【東大・京大】数学（解法・答案作成方法）考察スレ

25ヵ年の解説では満足いかない人たちの別解考察スレ

東大スレ立ちすぎ。
25ヵ年全足りないやつとか、ほとんどいないから。こっちでやれ。

【東大理三】東京大学理科�V類 part5【理�V】
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1228747044/



というわけでこのスレ終了。

空間の１点Ｏを通る４直線で、どの３直線も同一平面上にないようなものを考える。
このとき、４直線のいずれとも、Ｏ以外の点で交わる平面で、４つの交点が平行四辺形
の頂点になるようなものが存在することを示せ。

2008京大数学乙

点Ｏを中心とする円に内接する△ABCの３辺AB、BC、CAをそれぞれ2：3に内分する点をP、Q、R
とする。△PQRの外心が点Ｏと一致するとき、△ＡＢＣはどんな三角形か。

2007京大数学乙

n個の実数a_1,a_2,…,a_nに対して、

b_k=(a_1+a_2+…+a_k)/k　（k=1,2,3,…,n)
とおく
b_1,b_2,…,b_nを適当な順に並べると、a_1,a_2,…,a_nに一致するとき、

a_1=a_2=…=a_n
であることを示せ。

2001第二回東大実戦

>>5
k≧2 のとき
　a[k]=kb[k]-(k-1)b[k-1]

仮定から b[k]=a[i], b[k-1]=a[j], 1≦i,j≦n, i≠j なる i,j が存在して
　a[k]-a[j]=k(a[i]-a[j])
したがって、a[k]=a[i]=a[j]でなければ、
　a[j]<a[i]<a[k]
または
　a[j]>a[i]>a[k]
すなわち 2≦k≦n に対してa[k]より大きい{a}の要素二つか、
a[k]より小さい{a}の要素二つが存在。有限集合なのでこれは不可能である。

だから a[k]=a[i]=a[j]。すなわち b[k]=b[k-1] が 2≦k≦n について成り立つ。
定義より b[1]=a[1] だから b[k]=a[1] (1≦k≦n)。
この時仮定よりa[k]=a[1] (1≦k≦n)。

>>4
Oを原点としてA=(1,0)とする座標を取る。
B=(cosT,sinT) C=(cosP,sinP) とすれば
P=((3+2cosT)/5, 2/5sinT)
Q=((3cosT+2cosP)/5, (3sinT+2sinP)/5)
R=((3cosP+2)/5, 3/5sinP)
OP=OQ=OR より
13+12cosT = 13+12cosTcosP+12sinTsinP = 13+12cosP

0 =(cosT,sinT)・(cosP-1,TsinP)=OB・AC
0 =(cosT-1,sinT)・(cosP,sinP)=AB・OC
外心と垂心が一致するのでABCは正三角形

>>3ぜんぜんわからん。京都つえー

>>5が出来る方が強いわ

いや、自分で言うのもなんだけど5もできてない気が
自分なりにがんばった。

>>6の
　a[j]<a[i]<a[k]
または
　a[j]>a[i]>a[k]
のところがわからない。論証は苦手

大学生？数学解きなれてそう

>>11
ごめん。その段落の論理だめだったｗｗｗｗ
それのかわりに

　a[k]=kb[k]-(k-1)b[k-1]
　a[k]=b[k]+(k-1)(b[k]-b[k-1])
b[k]のうちの最大値b[M]をとると、
　a[M]=b[M]+(M-1)(b[M]-b[M-1])
右辺 b[M]-b[M-1] がゼロでないと a[M]>b[M] で矛盾するのでb[M]=b[M-1]

みたいな感じで示せないか考え中

論証があってるのか判断するのってむずいなー
いうおが忙しくなければ呼んで来たいところなんだけどなぁ

これでどうよ？>>5

n=1のときはあきらかだからn>1で考える。
k≧2 のとき
　a[k]=kb[k]-(k-1)b[k-1]
　a[k]=b[k]+(k-1)(b[k]-b[k-1])
b[k]の（k≧2における）最大値b[M]を考えると、
　a[M]=b[M]+(M-1)(b[M]-b[M-1])
右辺の b[M]-b[M-1] は b[M] が最大値なので負でないが、
正であれば a[M]>b[M] となり、b[M]の最大性と矛盾するのでb[M]=b[M-1]。
したがってb[M]=b[M-1]=…=b[1]。

