頂決５

こっそり復活

◆zG/7H9PYXU
A,Bの2人がA,B,A,B…の順序で交互にサイコロを1回振り以下の規則により
勝者を決める
Aが出した目の合計が7の倍数ならその時点でAが勝者になる
Bが出した目の合計が3の倍数ならその時点でBが勝者となる
勝者が決まった時点でゲームは終了する
この時ゲームが終了するまでにAとBがサイコロを振った回数の和
の期待値を求めよ


◆lnkYxlAbaw
長さ2の線分ABを直径とする円をCとし点AにおけるCの接線をlとする。
A,Bと異なるC上の点Pに対してl上の点Qを直線ABに関してPと反対側に
AQ=APとなるように取り直線PQとCとのP以外の交点をRとする。
PをAに限りなく近づける時の2線分PR,QRの長さの比PR/QRの極限値を求めよ。


◆S.yLPx8XYM
点a(a>0)から一方向に向けられた光線がC:y=x^2上の点Pで反射して
x軸に平行に進みC上の点Qで反射してAに戻った。このようなことが
起こる時aの取り得る値の範囲を求めよ。
a≧1/2なら#a≧1/2


◆wFNoUXQp9E
原点をOとするxy平面上に2つの動点P,Qがある。
点Pは直線x=1上を(1,0)から(1,√3)まで動く。また点Qは線分OP上に
あってOP・QP=1を満たしながら動く。この時線分PQが通過する部分の
面積はア*π-イとなる。
ア=1/2,イ=√2/3なら#1/2√2/3


◆nIOwdokSKc
正四面体ABCDの頂点から頂点に動く点Pがある。1回の移動で点Pは隣り合う
3頂点のいずれかを等確率で選んで移動する。点Pは最初点Aにある。
点Pが6回の移動後に点Aになくかつこの間に点Aに戻ることが1回だけある
確率を求めよ。


◆QOSbv3rFPM
正四面体ABCDの頂点から頂点に動く点Pがある。1回の移動で点Pは隣り合う
3頂点のいずれかを等確率で選んで移動する。点Pは最初点Aにある。
7回の移動の間に点Pが点Aに戻ることがちょうど2回ある確率を求めよ。


◆35A0PmWHQE
xyz空間内に3点P(3,0,3)Q(5,2,4)R(4,3,5)を頂点とする不透明な
三角形の板Tがある。また平面z=6上にあって点(0,0,6)を中心とす
る半径2の円周をCとする。C上を動く光源Lによってxy平面上にでき
るTの影の面積Sの取り得る値の範囲はアイ-ウ√エオ≦S≦アイ+ウ√エオ
となる。ア〜オには半角数字。


◆J1BFdraceo
初項1,公比r(1<r<2)の等比数列がある。この数列において第2^k+1項目で
初めて2^lとなる正の整数lが存在するという。公比rの値は何通りあるか。
ただしkは定数で正の整数とする。3^(k+2)通りなら#3^(k+2)

◆fk7S0LHlac
xy平面において曲線y=x^2をCとしC上に点A(2,4)がある。この時次の(条件)
を満たす正方形の個数を求めよ。
(条件)Aを1つの頂点とし残りの3つの頂点のうちの2つはC上にあり1つは
領域y>x^2に含まれる。
1個なら#1個


◆Bdb5ivoW.Q
xy平面上に点A(1,0),円C:x^2+y^2=3がある。C上を2点P,Qが∠POQ=90°を
満たしながら動く時√アイ/ウ-√エ/オ≦AQ/AP≦√アイ/ウ+√エ/オとなる。
ただしPをOの周りに正の向きに90°回転した点がQであるとする。
ア〜オには半角数字。


◆OKLFcr8e5s
底面の半径が1,高さが1の直円錐Kがある。Kの頂点をA,底面の円の直径の
1つをBC,円の中心をOとし底面の円周上のB,C以外の動点Pを取り直線APに
Bから下ろした垂線の足をQ,直線ABにPから下ろした垂線の足をRとする時
四面体OAQRの体積の最大値はアイ√ウ/エオカとなる。ア〜カに半角数字。


