地方の自称進学校にありがちなことPART15
どうせ教科書・問題集暗記しなきゃ解けきれない問題作るなら、もっと徹底的にやると逆に面白いかも。
問1
∠Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとおくとき、
a^2 + b^2 = c^2 ―――(*) （三平方の定理）
が成り立つことを、(1)相似形に着目することにより、(2)正方形の面積に着目することにより示せ。
(3) 2つの異なる自然数m、n（m＞n）を用いて、(*)を満たす(a,b,c)を表すと
a = （ ）、b = 2（ ）、c = （ ）
である。空欄を埋めよ。なお、参考までに実数p,qに対して、(p-q)^2 = p^2 + q^2 -2pq である。
問2
(1) △ABCで、BC=a、CA=b、AB=c、∠BAC=θとおくとき
a^2 = b^2 + c^2 -2bccosθ（余弦定理）が成り立つことを示せ。
(2) △ABCの面積をS、2s=a+b+cとおくとき、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c) （ヘロンの公式） が成り立つことを示せ。
問3
(1) 一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義にもとづき、一般角α、βに対して加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
を証明せよ。 （99東大・改）
問4
(1) nが自然数のとき
(cosθ + isinθ)^n = cosnθ + isinnθ ―――(*) （ド・モアブルの定理）
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(2) 全ての整数nに対して(*)が成り立つことを示せ。
問5
メネラウスの定理の逆を証明せよ。
問6
座標平面上の点P(x_0,y_0)から、直線l：ax+by+c=0におろした垂線の長さが
|ax_0 + by_0 + c|/√(a^2 + b^2)
となることを示せ。
試験時間120分。解答用紙はB5の無地のわら半紙2枚である。各自、解答欄を自由に設定し、解答を記述せよ。
2枚の解答用紙の表面の右上にそれぞれクラス、出席番号、名前を書いて提出しなさい。
こんなのが定期テストで出たら問題用紙を破り捨てて職員室に殴りこむ奴が出てきそうだ。。
問1
∠Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとおくとき、
a^2 + b^2 = c^2 ―――(*) （三平方の定理）
が成り立つことを、(1)相似形に着目することにより、(2)正方形の面積に着目することにより示せ。
(3) 2つの異なる自然数m、n（m＞n）を用いて、(*)を満たす(a,b,c)を表すと
a = （ ）、b = 2（ ）、c = （ ）
である。空欄を埋めよ。なお、参考までに実数p,qに対して、(p-q)^2 = p^2 + q^2 -2pq である。
問2
(1) △ABCで、BC=a、CA=b、AB=c、∠BAC=θとおくとき
a^2 = b^2 + c^2 -2bccosθ（余弦定理）が成り立つことを示せ。
(2) △ABCの面積をS、2s=a+b+cとおくとき、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c) （ヘロンの公式） が成り立つことを示せ。
問3
(1) 一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義にもとづき、一般角α、βに対して加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
を証明せよ。 （99東大・改）
問4
(1) nが自然数のとき
(cosθ + isinθ)^n = cosnθ + isinnθ ―――(*) （ド・モアブルの定理）
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(2) 全ての整数nに対して(*)が成り立つことを示せ。
問5
メネラウスの定理の逆を証明せよ。
問6
座標平面上の点P(x_0,y_0)から、直線l：ax+by+c=0におろした垂線の長さが
|ax_0 + by_0 + c|/√(a^2 + b^2)
となることを示せ。
試験時間120分。解答用紙はB5の無地のわら半紙2枚である。各自、解答欄を自由に設定し、解答を記述せよ。
2枚の解答用紙の表面の右上にそれぞれクラス、出席番号、名前を書いて提出しなさい。
こんなのが定期テストで出たら問題用紙を破り捨てて職員室に殴りこむ奴が出てきそうだ。。
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