学習院文学部

文学部　数学
[I]
縦6マス、横11マスの図を書き、a,bが1〜6の値をとる時のA(a,0),B(a-b,b)の座標を書けば明らか。
A,Bは、y=-xのグラフ上の格子点を、aの値ずつx軸方向に平行移動させ、
さらにbの値に対応して、存在する。

(1)三角形OABの面積は1/2×a×bである。
サイコロの目1〜6までで、この中に奇数と偶数は半分ずつであり、
考えられる目の組み合わせは、
(a,b)=（偶数,偶数）(偶数,奇数)(奇数,偶数)(奇数,奇数)の四通り。
この中で、(奇数,奇数)を除いた全ての組み合わせにおいて、三角形OABの面積が整数となる。
∴ 求める答えは3/4。

(2)
三角形OABが二等辺三角形となるような(a,b)の値は、
aが偶数の場合bは2つ存在し、aが奇数の場合には、bは1つに決まる。
このことから、三角形OABが二等辺三角形となるような(a,b)の値は、
(1,1)(2,1)(2,2)(3,3)(4,2)(4,4)(5,5)(6,3)(6,6)で9通り。
∴ 9/36=1/4で、求める答えは1/4。

[II]
y=1とy=a(1-x)との交点は((a-1)/a,1)である。

S1+S2の面積は、
1/2×1×a=a/2　--- �@
S1の面積は、
1/2×a-1×(a-1)/a --- �A

∴ S2-S1 = �@ - 2×�A　であるから、

S2-S1 =　a/2 - (a-1)^2/a
= -a/2 - 1/a + 2

f (a) =　-a/2 - 1/a + 2　とおくと、
f'(a) = 1/a^2 - 1/2

・増減表（ただし、条件よりa>1）
｜a　 　｜1　　｜･･･　｜√2｜･･･ ｜
｜f'(S) ｜+　　｜+　　｜0　｜-　 ｜
｜f(S)　｜増加 ｜増加 ｜MAX｜減少｜

増減表より√2において最大値をとる。
また、f(√2)=2-√2

∴ MAX:2-√2　MAXをとる時のa=√2

[III]
xが少なくとも一つが整数であるためには、
判別式D/4　≥ 0より、
m^2+2m-64 ≥ 0

∴mの範囲は、-1-√65 ≤ m ≤ -1+√65

また、方程式の解をαβとおくと（α⊆Ｒ）
解と係数の関係より、
α+β=-16/m , αβ=1 + 2/m

あとわかんない。。。

[IV]
　8BP+5AP=5CP+8BC
⇔8(AP-AB)+5AP=5(AP-AC)+8(AC-AB)
⇔8AP=3AC

よって、PはACを3:5に内分する点である。

∴三角形PAB:三角形ABC＝3:8