数学典型問題スレ

難問スレはありますが、典型問題スレはあまりないようです。
大学入試問題限定で。

関数f(x)が
f(x)=3x^2-2xint[0-1]f(x)dx+int[0-2]f(x)dx
を満たすときf(x)をもとめなさい。

いんてぐらる　で変換すると記号は出るぞ

f(X)＝3X^2−2X[0, 1]∫f(X)dX＋[0, 2]∫f(X)dX ...(1)
(1)において、
a＝[0, 1]∫f(X)dX ...(2)
b＝[0, 2]∫f(X)dX ...(3)
とおくと、
f(X)＝3X^2−2aX＋b ...(4)
(4)を(2)に代入して、
a＝[0, 1]∫f(X)dX＝[0, 1]∫(3X^2−2aX＋b)dX
＝[0, 1][X^3−aX^2＋bX]＝1−a＋b⇔b＝2a−1 ...(5)
b＝[0, 2]∫f(X)dX＝[0, 2][X^3−aX^2＋bX]
＝8−4a＋2b⇔b＝4a−8 ...(6)
(5),(6)より、a＝7/2, b＝6
これを(4)に代入して、f(X)＝3X^2−2aX＋b＝3X^2−7X＋6

∬

ｘ＾２の表記だけでも普通に書くことが出来れば
この手のレスも随分見やすくなるのだが…

△ABCの内部の点Pが、
7AP→＋3BP→＋4CP→＝0→...(1)
をみたしているとき、
面積比 △PBC：△PCA：△PAB を求めよ。

互いに異なる3つの複素数α, β, γ の間に、等式
α^3ー3α^2β＋3αβ^2ーβ^3＝8(β^3ー3β^2γ＋3βγ^2ーγ^3)
が成り立つとする。
1)αーβ/γーβ を求めよ。
2)3点 α β, γ が同一直線上にない時、それらを頂点とする三角形は
どのような三角形か。

>>6
それ係数比と同じになるってやつだよな

>>8
まーね。でも一通り解答書いちくり。

>>8が書くなら俺は書かないが、>>6は良い問題だね

sageなくていいか

>>7
97　神戸大
(αーβ)^3=8(β―γ)に気づけばらくだね。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
複素数zが|z-2i|=1を満たすとき，zの絶対値と偏角の範囲を求めよ。
ただし，偏角は0°以上，360°未満とする。

間違えた。
(αーβ)^3=8(β―γ)^3ね。

互いに異なる3つの複素数α, β, γ の間に、等式
α^3ー3α^2β＋3αβ^2ーβ^3＝8(β^3ー3β^2γ＋3βγ^2ーγ^3)
が成り立つとする。
1)αーβ/γーβ を求めよ。
2)3点 α β, γ が同一直線上にない時、それらを頂点とする三角形は
どのような三角形か。

1)
与式⇔(αーβ)^3＝ー8(γーβ)^3
α, β, γ は互いに異なる複素数であるから、
(αーβ/γーβ)^3＝−2^3
αーβ/γーβ＝Zとおくと、
Z^3＋2^3＝0⇔(Z＋2)(Z^2ー2Z＋4)＝0
∴Z＝−2, 1±(√3)i

2)
点A(α), B(β), c(γ) が同一直線上にないとすると、1)より、
Z＝(αーβ)/(γーβ)＝1±(√3)i＝2{1/2＋(1±√3)i/2}
＝2{cos(±60°)＋isin(±60°)}
よって△ABCは、∠BAC＝90°, ∠ABC＝60°, ∠CAB＝30°の直角三角形である。

>>12
ちゃんと計算でやるべきなんだろうが・・・

複素平面上でZは中心(2i), 半径1の円周上にあるから、
Zの絶対値の範囲は、1≦|Z|≦2
偏角をθとして、60°≦θ≦120°

>>15訂正：

複素平面上でZは中心(2i), 半径1の円周上にあるから、
Zの絶対値の範囲は、1≦|Z|≦3
偏角をθとして、60°≦θ≦120°

>>6
△ABCの内部の点Pが、
7AP→＋3BP→＋4CP→＝0→...(1)
をみたしているとき、
面積比 △PBC：△PCA：△PAB を求めよ。

点A, B, C, P の位置ベクトルを、a→, b→, c→, p→ と定めると、
(1)より、
0→＝7AP→＋3BP→＋4CP→＝7(p→−a→)＋3(p→−b→)＋4(p→−c→)
＝14p→−7a→−3b→−4c→
⇔14p→＝7a→＋3b→＋4c→
⇔14p→＝7a→＋7*{(3b→＋4c→)/7}
⇔p→＝(1/2)*{a→＋(3b→＋4c→)/7}
線分BCを4：3に内分する点をDとすると、点PはADの中点にあるから、
△ABCの面積をSとすると、BD：DC＝4：3, AP：PD＝1：1, より、
△ABC：△ABD：△ACD＝S：(4/7)S：(3/7)S
△ABD：△PBA：△PBD＝(4/7)S：(1/2)(4/7)S：(1/2)(4/7)S
△ACD：△PCA：△PCD＝(3/7)S：(1/2)(3/7)S：(1/2)(3/7)S
△BCP＝△PBD＋△PCD＝(1/2)(4/7)S＋(1/2)(3/7)S＝(1/2)S
∴△PBC：△PCA：△PAB＝(1/2)S：(1/2)(3/7)S：(1/2)(4/7)S＝7：3：4

三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の解をp, q, rとするとき
p+q+rをa, b, c, dを用いてあらわせ
とかどれくらいの正答率がでるんだろ？解と係数の関係
丸暗記野郎はできないんだろうね。解答に「解と係数の
関係より・・・」とか書いちゃいそう。

