東大理系の数学を少しずつ解くスレッド

がんばろうね。
かならずあたしが解答を書くよ♪
高２の雑談スレッドもよろしく、。
すべての面が合同な四面体ABCDがある。頂点A,B,Cはそれぞれx,y,z
軸上の正の部分にあり
AB=2l-1 BC=2l CA=2l+1
である。
（l>2)
四面体ABCDの体積をV(l)とするとき
limV/(l-1)^(1/2)
ただしl→2
の極限値を求めよ
(平成5年東大）

>>1
それ、俺マスターしたよ。
等面四面体の体積の出し方は知ってるとなにかといいことあるよ。

わかんないって高２なの？
えらいねえ、高２で東大の数学解くなんて。
がんばれ。

ヤリマン志望なんだってさ。
チンポとマンコが好きらしい。
嘘だと思ったら、高２雑談スレ見てみな。

ほおぉ〜〜！！
あたたたたったあ！！！！
お前はもう・・・・病んでいる・・・

数学の問題を解くに際し、構造を見抜く眼力が必要である。
同様に2chではネカマを見抜く眼力も必要である。

東大の数学は俺好きだけどなぁ

やり逃げか、、、

いやぁ。はりきってかいたけど、解いてみたらあまりに簡単すぎたからちょっとショック。
問題のほうの訂正だけど極限とるとこのl-1はl-2ね。

まず、考え方だけどぉ、A,B,Cによってつくられる三角形が座標軸にもたれかかった
ような形になるよね。だからlとかいう変数があっても役に立たない。
あたしはここで、A,B,Cの座標を適当にA(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
とかっておく。
そしたらさぁ、ABもBCもCAもね、a,b,cをつかって表現できちゃう。
AB^2=(2l-1^2=a^2+b^2 とか。この式を解答書くときには�@�A�Bとかって書いとく。
あと、すべての面積が合同って条件があるょ。これで四面体は直方体の中にハマッてる
四面体になるしかないよぉ。
書いてみればわかるよね。
そしたらさぁ、Vもばっかみたいにa,b,c使ってあらわせて
V=abc/3.....�C
ってなるね。あとは、�@�A�Bからa,b,cをlを含む式を求めて�Cに代入。
極限はうまくl-2の項が消えちゃうから何の問題も無くでる。
たぶん8になるんじゃない？

こんな簡単だなんてぇ..。
でもここに打ち込むの大変だなぁ。週１にしよ。

げっ、あれからぜんぜんレスついてない。
不人気スレつくったのかなぁ。

>10
マニアックだけど、いいスレだな。
文系では、ここ毎年、確率と漸化式がでてるけど・・
おれも、そのうち、なんか質問するけど、ほんとに、
高2の女か？(笑)

ときに、高2雑談スレってどこにあるの？

http://saki.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1001844276/l50

>>1
これ千葉工大の問題じゃないか・・・

239 ：わかんない ◆wHaA83h2 ：01/10/09 23:58
>237
マンコって何でマンコっていうんだろう。
自然に覚えた言葉だけど.....おしえてプロイセン♪


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　･

最近は京大のほうが難しいよね

age

箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードがある。
それらをよく混ぜて，その中から1枚ずつ続けて全部を取り出し，
取り出した順に新しく1から9までの番号を付ける。
このとき，新しくつけられる番号が前もって付けられている番号に
一致するカードがちょうど5枚できる確率を求めよ。(67年 2次 理系)

平成5年度入試の受験をしたものです。１の出した問題はなつかしいですねぇ。
ちなみにこの問題を解いたとき私自身は直方体から切り取る発想が出てこずか
といって座標でやれば泥沼必死ということでこの問題はパスしました。ま理１
だったから高得点いらないしね。この問題に座標で挑んだ奴は泥沼にはまりﾔﾊ
ﾟｰﾘおちてました。この問題に関しては
・あきらめて即捨て
・気づいて確実にゲット
した人が合格し
・最初にこの問題を解きしかも泥沼
って人はおちてました。

>18
ふるーい。答え合わせお願い♪
まずさぁ、1,2,3,4,5,6,7,8,9というとこに1,2,3,4,5,6,7,8,9という別の９つの数字を配置
するって考えたのが全部の場合だよね。
で、その場合の数がさぁ、9!だよねぇ。
そいでさあ、一致するのが5枚ってことは１−９の５つが一緒な場合でどの数字が一緒
かってことでそれは9C5で選んで残りの4つは同じじゃだめな組み合わせなんだけど、
あたしはちょっとここで考えたんだけど、4!-(全部一致）−（3個一致）-(2個一致）-(1個一致）
を求めることにしたんだぁ。
全部一致が当然1×1個、3個一致が0×１個、2個一致が1×4C2個、1個一致が、
4C1×2個
よって4個の数字がすべてことなる２つの組み合わせを持つ場合の数は
4!-1-4C2-4C1=14
てことは　9C5×14/9!で答えは、
14/5!×5!なのかなぁ・・・・。

>19
何でも座標に拘るのはよくないと思うょ。
確かに、モデルを正確に記述したり、コンピュータに入力して計算する場合は
座標が必要だけど、ただここでは数学の単なる問題だよね。
１９さんは、東大の方ですか♪？

