頂決4

前スレ
頂決3
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/

987まで行って落ちたのか

半径1の円の半円周上を動点Pが、残りの半円周上を
動点Qが自由に動く時線分PQの中点が通過する領域の
面積を求めよ。

◆WphK02HHo2
凸な四角形ABCDがAB=2,BC=5,CD=4,DA=3を満たしている時四角形ABCDの面積の最大値を求めよ

◆YkwVCqa05Y
次のようなメールが来ました。
｢これは幸福のメールです。このメールを受け取った人は1時間以内に
必ず誰か同じクラスの1人に同じメールを送って下さい。ただし
・すでに自分にメールを送ってきた人
・すでに自分がメールを送った人
には送ってはいけません。｣
僕のクラスは50人です。このいち1人がこのメールを送ってからメールが
送れなくなるまでには最大何時間かかるでしょうか？ 例えば3人の時は2時間です。
135時間なら#135

◆xgiKjPfyxU
aを正の定数とする。曲線C:y=1/x(x>0)上に2点P(t,1/t)Q(t+a,1/t+a)がある。
PにおけるCの接線をlとしQのlに関する対称点をRとする。
Rのy座標がつねに0以上であるような定数aの範囲を求めよ。

◆U.BG0uC4eY
xy平面における曲線y=x^3+axをCとする。C上の点Pにおける接線でかつC上の
点Q(≠P)における法線にもなっている直線が存在するためのaの条件を求めよ。
0<a≦1/2なら#0<a≦1/2
1<a≦2なら#1<a≦2

◆Mw5dS3r9w6
xyz空間に4点A(1,1,0)B(-1,1,0)C(-1,-1,0)D(1,-1,0) がある。
点Pが正方形ABCDの周上にありPの原点に関する対称点をQとする。
線分PQを一辺としxy平面に垂直な正方形(内部を含める)Tを作る。
Pが正方形ABCDの周上を一周する時正方形Tが通過する領域の体積はア√イ+ウlog(エ+√オ)となる。
正方形Tはz≧0の部分にあるとする。ア〜オに半角数字を代入。

◆eEvRHEb7ZM
1辺の長さが1の正方形ABCDの辺BC上に点Eをとる｡三角形ABEと三角形ACEの
内接円の半径の長さが等しい時その半径の長さは(ア/イ)*{ウ+√(√エ-オ)}
ア〜オに半角数字

◆vWbdXpni/g
球Pに内接する四面体ABCDがある。AB=BC=CA=a,CD=b,∠ACD=∠BCD=90°とする時
球Pの半径は√{(ア/イ)*a^2+(ウ/エ)*b^2}となる。

◆ZNk/vsbuv2
座標空間内に4点A(1,2,3)B(2,3,1)C(3,1,2)Dがありこの4点は正四面体の4頂点になっている。
↑l=(0,0,-1)を進行方向に持つ光線によりxy平面上に生じる正四面体ABCDの影の面積を求めよ。
√2+3なら#√2+3

◆Z7F3G1q8IE
四面体OABCがあり↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとする時↑a,↑b,↑cは
|↑a|=|↑b|=|↑c|=2,↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=k(-2<k<4)を満たしている
また頂点A,B,Cの平面OBC,OCA,OABに関する対称点をそれぞれA',B',C'とする。
三角形A'B'C'の面積が三角形ABCの面積の3倍になる時
四面体OA'B'C'の体積は四面体OABCの体積の何倍になるか。

◆xwjzAyxf0s
Sk(n)=1^k+2^k+3^k+…+n^kと定義する時{Sp(n)}^a={Sq(n)}^bとなるような
自然数a,b,p,q(a,bはa＜bで互いに素)の組を求めよ。
(a,b,p,q)=(1,2,3,4)なら#1234

◆stqxx1PqwA
xyz空間において3点(sinθ,0,0)(0,cosθ,0)(0,0,1)(0＜θ＜π/2)を通る平面αがある。
原点O(0,0,0)を中心とする球が平面αと接するとしその接点をPとする時線分OPの最大値を求めよ。

◆3uUNyHtF/I
半径2√3の円C上に2定点A,BがありAB=6とする。点Pが円C上を動く時
↑AB・↑APの最大値はアイ+ウエ√オとなる。ア〜オに半角数字。

◆2ZqkyGNmkg
3辺の長さが10x,10y,x^2+y^2の3角形がある。x,yが自然数の時x,yの値の組の数を求めよ。

◆m1xW0FtSA6
1〜10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ計10枚ある。
この中からカードを1枚ずつ4回続けて取り出す時
取り出されたカードのうち2番目に小さい数が4になる確率を求めよ。

◆bBolJZZGWw
xy平面上に原点を中心とする半径が1の円C1と半径が2の円C2がある。
C1に内接する正5角形の頂点をA,B,C,D,Eとし点PがC2を動く時PA・PB・PC・PD・PEの最大値を求めよ。

◆VQKJgiezS6
中心O、半径1の球面上の4点A,B,C,Dが正方形をなしている時
四角錐OABCDの表面積Sの取り得る値の範囲は0<S<□となる。
□=√2+1の時#√2+1

◆LzTH02sk9k
y=x^2をy軸の周りに1回転してできる曲面をK,(0,1/4,0)と(-√3/12,0,0)を通りxy平面に垂直な平面をHとする。
この時KとHに囲まれる立体の体積を求めよ。

◆fDluT3x97c
1辺の長さが10の正方形ABCDの内部に点Pを取りPから辺BC,辺CDに下ろした垂線と
辺との交点をQ,Rとする。PがAP=8を満たしながら動く時四角形PQCRの面積Sの取り得る値の範囲はx≦S<yとなる。
x=2√3,y=7なら#2√37