何でみんなこんな簡単な問題やってんの？
やっててゾクゾクしないじゃん。

あと
S=3^2+3^3+3^4+･･･+3^(2n-2)+3^(2n-1)+3^(2n)
を簡単にせよとかはどう？もちろん公式より･･･なんてのは
だめよ。

>>19
典型問題ってスレなんだってば。君クラスならばもっと
難しいのが典型問題なんだろうけど。

>>18 いざ解いたら手があんまり動かなかったよ(^^;

三次方程式aX^3＋bX^2＋cX＋d＝0の解をp, q, rとするとき
p＋q＋rをa, b, c, dを用いてあらわせ。

f(X)＝aX^3＋bX^2＋cX＋d ...(1) とおく。
p, q, r, は、aX^3＋bX^2＋cX＋d＝0 の解であるから、
f(p)＝f(q)＝f(r)＝0
∴f(X)＝a(X−p)(X−q)(X−r)＝aX^3−a(p＋q＋r)X^2＋a(pq＋qr＋rp)−apqr ...(2)
f(X)は3次方程式でa≠0であるから、(1),(2)より、
p＋q＋r＝−b/a

>>20
S＝3^2＋3^3＋3^4＋･･･＋3^(2n−2)＋3^(2n−1)＋3^(2n)
を簡単にせよ。

S＝3^2＋3^3＋3^4＋･･･＋3^(2n−2)＋3^(2n−1)＋3^(2n) ...(1)
3S＝　　3^3＋3^4＋･･･＋3^(2n−2)＋3^(2n−1)＋3^(2n)＋3^(2n＋1) ...(2)
(2)−(1)：2S＝3^(2n＋1)−3^2＝3^2{3^(2n−1)−1}
∴S＝3^2{3^(2n−1)−1}/2

[2, 3]∫{1／(ｘ^4−x)}dx＝？

次の漸化式
a_1=p, a_2=q
a_(n+2)=ra_(n+1)+sa_n
があり二次方程式
t^2-rt-s=0
は異なる2つの実数解α，βをもつとする。
（１）このとき漸化式が
a_(n+2)-αa_(n+1)=β[a_(n+1)-αa_n]
または
a_(n+2)-βa_(n+1)=α[a_(n+1)-βa_n]
と変形できることを証明せよ．
（２）
p=q=r=s=1のときこの漸化式で表される数列の一般項を求めよ。
（１）の結果を用いても良い。

>>25
(1)α+β=r, αβ=-s
　　として代入すればよい。

(2)a(n)=(1/√5) [ { (1+√5)/2 }^(n-2) * (3+√5)/2
- { (1-√5)/2 }^(n-2) * (3-√5)/2]

無理数の方が有理数より多く存在することを示せ。

任意の実数a,bに対して
y=|x^2+ax+b|
の-1≦x≦1における最大値は1/2以上であることを示せ。

>>28
みかけよりずっとムズイよ〜〜

任意の実数a, bに対して
Y＝|X^2＋aX＋b|
の−1≦X≦1における最大値は1/2以上であることを示せ。

Y＝f(X)＝|X^2＋aX＋b| ...(1)
g(X)＝X^2＋aX＋b＝(X＋a/2)^2＋b−a^2/4 ...(2) とおく。
f(−1)＝|g(−1)|＝|1−a＋b|, f(1)＝|g(1)|＝|1＋a＋b|
�@)|a|≧2の時：
f(X)はX＝−1,または X＝1,で最大値Lをとるから、
f(−1)＋f(1)＝|g(−1)|＋|g(1)|＝|1−a＋b|＋|1＋a＋b|
≧|1−a＋b−(1＋a＋b)|＝|−2a|＝2|a|≧2*2＝4 より、
L＝f(−1)≧2＞1/2, または、L＝f(1)≧2＞1/2
�A)0≦a＜2の時：
f(X)はX＝−a/2,または X＝1,で最大値Mをとるから、
f(−a/2)＋f(1)＝|g(−a/2)|＋|g(1)|＝|b−a^2/4|＋|1＋a＋b|
≧|1＋a＋b−(b−a^2/4)|＝|1＋a＋a^2/4|＝(a＋2)^2/4≧1 より、
M＝f(−a/2)≧1/2, または、M＝f(1)≧1/2
�B)−2＜a＜0 の時：
f(X)はX＝−1,または、X＝−a/2 で最大値Nをとるから、
f(−1)＋f(−a/2)＝|g(−1)|＋|g(−a/2)|＝|1−a＋b|＋|b−a^2/4|
≧|1−a＋b−(b−a^2/4)|＝|1−a＋a^2/4|＝(a−2)^2/4≧1 より、
N＝f(−1)≧1/2, または、N＝f(−a/2)≧1/2
�@)〜�B)より題意は証明された。

XY平面上の点(a, b)を通り、
曲線Y＝X^3−Xに対して3つの相異なる接線が引ける時、
a, bの間に成立する条件を求めよ。

正n角形の3つの頂点を結んでできる3角形のうち、
この正n角形と辺を共有しないものの個数が7nであるという。
nの値を求めよ。

>>31
正n角形の3つの頂点を結んでできる3角形のうち、
この正n角形と辺を共有しないものの個数が7nであるという。
nの値を求めよ。

n＝3は不適であるからn≧4
すると3辺とも正n角形の辺と共有するものは存在せず、
2辺を共有するものは、n個...(1)
1辺だけを共有するものは、共有1辺の選び方でn通り、
残り1頂点の選び方でn−4通りあるから、n(n−4)個...(2)
(1),(2)より、辺を共有しない3角形の個数は、
nC3−n−n(n−4)＝n(n−1)(n−2)/6−n(n−3)＝n(n−4)(n−5)/6...(3)
これが7nと等しいとすると、
n(n−4)(n−5)/6＝7n ∴n＝11(∵nは整数)

>>30
図示問題でよく出るよね。もとの3次関数のグラフとその変曲点における
接線とではさまれる部分になる。最近では96 都立大・文系など。
>>31
関西大の問題だっけ？

