高2からの受験数学
このスレの目的は高２の時点から入試頻出分野である微積分、数列、確率、場合の数、行列、整数、合同式、ガウス記号等を扱っていきさらには問題の背景についても考えたりしていくというものです。
私自身も出題していきますが勉強になると思ったり面白いもんだいがあれば書きこんでください。※解答は書いてください
このスレは中高一貫校生または数３Ｃをある程度理解している人を対象にしたいと思います。
では第一問 ガウス記号の基本問題です
次の極限値を求めよ〔ｘ〕はｘを超えない最大の整数
（１）lim(n→∞)〔n/3〕/n
（２）lim(n→∞){（n^2+〔n/3〕）^1/2-n}
まずは考えてください 出題校および解答はのちほど書きます。
私自身も出題していきますが勉強になると思ったり面白いもんだいがあれば書きこんでください。※解答は書いてください
このスレは中高一貫校生または数３Ｃをある程度理解している人を対象にしたいと思います。
では第一問 ガウス記号の基本問題です
次の極限値を求めよ〔ｘ〕はｘを超えない最大の整数
（１）lim(n→∞)〔n/3〕/n
（２）lim(n→∞){（n^2+〔n/3〕）^1/2-n}
まずは考えてください 出題校および解答はのちほど書きます。
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2 ：ちょもらん ◆0NA2aHr0bk ：04/12/17 15:10:29 ID:cS5zfNDO
漏れは私立文系っと････････････
3 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 15:35:04 ID:IXJMCjqD
>>1
(1)
(n/3)-1<[n/3]≦n/3なので
lim(n→∞){(n/3)-1}/n<lim(n→∞)[n/3]/n≦lim(n/3)/n
1/3<lim(n→∞)[n/3]/n≦1/3
ハサミウチの原理よりlim(n→∞)[n/3]/n=1/3
(2)
lim(n→∞){(n^2+[n/3])^1/2-n}
=lim(n→∞)[n/3]/{(n^2+[n/3])^1/2+n}
=lim(n→∞){[n/3]/n}/{(1+[n/3]/n^2)^1/2+1}
=1/6 (∵(1))
(1)
(n/3)-1<[n/3]≦n/3なので
lim(n→∞){(n/3)-1}/n<lim(n→∞)[n/3]/n≦lim(n/3)/n
1/3<lim(n→∞)[n/3]/n≦1/3
ハサミウチの原理よりlim(n→∞)[n/3]/n=1/3
(2)
lim(n→∞){(n^2+[n/3])^1/2-n}
=lim(n→∞)[n/3]/{(n^2+[n/3])^1/2+n}
=lim(n→∞){[n/3]/n}/{(1+[n/3]/n^2)^1/2+1}
=1/6 (∵(1))
>>３
正解です。高2ですか？
このパターンはガウス記号の定義(〔ｘ〕≦ｘ＜〔ｘ〕+１やｘ-１＜〔ｘ〕≦ｘ）で範囲を絞ってはさみうちの原理を使います
（１）1/3(ガウス記号の定義より n/3-1＜〔n/3〕≦n/3 ⇔1/3-1/n＜〔n/3〕/n≦1/3
（２）1/6((1)を利用して挟めます
（昭和５０年北海道大学の問題です）
これを知ってしまえば次の発展問題も簡単に解けます
lim(n→∞)∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^2〕/n^2
まずは考えてください
正解です。高2ですか？
このパターンはガウス記号の定義(〔ｘ〕≦ｘ＜〔ｘ〕+１やｘ-１＜〔ｘ〕≦ｘ）で範囲を絞ってはさみうちの原理を使います
（１）1/3(ガウス記号の定義より n/3-1＜〔n/3〕≦n/3 ⇔1/3-1/n＜〔n/3〕/n≦1/3
（２）1/6((1)を利用して挟めます
（昭和５０年北海道大学の問題です）
これを知ってしまえば次の発展問題も簡単に解けます
lim(n→∞)∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^2〕/n^2
まずは考えてください
すいません問題うち間違えました
正確にはlim(n→∞)∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2です
正確にはlim(n→∞)∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2です
6 ：さむらい(´ー｀)y-~~ ◆mxxSAMURAI ：04/12/17 15:47:56 ID:mGrPg4rV
収束速度、発散速度を考えるとらくだよね。
そこからロピタルが生まれると思っているのだが。
そこからロピタルが生まれると思っているのだが。
8 ：さむらい(´ー｀)y-~~ ◆mxxSAMURAI ：04/12/17 15:57:58 ID:mGrPg4rV
いや、しらないけどｗ
数学科じゃないしね。
でも分母と分子をそれぞれで微分するとかいった考え方が、
ある種の「速度」って物を表してるんじゃないかなあって思うよ。
数学科じゃないしね。
でも分母と分子をそれぞれで微分するとかいった考え方が、
ある種の「速度」って物を表してるんじゃないかなあって思うよ。
9 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 16:09:48 ID:dhlGwcY8
理系ってカッコいいよな。
俺は私文志望だけど、大学入ったら高校数学程度は勉強しなおしたいと思ってるよ。
俺は私文志望だけど、大学入ったら高校数学程度は勉強しなおしたいと思ってるよ。
10 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 16:12:15 ID:IXJMCjqD
俺の伯父さんは名大経済→興銀(現みずほ)って言う人だけど、
高校時代数学ができなかったって言うコンプがあったらしく、
ちょっと前に、朝早く出社して誰もいない会社で青チャート解いてたらしい。。
高校時代数学ができなかったって言うコンプがあったらしく、
ちょっと前に、朝早く出社して誰もいない会社で青チャート解いてたらしい。。
努力家の伯父様ですね。
>>4の解答です
ガウス記号の定義より
(2n^2-k^2)^1/2-1＜〔(2n^2-k^2)^1/2〕≦(2n^2-k^2)^1/2であるから
∑(k=1→ｎ)（(2n^2-k^2)^1/2-1）/n^2＜∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2≦∑(k=1→ｎ)(2n^2-k^2)^1/2/n^2…①
ここでｎ→∞をすると区分求積分により∫（0→1）(２－ｘ^2)^1/2dx＝π/4+1/2左辺と右辺がこの値に収束∴ハサミウチの原理により