>>21
普通に数学の問題解くときも、
座標設定することによって解きやすくなることもある。

＞２２
それはあるね。
座標設定しないと無理なものも多いかも。
図形の問題とかありうるょ。ただ、まず頭の中で３D表示してみることが
大切だと思うよっ。

＞＞18様
どうすれば、そのような３０年前の古文書を入手できるのでしょうか？
国会図書館にでもあるのでしょうか？
只者とは思えませぬ。拙者もほしいでござる。

座標設定してもこの場合たいした計算にならないような気がするが。

>>24
東大入試４３年の軌跡
とかいうＣＤＲＯＭが発売してるぞ。

＞２６
ほんとぉ？あたし買おうかな♪
どこの会社から出てるの？

>>27
大学への数学の東京出版。

ありがと♪
探してみる。プロイセン君にも言ってあげよっと。

>>29
東京出版から直接買うことしかできないから
買い方は東大入試１０年の軌跡の後ろらへんを見るとイイ。

ありがと。
このスレッドつくってよかった♪

>>1
ほんとに高２の女だったら今度の秋の模試で名前のしてみ。河合だったら７０くらいあれば楽勝でしょ？
んで、もし載ったら数学の勉強やめた方がいい。東大の数学は近年簡単になってきてるから、やるだけ損。

＞３２
うん。でもあたしは受験を目指して高校行ってるわけじゃないから
来年受けるよ。
なんかくらーい感じになるのが嫌じゃん。目いっぱい2年のうちは
楽しんで、3年から高得点を取るための勉強をするつもりだょ。
でも今でも７，８割はとれそうだなぁ。たぶん

>>33
さてさて微妙やな(笑)
怪しいもんやが。まぁ一応信じておくかｗ
じゃあ次は９８年度（だったっけ？）の後期の３番やってくれよ。希望者多いと思われ

＞３４
後期の問題をもっていないょ。
書いてくれれば解くけどね。
解けなくても文句は言わないでね。

だれか書いといて

＞３６
無責任だね。でも後期ってどんなの？
普通の人は受けそうにないとおもうよ。

９８年後期３を書く暇な奴はいないな。
問題文が長すぎる。

おっけー。
じゃあ本屋サンで見ておきますよ。
でも解答みてわからない問題があるの？？
それはたぶん勉強不足じゃない？

↑どれだけ勉強してるの？

範囲的には大学でやるようなところもやってるよ。
工作とかでラプラス変換とかフーリエ変換とか理解しておかないとわかんないものも
あるから.....
高校のは数学は終わってるよ。学校は相変わらず遅すぎだけど。

>>41
天才？

＞４２
好きなことはどんどんやるけどあんまし興味がないものをやらないから
国語とかはそんなによくない
だから今、古典から頑張ってやってるょ。

>>21
元東大です。もう卒業してます。
座標を使うときは原点をどこにとるかですべてが決まりますね。
私はそのときに
軌跡の問題８０％くらい
pとかqと蚊が入っている積分問題完答
数列は（１）のみ
微積も（１）のみ
ってかんじでした。多分４５点くらいだったと思われ。
裏話によるとかなり部分点を取ってくれているはず。
ただしきちんとした答案を書いていればの話ですが・・・。

>44
どこの学部ですかぁ？
理学部生物化学専攻？？
もしかして....

東大の数学は、「光源」とか「反射」とか「体積」とかが好きな一方、オーソドックスなものも多いとおもう。
ここではオーソドックスなものから特殊なものへとできればなぁって思ってます。みんな、がんばろうね。

問題提供するヨ。文理共通問題で悪いけどね。

a, bを整数として、Xの4次方程式 X^4＋aX^2＋b＝0 の4つの解を考える。
今、4つの解の近似値、−3.45, −0.61, 0.54, 3.42, が判明していて、
これらの近似値の誤差は0.05以下であるという。
真の解を小数点第2位まで正しく求めよ。

なんでこんなものが解るの？
俺はさっぱり0点だぜ。きっとメチャ糞勉強してんだろうなー。

俺もさっぱり分からん・・

>>15
ﾜﾗﾀ

まぁ、１は東大理�Vには入る夢はかなえれても
ヤリマンになる夢は無理じゃない？
顔すごそう。

>>47
不等式使って適当だけど解けた。

わかんない　はやりまんになることが夢なの？

>>51
warotayo!

（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）
（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）
（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）
（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）
（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）（　´_ゝ`）

図書館で建築の連中がやるらしい「図学」とかのテキストに
立体の貫通や切断のテーマでたくさんイラストがでてた。
立体問題つくるときのネタは、このへんかぁ、ってかんじ。
円柱と円柱、円錐と円柱、正四面体と正四面体etcの順列・組合せだ。
このうち、問題として出題できるのはいくつくらいなんだろかなー

>>1
顔ウプしろ
爆笑してやる

239 ：わかんない ◆wHaA83h2 ：01/10/09 23:58
>237
マンコって何でマンコっていうんだろう。
自然に覚えた言葉だけど.....おしえてプロイセン♪

