医学部再受験日記
79 ：ピモコリアン ◆cG9/G9eWTA ：
勉強の集中力切れたから、要約集作ってみた
「数Ⅲ積分」で壁にぶち当たる人が多いから、マスターへの道（理想）を作ったよ
抜けてる部分もあると思うけど、網羅性は結構高いと思うので
参考書でその単元を勉強するとき、参照してくれれば
【 数Ⅲ積分マスターへの道 】
～目次～
０,基本的な積分計算の取得
１,応用レベルの誘導付き積分計算（入試レベル）
２,積分方程式
３,定積分の漸化式
４,面積
５,体積
６,区分求積法
７,曲線の長さ
８,積分の不等式
９,微積の定義
10,微分方程式
０,基本的な積分計算の取得
置換積分、ぶんぶん積分、特殊基本関数、eの関数の積分
とりあえずこの４種類取得すれば、計算において困ることは殆どない
（困るような場合は、もうその計算自体が誘導付きで入試問題となって
いたりする→１）
１,応用レベルの誘導付き積分計算（入試レベル）
一見すると、０の計算がどれも使えず、こんなの計算できねえ！という
ような積分の計算。
「置換」や「偶関数・奇関数の性質」などある技を使ったりして問題を
解きほぐして行く。すると、最終的には０の計算に帰着。どの技を使うの
かはたいていその問題の(1)で明示されている（足せ！とか引け！とかeを
かけろ！、二項定理使え！とか）
「数Ⅲ積分」で壁にぶち当たる人が多いから、マスターへの道（理想）を作ったよ
抜けてる部分もあると思うけど、網羅性は結構高いと思うので
参考書でその単元を勉強するとき、参照してくれれば
【 数Ⅲ積分マスターへの道 】
～目次～
０,基本的な積分計算の取得
１,応用レベルの誘導付き積分計算（入試レベル）
２,積分方程式
３,定積分の漸化式
４,面積
５,体積
６,区分求積法
７,曲線の長さ
８,積分の不等式
９,微積の定義
10,微分方程式
０,基本的な積分計算の取得
置換積分、ぶんぶん積分、特殊基本関数、eの関数の積分
とりあえずこの４種類取得すれば、計算において困ることは殆どない
（困るような場合は、もうその計算自体が誘導付きで入試問題となって
いたりする→１）
１,応用レベルの誘導付き積分計算（入試レベル）
一見すると、０の計算がどれも使えず、こんなの計算できねえ！という
ような積分の計算。
「置換」や「偶関数・奇関数の性質」などある技を使ったりして問題を
解きほぐして行く。すると、最終的には０の計算に帰着。どの技を使うの
かはたいていその問題の(1)で明示されている（足せ！とか引け！とかeを
かけろ！、二項定理使え！とか）
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80 ：ピモコリアン ◆cG9/G9eWTA ：2006/04/23(日) 04:01:06 ID:utCM+RVu0
２,積分方程式
パターンは２種類のみ。わかってる人には楽勝な部分だが、
数Ⅲ不得意の人の方が多いので普通の模試だとここができただけで差が
ついてしまう。
パターン１：積分区間が定数→Aと置く（文字で置く）
パターン２：積分区間が変数→微分する
なおパターン２では、安易に微分すると間違えるような仕掛けがされて
ること非常に多し（被積分関数に積分変数以外の邪魔な文字がある）
「邪魔な文字の対処法」
その１：∫の外に邪魔な文字を追い出し、合成関数の微分を適用
その２：三角関数の中に入ってるので（∫sin(x＋t) dx 等）、tを外に
出せないのですが？→加法定理
３,定積分の漸化式
昔の代ゼミの模試でこれが出て典型問題だが、
平均/配点が、5/30 ぐらいだった
数列の漸化式と違って一気に答えが出せないのが最初は難しいのかも。
たいてい部分積分を使って漸化式を作る。
以下の典型問題はどの参考書にも載ってるはずだから、何回も解いて
完璧にしよう
～「定積分の漸化式」の有名＆典型問題～
・三角関数のn乗を求めよ、ってやつ
・数Ⅱの「６分の１公式」の大元とも言える公式の証明
４,面積
・「グラフの交点が求まらないor求まっても非常に汚い」
→求まらない交点は文字で置け！そして最後に自分で置いたその文字を消去
・逆関数の利用
・快感の始まり１：扇形近似
パターンは２種類のみ。わかってる人には楽勝な部分だが、
数Ⅲ不得意の人の方が多いので普通の模試だとここができただけで差が
ついてしまう。
パターン１：積分区間が定数→Aと置く（文字で置く）
パターン２：積分区間が変数→微分する
なおパターン２では、安易に微分すると間違えるような仕掛けがされて
ること非常に多し（被積分関数に積分変数以外の邪魔な文字がある）
「邪魔な文字の対処法」
その１：∫の外に邪魔な文字を追い出し、合成関数の微分を適用
その２：三角関数の中に入ってるので（∫sin(x＋t) dx 等）、tを外に
出せないのですが？→加法定理
３,定積分の漸化式
昔の代ゼミの模試でこれが出て典型問題だが、
平均/配点が、5/30 ぐらいだった
数列の漸化式と違って一気に答えが出せないのが最初は難しいのかも。
たいてい部分積分を使って漸化式を作る。
以下の典型問題はどの参考書にも載ってるはずだから、何回も解いて
完璧にしよう
～「定積分の漸化式」の有名＆典型問題～
・三角関数のn乗を求めよ、ってやつ
・数Ⅱの「６分の１公式」の大元とも言える公式の証明
４,面積
・「グラフの交点が求まらないor求まっても非常に汚い」
