整数問題をみんなで頑張るスレreturns

といふ訳で復活。
前スレのURL分からないので持ってる人は貼ってもらえれば此れ幸ひ。

数学記号の書き方はここを見れ。
http://members.tripod.co.jp/mathmathmath/

3

とりあえず今月の学コンから。昨日締切かな？答えはまだだけど合ってるはず・・・

nを自然数とする。また立方数とは自然数の3乗で表される数である。
(1)任意のnに対し n^3+3n+1 は立方数とならないことを示せ。
(2)n+1,n^2+n+8がともに立方数となるnを求めよ。

ﾑｽﾞｰ(ﾟДﾟ)

ｷﾃﾅｲ━━━━(・Ａ・)━━━━ !!!!!

立方数って何？

わらた

>>4
modで攻めたらどうよ？

よく考えたら、
（1）n=1の時、1^3+3+1=5
５は立方数ではないので、命題は証明された。

次は２か…

>>10
がんがれw

>>9
mod 2の事？それとも別？

第１項：１
第２項：１１
第３項：１１１
第４項：１１１１
　・
　・
　・
第ｎ項：１１１１１１１１１１１１１１１・・・・

この数列のうち素数であるものを取り出した数列をｂｎとおく。
ｂ１＝１１である。
ｂ２を求めよ。
（出題オーマン湖）

（2）n+1, n^2+n+8がともに立方数となるとき、両方が立方数になるので、
(n+1)(n^2+n+8)が立方数となることと同値である事は自明である。

(n+1)(n^2+n+8)=n^3+2n^2+9n+8

…うーん、躓いた。

詳しい説明を省くと、
(1)は

「n^3+3n+1-a^3=0をみたすような自然数(a,n)の組が存在しない」

ということを示せばOKすか？

整数苦手あげ

>>14は間違いだった。

｢答は？｣といっても、解答は無いしなぁ。

こんなんどうよ

n^3+3n+1 =(n+1)^3-3n^2
ここで、(n+1)^3-n^3>3n^2,(n+1)^3>(n+1)^3-3n^2より、
(n+1)^3>(n+1)^3-3n^2>n^3
よってn^3+3n+1が立方数となる自然数ｎは存在しない。

>17
>10も間違ってる。

>>20
本当か？
何か勘違いしてるのか。
数学やる人には無礼な解法だが、受験ではこれでも差し支えない。

>>19
ぐれいとー。

あ、書き込みボタンを押してしまった。

トゥリビア氏に解説きぼん

>>19
素晴らしい…。
というか、ここはこのレベルで普通か。
僕は恥なので落ちようかな。

>21
本当だよ。かなり親切に解釈すればちょっとくらい点になるかもしれないけど、
勘違いしてるのは間違いない。

>19
正解だと思う。ちなみに漏れは、
(n+1)^3-a^3=3n^2（ここで左辺が正であることを示せば>19と同じ）から
nが素数の場合のみ通用する解法へ走り挫折。

そろそろ解答upるでつか？
て云っても俺の書いたのだけどｗ

もうちょっと待って・・・(´Д｀；)

そうでつか・・・俺、眠いので反応なくなったら寝たと思ってねｗ

分かったような気がする

０は自然数じゃないしなぁ。ｸｿｰ

(n+1)(n^2+n+8)=n^3+2n^2+9n+8も立方数である。
1と同様にすると、
n^3<n^3+2n^2+9n+8<(n+2)^3
これより
n^3+2n^2+9n+8=(n+1)^3
n^2-6n-7=0
n=7

合ってるかな？

かな。

（2）n+1, n^2+n+8がともに立方数となるとき、両方が立方数になるので、
(n+1)(n^2+n+8)が立方数となることが必要である。
(n+1)(n^2+n+8)=n^3+2n^2+9n+8
nは自然数だから
n^3<n^3+2n^2+9n+8
n^3+2n^2+9n+8<(n+1)^3となるときは(n+1)(n^2+n+8)が平方数にならないので
n^3+2n^2+9n+8≧(n+1)^3∴1≦n≦7
n+1が平方数であるからn=7、このとき
7^2+7+8=64=4^3よりn^2+n+8も平方数となり適する。　　　n=7

n=7only
どうだ！？

>>32-33
アプローチは確実に正解方向でつが
１つとは限らないので全ての場合をやらなきゃでつ。

あれ・・・もう回答者出てたのね(^^;
ちなみに俺はn+1=p^3,n^2+n+8=q^3(q>p,p≧2,q≧2)
とおいてnを消去しp,qの式を出し､それを因数分解し､
条件を絞って求めました。

ぁ、同様じゃないかもだけど>>32はあってるでつ！

漏れは>14を参考にして必要条件を押さえ、
あとは虱潰し。といっても候補は一つだけでしたが

せっかく書いたことだし解答upるでつ。

まず「任意の自然数m,lについて、m^3<l<(m+1)^3⇒lは立方数でない・・・(#)」を示す。
l=k^3（kは自然数)と仮定すると
0<m^3<k^3<(m+1)^3より
0<m<k<m+1
このような自然数kは存在しない。
ゆえに(#)が示せた。
(1)
nは自然数より
n^3<n^3+3n+1<(n+1)^3
∴(#)よりn^3+3n+1は立方数でない。

もう少し書くと､ｎ消去により
(p+q)(p^2-pq+q^2)=(p^2+2)(p^4+2p^2+4)
が求まり､p,qの制限から
p+q=p^2+2
p^2-pq+q^2=p^4+2p^2+4
の場合しかないことがわかり､
これにより､q=2p ⇒ (p-2)(p-1)=0
p≧2より、p=2
このときｎ=7がわかる

てなカンジデした。

(2)
a,bを自然数とする。
n+1=a^3かつn^2+n+8=b^3⇒(n+1)(n^2+n+8)=(ab)^3　ゆえ
n+1とn^2+n+8がともに立方数となるためには、
(n+1)(n^2+n+8)が立方数となることが必要。簡単のためf(n)=(n+1)(n^2+n+8)とおく。

(イ)1≦n≦6 のとき
(n+1)^3<f(n)<(n+2)^3　だから
(#)よりf(n)は立方数でない。

(ロ)n=7 のとき
n+1=2^3,n^2+n+8=4^3 より題意を満たす。

(ハ)n≧8 のとき
n^3<f(n)<(n+1)^3　だから
(#)よりf(n)は立方数でない。

(イ)(ロ)(ハ)より題意を満たすnはn=7

>>13
2進表記だとメルセンヌ数を求める問題ですね。
10進表記だと思って解くと、
第n項が素数であるためにはnが素数になる事が必要。
で、パソコンで計算してみたらn=19なりました。

浮上させよう

http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.██████████████████████████████
http://1.███████





　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

全ての解等例をザッと見ただけだが、>>4 の(2)の問題に関しては
>>33 の解答が一番綺麗。苦労なくシンプルに解いてる。
>>40 のEVEさんの解答は説明不足。「p,qの制限から」の部分をしっかり説明すべき。
>>41 のtrivialさんの解答は答えのn=7を知っていて、その一意性を示しただけの気がする。

あげ　

あげげ！

有名問題だが
pを素数、a、bを互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数でないことを示せ。
ただしiは虚数単位とする。

それ京大の難だろうが

あげ

ｐが偶数のとき成り立たない

よって問題が間違っている

>>52
pは素数

トゥリビアはスレたてた責任をとれよなｗ

あ、ごめん。
トゥリビアはてっきり浪人生だと思い込んでた・・・

いまいち良さそうなネタがないんだよなぁ・・・
とりあえすうp。

(1)2^k が 30! を割り切るような最大の自然数 k を求めよ。

(2)30! の一の位は0である。一の位から、最初に0でない数字が現れるまでに連続して並ぶ0の個数を求めよ。

(3)(2)において最初に現れる0でない数字を求めよ。

>>56
　解けたｿﾞ！有名な問題だよね、見たことある。

>>56 あんまりにも有名すぎ

>>57
おめでとん！

>>58
これそんなに有名？

あげようかな・・・

あげ

>>59
　世間知らずの現役生。

マジで分かりません誰か教えてください。携帯なので、質問スレ上げられませんので、

三次元ベクトルで、点Aを通りベクトルpに平行な直線をl、 点Bを通りベクトルqに平行な直線をm(l,mの交点C)として、l,mを含む平面α上の点Hは、OH=C+sp+tq(Cは座標、ベクトルpqは成分stは定数)で表せるのはどうしてですか？

平面ベクトルと同じかな・・・・・。

>>63
それのどこが分からないんだ・・もしかしてベクトル未習とか？
じゃあ平面上の任意の点は sa+tb（a,b←ﾍﾞｸﾄﾙ）で表せるのは分かるのか？

某参考書より雑題を。

整数a,bを係数とする2次式f(x)=x^2+ax+bを考える。
f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
(1)αは整数である。
(2)任意の整数lと、任意の自然数nに対して、n個の整数
f(l),f(l+1),……,f(l+n-1)
のうち少なくとも1つはnで割り切れる。　　（大阪大）

>>66
　やさしい理系数学にあったのを覚えてるﾅｰ。

(1)有名問題？α＝q/pとして。ｎ次式でも成り立つ。
(2)k個の連続する自然数を、それぞれｋで割った余りは０〜ｋ−１：すなわち、ｋで割り切れる数が少なくとも１つは存在。

　こんなｶﾝﾁﾞで。

a^3+b^3が素数の整数乗になるa,bを全て求めよ.