整式f(x)をx-1,x-2,・・・,x-nで割ったあまりがそれぞれ1,2,・・・,nのとき，
f(x)を(x-1)(x-2)・・・(x-n)で割ったあまりを求めよ。

関数 f(x)＝e^2x sin^2x について次の問いに答えよ．
(1)　区間 0≦x≦2π におけるf(x)の増減を調べ，この区間における y＝f(x)の
　グラフの概形を描け．
(2)　極限値 lim[M→＋∞]∫[0,M]f(x)dx を求めよ。

>>30
XY平面上の点(a, b)を通り、
曲線Y＝X^3−Xに対して3つの相異なる接線が引ける時、
a, bの間に成立する条件を求めよ。

Y＝X^3−X...(1) Y'＝3X^2−1...(2)
(1)上の点(t, t^3−t)における接線の方程式は(2)より、
Y＝(3t^2−1)(X−t)＋t^3−t...(3)
これが点(a,b)を通るとすると、
b＝(3t^2−1)(a−t)＋t^3−t⇔2t^3−3at^2＋(a＋b)＝0...(4)
f(t)＝2t^3−3at^2＋(a＋b) とおくと、
f'(t)＝6t^2−6at＝6t(t−a) より、
f'(t)＝0の解はt＝0, a であるからf(t)は、
f(0)＝a＋b＝b＋a, f(a)＝2a^3−3a^3＋(a＋b)＝b−a^3＋a
なる極値をもつ。
点(a,b)を通り(1)上に相異なる3本の接線が引ける⇔(4)が相異なる3実解をもつ
⇔f(0)f(a)＜0⇔(b＋a)(b−a^3＋a)＜0

>>35 今年の早大理工ね

二次関数について、質問があります。
二次関数ｙ＝aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃの
頂点が（正の数、負の数）且つ下に凸の
時、a、ｂ、ｃの正負を判断せよ。
これは、a,bは判断できるのですが、どうしてもＣが
判断出来ません。なぜならば、aとbどちらが、
大きいかわからないからです。
お願いします。解説を。

>>34
整式f(X)をX−1, X−2, ・・・, X−n で割った余りが各々1, 2, ・・・, n の時、
f(X)を(X−1)*(X−2)*・・・*(X−n)で割った余りを求めよ。

f(X)をX−1, X−2, ・・・, X−n で割った余りが
各々1, 2, ・・・, n であるから、
g(X)＝f(X)−X とおくと、g(1)＝g(2)＝・・・＝g(n)＝0 ...(1)
h(X)を整式として、
(1)⇔f(X)−X＝g(X)＝(X−1)*(X−2)*・・・*(X−n)h(X)
⇔f(X)＝(X−1)*(X−2)*・・・*(X−n)h(X)＋X
求める余りはXである。

>>38
下に凸だからａは正の数。
またaｘ＾２＋ｂｘ＋ｃはa(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+cとなる。

ところでD＞０なのかい？
これがわかんなきゃ出ないよ。

>40
　“下に凸で、頂点のｙ座標が負”ってだけでＤ＞０は自動的に決まる。

>38
　ｃって正負決まるか？グラフ書いて考えてみたけど、幅の広い放物線ならf(0)を負にすることもできるし、
　幅の狭い放物線ならf(0)を正にもできる気がするが。

>>24
[2, 3]∫{1／(ｘ^4−x)}dx＝？

x＾3=tとおくと、3x^2dx＝dt
ｄｘ／(ｘ^4−x)＝dt／{x^3(x^3−1)}＝ｄｔ／t(t−1）
あとは省略

>>41
あ、そうだった・・・
となると-b/2a＞０
となる。∴ｂ＞０
でも・・・・。Cは正か負か確かにわからないなぁ・・・
でもなんか解き方があった気がする・・・忘れた・・・

点(x, y)が領域｛(x, y)｜x^2＋y^2≦1｝を動くとする。

1)点(x＋y, xy)はどのような範囲を動くか。
2)x＋y＋xy　のとる値の範囲を求めよ。

>>24は
1/(x^4-x)=x^2/(x^3-1)-1/x
としてもいいと思う。

＞44
たして実数、かけても実数の2数なのに、それぞれ実数でないという対、
たとえば、iと-iのような対をどうやってオミットするか？がポイントで、
たしかふるーい東大にも出た問題。

a=x+y、b=xyとおくと、点(a,b)は２次方程式t^2-at+bの存在する範囲
を動く。
よって、t^2-at+bの判別式をDとすると、D≧0より、
D=a^2-4b≧0
　b≦(1/4)*a^2

これじゃダメかな。
1)ができれば2)はグラフから行けそうな気がします。
似たようなの前にやってかなあ。

>>44
点(x, y)が領域｛(x, y)｜x^2＋y^2≦1｝を動くとする。

1)点(x＋y, xy)はどのような範囲を動くか。
2)x＋y＋xy　のとる値の範囲を求めよ。

1)
X＝x＋y,Y＝xy とおくと
x^2＋y^2＝(x＋y)^2−2xy＝X^2−2Y≦1...(1)
またx, y は、
t^2ーXt＋y＝0
の解で実数 x, y が存在するには、
Ｄ＝X^2−4Y≧0...(2)
よって求める範囲は、X^2−2Y≦1, X^2−4Y≧0

2)
x＋y＋xy＝X＋Y＝kと置く。
(1),(2)の範囲をグラフ上に図示して、
Y＝k−Xのy切片kが最大・最小になる点を探せばよい。
２グラフの交点の内ｘ座標が大きい方の座標は(√2, 1/2)、
この時k＝√2＋1/2で最大値をとる。
X＋Y＝ｋがX^2−2Y＝1に接する時、
X^2−2(k−X)＝1⇔X^2＋2X−2k−1＝0
が重根をもつから、
D/4＝1^2−(2k−1)＝2k＋2＝0
∴k＝−1
この時kは最小値をとる。
以上より、−1≦k≦√2＋1/2