またb[k]の最小値b[m]をとれば同様のりくつで
　b[m]=b[m-1]=…=b[1]。
すなわちb[M]=b[m]。最大値と最小値が同じだから、
b[k]はkによらない一定値をとる。a[k]もkによらない一定値をとる。

>>5の冊子解答

a_1,a__2,・・・a_nの最大値をＭとする。仮定から、あるb_iはＭに一致する。

a_1≦M、a_2≦M、…、a_i≦M　…�@
より

b_i=(a_1+a_2+…+a_i)/i≦(M+M+…+M)/i =M
であるが、b_i=Mであるから、�@の不等式においてすべて等号が成り立ち、特に、
a_1=M　…�A
となる
次に、a_1,a__2,・・・a_nの最小値をmとする。仮定から、あるb_jはmに一致する。
a_1≧m、　a_2≧m、…、a_j≧m　…�B
より、
b_j=(a_1+a_2+…+a_j)/j≧(m+m+…+m)/j =m
であるが、b_j=mであるから、�Bの不等式においてすべて等号が成り立ち、特に、
a_j=m　…�C
となる。
�A、�Cより、M=m、すなわち、a_1、a_2、…、a_nの最大値と最小値が一致するから、
a_1=a_2=…=a_n
である　　　　　　　　　　　(証明終わり)

bM=aMの場合はないの？

最小のところは
特にa_1=m
かな？
鮮やか杉ﾜﾛﾀ

>>18
そうだごめん

>>15
これいい気がするけど、どう？

回答冊子わかりやすいじゃん
>>1の書き方からしてかなり難解なのかと思ってたｗｗｗ

>>17
15のことならb[M]=b[M-1]のときa[M]=b[M]じゃね？

>>3
いちおう考えた。こういうの数式で解けちゃう人もいるのかね？

Oを通る4直線と交わる平面 P を考える。
題意よりP上の四つの交点 A,B,C,D は四角形をなしている。
この四角形の対角線 AC, BD の交点を E とする。

BDを軸として P を回転させることによりA,Cを移動して AE:CE = 1:1 とできるなら
次に同様にACを軸として P を回転させることにより BE:DE=1:1 にできて、
このときABCDは平行四辺形となる。
以下では、AE:CE = 1:1 にするような回転の存在を示す。

三角形OACを、BDに垂直な平面に射影した三角形O'A'C'
および E を射影した点 E'を考える。このとき AE:CE=A'E':C'E' である。
E'を中心に辺A'C'を角度(∠C'A'O'-∠A'C'O')/2だけ回転させれば
O'A'=O'C' の二等辺三角形になり、A'E':C'E'=1:1 になるので
これが目的の回転である。

>>3
それぞれの直線上に、原点とは異なる点A、B、C、Dを任意にとる。
題意よりOA、OB、OCは同一平面上にないから、↑OA、↑OB↑、OCは一次独立である。よって、
↑OD=p↑OA+q↑OB+r↑OC　…�@
を満たす実数p,q,rが存在する。ただし、例えばP=0とすると、
↑OD=q↑OB+r↑OC　よりDは平面OBC上になり、仮定に反する。よってp≠0である。
同様に、q≠0、r≠0である。�@より、
↑OD-r↑OC=p↑OA-(-q↑OB)
そこで、↑OA'=p↑OA, ↑OB'=q↑OB, ↑OC'=r↑OCを満たす３点A'、B'、C'を各直線上にとると、
↑OD-↑OC'=↑OA'-↑OB'
∴↑C'D=↑B'A'
となる。p≠0、q≠0、r≠0より、O,A',B',C',Dは異なる点で、A'、B'、C'は同一直線上にない。ゆえに、
四角形A'B'C'Dは平行四辺形である。しかも平行四辺形は必ず１つの平面上にある。以上で証明された。

ＰＣで数式見ると頭痛いｗ

どうでもよいのだけれど
1基礎を身につけ（基礎概念・基礎処理・・・）
2問題を読み（基礎をもとに問題文に書いてある情報を引き出す）
3解答を構成し（1・2から自然に答案を作る）
4解答を検討する（1・2・3おのおのの段階に不備がないか確かめる）
というあたりまえのことにつきると気付いた

アウトプット大切だおね

東大や京大の文系数学と、上智の文系数学は難易度的に同じくらいですか？

上智のうp

レベルが違う

たしかに

ｗ

閃きって凄いよね

早稲田摂陵高校（入試2/10終了）

（男）募集２４５名　出願２９名（専願10名併願19名）　倍率０．１２倍　←ちょっｗｗｗ
（女）募集　３０名　出願　８名（専願 6名 併願 2名）.　倍率０．２７倍　←ちょっｗｗｗ
http://www.ed-net.co.jp/gakuan_sokuho/h-osaka-bg3.html