新作問題つくった。。

「半径aの球に内接する正四角柱の体積の最大値を求めよ。」

>>1
正直に言ってみ、激ブスだろ

わかんないが急に消えたぞ（藁

わかんないはブスに1万石

２００００ギル

>47
音楽トラサンの桑田さんの新曲に感動してて遅れちゃいました。ごめんね。
まず、方程式の左辺をf(x)とおくと、偶関数だよね。だから真の解をα、β、−α、−β
とおけます。ただし0<α<βとしておきます。
誤差の条件からαとβを絞り込むと、
０．５６＜＝α＜＝０．５９、３．４＜＝β＜＝３．４７
ってなりますよん。
で、方程式は、(x-α）(x-β）(x＋α）（x+β）＝０の形になっちゃう。
だから、もとの方程式と展開して比較するとぉ、
a=(α+β）^2+2αβ
b=α^2β^2
ってなるよね。
で、さっきの絞り込んだαとβを入れてa,bの範囲からa,bが決定しちゃう。
えっとね、a=20,b=4になるょ・・・・
これからさぁ、a=...b=...の式に代入して
αβ=2 α+β＝４ってなってね、あとは二次方程式をつくる。
x^2-4x+2=0
これを解いたらx=2+-ルート２
だから、x=3.4142....,0.5858.....
よって答えは、3.41,0.58,-3.41,-0.58
だと思う。どうかしらぁ？

バチをオナニーに使うらしい

げろ。普通に現れやがった・・
これかいてたのか・・

口調からしてネカマorブスは確定だと思う。

えっ、Ａ＝２０になるのか？

＞６５
プロイセン？？

>>64
>まず、方程式の左辺をf(x)とおくと、偶関数だよね。だから真の解をα、β、−α、−β
>とおけます。
ここで大減点で恐らく得点は半分未満でしょうね。

＞６８
間違ってる？あたし？
急いで解いたからまちがってるかもしんないょ

バチをどうやって使うのですか
股にはさんでゆっくりと前後に動かすのですか
クリとリスがこすれて気持ちいいのですか

＞７２
そりゃあ、はじめは....
あとはいれちゃう♪

俺は
Ａ＝−１２になっちまった。

では、マン汁で匂うでしょう？＜バチ

えー、じゃああたしまちがってんのかなぁ。
もう一回解いてみようか？
でもまあいいや。こういうスレッドって時間とられちゃうから
ちょっと辛いね。眠たいときは特に...

＞７５
マン汁って.......
そうとうHだね。

>>72
聞き方が嫌らしいな・・・（ｗ
あのさ、語尾に「ょ」付けるのたとえ女でもキモイからやめた方がいいよ。
自分でカワイイとか思っちゃってるでしょ。

いや、しかし最後の答えは同じになった。

＞７８
ちょっと反省します。
でもチャットモードだし...

>79
ふーん。まあ、どうせ２ｃｈだし、そんなに真剣にならなくてもいいんじゃない？
本当の答えはどうかあたしもわかんない。いつの問題かしら。

＞７９
何年生？あたしはまだ高２だからいろいろ教えてください。
数学得意ですか？

わかんないさんを見ていると、この受験板にいる奴がカスに見えて
くるのだが。

＞８３
そんなこと無いよ。みんな努力してると思うよ。
それぞれが自分の夢の実現に向けて頑張ってる社会ってステキじゃない？

わかんないさんは、将来何やりたいのですか？

あ、１にはこれ聞きたい。塾行ってる？あと高校は偏差値高い？一日勉強どんぐらい？
苦手な科目は？以上質問。

＞８５
ロボット工学に興味があります。
これから高齢化社会になっていくよね。人間のアシストとしてのロボットがあれば
きっと、みんなの幸せに貢献できるじゃない？
苦しんでる人とか結構気になる。身体障害者とかもちゃんと生活できるようにしてあげたいな。

自分が身体障害者だからって・・

>>82
馬鹿にしてくれ東工大志望の二浪だ。（ﾜﾗ
だから俺が間違ってるってことでいい。

>86
香川県の公立です。
勉強時間？うーん、まあはまっちゃうと朝までやっちゃうかなぁ。
苦手は国語かな。

>88
あたしは身体障害者じゃないけど、中学の時に身体障害者との触れ合いで
辛い環境にいる人をいっぱい見たから.....

＞８９
２ロウ？
暗記系は成績あがりますよね。
あたしだったら２ロウしたらもう理系あきらめて司法試験とか目指すけどなぁ・・・

私も目標とする分野は同じです。
自分が何かに貢献できる喜びは素晴らしいですよね。

>>92
勉強してこなかったから暗記系が上がるとかない。（死）
現役・一浪と勉強しなかったから二浪してる。
遅れてスタートラインに立ったようなもん。

>>20
遅レスで申し訳ありません。答えは(9C5*9)/(9!)=1/320 になりますよ。

＞９３
うん。ロボットはいくつものモーターから構成されてるから、自動車
のモーターの効率向上なんかにも応用されると思う。
結局、消費エネルギー軽減もこれからの重要な課題だと思うよ。
その点でトヨタ自動車とかの電気自動車にも興味があるょ・・・。

＞９５
のこり４つの選び方が９通りなんだ。
そうだよね。そうそう。

なんか、このスレッドって自分で作っていうのもあれだけど焦るね。

もう２ｃｈ卒業しよっかなぁ。
なんか自分のペースが....