◆UVa0TWClYA
円C1:x^2+y^2=1,円C2:(x-3)^2+y^2=4に外接しx軸の上側にある半径rの円の中心をPとする。
直線OPとx軸のなす角が60°となる時のrの値を求めよ。

◆CdVpMf.TDo
正20面体は20個の正三角形の辺々をつなぎ合わせてできる多面体であり
各頂点の周りには5つの正三角形が集まっている。
正20面体の隣り合う2面のなす角をθとする時cosθの値を求めよ。

◆cRTasLFUB6
1つの頂点から出る3辺の長さの和が12,1つの頂点に集まる3つの面の面積の
和が45の直方体の体積の最大値を求めよ

◆oe8HcmRqSs
1〜10までの数字が書かれたカードが1枚ずつある。この中から3枚のカード
を抜き出すとき抜き出したカードに書かれた3つ数字の積の期待値を求めよ

◆si65ga2MW6
相異なる7個の数字を3個のグループに分ける場合の数を求めよ。
ただし各グループは少なくとも1つの数字を含むものとする。

◆fmla9PMXkI
AB=AC,BC=1の2等辺3角形ABCにおいて辺AB上に点DをAD=CDを満たすように取る。
3角形ABCを変化させるときCDの長さの最小値を求めよ。

◆fmla9PMXkI
AB=AC,BC=1の2等辺3角形ABCにおいて辺AB上に点DをAD=CDを満たすように取る。
3角形ABCを変化させるときCDの長さの最小値を求めよ。

◆6DJl.8QTXA
-1<a<1を満たす実数aに対して不等式ax^2+(a+5)x-6a-1>0
を常に満たすような実数xの値の範囲を求めよ。

◆M5SgXGvBMI
2つの円x^2+y^2=1,(x+a+1)^2+(y-a)^2=2a^2+4に引いた接線の長さが等しい点Pの軌跡をlとする。
原点とl上の点との距離の最小値をd(a)とする時d(a)の最大値を求めよ。

◆H5wAVi2uhY
nを自然数とし2^(n-1)+5^(n-1)+7^(n-1)を10で割った余りをan(n=1,2,3…)とおく時Σ(k=1〜402)akの値を求めよ。

◆BHMb/z05DY
赤色、青色、黄色のカードがそれぞれ大小1枚ずつ合計6枚ある。
このカードを同じ色が隣り合わないように横一列に並べる並べ方は何通りあるか。

◆JYCvS9mfUA
大,中,小のサイコロを同時に投げ出た目の数をそれぞれa,b,cとして分数x=(b+c)/2^aを作る。
3つのサイコロを3度投げて得られた分数を順にx1,x2,x3とする。
1/8≦x1+x2＜1/4かつx1+x2+x3が整数になるような目の出方は何通りあるか。

◆SxtYbZEebE
平面上に1辺の長さが2の正3角形ABCと3角形ABCの内部(周上を除く)に点Pがある。
辺BC,辺CA,辺ABに関して点Pと対称な点をそれぞれL,M,Nとする時
3角形LMNが鋭角3角形となるような点Pが存在する領域の面積を求めよ。
2√2-πなら#2√2-π

◆eB.VEsDn4M
数列{an}(n=1,2,3,…)はa(n+1)=4an^3-3an(n≧1)を満たしn≧10の時
an=a(正の定数)が成り立つ時a1の取り得る値は何通りあるか。

◆EB/UeUs8cY
サイコロを3回振って出た目の数をa,b,cとする。
この時方程式x^3-ax^2+bx-c=0が少なくとも1個の整数解を持つ確率を求めよ。

◆E8gSq4H0r2
1辺の長さが1の立方体を中心を通る対角線の内の1本を軸として
回転させた時この立方体が通過する部分の体積を求めよ。
√2π/6なら#√2π/6

◆FSrC.U7v3g
長さ1の線分sが12本あわさってできた図形がある。
この図形から7本のsを取り除く時何本かのsによって囲まれる多角形が少なくとも1つあるような取り除き方は何通りあるか。
ただし回転して重なるものも別とみなす。

(補足)問題の図形とは一辺の長さ1の正六角形に長さ2の対角線を3本引いたもの

数列a(n),n=1,2,3,・・・を次のように定義する。
a(1)=0、n>1のとき
a(n)=a([n/2])+(-1)^m、m=n(n+1)/2
ただし、[t]はtを超えない最大の整数とする。

(1)2008以下のnに対してa(n)の最大値、最小値を求めよ。またこのときのnの値をそれぞれ求めよ。

(2)2008以下のnに対してa(n)が0となるnの個数を求めよ

(a)◆9u62eQ2diw
(1)のa(n)が最大のときのnの値abcd、a(n)が最小のときのnの値efghとして #abcdefgh

(b)◆/wXPRRNjH2
(1)の a(n)の最大値,a(n)の最小値、(2)のa(n)が0となるnの個数の順に半角でそれぞれの値を区切らずに半角で入力してください

例a(n)の最大値が7,a(n)の最小値が-1、(2)a(n)が0となるnの個数が100個ならば
#7-1100

◆oAjkLC5FGY
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど9年後につながる確率を求めよ。

◆PNQNSBht1M
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど6年後につながる確率を求めよ。

(補足)問題の図とはA市とB市を三段のはしご状
　　　もしくは縦棒二本に横棒が三本のあみだくじ状の道路でつなげたもので
　　　上端、下端にそれぞれA市、B市がある

◆YZdC6ZQS
太郎君は2円花子さんは3円持っている。じゃんけんをし太郎君が勝ったら
花子さんから1円もらい負けたら花子さんに1円払う。どちらかの所持金が
0円になった時ゲームは終了し0円になった者が敗者となる。
太郎君がじゃんけんに勝つ確率が2/5の時太郎君がこのゲームで勝つ確率を求めよ。

