【極東】ゲーム理論

Ａ、Ｂ、Ｃと３人の人がいて、それぞれ風船を１つずつ持っている。
３人はダーツによって、相手の風船に攻撃を加えて
最後まで自分の風船を割られなかった者が勝ちというゲームをやる。
攻撃は誰かに対して１度に１回ずつ行われる。
一人が同時に２人にダーツを投げることはできない。

ただし、ダーツの腕がそれぞれ違っていて
Ａは５回中４回（８０％）、Ｂは５回中３回（６０％）、Ｃは５回中２回（４０％）
の確率で、狙った相手の風船に命中させられる。

さて、最終的に勝つのは誰だろうか？
そしてそれは何故だろうか。

（例えば、Ａ＝日本、Ｂ＝中国、Ｃ＝韓国、とする）

地球市民

日本は攻撃できないでしょ
韓国と中国から集中攻撃をうけ　かつ　反撃できない日本の負け
というか生産業でゲームしたら？

ランチェスターの法則か？

ランチェスターの法則だったら、日本の圧勝でしょ。
そうでなくて・・・
これが完全情報・完備情報で同時手番ゲームとして・・・
ＡＢが潰し合ってＣが生き残るかな？
よくわからん。
１さん、答えプリーズ

1さ〜ん！

ＢとＣが組んでAを狙った場合、

ＢかＣどちらかが投げたダーツがAの風船に当たる確立は

１−（１−０．６）＊（１−０．４）＝０．７６＝７６％

Aはより強いＢから狙うとして、４％程Aの方が有利かな。
んで、その後Ｃを始末。

よりAが勝率を上げたいなら、Ｂに対して「一緒にＣを狙おう」と誘う。
勝負の時になったら、AはＣではなく、Ｂを潰す。（つまりＢを裏切る）
Ｂを始末した後に、Ｃを始末する。

しかし、>>1氏の設定では、ＡＢＣそれぞれが、お互い及び自分のダーツの腕を知っている
かどうかが不明だな。

>>7
Ｃだけ自分の実力を知らないと思われ

>>7
反論してほしいのですが、Ｂの５回中３回とＣの５回中２回を合わせると１０回中
５回で５０％にならないのでしょうか？

ＢとＣの試行はそれぞれ独立してるから、足し算じゃダメだと
思いますよ。

>>9
それは、計算の仕方が違います。
わかりやすく、例を作ってみましょう。
Ａ，Ｂ，Ｃの確率はそのままで、
Ａの風船に、Ｂ，Ｃがダーツを投げるとします。
Ｂがまず投げるとすると、「あたらない確率」は
４０％ですね。
Ｃが投げます。［あたらない確率」は
６０％ですね。
Ａの風船が生き残るためには、Ｂのダーツから生き残った上に、
Ｃのダーツからも生き残らねばなりません。
即ち、４０％の確率で生き残った上に、さらに６０％で
生き残らねばなりません。故に生き残る確率は、２４％なのです。
と、いうことは、Ｂ，Ｃいずれか、あるいは両方のダーツが
あたる確率は、７６％になるのです。

ダーツがポイントです。
結果的には勝つのはＡ（日本）。
なぜなら、
Ｂ（中国）のダーツはmade in chinaなのでまっすぐ飛ばない。
Ｃ（韓国）のダーツはアメリカからもらったものなので
大きすぎて韓国人には投げられない。
ちがいますか、１さん？

>>12
made in koreaのダーツを韓国人が使うと、手の中で爆発したりして

>>12
それはゲーム理論ではない・・・

韓国人なら生えてくるから大丈夫

こういうことですね。
Ｂにとっての５回とＣにとっての５回というのは確率が違うためにそれぞれ
にとっての存在価値（？）も違ってくるのでそのまま足したらおかしい。

>>14
アメリカから見れば黄色人種がどうこうなるのはゲームでしょ？
黄色い猿に経済理論はわかんないYO!

>>16
まあだいたい当たり。
でも存在価値は似たようなもの

日本の風船だけ特殊加工で割れないように作られていると思う。

>>17
ゲーム理論は数学の一分野でしょ。

経済じゃないの？

http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Bull/6161/
ここはおもしろいよ。

>>16
公正なサイコロを2回振って、2回とも１が出る確率は？
次に、２回とも１が出ない確率は？

数学でしょ。囚人のジレンマとか。

>>23
１／３６と３５／３６

日本が中韓いずれかを狙うと「侵略ニダ！」等とわめき立て
日本は攻撃できない。
韓国は迷わず日本を狙う。
日本がそのダーツを打ち落とす。
「何するニダ！？」「専守防衛……」
中国はその隙に韓国を攻撃し、成功。
次の目標は日本だが、韓国がやられたことによってやっと危機感に
目覚めた日本と本気で戦うと、確率上負けは見えている。
結局、撃たないで恩を売った方がいいと判断し両者勝利でノーサイド。