◆VQKJgiezS6
原点Oから出発して座標平面上を動く点Pは1秒毎に確率p(0<p<1)で↑a=(1,1)
確率1-pで↑b=(1,-1)動くがPのy座標が2または-2になった所で静止する。
静止した時のPのx座標の期待値の最大値を求めよ。
0<r<1の時lim(n→∞)n*r^n=0となることは証明なしで用いてよい。


◆6zsldeDOfM
xyz空間内で点A(2,1,0)B(1,3,1)を両端とする線分ABをz軸を中心に1回転
させた曲面を側面としxy平面を底面とする容器を水で満水にした後底面に
多くの小穴をあけて水を流出させる。穴をあけて37秒後の水深は1/4であった。
水が全て流出するのは穴をあけてから何秒後であるか。水の減る速さは水深
の平方根に比例するものとする。50秒後なら#50


◆1d/WMhUu8o
正6n角形の頂点から3頂点選ぶ時ア*n^3+イ*n^2+ウ*n+エ個の鈍角3角形ができる。
ア=2,イ=-3,ウ=0,エ=4なら#2-304


◆nHSBHca7mg
Σ(k=1〜2008)〔√k〕の値を求めよ。
ただし〔x〕はxをこえない最大の整数を表す。


◆zYw2kV5VjM
正三角形ABCの外接円Kの劣弧AB上を動く点Pが限りなく点Bに近づく時
(AB-AP)/BPの極限値を求めよ。


◆xV20yXKmGQ
1〜2008の数字が1つずつ書かれた2008枚のカードを1つの袋に入れる。
この袋から無作為に1枚のカードを取り出してまた袋の中に戻す操作を
奇数が書かれたカードを取り出すまで続ける。この時取り出されたカード
に書かれた数字の最大値がkとなる確率の最大値を求めよ。

◆t11zgaSFtY
1〜100までの整数から異なる4個を選んで等比数列を作る時その選び方は
何通りあるか。


◆ERC7M7MQDA
3個の電球が横一列に並んでいる。はじめ電球は全て消えており次の操作
を繰り返し行う。
(操作)3個の電球から無作為に1個の電球を選びその電球をついた状態にし
その電球と隣り合う電球を消えた状態にする。
この操作を10回行った時ついている電球の個数の期待値を求めよ。
n回の時はア-イ^nの形、ア=1/2,イ=2/3なら#1/2,2/3


◆kL6.SYhKhs
１つのサイコロを４回振り、出た目の数を左から小さい順に並べ替えて、
４桁の自然数を作る。例えば、
目が(出た順に)3,2,1,4→1234
目が(出た順に)4,1,2,3→1234
目が(出た順に)3,2,2,3→2233
このとき偶数が作られる確率を求めよ。
答はA/Bの形で #AB(半角数字)


◆VENk5mkP7Y
原点Oと点A(1,0,0)B(0,2,0)C(0,0,3)を結ぶ線分OA,OB,OCを3辺とする
直方体をRとし原点Oを通る任意の平面をHとする時RのH上への正射影
の面積の最大値を求めよ。


◆6zsldeDOfM
1ｇから40gまでの、1ｇの整数倍の質量を持つ任意の物体を、
天秤を１回だけ使って1ｇ単位で量りたい。このとき一方の皿
に物体を、他方におもりをのせて、つり合わせて量る方法Aと、
物体をのせる皿にも、おもりをのせることを許す方法Bがある。
方法Aと方法Bで用意すべきおもりの個数の最小値を、それぞれ
aとbとしたとき、(a , b)を求めよ。
#ab　半角数字


◆mRmDAlrPSo
3つのサイコロA,B,CがありAには各面に1〜6までの整数が書かれている。
B,Cには必ずしも1〜6までの整数が書かれているわけではないがそれぞれ
6つの面には全て異なる整数が書かれている。3つのサイコロを振る時2個
のサイコロの目が同じで他の1個の目がそれとは異なる確率の最大値を求めよ。


◆1G3L1evusA
OP+OQ=√2を満たすようにy=x上に点P,y=-x上に点Qを取る時線分PQが通過する
領域の面積を求めなさい


◆lG1YKlhex2
座標平面上の原点に動点Pがある。今サイコロを１個振って、
1または2の目が出たらPはx軸正方向に1だけ動き、3,4,5,6の
いずれかの目が出たらy軸正方向に1だけ動くものとする。
このとき、Pが点(3,3)または点(4,4)を通る確率を求めよ。
答がA/Bのとき、#ABとする。