参考
昨年入試
（男）募集２４５名　出願３９９名（専願118名併願281名）　倍率１．６３倍

何このスレかっけえ

ブログにコメントください
http://raisondetre.fya.jp/top.html

答案をタイプすんのがめんどいわ

東大とかレベルが違うｗ

東大は自然な発想力
京都は高級な知識がいる

高級な知識て…

高級な知識って何？

東大は迅速な計算処理能力
京大はじっくり考えぬくことができる論証力
が必要だと思ってたんだけど、違うの？

誰かいびつな形のサイコロ云々の問題ください

どっちも大事なのは論理性だよ

>>42
七面体のサイコロを思い浮かべ、図示せよ。

>>44
ありがとう

>>3
とかベクトル成分3つおいてぐちゃぐちゃ計算すればいいだけやん
あること示したらいいだけやから案外ラク

p < q, p^q = q^p を満たす正の有理数の組(p, q) をすべて求めよ。

という問題のスマートな解答はないでしょうか…

1939年入試
理學部　數學

點(x, y)ガ曲線 (x^2)y - x^2 + y^2 = 0 ニ沿ヒテ原點ニ近ヅクトキ， (x^2 + 4x - 4y)/(y^2 + 6y - 6x) ノ極限値ヲ求ム．

＞＞47
正整数ならいけるんですが

両辺logをとってy=logx/xのグラフを書くとyが同じになるxが2つあるには1<x<eが
必要だから2のみでその他方は見当つけて4
2^4＝4^2

>>48
曲線ノ式ヲ変形スレバ
　y^2=x^2(1-y)．
従ッテ(x,y)ガ曲線ニ沿ヒテ原點ニ近ヅクトキ
　y/x=√(1-y)→1．

再ビ曲線ノ式ヲ変形シ
　x^2y=x^2-y^2=(x+y)(x-y)．
之ヲ用イテ
　(x^2+4x-4y)/(y^2+6y-6x)
　={x^2(x+y)+4(x+y)(x-y)}/{y^2(x+y)-6(x+y)(x-y)}
　=(x^3+5x^2y)/(y^3+xy^2-6x^2y)
分子分母ヲ x^3 デ除シ極限ヲ取レバ
　→(1+5)/(1+1-6)=-3/2．

＞y/x=√(1-y)→1．
ダウト

>>51
詳しくたのむ。

正しくね？

これもあってるかわかんないが恥をさらそう>>47

[＊] 互いに素な自然数の三組 (a,A), (b,B), (c,C) があって
　(a/A)^(b/B)=c/C
ならば a, A はともに B 乗数。
[証明]
　a^b C^B = A^b c^B
a と A、c と C が互いに素だから
　a^b = c^B
　A^b = C^B
a=p1^i1 * p2^i2 * … * pn^in (pk=素数, ik=自然数)と素因数分解したとき
　a^(b/B) = p1^(i1b/B) * … * pn^(inb/B) =c (自然数)
b と B が互いに素だから i1,…,in はすべて B で割り切れる。
A についても同様なので a, A は B 乗数。

[答案]
q=(1+a)p とおけば（a は正の有理数）
　p^(q/p)=q
　p^(1+a)=(1+a)p
　p=(1+a)^(1/a)
a=s/t （s,t 互いに素な自然数）とおいて
　p={(s+t)/t}^(t/s)
t,s+t は互いに素だから[＊]より
　t=M^s, s+t=N^s, (N>M 自然数)
と書ける。このとき
　s=N^s-M^s
　s≧(M+1)^s-M^s
　s≧1+C[s,1]M+…+C[s,s-1]M^(s-1)　←s項の和
ここで C[s,k] は二項係数で、C[s,k]≧1 であるから
s≧2 ならば右辺はsより大きい。よって s=1 が必要。

以上より有理数 p, q は自然数 t=1,2,… をつかって
　p=(1+1/t)^t
　q=(1+1/t)^(1+t)
これらは与式を満たす。

>>54
＞p=(1+a)^(1/a)

