∞8∞数学の質問スレ Part.19 ∞8∞

>>6
　その手の問題は名大で出まくってた気がする。っつーかどこでも頻出。

　e^(√π)とπ^(√e)ね。100^99と99^100の大小比較もできてね、一緒だから。
　まずｅとかπとか抜きにして、ｘという変数を導入することで、非常に強力な武器「微分法」を使えるようにする。
　まぁ、指数があると大小つけづらいからlogを取るくらいのことは、ＩＱ３０もあれば思いつくだろう。

　それぞれlogをとった　√πloge●√elogπ　（ただし●は＞か＜か＝）　このままｅとπをそれぞれ変数にしちゃうと
　２変数になって扱いづらいから、πとeを右辺左辺に分けることくらい、ＩＱ３２もあれば思いつくだろう。
　上記の大小を比較するには、loge/√e●logπ/√πの●を決めれば良い。　これでやっと同じ形になった。
　　ここで変数ｘを導入。f(x)＝logx/√xと置く。まぁ、２乗して√消しても良いけどね。
　f’(x)＝・・・＝√x(2-logx)/2x^2　これはｘ＝e^2＞π＞eで極大値を取るので、
　f(e)＜f(π)　よって　loge/√e＜logπ/√π　引いてはe^(√π)＜π^(√e)

　文字定数を右辺左辺に分けて同型にし、その同型をf(x)と見て微分するのだ。