◆/eKbJj/Ndc
10進法で表されたn桁の平方数の個数をAn(n=1,2,・・・)とすると、
n→∞のとき、A(n+1)/An→α。αを求めよ。
答が√aなら#√a、分数なら#a/bとする。


◆zcDvMoKY8M
内側が鏡になっている長方形ABCDがある。AB=2236、BC=1963とする。
AP=100となる辺AB上の点Pから、辺ABに対して45度の角度で光を発射すると、
光は何回か辺で反射してPに戻ってくる。このとき、長方形の内部で光の道筋が
自分自身と交わる点の個数を求めよ。


◆Pha1vOuXT.
�@�A�B�C�D�E�F�G�H�I�Jのカードが１枚ずつある。この中から
７枚選ぶとき、カードに書かれている数の和を３で割ると余りが１になる確率を求めよ。


◆pvohAgH/Y2
lim(n→∞)sin{π*√(4n^2+3n-7)}の値を求めよ


◆VGHYdebQww
集合S={1,2,3,4,5,6}がある。SからSへの写像fのうちでSの任意の要素
に対して(f○f○f)(x)=xを満たすものは何個あるでしょうか？
○は関数の合成を表す時に使う小さい丸のことです。


◆PsikRCoAY.
1から2001までの整数で2001と互いに素なものの個数を求めよ。
またそれらの総和をSとして、S/2001をもとめよ。
個数をA個、S/2001をBとして、
#AB


◆7sNpxQMbaY
平面上にAB=2を満たす定点A,Bがある。
(条件)△PABは鋭角三角形で、BからPAに下ろした垂線の足をQとすると、
AQ＞3PQである。
を満たすような点Pの存在範囲の面積Sは
Ｓ=απ+β√γである
α、β、γを求めよ。#αβγ
解答方法例　α=1/2,β=5/2,γ=5のとき　#1/25/25


◆AXrweuyoco
素数を小さい順に並べて得られる数列をPnとする。この時2以上の自然数
nに対してΣ(k=1〜n)1/Pk=Ln/Mn(LnとMnは互いに素な自然数)と表す。
xについての2次方程式x^2-Ln*x+Mn=0が整数解を持つ時のnの値を全て
求めよ。n=3,5なら#3,5


◆g24Dbsaf9o
A,B,Cの3人がジャンケンをする。
Aはグー、チョキ、パーをp,q,rの確率で
Bはグー、チョキ、パーをr,p,qの確率で
Cはグー、チョキ、パーをq,r,pの確率で出す
3人でジャンケンをする時引き分けとなる確率が1/3となるのは
P=ア,q=イ,r=ウ-イ(tは0≦t≦2/3となる任意の実数)の時である。
ア=t,イ=1/2,ウ=1/3なら#t1/21/3

◆4NtvfDB/xo
点A(a,2)を中心としx軸に接する円C1と点B(1,b)を中心としy軸に接する
円C2が外接している。C1とx軸,C2とy軸,C1とC2の接点をそれぞれE,F,P
とする時3角形EFPの面積の最大値を求めよ。
2+√3なら#2+√3


◆UAZAexRhnE
90909090と互いに素でありかつ90909090より小さい自然数全部の
相加平均の値を求めよ


◆Dpmlei0nxk
半径1の円Cと周の長さがCの周の長さに等しい正三角形Tがある。
Cの周上に点Pがあり最初Tの頂点と点Pは接している。
Tを固定したままCをTの周に沿って滑らずに反時計回りに回転させ
Tの外側を1周させて元の位置に戻すとき点Pの描く軌跡が囲む部分
の面積はア*π+イ*π^2となる。
ア=3,イ=√2/3なら#3,√2/3


◆F54Y5U71FE
自然数nを1個以上の自然数の和で表すことをnの分割と呼ぶことにする。
ただし加える数の順序も区別するものとする。
例えば4の分割は
1+1+1+1,1+1+2,1+2+1,2+1+1,1+3,3+1,2+2,4
の8通りあり全ての分割に表れる3の個数は2個である。
n(n≧5)を分割した時全ての分割に表れる3の個数はア*(イ^ウ)個ある。
ア=3,イ=n,ウ=n-1なら#3nn-1