なるほどこれできれいに処理できるようになるわけだ
お見事

東大2008理科5
（1）
m=0のとき□3＾m=1，これは3＾mで割り切れるが3＾(m+1)でわりきれない．
□10＾(3＾(m+1))=(10＾(2・3＾m)+10＾(3＾m)+1)・□10＾(3＾m)
(10＾(2・3＾m)+10＾(3＾m)+1)は三の倍数で九の倍数でない．（∵十進法で各桁の数字の総和が3）
以上より題意は示された．
（2）
□k・3＾m=(Σ（i=0からk-1まで）10＾(i・3^m))・□3＾m
ここで(Σ（i=0からk-1まで）10＾(i・3^m))はkが三の倍数でない時三の倍数でない．．（∵十進法で各桁の数字の総和がk）
以上より題意は示された．

間違えた
（1）
m=0のとき□3＾m=1，これは3＾mで割り切れるが3＾(m+1)でわりきれない．
□3＾(m+1)=(10＾(2・3＾m)+10＾(3＾m)+1)・□3＾m
(10＾(2・3＾m)+10＾(3＾m)+1)は三の倍数で九の倍数でない．（∵十進法で各桁の数字の総和が3）
以上より題意は示された．
（2）
□k・3＾m=(Σ（i=0からk-1まで）10＾(i・3^m))・□3＾m
ここで(Σ（i=0からk-1まで）10＾(i・3^m))はkが三の倍数でない時三の倍数でない．．（∵十進法で各桁の数字の総和がk）
以上より題意は示された．
ttp://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/sokuho08/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon5.html

>>57
その(2)はわからんな
代ゼミの答案のように３進数表示してるってこと？

>>58　
解説すると
一行目恒等式．
二行目□(k・3＾m)が□3＾mと同じ数だけ因数3を持つ．
三行目（1）の結果（□3＾mは因数3をちょうどm個もつ）と
(2)一行目二行目（□k・3＾mと□3＾mのもつ因数3の個数は同じ）とから，
「□が27の倍数になること」と「中の数字が3＾3=27を因数にもつこと」とは同値
つまり題意が示された．

以下はレスでない．
入試問題の解法・答案作成の方法は
1基礎（をおさえる）
2問題（を読み情報を全てもれなくだぶりなく引き出す）
3（自然な解の）構成
4（123を）検討
の四点に注意すれば良いと思う．
翻って人生の問題を考えるときは，
基礎と問題も
つまり事実・理論・経験と何を問題とするかも
自力で導く必要がある．

あ、素因数3を外に出したってことか。わかったthx

すげー

昼になったので男は食事をとりに外に出た。
夏。炎天下で汗が止まらず気持ち悪い。
道路には潰れた猫がいた。
最近火事があった家を右に曲がり、店に入る。クーラーが壊れてるのか暑い。
男は日替わりランチを頼み、食べ終えると、会社に戻りやりかけていた仕事を再開した。
仕事の途中に気づき、さっきの店に戻るとやはりあった。
その夜、男は死体で見つかったが、体の一部が見つからなかった。

>>59
ためになるわー

ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/08/t01.html
ほめられたからもう一題だけ　2008東大理科4
考え方を

放物線上に二点PQがある
（その代数化し計算しやすくするため）P(p,p＾2)Q（q,q＾2）とおく
するとh=(p＾2 + q＾2)/2
さらにmをp,qで表すと(p＾2 -q＾2)/(p-q) = p+q
さらにLをp,qで表すと|p-q|√(1+m＾2)
(底辺|p-q|，高さ|p＾2+q＾2|の直角三角形でピタゴラスも可，√(1+m＾2)はtan)

ここからhをm，Lで表すために方程式を加減乗する
Lを固定した時のmの変域が実数（全体）に注意し対称性からm=0,m>0の場合について考える
hをmについて微分し，さらにLの値で極値がでるかでないかがきまる

この年の六題で一番簡単な問題だからこそ
この簡潔な問題で数学の考え方を考えるとよい．
2008東大理科5は論証・ひらめきだけで解けてしまうから
かえって答案が短く考え方は伝わりにくかったかもだけれど
ここで書いた考え方同様に
与えられた情報と答えを結びつけるために知識・理解と発想が必要．
来年度受験生の人は知識の獲得とその理解と
さらに解答を構成するための知識利用法・問題文読解を練習し
問題と解答の要点を検討するとよい．
簡潔で論理的な答案を作るそのちょっとした具体例として
自戒を込めて．

数学は基礎の習得・理解を終えた後演習を300題（一日二題二時間
二題あたり40分で二題自力で解く・後基礎事項の漏れ確認と模範解で構成法の確認
問題と解法の要点研究に80分）
物理100（同上）
化学200（一日四題二時間他同様）
特に自分が苦手な問題を早い時期（夏まで遅くとも11月）に同定できるとよい
5箇月で数学