◆Jj44NOFea2
立方体ABCD-EFGHがあり点Pは辺ABの中点、点Qは辺AEをp:(1-p)(0<p<1)
に内分する点、点Rは辺BCを1:2に内分する点である。3点P,Q,Rを通る
平面が辺GHと共有点を持つようなpの値の範囲を求めよ。
1/6≦p≦1/3なら#1/6,1/3

疲れたので後は宜しく

前スレの
y/x+z/y+x/z=10を満たす自然数x,y,z(x>y>z)を求めよ。
の解説頼むわ。
全然分からん。

原点に1と書かれたカードを、(0,-1)に3と書かれたカードを、
(1,0)に5と書かれたカードを、(0,-2)に7と書かれたカードを、
(1,-1)に9と書かれたカードを、(2,0)に11と書かれたカードを…
置いていく時(x,y)の上下左右のカードに書かれた数字の和が568
だった。この時xとyの値を求めよ。
x=-1,y=2なら#-12

落ちる前に

保守

>>3

1辺の長さが1の正四角錐を積んで10段ピラミッドを作る時
この中に1辺の長さが1の正三角形は何個あるか
ちなみに2段ピラミッドには28個ある

1辺の長さが1の正四角錐を積んで10段ピラミッドを作る時
この中に1辺の長さが1の正方形は何個あるか
ちなみに2段ピラミッドには7個ある

>>14

>>15

>>10
答えのトリのxとy逆じゃない？

>>14

>>15

逆だね

(　＾ω＾)てすと

三角形ABCについてsinB/sinA=√2である時、∠Aの取り得る範囲は
ア°＜∠A≦イ°である。
ア=10,イ=20なら#1020

( ﾟπﾟ)ｼｬｷ･･･

>>22
(*＾３＾)ｃｈｕ☆

なんか重複してるのが結構あるね
>>23はこんなもんか

>>26
いうお先生>>9の問題の解説をお願いします。

>23

>>9
x=1620,y=882,z=175

ア＋イウエオカ／キクケ＝１００
アtoケには１to９が１つずつ
半角で#アtoケ

>>29
答えじゃなく解き方を知りたいんだ、頼む。

とりあえず一個見つけた。

暇だからじーっと見てたが、>>4の一番上、簡単なのに解かれてないな。
ACに対角線引いてヘロンでも良いけど、
もっと簡単に解く方法もある。

○一般的な四角形に関する考察
凸四角形ABCDを考える。
但し辺の長さはAB=a, BC=b, CD=c, DA=d、
頂点の角度は∠A=θ, ∠C=φとする。

凸四角形ABCDの面積S=bc*sinφ/2+ad*sinθ/2…�@
また、余弦定理より、θとφの間の関係として、
a^2+d^2-2ad*cosθ=b^2+c^2-2bc*cosφ…�A
が導ける。

�Aの両辺をφで微分して、
dθ/dφ*sinθ=(bc/ad)sinφを得る。
これより、sinθ≠0及び凸四角形である事より、
dS/dφ=(bc/2)(sinθcosφ+cosθsinφ)/sinθ=(bc/2)sin(θ+φ)/sinθ=0となるのは、
θ+φ=πの時。増減表を書けばこの時Sは最大である事が分かる。
これを�@、�Aに代入する事で、
S_max=(ad+bc)sinφ/2
a^2-b^2+d^2-c^2=-2(ad+bc)cosφ…�B
�B及び凸四角形である事より、
sinφ=√{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}/{2(ad+bc)}
となるので、
S_max=(1/4)√{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
となる。


後は３秒で>>4の一番上は解ける。

>>4の二つ目のメールの奴変じゃないか？
3人の時の話で、最初にAがメールを受け取ったとして、
A→B→C→Aと送れば、最大３時間だろう。

一筆書きの法則
Gの頂点のうち、次数が奇数であるものがちょうど2つ⇔一筆書きできる
より、n個の点に対して、点同士を結んだ線の、一筆書きができる最大数は、
a_n=n{n-3/2+(-1)^(n+1)/2}/2+1/2+(-1)^n/2
が導けるので、
n=50を代入して、
50*(50-2)/2+1=1201
が正しい数だ。

ちなみにトリップはn=3の時と同じく1足りない。
問題の設定ミスだと思う。
a_3=3*(3-1)/2=3
a_4=4*(4-2)/2+1=5
でn=3, 4で合ってるから多分1201が正しい解答だと思う。
検証ヨロ。

すまん、このメールを送ってから、って書いてた。
当然オレの結果から-1するわけだわな。
トリップも合ってた。

>>4の1つ目

久々に計算用紙を使ったわい。

(x+1)(3x+1)(5x+1)…(19x+1)を展開した式のx^2の係数を求めよ

(x+1)(3x+1)(5x+1)…(19x+1)を展開した式のx^3の係数を求めよ

>>37

>>38

>>37
(　＾ω＾)

>>38
(　＾ω＾)

さすが東大生と東工大生だな

x^2+y^2=1上の動点P,Qと点A(1,0)について↑AP・↑AQの最小値を求めよ

x^2+y^2=1上の動点P,Qと点B(3,0)について↑BP・↑BQの最小値を求めよ

>44

>45

xyz空間に図形F:0≦z≦1-x^2，y＝0と、点A（a,1,0）（0≦a≦1）を通りxy平面に垂直な直線Lがある。
図形FをLの周りに一回転してできる立体の体積はπ{アa^4+イa^3+ウa^2+エa+オ}である
#ア,イ,ウ,エ,オ
半角数字で分数は分数のままで

>>48の問題、#ア,エでお願いします
トリこっちに変更です

>30

>37

>23
>38は計算面倒だな

>>44-45は(x,0)とするとx≧2とx<2で場合分けするんだね

n+1,n^2+n+8が共に自然数の3乗になるような自然数nを全て求めよ
n=1,2なら#1,2

>54

眠い

　

△ABCは二等辺三角形であり,外心が内接円の周上にある.
外接円および内接円の半径をそれぞれR,rとするとき,R/rを求めよ.