プロイセン君にも嫌われそうだし

私は廃れている日本の宇宙産業を盛り返したい。
伊藤忠などの商社も、これから参入してきそうだし。
30万点以上のパーツで作られたロケットが、宇宙を漂う姿に感動。

突然ですが、あたし、２ｃｈを卒業します。大学に入るまで....
いろいろご迷惑をかけましたが....
自分のペースでやりたくなったのと、焦りが....
今、大学でやる数学までわかるんだけど、やっぱりそれなりに入試も気になるし。

＞プロイセン
もし連絡とりたかったらメールで....

球が水平面上にあってこれに接している。
この球の最も高い点Aと水平面上の任意の2点B、Cとを結ぶ直線が
球面と交わる点をそれぞれD、Eとすれば、△AEDは△ABCに相似することを証明せよ。

＞大学でやる数学までわかるんだけど
本当に性格悪いな

98 理�T後期3番(2)について：やや長くなりますが，大雑把な考え方を書いておきます。
問題文と同様，長い割にはやってることは大して難しくないので読んでみてください。
『n=3kまたはn=3k-2(k=1,2,・・・)であることが十分』までは自力で到達してください。
以下，n=3k-1のとき可能グラフでないことを証明します。
初めの○(白駒)の両隣に，操作1を無視して○を付け加えます。この両端に付け加えた駒を以下◎，□と書くことにします。
(この時点で，グラフは◎―○―□)
この状態から，操作2のみを繰り返します。
(◎と□も普通の駒と同様に○●になります。
操作2を繰り返してから，両端の◎と□を取り除くと，題意の操作1，2を繰り返して得られるグラフになります。)
このとき，このとき，◎から●のみに番号を付けていき，k番目にある●とk+1番目にある●の間にある●の個数をAkとします。
そして，和 S=(A1)-(A2)+(A3)-(A4)+・・・+(-1)^(k-1)(Ak)+・・・
(◎から出発して□につくまでの和)を考えます。例えば，
○―●―○―○―●―○
であれば，S=1-2+1=0となります。このとき，
�@ 操作2では●の個数の偶奇は普遍だから，初め●0個より，◎□以外がすべて○なら，
◎□はともに●かともに○であるといえます。
�A 操作2では，Sは常に3の倍数になります。 (自分で確認してね)

さて，◎□を含むすべての駒が○になるとき，Sはすべての駒数であり，Sが3の倍数なので
◎と□を除いた駒数は3k-2の形になります。
◎□が●で，それ以外が○のとき，Sは 0−(すべての駒数-2)であり，これが3の倍数なので，
◎と□を除いた駒数は-S=3kの形になります。
つまり，◎と□以外がすべて○になるとき，その○の個数が3k-1の形になることは
ありえません。

>>105
自分が想像した以上に長くなってしまいました。すみません。

そんな事より１よ、ちょいと聞いてくれよ。スレとあんま関係ないけどさ。
何年か前、日曜に放送してるアタック見たんだよ。アタック。
そしたらなんか女子大生大会とかいってるのにﾌｽﾞな奴が出てんだよ。
で、よく見たらなんか大学名が書いてて、
○○大学、とか書いてあるんだよ。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、アタック如きで普段来てないテレビの収録に来てんじゃねーよボケが。
アタックだよ、アタック。
なんか応援団とかもいるし。一族総出でアタックか。おめでてーな。
よーしｱﾀｯｸﾁｬｿｽものにしちゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、YES-NO枕やるからその席空けろと。
アタックってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
アタックテーブルの隣に座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。
ﾌｽﾞな女は、すっこんでろ。
で、優勝したかと思ったら、○大のﾌｽﾞ女が、ｸﾞﾘｰｿのみんな、やったよー
とか言ってるんです。
そこでまたブチ切れですよ。
あのな、お前のせいで視聴者全員が応援してた美人な女子大生が敗退してんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、ｸﾞﾘｰｿのみんな、だ。
お前は本当にｸﾞﾘｰｿのみんなに感謝しているのかと問いたい。問い詰めたい。
朝練に押し掛けてでも問い詰めたい。
お前、ｸﾞﾘｰｿのみんなって言いたいだけちゃうんかと。
アタック通の俺から言わせてもらえば今、アタック通の間での最新流行はやっぱり、
居眠り、これだね。
番組収録中に居眠り。これが通の戦い方。
居眠りしていると答えられないけど、カドをとれそうな頃に起床する。これ。
で、それにｱﾀｯｸﾁｬｿｽ。これ最強。
しかしこれをやってしまうと次からｽﾀﾂﾌにマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前、１は、学歴ロンダでもしてなさいってこった

>70
>ここで大減点で恐らく得点は半分未満でしょうね。

そんな、へんな採点はしてないはず。藁）
みなさん、こういう馬鹿なおどしにびびるのはやめましょう。
予備校の先生にもこういうアホなブラフをいうやつがときどきいるが
相手にしないように。
京大の森先生が、採点風景の内幕を、中公新書の「受験数学指南」の中で
ばらしてくれてる。受験者数の少ない東大２次の採点状況もこんなかんじ
でしょう。

なぁ、1はネカマだろ?