おっと、設問条件よく見てなかった。
　x^2+y^2≦1
⇔(x+y)^2-2xy≦1
⇔b≧(1/2)*a^2-(1/2)
これも追加かな。

X^(3n+2) (nは自然数)を、X^3−1 で割った余りを求めよ。

X,Y,Zは自然数で、X≦Y≦Z　とする。
1/X＋1/Y＋1/Z＝1
を満たすX, Y, Zの値の組をすべて求めよ。

(3,3,3)
(2,4,4)
(2,3,6)

>>52正解

>>51
X,Y,Zは自然数で、X≦Y≦Z　とする。
1/X＋1/Y＋1/Z＝1
を満たすX, Y, Zの値の組をすべて求めよ。

1/X＋1/Y＋1/Z＝1...(1)
X,Y,Zは自然数で、X≦Y≦Z　であるから、1/Z≦1/Y≦1/X...(2)
(1)より、1＝1/X＋1/Y＋1/Z≦3/X, ∴X≦3...(3)
X＝3の時、(1),(2)より、明らかに(Y, Z)＝(3, 3)
X＝2の時、(1)より、
1/Y＋1/Z＝1/2⇔2(Y＋Z)＝YZ⇔(Y−2)(Z−2)＝4
∴(Y, Z)＝(3, 6), (4, 4)
X＝1の時、(1)を満たすY,Zの値は存在しない。
以上より求める自然数(X, Y, Z)の組は、
(3, 3, 3),(2, 3, 6),(2, 4, 4)

>>50
X^(3n+2) (nは自然数)を、X^3−1 で割った余りを求めよ。

解答１：

X^(3n+2)＝X^2*(X^3)^n＝X^2*{(X^3−1)+1}^n
二項定理より、G(x)を整式として、
{(X^3−1)＋1}^n＝(X^3−1)*G(X)＋nＣ0*1^n＝(X^3−1)*G(X)＋1
であるから、
X^(3n+2)＝X^2*{(X^3−1)+1}^n＝X^2*(X^3−1)*G(X)＋X^2
よって、求める余りはX^2

解答２：

法を整式X^3−1として、X^3≡1
∴X^(3n+2)＝X^2*(X^3)^n≡X^2*1^n＝X^2

△ABCにおいて、AB＝7, BC＝4√2, CA＝5 とする。この時、
cosA, sinA, △ABCの面積S, 外接円の半径R, 内接円の半径r
をそれぞれ求めよ。

円 X^2＋Y^2＝9 に円外の点(5, 2)から2本の接線を引く。
この時2接点を通る直線の方程式を求めよ。

>>56
これも有名問題だけど円上の点(X1, X2)における
接線の公式の出し方の方が面白いよ。

円 X^2＋Y^2＝9 に円外の点(5, 2)から2本の接線を引く。
この時2接点を通る直線の方程式を求めよ。

円上の2接点の座標を、(X1, Y1), (X2, Y2) とすると、
接線の方程式は、X1X＋Y1Y＝9...(1) X2X＋Y2Y＝9...(2)
(1),(2)は共に点(5, 2)を通るから、
5X1＋2Y1＝9, 5X2＋2Y2＝9...(3)
(3)より、点、(X1, Y1), (X2, Y2) は、5X＋2Y＝9 上にある。
よって2接点を通る直線の方程式は、5X＋2Y＝9

X^2＋Y^2＝r^2 上の点(X1, Y1)における接線の公式
X1X＋Y1Y＝r^2 を証明せよ。

>>58
円の方程式の両辺をxで微分すると
2x+2y(dy/dx)=0
よって
dy/dx=-x/y
これよりこの曲線の点(X1, Y1)における接線は
y=-X1/Y1(x-X1)+Y1
となる。これを整理すると
X1x+Y1y=X1^2+Y1^2
ここで(X1, Y1)は与えられた円周上のてんなので
X1^2+Y1^2=r^2
をみたす。したがって
X1x+Y1y=X1^2+Y1^2

f(x)=sinx + cosx + sinxcosx
の最大値と最小値を求めよ。

59の最後の一行を訂正
X1x+Y1y=X1^2+Y1^2
↓
X1x+Y1y=r^2

このスレ編集したら2chart式数学典型問題集が作れるね！！

>>59
そうか。微分による証明がスマートだな。
*訂正部分と活字を修正しておいた。

X^2＋Y^2＝r^2 上の点(X1, Y1)における接線の公式
X1X＋Y1Y＝r^2 を証明せよ。

円の方程式の両辺をXで微分すると
2X＋2Y(dY/dX)＝0
よって
dY/dX＝−X/Y
これよりこの曲線の点(X1, Y1)における接線は
Y＝−X1/Y1(X−X1)＋Y1
となる。これを整理すると
X1X＋Y1Y＝X1^2＋Y1^2 ...(1)
ここで(X1, Y1)は与えられた円周上の点なので
X1^2＋Y1^2＝r^2 ...(2)
をみたす。(1), (2)より、
X1X＋Y1Y＝X1^2＋Y1^2＝r^2

>>62
うまい!!

