メモちょうがわりにつかってね★
386 ：（ﾟｰﾟ*）ﾊｲﾈ：
Mondai：次の関数の極値を求めよ．
[1] y=x^3-3x^2-9x [2] y=6x^2-x^3
,.‐'''_ニ_‐､ ,. -─-､
. ,' ,'´::: ,.｀--──‐--' <.￣::ヽヽ [1]与三次関数を変数xについて微分すると，
ｉ {::: ／::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼::: !ニｺ y'=3x^2-6x-9 同値変形すると y'=3(x^2-2x-3)
ゝ._7:::::::::::::;:::;､:;:::::::::::;.､:::::::::: <ノ もういちど同値変形すると y'=3(x+1)(x-3)
. ,'::::::::::::/l:/‐ｌ!::::!:::/Ｈ:ｉ､::ヽ:::｀、 これを二次関数のｸﾞﾗﾌと見て考えると，
i::;:::;:::r',.ｪ!=!､|:/ﾚ',.=!ｭﾘヽ:､::､::! 傾き＞0 より上に開く放物線．そして，
l:l:::l::::l { {:ｌ;;j:} ' {:ｌ;;i:}.j ,'::ﾄ:::|′ x＜-1 または x＞3 ならば y'＞0
!:l:::|:::! ｰ‐' , ｰ' !::::!ﾚ′ -1＜x＜3 ならば y'＜0
`:i:::ｌ::|､ " ､__, ﾉ::!::| （ちなみに x=-1 または x=3 のとき y'=0 になってますにゃ．）
ヽ:!::! ヽ､ . イ;;|::|::l y'=0 ということは接線の傾きが0ということですから，つまり
｀､! ,.j ｀ ｰ 'i´ `'､ｌ x=-1 または x=3 のときが与三次関数の極値ということですにゃ．
_. -‐' ヽ ｀i｀ヽ､ 極値がふたつあるという事実は，すなわち極大と極小が存在する
∠- ､. ｀､ｰ ┤ /.>､ ことを示唆しているということになりますにゃん．
x=-1 ならば y=5 x=3 ならば y=-27 ですので，
x=3 のとき極小値 -27 x=-1 のとき極大値 5 ．
[2]与三次関数を変数xについて微分すると，
y'=12x-3x^2 整理して y'=-3x(x-4) ......ⅰ
ⅰを二次関数のｸﾞﾗﾌとしてｲﾒｰｼﾞすると，
傾き＜0 なので下に開く放物線だとわかりますにゃ．
x＜0 または x＞4 のとき y'＜0
0＜x＜4 のとき y'＞0 にゃので，与三次関数は，
x≦0 で単調に減少 0≦x≦4 で単調に増加 x≧4 で単調に減少．
ゆえに x=0 で極小値 0 x=4 で極大値 32 ．
[1] y=x^3-3x^2-9x [2] y=6x^2-x^3
,.‐'''_ニ_‐､ ,. -─-､
. ,' ,'´::: ,.｀--──‐--' <.￣::ヽヽ [1]与三次関数を変数xについて微分すると，
ｉ {::: ／::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼::: !ニｺ y'=3x^2-6x-9 同値変形すると y'=3(x^2-2x-3)
ゝ._7:::::::::::::;:::;､:;:::::::::::;.､:::::::::: <ノ もういちど同値変形すると y'=3(x+1)(x-3)
. ,'::::::::::::/l:/‐ｌ!::::!:::/Ｈ:ｉ､::ヽ:::｀、 これを二次関数のｸﾞﾗﾌと見て考えると，
i::;:::;:::r',.ｪ!=!､|:/ﾚ',.=!ｭﾘヽ:､::､::! 傾き＞0 より上に開く放物線．そして，
l:l:::l::::l { {:ｌ;;j:} ' {:ｌ;;i:}.j ,'::ﾄ:::|′ x＜-1 または x＞3 ならば y'＞0
!:l:::|:::! ｰ‐' , ｰ' !::::!ﾚ′ -1＜x＜3 ならば y'＜0
`:i:::ｌ::|､ " ､__, ﾉ::!::| （ちなみに x=-1 または x=3 のとき y'=0 になってますにゃ．）
ヽ:!::! ヽ､ . イ;;|::|::l y'=0 ということは接線の傾きが0ということですから，つまり
｀､! ,.j ｀ ｰ 'i´ `'､ｌ x=-1 または x=3 のときが与三次関数の極値ということですにゃ．
_. -‐' ヽ ｀i｀ヽ､ 極値がふたつあるという事実は，すなわち極大と極小が存在する
∠- ､. ｀､ｰ ┤ /.>､ ことを示唆しているということになりますにゃん．
x=-1 ならば y=5 x=3 ならば y=-27 ですので，
x=3 のとき極小値 -27 x=-1 のとき極大値 5 ．
[2]与三次関数を変数xについて微分すると，
y'=12x-3x^2 整理して y'=-3x(x-4) ......ⅰ
ⅰを二次関数のｸﾞﾗﾌとしてｲﾒｰｼﾞすると，
傾き＜0 なので下に開く放物線だとわかりますにゃ．
x＜0 または x＞4 のとき y'＜0
0＜x＜4 のとき y'＞0 にゃので，与三次関数は，
x≦0 で単調に減少 0≦x≦4 で単調に増加 x≧4 で単調に減少．
ゆえに x=0 で極小値 0 x=4 で極大値 32 ．
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