東大の問題はねたが尽きたということで？
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
方程式x^3+x-8=0について，
(1) 唯一つの実根を1と2の間に持つことを示せ。
(2) この根は無理数であることを証明せよ。 (67 京都大・文理共通)

１は妄想持ちの理系大学生かと思われ。

>>1はtsolだと思うヨ（ﾜﾗ

>>わかんない
昨日、２ｃｈ卒業を決めたんだな｡
一応勘違いされてると困るから言っておくけど、
>>65は俺じゃないよ｡

>>110
馬鹿な質問して悪いけど、実根って何ですか？？
(1)は中間値なのかな・・・・

>103
Ａ（0,0,2a)とおいて、Ｄ，Ｅをパラメタｰ表示し、B,Cの座標を、aとその4つ（笑）の
パラメターを使って求めたあと、AB,AC,AD,AEの長さを腕力で求め、
AC：AD＝AB:AEをしめす。あと、∠BACは共通だし。

で解けるのでせうか？　　

略解だれかギボーン

>>114
実根＝実数解と思ってよい。

>>116
そうですか｡
ありがとう御座います｡
えーっと、今中間テスト中だけど明日日曜日なので>>110にだけ挑戦してみます｡

>>103
水平面と球との接点をOとする。
case1)B，CがOと異なる点のとき
�儖ABについて，方べきの定理よりOB*OB=AB*BD
三平方の定理よりOB*OB=AB*AB-OA*OA
∴AB*AB-OA*OA=AB*BDだからOA*OA=AB*(AB-BD)=AB*AD・・・�@
�儖ACについても同様にOA*OA=AC*AE・・・�A
�@，�AよりAB*AD=AC*AE
つまりAB:AC=AE:ADであるから�僊ED∽�僊BC
case2)BがOと一致し，CはOと一致しないとき
�僊EO∽�僊OCを示せばよいが，これはほぼ自明

>>110
(1)
f(x)＝x^3+x-8とおくとf(1)＝-6、f(2)＝2より
f(1)f(2)＜0で中間地の定理よりｆ(x)は少なくとも１つの実数解をもつ｡
また、
ｆ’(x)＝3ｘ^2＋1より
こうとう的にｆ’(x)＞0より
実数解は１つしか持たない｡
よって題意は示された(QED)

>>119
（２）たのんだぞ。。俺にはできん。

気になってねれん

>>110
(2)
(1)の解をｑ/ｐの形であらわせると仮定する｡
(ｐ、ｑを互いに素な整数)
このとき、f(x)＝0にｘ＝ｑ/ｐを代入して整理すると、
ｑ(ｐ＾2＋ｑ＾2)＝8ｐ＾3
ここでｐ、ｑは互いに素だから
ｐ＾2＋ｑ＾2がｐの倍数である事になる｡
ｐ＾2＋ｑ＾2＝ｍｐ(ｍは整数)とおけ、
変形すると
ｐ(ｍ−ｐ)＝ｑ＾2
ここでまたｐ、ｑは互いに素だから
ｍ−ｐ＝ｋｑ

ミスった・・・
>>122は解答じゃないよ・・・
間違って書き込みボタン押しただけだから・・・
しばしお待ちを・・・
ってか、こういう論証問題にがてなんだよな・・・
>>122は全然違うだろうし・・・

>118
ありがとう！
凄いなあ

ねえねえ、東大の学生証って何色なの？

>>125
白

＞１２６
ありがとうございます！
でも、なんでわかるんですか？
あなたは東大生ですか？

俺は浪人、受かった友人のやつをちらっとみただけ
多分白かったはずだ！！

>>110
>>122　α=q/p （p,qは互いに素な正の整数）とおく。
1<α<2より、p<q<2p、
ｑ(ｐ＾2＋ｑ＾2)＝8ｐ＾3 より、
qは8の約数である。
q=1は、ありえない。
q=2は、p^2 + 4 = 4p^3　だが、p>１なので
4p^3 - p^2 - 4 >= 4p^2 - p^2 - 4 = 3p^2 - 4 >= 3*2^2 - 4 >0
よって、q=2は、ありえない。
以下、q=4,8でも、同じように考えればよいはず。。

>>129
サンクス、（１）の利用は常套手段だけど
今回完全にわすれてたよ

>>110
(2)
(1)の解をｑ/ｐの形であらわせると仮定する｡
(ｐ、ｑを互いに素な整数)
このとき、f(x)＝0にｘ＝ｑ/ｐを代入して整理すると、
ｐ＾2(ｑ−8ｐ)＝ｑ＾3
ここでｐ、ｑは互いに素だから
ｑー8ｐ＝ｍｑ＾3(ｍ：整数でｐの倍数ではない)と置ける｡
・・・・・・・・・・・・わからん・・・・・・・・・・

やっぱ俺には無理！！
でも文理共通問題が解けないなんて屈辱的だ・・・
まあ今は中間テスト勉強しないといかんし・・・
途中で投げ出してすみません｡
またひまな時に・・・

>>129
qは８の約数なので、q=1,2,4,8を考えればよいが、
p<q<2p　を満たすpを考えると
q=1に対応するpは、ない、
q=2に対応するpも、ない、
q=4に対応するpは、3のみだが、q/p=4/3は解ではない
q=8に対応するpは、5,6,7のみだが、解ではない。