>>66

(1)
αは有理数であるから、互いに素な整数p,q（p≠0）を用いて
α=q/p　と書ける。よって、
ｆ(α)=0⇔(q/p)＾2+aq/p+b=0
　　　　　⇔q^2/p=-aq-bp・・・�@
ここで、a,b,p,qは全て整数であるから、�@の右辺は整数。
よって左辺も整数。pとqは互いに素であるから、p=1。
よって、α=q　より、αは整数である。（q.e.d.）

(2)
わからん。
余りに注目してmodかなんかで解こうと思ったんですが
最後までつながりません。解答うｐきぼんぬ。

>>66
　の解答。

【解答】(1)のαをｍとすれば、f(m)＝m^2+am+b＝0　f(m+kn)＝・・・≡0(mod　n)
　ここで、ｌ〜l+n-1は連続するｎ個の数なので、m+knの形になるものが少なくとも１つはある。

んー、３０分ほど考えてるんだけど>>68が解けん。６時まで考えてﾀﾞﾒだったら寝る。

>>68
a，bに何の条件もないの？
　　a=0，b=p^(m/3)　(pは素数)
なんてのもありなわけ？

　ﾊｲ寝るー。参考までに、ヲレの足跡を。

【偽解答】取り敢えずabに大小関係を設定してみる。a≦b　因数分解して(a+b)(a^2-ab+b^2)＝p^k　右のほうが左より大きいからa+b＝p^c　a^2-ab+b^2＝p^d　(c≦d)と置く。
　a^2-ab+b^2＝(a+b)^2−3ab＝p^2c−3ab＝p^d　より3ab＝p^2c−p^d＝p^d(p^(2c-d)−１）＝3ab
(i)ｐ＝3のとき・・・ここで手が止まる。

　フェルマーの最終定理から、a^3＋b^3＝p^3を満たすのが無いのは良いとして、何となくp^4とかp^5も無さそうかな　　と思ったら、2^3+2^3＝2^4になっちまぅ！
　後分かったことは、p≠2ならaとbは奇偶を異にすること。p=2なら奇偶が同じであること。答えは(a,b)＝(1,2)(2,1)(2,2)に限られそうだということ。

　誰か解いてー。

>>72
　1^3 + 1^3 = 2^1
なんてのもありますな。
しかしa、bの条件がハッキリしないと
　(a、b) = (0、p^k)
なんて無数にでてくるんだけど？無理数でもあるよ>>71にも書いたけど。

>>73
無理数はナシでしょ。整数問題スレなんだから。
a、bどちらかが0のときは自明だから特に気にする必要はないよ。

あと、>>72のフェルマーの最終定理からわかる
「a^3＋b^3＝p^3を満たすのが無い」
から
「a^3＋b^3＝p^(3m)、(m≠0)を満たすのが無い」
までは拡張できるね。一応。

ジオソができないってことは、そうとう難しいのかな？

　おはよー。最近あんま寝れないよー。

>>73
　勝手に自然数と解釈しておこうよ。拡張できればそれはそれで○。

>>74
　まぁ、まずこんな高校数学スレでフェルマーの最終定理なんか使うんかと。
　あと、整数乗っつーのは、１乗もｱﾘ？>>72では考えてなかった。１乗もｱﾘなら無数にできそうな気も。確信は無いけど。

＞ジオソができないってことは、そうとう難しいのかな？

　買いかぶりすぎでつ。整数・立体・確率・行列は

苦手━━━━━━━━━━━━━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━━━━━━━━━━━

　１時にﾊﾆｰが来るんで、それまでは>>71の問題粘ってみる。取り敢えず１乗は考えず。

68に
「a,bを正の整数とする。」を追加して下さい。
見落としｽﾏｿ

>>68
　はぁいOk。ついでに出典なんか教えてくれるとありがたい。

　すごい答えに辿り着いた。

【誤答例】まず、p=2のときを考える。>>72と途中までは同様で、2^(2c)−2^(k-c)＝3abとなるからa,bはともに偶数。
　そこでこれらを2m,2nと新しく書くと、a^3+b^3＝2^k　⇔　8(m^3+n^3)＝2^k　⇔　m^3+n^3＝2^(k-3)

　ｋを十分に大きく取れば、同様の操作によりm,nも偶数となり、m=2m'　n=2n'　・・・　となってｋは無数に存在する！！

　あー、そろそろ約束あるんでリタイア。ｼｬﾜｰして映画見てきまふ。ﾎﾝﾄは松林サッカー見たかったのにな。バイオハザードに甘んじるか、トリック劇場版にするか。

ｘ^4 +4を因数分解せよ

>>81
A=sin45°+ cos45°
B=sin135°+ cos45°とすると
ｘ^4 +4
=(x^2)^2-(-4)
=(x^2+4i)(x^2-4i)
=(x+2B)(x-2B)(x+2A)(x-2A)
かナ？

>>82
DQN発見。
(x^2)^2-(-4)
=(x^2+2i)(x^2-2i)
=(x+sqrt2B)(x-sqrt2B)(x+sqrt2A)(x-sqrt2A)
だね

　ただいまー。

>>79ｽｺﾞｲ思い違いしてる。k≦3になるまで次数が下げれるんだね。というわけで

【解答・改】p=2のとき、上記の議論によってｋ≦3まで次数が下げれる。ｋ＝3のときはフェルマーの最終定理から。k=2は(a,b)＝(1,2)(2,1)　k=1は無いだろう。よってp=2のときは、先の２通りに限ることが示された。

　さて、ｐを一般の素数にしてみましょうか。

>>84も違っ！
　ラストんとこ、

＞k=2は(a,b)＝(1,2)(2,1)　
　これ嘘だね。ごめんなさい。k=2,3はﾀﾞﾒで、k=1のときa=b=1でOK

>>84
あれ？
普通に>>79みたいな論理で、aとbが互いに疎でなかったら、
ひとつの組み合わせから無限に作り出せる事が言えるんじゃないの？

a=pA
b=pBとおくと、
a^3+b^3=p^n　の形に必ずなるけど、
そうすると例えば((p^2)A)^3+((p^2)B)^3=p^(n+3)だし。
同じように3から入れてけばいくらでも作り出せるよね。

>>86
　ちょ、ちょいまって、余計に混乱してきた。今解答に近いものができつつあったのに・・・。

だからとりあえずa=5^n b=2*5^n　は適当かナ

とぅりびあか家庭教師を呼べぇえぇｇｊｋ：あｊぎあじゃい：ｐｇじゃ：ぴｊがｐ！！！

>>88
適当なわけ無いね、３だね、３。

で、さっきの因数分解で
(a+b)=p^m　とおけたとすると、
b=a-p^m

a^3+b^3=p^n　としてこのbに代入すると
p^m(p^(2m)-3p^m*a+3a^2)=p^n
こっから、aがpを約数に持つ、または、p=3である、が言える。
で、aがpを約数に持つとすると、もちろんbも持つから、さっきみたいにa、bをpで割れる。
だから、p=3で有る場合を考えれば、自然とaがpを約数に持つ場合も含む。(ごめんね論述雑で)

で、なんだっけ、p=3。

　ｐ≠2で、奇数として一般化したもののサンプルを紹介します。

【仮解】aとbは奇偶を異にする。両文字対等であるからa=2m-1　b=2nとする。先と同様に因数分解をし、p^(2c)−p^(k-c)＝3abを得るが、aとｐが奇数であることから、a＝p^xと置ける。
　また、a^3+b^3＝p^kにより、b^3＝p^3x(p^(k-3x)−１)　で、この右辺の積の２つは互いに素であることから、p^3x＝1　or　p^(k-3x)−１＝1　であるが、後者はｐが奇数であることから不適で、ｘ＝0　a=1を得る。
　で、、p^(2c)−p^(k-c)＝3abとa=1とから、ｐ＝3しか無く・・・