くらいで理一上位層（得点率七割）になると思う
継続は力なり
まず基礎をさらい理解する
半年ほどじっくり演習
後は模試や（他大も含め）過去問を



入試にいってきます
ごきげんよう

おれ気象大学校1位で合格したってきた。
勉強してて良かったー。

気象？

>>66
おめでとう

08京都乙
定数aは実数であるとする。関数y=|x^2-2|とy=|2x^2+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

【河合塾解答】
|x^2-2|=|2x^2+ax-1|
⇔
±(x^2-2)=(2x^2+ax-1)

・・・


何故xの範囲を場合分けしなくても絶対値はずしていいんだぁ〜

↑訂正

08京都乙
定数aは実数であるとする。関数y=|x^2-2|とy=|2x^2+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

【河合塾解答】
|x^2-2|=|2x^2+ax-1|
⇔
±(x^2-2)=(2x^2+ax-1)・・・�@

であり、x=0は�@を満たさないので、
�@⇔　a=-x-1/x、-3x+3/x

f(x)=-x-1/x、g(x)=-3x+3/x

以後この二つのグラフを書いてy=aとの共有点の個数を調べる。
・・・


何故xの範囲を場合分けしないで２つのグラフ書いて調べていいんだ〜

>>69
確かにそれは何でなんだろね。
｜x｜＝｜y｜⇔x＝±y
自分はそういうもんだと覚えちゃったけど。

くだらない質問は高校スレでやればいいじゃない

たしかに

出た！たしかに！！
うわぁああああーー！！！！！！

絶対値が同じなんだから左辺は±右辺以外有り得ん
2x^2+ax-1=X　　としたら　x^2-2=±X　でしょ

東大2008理科5（２）
一方は（１）よりでもう一方は
くどくやると
三のばいすうであるためには
各桁の和が三の倍数だからこれを三でわったものは
３７×１０００＾n-1の和だから
ここでさらに三で割り切れるには各桁の和が三の倍数だから
（３＋７）＝１０だから
ｎが三の倍数みたいにやってかまわないか？

落ち着けｗ

絶対値は二乗じゃ駄目？

普通は二乗すると式が複雑になるのでやらない。
|sinx|=|cosx|
こんなのならいいかも。

東大入試の問題で解けたの円周率の問題だけ
それ以外は解説読んでも解けなかった

今年の文科数学は全部楽だった印象。
素直にとけばよかったし日本語が不自由で説明できないところもなかった。
地歴死んだから関係ないけどなｗｗｗ

いいスレッドだけど数式が見づらいのが辛い。数式書き込むの前提にして作られたフリーの掲示板とかあればいいのになあ。

今年の東大理系数学は結構やりづらいセットだった

第6問なんか、鼻をつんざくような悪臭だったな。

数学終わった瞬間なきそうになった

たしかに

≫数学終わった瞬間なきそうになった

　全部定石はずしだったからさ　勉強の方法がわりいのさ

∴は使わない方がいい　⇔か→で

>>81
よう俺
数学120地歴80の方がいいわ

T=n→∞∫(0→π/2)sin^2nx/(1+x)dx
Tを求めよ
これ確か京大か東大だった気がするが、あやふやですまん。

これって、nがでかくなるにつれ、0→π/2の間で0と１が交互に
並ぶから、Ｔ＝∫(0→π/2)1/(1+x)dx=(1/2)・log(1＋π/2)
じゃだめなの？答えはあってるが。

間違えた。
Ｔ＝1/2∫(0→π/2)1/(1+x)dx=(1/2)・log(1＋π/2)

直感的にはそういうことなんだが、
その直感を答案にするには手間がかかることはわかるだろ？

答だけ出てて論証ボロボロだとほぼ点数はもらえないみたいよ。まあ当たり前か

最大値をp
最小値をq
b_k=pなるkが存在するが,そのkに対して
b_k=p≦(p+…+p)/k=p
より, 等号が成立するのでa_1=…=a_k=p
特に, a_1=p
同様にしてa_1=q
最大値と最小値が一致するのでa_1=a_2=…=a_n

たしかこんな感じか

>>94
握ってください＾＾

すみません間違うました

>>93
だな

ん

白猫さん、見ていますか？もう一度スレ立てしてほしい。あなたの存在がみんなに必要だ。

たしかに

え

レベル高すぎ

なにこのさむらいホイホイなスレ

いうお来い

乙会東大こーす

ｎを3以上の自然数とする。円周上にn個の赤い点とn個の青い点を並べて、
赤い点と青い点のn組の対を端点とするn個の線分を引く。このとき、
赤い点と青い点をどのような順序に並べても、n個の線分が共有点を持たないような
対の選び方が存在することを証明せよ。