√3+2なら#√3+2

>>60

>>54

楕円x^2/a^2+(y-c)^2/b^2(a>0,c>b>0)上の点Pにおける楕円の接線とy=x^2の交点をQ,Rとする。
点Pの位置によらず∠QOR=45°or135°となるようなa,b,cの値を求めよ。
a=2,b=√3,c=4なら#2√34

1乗,2乗,…,18乗する時18乗して初めて1になる複素数はx個ある。
このx個の複素数が複素数平面上で表す点をA1,A2,…,Axとする。
P(1)の時PA1・PA2・…・PAxの値はyである。
点Qが原点中心半径1の円周上を動く時QA1・QA2・…・QAxの最大値はzである。
x=1,y=2,z=3なら#123

正20角形から3つの頂点を選んで3角形を作る時、鈍角3角形はx個、鋭角3角形はy個できる。
x=654y=321なら#654321

>>54
来い！

来い！

あ >>60 の答えです

>>37

>>38

>>49

>>23

f(2)=2,f(-2)=-2,-2<x<2の範囲に極大極小となる点が2点ずつ
存在し極大値はいずれも2極小値はいずれも-2となる5次関数
y=f(x)はy=アx^5+イx^4+ウx^3+エx^2+オx+カである。
ア=2イ=-3ウ=0エ=4オ=8カ=1なら#2-30481

2n^2+1と2n^2+10n+11の最大公約数として考えられる自然数nを全て求めよ
n=1,2なら#1,2

>74

自然数nを全て求めよじゃなくて
自然数を全て求めよだろ？

>>76
ご指摘の通りです。失礼しました。

http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de15.html

>>64

>>73

多分解けたが論証がなかなか面白い問題だから答え入力式には向いてないね。

上は>>74の答え。

>>4の上から六番目の内接円の問題

凸四角形ABCDはAB=AD=CD=1,BAD=48度,ADC=108度である。この時
凸四角形ABCDの面積は、a/b*{√(c+d√e)-√f}　である。

トリップは#a,b,c,d,e,f　それぞれに自然数が入る。

*但し、√(c+d√e)の部分は、c+d√eが√の中に入っている。（補足なので気にしないでください）

>>84

>>84

△ABCにおいて,∠Aの三等分線と辺BCとの交点を,Bに近いほうから順にD,Eとすると,
BD:DE:EC=2:1:3を満たす.∠Aを求めよ.

1°なら #1°

>>87

やべ三倍し忘れて入力してしもたと思ってやり直してトリップ試したが違うし……ｗ

何が間違ってるのかよく分からん

>>89

多分原因は°が半角だからかと。てか俺が全角にしたからいけないんですごめんなさい。

>>87の°半角ver.トリップ

そういうことなら納得。半角バージョンの答え

中学生の知識だけでできる

1/sin(2π/7)+1/sin(4π/7)+1/sin(8π/7) の値を求めよ.

ある自然数nが存在し、このどのような鈍角三角形Tが与えられたとしても、Tをn個の鋭角三角形に分割することができる。
このようなnの最小値を求めよ。
ただし、鈍角三角形とは、内角のうち一つがπ/2より大きい三角形のこと。
鋭角三角形とは内角すべてがπ/2より小さい三角形のこと。

答えはそのまま#8など数字を入力するだけでok!

>>95
すまんがトリップが>>54と同じような……

あれれ？

うん、すまんが答えが同じになるみたいだね

sin(π/2m)×sin(2π/2m)×sin(3π/2m)×……×sin((m-1)π/2m)
を計算せよ。
答えは√A/B^Cとなるので、#A,B,Cと入力すること

>>94

>>99

2次の正方行列AについてA^4+A^3+A^2+A+E=Oが成り立つ時trAの値は-ア/イ±√ウ/エとなる

4つの格子点で囲まれる1辺1の正方形を格子正方形と呼ぶ。
y=x/2*(x-30)^2は0≦x≦40の範囲で何個の格子正方形と交わるか？

なんか学コンとか宿題とか東大模試の過去問とかばっかだな。
別にそれが悪いとは言わんけど。

>>87

>>87
間違えた・・・

本文を書かないでやるとトリップチェック出来るのな

まあ難しくしようとすればキリがないわな。宿題が解ける人なら東大模試も
学コンも余裕だろうがそんな人を基準にして問題出されても過疎るし、
逆に簡単過ぎてもなんだし、結局学コンとかレベルが一番需要がありそう。