◆LzTH02sk9k
半径1の円の半周上を動点Pが、残りの半周上を動点Qが自由に動く時
線分PQの中点の通過する領域の面積を求めよ。


◆CHHgBNiiAE
(x+1)(3x+1)(5x+1)…(19x+1)を展開した時のx^2の係数を求めよ。


◆BV1BCFx3NY
(x+1)(3x+1)(5x+1)…(19x+1)を展開した時のx^3の係数を求めよ。


◆LzTH02sk9k
半径1の円の半円周上を動点Pが、残りの半円周上を
動点Qが自由に動く時線分PQの中点が通過する領域の
面積を求めよ。


◆0SQUhTWtHo　誤、正しくは◆0SQUhTWtHo
原点に1と書かれたカードを、(0,-1)に3と書かれたカードを、
(1,0)に5と書かれたカードを、(0,-2)に7と書かれたカードを、
(1,-1)に9と書かれたカードを、(2,0)に11と書かれたカードを…
置いていく時(x,y)の上下左右のカードに書かれた数字の和が568
だった。この時xとyの値を求めよ。
x=-1,y=2なら#-12

◆2oUk6C79hs
1辺の長さが1の正四角錐を積んで10段ピラミッドを作る時
この中に1辺の長さが1の正三角形は何個あるか
ちなみに2段ピラミッドには28個ある


◆r4Uv0gWlmU
1辺の長さが1の正四角錐を積んで10段ピラミッドを作る時
この中に1辺の長さが1の正方形は何個あるか
ちなみに2段ピラミッドには7個ある


◆DMlJOhcPi.
三角形ABCについてsinB/sinA=√2である時、∠Aの取り得る範囲は
ア°＜∠A≦イ°である。
ア=10,イ=20なら#1020


◆maHRX.xbbM
ア＋イウエオカ／キクケ＝１００
アtoケには１to９が１つずつ
半角で#アtoケ


◆sYvwAxAnk.
x^2+y^2=1上の動点P,Qと点A(1,0)について↑AP・↑AQの最小値を求めよ


◆VQKJgiezS6
x^2+y^2=1上の動点P,Qと点B(3,0)について↑BP・↑BQの最小値を求めよ


◆bd6j2hDLoY
xyz空間に図形F:0≦z≦1-x^2，y＝0と、点A（a,1,0）（0≦a≦1）を通りxy平面に垂直な直線Lがある。
図形FをLの周りに一回転してできる立体の体積はπ{アa^4+イa^3+ウa^2+エa+オ}である
#ア,エ
半角数字で分数は分数のままで


◆VENk5mkP7Y
n+1,n^2+n+8が共に自然数の3乗になるような自然数nを全て求めよ
n=1,2なら#1,2


◆38SwbL7MoA
△ABCは二等辺三角形であり,外心が内接円の周上にある.
外接円および内接円の半径をそれぞれR,rとするとき,R/rを求めよ.
√3+2なら#√3+2


◆PdRLke3XiE
楕円x^2/a^2+(y-c)^2/b^2(a>0,c>b>0)上の点Pにおける楕円の接線とy=x^2の交点をQ,Rとする。
点Pの位置によらず∠QOR=45°or135°となるようなa,b,cの値を求めよ。
a=2,b=√3,c=4なら#2√34

◆BtsvW4nYC2
1乗,2乗,…,18乗する時18乗して初めて1になる複素数はx個ある。
このx個の複素数が複素数平面上で表す点をA1,A2,…,Axとする。
P(1)の時PA1・PA2・…・PAxの値はyである。
点Qが原点中心半径1の円周上を動く時QA1・QA2・…・QAxの最大値はzである。
x=1,y=2,z=3なら#123


◆WptN2n5lF2
正20角形から3つの頂点を選んで3角形を作る時、鈍角3角形はx個、鋭角3角形はy個できる。
x=654y=321なら#654321


◆BsuyCmtdAY
f(2)=2,f(-2)=-2,-2<x<2の範囲に極大極小となる点が2点ずつ
存在し極大値はいずれも2極小値はいずれも-2となる5次関数
y=f(x)はy=アx^5+イx^4+ウx^3+エx^2+オx+カである。
ア=2イ=-3ウ=0エ=4オ=8カ=1なら#2-30481


