【数�Vの】ロピタルの定理の有効活用法【裏技】

面倒な極限の問題を瞬時に解ける非常に優秀な定理ですが
高校の範囲だけでは証明できないため受験で使うべきではない
というのが定説です。
では実際に使うとどのくらい減点されるのか、
また、どういうところで使えばいいのか
などロピタルの定理をフル活用するために情報を出し合うスレです。

ロピタルの定理
　　　　　　 g(x)　
lim f(x)＝―――　でf(x)が不定形になる場合
　　　 　　　 h(x)

　　　g(x)　　　　　　g'(x)　　　　　 g''(x)
lim ―――　＝lim―――　＝lim―――　＝・・・・
　　　h(x)　　　　　　h'(x)　　　　　　h''(x)

2?

え？つかっちゃいけないん？

俺の先生「ここの入試でも知っててヒョいヒョい使ってる人
いるみたいですしね。まあそういう答案には点は与えませんが・・・」
by阪大教授

減点が不安な方は、使った後でロピタルの定理を証明しておけばよい。

「ロルの定理」⇒「コーシーの平均値の定理」⇒「ロピタルの定理」

という手順で証明できる。
ロルの定理は教科書に記載されているので使用しても問題無い。

詳しくは
http://doraneco.pos.to/physics/column/lHospital.html
を参考にして下さい。

>>4
その手の教授の話ってどこまで信頼できるのか微妙だなぁ。
「東大数学は部分点与えない」とかも聞くけどそれできちんと差が付くのか。。

ロピタルの定理なんか使わなければいい。

入試でオイラーの公式を使ってもいいと
数学の先生が言っていたが

スカーレットも証明すれば大丈夫って言ってるよ

＞俺の先生「ここの入試でも知っててヒョいヒョい使ってる人
＞いるみたいですしね。まあそういう答案には点は与えませんが・・・」
＞by阪大教授

これはちょっとありえない。
大学によって異なるだろうが、基本的には入試は公正なので、予め決めら
れた採点基準があるとは聞いた。採点者個人の価値観で○×はつけられない
だろう。それに一人の採点に教官３人がつくと言う話だ…。

ちなみにロピタルは常識と言えば常識（直感的にはテイラー展開
を知っていればすぐに解る）。別に、答えを知るだけならロピタルに
せよ、テイラー展開にしろラグランジュの未定乗数法にせよ、強力
な方法はいくらでもある。答えを先に知って論理を詰めるのも一つの
方法かも知れない？！（余裕のある人は知っていても損は無いかも…）

>　ヒョいヒョい使ってる
誤った使い方という意味なのかな。

例えば、x→0　のとき　lim sinx/x=1 を示すのに
ロピタルを使いたくなるけれど、これは不適切だし
大幅な減点をくらいそう。

テイラー展開は近似法なのでね・・・せめて次数の十分性くらいはコメントしないと。
ロピタルにしても微分可能なことをコメントしなければ。
高級な知識を用いた解法には部分点を設定し辛いので、最後の答えが間違ってると・・・

むず・・・数学�Vでっか？

阪大は・・・某教授の仰る通りかもしれない。
東大は前提条件を厳密に確認してあれば減点は無いやに聞く。

京大や早稲田の教授はペケにすると先生が言っていた。
実際会って話してきたらしい。

まあ記述主体のところでは使わない方が吉かも。
慶応医とか穴埋めでフル活用できるけどね。答え一発的な問題も多いし。

あと「数学の答案になると急に古文を操る人もいますね。
『なんとなれば』とか『ゆえに』とか。(笑い)」って言ってた。(阪大教授)

一回普通に解いて確認用にするにが最も無難で賢いと思われますが？

ﾆｶﾞｰ

スカーレットが使ってる加比の理って使っても大丈夫？
ってかどこまでそう言う定理使っていいか知りたいよね。
一昔前、チェバ・メネの定理は裏技的定理だから記述で書いたりすると危なかったとか
今は教科書に出ちゃってるから大丈夫だけど。