　この後ｂ＝２に限ることを示すのに時間食ってた。

p=3 がバカボンのパパに見えてしょうがないんですが。

>>92
あれ？p=2の場合って存在する？

1^3+1^3＝2^1
　じゃﾀﾞﾒなﾜｹ？

>>95
あああああああごめん何故か頭の中で勝手に条件加えてた。
手元の紙に「a≠b」とか書いてあって笑った。

>>92の続き

　b^3＝3^k−1　(ｂは偶数)　を満たす(b,k)の組が、(2,2)に限ることを言いたいんだけど・・・。限らないのかな？いや、限る気がする。

で、b=2に限るのは証明できたんですか？

ps 投稿間隔制限が出来てて、４５secとかで投稿しちゃうとまた１分でイライラ。

a^3+b^3=(a+b)(a^2 -ab+b^2)=p^n (pを素数）
よりa+b=p^s, a^2 -ab+b^2=p^tとおける
これらから3ab=p^2s -p^t

被った

　これでどうか。「具体解を見つけて差を取れ」方式。

【謎解】b=ｋ=2が１つの解であることに着目する。
　b^3＝3^k−１
　2^3＝3^2−１

　引いて(b-2)(b^2+2b+4)＝9(3^(k-2)−１）　ここでｂが偶数であることから、左辺は偶数×偶数で９の倍数になりえない。よって3^(k-2)−１が０になるしかなく、ｋ＝２　ｂ＝２

>>101
B=20のときとか、左辺は偶数×偶数だけど９の倍数じゃない？

　あははは・・・

まずは
落ち着け

>>104
　いぇす

とりあえずa=pA、b=pBと置ける
後は自然数^3 +自然数^3=p^2or pを探すだけ？

>>106
あなたはもっと落ち着く＆ログを読むといいよ。

　やや重たいけどこれでいいのかな。

【再三改】(b+1)(b^2-b+1)＝3^k　b+1＝3^e　b^2-b+1＝3^f　。ｂ＞２では3^f＞3^eからf＞eなので3b＝3^f(3^(2e-f)−１)　ｂは偶数であるからｆ＝１　e＝0　b=0となっておかしい。よってｂ＝２｡

ｽﾏｿ
>>72に書いてあった

b+1=3^nとすると、
b^2-b+1=3^m　に代入して
3^2n-3^(n+1)+2 = 3^(m-n)
n>0だと、左辺が３の倍数でなく右辺が３の倍数なので矛盾。
よってn=0よりb=2　とかなったんだけど…言ってる事は>>108と同じかな？

>>110
　んーまぁ結果同じだからいいさー。

　さて、以上の長々とした議論により、ｐ＝２では無限に（？）　ｐ＞２ではｐ＝３に限り、さらにそのときa＝１ｂ＝２であることが示されましたとさ。

>>11
a=3 B=6のとき
a^3+b^3=(1^3+2^3)3^3=3^5になって、以下同じように考えると
p=3でもa=3^n b=2*3^n　のとき、つまり無限に無い？

　・・・。

P=2でa,bは偶数
p=3でa=3^n b=2*3^n

p=2のときって、
a=b=2^nの時だけじゃない？

a^3+b^3が素数のべき乗になるa,bを全て求めよ.

(a,b)=(2m,2n),(3^n,2*3^n),(2*3^n,3^n)　　　(m,nは自然数）

(a,b)=(2^n,2^n),(3^n,2*3^n),(2*3^n,3^n)　　　(m,nは自然数）
だと思うのは俺だけか。

訂正
(a,b)=(2^n,2^n),(3^n,2*3^n),(2*3^n,3^n)　　　(m,nは自然数）

素敵に結論が出たな。

　未だどこの議論が間違ってるか分からないヲレ。

1^3+1^3=2

>>121
多分>>92あたりだと思うけど、俺は>>92が理解できないのでパス。

　・・・。ﾈ申降臨を待つ。

ん、もう答えはでたの？

y^3=x^3-x
を満たす整数解を求めよ

>>126
0,0or1or-1くらいじゃね？

なんだこの膨大なレスは。

(1)c=a+b,d=a^2-ab+b^2とおくとき、
1<c^2/d≦４が成り立つ事を示せ。

(2)a^3+b^3が素数の整数乗になるa,bを全て求めよ。

(８４年陶工大)

去年の一橋前期の三角形の成立条件使う整数問題難しくなかった？
代ゼミ荻野曰く、あれが合否を決めた問題らしいけど

>>129
それが元ネタだったのか、、、
大数のＤ＃です。答は
(2^k,2^k),(3^k,2*3^k),(2*3^k,3^k)
(ｋは負でない整数）

>>129
　さんくすー。東工大かぁ、ムズいわぁ。
　（１）はヒントになってるのかな？

　っつか、それ何かで見た。マスターオブ整数か。

　あぁ、新演習にあった。っつか、（１）も一緒にセットで出題しれやぁ！！

>>129は新数演でやったことあるような気が。

あった。

　さすが東大、Ｄ＃も解くんだね。ヲレはいっつも飛ばしてるヘタレです。

解けなくて答え見たと思うw

　なるほどー。解答はa+bとabをｐで表しといて、解と係数に持ち込んでるね。思いつかなかった。

ここの東大掲示板を荒らしてくれ！！！
Proxy使えばいくらでも荒らせるぞ
荒らし方は簡単！糞スレ立ててF5で更新して再送信するだけ
これだけで糞スレ乱立！！
複数の掲示板に対して管理人はたったの一人！！！
カキコしまくれば古いものから順にログが消える仕組みになっている！！
掲示板なんか2ちゃん以外いらねーよな！？
２ちゃんねらの力を見せつけてやれーーーーー！！！！
http://www.jukensei.net/

コピペ応援もよろすぃく！！！

＞とぅりびあﾀｿ
　やーいやーいヲマエもヘタレだーい

>>139
　受験生ねっとか・・・　そこにいる奴らのブランド志向と非人間ぶりが嫌いで行かなくなったかな

互いに素な2つの正整数x,yのk乗の和が3のn乗に等しくなるような正整数nを全て求めよ。
ただしkは2以上の整数とする。

出典：某数学サイト

３時間考えたんですが、わかりません・゜・（ノД｀）・゜・

>>141
　今日のヲレは数学熱！今からやったる！

　も、もちろん高校生レベルで解けますよね？？

>>141
　ごめん、早速だけど悪い予感がする・・・

>>141
互いに素な係数の和が奇数のｎ乗になるので、ｘまたはｙのどちらか
一方は２である。ここで、ｙ＝２とするとｘ＾ｋ＝３＾ｎ−２＾ｋ

一応ここまで考えた。あとはほかの人に頼む。

>>144さん
　どうして２になるんですか？？？奇偶を異にするだけじゃなくて？

あ、素数じゃないのね。間違えた・・・

>>146
　あぁＯＫｗ　ヲレも始めそうやりかけたｗ

なんだこの膨大なレスは。
読む気にならん。

　すまぬ、友達に全統慶応プレの解説頼まれてた。

>>148
　すみません、荒らしです。

荒らしたんじゃなくて、荒れたって感じだ。

>>150
　sumanu

　どーでもいいけど家庭教師ﾀｿって理科大だよね？ヲレの兄貴も理科大１年物理学科ﾀﾞﾖｰ。

x^4+y^4=z^4
を満たす整数解がないことをワイルズの定理を使わずに示せ

【祭り】この娘をモーニング娘。に！！【祭り】

２ちゃんねらーの力でこの娘をモーニング娘。にして差し上げよう！！
ニューヨークタイムズの田代神を目指せ！！

関連リンク
ttp://www.tv-tokyo.co.jp/　テレ東ＨＰ
ttp://audition.tv-tokyo.co.jp/list.cgi　候補者一覧

みなさん、ぜひ284に一票入れてやって下さい。
ttp://audition.tv-tokyo.co.jp/img/candidates/large/00284.jpg
皆様の一票がモー娘。に新たな風を吹かせます。

>>152
おい、ｘ＝ｙ＝ｚ＝０で与式が成立して矛盾してるぞ。ｘ、ｙ、ｚ≠０なのか？

>152-154
何じゃこりゃ？

>>151
そうなんだー。まだ１年なら頑張りしだいで将来がかなり変わってくるから
うらやましい。

>>154
条件を正確に書かない人が多いから問題として都合のいいように解釈
したほうがいいよ。ｘ＝ｙ＝ｚ＝０は自明だから他で成り立たないってこと
でしょ。

でもワイルズとかいう数学者のことを持ち出してるくせに、整数が０を含まないとはこれ如何に？

　何か適当に問題うｐしてみます。買った当初全く手が出なかった「マスター・オブ・整数(東京出版)」から。

【問題１】３つの奇数a,b,cについて、a^2＋b^2＋c^2は平方数にはなりえないことを示せ。

【問題２】自然数k,m,nが、ｍｎ/(m+18)＝ｋ+1/3を満たすとき
　（１）ｍは３の倍数であることを示せ
　（２）ｍの最小値を求めよ
　（３）ｎの最小値を求めよ

　【問題２】は防衛医大でふ。大数のコメントによれば、「大筋がつかめれば大して難しい問題ではないが、当時防衛医大を受けた諸君の大半がギブアップ」

　僕もそんなに難しく無いと思った。【問題１】はただのパズル、易しめです。

問題１はa^2+b^2+c^2=n^2と置くと
a^2+b^2=(n+c)(n-c)　ここでサ変の奇数^2+奇数^2は偶数、右辺の
n+cとn-cの奇遇は同じ、n-c>1より右辺は４の倍数
a=2m+1,b=2n+1とするとa^2+b^2=4(m^2+m+n^2+n)+2で２の倍数
よって無理

↑
ｎは奇数でした

問題２は
ｍの最小値９
ｎの最小値２
？？

>>161
　oﾟ∀ﾟ)ｂ　ｵｯｹｰ!