>>106

題意を満たすような組み合わせは

1.隣あった赤と青で対をつくる
2.1.でできた対を除いた後、隣あった赤と青で対をつくる
3.2.でできた対をry)
…

この作業をn個の対ができるまでやれば作れる


具体的に説明すると
赤青青赤青青赤赤の順で点がある場合

1.の作業で
赤青青赤青青赤赤
└┘└┘　└┘

2.の作業で
赤青青赤青青赤赤
└┘└┘│└┘│
　　　　└──┘

となり題意を満たす対の組み合わせは完成する

ただこれで証明を書くのはキツそう。背理法とかでできるんかもしれんが俺には無理でしたw

>>107
帰納法にすればよくね？

n個の線分が共有点を持たないように対を選ぶことを考える。
ただし問題が簡単になり過ぎないように
対を作るときに同じ点は二度と選ばずにn組を作ることとする。

円周上に赤い点と青い点を並べればかならずどれかの赤点と青点が隣り合うことは明らか。
そこでそれら隣り合う赤点と青点を選び、二点を結ぶ線を引く。

このようにして作った線分の片側にはもう選びうる点がないので、
以後どのように対を選んでも線分を引いてもそれらの線と共有点を持たない。
したがって以後はこの二点をとり除いて(n-1)個の赤い点と(n-1)個の青い点を考えればよい。

上のようにして隣り合う赤点と青点を順次結んでいけば問題はn=1の場合に帰着できる。
n=1のとき題意は明らかであるから、帰納的に題意が示された。

ただしこの流れだとnを3以上としてる意味がわからん。

>>108
多分それでいいと思う
その方がきれいに論証できそう

n≧3って書いてあるのはn＝1,2の時が当たり前過ぎるから位の理由で別に深い意味は無いんじゃね？

半径１の球に含まれる正三角柱の体積Vの最大値を求めよ
乙会文系

さむらいホイホイするスレですか？

>>42
去年の東工大の奴？

>>110
さすがにそれは簡単過ぎだろw
自分で解けよ

さむらい？

>>113
違うぞ
てかさむらいって誰だ

>>5は帰納法は駄目なのかな？

1)n=1の時は成立は明らか
2)n≦kの時に命題が成立する[すなわちa_1=a_2=…a_k…�@]と仮定すると

b_(k+1)=(a_1+a_2+…+a_k+a_(k+1))/(k+1)
=(k*a_1+a_(k+1))/(k+1)[�@より]
ここでb_(k+1)=a_(k+1)なので[仮定よりb_1,b_2,…,b_kはa_1,a_2,a_kのいずれかとなる。よってb_(k+1)=a_(k+1)となるしかない]
a_(k+1)=(k*a_1+a_(k+1))/(k+1)
⇔(k+1)*a_(k+1)=k*a_1+a_(k+1)
⇔k*a_(k+1)=k*a_1
⇔a_(k+1)=a_1[k>0より]
よってa_1=a_2=…=a_(k+1)となりn=k+1でも成立

よって数学的帰納法により題意は示された

>>115
だめだと思う。

条件P(n)を
「a_1,…,a_nから作ったb_1,…,b_nを並べかえるとa_1,…,a_nに一致する」
条件P(n-1)を
「a_1,…,a_n-1から定義しなおしたb_1,…,b_n-1を並べかえるとa_1,…,a_n-1に一致する」
とすれば、帰納法ではP(n-1)が成り立つ場合だけ考えることになる。

だから「P(n-1)は成り立たないがP(n)が成り立つような場合はない」ことを
示さないと証明が不十分となるけど、これを示そうとすると
もとの問題を解くのと同じようなことになる。

>>116
>>115だけどこの欠陥には全然気づかなかったわ
>P(n-1)は成り立たないがP(n)が成り立つような場合はない
これを証明するには背理法とかいりそうで元の問題より難しそうだね。
やっぱり理系は凄いな…
失礼しましたww

順を追って基本的な所から説明してみよう。
間違いが有ったら指摘よろ。

絶対値ってのは（今はどうか知らないけど）内積のルートだろ。

例
|x↑|=√(x↑*x↑)
特に一次元の時は
|x|=√(x^2)