◆fP9BGHuwSk
2n^2+1と2n^2+10n+11の最大公約数として考えられる自然数を全て求めよ
n=1,2なら#1,2


◆TYNmQNgqjg
凸四角形ABCDはAB=AD=CD=1,BAD=48度,ADC=108度である。この時
凸四角形ABCDの面積は、a/b*{√(c+d√e)-√f}　である。
#a,b,c,d,e,f　それぞれに自然数が入る。


◆M1zD5isMkQ
△ABCにおいて,∠Aの三等分線と辺BCとの交点を,Bに近いほうから順にD,Eとすると,
BD:DE:EC=2:1:3を満たす.∠Aを求めよ.
1°なら #1°


◆IGEMrmvKLI
1/sin(2π/7)+1/sin(4π/7)+1/sin(8π/7) の値を求めよ.


◆VENk5mkP7Y
ある自然数nが存在し、このどのような鈍角三角形Tが与えられたとしても、Tをn個の鋭角三角形に分割することができる。
このようなnの最小値を求めよ。
ただし、鈍角三角形とは、内角のうち一つがπ/2より大きい三角形のこと。
鋭角三角形とは内角すべてがπ/2より小さい三角形のこと。


◆MVCzbhZ9Mg
sin(π/2m)×sin(2π/2m)×sin(3π/2m)×……×sin((m-1)π/2m)
を計算せよ。
答えは√A/B^Cとなるので、#A,B,Cと入力すること

◆/r5nNpaJWg
2次の正方行列AについてA^4+A^3+A^2+A+E=Oが成り立つ時trAの値は-ア/イ±√ウ/エとなる


◆AEUE9rgeyY　←6031、6020が正解？
4つの格子点で囲まれる1辺1の正方形を格子正方形と呼ぶ。
y=x/2*(x-30)^2は0≦x≦40の範囲で何個の格子正方形と交わるか？


◆.5wljPk1.c
x(1),x(2)は正の整数であり、整数列x(n)は次の２条件を満たす。
・ x(n+2)=| x(n+1) - x(n) |
・ | x(n) | < 1338
x(1),x(2)を上記条件を満たす範囲で変化させ、「初めて」x(n+1)=0となるnの最大値を求めよ


◆cFGbxtXvBM
凸多角形を考える。
45,93角形,N角形の対角線の本数の和とM角形の対角線の本数が一致しそれはL本である。
この時、N,M,Lを求めよ。但しトリップは#N,M,（Lの各桁の和） で半角数字。


◆Ieqw2mft7c
987654321は17で割り切れる。
a=8024691357024681357924681357924680357914680257914680257913680247913580247913580246913570246813579248
b=8372615946150483726837261594815048372603726159483504837260572615948379483726059261594837148372605948
を17で割った余りをそれぞれc, dとする。求めよ。
答えは#c,d


◆Gz4mzkFSVs
x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とする。
y/x+z/y+x/z=10を満たすx,y,zを求めよ。
ただし、回答は#x,y,zのように書くか、条件を満たすx,y,zがないなら#解なしと書くこと


◆lnkYxlAbaw
x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とし、y/x+z/y+x/z=m（mは4以上の整数）を満たすとする。
このとき、条件を満たすいかなるx,y,zを持ってきたとしても、必ずある1より大きい自然数nが存在し
(xyz)^(1/n)はは自然数になる。
nの値を求めよ。


◆ZazbVwC1mk
15/n(nは自然数)が小数第3位となる数の総和を求めよ。


◆93gh62dBIc
a,b,pを整数とする。長方形ABCDに対し、辺AD,CD上(いずれも端点を除く)に
それぞれ点P,Qをとる。このとき、AB=a,CQ=bとなり、三角形BPQは各辺
の長さがpの正三角形となった。pの最小値及びその時のa,bの値を求めよ。
a=1,b=2,p=3なら、#1,2,3


◆QVWWjRZ54s
一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、CとGの中点をIとする。
立方体を直線AIを軸に回転させるとき、立方体が通過する領域の体積を求めよ。
答えは、(3-√3)πなら#(3-√3)π