>>63
サンクス。ちなみに厳密にはY=0とYnot0で場合分けしないといけませんでした。
漏れの書いたのはYnot0の場合の証明です。

二次方程式
ax^2+bx+c=0
の解が
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
と成ることを示せ。

>66
　ひたすら式変形すりゃできるぞ。教科書もひたすら式変形で証明してる。
　他に方法があるかは知らんが。
　　ｶﾙﾀﾞﾉか誰かが考えた３次関数の解の公式見たことあるけど、ありゃ暗記するに値しねぇ。
　大学生になると覚えるのかなぁ？知らんけど。

>>66
コレって入試に出たら正答率どれくらいだろ？
解の公式よりx=(-b±√(b^2-4ac))/2aとか書く奴がいっぱい出てきそうだね。

>>67
覚えません。ていうかあんたいろいろ顔出してるね。勉強しなよ。

>>66
平方完成で解く方針かな？

aX^2＋bX＋c＝0 ...(1)
(1)は二次方程式であるから、a≠0 ...(2)
(1)⇔a(X＋b/2a)^2＝(b^2−4ac)/4a ...(3)
(2)より、
(3)⇔(X＋b/2a)^2＝(b^2−4ac)/4a^2
⇔X＋b/2a＝±√(b^2−4ac)/2a
⇔X＝{−b±√(b^2−4ac)}/2a

>>37
いや、開成の定期試験かなんかで出たことがあるような気がする（藁

>>71は誤爆つーか、そのまま意味通じてるし、紛らわしい誤爆だな（藁

>>70
正解。
ちなみに>>59のやり方で楕円ax^2+bx^2=1の接線の方程式も出せます。

3直線ax+by+1=0，cx+dy+1=0，ex+fy+1=0
がある一点で交わるとき，3点(a,b),(c,d),(e,f)
は同一直線上にあることを示せ。

問題１

半径１の休に内接する正４面体の一辺の長さを求めよ。

休×→球

問題２

ｎを正の整数とする。２^ｎ＋１はで割り切れない事を示せ。

>>77
合同式使って良し？

>77
　割るもののほうが大きくない・・・？ｎ＜２^ｎ＋１を示せば十分・・・？

まず2^n=(3-1)^nに二項定理を用いる

ん？ん？？？
　２^ｎって、“２のｎ乗”だよねぇ？割るもののほうが大きければ、当然割り切れないんじゃないの？

なんか青茶に載ってる問題と同じやつばっかりだな

＞35
（2）はさみうち？　ろぴたる？　積分まちがえ？（鬱）

（1）f’(x)=2√2e^2x*sinx*sin（x+π/4）
f’（x）=0とおくと
x=0、3π/4、π、7π/4、2π
増減表よりx=3π/4、7π/4で極大　x=π、で極小。
f（0）=f（π）=f（2π）=0
f（3π/4）=ｅ^3π/2　ｆ（7π/4）=ｅ^7π/2
グラフの概形は．．．小さい→山大きい谷（0、π、2πで平ら）

（2）H=∫[0,M]e^2xsin^2xdxと置く。
H=（∫[0,M]（ｅ^2x-ｅ^2xcos2x）dx）/2　（2倍角の定理より）
　=ｅ^2M（2-√2sin（2M+π/4））-1/8
※第1項はそのまま積分。第2項はI=∫[0,M]ｅ^2xcos2xdxと置き
2回部分積分をして、Iに関する方程式を解いた。
lim[M→＋∞]H =？？？


　

>>55

△ABCにおいて、AB＝7, BC＝4√2, CA＝5 とする。この時、
cosA, sinA, △ABCの面積S, 外接円の半径R, 内接円の半径r
をそれぞれ求めよ。

余弦定理より　cosA＝{5^2＋7^2−(4√2)^2}/2*7*5＝3/5
また sinA>0 より sinA＝1−(cosA)^2＝4/5
面積は　S＝(1/2)*5*7*(4/5)＝14
正弦定理より　4√2/(4/5)＝2R⇔R＝5√2/2
rは内接円の半径であるから、r(5＋7+4√2)/2＝14⇔r＝3−√2

>>74
これ解法に重要技法が含まれていて良い問題だな。

3直線aX＋bY＋1＝0，cX＋dY＋1＝0，eX＋fY＋1＝0
がある一点で交わるとき，3点(a, b),(c, d),(e, f)
は同一直線上にあることを示せ。

aX＋bY＋1＝0 ...(1)
cX＋dY＋1＝0 ...(2)
eX＋fY＋1＝0 ...(3)
直線(1)〜(3)が点P(m, n)を通るとすると、
am＋bn＋1＝ma＋nb＋1＝0 ...(1)'
cm＋dn＋1＝mc＋nd＋1＝0 ...(2)'
em＋fn＋1＝me＋nf＝0 ...(3)'
(1)'〜(3)'より、点(a, b), (c, d), (e, f) は、
直線 mX＋nY＋1＝0 上にある。

一辺が１である正四面体の各辺に接する球の半径を求めよ。

>>75
こういう算数的なものはちょっと自信ないなぁ(^^;
ネタになりそうな確率が高い素材だと思うけど。

半径1の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ。

正四面体ABCDの1辺をa、頂点Dから△ABCへ下した垂線の足をH、
辺BCの中点をM、球の中心をOとする。
点Hは正三角形ABCの外心にして重心であるから、
AM＝(√3/2)a,
DH^2＝DA^2−{(2/3)*AM}^2＝a^2−{(2/3)*(√3/2)a}^2
＝a^2−a^2/3＝2a^2/3 ∴DH＝(√2/√3)*a
点Oは正四面体ABCDの外心かつ重心であるから、
1＝DO＝(2/3)DH＝(2/3)*(√2/√3)*a＝(2√2/3√3)*a
∴a＝3√6/4

y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| の最小値を求めよ。

>>88
これのもっと一般的でかつもっとむずいのをスタンダードで解いた記憶がある。

白本　http://www2.yozemi.ac.jp/lib/Booklist.asp


青本　http://www2.sundai.ac.jp/bunko/top.html


黒本　http://kfc.tokyo.kawai-juku.ac.jp/shuppan/


緑本　http://www.zkai.co.jp/syoseki/syoseki.html

>>88
y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| の最小値を求めよ。

y=(|x-1|+|x-6|)+(|x-2|+|x-5|)+(|x-3|+|x-4|)
|x-a|+|x-b|(a≦b) はa≦x≦bで最小値b-aをとるから、
求める最小値は、5+3+1=9(3≦x≦4)