→求まらない交点は文字で置け！そして最後に自分で置いたその文字を消去
・逆関数の利用
・快感の始まり１：扇形近似
81 ：ピモコリアン ◆cG9/G9eWTA ：2006/04/23(日) 04:02:26 ID:utCM+RVu0
５,体積
・快感の始まり２：バームクーヘン分割
・快感のさなか ：パップスギュルダンの定理（反則、お薦めしません）
・快感の終わり？：傘型求積（回転軸がｘ軸やｙ軸と平行でない回転体の体積
くらいでしか使わない。しかもほとんど出ないらしい）
６,区分求積法
ワンパターン。しかし、一般の受験生は２，３の段階で挫折してることが
多いのでこの単元を無勉という人多い。でも医学部志望者は余裕で解きた
いところ。
ポイントは、如何にして「lim(n→∞)1/nΣf(k/n)」の形を作るかのみ
７,曲線の長さ
６と同じ理由で大して難しくないけど差がつく。公式を丸覚えするのでなく
三平方の定理が公式の出所だと理解しとけば一生忘れない。
ポイントは、最後の積分計算のとき、如何にして√に対処するか
～√の対処法～
・√の中身を２乗の形にして外す（たいてい三角関数の公式を駆使）
・特殊基本関数になっているかチェック
８,積分の不等式
難。有名問題でも白紙提出が多い。
過去の代ゼミ模試で、0.2/30（平均/配点）という悲劇があった。
この単元の目的は、「不等式を使ってはさみうち」
なぜはさむか？→０みたいに直接計算できないから
不等式は、(ア)与えられてる、(イ)自分で作らなきゃいけない、の２通り
(ア)の場合、(1)あたりで証明させるが、
(イ)の場合は「被積分関数の一部を評価して不等式を作る」、「グラフを書
き、そこからわかる事実から不等式を作る」、「平均値の定理大爆発」
「面積の大小関係の利用」、「テイラー展開が大元」とか方法が色々あ
り大変。しかも、どの方法が適切かなんて・・・
数学の偏差値63以上になってから、取得しても遅くないと思うよ
・快感の始まり２：バームクーヘン分割
・快感のさなか ：パップスギュルダンの定理（反則、お薦めしません）
・快感の終わり？：傘型求積（回転軸がｘ軸やｙ軸と平行でない回転体の体積
くらいでしか使わない。しかもほとんど出ないらしい）
６,区分求積法
ワンパターン。しかし、一般の受験生は２，３の段階で挫折してることが
多いのでこの単元を無勉という人多い。でも医学部志望者は余裕で解きた
いところ。
ポイントは、如何にして「lim(n→∞)1/nΣf(k/n)」の形を作るかのみ
７,曲線の長さ
６と同じ理由で大して難しくないけど差がつく。公式を丸覚えするのでなく
三平方の定理が公式の出所だと理解しとけば一生忘れない。
ポイントは、最後の積分計算のとき、如何にして√に対処するか
～√の対処法～
・√の中身を２乗の形にして外す（たいてい三角関数の公式を駆使）
・特殊基本関数になっているかチェック
８,積分の不等式
難。有名問題でも白紙提出が多い。
過去の代ゼミ模試で、0.2/30（平均/配点）という悲劇があった。
この単元の目的は、「不等式を使ってはさみうち」
なぜはさむか？→０みたいに直接計算できないから
不等式は、(ア)与えられてる、(イ)自分で作らなきゃいけない、の２通り
(ア)の場合、(1)あたりで証明させるが、
(イ)の場合は「被積分関数の一部を評価して不等式を作る」、「グラフを書
き、そこからわかる事実から不等式を作る」、「平均値の定理大爆発」
「面積の大小関係の利用」、「テイラー展開が大元」とか方法が色々あ
り大変。しかも、どの方法が適切かなんて・・・
数学の偏差値63以上になってから、取得しても遅くないと思うよ
82 ：ピモコリアン ◆cG9/G9eWTA ：2006/04/23(日) 04:03:32 ID:utCM+RVu0
９,微積の定義
これも難。「何で積分すると面積が出るんですか？」という証明問題など他。
簡易的な説明だとたぶん０点。
この手の問題では、極限を用いてあくまでも「数学的に」証明する必要がある。
10,微分方程式
変数分離型をまず取得しとけばよい。
計算だけのものは慣れてしまえば０の積分計算と変わらない。
文章題も問題文の書いてある通りに立式してけば割りと簡単に微分方程式が
できる。変数分離型以外が出たらそれは範囲外なので誘導が付く。
自然界の現象を数式化すると必ずと言っていいほどそれは微分方程式に
なっている。
この微分方程式まで終わると、高校数学全体を見渡す余裕ができるので、
見え方が変わってくるはず。 （了）
こうやって書くと積分だけでもかなりの量になるんだなあ
これも難。「何で積分すると面積が出るんですか？」という証明問題など他。
簡易的な説明だとたぶん０点。
この手の問題では、極限を用いてあくまでも「数学的に」証明する必要がある。
10,微分方程式
変数分離型をまず取得しとけばよい。
計算だけのものは慣れてしまえば０の積分計算と変わらない。
文章題も問題文の書いてある通りに立式してけば割りと簡単に微分方程式が
できる。変数分離型以外が出たらそれは範囲外なので誘導が付く。
自然界の現象を数式化すると必ずと言っていいほどそれは微分方程式に
なっている。
この微分方程式まで終わると、高校数学全体を見渡す余裕ができるので、
見え方が変わってくるはず。 （了）
こうやって書くと積分だけでもかなりの量になるんだなあ