だから
α=|x|=√(x^2)
⇔
α^2=x^2かつα≧0
⇔
α=±xかつα≧0

ここでα=|y|の時、同様にして、

±x=|y|=√(y^2)
⇔
x≧0の時、x=|y|=√(y^2)
x<0の時、-x=|y|=√(y^2)
⇔
x≧0かつx^2=y^2
または
x<0かつx^2=y^2
⇔
x^2=y^2
（x,yの範囲は実数全体）
⇔
(x≧0かつx=±y
または
x<0かつ-x=±y)
⇔
x=±y

順を追って基本的な所から説明してみよう。
間違いが有ったら指摘よろ。

絶対値ってのは（今はどうか知らないけど）内積のルートだろ。

例
|x↑|=√(x↑*x↑)
特に一次元の時は
|x|=√(x^2)

だから
α=|x|=√(x^2)
⇔α^2=x^2かつα≧0
⇔α=±xかつα≧0

ここでα=|y|の時、同様にして、

±x=|y|=√(y^2)
⇔x≧0の時、x=|y|=√(y^2)
x<0の時、-x=|y|=√(y^2)
⇔x≧0かつx^2=y^2
または
x<0かつx^2=y^2
⇔x^2=y^2
（x,yの範囲は実数全体）
⇔(x≧0かつx=±y
または
x<0かつ-x=±y)
⇔x=±y

携帯でここに飛ばされて>>70見て書き込みして>>80までしか見れてなかったから反映されないなぁって思ってたら反映されてた件。

すまん(*´Д｀)ハァハァ

さむらい>>106おちえて

携帯からよく頑張った！

0<a<1のとき
aのx乗=log（ax）の解の個数を求めよ

自分ではグラフを使い1個として出たのですが
予備校でグラフにだまされない問題、として教えてもらいました

一個じゃないの？
グラフや増減を調べるしかない気がするが
だまされているのか

え？

ｽﾚﾁを承知でお聞きしたいのですが、東大文系のレベルでやっておいたほうがいい参考書などはありますか？
よく研究されているあなたがたは頼りになりそうで・・・お願いします

ある程度できてるなら自分にあった本をこなせばいいだけだろ。
知ってる範囲だと乙会旬報は量的・レベル的に手頃な気がするけど。

無難に一対一対応だろ

>>106の

赤い点を＋１、青い点を−１として、ある点から時計まわりに2n個の点の値を
a_1,a_2.…,a_2n
とする。
今、xy平面上で、原点Oからスタートして、（1,a_k）(K=1,2,…,2n)ずつ移動していく経路をつくると
赤球は(1,1)　(右斜め上)
青球は(1,-1)　(右斜め下)
に対応し、原点Oから(2n,0)に至る経路Pができる。
　すると、経路Pは両端点のみがX軸上の点であるような経路に分割できて、
各経路のはじめと最後の移動に対応する球は異なる色で、赤球と青球のペアができる。
　これらを除くと、両端点のみが直線y=±1上の点であるような経路に分割できて、
各経路の最初と最後の移動に対応する球で赤球と青球のペアができる。
この操作を繰り返して、両端点のみが直線y=±k(k=0,1,…)であるような経路の最初と最後の移動に
対応する赤球と青球でペアをつくり、これらの赤球と青球を結ぶ線分をn個つくれば、これらの線分は互いに共有点を持たない。
すなわち、題意をみたす対の選び方が存在する。(証明終わり)

ぶっちゃけ意味わからん

赤と青を同数ずつ含むように分割していけばいいという理屈だな

http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1234270102/
↑の駿台全国スレから二問転載

自然数ｎを十進法で表したときの各桁の数の和をＳ（ｎ）とおく
このとき、
ｎ1＋Ｓ（ｎ1）＝ｎ2＋Ｓ（ｎ2）＝・・・＝ｎ2002＋Ｓ（ｎ2002）
となる相異なる2002個の自然数ｎ1、ｎ2、・・・、ｎ2002が存在することを示せ

f（ｘ）をｘの整数係数の整式とし、ｇ（ｙ）をｙの整数係数の整式とする。
ｘｙ＝１の時、常にf（ｘ）ｇ（ｙ）＝１となるようなf（ｘ）、ｇ（ｙ）を全て求めよ

自然数 x に対して f(x)=x+S(x) とおく。定義より k が非負整数のとき
　f(10^k)=10^k+1
また a[0],a[1],…,a[n] が一桁の自然数のとき
　f(Σ[k=0,n] a[k]*10^k) = Σ[k=0,n] f(a[k]*10^k)
のように桁ごとに分解できることに注意する。