ハン板にスレ立てたのはこういう回答が欲しかったからだろうかと推測。

>>25
後者が違う。

数学に心理学が合わさっているらしい。ちなみに創始者は
ジョン・フォン・ノイマン。コンピュータで有名な人。

>>25
5/6*5/6で25/36じゃないの？

>>20
数学の理論かもしれないけど、おもに活用されているのは
経済分野でしょ？

>>21
経済学で出てきたし、経済学で使われるけど、
数学の一分野を構成する。ノイマンもナッシュも、
どっちかってーと数学者的だし。
それに、社会学や経営学でも使われるね。
動学ゲームなんかは数理生物学でも使われる。

経済学部でーす。
ゲームの理論はやったことあるなー。

なるほど。

ノイマン型コンピュータのノイマンか。
現代コンピュータの父で大量破壊兵器開発の虐殺者

>>30
数理生物学では、トレンドのようだ。
進化ゲームなんて、流行りだね。
もっとも、理系のゲーム論のテキストは、
経済学のそれとは到底同じものとは思えないほどでは有るが・・・。

>>31
ところで、ゲーム理論って不確定な要素をもとに
妥当性のある解を導くとかなんとかいうやつでしょ？
元が不確定なのに、それを理論化しようとするのって
考えついたジョンさんは物好きだよね

>>25
1/36，25/36が、正解。

>>35
DNAと環境与えて食い合いさせる奴？

>>36
というか、相互連関的意思決定というべきか。
不確定なものを理論化しようとするのは、
当時の科学全体の流れでしょ。

>>37
御講義ありがとうございます。高校時代のものを全て忘れております。

面白かったのでコピペしておきます。

ゲーム理論は、数学者のフォン・ノイマンが２人ゼロサムゲームの基本定理を証明した
ことに始まる学問です。お互いに影響を与え合う場で自分の利益を追求する行動（戦略）
は、本質的に室内ゲームと同じである、という認識から「ゲーム理論」と呼ばれる
ようになりました。だからゲーム理論は行動科学であり、心理学とはお隣りさんと
いえるとおもいます。ノイマンは室内ゲームに利害対立の原型があると気付きました
。そして同じような利害対立が、政治、経済、戦争、日常生活においても起こること
に気付いたのです。

第２次大戦中、フォン・ノイマンといっしょに仕事をしていたある学者が、ノイマンに
こう言いました。「つまりチェスのようなゲームの理論ですね。」ノイマンはこう答え
ました。「いやいやチェスはゲームじゃありません。チェスというのは、明確に定義
された計算の一形式なのです。実際に答えを出すことはできないかもしれないが、理論的
には、どんな状況でも、ある一つの解、つまり「正しい手」が存在するはずです。」

つづけて、「それに対して本当のゲームというのは全然ちがいます。現実の生活はそう
いうものではないんです。現実の生活は、はったりや、ちょっとしたごまかしの駆け
引きや、こちらの動きを相手はどう読んでいるのだろうかと考えたりすることなどから
成っています。そして、これこそが、私の理論で言うゲームなんです。」

はったりや駆け引きと聞くと、ゲーム理論は心理学の一分野と考える人もいるかも
しれません。しかしノイマンの考えたゲーム理論は、れっきとした数学でした。なぜ
人間の行動や、人間の利害の対立を扱うのに、心理学でなく数学なのでしょうか。
それは、ゲーム理論が「完全に合理的なプレーヤー」を想定しているからです。だから、
厳密に数学的な解析ができるのです。

>>38
そういうシュミレーションもあるけど、もっと単純に、
ロトカ・ボルテラ方程式なんてのも数理生物学の
基本的動学ゲームだね。その応用で、量的遺伝の力学系なんかもある。
経済学でも、グッドウィンが応用してたね。

なんだかえらい高等なお話になってるけど…
ハングル板にこんな場が生じた結果、
ゲーム理論的にはどうなるのでしょうか？

一つだけ確かなことがある、それは生き残る最大の要因は自分以外
の者で当てる確率が最大の者を攻撃すべきだということ。
そう言う意味では第一回戦では確かにＣが生き残る可能性は強い、
しかし生き残ったＡ若しくはＢと次に対戦する時に滅ぼされる確率
は強くなる。
基本的に先攻する確率が各３分の１だとすると。
ＡはＢを攻撃するから
Ｂの生き残れる確率は２／３＋１／３×０．２＝１１／１５
Ｂ若しくはＣはＡを攻撃するから
Ａの生き残れる確率は１／３＋１／３×０．４＋１／３×０．６
＝１０／１５
Ｃは攻撃されないので１
但し上記はＡ若しくはＢのいずれかが負けるまで繰り返されるから
実際は
Ａは１０／２１
Ｂは１１／２１
で次に生き残った方とＣとの対戦で
Ａ対Ｃなら当たる確率が２対１なので
Ａは２／３
Ｃは１／３
これに先の確率をかけて
Ａは２０／６３（１００／３１５）
Ｃは１０／６３（５０／３１５）
次にＢについて同様に
Ｂは３３／１０５（９９／３１５）
Ｃは２２／１０５（６６／３１５）上を加えて（１１５／３１５）
かな