　防衛医受けるほどのﾔｼらがｷﾞﾌﾞｱｯﾌﾟする問題でも無いと思ったﾖﾅｰ？

4になった。3と3K+1が互いに素を何回か使って・・・

確かに、、
防医は時間制限厳しいからか？

（2）までしかわからなかった

＞とぅりびあﾀｿ
　てめぇｶﾞｯｺは！
　でもとぅりびあﾀｿが解けないとなるとやっぱムズいのかな。

>>164
　いやでも・・・瞬殺だったﾖﾅｰ？

そか。３６，２，１か。

＞りかﾀｿ
　解けなければ１から代入して規則なり何なり見つけるのも腕力。
　ちなみに今回はｎ＝２が最小だから、１から入れてもすぐ見つかる。

　mod３でﾄﾞﾝﾄﾞﾝ消していくのが賢いのかな。実はｍは３の倍数だけじゃなくて９の倍数になるぽ。

いろんな意味で最小

今学校ｗ

　解答は各自作ってもらうとして、少し解説を読んでみようかな。

「どこまで絞込み、どこから具体的に調べ始めればよいのか、すばやい判断が必要で、そこに本問の難しさがあると言って良いでしょう。
　受験者の多くは、（２）をｍについて解いた式で考えたようですが、『ｎ、ｋの存在条件』なので、解くならｎかｋについて解くべきです。

　ちょっと、模試が返ってきてるみたいなんで取って来ます。

大数でCぐらいありそう

a,bを自然数とする。

(a^2+b^2)/(ab+1) = k (kは自然数)
となるとき、kは必ず平方数となる事を証明せよ。

方針に気づけば簡単かな？

dakara kimira ga donnani ganbatatte kuribayasi niha katenai to omou

栗林ってだれ？

test

誘導なしで難しい問題出してｽﾏｿ

お詫びに一問
3角形ABCにおいて、tanA,tanB,tanCの値がすべて整数であるとき、
それらの値を求めよ。　　　(一橋大)

１、２、２

>>176
大数「宿題」、同「学コン」、数セミ「エレガントな解答」、同「IMO宿題」
などいろんなトコに姿を見せる筑駒中３じゃない？

自然数aに対して
b=9a^2+98a+80/a^3+3a^2+2aとおく（分数は全体にかかる）
bも自然数となるようなaとbの組（a,b）を全て求めよ

>>178=68さん
気にするこたぁねーですだ。
このスレは真剣に考えてる人ばっかりだから。
俺は全然貢献できなくて正直ｽﾏﾝ。

>>181
(9a+8)(a+10)/a(a+1)(a+2)

aが偶数の時、a=2cと置くと　b=(9c+4)(c+5)/c(2c+1)(c+1)
c|9c+4　となるのはc=1,4の時のみ、この時bはそれぞれ　13*6/3*2=13 , 40*9/4*9*5=2
c|c+5　となるのはc=1,5の時のみ、このときbはそれぞれ　13 , 49*10/5*21*6=7/9
c,c+1,2c+1 はc≧2の時互いに疎なので、
c|9c+4 でなく　c|c+5　でない場合は存在しない。

aが奇数の時、分母は奇数、分子は偶数となるのでbは整数にならない

よって、(a,b)=(2,13),(5,2)

age

　あーあ、彼女に振られましたよー

　というわけで問題。

【問題１】(1)2^n−１と2^n＋１のいずれか片方は３で割り切れることを示せ。
　　　　　　(2)2^(3^n)　←２が３のｎ乗個　は何回３で割り切れるか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(出典：91年図書館情報大)

【問題２】(1)２乗すると下二桁が２９になる２桁の自然数ｎを全て求めよ。
　　　　　(2)２乗すると下二桁が２９になる自然数ｎの一般形を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(出典：95年愛知学院大)　

ジオソ・・・(｡´Д⊂)ﾟ｡･

１番の(1)は奇遇で分け。
(2)は分からぬ。３を因数に持たないんじゃ？

２番（mod10で）
まずn^2≡9よりn≡3,7
n=10m+3(m=1〜9)のとき
n^2=100m^2+60m+9より
下二桁が29⇔60m+9の下二桁が29⇔6m≡2
∴m=2,7. n=23,73
n=10m+7のときも同様にn=27,77

(2)1桁で題意を満たす数はない。
また100以上の位の数は２乗した数の下二桁に影響しないので
kを負でない整数として
n=100k+23,100k+73,100k+27,100k+77

>>ジオソ
オレは昨年の今頃だった・・・
この時期はキツイよな・・・

　すまぬ！>>185訂正

【問題１】】(1)2^n−１と2^n＋１のいずれか片方は３で割り切れることを示せ。
　　　　　　(2)2^(3^n)+１　←２が３のｎ乗個　は何回３で割り切れるか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(出典：91年図書館情報大)

＞とぅりびあﾀｿ
　２も少し違うが・・・？２の(2)ね

＞家庭教師ﾀｿ
　･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡ うえええん

>188
(2)はn+1回ですか？

問題1(2)
[2^{3^(n+1)}+1]/{2^(3^n)+1}=2^(2*3^n) - 2^(3^n) + 1
3^nは3の奇数倍だから3^n=3(2m-1)　（m=1,2,3,…）とおける。
以下、合同式は(mod 9)とする。
2^(2*3^n) - 2^(3^n) + 1≡1^(2m-1) - (-1)^(2m-1) + 1≡3
よって[2^{3^(n+1)}+1]/{2^(3^n)+1}は9で割り切れないが3で割り切れる数だから、
[2^{3^(n+1)}+1]/{2^(3^n)+1}=3a_n　（n=1,2,3,…）　ただし、a_nは3と互いに素
とおける。

以下、
2^(3^1)+1=9=3^2と、
2^(3^k)+1=9*(3a_1)(3a_2)…(3a_k-1)={3^(k+1)}a_1a_2…a_k-1などから
数学的帰納法で。書くのが面倒なので略。

保守age

あげげ

なんかあせってるね。で、みんなどんなパンツはいてるの？

保守

学コン返却age

3x^2+4y^2=5z^2を満たす自然数解は存在しないことを示せ

3x^2、4y^2、5z^2は4で割るとそれぞれ0か3、0、0か1になる。
左辺と右辺の4で割った余りが等しくなる為にはx,y,zとも偶数じゃなきゃいけない。
よってx,y,zの最大公約数が1の解は存在しない。しかし解(x,y,z)があった場合、
それらを最大公約数mで割った(x/m,y/m,z/m)も解になりしかもこれの最大公約数は1であるので
矛盾する。よって自然数解は存在しない。

代わりに問題。
自然数x,yがあり、全ての素数pに対してx,yをpで割った余りx_p,y_pが
x_p≦y_pを満たしたとする。この時x=yである事を証明せよ。

　保守age

あげ

200

暇なんで問題作って見ました。
良かったら解いてみて下さい。

数字を逆に書くと元の数の４倍になる５桁の整数を求めよ。

数オリっぽい問題かもしれん。
目標解答時間１２０分くらいで。

>>201
21978のみ。
最上位と最下位で絞ってみた。

>>202
正解
２０分で解くのか・・・すごいな。

んじゃ素数の問題を。

pを素数とする。
４３≦ｐ≦１６８１における
ｐの一般項を求めよ。

↑目標６０分くらいで。

>>201
21978ですね。28分かかりました。トュリビアさんと同様の解き方だと思われ。

>>202のほうは高校までの知識で解けますか？一瞥してみたんですが、さっぱりです。

＞＞２０５
２０３はなんかの雑誌にのってた問題。
これはオイラーさんというひとが見つけたものですよ( ´∀｀)