>>20
カヒの定理って何？それ以前にスカーレットて何だよ…

>>21
スカーレット大原。とある予備校の数学講師。
受験で使える便利で簡単な公式を自ら編み出している。
スピード勝負のセンター試験教える先生の中では最強だと勝手に思ってます。

ちなみに加比の理は
ｘ　ｙ　ｚ　ｕ　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｕ
─＝─＝─＝─＝───────
ｐ　ｑ　ｒ　ｓ　ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ
って感じの定理

あー　全部ズレちった。ぜんぜん意味わかんねーやｗ
ｘ÷ｐ＝ｙ÷ｑ＝ｚ÷ｒ＝ｕ÷ｓ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｕ）÷（ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ）
ってことね

>>23
う、うん…てか、英字がいっぱいあるけど何が何？？？

そんなのしらなくても漏れはコーシーとラグランジュと相加相乗平均の３つの不等式だけで十分。

良スレAGE

ラグランジュって2変数の関数でそれぞれの文字について標準形つくるやつだっけ。。。？

　　　　 　
lim ｘf(x)
　　　 　　

>>28はf(x)もちろん微分可能。

東大の先生は言う。○○のような極限ではロピタルを使っても減点はしない、と。ただし・・

ロピタルの定理を証明してからなら使っていいと思ってる人いるらしいけど
試験場では不可能らしい。厳密に証明してたら日が暮れるてしまう、と言う

ケーリーハミルトンの公式、合同式、min{f(a), g(a)}, Max{f(a), g(a)}
などは使ってよし。答案作法が容易になるだけだから。
数学Aで幾何は相当突っ込んだ内容までやっているから、幾何の定理もどんどんと。
ただし、ロピタルやテーラー展開、ラグランジュなどは前提の使用条件を厳密にやる
ことが必要になるので結局手間はあまり変わらず、枝問形式だと不利になることさえ
あり得る。パップスギュルダンの定理、オイラーの公式は文句無しに×。

>>27
(ａ＾2＋ｂ＾2)(Ｘ＾2＋Ｙ＾2)＝(ａＸ＋ｂＹ)＾2＋(ａＸ−ｂＹ)＾2
がラグランジュの等式で
右辺から(ａＸ−ｂＹ)＾2をとりはらって
(ａ＾2＋ｂ＾2)(Ｘ＾2＋Ｙ＾2)＝(ａＸ＋ｂＹ)＾2
がコーシーしゅワルツの不等式。

>>30
減点する以前に加点しない

>>33の訂正。
もちろんコーシーしゅワルツの不等式は
(ａ＾2＋ｂ＾2)(Ｘ＾2＋Ｙ＾2)＞＝(ａＸ＋ｂＹ)＾2ですね・・・

数学の答案に小さくウンコの絵を描いたら減点されるのかな
減点するみたいなルールはないよね？

平均値の定理にせよ連続性、微分可能性の検証は○○とすれば不要でも減点はしない

「こういう人材が欲しい」って思われるような答案を目指すなら
小さい図にするとふりかも。
2、3人の教授が全部採点するわけだし・・・
汚い答案なんて･･･(以下略)

合同式も累乗での計算法則を導くのはチョットかかると思うけど、証明なしで使って良いの？
ラグランジュって使えるのは不等式のほうじゃ？等式のほうは当たり前すぎるし。

大学によって採点基準は全然違ってくるよ。
例えば東大と京大では前者の場合○○なことをしたら一切点はないのに対し、
後者は○○でも認める。分かるよね？
それと名大も結構注意が要るよ。あることをしたら・・アボーン

コーシーの平均値の定理は？

いいにきまってんだろ！ｺﾞﾙｱ！

>>36
サインと思われるので0点。
少なくとも京大ではそうされる。

「自分で考えろ」で0点のやついたね

>>41
それも違いは座標で表示してるだけだから同じことだと思う。

阪大の入試で「このような簡単な問題に途中計算は必要ありません。」
て書いて、答えだけ書いた奴いたらしい。

平均値の定理の証明ってどうやるの？

>>46
そういえば阪大は唯一入試の模範解答を公表した大学だね。しかも大学内かつ数時間のみ
すると・・あに○○んや

高校の先生が堂々とシュワルツの定理使ってた記憶がある。いいのかよ・・・
ところで数列の「差に分解」は使っていいのか？定理じゃなさそうだけど
なんだか使うの恐いんだよね・・・