ここにきてるの受験生？大学生？大学院生？
国公立受験生ならここにある問題は確実に解けないとまずいですね。

>>92
このレベルの問題が案外ちゃんとできないんですよ。特に文系志望者だと。
公式の証明なども無視して勉強している人が今は多いですからね。

友達の友達から頼まれた問題なのれすが、全然わかりません。
y＝−x＋n−z
y＝x＋n＋z
y＝x−n−z
y＝−x−n＋z
で囲まれる領域(境界含む)に存在する格子点の数を求めてくらさい。
図を書くと長方形が出来上がるのれす。
長方形の一辺に平行な直線を引いて、領域内かつ直線上の格子点の数を求めてみたのれすが、
そこから先に進めなくなってしまいました。

答えは−2z^2＋2n^2＋2n＋1になるみたいれす。
どうやって求めればよいのれしょうか？

>>93
等比数列の公式、階差数列と一般項の関係式、加法定理から導かれる
多々の公式、二次方程式の解の公式くらい（まだあるけど）は導ける
ようになっとけ。損はしない。

>>94
問題に猛烈な不自然さを感じるのは俺だけか？
普通，
y＝−x＋n−z
y＝x＋n＋z
y＝x−n−z
y＝−x−n＋z
で囲まれる領域(境界含む)に存在する格子点の数を求めるって言ったら
xyz空間内での話じゃないのかなあ

>96
説明が足りなかったのれす。空間の話なのれす。
問題を解くためにとりあえずzを固定したら、長方形が出来たのれす。
そこから考えるというのは無理なのれしょうか？

>>97
無理ではないと思います。おそらく，原題は98年東大・理科(前期)第二問
なので，その問題を調べれば解答が載っていると思います。

>>96
東工大の有名な過去問のアレンジだよ、たぶん。
Z＝KとおいてZが整数となる制約を出し、不等式で表された領域の格子点を場合分けで数える。
手間ばっか食って残るものが少ない典型的な悪問。

友達の友達から問題文を送ってもらいました。
知らない人にメールを送るのは緊張するのれす。

nは正の整数とする。
x＋y＋z≦n
−x＋y−z≦n
x−y−z≦n
−x−y＋z≦n
を満たすxyz空間の点P(x､y､z)でx､y､zが全て整数であるものの個数を求めよ
以上れす。
自分でやり直してみるのれす。わかりにくいことを書いてすみません。

>98
ありがとうございます。感激れす。
>99
zが整数になるのは−n≦z≦nれすかね。

>>1-100

勉強しろよネットしないで。

f(X)＝sinX + cosX + sinXcosX
の最大値と最小値を求めよ。

sinX＋cosX＝t ...(1) とおく。
t＝sinX＋cosX＝√2(1/√2sinX＋1/√2cosX)
＝√2(sinXcos45°+cosXsin45°)＝√2sin(X＋45°)
定義域Xに特に指定は無いので、
−√2≦t＝sinX＋cosX＝√2sin(X＋45°)≦√2 ...(2)
2sinXcosX＝(sinX＋cosX)^2−(sin^2X＋cos^2X)＝t^2−1
⇔sinXcosX＝(t^2−1)/2 ...(3)
(1)〜(3)より、
f(X)＝sinX + cosX + sinXcosX＝t＋(t^2−1)/2＝(1/2)*(t^2＋2t−1)
＝(1/2){(t＋1)^2−2}＝(1/2)(t＋1)^2−1＝g(t) ...(4)
(2), (4)より、
f(X)＝g(t)は、最小値g(−1)＝−1, 最大値g(√2)＝1/2＋√2 をとる。

>>101
私は大学院生なので暇つぶしに書いてるだけなのです。
>>102
正解。

問題（易しめです）
(1)放物線y=-x^2+9n^2(nは自然数)とx軸で囲まれる領域（境界含む）に存在する
格子点の個数を求めよ。
(2)放物線y=-x^2+9n^2(nは自然数)と直線y=x-3nで囲まれる領域（境界含む）に
存在する格子点の個数を求めよ。

ホンキでお願い。。
a=5,b=6,c=7である△ABCにおいて、∠Aの傍接円の半径を求めよ。
ってのなんだけど、過程を詳しく教えてくれ。。

>100
河合のページで解答例を発見した。
問題がちょっと違ったけど。
方針は>>97でいいみたいだよ。
ただ、直線上かつ領域内の格子点の数→領域内の格子点の数にする過程がわからん。
解答例ではいきなり格子点の数が出てるし。
俺もやり方が気になるんで、誰か解説キボンヌ。

>103

(1)=Σ(9n^2-k2+1)+(9n^2+1)=(6n+1)(6n^2-n+1) (ただしΣ:k=1から3n)
(2)[解�T]x軸方向に3n+1,y軸方向に6n+1だけ平行移動して考えると、求める個数は、
　　　　　Σ{-k^2+2(3n+1)k-k+1}+1=Σ{-k^2+(6n+1)k+1}+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　=2(3n+1)(6n^2+n+1)　(ただしΣ:k=1から6n+1)
　 [解�U](1)で求めた格子点の集合と残りの集合に分けて考えると、求める個数は、
　　　　 　(1)+{(6n+2)(6n+2)-(6n+2)}÷2-(6n+1)-(6n+1)+(6n+2)
　　　　 =2(3n+1)(6n^2+n+1)

というふうになりました。あってます？

>>104
傍接円は3つあるが，線分ABに接するものの半径について求め方を説明。
まず，傍接円の中心をP，�僊BCの内心をIとし，P，Iから線分BCおよび
その延長に下ろした垂線の足をそれぞれH，Jとする。このとき，CJ=2，CH=9。
これと，�僂IJ∽�僂PHを利用する。内接円の半径(=IJ)は求められるよね？

