東大理系の数学を少しずつ解くスレッド
165 ：既出かも？：01/10/16 21:33
一辺の長さ1の正四面体の無限遠からの光によってできる
影の面積の最大最小値を求めよ、って難問だよね（S63年理系）。
結局どう解くのが実践的かつエレガントなのかなあ。
影の面積の最大最小値を求めよ、って難問だよね（S63年理系）。
結局どう解くのが実践的かつエレガントなのかなあ。
166 ：165：01/10/16 21:42
ごめん、正四面体じゃなくて立方体だったかも。
167 ：名無し：01/10/17 00:00
＞166
正四面体。
鉛筆２本つかって、ＡＢとＣＤにみたててクルクル回転させてみれ。
正四面体。
鉛筆２本つかって、ＡＢとＣＤにみたててクルクル回転させてみれ。
168 ：名無し：01/10/17 00:45
>>165
大学への数学でも超難問と評している。特に最小値は
厳密に正答を導けた人は皆無と思われ。
図を書きながらでないと説明がしにくいので詳細は書かないよ。
最近の東大は以前ほど高度な空間図形の感覚を必要とする問題は出されていない
(空間図形の問題が出ていないというわけではない)。
大学への数学でも超難問と評している。特に最小値は
厳密に正答を導けた人は皆無と思われ。
図を書きながらでないと説明がしにくいので詳細は書かないよ。
最近の東大は以前ほど高度な空間図形の感覚を必要とする問題は出されていない
(空間図形の問題が出ていないというわけではない)。
169 ：名無しさん：01/10/17 10:31
age
170 ：名無し：01/10/17 23:53
99，00，01年の複素数の問題は，どれも簡単ではないけれど，傑作だ。
東大の問題は良問が多いけど，図形的色彩が強いせいか掲示板では
表現しにくいね。
(x+11)(x-1)の1の位を四捨五入すると10xになるような，自然数xを求めよ。
東大の問題は良問が多いけど，図形的色彩が強いせいか掲示板では
表現しにくいね。
(x+11)(x-1)の1の位を四捨五入すると10xになるような，自然数xを求めよ。
171 ：名無しさん：01/10/18 01:26
>>165-168
正四面体は平面に接してるの？
それとも空間上の適当な場所に置けて、そして下の平面にある影の
面積を求めるの？前者だと最小値は正四面体に隠れている部分除けば0に出来ちゃう気が…
影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど、どこで勘違いしてるんだろ…
正四面体は平面に接してるの？
それとも空間上の適当な場所に置けて、そして下の平面にある影の
面積を求めるの？前者だと最小値は正四面体に隠れている部分除けば0に出来ちゃう気が…
影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど、どこで勘違いしてるんだろ…
172 ：名無し：01/10/18 01:33
>>171
原文を紹介します。
空間内に平面αがある。1辺の長さ1の正四面体Vのα上への正射影の
面積をSとし，Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小
値を求めよ。
ただし，空間の点Pを通ってαに垂直な直線がαと交わる点をPの
α上の正射影といい，空間図形Vの各点のα上への正射影全体が
つくるα上の図形をVのα上への正射影という。
原文を紹介します。
空間内に平面αがある。1辺の長さ1の正四面体Vのα上への正射影の
面積をSとし，Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小
値を求めよ。
ただし，空間の点Pを通ってαに垂直な直線がαと交わる点をPの
α上の正射影といい，空間図形Vの各点のα上への正射影全体が
つくるα上の図形をVのα上への正射影という。
173 ：名無しさん：01/10/18 01:39
>最小値は正四面体に隠れている部分除けば0に出来ちゃう気が…
この場合、影の面積＝正三角形だと思う。
＞影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど
光源が無限遠なので、光は平行にさしこむので、広がらない。
でどうよ？
この場合、影の面積＝正三角形だと思う。
＞影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど
光源が無限遠なので、光は平行にさしこむので、広がらない。
でどうよ？
174 ：名無し：01/10/18 18:33
age
175 ：名無し：01/10/18 23:50
正四面体がある。平面と接している3つの辺のひとつを選び、これを軸
として正四面体を倒す。ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が
再び平面と接する確率を求めよ。（９１年理系①番）
として正四面体を倒す。ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が