>>49
「差に分解」って？
部分分数分解のこと？

>>50
うーん　そうだっけ？
Σk(k+1)(k+2)　みたいな式で使うやつだよ
この式に{(k-1)-(k+3)}÷(-1/4)をかけて計算するやつ

ロピタルの定理は検算で使うけど解答には書かないYO

>>32
ケーリーハミルトンは数Cの範囲

>>51
k(k+1)(k+2)=1/4*{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)}
のことか。計算すれば明らかだし全く問題ないと思うよ。

>>49　それははっきり言って高校範囲だぞ。
　　　ちなみに合同式もオッケー。
　　　ロピタルは検算でしょ。

そんなこと言い出したら
ε-δ論法を使わないと極限を扱えなく

ならないな・・・

そもそも実数の概念を明確にしないと(以下略

>>55
高校の範囲って行っても教科書で見たことないからさ。
差に分解にいたっては浪人して初めて知ったし。
高校の範囲ってどこまでよ？ってオレは聞きたい。

>>58
教科書に載ってなかったっけ？
知らんけど

262144の立方根は？
とかやってたな。

ケーリーハミルトンの定理は教科書によっては載ってないものあり。
厳密には2×2行列のみで成立する定理なので、その辺コメント要るかもねー
名大の公式集には載ってたような気もする。だとすれば黙って使用可だろうな。

>>61
いや　俺が言ってるのはケーミーなんたらじゃなくて
差に分解の話とシュワルツの定理ね。
なんせ数学は２Ｂまでしか使わないもんでｗ

おいおいおい。コーシーシュヴァルツも、ロピタルも、テイラー展開もパップスギュルダンも、
普通に使って良いって言われて、授業で習ってるぞ。予備校で。

>>63
でも実際このスレ読んでわかったと思うけど
いくつかの大学はそう言う人には点数が与えられてないようだよ
この事実（まぁ　聞いた話なんだから信憑性の問題だが）があるかぎり
予備校の先生の言ってることが間違ってるとしか言えないでしょ

>>ケーリーハミルトンの定理は教科書によっては載ってないものあり。
>>厳密には2×2行列のみで成立する定理なので、その辺コメント要るかもねー
>>名大の公式集には載ってたような気もする。だとすれば黙って使用可だろうな。

突っ込んでおく。厳密には
ハミルトンケーリーの定理：
ｘをスカラー変数。Aを行列とする。Aの固有多項式をF(ｘ)とすると
F(A)=0
が成立つ。
（注）固有多項式：行列AとベクトルYに関して
AY＝LY
を満たすYとLを求める問題を固有値問題と呼ぶ。Lを固有値、YをLに
付随した固有ベクトルと呼ぶ。Lはゼロで有っても良いが、Yはゼロベクトル
であることは許されない。Yがゼロベクトルでない解を持つには
det(A-LI)=0
が必要。このdet(A-LI)=0を固有方程式と呼ぶ。

バームクーヘン積分はＯＫ？
前にミルクカフェでダメだとか言ってたスレがあったような・・・

試験で定理を自分で証明→合格→（゜Д゜）ｳﾏｰ

mage

>>66
この間代ゼミの藤田があんまり使わないほうがいいとか言ってたな。
高さの差がない（＝0）ものと見なせるほど分割したときに幅がdx（＞0）になることは
高校の範囲では説明できないとか何とか。

ロビタルの定理は参考書等で入試では使用不可能のように書かれていますが、
実際はロビタルの定理を証明などしなくとも、ロビタルの成立条件を記述しておけば
全く問題ありません。
これは最近の入試検討会議で正確に決まった事です。