リミットサイクルが発生する（ｗ

途中で切れたので結論だけ
Ａは１００／３１５
Ｂは９９／３１５
Ｃは１１５／３１５
かな

>>47、>>49
間違った
Ｃは１１６／３１５

てか、このスレ立てた人はどこ逝っちゃったの？

>>47
同時手番ゲームだとすると、
２ループ目終わった時点での
Ａの生存確率は
(0.24＊0.24)＊0.24＊0.2＋(0.24＊0.6)＊0.24＊0.8＝0.0400128
同様に、
Ｂの生存確率
0.02016
Ｃの生存確率
0.7552
で、Ｃの生存確率がダントツのように思えるのですが。
（自信なし）

>>52
それだと、その時点での生存確率の合計値が１にならないのでは。
単純化して考えれば、風船が割れなかったループは何も起こらな
かったゲーム自体が成立しなかったと考えてはいけませんか。

>>53
同時手番ゲームですから、全員死亡でも良いわけです。

>>53
というか、同時手番か否か以外にも、ルールの解釈に相違があるようですね。
まず、完備情報・完全情報ゲームということは、いいですね。
次に、1回で三人がそれぞれ1回ずつ投げられるのか、
三人のうち、一人しか投げられないのか、どちらですか？

>>55
それは１に聞いてください、と言っても遁走しましたが。
>攻撃は誰かに対して１度に１回ずつ行われる。
>一人が同時に２人にダーツを投げることはできない。
これを読むと、誰か特定の人に１回行われると読めます。
とすると、その時点では攻撃する者、攻撃される者、局外者という
構成になると思います。

>>56
でも、それやると先攻確率だとか、わけわからん
要素がいっぱい出てくるんですよね・・・・
それに、あまりハッキリした結果に収束しないし。
つーか、１自体、よくわからずに書いたのかなあ・・・

同時攻撃ルールだとして、かつ
BとCが同盟を結んでAを攻撃する。AはBを優先して攻撃するとして、

初回の攻撃終了後、
・AがＢに勝利（Aの攻撃は当たり、Bの攻撃は当たらない）
０．８＊（１−０．７６）＝０．１９２
・B、CがAに勝利（Aの攻撃は当たらず、Bの攻撃は当たる）
（１−０．８）＊０．７６＝０．１５２
・AとBが相互破壊（A、Bともに攻撃が当たる）
０．８＊０．７６＝０．６０８
・次のターンへ（A、Bともに攻撃が当たらない）
（１−０．８）＊（１−０．７６）＝０．０４８

2ターン目では、それ自体が存在する可能性が０．０４８であるから
・Aが勝利　０．０４８＊０．１９２
・Bが勝利　０．０４８＊０．１５２
・相互破壊　０．０４８＊０．６０８
・3ターン目へ　０．０４８＊０．０４８

結局、Aの勝利の可能性は
０．０４８のｎ乗＊０．１９２（ｎは０以上の整数）
の総和となる。
Bの勝利の可能性、及び相互破壊の可能性も同様。

実際に計算してみると、それぞれ
A勝利　０．２０１６８１
B勝利　０．１５９６６４
相互破壊　０．６３８６５５

AがBに勝利し、Cと戦う場合も同様に算出すると
Aが勝利　０．５４０５０４
Cが勝利　０．０９１８９９
相互破壊　０．３６７５９７

Aが敗北した後、BとC同士が戦うとするなら
Bが勝利　０．４５８０１７
Cが勝利　０．２０７５９７
相互破壊　０．３３４３８７

BとCが戦う場合、最終勝利条件とその確率は
A＝Bに勝利し、さらにCに勝利する　０．２０１６８１＊０．５４０５０４＝０．１０９００９
B＝Aに勝利し、さらにCに勝利する　０．１５９６６４＊０．４５８０１７＝０．０７３１２９
C＝3パターンある
１）Bに勝利したAに勝利　０．２０１６８１＊０．０９１８９９＝０．０１８５３４
２）Aに勝利したBに勝利　０．１５９６６４＊０．２０７５９７＝０．０３３１４６
３）AとBが相互破壊　０．６３８６５５
Cの勝率はこれらの総和　０．６９０３３５

他のパターン
ａ）Ｂに勝利したＡとＣが相互破壊　０．２０１６８１＊０．３６７５９７＝０．０７４１３７
b）Aに勝利したBとCが相互破壊　０．１５９６６４＊０．３３４３８７＝０．０５３３９
すなわち全滅パターン。　０．０７４１３７＋０．０５３３９＝０．１２７５２７

・・・一応、それぞれ総計１になるし間違ってはいないと思うんだけど。採点ｷﾎﾞｰﾝ。
結論＝C圧倒的有利

>>60
私の>>52と、同じ計算のようですね。