は無限に存在する

>>155　正解を教えてもらおうか？ｗ