>>4の上から四番目の三次関数の問題

x(1),x(2)は正の整数であり、整数列x(n)は次の２条件を満たす。
・ x(n+2)=| x(n+1) - x(n) |
・ | x(n) | < 1338

x(1),x(2)を上記条件を満たす範囲で変化させ、x(n+1)=0となるnの最大値を求めよ

>>110訂正

x(1),x(2)は正の整数であり、整数列x(n)は次の２条件を満たす。
・ x(n+2)=| x(n+1) - x(n) |
・ | x(n) | < 1338

x(1),x(2)を上記条件を満たす範囲で変化させ、「初めて」x(n+1)=0となるnの最大値を求めよ

これか？

>>4の上から五番目の求積問題

凸多角形を考える。

45,93角形,N角形の対角線の本数の和とM角形の対角線の本数が一致しそれはL本である。

この時、N,M,Lを求めよ。但しトリップは#N,M,（Lの各桁の和） で半角数字。

>>65

>>102
計算してないけど大体分かるよね

>>111ってどうやるのでしょうか

>>4のラストの問題。

>>4の下から四番目

>>114
答え一意に定まるのか？

>>120
>>114ではないが仮に複数解があるのならそれを全部書いて問題に不備があると
指摘すればいいんじゃないか？正誤の確認は簡単だしね。

答え二通りあるっぽいね。

>>114
問題設定が簡単過ぎてミスが有ったら恥ずかしいが、
45*(45-3)/2+93*(93-3)/2+N*(N-3)/2-M*(M-3)=0
になるNとMを求めるんだよな？

(M, N)として、
(8, 103)
(31, 107)
(57, 117)
(63, 120)
(93, 138)
(126, 162)
(178, 205)
(248, 268)
(262, 281)
(336, 351)
(423, 435)
(567, 576)
(1025, 1030)
(1282, 1286)
(1710, 1713)
(5131, 5132)
がとりあえず見つかったんだが。

実際、45*(45-3)/2+93*(93-3)/2=5130
5131*(5131-3)/2-5132*(5132-3)/2=-5130

対角線の本数の和をn(n-1)/2として計算してしまった、恥ずかしい・・・

>>5の上から四番目の確率の問題

987654321は17で割り切れる。

a=8024691357024681357924681357924680357914680257914680257913680247913580247913580246913570246813579248
b=8372615946150483726837261594815048372603726159483504837260572615948379483726059261594837148372605948
を17で割った余りをそれぞれc, dとする。求めよ。

答えは#c,d

x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とする。
y/x+z/y+x/z=10を満たすx,y,zを求めよ。

ただし、回答は#x,y,zのように書くか、条件を満たすx,y,zがないなら#解なしと書くこと


>>9
のヒントになればと思って書いてみた。いや、俺も>>9の初等的解答は知らんのだけど……

x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とし、y/x+z/y+x/z=n（nは4以上の整数）を満たすとする。
このとき、条件を満たすいかなるx,y,zを持ってきたとしても、必ずある1より大きい自然数nが存在し
(xyz)^(1/n)はは自然数になる。

nの値を求めよ。

おっと、ｎがかぶった

x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とし、y/x+z/y+x/z=m（mは4以上の整数）を満たすとする。
このとき、条件を満たすいかなるx,y,zを持ってきたとしても、必ずある1より大きい自然数nが存在し
(xyz)^(1/n)はは自然数になる。

nの値を求めよ。

そろそろ危ないかな
ほしゅ

最近益田塾更新されてないけど何かあったのか？

>>131
リーマンショック

>>84

>>87

>>103のトリップが6031になってるんだが、おかしくないか？
y=x(x-30)^2/2
⇔(y-1000)={(x-20)^3+300(x-20)}/2
で、(x, y)=(20, 1000)が対称点だから、
それに応じて、格子正方形の大きさと位置を変えないように座標変換を施すと、

Y=(X^3-300X)/2
-20≦X≦20
の範囲で格子正方形と交わる個数

に問題は帰着する。

ここで、(X, Y)=(0, 0)は対称点なので、
-20≦X≦0の範囲と0≦X≦20とで交わる格子正方形の個数は等しい。
故に解は偶数でなければおかしい。
曲線が接するだけの格子正方形を入れても、奇数にはならない。

というわけで、正しい解は、
最小値Y=-1000を与えるX=10のまわり、即ちX=10±1で、
|Y(X=10±1)-Y(X=10)|≧1及び、
X=20でY=1000であることから、
(1000+2000+20/2)*2=6020
だと思うんだが。

見落としが有ったらヨロ。

まだ解かれてない問題
◆xgiKjPfyxU
aを正の定数とする。曲線C:y=1/x(x>0)上に2点P(t,1/t)Q(t+a,1/t+a)がある。
PにおけるCの接線をlとしQのlに関する対称点をRとする。
Rのy座標がつねに0以上であるような定数aの範囲を求めよ。

◆ZNk/vsbuv2
座標空間内に4点A(1,2,3)B(2,3,1)C(3,1,2)Dがありこの4点は正四面体の4頂点になっている。
↑l=(0,0,-1)を進行方向に持つ光線によりxy平面上に生じる正四面体ABCDの影の面積を求めよ。
√2+3なら#√2+3

◆Z7F3G1q8IE
四面体OABCがあり↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとする時↑a,↑b,↑cは
|↑a|=|↑b|=|↑c|=2,↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=k(-2<k<4)を満たしている
また頂点A,B,Cの平面OBC,OCA,OABに関する対称点をそれぞれA',B',C'とする。
三角形A'B'C'の面積が三角形ABCの面積の3倍になる時
四面体OA'B'C'の体積は四面体OABCの体積の何倍になるか。

◆stqxx1PqwA
xyz空間において3点(sinθ,0,0)(0,cosθ,0)(0,0,1)(0＜θ＜π/2)を通る平面αがある。
原点O(0,0,0)を中心とする球が平面αと接するとしその接点をPとする時線分OPの最大値を求めよ。

◆3uUNyHtF/I
半径2√3の円C上に2定点A,BがありAB=6とする。点Pが円C上を動く時
↑AB・↑APの最大値はアイ+ウエ√オとなる。ア〜オに半角数字。