はじめに x の1〜3桁目について考える。
　f(10^2)=101=2+99=f(1)+f(90)=f(91)
だから x の1〜3桁目が100でも091でも f(x) の値は同じである。
次に4〜1005桁について考えると
　f(10^1004)
　=1001+9*(10^1003+10^1002+…+10^4+1000)
　=f(10^3)+9*Σ[k=4,1003] f(10^k)
　=f(99…91000)
だから x の4〜1005桁目が 10…0 でも 09…91 でも f(x) の値は同じである。
一般に
　f(10^(10^A+A+1))
　=f(10^A)+9*Σ[k=A+1, 10^A+A] f(10^k)
　=f(9…910…0)　←（9が10^A 個、0がA個ならぶ）
だから(A+1)桁から(10^A+A+2)桁までのブロックを作ると
各ブロックにおいて f(x) が等しくなるような二通りの数が見つかる。

そこで1〜3桁を第1ブロックとし、a〜A桁が第Nブロックのとき
(A+1)〜(10^A+A+2)桁を第N+1ブロック、と順次定めることにより
桁が重ならないようなブロックを11個作る。
各ブロックの数をそれぞれ（10…00 または 09…91）とおいていき
f(x)が等しくなるような x を2^11(=2048) 個得る。証明終わり。

>>132
f(x)をxの整数係数の整式とし、g(y)をyの整数係数の整式とする。
xy=1 の時、常にf(x)g(y)=1となるようなf(x),g(y)を全て求めよ

f,g の次数をそれぞれ n,m とする。
f,g と x,y の名前を付け替えてもいいので一般性を失わず n>=m と仮定できる。
　f(x)=Σ[i=0,n] a[i]x^i, g(y)=Σ[j=0-m] b[j]y^j
　f(x)g(y) = Σ[i=0-n,j=0-m] a[i]b[j] x^i y^j
と展開して、xy=1のときyを消去すれば
　1=Σ[i=0-n,j=0-m] a[i]b[j] x^(i-j)
　 =Σ[k=-m,n]Σ[i-j=k] a[i]b[j] x^(i-j)
x≠0で恒等的に成り立つ式だから x^k の係数を比較して
　Σ[i-j=k] a[i]b[j]=0 (k≠0)
この条件を k の値について具体的に書けば、
k=n　 : a[n]b[0]=0
k=n-1 : a[n-1]b[0]+a[n]b[1]=0
k=n-2 : a[n-2]b[0]+a[n-1]b[1]+a[n]b[2]=0
…
k=n-m : a[n-m]b[0]+a[n-m+1]b[1]+…+a[n]b[m]=0 or 1 …(*)
…
k=1-m : a[1]b[m]+a[0]b[m-1]=0
k=-m　: a[0]b[m]=0
定義よりa[n],b[m]はゼロでないから、k=n の式から b[0]=0 を得る。
これを二番目の式に代入すれば b[1]=0 を得、同じことを n-m+1 次の式まで続ければ
　b[0]=b[1]=…=b[m-1]=0
ここで(*)において n=m でなければa[n]b[m]=0 となって不適切。
n=m の時は(*)はk=0の条件式だから a[n]b[n]=1 である。
a[n],b[n] は整数なので a[n]=b[n]=±1。
次に k=-m の条件式から順次 k=-1まで調べれば
　a[0]=a[1]=…=a[n-1]=0
以上より求める関数の組は
　f(x)=±x^n, g(y)=±y^n (複号同順、nは負でない整数)

うむ

やっぱ実際図で書かないとこんがらがるな

ほす

f(x)=(x+a)/√(x＾2+b)が極小値をもつためのa,bについて条件を求める

これb=0でf(x)が定義できないっていうのはどうしてなのか教えてください。

>>138
f(x) は定義されてるよ。
b=0 なら f(x)=(x+a)/|x| でしょ
x=0 で不連続や無限大になることに注意が必要とはいえ、
ある一点での値が定まらないからといって「f(x)が定義できない」とは言わない
「f(0)が定義できない」ならわかるが

ありがとうございます。解答に

b>0のとき定義域は実数全体
b=0のときf(x)は定義できない
b<0のとき定義域は|x|>√-b

って感じのことが書いてあるのですが間違いですか？

それは解答のミスだと思う

ありがとうございます！ここは隠れた良スレ

だな

サロンにスレを立ててきました。
東大京大数学の最も難しかった時期2
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1241872322/

ほす

あ

ん

こ
も
ち

あ

東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/248.html
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/246.html