２０１より簡単だと思うんだけどなあ。

>>203
1681=41^2 じゃないの？

>>206
n^2+n+41 ってやつは知ってるんですけど、これだけだと43〜1681の範囲の全ての素数を表せるわけじゃないから答えにはならないんですよね？
ところで、>>141に僕が書いた問題、誰も解答してないようなんですが、解法わかりませんか？解けなくてスッゲー気になってるんですよ。お時間があったら、よろしくお願いします。


んじゃ、一つ問題をば。

"1324231"のように、右からよんでも左からよんでも同じ数になるような正の整数を「楽しい数」と定義する。
ある６桁の「楽しい数」は９５の倍数であり、その商もまた「楽しい数」になるという。このような６桁の数を求めよ。

出典：某数学サイト

小学生でも解ける？！ようなレベルの問題。

問題設定が楽しい。

>>208
5\\\\5=95*5??5
?に0-9を代入して
527725=95*5555

素数は無限にあることを示せ。（平成３年度東京工業大学）

簡単すぎ。
Ｎが最大の素数と仮定してＮ！＋１も素数で矛盾。

>>210
正解。

>>211
どっかで証明方法見た覚えが。>>212と同じだけど。東工大で出題されてたんだ〜。

ここすごいな・・レベル高！（゜д゜;）

203の問題、多項式関数を用意してそれに自然数を代入して43〜1681の中の全ての素数を
出さなきゃいけないとなると、多項式の次数がかなり大きくなきゃ無理な気がするけど。

206を見る限りは全ての素数を出さなくても良くて、208の式で正解な気がするけど。

確かに、n=1,2,,,39に対してn^2+n+41は素数になってる。
n>41の時も、素数が多いし。何か理由があるのかな？

x^n+2*y^n=4*z^n （nは3以上の整数）

これを満たすxyzの整数解はx=y=z=0以外存在しないことを証明せよ。

>>212
典型的な間違いというやつですな。

>>217
その問題難しいね。千葉大の問題だったかな。Ｚ会の教材に載ってた覚えがある。
僕から言わせてもらえば、解ける人いるんですか？って感じですよ。

>>218
素数の個数が有限と仮定すると、最大の素数Ｎが存在する。全ての素数を掛けて+1したものをＬとおくと、Ｌも素数であり、Ｌ＞Ｎだから、Ｎが最大であることに矛盾。

これでいいかな？

>>219
Ｎ！+１が合成数の場合もあるって事だと思う。

最大の素数Ｎが存在すると仮定する。
Ｎ！+１は素数か合成数である。
(�@)素数の場合、仮定に矛盾する。
(�A)合成数の場合。
素因数を持つが、Ｎ以下の数で割ると１余るので、
素因数はＮより大きい素数である。よって仮定に矛盾する。

ゴールドバッハの予想ちょっと広くしてさ、
全ての整数は二個の素数の累乗の和で表せる(かな？)、って証明できる？
例(ゴールドバッハの時で無理な奇数だけ)：
105(3*5*7) = 2^6 + 41
119(7*17) = 2^5 + 87
みたいに。

>>219
そうそう、千葉大の問題。フェルマーっぽいよね。
ここに証明をきっちり書けたら、もう神だね、その人。
俺は解けはしなかったけど、良いところまでは行きますたよ。

みためフェルマーだけど簡単だよ。

>>220
あぁ、合成数の場合があるんすね。解説ありがとうございました。勉強になります(*´д｀*)

>>222
そのＺの教材には無限降下法とかいうのが紹介してあったんだけど、他に解法あるかな？
僕は全く手がつかなかった(´Д`)

>>223
簡単でつか・・・（´・ω・｀）ｼｮﾎﾞｰﾝ


んじゃ、ひとつ問題を。

x,yは正の整数で、x^4+y^4をx+yで割ったとき、商は97です。余りはいくつでしょう。（某数学サイト）

高校までの知識で解けるけど、簡単じゃないよ〜。

>>224
商が97だと解けなくない？

>>224

>>225
解けますよ〜。

>>226
正解。凄いっすね〜。どうやって解きました？

>>227
x+y≧10のときは相加相乗で(余り)≧x+yとなりダメー。
2≦x+y≦9は(右辺)≦98(x+y)-1で範囲を絞って虱潰し。

>>228
一行目を理解するのに手間取りました（´・ω・｀）
相加相乗を使うんすね〜。トゥリビアさんには簡単すぎたかな。
一応そのサイトに投稿されてた解答をコピペしておきまつ。

x≧yと仮定しても一般性を失わない。

x^4+y^4=97*(x+y)+r 0≦r＜x+y
と書ける。

(x^4+y^4)/(x+y)=97+r/(x+y)

97≦(x^4+y^4)/(x+y)＜98

98＞(x^4+y^4)/(x+y)=y^3*{1+(x/y)^3}/{1+(x/y)}＞y^3

よって、y≦4である。

また、97＜(x^4+y^4)/(x+y)=x^3*{1+(y/x)^3}/{1+(y/x)}＜x^3

よって、x≧5である。

x^4+y^4＜98*(x+y)

x^4-98*x＜98*y-y^4＜98*4=392

f(x)=x^4-98*xとおくとf(x)＜392でなければならない。

続き〜

f(x)を微分すると、f'(x)=4*x^3-98
x≧5で、f'(x)=4*x^3-98≧500-98=402＞0
よって、x≧5でf(x)は増加関数である。

f(6)=1296-588=708＞392となるので、
x≧6のとき、f(x)＞392となって不適。

よって、x=5

また、97*(5+y)≦5^4+y^4

97*y-y^≦625-485=140

g(y)=97*y-y^4とおく

g(1)=96,g(2)=178,g(3)=210,g(4)=132

y=1,4のいずれかである

(5^4+1^4)/(5+1)=104.33･･･

(5^4+4^4)/(5+4)=97.88･･･

よって、問題の条件を満たすのは、x=5,y=4のみである。
5^4+4^4=881=97*9+8と書けるから、求める余りは8である。

ミスりました。

×　97*y-y^≦625-485=140

○　97*y-y^4≦625-485=140

連続投稿ｽﾏｿ。

>>217>>224
xが奇数だと(左辺)=奇数、(右辺)=偶数より、矛盾。だからx=2x'とすると両辺4で割って
2^(n-1)*x'^n+y^n=2*z^n (nは3以上の整数より、2^(n-1)は2の倍数)
よってxの場合と同様にy=2y'でなくてはならず、これより
2^(n-2)*x'^n+2^(n-1)y'^n=z^n (nは3以上の整数より、2^(n-2)は2の倍数)
よってx,yの場合と同様にz=2z'でなくてはならず、これより
2^(n-2)*x'^n+2^(n-1)y'^n=2^n*z'^n
⇔x'^n+2*y'^n=4*z'^nとなり、ここまでの操作を(操作)と呼ぶことにする。

すると、命題が成り立つためにはx^n+2*y^n=4*z^nに対して(操作)を無限に繰り返す必要があるため
x,y,z=2*2*2*…、すなわち、x,y,zがすべて2で何度割っても余りのでない数でなくてはならない。
すると、x≠0の整数xに対しては、x=2^a*3^b*…となり、2に関して無限に割り切れる数ではありえない。
一方、x=0であれば、xを何度2で割っても割り切れることは明らか。したがってx=0であり、
同様の理由でy=z=0となる。

したがってx=y=z=0でなくてはならない。

無限降下法って、こんな感じなのかな？論理的に変じゃないとは思うんだけど…

>>232
そうそう、まさにそんな感じでつ。
一行目さ、わざわざ背理法使わなくても2*ｙ＾ｎを移項して2でくくればｘが2の倍数ってわかるよね。
あと、一行目でもう１箇所、4で割ってじゃなくて、2で割ってだよね。これは単なるタイプミスｗ

>>x≠0の整数xに対しては、x=2^a*3^b*…
ここちょっと理解し難いんだけど、要は「ｘは整数だから2で無限に割りきれない」ってことでつか？

でも、よく出来ますね・・・。僕にはさっぱり思い浮かびませんよ。

>>232
そうです、そうです、さすがです。
俺は2の倍数で攻めるじゃないかな？とは思ったんですが、
書き方に迷ってしまって…、ハイ。

質問です。解答みても全然わからなかったので・・・。
ｘ＋ｙ≧０、ｙ＋１≧０、ｘー２ｙ＋２≧０、ｘ＋ｙ≦２のとき
　　□≦２ｘ＋ｙ≦□　である。
□を求めよ。

ちなみに答えは3分のマイナス２≦２ｘ＋ｙ≦５　　らしいです。

どなたか詳しい解説お願いします！！！

　
　xは実数とし、a、b、cは実数の定数とする。集合A、B、Cを
　　　A=｛x| -3<x<-1,1<x｝
B=｛x|x＾2<a｝
　　　C=｛x|x＾2+bx+c<=0｝
　と定義する。ただしa>0である。

　　(1)
　　　A∩B=φであるためのaの必要十分条件(aの範囲)
　　(2)
　　　A∩B=｛x|1<|x|<3｝であるための必要十分条件(aの値)
　　(3)
　　　Ａ∪C=｛x|x+3>0｝かつA∩C=｛x|1<x<=2｝であるための必要十分条件(b、cの値)


　部屋の整理をしてたら去年もらったセンター対策のﾌﾟﾘﾝﾄを発見。途中まで書いてみて整数問題かどうか微妙だったけどせっかくなので。

>235
とりあえず2x+y=kとおいてグラフを書きましょう。
多分この方法でOKなはず。ってか何がﾜｶﾝﾅｲの??もしかしてベクトルの内積を使って解答が書いてあるのかな??