◆2ZqkyGNmkg
3辺の長さが10x,10y,x^2+y^2の3角形がある。x,yが自然数の時x,yの値の組の数を求めよ。

◆bBolJZZGWw
xy平面上に原点を中心とする半径が1の円C1と半径が2の円C2がある。
C1に内接する正5角形の頂点をA,B,C,D,Eとし点PがC2を動く時PA・PB・PC・PD・PEの最大値を求めよ。

◆VQKJgiezS6
中心O、半径1の球面上の4点A,B,C,Dが正方形をなしている時
四角錐OABCDの表面積Sの取り得る値の範囲は0<S<□となる。
□=√2+1の時#√2+1

◆fDluT3x97c
1辺の長さが10の正方形ABCDの内部に点Pを取りPから辺BC,辺CDに下ろした垂線と
辺との交点をQ,Rとする。PがAP=8を満たしながら動く時四角形PQCRの面積Sの取り得る値の範囲はx≦S<yとなる。
x=2√3,y=7なら#2√37

◆UVa0TWClYA
円C1:x^2+y^2=1,円C2:(x-3)^2+y^2=4に外接しx軸の上側にある半径rの円の中心をPとする。
直線OPとx軸のなす角が60°となる時のrの値を求めよ。

◆CdVpMf.TDo
正20面体は20個の正三角形の辺々をつなぎ合わせてできる多面体であり
各頂点の周りには5つの正三角形が集まっている。
正20面体の隣り合う2面のなす角をθとする時cosθの値を求めよ。

◆cRTasLFUB6
1つの頂点から出る3辺の長さの和が12,1つの頂点に集まる3つの面の面積の
和が45の直方体の体積の最大値を求めよ

◆oe8HcmRqSs
1〜10までの数字が書かれたカードが1枚ずつある。この中から3枚のカード
を抜き出すとき抜き出したカードに書かれた3つ数字の積の期待値を求めよ

◆si65ga2MW6
相異なる7個の数字を3個のグループに分ける場合の数を求めよ。
ただし各グループは少なくとも1つの数字を含むものとする。

◆fmla9PMXkI
AB=AC,BC=1の2等辺3角形ABCにおいて辺AB上に点DをAD=CDを満たすように取る。
3角形ABCを変化させるときCDの長さの最小値を求めよ。

◆6DJl.8QTXA
-1<a<1を満たす実数aに対して不等式ax^2+(a+5)x-6a-1>0
を常に満たすような実数xの値の範囲を求めよ。

◆M5SgXGvBMI
2つの円x^2+y^2=1,(x+a+1)^2+(y-a)^2=2a^2+4に引いた接線の長さが等しい点Pの軌跡をlとする。
原点とl上の点との距離の最小値をd(a)とする時d(a)の最大値を求めよ。

◆H5wAVi2uhY
nを自然数とし2^(n-1)+5^(n-1)+7^(n-1)を10で割った余りをan(n=1,2,3…)とおく時Σ(k=1〜402)akの値を求めよ。

◆BHMb/z05DY
赤色、青色、黄色のカードがそれぞれ大小1枚ずつ合計6枚ある。
このカードを同じ色が隣り合わないように横一列に並べる並べ方は何通りあるか。

◆JYCvS9mfUA
大,中,小のサイコロを同時に投げ出た目の数をそれぞれa,b,cとして分数x=(b+c)/2^aを作る。
3つのサイコロを3度投げて得られた分数を順にx1,x2,x3とする。
1/8≦x1+x2＜1/4かつx1+x2+x3が整数になるような目の出方は何通りあるか。

◆SxtYbZEebE
平面上に1辺の長さが2の正3角形ABCと3角形ABCの内部(周上を除く)に点Pがある。
辺BC,辺CA,辺ABに関して点Pと対称な点をそれぞれL,M,Nとする時
3角形LMNが鋭角3角形となるような点Pが存在する領域の面積を求めよ。
2√2-πなら#2√2-π

◆eB.VEsDn4M
数列{an}(n=1,2,3,…)はa(n+1)=4an^3-3an(n≧1)を満たしn≧10の時
an=a(正の定数)が成り立つ時a1の取り得る値は何通りあるか。

◆EB/UeUs8cY
サイコロを3回振って出た目の数をa,b,cとする。
この時方程式x^3-ax^2+bx-c=0が少なくとも1個の整数解を持つ確率を求めよ。

◆E8gSq4H0r2
1辺の長さが1の立方体を中心を通る対角線の内の1本を軸として
回転させた時この立方体が通過する部分の体積を求めよ。
√2π/6なら#√2π/6

◆FSrC.U7v3g
長さ1の線分sが12本あわさってできた図形がある。
この図形から7本のsを取り除く時何本かのsによって囲まれる多角形が少なくとも1つあるような取り除き方は何通りあるか。
ただし回転して重なるものも別とみなす。
(補足)問題の図形とは一辺の長さ1の正六角形に長さ2の対角線を3本引いたもの

◆oAjkLC5FGY
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど9年後につながる確率を求めよ。

◆9u62eQ2diw ◆/wXPRRNjH2
数列a(n),n=1,2,3,・・・を次のように定義する。
a(1)=0、n>1のとき
a(n)=a([n/2])+(-1)^m、m=n(n+1)/2
ただし、[t]はtを超えない最大の整数とする。
(1)2008以下のnに対してa(n)の最大値、最小値を求めよ。またこのときのnの値をそれぞれ求めよ。
(2)2008以下のnに対してa(n)が0となるnの個数を求めよ
(a)◆9u62eQ2diw
(1)のa(n)が最大のときのnの値abcd、a(n)が最小のときのnの値efghとして #abcdefgh
(b)◆/wXPRRNjH2
(1)の a(n)の最大値,a(n)の最小値、(2)のa(n)が0となるnの個数の順に半角でそれぞれの値を区切らずに半角で入力してください
例a(n)の最大値が7,a(n)の最小値が-1、(2)a(n)が0となるnの個数が100個ならば
#7-1100