どっかの教科書に載っていれば使ってもいいと思われます。
使っちゃいけなかったら、今年の京大文系数学はアウトだＹＯ！

>>66
今日代ゼミの荻野が
｢解答にお菓子の名前書いたって点数くれない｣って・・・(藁)

実際にロピタルの定理を使う場面というのは、そんなに多くは
ないと思う。そこで、それを予め網羅し、それぞれに付いて、
「教科書範囲内で安全にできる」代替方を整理しておく、というのが、
つまらないけれど、もっとも現実的ではないかと思います。

私が思いつく限り、

(a) lim(x->無限大) (x^n/exp(x)) = 0

それと、同じことだけど、

(b) lim(x->無限大) (log(x)/x) = 0

他にあるでしょうか？

結局ロピタルは、厳密な意味はともかく、
直感的には、「x->無限大では、次数の大きいものが最後に生き残る」、
という事で、有理式なら、そんな事は、すぐに分かります。

例。 lim(x->無限大) (2 x^2 + 5)/(3 x^2 + x)
= lim(x->無限大) (2 + 5/x^2)/(3 + 1/x) ---(1)
ここで、x->無限大のとき、1/x ->0, 1/x^2 ->0であるから、
(1)-> 2/3

というのが、模範回答ではないでしょうか。
では、ロピタルが生きるのは、どういう時かというと、有理式以外の場合で、
その場合、「次数」に相当するものは何か、という時に、テーラー展開の
感覚などが必要になり高校の範囲を超えてしまうのだと思います

(続き)
だから、

exp(x)の「次数」は無限大。
log(x)の「次数」は「ゼロ」。 (一階微分してx^(-1)になるという意味で)

という事を教えてくれるのがロピタルのご利益のように思え、そうであれば、
上記、(a), (b)について、高校の範囲でやれる模範回答を用意しておけば、
その組合せで行けるのではないかと思います。
もっとも、その労を取る代わりにロピタルを使えないか、というのが、
このスレの趣旨かもしれませんが、、、、、
とりあえず、(a), (b)をロピタル無しで言う、模範回答、誰か
示していただけませんか？私も考えてみましたが、まだできてません。

ベクトルの外積は普通につかっていいみたい
高校の範囲外だけど

でも垂直条件からもとめるのとてまがかわらん

>32
駿台の先生が、オイラー公式使用可、
パップス・ギュルダン使用不可、と言ってたのですが

要はこれ、
増減表書くためにちょこっと極限求めるだけのときみたいに、
計算過程ほとんど不要のときにそれとなーく使っちゃえばいいんでしょ？

極限を求める過程がかなり重要なところだったら、かなりの減点は
免れないんだろうけど。

>>77
言い得て妙ですね。出題者の意図を読め、という事でしょうか。
たとえば、>>73の(a), (b)のような問題が、もし、このまんまの
形で出題されていたら、明らかに、
極限を求める事自体がテーマなので、ロピタルでやったら0点でしょう。
>>73氏に答えて、回答作ってみます。lim[x->∞] (x^n/e^x)の方だけ。

x=ynとおくと、x->∞とy->∞は同値、
∴ lim[x->∞] x^n/e^x = lim[y->∞] (yn)^n/e^(yn)
= lim[y->∞] {n^n (y/e^y)^n} ...... (1)

ここで、y=1において、
y < (e/2)^yであり、左辺は下に凸であるから、y>1で、y < (e/2)^yである。
そこで、y/e^y < (e/2)^y/e^y = (1/2)^y -> 0 (y->∞のとき)
従って、挟み込みにより、 lim[y->∞] y/e^y -> 0 ...... (2)