lim(n→∞）∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2＝π/4+1/2
（２０００年大阪大学理系前期）より
ガウス記号の定義をちゃんと理解していたら教科書レベルですね
ガウス記号の定義より
(2n^2-k^2)^1/2-1＜〔(2n^2-k^2)^1/2〕≦(2n^2-k^2)^1/2であるから
∑(k=1→ｎ)（(2n^2-k^2)^1/2-1）/n^2＜∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2≦∑(k=1→ｎ)(2n^2-k^2)^1/2/n^2…①
ここでｎ→∞をすると区分求積分により∫（0→1）(２－ｘ^2)^1/2dx＝π/4+1/2左辺と右辺がこの値に収束∴ハサミウチの原理により
lim(n→∞）∑（ｋ＝１→ｎ)〔(2n^2-k^2)^1/2〕/n^2＝π/4+1/2
（２０００年大阪大学理系前期）より
ガウス記号の定義をちゃんと理解していたら教科書レベルですね
問題の背景にゼータ関数を持つものをあげてみたいと思います。
ゼータ関数とは下のような関数です
ζ(n) = 1/1^n + 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + …
入試では具体的に下のものを背景にしたものが出ます。
ζ(1) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = ∞
ζ(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … = π^2/6
ζ(2)の証明は下のサイトに出ています（大学の範囲）
ttp://www.tekipaki.jp/~rootzx/html/Riemann%20Zeta%20Function.html
この系統の問題は図を書くことが何より大事です。
ここでひとつ問題を出しましょう。
ｎ≧２のとき log(n+1)＜1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … +1/n＜1+logn
ゼータ関数とは下のような関数です
ζ(n) = 1/1^n + 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + …
入試では具体的に下のものを背景にしたものが出ます。
ζ(1) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = ∞
ζ(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … = π^2/6
ζ(2)の証明は下のサイトに出ています（大学の範囲）
ttp://www.tekipaki.jp/~rootzx/html/Riemann%20Zeta%20Function.html
この系統の問題は図を書くことが何より大事です。
ここでひとつ問題を出しましょう。
ｎ≧２のとき log(n+1)＜1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … +1/n＜1+logn
15 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 21:29:24 ID:uzTqQwA9
こんなのどお。
lim(x→1)〔-x^2+2x+3〕の極限値は存在するか、存在するなら、その値を求めよ。
答えはメール欄。
lim(x→1)〔-x^2+2x+3〕の極限値は存在するか、存在するなら、その値を求めよ。
答えはメール欄。
16 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 21:41:32 ID:h0tuMbPb
ふと思い出したんだが、うちの数学の教授は「明らか」とか「自明」という言葉を
テスト答案に使うと容赦なく×くれる人だった・・・
テスト答案に使うと容赦なく×くれる人だった・・・
17 ：１ ◆RkRjHmwHq6 ：04/12/17 22:08:50 ID:aj+zUavD
ゼータ関数の続きですζ(2)=π^2/6の大雑把な評価の問題です。
正の整数ｎに対して、
S(n)=1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2とおく
（1）１≦ｋ＜ｎをみたす整数ｋ、ｎに対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ
1/(k+1) -1/(n+1)＜S(n)-S(k)＜1/k -1/n
（2）すべての正の整数ｎに対して、S(n)＜1.7が成り立つことを証明せよ
>>15 質問なんですけど右と左か１に近づけるのでは値が違うのではないですか？
自分は高２なので細かいことはわからないんですけど
正の整数ｎに対して、
S(n)=1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2とおく
（1）１≦ｋ＜ｎをみたす整数ｋ、ｎに対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ
1/(k+1) -1/(n+1)＜S(n)-S(k)＜1/k -1/n
（2）すべての正の整数ｎに対して、S(n)＜1.7が成り立つことを証明せよ
>>15 質問なんですけど右と左か１に近づけるのでは値が違うのではないですか？
自分は高２なので細かいことはわからないんですけど
18 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 22:30:42 ID:IXJMCjqD
19 ：１ ◆RkRjHmwHq6 ：04/12/17 22:35:38 ID:aj+zUavD
20 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/17 22:50:15 ID:uzTqQwA9
21 ：１ ◆RkRjHmwHq6 ：04/12/18 14:54:09 ID:CZOF6CSP
>>17の解答は方針だけ説明します。
１番は定石通りに1/x^2のグラフと式の面積比較でできます。
２番は数学的帰納法で証明できます１番の式を利用して低く評価します。
出典は２００４年慶應義塾大学理工です。
１番は定石通りに1/x^2のグラフと式の面積比較でできます。
２番は数学的帰納法で証明できます１番の式を利用して低く評価します。
出典は２００４年慶應義塾大学理工です。
22 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：04/12/22 19:53:02 ID:581hfnBf
hosyu
23 ： ◆jpapFakhTI ：
てス津