これにて、一件落着。。
で、qは８の約数というのは、桶？

>>129
どうも！！来年までにはこれくらい解けるようになっとかなあかんねんなぁ・・・｡
高校生向け整数論のいい本とかないかなぁ｡
ところで>>119の(1)はあってますか？？？

あらら>>132さんの解答でいいのかな｡シンプルでいい感じ｡

通りすがりで悪いですがｑが８の約数というの分からないんですが

>>133
>>119の(1)は、あってると思う。
整数論は、↓がオススメ。
http://www.interq.or.jp/student/suugaku/suuron/suuron.htm

>>110 の問題が予想以上に反響があって，うれしかったです。
プロイセンギブアップしてしまったので，解答を書きます。
(1) は>>119 の解で○。文系なら『中間値の定理より』はなくても
大丈夫でしょう。
まず，実根をαとおきます。これは0ではないので，α=q/p
(p,qは0でない整数で，互いに素)とおくことができます。 このとき，α^3+α-8=0より
q^3=p^2(8p-q)ですが，もしp≠±1とするとqとpは互いに素でなくなります。
よって，p=±1．このときαは整数となり，(1) に矛盾。
『一般にx^n+ax^(n-1)+・・・+k=0(x^pの係数はすべて整数)の解が有理数のとき
それは整数であり，かつkの約数(負のものも含める)である。』
これを題材にした問題で，01年の神戸大・理系や関西学院大・文理共通(F日程)
等で類題が出ています。

>>136
ありがとう御座います｡
これからまた色々勉強させて貰います｡

>>135
ｑ(ｐ＾2＋ｑ＾2)＝8ｐ＾3 　より、
8p^3 ／q は整数である。
もし、8/q が整数でなければ、
p＾3とqは互いに素でなくなってしまう。

なるほど、どうもです

ここでまた馬鹿な質問していいっすか？
>>137さんの
＞q^3=p^2(8p-q)ですが，もしp≠±1とするとqとpは互いに素でなくなります。
がいまいちわかりません・・・解説お願いします！！

>>141
q^3がp^2という因数を持つことになるだろうが。

ああなるほど！！逆に見すぎていたみたい・・・
どうも｡

方程式x^3+x-8=0について，
1) 唯一つの実根を1と2の間に持つことを示せ。
2) この根は無理数であることを証明せよ。 (67 京都大・文理共通)

2)
t＝q/p(既約分数)とすると、(q/p)^3−(q/p)＋8＝0 ∴q^3/p＝pq−8p^2 ...(1)
(1)の右辺は整数であるから左辺も整数。∴p＝1　この時tは整数となる。
f(X)＝X^3−X＋8 とおくと、X＝tはf(X)＝0の解であるから、
t^3−t＋8＝0⇔(t−1)t(t＋1)＝−8 ...(2)
(2)の左辺は連続3整数の積で3の倍数であるが、右辺は3の倍数ではないので矛盾。
よってtは無理数である。

正四面体Tと半径1の球面Sとがあって、Tの6つの辺がすべてSに接しているという。
Tの1辺の長さを求めよ。

age

1辺の長さが2の立方体X：ABCD-EFGHを考える。このときXにSが内接する。
さらに，頂点A，C，F，Hを結んでできる正四面体がTである。
よって，T＝2√2
ちなみに82 年東大の問題で，『次にTの外側にあって，Sの内部にある部分の体積を求めよ。』
という設問もあった。
こちらの答えは 8(9-4√3)π/27

四面体で、ＡＢ＝ｘ　ＡＣ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＤ＝5　ＣＤ＝4のとき、体積を
ｘであらわし、またその体積の最大値を求めよ。

昭和61年の文理共通問題の�@番。今年の�@番とよく似てる。

以前やったことありますが、解けませんでした。
正四面体の中心（重心）と、各辺の中点との距離が、球の半径でもあること
をイメージできればあとは高校入試問題なんだけれども。
そういうイメージ化の特別な練習が必要とされるんですよね。
立体問題のなかでも、非常に東大っぽい問題。

145の問題のこと↑

>>149
>>147が一番スマートで汎用性のある正四面体の扱い方なんだけど、
初見で思いつくのはまあ普通ちょっと無理ですね（笑）
Tの各辺が見事にSに接しているのを見取り図を正確に書いて*納得*
するしかない。
＞正四面体の中心（重心）と、各辺の中点との距離が、球の半径でもあること
＞をイメージできればあとは高校入試問題なんだけれども。
こっちが正攻法で初見の問題への接し方としてはいいのでは。

>>148略解：

辺CDの中点をM, 点Mから辺ABに下した垂線の足をHとすると、
MA＝MB＝√21, MH＝√(21−X^2/4), △MAB＝(X/2)√(21−X^2/4),
V＝(1/3)*△MAB*(MC＋MD)＝(1/3)*△MAB*CD＝X√(84−X^2)/3
Vは△MABが最大になる時、すなわち∠AMB＝90°の時最大となる。
この時、X＝2*(sin45°)√21＝√42, V＝√42×√42/3＝14 となり、
これが求める最大値である。

放物線y=x^2+3x-1上の相異なる2点が直線x+y=0に関して対称であるとき，
これら2点の座標を求めよ。 (1956年 2次・解析�T第一問)