あげ

＞９９
４，５年前の東大の問題だって。

2つの放物線y=x^2,y=-x^2+4x+m
は2点で交わり，これらの点におけるy=x^2の接線が互いに直交する。
このときmの値を求め，2曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。

じ

>>109
その20年くらい前に東工大で出てる。

>>86
どこまで説明するべきなのか判然としないなあ。
もっと簡単にやっていいのかもしれないけど、
もっときちんとやるべきかなあとも思えてね・・・

一辺が１である正四面体の各辺に接する球の半径を求めよ。

正四面体の各頂点をABCD, 辺AB・辺CDの中点をM, N, 球の中心をOと定める。
球は正四面体ABCDの各辺に接するから、各面との球の断面は正三角形の内接円、
すなわち内心かつ重心である。よって題意の球は各辺とその中点で接する。
∴OM＝ON, OM⊥AB, ON⊥CD ...(1)
△ADBおいて、BD＝AD＝√3/2, であるから、△ADBは二等辺三角形
∴AB⊥MN ...(2)
同様にして、CD⊥MN ...(3)
(1),(2),(3) より、MNは題意の球の直径である。
∴MN^2＝BD^2−BM^2＝(√3/2)^2−(1/2)^2＝3/4−1/4＝1/2 ∴MN＝√2/2
∴OM＝1/2MN＝(1/2)(√2/2)＝√2/4

>112
解き方教えて下さい。

ココ代ゼミ私大模試受けたひといない？私大スレの376の数学の質問に答えてよ〜

一応問題も私大スレに乗せました‥
偏差55しか無いし、漸化式苦手で‥
1時間考え込んだけどどーにもいかなくなっちゃったから、頭いい2チャンの人に質問してみました

>110
m=-1/2、
面積S=√3
次に簡単に解答載せます。

A:y=x^2、B：y=-x^2+4x+mとおく。
A、Bが異なる2つの交点を持つので
　x^2=-=-x^2+4x+m
⇔x^2-2x-m/2=0・・・�@
D>0より
　-1+m/2>0
⇔m>-2・・・�A

交点のｘ座標をx、x’と置くと（x<x’とする）
交点でのy=x^2の接線の傾きは
2x、2x’とおける。これが直交するので
4xx’=-1・・・�B
2次方程式�@を解いて
x=1-√（1+m/2）、x’=1+√（1+m/2）
よって�Bに代入すると、
m=-1/2　（�Aを満たす）

求める面積をSとおくと
S=∫[x，x’]（-x^2+4x-1/2-x^2）dx
=[-2x^3/3+2x^2-1/2]　（積分範囲はx〜x’）
=（-5√3+8√3-√3）/2
=√3

http://mentai.2ch.net/test/read.cgi/doboku/1004212615/l50
私のＨＰ★みんなでイイはなし　シヨ★★

>>118
間違えてるよ。

>120
ホントだごめんなさい。
m=1/2
S=5√5/3
これで間違っていたらへこむ．．．。

>>121
折角途中まで筋のいい解法で解いているんだから、
[α, β]∫−2(X−α)(X−β)dX＝2*(β−α)^3/6＝(β−α)^3/3
といけばいいよ。

*ちなみに、(β−α)^2＝(α＋β)^2−4αβ より、
(β−α)^3＝{(β−α)^2}^(3/2)

>>121,122
全然筋よくないよ、はっきりいって。この問題ｍを求めるだけなら条件多すぎるのにお気づき？

交点のｘ座標をa,b(a<b)とする。
C1:y=x^2の傾きは2x
C2:y=-x^2+4x+mの傾きは-2x+4より
2x(-2x+4)=-1の解がa,b
また、C1とC2の交点のｘ座標がa,bより
m=1/2（判別式なんていらん）
このときS=-∫[a,b]2(x-a)(x-b)dx=……=5/3√5

>>123
いや？意識して論理を運んでいる点で>>121は悪くないと思う。
「方程式は先ず解いてみる」姿勢が上級者への道だしな。

簡単な問題を。
a≧2、b≧2、c≧2、d≧2のとき、abcd＞a+b+c+dであることを証明せよ。

>>124
＝解かなくてもよい方程式を解いている。
まあ、もちっと問題演習量増やせば大丈夫でしょうが。

>>125
ぬるい評価。
a≦b≦c≦dとしても一般性を失わない。
a+b+c+d≦4a<abcd
以上

↑冗談。
a≦b≦c≦dとしても一般性を失わない。
a+b+c+d≦4d<abcd

>>127
もう一つ同じような問題を。
a,b,cを1より小さい正の数とするとき、a+b+c-abc＜2が成り立つことを証明せよ。

＞123
僕も最初判別式はいらないかなって思ったけど、
万が一条件を満たさない時もあるかと思って一応。
大学3年で工学部なんで受験数学は受験生のようにはいきません。
鮮やかに解くことはできませんが、僕の方法は
確実に解に辿り着くことができるオーソドックスな方法ではないでしょうか。

一見大変そうに見える3乗の計算も因数分解して各項の次数を落としてやれば、
（α±√β）＾型だから和差計算は暗算も可能ですね。

＞122
センター必出｢αβ6分の公式｣ですね。
忘れていました．．．。

A={x|xは任意の2つの整数の2乗の和}とする。このときm∈Aかつn∈A
ならばmn∈Ａであることを証明せよ。

>>129
なるほど、受験生ではないのね。だったら仕方ないっしょ。おれはまだ１年だからまだまだ高校の内容は頭に入ってるつもり。

>>128
(1-a)(1-b)+(1-ab)(1-c)>0
より与式。
ていうかa,b,c>1でもいいじゃん。

>>131
おお、確かにa,b,c＞1でもＯＫやね。
なぜこの問題を出した東工大がそういう指定をしたのか謎だ…。

>>132
あんたは東工大なのかい？まあどうでもいいな。

>>100の問題
nは正の整数とする。
x＋y＋z≦n
−x＋y−z≦n
x−y−z≦n
−x−y＋z≦n
を満たすxyz空間の点P(x､y､z)でx､y､zが全て整数であるものの個数を求めよ。