再び平面と接する確率を求めよ。（９１年理系①番）
176 ：名無しさん：01/10/18 23:59
>>175
そりゃ簡単ね
そりゃ簡単ね
177 ：名無し：01/10/19 16:14
平面上において，2定点A，Bを両端とする任意の円弧の3等分点のうち，
Aに近いほうの点の軌跡を求めよ。(1958年理科，看護衛生科)
Aに近いほうの点の軌跡を求めよ。(1958年理科，看護衛生科)
178 ：名無し：01/10/19 16:17
age
179 ：名無し：01/10/20 22:49
agemasu
180 ：なん茶って：01/10/20 23:21
＞わかんない
まじ？？凄いね。あんたは天才だ～。
いやならいいんだけどさ～、テイラー展開とはいったい
どうやって生み出されたか説明してみて？センスが光る解答望。
まじ？？凄いね。あんたは天才だ～。
いやならいいんだけどさ～、テイラー展開とはいったい
どうやって生み出されたか説明してみて？センスが光る解答望。
181 ：名無しさん：01/10/21 10:32
東大入試４３年の軌跡買ったぞ。
182 ：名無し：01/10/22 20:45
>>180
x=aでn回微分可能な関数f(x)と多項式g(x)について，
f(x)の1回微分＝g(x)の1回微分
f(x)の2回微分＝g(x)の2回微分・・・・・・・・・・・・・・・
で，n回微分したものまでが(x=aで)一致するようにg(x)を定める。
これが大元だった気がする。
x=aでn回微分可能な関数f(x)と多項式g(x)について，
f(x)の1回微分＝g(x)の1回微分
f(x)の2回微分＝g(x)の2回微分・・・・・・・・・・・・・・・
で，n回微分したものまでが(x=aで)一致するようにg(x)を定める。
これが大元だった気がする。
183 ：コレ難しい：01/10/22 21:05
【96 後期】
nを正の整数とし，n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。ただし，
1個のボールも入らない箱があってもよいものとする。以下に述べる4つの場合に
ついて，それぞれ相異なる入れ方の総数を求めなさい。
(1) 1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，A，B，Cと区別された3つ
の箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(2) 互いに区別のつかないn個のボールを，A，B，Cと区別された3つの箱に入
れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(3) 1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，区別のつかない3つの箱に
入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(4) nが6の倍数6mであるとき，n個の互いに区別のつかないn個のボールを，区
別のつかない3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
nを正の整数とし，n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。ただし，
1個のボールも入らない箱があってもよいものとする。以下に述べる4つの場合に
ついて，それぞれ相異なる入れ方の総数を求めなさい。
(1) 1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，A，B，Cと区別された3つ
の箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(2) 互いに区別のつかないn個のボールを，A，B，Cと区別された3つの箱に入
れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(3) 1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，区別のつかない3つの箱に
入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(4) nが6の倍数6mであるとき，n個の互いに区別のつかないn個のボールを，区
別のつかない3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
184 ：昔の話だが：01/10/23 02:32
>>168
大学の発表によるとこの問題の満点者はいなかったとのこと
大学の発表によるとこの問題の満点者はいなかったとのこと
185 ：名無し：01/10/23 07:33
00 年慶應大・理工の3番も満点者ゼロ。
教授が『受験生に勝った』と祝杯をあげたらしい・・・・・ｵｲｵｲ
教授が『受験生に勝った』と祝杯をあげたらしい・・・・・ｵｲｵｲ
186 ：名無し：01/10/23 17:35
だいぶ止まっているみたいなんで，東大以外の問題。