(1), (2)より、lim[x->∞] x^n/e^x = 0

もっときれいにできるのか？
教科書などにあるのでしょうか？

　ﾌﾑﾌﾑ・・・前ﾚｽ読破。

　結局受験生は不安が拭われないﾝﾀﾞﾖﾈ。僕もできるだけ使わないようにしてるﾖ。ﾛﾋﾟﾀﾙとかって、使わなくても解けるように作ってあるﾝｼﾞｬﾅｲﾉ？「証明してから使う」って言う人いたけど、それくらいなら普通にやりゃ良いｼﾞｬﾝ。
　ただ、ﾊﾞｰﾑｸｰﾍﾝ分割は、(証明できないとしても)普通にやるとﾓﾉｽｺﾞｲ計算になるときｱﾙｼﾞｬﾝ？あれはもぉ・・・普通にやっても時間足りなくなりそうだから、
　取り敢えずﾊﾞｰﾑｸｰﾍﾝ分割で解答を書いておいて、時間に余裕があれば普通にやるようにしてる。

　↑で紹介されてる定理って、やっぱり覚えてると得するのが多いﾖﾈ。軽く暗記するだけなら労力いらないし。

とにかくさ、ロピタルとかバームクーヘンとかさ・・・ここに出てるやつを
しらなかったら合格するのは無理！って事ではもちろんないですよね。
毎日勤勉に正攻法（？）でこつこつ勉強してればいいですか？
だいたい英語理科もあるし・・・

時間が余った時の答え合わせでいいよ。

何？バームクーヘンって使っちゃいけないん？

『y=f(x)のx=x〜�凅の範囲をy軸の周りに回転した円筒形の体積を�儼とすると、

　　　V＝Σ�儼

分割が十分細かいとき、円筒形の立体は直方体に近似でき、その体積は

　　　�儼≒2πx・f(x)・�凅

である。分割を細かくしていくとその誤差はなくなっていき、求める体積は

　　　V＝limΣ2πx・f(x)・�凅＝∫[2πx・f(x)]dx　■』

みたいな証明(？)書いてから、使うのはいいのかな？
(もちろん使わないほうが楽に解ける場合もあるけど)

>>80
え！？ﾊﾞｰﾑｸｰﾍﾝ知らなかったらやばいと思うけど…

高位の大学だと減点されないだろうけど、ロピタルを使うような問題（極限自体が答えの中心になる問題）なんて出ないよ。
単なる極限を求めよって問題を出すような大学だったら×にされるだろうね。教授も馬鹿だし。

バームクーヘンも使わない方が無難なの？

>>84

突っ込んでおく。大学の入学試験の偏差値と教授のレベルは関係
無い。


>>85
バームクーヘンと言っても区分求積なのだから、問題ない（教科書に書いてある）。
勝手に使っても問題は無いと思う。ロピタルは記述式ではお勧めしない。

「バームクーヘン求積」って名前は受験界の方言みたいなもんで、
大学生以上に言わせれば極座標での積分の一例にすぎないんだよね。
だからバームクーヘンの証明とやらよりも、座標変換の計算過程を書いたほうが
教官にはすんなり伝わるんじゃないかと思うんだがどうだろう。

数２Ｂの範囲で数３Ｃ使うのは問題ねーよな？

>88
ないと思うがｽﾚ違い。

最近ロピタルの定理しったのですが、ここの１さんのを見ると
不定形のときとなっていますが、不定形以外でも使える定理なのでしょうか？
一応自分で何問かやってみたら別に問題なかったのですが。どなたかご回答お願いします

しりません

>>90

使えるが、不定形でなければ使う意味なし。

さらにつっこんでおくとどんなにDQN大の教授でもおまえより下ということはない。
絶対向こうの方が一枚も二枚も上手だよ。
まあ短歌医大系はしらんが。少なくとも総合大なら。

>90
そのレベルの奴が使うな。

実際に出題されるかどうかは怪しいし、
運良く出たとしても、
その口ぶりでは他で点が稼げず落ちるのが関の山。

>>90-94マジ？不定形の時は使えないよ。

95はなにか勘違いしてるのか？
不定形って何かわかってんの？

すいません。不定形「以外」でした・・・

いやだから
不定形の時しか使えませんよ

ロピタルの定理使ったら答えが全部 0 になりますた

ﾜﾗ田

先生!
sin x/ cos x をド・ロピタルで解こうとしたら試験時間終わってしまいますた

>>101
tanの極限だろうが！！

>>99,101,102
藁