↑まだ続きがあるんじゃないの？極限の問題じゃなかったっけ？
　個数を出すんじゃなくて、個数を不等号で挟んでから「はさみうち」で解くはず。

>>132
例えばa,b<1でc>1だったら都合悪くなるからだろ？

たまには手がスラスラ動く問題をどうぞ。
f(x)=(x√x)/3-√x
とする。
(1) y=f(x)のグラフの0≦x≦3の部分の弧長を求めよ。
(2) y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれる図形Fの面積を求めよ。
(3) Fをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

>>134
ていうか問題変だろ？
|x|+|y|+|z|≦n
じゃないのか？
98年くらいの東大の問題。

>>137
不等式自体はあってるよ。格子点の個数を出すこともできるし，
原題は格子点の個数をf(n)として，f(n)/n^3 (n→∞)を求めさせる問題で
これはかなり大雑把に評価しても答えられる。

>138
個数出せるのか。尊敬。

>>138
全然合ってない。８面体なんだから、ちゃんと囲まなきゃ。
じゃあ>>134の式に、x=y=z=-10000ぐらい入れてみな。

Σ(k=n to 2n+2)r^(2k+1)
を求めよ。

>>141
なに、その下らん問題？

下らないことは認めるが一応解答を提示してみてよ。

>>136
(1)2√3
(2)4√3/5
(3)3π/4
計算間違いの可能性あり。

>>143
なんで俺はこんな問題ばっか……
まあいい、今からやってみる。

>>140
河合のページを見てきたが、>>134と>>138を合わせた問題だったぞ。
|x|+|y|+|z|≦nというような記述は見当たらなかった。

代ゼミの解説も見てきたが、河合とは違うやり方だった。
ちゃんと格子点の数を出してる。どっちの解答がスマートなんだろ？

>>141なんでこんな変な係数なんや？なんかうらみでもあんのか？
r＝1のときn+3
r≠1のときr^(2n+1){r^(2n+6)-1}/(r^2-1)
合っとるんかよう分からん。やる価値のある問題だとはとても思えん。

>>145
どこにあるんか書いてくれ。or問題を書いてくれ。

>147
↓こんな問題
nは正の整数とする。
x＋y＋z≦n
−x＋y−z≦n
x−y−z≦n
−x−y＋z≦n
を満たすxyz空間の点P(x､y､z)でx､y､zが全て整数であるものの個数をf(n)とする。
f(n)/n^3 (n→∞)を求めよ。

中心O，半径rの球面上に5点A，B，C，D，Pがある。
このうち4点A，B，C，Dは同一円周上にあり，その円の中心をHとすると，
H，O，Pはこの順に同一直線上にある。
AB＝√3，BC＝√3，CD＝3，DA＝1，OH＝2 のとき，
(1) 四角形ABCD の面積を求めよ。
(2) 四角錐P-ABCDの体積を求めよ。

>>144
正解です！

>>147
サンクス。ってか俺って頭悪い。スマソ。
別の問題と勘違いしてた。
>>149
(!)2√2
(2)3√2
答えもけっこうきれいね。

age

数学問題演習スレがどこ行ったんか分からん。だれかageて！

>>146
Σの公式をただ丸暗記してる人を撃退するための問題ってことだったんじゃ？

こんばんわ
おいそがしいところを申し訳ありません受験生の皆さん、受験勉強さぞかし
がんばっていることだとおもいます。
ひとつ、お願いがあります。
どうか私どもの東和大学に受験して入学してください。
詳細はhttp://mentai.2ch.net/test/read.cgi/doboku/1004212615/l50です。

できれば、来場された方はどのくらい広まったか調査していますので
何かこのスレよんだ感想でも構いませんので暇つぶしにでも足跡のこしていってください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よろしくおねがいします。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　東和一流校

m, nを自然数とする.
曲線x^m+y^n=1上の点(x1,y1)における接線の方程式を求めよ。
また、m=n=2のときの接線の方程式を求めよ。

>>156
Y＝X

>>ｱﾎﾃﾞｽｶ?

>>148
ついでに解いてくれ。
一時間ほど悩んで結局できなかった。

>>156
Ｘ＝Ｙ

>>148
四面体になるので、z=kで切った断面で考える（上下対称）
f(n)=(n+1)^2+n^2+2Σ[k:1→n]{(n+1-k)(n+1+k)+(n-k)(n+k)}
=(8n^3+12n^2+10n+3)/3
∴lim[n→∞]f(n)/n^3=8/3
まあ、一辺2nの立方体に内接する四面体であることを考えれば、当たり前だが。

>>148
不等式の表す領域は，4点(n,n,-n),(n,-n,n),
(-n,n,n),(-n,-n,-n)を頂点とする正四面体の内部および周上であり
その体積は(8n^3)/3
よって，この立体の中にある格子点の個数は
(8n^3)/3+(nの2次以下)であり，求める極限は8/3

>>ﾃｲﾚﾍﾞﾙﾊｺﾅｲﾃﾞｸﾀﾞｻｲ

カブタ
>>151 正解です！

複素数 z=r(cos[x]+i*sin[x])が|z+1/z|=1を満たすとする。
ただし，r>0，0°≦x＜360°とする。このとき，
r+1/r，r，xのとりうる値の範囲を求めよ。

すばらしいのみつけたよやるよ！
http://www.wonderland.jena.co.uk/cotw/125-83rq/green09a.jpg

な！よかっただろ？息抜きひつようだぜ

>>166
greenという名前のは黒が多いからな。クリックはしないでおく。

>>167
だれもそんなの踏まんよ。