3辺の長さの和が2である直角3角形の
面積のとりうる値の範囲を求めよ。
3辺の長さの和が2である直角3角形の
面積のとりうる値の範囲を求めよ。
187 ： ：01/10/23 18:25
俺は二次関数で解いた
受験問題懐かしい
受験生頑張ってくれ
受験問題懐かしい
受験生頑張ってくれ
188 ： ：01/10/23 18:27
189 ：名無しさん：01/10/24 15:58
東大スレはAGEなければならない宿命にある。
190 ：名無しさん：01/10/25 10:48
age
191 ：名無しさん：01/10/25 16:38
>>181
どこで売っているの？
どこで売っているの？
１８５なんですけど三辺の値をａ，ｂ，cとして
Ｓ＝１／２ａｂの式にａの値を代入して二次方程式
を作って答えを求める以外の方法が思いつかないんですけど
他に何か別解ありますか？会ったら教えてちょ
Ｓ＝１／２ａｂの式にａの値を代入して二次方程式
を作って答えを求める以外の方法が思いつかないんですけど
他に何か別解ありますか？会ったら教えてちょ
193 ：名無しさん：01/10/25 23:35
>191
過去ログみれ
過去ログみれ
194 ：夢童＠受験版：01/10/25 23:56
＞１９２ 斜辺の長さをＬとおいて、直角で内角のひとつをθとおけば
変数が二つで済むはず。
変数が二つで済むはず。
195 ：夢童＠受験版：01/10/25 23:58
↑間違った
直角で内角→直角でない角
直角で内角→直角でない角
196 ：名無しさん：01/10/26 18:55
例の98後期三番のURL
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/8.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/9.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/10.gif
（2）は捨てるべき問題だそうです。
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/8.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/9.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/10.gif
（2）は捨てるべき問題だそうです。
197 ：186：01/10/26 22:41
3辺の長さの和が2である直角3角形の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。
もとは同志社大・商の問題です(原題は，3辺の長さの和が1)。
3辺の長さをa,b,c(a≦b<c)とおくと，a+b+c=2,a^2+b^2=c^2
より，a+b=2-c,ab=2-2c
また，ab=2Sだから，2-2c=2Sよりc=1-S (>b≧a)
よって方程式 (x-a)(x-b)=x^2-(S+1)x+2S=0
が0<x<1-Sに2解(重解でもよい)を持つ範囲を求めればよくO<S<3-2√2
もとは同志社大・商の問題です(原題は，3辺の長さの和が1)。
3辺の長さをa,b,c(a≦b<c)とおくと，a+b+c=2,a^2+b^2=c^2
より，a+b=2-c,ab=2-2c
また，ab=2Sだから，2-2c=2Sよりc=1-S (>b≧a)
よって方程式 (x-a)(x-b)=x^2-(S+1)x+2S=0
が0<x<1-Sに2解(重解でもよい)を持つ範囲を求めればよくO<S<3-2√2
198 ：nanasi：01/10/26 22:50
正12角形の4つの頂点を結んで得られる四角形はいくつあるか。
また，そのうち正12角形と辺を共有しないものはいくつあるか。
ただし，回転移動により重なる四角形は区別しない(つまり，円順列)。
また，そのうち正12角形と辺を共有しないものはいくつあるか。
ただし，回転移動により重なる四角形は区別しない(つまり，円順列)。
199 ：名無し：01/10/27 00:41
200 ：プロイセン ◆60oSkAVg ：01/10/28 17:25
201 ：名無し：01/10/28 20:01
>>200
どの質問かよくわからないが，炭酸水素ナトリウム云々も石鹸云々もおいらには
よくわからん。
数学と違って化学は専門知識がないと答えられないことも多い
(考えればできるというレベルを超えていて知らないと無理，というものが少なくない)
ので，学校とか塾の先生に聞いて見るのがよいと思う。
どの質問かよくわからないが，炭酸水素ナトリウム云々も石鹸云々もおいらには
よくわからん。
数学と違って化学は専門知識がないと答えられないことも多い
(考えればできるというレベルを超えていて知らないと無理，というものが少なくない)
ので，学校とか塾の先生に聞いて見るのがよいと思う。
202 ：名無しさん：01/10/28 23:25
みなさん、難問にはお詳しいでしょうが、ここらで、東大なのに「この問題は