◆PNQNSBht1M
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど6年後につながる確率を求めよ。
(補足)問題の図とはA市とB市を三段のはしご状
もしくは縦棒二本に横棒が三本のあみだくじ状の道路でつなげたもので、上端、下端にそれぞれA市、B市がある

◆YZdC6ZQS
太郎君は2円花子さんは3円持っている。じゃんけんをし太郎君が勝ったら
花子さんから1円もらい負けたら花子さんに1円払う。どちらかの所持金が
0円になった時ゲームは終了し0円になった者が敗者となる。
太郎君がじゃんけんに勝つ確率が2/5の時太郎君がこのゲームで勝つ確率を求めよ。

◆Jj44NOFea2
立方体ABCD-EFGHがあり点Pは辺ABの中点、点Qは辺AEをp:(1-p)(0<p<1)
に内分する点、点Rは辺BCを1:2に内分する点である。3点P,Q,Rを通る
平面が辺GHと共有点を持つようなpの値の範囲を求めよ。
1/6≦p≦1/3なら#1/6,1/3
疲れたので後は宜しく

◆PdRLke3XiE
楕円x^2/a^2+(y-c)^2/b^2(a>0,c>b>0)上の点Pにおける楕円の接線とy=x^2の交点をQ,Rとする。
点Pの位置によらず∠QOR=45°or135°となるようなa,b,cの値を求めよ。
a=2,b=√3,c=4なら#2√34

◆Ieqw2mft7c
987654321は17で割り切れる。
a=8024691357024681357924681357924680357914680257914680257913680247913580247913580246913570246813579248
b=8372615946150483726837261594815048372603726159483504837260572615948379483726059261594837148372605948
を17で割った余りをそれぞれc, dとする。求めよ。
答えは#c,d

◆Gz4mzkFSVs
x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とする。
y/x+z/y+x/z=10を満たすx,y,zを求めよ。
ただし、回答は#x,y,zのように書くか、条件を満たすx,y,zがないなら#解なしと書くこと

◆lnkYxlAbaw
x,y,zをどの二つをとっても互いに素な自然数とし、y/x+z/y+x/z=m（mは4以上の整数）を満たすとする。
このとき、条件を満たすいかなるx,y,zを持ってきたとしても、必ずある1より大きい自然数nが存在し
(xyz)^(1/n)はは自然数になる。
nの値を求めよ。

>>136
一問目

>>136
二問目は√3+1がトリだが、
Dが指定されてないから求まらない。

>>136
4問目

>>136
5問目

>>136
6問目
出かけるから計算せず適当に。

>>136
7問目

>>136
8問目

四角錘じゃないだろこれ

>>136
9問目のトリップキーは1820だが、
解答は
132-80√2≦S<20
左辺は18に近い値だが18ではない。

みんなセンター対策で忙しいだろうから、さむらい一人w

>>136
10問目

うむ、少し寂しいぞ。

今日はこの位で良いか。

さむらいすごいな。1問置いていこっと。
15/n(nは自然数)が小数第3位となる数の総和を求めよ。

>>136
11問目

>>136
12問目

>>136
13問目

>>150は問題の意味が一意では無さそうなので放置

さむさむは勉強得意だと思ってたけど、
思っていたよりすごかったんだな。。

考えてみたけどスレタイの意味がわからんｗ
なんだ「頂決」って。

頂上決戦の略だったかな

ぶさんは理三受けるの？

a,b,pを整数とする。長方形ABCDに対し、辺AD,CD上(いずれも端点を除く)に
それぞれ点P,Qをとる。このとき、AB=a,CQ=bとなり、三角形BPQは各辺
の長さがpの正三角形となった。pの最小値及びその時のa,bの値を求めよ。

>>158については、
a=1,b=2,p=3なら、#1,2,3と答えてください。

>>158

>>160
流石です。
やっぱりあっという間に解かれるものなんですね。
ただの計算問題ですがもう１問置いていきます、、、

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、CとGの中点をIとする。
立方体を直線AIを軸に回転させるとき、立方体が通過する領域の体積を求めよ。
答えは、(3-√3)πなら#(3-√3)π

何度も失礼します。
>>161の正しいトリップは「QVWWjRZ54s」です。

>>137
一番上。7S3の値。第２種スターリング数。

>>137
2問目。
答えはa√b/cの時
#a√b/c

>>137
3問目
a≦x<bの時、
#a≦x<b

ほ

あ・い・ぶ　は数学最強世代

し

あ

いうおとかなつかしすぎ
大樹板東大スレで見かけて以来だ

>>170
元コテさん？

2006年頃に常駐してましたね
底辺くんとかずれたぃとか理一首席とかいたっけ

ていへんたんは最近来てたな　いうおはまだあそこいるよ

のぞいてみたけど別次元だなｗ
相変わらず、スレタイ詐欺すぎるｗ

@

体積Vの立方体に含まれる四面体のうち体積が最大のものの
体積をVをもちいて表せ。
2/9Vなら#2/9V

てかこんな問題で頂決？プゲラッチョもいいとこ

>>176
簡単過ぎる

>>178
証明はどのようにされましたか？

さ、ぶ、い、あ、ち　はしっかり論証も出来る上で解いてる
出来なかったときは出来ないと素直に言う。言わないときはできてる

>>180
もっときれいな別解があったら見てみたいなと思ったので…

本当にさむらいの論証は見てみたい。

論証っていうか、普通に4点動かしたら出るだろ。
全くエレガントではないが。
それ以上に対称性から答えが自明なんだよ。
円の中に入る三角形で最大のものが正三角形になるのと同じぐらいの意味で。