２ｘ＋ｙ＝ｋ　にするやり方で解答に載ってます。それがわかりません！
丁寧に解説してくれませんか？？？

>238
だからさぁ…領域の話はしってるよね。とりあえず2x+ｙ以外の方程式のグラフを書いて、全体の条件(2x+y以外の全ての方程式の領域が重なるとこ)
を求めましょう。ここまではOK??

>>235
問題で指定されてる範囲をまずグラフに書いてみて下さい。

その範囲（領域）の中から、好きな点を選んで、
その点のx,yを、2x+yに入れてみて、その値はどんな風なのか？ってコトを知りたいんでしょ。

じゃーその値をkをしてみると、2x+y=kってなるじゃん。
このkを存在させるには、2x+y=kっていう直線とさっき書いた範囲が、
どこかで接してたり、交わったりしなければいけないじゃん。

だとすれば、「交わったり、接したりしつつ、kの値を最大最小にするにはどうすればいい？」
って問題に言い換えられるじゃん！そうすれば、あとは簡単。
2x+y=kの直線の傾きは変わらないでしょ、いつも。
変わるのは切片だけじゃん。グラフを見ながら、2x+y=kの直線をを上下させれば、あとは終わり。


あー、ちょっとわかりにくいかな。図とか使わないと辛いわ・・

みなさんありがとうございます。なんとなくわかってきました。これからやってみまーす

>>217
千葉大の問題じゃない？授業で当てられたのよ。懐かしい

>235
漏れの解説より全然分かりやすいね。さすがです。説明しにくいんだよね…。
ちなみに最小はx+y=2,x+y=0の交点で最大はy+1=0,x+y=2の交点…だと思う。ちょいと不安だけど多分これであってる。

>>233
そうそう。x=2^a*3^b*…のとき、指数の値a=b=…=0でないと、
(操作)をa回繰り返すとx=2^a*x(a)に関してx(a)が奇数になっちゃうから
>>232の二行目の理由から矛盾するって感じです。

保守

age

nは自然数として、次の不等式を証明せよ。

（（n+1）^n）/（n^n） ＜ 3


�UＢまでの知識でも解けますが、�VＣのアレを使って解くとカッコイイです。（ｗ
俺、自力で思い付いたときは感動しますたもん。

>>247
　�UＢどころか帰納法で十分でわ？
　色んな別解が考えられるところだけど、ｆ（ｘ）＝ｘlog(１＋1/x)が単調増加関数であることを示すと、正の実数ｘにまで拡張できる模様。

問題くれ。

あと、センターのあと、何しようか困ってます。

>249
一つ発見。このｽﾚのﾚﾍﾞﾙに合ってない気もするけど…。一応。
　
　どのような負でない2つの整数mとnを用いてもX=3m+5nとは表す事の出来ない
　正の整数Xを全て求めよ。　　　<出所不明>

1,2,4,7

切手の問題ですね

もう一題見つけた。こちらは超有名問題です。多分皆さん知ってます。
　α、β、γは実数で
　　α+β+γ=k
　　α^2+β^2+γ^2=k
　を満たす。このようなkの最大値を求めよ。

>>248
ｎ乗を帰納法でいくのは結構めんどいよ。

対数を取って、単調増加を示すのも悪くないけどさ、
「n+1」と「n」があるんだから・・・

>>254
　＞ｎ乗を帰納法でいくのは結構めんどいよ。

　ドキッとしてやってみたけど、どこがﾒﾝﾄﾞｲ・・・？評価の仕方が拙いんじゃない？普通にいけた。

　＞「n+1」と「n」があるんだから・・・

　・・・？何を言おうとしてるのかﾜｶﾗﾝ・・・。

>>254
マジですか？あ、楽かもしれん…。

平均値の定理使うとさ、(log(n+1)-log(n))/((n+1)-n)ってなりますじゃん。
綺麗に分母が1になってくれる。

>>256は254じゃなくて255のレス。ｽﾏｿ

>>256
　うん、君がその勘違いをしてると思った。
　平均値の定理では証明にならない！

　ｎだと逆に扱いづらいから、ｘにしてやってみる。

【解答（仮）】logをとって　『全ての正実数ｘについて、ｘ(log(x+1)−ｌｏｇｘ)＜log3』を示せばよい。
　平均値の定理から、ｘ＜ｃ＜ｘ＋１を満たすあるｃについて、log(x+1)−logx＝1/cとなるｃが存在する：つまり、ｘ(log(x+1)−ｌｏｇｘ)＝x/cとなるｃが存在する。

　分かるかな？

Σ(K=1〜29400)k^k
を７０で割ったあまりを求めよ

nを１０００以上の整数とするとき
100/n
の小数点第ｎ位を求めよ。
（BY数オリ？回）

ちなみにカレー真須美の死刑の理由は

「真須美が犯人である。」
↓↑
「真須美以外の犯人は考えられない」
と対偶を使った証明をしたそうです。


ps:トゥリビアさんは何年生？

【淫行】政経５年キムは犯罪者【早大生】

http://live2.2ch.net/test/read.cgi/news/1039764723/

告発文

現在、早稲田大学政治経済学部経済学科５年生であり、
早稲田大学スペイン語研究会所属の在日朝鮮人、本名
「金（キム）」通称「沢村卓哉」推定２６歳、はエキ
サイトフレンズという出会い系サイトで年齢を偽り、
知り合った中学１年生〜３０代人妻までの女性とみだ
らな行為を繰り返している。
そして出会ったばかりの中高生を巧みに騙し、あろう
ことか膣内射精を繰り返している。そしてその行為を
早稲田大学ナンパ研究会というサークルの専用掲示板
で詳細に報告している。
この男の行為は、１８歳未満の女性へのわいせつ行為
や姦淫行為に関しては【淫行条例】、１３歳未満の女
性へのわいせつ行為や姦淫行為に関しては【強制わい
せつ罪】（刑法176条後段）【強姦罪】（177条後段）
が適用される立派な犯罪である。
2002年だけで、50数名の女性をその毒牙にかけている。
もはや見過ごすことのできない段階にまできている。
早急な対処を望む。

今月の高校への数学の高数オリンピックの問題ｵｼｴﾃ

　おはよー。
>>256
　追加しとくね。

【続き】左辺＝x/cが、ｘ＜ｃ＜ｘ＋１が『存在』することは見事証明できた。けれど、ｘ＜ｐ＜ｘ＋１を満たす『全ての』ｐについて成り立たなければ、証明にはならない。

　ｆ（○）−ｆ（△）で平均値の定理を思いついたのはｽｺﾞｲ立派だと思うし、そういうので喜ぶ経験が、数学を好きにさせるのだと思う。
　今回は少し厳密さを欠いて失敗しちゃったけど、その眼力を忘れずに！

　→ここから先は少し適当だけど、ｙ＝logxが『上に凸な関数』であることを利用すれば、平均値の定理を用いて解くこともできる気がする。
　ただ、それなら普通に微分したほうが早い。

>>264
この場合は、存在だけでいいんじゃないの？

平均値の定理より、ある実数cが次を満たす。
log(n+1)-logn=1/c...(1)
n<c<n+1...(2)
(2) より n/c<1 であるので、(1) を用いて、
n(log(n+1)-logn)=n/c<1<log3
y=logx は単調増加なので
(n+1)^n/n^n<3

>>261
高3。本当に受験生なのか俺w

>>264
平均値の定理ってさ、ｃの存在範囲のが重要じゃないですか。

証明書こうと思たけど、>>265にあったので略。

[a/b]はa/bの整数の部分を表す(ガウス記号）
このとき
[a/b]+[2a/b]+[3a/b]+･･･････+[(b-1)a/b]=(b-1)(a-1)/2
となることを示せ
これみんなどれくらいで解ける？

あーごめんめんご
aとbは互いにそな正の整数ね

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>265
　んんん？僕が勘違いしてなければ、『y=logx は単調増加なので 』ではなくて『y=logx は上に凸なので 』でわ？