＞153
（1、3）と（−3、−1）でいいのかにゃ？

>>154
正解。

>155
1956年とはすごいな。
昔のほうが簡単だったんですか？

>>145
なつかし〜！！今ごろまたこの問題に出会えるとは。
たしか中１の４月にやったYO!

xy平面上の各格子点を中心として半径rの円が描かれており，傾き2/5の任意の直線は
これらの円のどれかと共有店を持つという。このような性質を持つ実数rの最小値を求めよ。
(91年理科・前期)

ヒント：2m-5n=1となる整数(m,n)の組を1つ求めよ。

むずい？

数学板から
ｔａｎ（３π／１１）＋４ｓｉｎ（２π／１１）＝√１１を示せ

＞１６０
　まぢで手が出なひ・・・（鬱）

>>161
右辺が√１１→平方しなさいってこと。

age

I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
t=3π/11とする

　　　11t=3π
　⇔　6t=3π-5t
　⇒　sin(6t)=sin(3π-5t)　　←両辺のsinを取った
　⇔　2sin(3t)cos(3t)=sin5t　　←2倍角の公式
　⇔　2｛3sint-4(sint)^3｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^5-20(sint)^3+5(sint)　　←3倍角，5倍角の公式
　⇔　2｛3-4(sint)^2｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^4-20(sint)^2+5　　←(sint)≠0で割った
　⇔　32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0　　←(sint)^2=1-(cost)^2，x=costを使って整理した

以上よりx=cos(3π/11)は
32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0の解

(2π/11)=｛1-(9/11)｝π=(π-3t)より
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
　=tant+4sin(π-3t)
　=tant+4sin3t
　=(sint/cost)+4｛3sint-4(sint)^3｝
　=(sint/cost)｛16(cost)^3-4(cost)+1｝

I^2=(sint/cost)^2｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-(cost)^2)/(cost)^2｝｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝/x^2　　←x=cost

分子の｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝を
｛32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1｝で割ると
余りは11x^2
以上よりI^2=11x^2/x^2=11

一辺の長さ1の正四面体の無限遠からの光によってできる
影の面積の最大最小値を求めよ、って難問だよね（S63年理系）。
結局どう解くのが実践的かつエレガントなのかなあ。

ごめん、正四面体じゃなくて立方体だったかも。

＞166
正四面体。
鉛筆２本つかって、ＡＢとＣＤにみたててクルクル回転させてみれ。

>>165
大学への数学でも超難問と評している。特に最小値は
厳密に正答を導けた人は皆無と思われ。
図を書きながらでないと説明がしにくいので詳細は書かないよ。
最近の東大は以前ほど高度な空間図形の感覚を必要とする問題は出されていない
(空間図形の問題が出ていないというわけではない)。

age

99，00，01年の複素数の問題は，どれも簡単ではないけれど，傑作だ。
東大の問題は良問が多いけど，図形的色彩が強いせいか掲示板では
表現しにくいね。

(x+11)(x-1)の1の位を四捨五入すると10xになるような，自然数xを求めよ。

>>165-168
正四面体は平面に接してるの？
それとも空間上の適当な場所に置けて、そして下の平面にある影の
面積を求めるの？前者だと最小値は正四面体に隠れている部分除けば0に出来ちゃう気が…

影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど、どこで勘違いしてるんだろ…

>>171
原文を紹介します。
空間内に平面αがある。1辺の長さ1の正四面体Vのα上への正射影の
面積をSとし，Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小
値を求めよ。
ただし，空間の点Pを通ってαに垂直な直線がαと交わる点をPの
α上の正射影といい，空間図形Vの各点のα上への正射影全体が
つくるα上の図形をVのα上への正射影という。

>最小値は正四面体に隠れている部分除けば0に出来ちゃう気が…
この場合、影の面積＝正三角形だと思う。

＞影の面積いくらでも大きく出来るように思えるのだけど
光源が無限遠なので、光は平行にさしこむので、広がらない。

でどうよ？

age

正四面体がある。平面と接している3つの辺のひとつを選び、これを軸
として正四面体を倒す。ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が
再び平面と接する確率を求めよ。（９１年理系�@番）

>>175
そりゃ簡単ね

平面上において，2定点A，Bを両端とする任意の円弧の3等分点のうち，
Aに近いほうの点の軌跡を求めよ。(1958年理科，看護衛生科)

age

agemasu

＞わかんない
まじ？？凄いね。あんたは天才だ〜。
いやならいいんだけどさ〜、テイラー展開とはいったい
どうやって生み出されたか説明してみて？センスが光る解答望。

東大入試４３年の軌跡買ったぞ。

>>180
x=aでn回微分可能な関数f(x)と多項式g(x)について，
f(x)の1回微分＝g(x)の1回微分
f(x)の2回微分＝g(x)の2回微分・・・・・・・・・・・・・・・
で，n回微分したものまでが(x=aで)一致するようにg(x)を定める。
これが大元だった気がする。

【96 後期】
nを正の整数とし，n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。ただし，
1個のボールも入らない箱があってもよいものとする。以下に述べる4つの場合に
ついて，それぞれ相異なる入れ方の総数を求めなさい。