確かに「球に内接する四面体の最大値≧同じ球に内接する立方体に含まれる四面体の最大値」であることを考えて
それらが同じになることを示せば簡単だけど、素直に立方体の面上の4点を動かして計算するのは大変じゃないかなー、とも思う。

プライドがお高い人

基本的にこういうところで問題解いて書き込む人はプライドが高いんじゃないかな。

プライドが高いというよりは算数が好きなだけだよ

>>137
4番目

>>137
5番目

>>137
6番目

xy平面上に半径1である3つの円C_1,C_2,C_3がある。
C_1の中心は原点Oに固定されている。
C_2はC_1のまわりを反時計回りに、C_3はC_2のまわりを時計回りに同じ速さで滑らずに転がる。
初め、C_2,C_3の中心O_2,O_3はそれぞれ点(2,0),(4,0)にあり、C_2上の点PはP_0(1,0)に、C_3上の点QはQ_0(5,0)にあるとする。
∠O_2OP_0=θとするとき、θが0≦θ≦πの範囲で変化するとすると、点P,Qの軌跡及びx軸のx≧0の部分で囲まれる図形の面積を求めよ。

答え入れ忘れたｗ

ん

>>さむさむ
東大生に無能だと馬鹿にされるんですけどどうしたらいいですか？
まともに取り合ってくれません
やっぱり絶対的な届かない壁があるんですかね＞私立
まぁわかってます
それらに劣らない力をつければいいんですよね
でも・・・・・
う〜ん

>>137の五番目

>>194
自分に自信が有るならそいつを放っておけば良い。
自信が無いなら自信を持てるだけの能力を持て。

>>137
7個目

>>197
8個目。

座標おいて式立てたら簡単に解けるけど、
幾何学的に解いてみたいね。

>>137の8個目だった

9個目は文意が意味不明なので却下。

>>137
9個目
これかな。

10個目だった。

コマ大面白いね

>>137の8個目。

>>137の9個目のトリップは取り敢えず調べておいた。
9842だな。

さむらいの解析のおかげで謎は全て解けた。

まず初項をcosXと置いて、（絶対値Xが1より大きいと発散するのでこうおける）

三倍角の公式を10回適用して、それを1とおき解の数を数えると9841（2^9-1/2）。

ただ10回目に-√3/2も許されるので9842となる。

題意は、

10回目以降からのみ数列が安定する初項の数を求めよ


だと考えられます。

↑絶対値Xではなくて絶対値初項でした。

何回も申し訳ありませんm(__)m

>>205に、三倍角の公式を10回とか書いてますが、9回です。

しかも、9841=(3^9-1)/2です。何故か3を2と書いてました。慌てすぎました。

>>137
５番目

>>137
計算してないけどこの位じゃね。

>>137
12個目

>>137
13個目
問題が一意ではない。

>>138
1つめ(a)

>>138
1つめ(2)

>>138
2つ目
図が良く分からん

>>138
3つ目
太朗がじゃんけんに勝つ確率は設定されているが、
太朗が引き分けになる確率(つまり負ける確率)が設定されていない為、

花子に2回負けるまでに太朗がじゃんけんに3回勝つ確率が計算できないと思う。

>>138
4つ目

これは5分ぐらいで解ける筈。
センターぐらいで出てても不思議ではない。

>>138
5つ目

まぁ普通に順当にやれば解ける。

>>138
7つ目

まぁ普通に順当にやれば解ける。

>>138
8つ目

さむさむなんでそんなことやってる暇あるの？

>>220
察してやれ

たしかに

数学できないくせに数学の問題だけ出して悦に浸ってる奴の問題は大体消去できたな。
問題出すなら問題を解け、と。

残ってる問題

◆Ieqw2mft7c
987654321は17で割り切れる。
a=8024691357024681357924681357924680357914680257914680257913680247913580247913580246913570246813579248
b=8372615946150483726837261594815048372603726159483504837260572615948379483726059261594837148372605948
を17で割った余りをそれぞれc, dとする。求めよ。
答えは#c,d

>>220-221
不覚にもﾜﾗﾀ

さむさむ宇宙には興味あった？

>>137の11個目。思いの外良文。

ほう

>>218
その問題考えなくても分かるんだがｗｗｗｗ

>>228
察してやれ

>>220
さむらいさんは一流企業に内定決まったから暇なんだよ

>>230
受験しない方、大学生では無い方は早々にお引き取り願います。

どっちにもあてはまらないです

>>228
どうみても、証明向きの問題だしね……誰か証明気本

>>233
この問題に関しては、題意を満たすような解が無いことは容易に説明できる。

大まかに書くと、

10xyz=xz^2+yx^2+zy^2 と変形して、例えば両辺をx(題意より0では無い)で割る。

するとzy^2/xが割り切れる必要があるが、x,y,zは互いに素だから不可能。

つまり互いに素だと仮定すると矛盾（等価な式への変形が成り立たない）が生じてしまう。

従って題意を満たすようなx,y,zは存在しない。

>>234の次の問題(>>138の8つ目)が意味不明なんだが

とりあえず保守age

暇だから準備体操レベルのを一問出しとくかな。

【問】XY平面上に曲線C:Y=X^2と点Pをとる。点Pを通るような
曲線Cの法線がちょうど2本引けるとき、
点Pの軌跡を表す曲線の、Y>X^2に存在する部分の長さを求めよ。

例えば答えが、7√7+2πならば、トリップキーは#7√7+2πとする。

>>237
色々解き方有るけど、
一番最初には思い付かなさそうなのは、
良く有る曲率円の中心を使う方法かな。