>>268
　秋山仁の数学実況中継で、それの具体的な（ａ＝５、ｂ＝７だったとおもうけど）問題解いたから、答え覚えてる・・・。

>>273
y=f(x)　が単調増加ならば、
a<b ⇔　f(a)<f(b)なので、
(n+1)/n)^n<3
⇔　log((n+1)/n)^n)<log3
で良いと思う。

あげ

しね

暇だから学コン（12月号）の解いたんですが
1の答えって
不等式の中にαとかβ入ってもいいんですか？
3次関数とか何も習ってないから適当に解いてみたんですが

町がエア

誰かｵｼｴﾃー

>>278
αはkにより決まるから駄目だよ。

>>278
どんな問題？？

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>282
x^3-3x^2-k=0の相異なる３実数解をα，β，γ(α<β<γ)とする。
1<αβ+γ<5/2となるようなkの範囲を求めよ。
だったかな。うろ覚えでｽﾏｿ。

あぼーん

>>278
　α、β、γ、ｋと４つの変数があるけれど、グラフを書けば分かるように、そのうちの１つが決まればあとの３つは自動的に決まる。
　だから、問題は、「αβ＋γ」という変数を、α、β、γ、ｋのどれか１つを用いて表すこと。僕はγで解いた。他にもやり方があるかも知れない。
　どれが変数、どれが定数って考えるのは大事だよー。

　僕は今月は１と２しか解いてないかな。３で挫折。確率なんてﾃﾞｷﾅｲﾖー（二次試験の範囲じゃないﾉｻ）。

>>275
　んんん？ちょっとよく分からないから、僕が言いたいことを書いてみるね。

『ｘ＜ｃ＜ｘ＋１なるｃがあり、その「あるｃ」はlog(x+1)−logx＝1/cを満たす数である。しかし、ｘ＜ｋ＜ｘ＋１なる、ｃと異なる数ｋを持ってきたときに、ｋはlog(x+1)−logx＝1/ｋ
　となるとは限らず、例えばlog(x+1)−logx＝１００ｋとかになるかも知れない。けれど、区間ｘ〜ｘ＋１においては、logxが上に凸であることから、点ｘで引いた接線の傾きが最も大きい。
　つまり、いかなる数ｋ（ｘ＜ｋ＜ｘ＋１）を持って来ようと、log(x+1)−logx≦1/xとなる。』

　例えば下に凸、単調増加の関数f(x)を持ってきたときには・・・↓
『ｘ＜ｃ＜ｘ＋１なるｃがあり、その「あるｃ」はf(x+1)−f(x)＝ｆ’(c)を満たす数である。しかし、ｘ＜ｋ＜ｘ＋１なる、ｃと異なる数ｋを持ってきたときに、ｋはf(x+1)−f(x)＝ｆ’(k)
　となるとは限らず、例えばｆ（x+1)−f(x)＝１００ｆ’(k)とかになるかも知れない。ここで、区間ｘ〜ｘ＋１においては、下に凸であることから、ｘ＋１で引いた接線の傾きが最も大きく、
　ｘで引いた接線の傾きが最も小さい。つまり、ｃと異なる数ｋ（ｘ＜ｋ＜ｘ＋１）を持ってきたら、例えばｘにおける接線はf(x+1)−f(x)≧ｆ’(x)となり、これでは題意の証明不可能』

　どうだろう、どっかおかしいかな。長助ﾀｿに勝てるﾊｽﾞも無いが一応抵抗してみるテスト。

>>293
おはよう！なるほどね。確かにその通りだし、上に凸であることが本質的だと思う。
ただ、今の場合は平均値の定理から、
log(x+1)-log(x)=1/c
x<c<x+1⇔｛1/(x+1)｝<｛1/c｝<｛1/x｝
成り立っているから、これからcを消去して、
log(x+1)-logx<1/x
を導いたって間違えではないのでは？

今回は俺も学コン出したよ。
確率しばらく離れていたせいか、一番難しかったように感じた。
1は解と係数の関係でγの条件不等式を導けるからそらから出した。
で、締めきり日にぎりぎりで解いて出したから
4のロ　メモってないんです。手元にある人ｷﾎﾞﾝﾇ……てあるわきゃないか。
満点だったらいいなー。

長さ１の線分が回転し得る領域の最少面積は
いくらでしょうか

3m+2nで表せない数を全て求めよ

あー
えっと
正確にはαじゃなくて
ガンマを含む不等式ではさんで
-αβ＝ｋでやって解いたんですが
いいんですか？

αβ=k/γ　でねーが？
この問題は従属変数3つ、独立変数1つ、拘束条件を処理する問題。
どれか1つの変数に帰着させて解けばどうやっても良いとは思うが。

一方　γ^3-3γ^2-k=0
⇔γ^2 - 3γ = k/γより
αβ=γ^2 - 3γ
代入して
1< γ^2 - 2γ < 5/2　(2<γ<3)
として解くのが自然な流れだと

1<γ<2だたーな。はい。

>>291
1/4＜k＜0
あってますか？

2＜γじゃないですか？

3訂かこわる…1<γ<3。

あ2<γだね。なんでコンナ一人で揺れているんだろう。
まるでとけてなかたーみたいじゃんw

kはグラフの形から絶対負だよ。
2<1+√2<γ<(2+√14)/2<3が最終条件でγ^3-3γ^2=kにリリースしてお仕舞いだね。

>>305
そこに条件加えて２＜γ＜３だね
答えは-2＜ｋ＜0？？？

開区間(2,3)でy=x^3 - 3x^2は単調増加で
2<　1+√2　<γ<　(2+√14)/2　<3
γ^3-3γ^2=kから
f(x)=x^2 * (x - 3)とおくと
f(1+√2)< k <f((2+√14)/2)
これは-4<f(1+√2)<f((2+√14)/2)<0だから必要条件を満たしてるでしょ？

で問題の3番なんだが
期待値は59/14
[内訳]
n=3の時　(3/9)*(3/8)*(3/7)*2*3
n=4の時　(P[6,3] - 2* P[3,3]) * 3 * 3 /P[9,4]
n=5の時
P[6,4] * 3 *3 / P[9,5]
n=6の時
P[6,5] * 3 *3 / P[9,6]
n=7の時
P[6,6] * 3 *3 / P[9,7]
としたがあってる？

てすと

を、書けた。

俺は１番は、2<γ<3,αβγ=kより
1<αβ+γ<5/2⇔-γ^2+γ<k<-γ^2+5/2γ
あと、４つのグラフy=x^3-3x^2,y=-x^2+x,y=-x^2+5/2x,y=kの位置関係から。

なかなかスマートに解けた。

>>309
答えしか見てないけど(1)だよね？俺も同じになったよ。

あと4(ロ)は
楕円C:x^2/a^2+(y-c)^2/b^2=1(a>0,c>b>0)上に点Pを、PにおけるCの接線がy=x^2と異なる2点Q,Rで交わるようにとる。
Pに関わらず∠QOR=45°or135°となるa,b,cは存在するか。存在すれば値を求めよ。

こんな感じだったかな。

あげてみる
やっぱあれだね
ホダイとか定理を示して
問題を示すってことだね

hozen

保守

誰か…問題くれよぉ。

(2^n+1)/nが整数となる自然数ｎをすべて求めよ。

フィボナッチ数列の中から異なる３項をどのようにとっても
ピタゴラス数を満たす組は存在しないことを示せ。

３１８は間違い

フィボナッチ数列の連続する２項の和a(n+1)+a(n)が７で割り切れるｎの条件を求めろ。

p,qはいずれも自然数とする

f(p,q)=p^2-3q/p+1/q^2

が最大となる(p,q)の組をすべて求め､その最大値も求めよ。

>>321
1≦pq≦2002とする

ホシュ

完全攻略数学オリンピック
から
x,y,zは全て0以上の実数でありx+y+z=1を満たす
このとき
0≦xy+yz+zx-2xyz≦7/27
が成り立つことを示せ
数論ってあれだね
とんでもないアプローチで問題解くことが要求されるから
むずいよね

>>317
n=3^a,{3^a}*{19^b}(a>1),{3^a}*{19^b}*{163^c}(a>3)
とか色々あるけど、きれいな答えが出るのだろうか。
>>320
a(1)=1,a(2)=1 で始めるのなら、n=8k-2 (k は自然数)
>>321
f(2002,1)