◆hE.IPX4H72
体積Vの立方体に含まれる四面体のうち体積が最大のものの
体積をVをもちいて表せ。
2/9Vなら#2/9V


◆OoHBzODeqY
xy平面上に半径1である3つの円C_1,C_2,C_3がある。
C_1の中心は原点Oに固定されている。
C_2はC_1のまわりを反時計回りに、C_3はC_2のまわりを時計回りに同じ速さで滑らずに転がる。
初め、C_2,C_3の中心O_2,O_3はそれぞれ点(2,0),(4,0)にあり、C_2上の点PはP_0(1,0)に、C_3上の点QはQ_0(5,0)にあるとする。
∠O_2OP_0=θとするとき、θが0≦θ≦πの範囲で変化するとすると、点P,Qの軌跡及びx軸のx≧0の部分で囲まれる図形の面積を求めよ。


◆.wgmX7ozdg
XY平面上に曲線C:Y=X^2と点Pをとる。点Pを通るような
曲線Cの法線がちょうど2本引けるとき、
点Pの軌跡を表す曲線の、Y>X^2に存在する部分の長さを求めよ。
7√7+2πならば#7√7+2π

　ヾヽヽ
　(,, ・∀・） ＜ とりあえずここまで！
　 ミ＿ノ
　　″″

　ヾヽヽ
　(,,;・∀・）＜ >>6の１番下、◆0SQUhTWtHo　誤、正しくは◆bSdp7LPG6c に訂正です
　 ミ＿ノ
　　″″

　ヾヽヽ
　(,,;・∀・）＜ >>9の２番目、間違えてメモも載せてしまいました。
　 ミ＿ノ　　　あまり詳しく書くとスレの趣旨に反しますが、
　　″″　　　「接する」の捕らえ方で答えが変わるようです。

　ヾヽヽ
　(,,;・∀・）＜ 「交わる」の捉え方、の間違いですもう少し考えてレスしますごごめんなさい
　 ミ＿ノ
　　″″

ありがとう

まだこんなスレあるのですねえ。

保守

既に解かれた問題も出ているみたいだけどスレ立て乙＆保守。

一時は隆盛を誇ったと聞く

なんつーさむらいホイホイ

ホホーイ

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和田秀樹【わだ・ひでき】

1960年6月7日生まれ　東京大学医学部卒業

大阪府出身の受験アドバイザー、
評論家（教育・医療、政治・経済）、精神科医（川崎幸病院精神科顧問）、
国際医療福祉大学臨床心理学専攻教授、
一橋大学特任教授、学校法人成城学園理事、起業家、映画監督。
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1960年6月7日生まれ　東京大学医学部卒業

大阪府出身の受験アドバイザー、
評論家（教育・医療、政治・経済）、精神科医（川崎幸病院精神科顧問）、
国際医療福祉大学臨床心理学専攻教授、
一橋大学特任教授、学校法人成城学園理事、起業家、映画監督。

一橋大学経済学部（医療経済学）、東北大学医学部、
上智大学心理学科などの非常勤講師や東進ハイスクール顧問も歴任。
ヒデキ・ワダ・インスティテュート、緑鐵受験指導ゼミナール代表。
2007年から一橋大学国際・公共政策大学院特任教授。
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和田秀樹【わだ・ひでき】

1960年6月7日生まれ　東京大学医学部卒業

大阪府出身の受験アドバイザー、
評論家（教育・医療、政治・経済）、精神科医（川崎幸病院精神科顧問）、
国際医療福祉大学臨床心理学専攻教授、
一橋大学特任教授、学校法人成城学園理事、起業家、映画監督。

一橋大学経済学部（医療経済学）、東北大学医学部、
上智大学心理学科などの非常勤講師や東進ハイスクール顧問も歴任。
ヒデキ・ワダ・インスティテュート、緑鐵受験指導ゼミナール代表。
2007年から一橋大学国際・公共政策大学院特任教授。

一橋大学経済学部（医療経あ済学）、東北大学医学部、
上智大学心理学科などの非常勤講師や東進ハイスクール顧問も歴任。
ヒデキ・ワダ・インスティテュート、緑鐵受験指導ゼミナール代表。
2007年から一橋大学国際・公共政策大学院特任教授。

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