易しい！」というのがありましたら、お教えくださいませんか？
これから東大めざす高1、高2のためにも。。
私の場合、今年の文系３番、3次関数の最大には勇気づけられました。
易しい！」というのがありましたら、お教えくださいませんか？
これから東大めざす高1、高2のためにも。。
私の場合、今年の文系３番、3次関数の最大には勇気づけられました。
203 ：名無し：01/10/29 04:18
01年文理共通① → 高校入試レベル
00年理系⑤ → 普通に数えるだけ。
99年理系① → これができない人は高校卒業しちゃダメでしょ。
(でも，加法定理の証明自体はかなりテクニカルで，はじめに思いついた人はすごいかも)
東大･京大の理系だって半分は標準問題。でもって，これらが全部解ければ合格ライン。
00年理系⑤ → 普通に数えるだけ。
99年理系① → これができない人は高校卒業しちゃダメでしょ。
(でも，加法定理の証明自体はかなりテクニカルで，はじめに思いついた人はすごいかも)
東大･京大の理系だって半分は標準問題。でもって，これらが全部解ければ合格ライン。
204 ：名無しさん：01/10/31 00:26
age
205 ：名無しさん：01/10/31 10:29
age
206 ：名無しさん ◆js1o99Dg ：01/10/31 12:04
age
207 ：名無しさん：01/11/01 22:26
沈下防止
208 ：名無し：01/11/02 00:23
東大の問題はだいぶ飽和してきた感じなので，別大学の問題で失礼いたしますよ。
楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1に4点で外接する長方形がある。
この長方形の面積の最大値を求めよ。（９８ 慶應大・理工）
楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1に4点で外接する長方形がある。
この長方形の面積の最大値を求めよ。（９８ 慶應大・理工）
209 ：名無し：01/11/03 12:16
age
210 ：質問君でわりー：01/11/04 00:24
全然関係ない質問！
今度の数学新課程って、いつから開始なんですか？
どんなところが新しくなるんですか？
そういう情報って、どこで調べられるんですか？
今度の数学新課程って、いつから開始なんですか？
どんなところが新しくなるんですか？
そういう情報って、どこで調べられるんですか？
211 ：名無し：01/11/04 11:29
>>210
文部科学省のホームページ見れば？
文部科学省のホームページ見れば？
212 ：ふつう街道さん：01/11/05 00:15
＞208
慶応・理工
むむむ．．．？？？
0<a、0<bとする。
ｙ=kx、y=-x/k（0<k）
と楕円の第一象限、第ニ象限の交点A、Bの座標は
それぞれ、（ab/√（a^2k^2+b^2），abk/√（a^2k^2+b^2））
（-abk/√（a^2+b^2k^2），ab/√（a^2+b^2k^2））
求める長方形の面積をS（k）とおくと
S（k）=4OA*OB（※ここが一番あやしい。原点から接点を結ぶ線分と
その点での接線、つまり楕円に外接する長方形の一辺が直交するか？
k=0なら図示すると明らかに成り立つけど。また円ならば当然成り立つけど。）
よってS（k）=4a^2b^2（k^2+1）/√（（a^2k^2+b^2）（b^2k^2+a^2））
S’（k）=・・・・・
S’（k）=0とおくと
（a^2b^2+b^2）（2（b^2k^2+a^2）-b^2（k^2+1））-a^2（k^2+1）（b^2k^2+a^2）=0
k=maxk
増減表よりk=maxkで極大かつ最大より、S（maxk）=？？？
慶応・理工
むむむ．．．？？？
0<a、0<bとする。
ｙ=kx、y=-x/k（0<k）
と楕円の第一象限、第ニ象限の交点A、Bの座標は
それぞれ、（ab/√（a^2k^2+b^2），abk/√（a^2k^2+b^2））
（-abk/√（a^2+b^2k^2），ab/√（a^2+b^2k^2））
求める長方形の面積をS（k）とおくと
S（k）=4OA*OB（※ここが一番あやしい。原点から接点を結ぶ線分と
その点での接線、つまり楕円に外接する長方形の一辺が直交するか？
k=0なら図示すると明らかに成り立つけど。また円ならば当然成り立つけど。）
よってS（k）=4a^2b^2（k^2+1）/√（（a^2k^2+b^2）（b^2k^2+a^2））
S’（k）=・・・・・
S’（k）=0とおくと
（a^2b^2+b^2）（2（b^2k^2+a^2）-b^2（k^2+1））-a^2（k^2+1）（b^2k^2+a^2）=0
k=maxk
増減表よりk=maxkで極大かつ最大より、S（maxk）=？？？
213 ：名無し：01/11/05 00:23
>>212
はげしいうそを書かないように。なんならものすっごくつぶれた楕円を想像するべし。
はげしいうそを書かないように。なんならものすっごくつぶれた楕円を想像するべし。
214 ：名無し：
age