もういらないのかもしれないけど・・・age

整数苦手あげ

大数ゼミ終了。
　お土産に、学コンの過去問（’９７〜）を全部もらったので、その中からいくつか整数問題をうｐ

【１】ｐ、ｑを互いに素な２以上の自然数とし、点Ｐ1〜Ｐ1995を、Ｐn＝（ｎをｐで割った余り、ｎをｑで割った余り）の座標によって定める。
　（１）Ｐk＝Ｐmとなるｋ、ｍの条件を求めよ。
　（２）ｐ＝２　ｑ＝５のとき、Ｐ1＝Ｐnとなるｎ（ｎ＝１も含む）の個数、Ｐ19＝Ｐn（ｎ＝１９も含む）の個数をそれぞれ求めよ。
　（３）pq≦1995とする。Ｐｋ＝Ｐnとなるｎの個数が、ｋに無関係な一定値になるようなｐ、ｑの組はいくつあるか。


【２】自然数ｎの約数（１もｎ自身も含む）の個数をf(n)とするとき、n/f^2　（←ｆ＝f(n)ね）の最小値、及びそのときのｎの値を求めよ。

(出典：共に学コン。出題年不明。)

>>328
渋谷まで行ったの？

>>329
　うにゃ、大阪でもあるのよ。安田亨と嶋田って人が担当で。

>>330
氏ね

ごめんなさい嘘です

いきなり氏ねにﾜﾗﾀ

>>330
出題年分かるやん。

正の数mがあり、これの少数部分をｎとする

m^2+n^2=6m のとき、mの値を求めよ。

>>335
　んー、ﾑｽﾞｲ・・・。ちょい自信無いけど

【解答？】m＝整数部分＋小数部分＝ｋ＋n（ｋ＝整数、0≦n＜1）と置いてみる。
　m^2＋n^2＝(k+n)^2＋n^2＝k^2＋2nk＋2n^2＝6m　→　k^2＋2(n-3)k＋2n(n-3)＝0　これを解いて
　ｋ＝3-n＋√(9-n^2)　√(9-n^2)は、0≦ｎ＜1により、整数部分が２。ｋが整数なので√がはずれたときに、+ｎが出てくる必要があるがので
　√(9-n^2)＝2+n　→　ｎ＝(-2+√14)/2　ｋ＝５　よってｍ＝4+√14/2

　何が自信無いって、議論があやふや・・・。

　すまぬ、もういっぺん正確にやってみる。

【解答・改】ｋ＝3-n±√(9-n^2)　だが、√の部分は２＋ｘ（0＜x≦1）と置ける。よってｋ＝5-(n-x)　or　1-(N+X)
　ｋ＝5-(n-x)のとき、ｎ＝ｘとなるしかなく、>>336の通りｍ＝4+√14/2となる。
　ｋ＝1-(n+x)のとき、ｎ＋ｘ＝１となるしかなく、ｘ＝１　ｎ＝０　よってｍ＝ｋでm^2＝6m
　これを満たす正数ｍは、ｍ＝６のみ。
　　　　　　　　　以上により、ｍ＝６、４+√14/2

　こ、こんなかんじで・・・

　あぁ違う！！

　最後んとこ、　n+x＝１となるしかなく、ｘ＝１ｎ＝０であるが、このときｋ＝０となってｍ＝０（不適）

　よって求めるｍはｍ＝４+√14/2のみ。ﾎﾝﾄｶﾖｰ

　でもどこでｍ＝６がはずれたんだろう。明らかに満たすんだけど・・・
　
　あ、分かった。　ｋ＝5-(n-x)のとき、n＝ｘ　またはｎ-x＝-1　すなわちｎ＝０ｘ＝１　このときｋ＝ｍ＝６だ。

　はい、ｍ＝６と4+√14/2　っと。　　ｳｿｸｾｰﾖｰ

p,p+10,p+14
のどれもが素数である
このときpと求めよ
勘ってのはなしね
結構むずいかな？
どうかな？

>>340
　さん！！

>>341
なぜわかった？

>>342
勘で分かるっすよ。
いや、それはともかく。
p=3n±1とするといずれかが３の倍数（>3）となって不合理である。
よってpは３の倍数である。
即ちP=3

>>343
3ってわかってなかったら難しいかな？

でもよく考えたら
俺何も考えずに
答え見てたわ
やっぱ最初見当でも付けてちゃんと解くべきだった
じゃあ
a^2+b^2が21で割り切れるような自然数a,bがあります
実はこのとき441でも割り切れていることを示せ

>>344
かもね．．．
でも、2じゃ無理だな．．．じゃ3では？
くらいの実験は誰でもやるから、この解答は自然なモノだと思うけど．．．

>>345
aを21で割った余りをp、bを21で割った余りをqとすると、
a^2+b^2が21で割り切れる事から、p^2+q^2も21で割り切れる。
今、0≦p<21を満たすpについて、p^2を21で割った余りとして現れ得るのは、
0,1,4,7,9,15,16,18のみである。
この中から2数を選んで足した和は、0+0以外21の倍数にならないので、
p=q=0
即ち、a,bが共に21で割り切れるので、題意の通りである。（証明終わり）

って、こういうのはｲｶﾝかな？
すべて書き出してみたら確かになったぞｺﾞﾙｧって言ってるのと程度としては変わらんし．．．
もっと本質的な解答あるならﾌﾟﾘｰｽﾞ。

数オリでるやつらがやばいよー
ルベーグ積分とか
イプシロンデルタとか解析のこと知りまくってるよー
しかも凸体とか知ってる化け物までいるよー
やばいよー
もう駄目かも試練よー

5つの連続した自然数の2乗の和は平方数となることはないことを証明しなさい

>>349

n≧3として、5つの連続した自然数の2乗の和は

(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+10=5(n^2+2)

とおける。

n=5k±2、5k±1、5kとおくと、(n^2+2)を5で割ったあまりは

1or3 になることがわかるから、(n^2+2)は5で割りきれることはない。

従って、5(n^2+2)は平方数になることはない。

以上、題意は満たされた。

おーさすが
じゃあ
a^2-3b^2=8となるような自然数は存在しないことを示せ

>>351
a,bの奇偶は一致する。

ともに奇数のとき
a=2a'-1,b=2b'-1とおいて代入すると(奇数)=(偶数)となり駄目。

ともに偶数のときa=2a',b=2b'とおくと
a'^2-3b'^2=2
a',b'の奇偶は一致し・・・以下同様。

おーさすが
じゃあ
n を正の整数とする． r は n 以下の正の整数であるとする．
ある町には n 人の男性と n 人の女性がおり， どの人も町内に異性の知り合いがちょうど r 人いるという．
この町の人々をうまく分けて， 知り合いどうしの男女のペアを n 組 作ることができることを示せ．
もちろん「知り合い」という関係は対称的です．つまり，甲が乙と知り合いであれば，乙は甲と知り合いであるとする.

ウィーン

1+1/2+1/4+・・・・・・は
いくらの値に収束するか

>>355
2
ただの等比級数じゃん。

>>356
>>353

>>357
解けそうで解けませんです。
だれか解答してください。

>>353
　問題文の意味が既に分からなかったり。

　例えばｎ＝２　ｒ＝１のとき、男２人女２人。男にＡ，Ｂと名前をつけ、女にＣ，Ｄと名前をつけることにする。
　ＡもＢもＣと知り合いだったら、互いに知り合いなペアは１つしかできない。

　勘違いしてる？それとも↑の場合なら、ＡＢＣを３人集めれば２組ってカウントになるのかな・・・。
　「ｒ組あることを示せ」じゃ簡単過ぎるしなぁ。

　鳩ノ巣原理のにおいがするけど、問題文が分からんよー

>>359
それだとCの知り合いが２人になるので、題意に反すると思う。

昨日から鳩ノ巣考えてるんだけど全然分かんなくて。

>ある町には n 人の男性と n 人の女性がおり， どの人も町内に異性の知り合いがちょうど r 人いるという．

これって例えばn=5,r=3のときは成り立たない気がするんだけど・・・・

あ、やっぱ成り立ちますね。
必ず成り立つってわけじゃないんですね・・・・
うまい具合に選ぶ必要があるんですね・・・

>>359
r=1だったら
Cが2人と知り合いになるじゃん
でｒ＝２になって題意に反する
だから少なくとも
AとCorBとCになるだろ

　あ、１人の人間をダブルカウントしてもいいのね。

　ﾃﾞｨﾘｸﾚの定理で上手くいきそうだが・・・？

あ

あげ

あっげ

これもあげ

　　∧_∧。o0○　だいじょぶかにゃ。
　§*・-・)　
£(_ｕｕﾉ　

はげ

甦生age

age

　みんなセンターで忙しいのかな。最近ageらないね。

ここ十ﾚｽくらい全部揚げじゃねぇかｗ

>>353
どっかの過去問でそんなようなのあったぞ。
パーティー会場でペアがどうたら…って論理の奴だろ？

要はおてての繋ぎようだよ。
解けない奴は試しにN個点をとって考えてみ？

ここが元ネタのようです。
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~s21012/gtmb/mon/index.cgi?h=problem&n=009e

挙げ