(1)　1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，A，B，Cと区別された3つ
　の箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(2)　互いに区別のつかないn個のボールを，A，B，Cと区別された3つの箱に入
　れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(3)　1からnまで異なる番号のついたn個のボールを，区別のつかない3つの箱に
　入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。
(4)　nが6の倍数6mであるとき，n個の互いに区別のつかないn個のボールを，区
　別のつかない3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか。

>>168
大学の発表によるとこの問題の満点者はいなかったとのこと

00 年慶應大・理工の3番も満点者ゼロ。
教授が『受験生に勝った』と祝杯をあげたらしい・・・・・ｵｲｵｲ

だいぶ止まっているみたいなんで，東大以外の問題。

3辺の長さの和が2である直角3角形の
面積のとりうる値の範囲を求めよ。

俺は二次関数で解いた
受験問題懐かしい
受験生頑張ってくれ

>>183
その問題めんどくさいだけ
でも良問
受験生は頑張って解いてみよう

東大スレはAGEなければならない宿命にある。

age

>>181
どこで売っているの？

１８５なんですけど三辺の値をａ，ｂ，cとして
Ｓ＝１／２ａｂの式にａの値を代入して二次方程式
を作って答えを求める以外の方法が思いつかないんですけど
他に何か別解ありますか？会ったら教えてちょ

>191
過去ログみれ

＞１９２　斜辺の長さをＬとおいて、直角で内角のひとつをθとおけば
　　　　　変数が二つで済むはず。

↑間違った
　
　　直角で内角→直角でない角

例の98後期三番のURL
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/8.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/9.gif
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem/t2/math/10.gif
（2）は捨てるべき問題だそうです。

3辺の長さの和が2である直角3角形の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。

もとは同志社大・商の問題です(原題は，3辺の長さの和が1)。
3辺の長さをa,b,c(a≦b<c)とおくと，a+b+c=2,a^2+b^2=c^2
より，a+b=2-c,ab=2-2c
また，ab=2Sだから，2-2c=2Sよりc=1-S (>b≧a)
よって方程式 (x-a)(x-b)=x^2-(S+1)x+2S=0
が0<x<1-Sに2解(重解でもよい)を持つ範囲を求めればよくO<S<3-2√2

正12角形の4つの頂点を結んで得られる四角形はいくつあるか。
また，そのうち正12角形と辺を共有しないものはいくつあるか。
ただし，回転移動により重なる四角形は区別しない(つまり，円順列)。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/301-400
数学板にある面白いスレ。

横槍ですみません　ｱﾝﾄﾞ　200ゲット！！
http://saki.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1004256280/
について教えて下さい！！

>>200
どの質問かよくわからないが，炭酸水素ナトリウム云々も石鹸云々もおいらには
よくわからん。
数学と違って化学は専門知識がないと答えられないことも多い
(考えればできるというレベルを超えていて知らないと無理，というものが少なくない)
ので，学校とか塾の先生に聞いて見るのがよいと思う。

みなさん、難問にはお詳しいでしょうが、ここらで、東大なのに「この問題は
易しい！」というのがありましたら、お教えくださいませんか？
これから東大めざす高1、高2のためにも。。

私の場合、今年の文系３番、3次関数の最大には勇気づけられました。

01年文理共通�@ → 高校入試レベル
00年理系�D → 普通に数えるだけ。
99年理系�@ → これができない人は高校卒業しちゃダメでしょ。
(でも，加法定理の証明自体はかなりテクニカルで，はじめに思いついた人はすごいかも)
東大･京大の理系だって半分は標準問題。でもって，これらが全部解ければ合格ライン。

age

age

age

沈下防止

東大の問題はだいぶ飽和してきた感じなので，別大学の問題で失礼いたしますよ。

楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1に4点で外接する長方形がある。
この長方形の面積の最大値を求めよ。（９８ 慶應大・理工）

age

全然関係ない質問！

今度の数学新課程って、いつから開始なんですか？

どんなところが新しくなるんですか？

そういう情報って、どこで調べられるんですか？

>>210
文部科学省のホームページ見れば？

＞208
慶応・理工
むむむ．．．？？？
0<a、0<bとする。
ｙ=kx、y=-x/k（0<k）
と楕円の第一象限、第ニ象限の交点A、Bの座標は
それぞれ、（ab/√（a^2k^2+b^2），abk/√（a^2k^2+b^2））
（-abk/√（a^2+b^2k^2），ab/√（a^2+b^2k^2））
求める長方形の面積をS（k）とおくと
S（k）=4OA*OB（※ここが一番あやしい。原点から接点を結ぶ線分と
その点での接線、つまり楕円に外接する長方形の一辺が直交するか？
k=0なら図示すると明らかに成り立つけど。また円ならば当然成り立つけど。）

よってS（k）=4a^2b^2（k^2+1）/√（（a^2k^2+b^2）（b^2k^2+a^2））
S’（k）=・・・・・
S’（k）=0とおくと
（a^2b^2+b^2）（2（b^2k^2+a^2）-b^2（k^2+1））-a^2（k^2+1）（b^2k^2+a^2）=0
k=maxk
増減表よりk=maxkで極大かつ最大より、S（maxk）=？？？

>>212
はげしいうそを書かないように。なんならものすっごくつぶれた楕円を想像するべし。

age