数学の定石でも淡々と挙げていくスレ

次数下げ：
x=2+√3 のとき
(x-2)^2=3 ∴ x^2=4x-1
∴ x^3=x･x^2=4x^2-x=15x-4
∴ x^4=(4x-1)^2=

…
よってこの場合、どんなxの整式も、xの一次式で表せる。

次数下げ(2)：
(x^2)-4x-1=0 のとき
(x^4)-(5x^3)+(4x^2)-x+2
=(x^2-x+1)(x^2-4x-1)+2x+3　(わり算)
=2x+3

どんな整式も、条件式より1次以上小さい整式で表せる。

>>2の応用例
f(x)をf'(x)で割った商をQ(x)，あまりをR(x)とすると

f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)

f(x)が極値を取るxをαとすると、
f(α)=R(α)


x^n を (x^2)-(a+d)x+(ad-bc) で割った余りを px+q とすると、
行列A(=([a b],[c d]))のn乗は pA+qE

整式のわり算：
整式P(x)を (x-a)^k で割るとき、
P(x)=Q(x)(x-a)^k +R(x)
などとおいても条件が不足してしまう。

このときは、両辺をk-1回微分すると条件が揃う。

または、
x^n=((x-a)+a)^n
とおいて右辺を2項展開する。

(1) [n]C[r]=[n-1]C[r]+[n-1]C[r]

(2) k[n]C[k]=n[n-1]C[k-1]

どちらも、定義から容易に証明可能。(1)はパスカルの三角形。

反復試行の期待値：
確率p(0＜p＜1)で起こるのをn回やったときの期待値は、

�納k=1→n]k[n]C[k](p^k)(1-p)^(n-k)
=�納k=1→n]n[n-1]C[k-1](p^k)(1-p)^(n-k)
=np�納k=1→n][n-1]C[k-1](p^(k-1))(1-p)^(n-1-(k-1))
=np(p+(1-p))^n　(二項定理)
=np

△ABCの内部に、
aPA+bPB+cPC=0
をみたす点Pがあるとき
△PBC：△PCA：△PAB=a：b：c

age

微分積分学の基本定理というのは、微分と積分が反対の操作だと
言ってるようなものなのです。
冬になって、猫さんがこたつでがくがくぶるぶるにゃ〜にゃ〜ふるえていても
反対に犬さんは元気にかけまわっていますです。
つまり、微分積分学の基本定理というのは猫さんと犬さんの関係みたいなものなのです。
この定理の証明は難しすぎてボクにはわかりませんですが、ニュートンさんが見つけたみたいです。

（りんごを落ちるのを眺めていられるくらい暇だから見つけたのかしら）

み〜☆

覚えていそうで忘れてる恒等式：
a^3 +b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)

ちなみに、右辺の第2因数は
(1/2)((a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2)
と因数分解できる。

n乗
→(1) 二項定理
→(2) 次数下げ
→(3) 数学的帰納法

簡単に言うと
F(t)を関数f(x)と軸とx=tで囲まれた面積の関数にすればx〜x+hの範囲で
(fの下限)×h<F(x+h)-F(x)<(fの上限)×h
なのでh→0のときf(x)＝F'(x)になるのですよ

1/6公式：
2次関数のグラフと直線との交点のx座標をα，β（α＜β）とすると、2つのグラフで囲まれた面積Sは

S=(|a|/6)(β-α)^3　（aは、2次関数の2次の係数）

（証明）
S=∫[α→β]|(放物線)-(直線)|dx
=-|a|∫[α→β](x-α)(x-β)dx
=-|a|∫[α→β](x-α)((x-α)+α-β)dx
=-|a|∫[α→β]((x-α)^2+(α-β)(x-α))dx
=-|a|[(1/3)(x-α)-(1/2)(β-α)(x-α)]
=(|a|/6)(β-α)^3

1/3公式：
2次関数の2次の係数をaとする。こいつと、こいつのx=αにおける接線、直線x=βで囲まれる面積Sは

S=(|a|/3)|β-α|^3

案の定読みにくいage

この図、素敵すぎる
ttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Circle-trig6.svg

x^2-y^2=t^2(t＞2)がただ一組の自然数解をもつならば自然数t=nまたはn/2が素数である

定石がどうか分からないが…
漸化式が与えられた時の証明はだいたい帰納法でおk。
整式ｘ^2+ｘ+1が与えられた時にはｘ-1掛けてから使ってみると良い。

３辺がわかってたら一瞬で内積がわかる
　
by余弦定理

ｆ,ｇ,ｇ',いつもやるのはｆの積分ヽ(*｀Д´)ノｵｰﾝ

x+y=u、xy=v とおくとき

x,yが実数 → u,vは実数
逆は成り立たない。

解と係数の関係より、x,yは、2次方程式 t^2 -ut+v=0の2解なので、

x,yが実数 かつ u^2 -4t≧0 ⇔ u,vは実数。

＞x,yが実数 かつ u^2 -4v≧0 ⇔ u,vは実数。
任意の実数u,vについて u^2 -4v≧0が成り立つことになるが・・・

いじわるしてスマン
x,yが実数 ⇔ u,vは実数かつ u^2 -4v≧0

Ｎ人で、そのように有限組み合わせにより組まれたじゃんけんをすれば、
必ず少なくとも一人がＮ−１連勝する。

証明不可能。

３人でじゃんけんする。Ａ，Ｂ，Ｃとする。ＡとＢが戦う、Ｂが負ける
ＢとＣが戦う、どちらかＸが勝つ。ＡとＸが戦う。どっちかＹが勝つ。
よって少なくとも一人の２連勝は確実。

>>22
ごめんなさい。間違えた。


>>23
試してないけど鳩ノ巣っぽい

>>23
嘘乙
四人で試せよ

英文を無理やり訳した感じだな、こう言いたいのか？

N人が2人ずつ（ジャンケンで）対戦する。1回の対戦は勝負がつくまで行う。
有限回の対戦で、少なくとも一人がN-1連勝するような組み合わせ方が存在する。
（但し、組み合せは勝敗を考慮して良いとする）

証明は難しくない

「判断枠組」を駆使すれば、定石など不要である。

>>25
ＡＢＣＤでトーナメント、２連勝αを作って保留
敗者ＸＹＺで2連勝は3人のとき可能なので、2連勝βを保留
αとβで対戦、一連の流れにおいて、α、βの勝者をγとすると
必然的に３連勝が可能となった。

>>26
ただの数学的帰納法なのかな？

センター１週間をきった今こそ盛り上がるべきだろ

参考書売買スレッド Part8
　http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651
▲8▽いつまでも頭が子犬臭い▽9▲
　http://gimpo.2ch.net/test/read.cgi/body/1203251901/

役に立つかもしれないから貼っておく
http://www42.atwiki.jp/center-techniques/pages/26.html